aula de logaritmos

MATEMÁTICAProf. José Junior Barreto

Qual é o tempo?

Giovanna ganhou 1 000 reais de seu

pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao

receber o dinheiro, no entanto,

resolveu abrir mão da festa. É que ela

queria comprar um computador.

Mas havia um problema: o computador

que ela queria custava 1 500 reais. O

jeito era aplicar o dinheiro que tinha,

até conseguir o valor necessário.

MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto


Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de

5% ao mês, capitalizados mensalmente.

Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto

tempo os 1000 reais aplicados se transformariam

nos 1500 reais de que precisava?

Qual é o tempo?

Ela havia acabado de aprender a calcular

juros compostos.

Fez, então, as suas contas.


Veja os cálculos

Capital aplicado: C = 1 000Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mêsMontante pretendido: M = 1 500,00

M = C.(1 + i)t ⇒ 1 500 = 1 000 . (1,05)t

⇒ 1,05t = 1,5

Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.

1,057 ≈ 1,4071,058 ≈ 1,4771,059 ≈ 1,551


Qual é o expoente?

A teoria dos logaritmos é muito útil em

problemas como esse, que envolve a

determinação de um expoente.

Como poderia ser obtido, com uma aproximação

razoável e sem utilizar o método das tentativas,

o valor de t na equação 1,05t = 1,6?


HistóriaA invenção dos logaritmos ocorreu no

início do século XVII e é creditada ao

escocês John Napier e ao suíço

Jobst Burgi.

Inicialmente seu objetivo era

SIMPLIFICAR OS CÁLCULOS NUMÉRICOS,

principalmente em problemas ligados à

Astronomia e à Navegação.


História

Foi o matemático inglês Henry

Briggs (1561 – 1631) quem

propôs, inicialmente, a utilização

do sistema de logaritmos

decimais. Afinal, o nosso sistema

de numeração utiliza justamente

a base 10.


História

Atualmente, são inúmeras as

aplicações tecnológicas dos

logaritmos. Eles são úteis, por

exemplo, na resolução de

problemas que envolvem

desintegração radiotiva, o

crescimento de uma população

de animais ou bactérias, etc.


A base 10Todo número positivo pode ser escrito

como uma potência de base 10, ou

como uma aproximação dessa

potência. Veja os exemplos:

1 = 100 0,1 = 10–1

10 = 101 0,01 = 10–2

100 = 102 0,001 = 10–3

1 000 = 103 0,0001 = 10–4

10 000 = 104 0,00001 = 10–5


A base 10

2 = 100,301

3 = 100,477

7 = 100,845

Na maioria dos casos, torna-se difícil

escrever um número como potência

de base 10. Em valores aproximados

apresentamos os exemplos:

11 = 101,041

13 = 101,114


ExemplosUsando as igualdades 2 = 100,301 e 3

= 100,477, escreva os números 4, 5 e 6

como potência de base 10.

4 = 22 = (100,301)2 = 10 0,602

5 = = = 101 – 0,301102

10100,301 = 10 0,699

6 = 2.3 = 10 0,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477

= 100,778


Exemplos Usando as igualdades 2 = 100,301 e

3 = 100,477, escreva o número 60 como

potência de base 10.

60 = 2.3.10 = 10 0,301 . 10 0,477 . 10

⇒ 60 = 10 0,301 + 0,477 + 1

⇒ 60 = 10 1,778


Exemplos

Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,

resolva a equação exponencial 2x = 12.

2x = 12 ⇒ 2x = 22.3

⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477

⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477

⇒ 100,301.x = 101,079

⇒ 0,301.x = 1,079 ⇒ x = 1,0790,301

⇒ x ≈ 3,585


Logaritmo como expoente

O conceito de logaritmo está associado à

operação potenciação: mais precisamente

à determinação do expoente. Veja:

2X = 8 ⇒ X = 3

No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,

log2 8 = 3


Observe: calcular o log2 8 é descobrir o

expoente ao qual se deve elevar a base 2,

para obter, como resultado, a potência 8.

Vale, portanto a equivalência:

log2 8 = 3 ⇔ 23 = 8

Calcular um logaritmo é obter um expoente.Logaritmo é o mesmo que expoente.

Logaritmo como expoente


DefiniçãoSuponhamos dois reais positivos a e

b (a ≠ 1). Se ax = b, dizemos que x

é o logaritmo de b na base a

(simbolicamente loga b = x).

loga b = x ⇔ ax = b

a é a base b é o logaritmando ou antilogaritmo

x é o logaritmo


Exemplos

log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √25

log2 32 = 5, porque 25 = 32

log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 1/81

log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,0013 3

De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja,

resolver uma equação exponencial.


Exemplos

Calcular log4 8.

log4 8 = x ⇒ 4x = 8

⇒ (22)x = 23

⇒ 22x = 23

⇒ x = 3/2


Exemplos

Calcular log1/3 √9.5

log1/3 √9 = x5 ⇒ 13

x

= √95

⇒ (3–1)x = 32/5

⇒ 3–x = 32/5

⇒ –x = 2/5

⇒ x = –2/5


Condição de existência do logaritmo

Da definição, concluímos que o logaritmo

só existe sob certas condições:

loga b = x ⇔ b > 0 a > 0 a ≠ 1


Condição de existência

Analise quais seriam os significados de log2 (–4), log(–2) 8, log7 0, log1 6 e

log0 2, caso fossem definidos.

log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossívellog–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossívellog7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossívellog1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossívellog0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível


Consequências da definição

Admitindo-se válidas as condições de existência

dos logaritmos, temos os seguintes casos

especiais, que são consequências da definição.

loga 1 = 0

loga a = 1

loga ak = k

porque a0 = 1

porque a1 = a

porque ak = ak


Exemplos

log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1

log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0

log3 39 = 9

log10 10–3 = –3


SISTEMAS DELOGARITMOS

DECIMAIS


Sistema de logaritmos

Sistema de logaritmos é o conjunto de

todos os logaritmos numa determinada

base. Entre os infinitos sistema de

logaritmos, destaca-se o sistema de

logaritmos decimais, que utiliza a base 10.

No cálculo de logaritmos decimais,

convenciona-se não escrever a base, ou

seja, log x é o mesmo que log10 x.

log x → logaritmo decimal de x (base 10)


Exemplos

log 1000 = log10 1000 = 3

log 0,01 = log10 10–2 = –2

log 1 = log10 1 = 0

log 100 = log10 100 = 2


Logaritmos decimais

O primeiro a utilizar os logaritmos

decimais foi o matemático inglês

Henry Briggs (1561-1631).

Foi ele quem construiu a primeira

tábua de logaritmos decimais.


Tábua de logaritmos decimaisn log n n log n n log n n log n

1 0 11 1,041 21 1,322 31 1,491

2 0,301 12 1,079 22 1,342 32 1,505

3 0,477 13 1,114 23 1,362 33 1,519

4 0,602 14 1,146 24 1,380 34 1,531

5 0,699 15 1,176 25 1,398 35 1,544

6 0,778 16 1,204 26 1,415 36 1,556

7 0,845 17 1,230 27 1,431 37 1,568

8 0,903 18 1,255 28 1,447 ... ...

9 0,954 19 1,279 29 1,462 99 1,996

10 1 20 1,301 30 1,477 100 2

log 13 = 1,114ou

101,114 = 13

log 35 = 1,544ou

101,544 = 35


PROPRIEDADES DOS

LOGARITMOS

multiplicações em adições

divisões em subtrações

potenciações em multiplicações


Propriedades dos logaritmos

O logaritmo tem uma particularidade

importante. Ele transforma operações

mais complicadas em operações mais

simples.

Com as propriedades dos logaritmos

podemos transformar:


Logaritmo do produto Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos

valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.

log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3log 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7

log 21 = x ⇒ 10x = 21

⇒ 10x = 3.7 ⇒ 10x = 100,477.100,845

⇒ x = 0,477 + 0,845 ⇒ x = 1,322

⇒ 10x = 100,477 + 0,845

log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7


Logaritmo do produto

De modo geral, o logaritmo do

produto de dois números, numa certa

base, é a soma dos logaritmos desses

números, na mesma base.

Loga (x.y) = loga x + loga y

OBS: Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.


ExemplosA partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114,

calcular log 26 e log 2000.

log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13

log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415

log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000

log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301


Exemplos

Transformar num único logaritmo e

calcular o valor da expressão

log 4 + log 5 + log 50.

log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50)

log 4 + log 5 + log 50 = log 1000= 3

Logaritmo do quociente

Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos

valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.

log 2 = 0,301 ⇒ 100,301 = 2log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3

log (3/2) = x ⇒ 10x = 3/2

⇒ 10x = 32 =

100,477

100,301 = 100,477 – 0,301

⇒ x = 0,477 – 0,301 ⇒ x = 0,176

log (3/2) = log 3 – log 2



Logaritmo do quociente

De modo geral, o logaritmo do

quociente de dois números, numa

certa base, é a diferença dos

logaritmos desses números, na

mesma base.

Loga (x/y) = loga x – loga y


Exemplos

A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.

log 5 = log 102 = log 10 – log 2

⇒ 1 – 0,301

⇒ log 5 = 0,699


Logaritmo da potência

Vamos calcular o valor do log 34, a

partir do valor de log 3 = 0,477.

log 3 = 0,477 ⇒ 100,477 = 3

log 34 = x ⇒ 10x = 34 ⇒ 10x = (100,477)4

⇒ x = 4 . 0,477

⇒ x = 1,908

log 34 = 4 . log 3


Logaritmo da potência

Generalizando, o logaritmo de uma

potência, é igual ao produto do expoente

da potência pelo logaritmo da base.

Loga xk = k . loga x

ExemplosA partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.

log 0,009 = log 9

100 = log 9 – log 100

= log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2 = 2 . 0,477 – 2

= 0,954 – 2 = – 1,046



MUDANÇA DE BASE DOS LOGARITMOS


Mudança de base

Observe uma calculadora científica. Ela

permite o cálculo apenas dos logaritmos

decimais (tecla log)

Como obter então, numa calculadora,

logaritmos em outras bases?

Será possível achar, por exemplo, os

valores de log3 5 e log7 23?


Mudança de base Na tábua de logaritmos decimais, encontramos

que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir

deles, determine o valor log7 23.

log10 23 = 1,362 ⇒ 101,362 = 23log10 7 = 0,845 ⇒ 100,845 = 7

log7 23 = x ⇒ 7x = 23

⇒ (100,845)x = 101,362 ⇒ 100,845.x = 101,362

⇒ 0,845.x = 1,362 1,3620,845 ⇒ x = = 1,612

log7 23 = log10 23

log10 7


Fórmula de mudança de base

De modo geral, podemos calcular

logba, utilizando uma outra base k

arbitrária. Para isso, dividimos o

logaritmo de a pelo logaritmo de b,

na base k escolhida.

logk alogk b

Logb a =


Exemplos

Resolver a equação 5x = 20, dados os

logaritmos decimais

log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.

5x = 20 ⇒ x = log5 20

log10 20log10 5

log5 20 = log 20log 5

=1,3010,699

= = 1,861

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