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BRÍGIDA MARCELA CALLE AMAYA I.E. José Eusebio Caro

2.012

Una Escala Logarítmica

El sonido más débil que un oído humano puede escuchar o detectar tiene una amplitud de una veinteava millonésima de un pascal (20 mPa), algo como cinco mil millones de veces menor que la presión atmosférica normal. Una cambio de presión de 20 mPa es tan pequeño que hace que la membrana del oído se deflecte una distancia menor que el diámetro de una sola molécula de hidrógeno.

Sorprendentemente, el oído puede tolerar presiones sonoras de hasta un millón de veces más alta que esta. Así, si se mide el sonido en pascales, resultan números muy grandes y poco manejables. Para evitar esto se usa otra escala, el decibel (db).

El decibel es una relación matemática del tipo logarítmico, donde si se aumenta 3 db un ruido, significa que se aumenta al doble la energía sonora percibida. El umbral de audición está en el 0 db, y el umbral de dolor en los 120 db.

Definición de Logaritmo:

El logaritmo de un número x en base a se define como el número al que hay que elevar a para obtener el número x. La base a debe ser diferente de 1 y mayor que cero.

Ejemplos:

22 = 4 ⇒ log2 4 = 2 Dos elevado a dos es 4, por lo tanto, el número al que hay que elevar a 2 para obtener 4 es 2 (log2 4 = 2).

23 = 8 ⇒ log2 8 = 3 Dos elevado a 3 es 8, por lo tanto, el número al que hay que elevar a 2 para obtener 8 es 3 (log2 8 = 3).

Es importante recordar que:

Sólo está definido para valores positivos. Así, por ejemplo, el logaritmo de -2 no existe, independientemente de la base. log2 −2 = No existe.

El logaritmo de 0 no existe, independientemente de la base. log2 0 = No existe.

El resultado de un logaritmo puede ser cualquier número. Esto se expresa diciendo que la imagen de la función logaritmo está dada por Im f(x) = (−∞, ∞).

Los logaritmos de base 10 reciben el nombre de logaritmos decimales. Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base:

log x = log10 x

Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos neperianos. Se suelen representar poniendo el símbolo ln:

ln x = loge x

El número e, cuyo valor es

e = 2,71828182845904523536...

Pero…

¿Y qué es el número e?

El número e:

El número e es un número real trascendente, esto quiere decir que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. Su valor aproximado es de 2,718281828459045…, por ser irracional su desarrollo decimal no es periódico. Es usual definir e como el límite cuando n tiende a infinito de la sucesión , simbólicamente:

Propiedades de los logaritmos:

1. El logaritmo de uno es cero en cualquier base. Pues se cumple que c0 = 1 para todo c ϵ ℝ+, c ≠ 1

2. El logaritmo de la base es uno. Pues se cumple que c1 = c para todo c ϵ ℝ+, c ≠ 1

3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. loga (x ⋅ y) = loga x + loga y.

4. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor. loga (x / y) = loga x - loga y.

5. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. loga (x

y) = yloga x.

Continuación Propiedades de los logaritmos…

6. El logaritmo de un radical es igual al producto del inverso multiplicativo del índice por el logaritmo de la cantidad sub-radical. loga (

y√x) = 1/yloga x.

7. Para cambiar la base de un logaritmo se divide el logaritmo con la base deseada del número dado, entre el logaritmo con la base deseada de la base inicial. Loga x = logb x ÷ logb a

Aplicaciones de los logaritmos:

Datación del Carbono 14:

Un procedimiento para averiguar la edad de un fósil consiste en analizar la porción que éste contiene de un isótopo del Carbono: el Carbono-14. Todos los organismos vivos lo absorben del aire y cuando mueren, por ser radiactivo, se desintegra siguiendo la ecuación:

M=M0 * 0,886t Supongamos que se halló un fósil y se pudo determinar que cuando estaba vivo contenía 200gr. De Carbono-14, hallamos una masa de 100gr. ¿Cómo hallamos su antigüedad? Reemplazamos: 100=200 * 0,886t Pasamos dividiendo 200; simplificamos y aplicamos logaritmo base 10 en ambos miembros: Log (1/2)= Log (0,886t ) Despejamos y resolvemos: t=……….. (Resuélvelo) Así averiguamos que el fósil analizado tiene aproximadamente………………años.

Este valor, que se llama, período de desintegración, es el tiempo que tardó la masa inicial de carbono-14 en reducirse a la mitad.

Intensidad Sísmica:

La escala de Richter, utilizada para medir la intensidad de los terremotos, es una escala logarítmica de base 10. La magnitud de un terremoto en esa escala está definida por la fórmula:

M= Log p Donde M es el grado de la escala de Richter y p es la potencia, que indica cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto en comparación con una onda de referencia correspondiente a una situación normal. Por ejemplo, si un terremoto fue mayor que otro con una diferencia de 2 grados en la escala de Richter, significa que su intensidad fue 102 veces mayor.

Continuación Aplicaciones de los logaritmos:

PH y Acidez de las Soluciones:

La concentración de iones de Hidrógeno en una solución determina su grado de acidez. Como se trata de cantidades muy pequeñas, se inventó una escala logarítmica que facilita su manejo: pH= Log (1/ ׀H+ ׀ ) donde ׀H+ representa los moles de iones Hidrógeno ׀por litro. El agua, que tiene pH=7, es neutra. Un pH bajo (menor que 7) indica que la solución es ácida, y un pH alto (mayor que 7), que es básica. Un champú que tiene 0.00001 iones H+ por litro tiene pH=… La sangre, tiene aproximadamente 3.981 . 10-8 iones H+ por litro, tiene un pH=…

Continuación Aplicaciones de los logaritmos:

Contabilidad:

La fórmula que relaciona la cantidad de dinero y tiempo invertido a una tasa de interés anual es M=M0 (1+i)n

donde M0 es la cantidad de dinero invertido; n la cantidad de meses e i la tasa de interés Si la tasa de interés anual es 6%, la tasa mensual será 0,06/12= 0,005 Si comenzamos con $100 la fórmula queda: M=100 (1+0, OO5)n

¿Cuánto tiempo me lleva duplicar el dinero invertido? 200 = 100 * (1.005)n

(Dividiendo ambos miembros por 100) 2= (1.005)n

Continuación Aplicaciones de los logaritmos:

Tomemos el logaritmo de cada lado de la ecuación y obtenemos Log [2] = Log [(1.005)n] lo cuál es: Log 2 = n · Log (1.005) Resolviendo para n tenemos n = Log 2/ Log(1.005) n ≈ 0.30103/ 0.00217 n ≈ 138.7235

Intensidad del Sonido:

Tras unos estudios, se determinó que el ser humano podía oír las ondas que generaban una presión de entre 0.00002 y 100 pascales, un intervalo demasiado amplio que resulta casi inmanejable, por lo que en vez de esta escala se usa la de decibeles, una escala logarítmica que va sólo de 0 a 130. Gracias a esta escala se puede determinar los umbrales de sonidos que son aceptables para nuestros oídos y aquellos que pueden resultar peligrosos y acarrear consecuencias negativas para el proceso auditivo. Se pueden dotar de distintos valores a procesos sonoros normales, como una conversación (40db-50db), tráfico (80 db), pero se pueden crear dos intervalos: 0-90 db : No perjudicial para el oído humano. >90 db: la escucha prolongada de estos sonidos puede ocasionar sordera.

Continuación Aplicaciones de los logaritmos:

Ahora que conocemos los conceptos básicos de logaritmos y sus aplicaciones podemos poner en práctica lo aprendido, para ello da click en el siguiente enlace:

Bibliografía: http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdf

http://www.matematicaparatodos.com/QUINTO/5_14LOGARITMOS_2009.pdf

http://elprofemates.files.wordpress.com/2008/11/logaritmos.pdf

http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/tesis/mgarcia/tesismarcia.pdf

http://logaritmoparasexto.blogspot.com/2011/07/usos-del-logaritmo.html