FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES

Y LOGARÍTMICAS Y LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES

Y LOGARÍTMICAS Y LOGARÍTMICAS

Definición de función.

• X

Función f(x)

• Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f (x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función.

• Notación funcional :

Se usa una sola letra como f o g oF para denominar una función.Entonces , f (x) que se lee “f de x” o

“ f en x” , designa el valor que f

asinga a x.

Las funciones Reales:• Definición:

Se llama función real a toda función D—IR, siendo D un

subconjunto de IR.

1. Funciones exponenciales.

• Una función exponencial es una función cuya expresión es

siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.

• Distinguimos dos casos:

xy a

a 1 0 a 1

Propiedades de f(x) = ax, a>0, a diferente de uno:

•  1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).• 2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o

saltos.• 3)  El eje de x es la asíntota horizontal.• 4)  Si  a > 1 (a, base), entonces ax aumenta

conforme aumenta x.• 5)  Si  0 < a < 1, entonces ax disminuye conforme

aumenta x.• 6)  La función f es una función uno a uno.•  

Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos,

donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:

• 1) Leyes de los exponentes:•     

• 2)  ax = ay  si y sól• 3)  Para x diferente de cero, entonces ax = bx  si y sólo si  a = b.•  Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para hallar el

valor de x en las siguientes ecuaciones:•  • 1)  2x = 8• 2)  10x = 100• 3)  4 x - 3 = 8• 4)  5 2 - x = 125

•  

• Ejercicio de práctica:  Halla el valor de x:

•  • 1)  2x = 64• 2)  27 x + 1 = 9

x y

-4 0,2

-3 0,3

-2 0,44

-1 0,67

0 1

1 1,5

2 2,25

3 3,375

4 5,06

a 1x

3f(x)

2

x y

-4 0,0625

-3 0,125

-2 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

a 1 xf (x) 2

x y

-4 0,012

-3 0,037

-2 0,11

-1 0,3

0 1

1 3

2 9

3 27

4 81

a 1 xf (x) 3

x y

-4 39,1

-3 15,625

-2 6,25

-1 2,5

0 1

1 0,4

2 0,16

3 0,064

4 0,0256

0 a 1 x

2f(x)

5

x y

-4 16

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 0,5

2 0,25

3 0,125

4 0,0625

0 a 1 x

1f(x)

2

x y

-4 5,06

-3 3,375

-2 2,25

-1 1,5

0 1

1 0,67

2 0,44

3 0,3

4 0,2

0 a 1 x

2f(x)

3

En general si

• Dominio: R• Recorrido• Monotonía Estrictamente creciente• Acotación Acotada inferiormente por 0• Puntos de corte con los ejes Y (0,1)

X ninguno

a 1

(0, )

En general si

• Dominio R• Recorrido• Monotonía Estrictamente decreciente• Acotación Acotada inferiormente por 0• Puntos de corte con los ejes Y (0,1)

X ninguno

0 a 1

(0, )

Función exponencial Función exponencial natural:natural:

Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828…La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). 

x ex

-2 0.14-1 0.370 11 2.722 7.393 20.01

x

f(x)

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = ex  define a la función exponencial de base e. 

• El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

• La función  f(x) = ex  es una  función exponencial natural.  Como 2<e<3, la gráfica de

• f(x) = ex  está entre f(x) = 2x  y  f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:

• En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

•  Ejemplos:  Simplifica.•  •  

• Ejemplo:  Halla el valor de x en  e x + 1  =  e 3x - 1

•  • Práctica:•  1)  Simplifica:  (e 3x + 1) (e 2x – 5)• 2)  Halla el valor de x en  e3x – 4 =  e2x

•  

2. Funciones logarítmicas. • Definición de logaritmo

• Una función logarítmica es una función cuya expresión es:

siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.

• Distinguimos dos casos:

a 1 0 a 1

ya axxlogy

ay log x

x y

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

a 1 2f (x) log x

x y

1/27 -3

1/9 -2

1/3 -1

1 0

3 1

9 2

27 3

a 1 3f (x) log x

x y

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 -1

4 -2

8 -3

16 -4

0 a 1 12

f (x) log x

x y

8/27 3

4/9 2

2/3 1

1 0

3/2 -1

9/4 -2

27/8 -3

0 a 1 23

f (x) log x

En general si

• Dominio• Recorrido R• Monotonía Estrictamente creciente• Acotación No está acotada • Puntos de corte con los ejes Y (1,0)

X ninguno

a 1

(0, )

En general si

• Dominio• Recorrido R• Monotonía Estrictamente decreciente• Acotación No está acotada • Puntos de corte con los ejes Y (1,0)

X ninguno

0 a 1

(0, )

a 1

0 a 1

3. Logaritmo de un número. • El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y

distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado:

• Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log10 , es decir:

• Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de loge , es decir:

za amzmlog

mlogmlog10

elog m lnm Lm

Ejemplos.

2porque 100 10

4porque 9 ( 3)

31porque 10

1000

31

porque 82

1porque e e

4porque 81 34

log 100 2

3log 9 4

1log

1000 3

ln e 1

3log 81

12

log 8 3

Calcular por la definición de logaritmo el valor de y :

Propiedades. • El logaritmo de la unidad es cero:

• El logaritmo de la base es uno:• Ejemplos : log 10 = 1 , ln e = 1• El logaritmo de una potencia de la base es el

exponente:• Ejemplo

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:

01loga

1aloga

xalog xa

a a a alog (x y ... z) log x log y ... log z

Casos especiales:

Propiedades. • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo

del divisor:

• El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:

• El logaritmo en base a de un número se transforma en el logaritmo en otra base mediante:

ylogxlogyx

log aaa

x·logyxlog ay

a

alog

xlogxlog

b

ba

4. Ecuaciones exponenciales.

• Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia.

• Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales:

- Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base.

- Ecuaciones resolubles por cambio de variable.

Ejemplos.

Se busca una base común para todos los números que aparecen:

Se opera:

Se igualan los exponentes:

Se resuelve:

20482·4 x3

2 3x 112 ·2 22 3x 112 2

2 3x 11

3x 9

x 3

Ejemplos.

Se hace un cambio de variable:

Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:

Queda:

Se opera:

Se deshace el cambio:

Se resuelve:

13333 2x1xx

x 2t 3

2 x 2 x 2 x 23 ·3 3·3 3 13

9t 3t t 13

13t 13 t 1

x 21 3

x 2

0 x 23 3

x 2 0

Ejemplos.

Se hace un cambio de variable:

Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:

Queda:

Se resuelve:

Se deshace el cambio:

x x9 18 11·3 xt 3

x2 x3 18 11·3

2x x3 18 11·3 2t 18 11t 2t 11t 18 0

1t 2 2t 9

x3 2 3x log 2x3 9 x 2

5. Sistemas de ecuaciones

exponenciales.

• Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial.

• Nos podemos encontrar distintos tipos de sistemas de ecuaciones exponenciales:

- Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base.

- Sistemas en los que una o más ecuaciones son resolubles por cambio de variable.

Ejemplos.

Se reducen las igualdades a potencias de la misma base

Se opera con las potencias:

Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos:

1622

322·2

y5

x3

y2x

yx 5

5y3x 4

2 ·2 2

2 :2 2

x 2y 5

3x 5y 4

x 3 y 1

x 2y 5

3x 5y 4

2 2

2 2

Ejemplos.

Se hacen los cambios de variable:

Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo):

Se deshace el cambio de variable efectuado al principio:

yx 1

yx 1

3·(5·5 ) 2·(6·6 ) 807

15·5 6 339

x 3 y 2

33965·15

8076·25·3y1x

1yx

x 1a 5 yb 63·5a 2·6b 807

15·a b 339

15a 12b 807

15a b 339

b 36 a 25

x 1a 5 x 125 5

2 x 15 5

2 x 1

y36 6

yb 6

y26 6

6. Ecuaciones logarítmicas. • Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita

aparece afectada por un logaritmo.

• Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.

01loga

1aloga

xalog xa

zlog...ylogxlog)z·...·y·x(log aaaa

ylogxlogyx

log aaa

x·logyxlog ay

a

Ejemplos. 2 log x – log (x-16) = 2

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.

1x 80

2x 20

2log x log x 16 2

2xlog log 100

x 16

2x100

x 16

2x 100x 1600 0 100 10000 4·1600x

2

100 3600x

2

100 602

Ejemplos. log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3)

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x2=2 no es válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.

1x 5

2x 2

5x 13log x 1 log

x 3

5x 13x 1

x 3

2x 2x 3 5x 13

7 49 4·10x

2

7 92

7 32

2x 7x 10 0

Ejemplos.

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.

1x 3

2

1x

3

2log 2 log 11 x 2·log 5 x

2 222 2x 25 x 10x

10 100 4·3·3x

2·3

10 64

6

10 86

23x 10x 3 0

2)x5log(

)x11log(2log 2

22log 2· 11 x log 5 x

7. Sistemas de ecuaciones

logarítmicas. • Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos,

una de sus ecuaciones es logarítmica.

• Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica.Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en algebraica.

• Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas.Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada ecuación logarítmica en algebraica. Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.

Ejemplos.

Resolviendo:

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.

y 2

x 20

x y 22

x10

y

x y 22

x 10y

10y y 22

x 10y

x y 22

xlog log 10

y

x y 22

log x log y 1

Ejemplos.

Resolviendo:

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.

y 4x 7x 11 y

2 2x y 33

x 11 y

yx 11

log (x y) log (x y) log 33

2 ·2 2

x y 11

log (x y)·(x y) log 33

2 2

(x y)·(x y) 33

x y 11

2 211 y y 33

2 2121 y 22y y 33

22y 88

Ejemplos.

Resolviendo:

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.

1y

10

x 100

5 57

100y 10

10 7

5

10010

y

x.y 10

27

3

x10

y

10x

y

2 3log x log y 7

log x·y log 10

2log x 3log y 7

log x log y 1

27

3

xlog log 10

y

x·y 10

Ejemplos.

Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.

1y

10

x 100

2log x 3log y 7

log x log y 1

log x 1 log y

2 1 log y 3logy 7 2 2log y 3logy 7

5log y 5 log y 1 1y 10

log x 1 log y log x 1 1 2