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COLEGIO MATEMÁTICO "Winner" ÁLGEBRA Prof. Marco J. CÓNGORA GÓMEZ SEXTO DE PRIMARIA Logaritmos Conceptos Previos POTENCIACIóN 2 3 = P P = 2 x 2 x 2 = 8 RADICACIóN b 3 = 8 b = 3 8 = 2 LOGARITMACIóN 2 x = 8 x = log 2 8 = 3 Notación: Log Así: * Log 2 8 = 3 Porque 2 3 = 8 * Log 3 9 = 2 Porque 3 2 = 9 * Log 4 64 = 3 Porque 4 3 = 64 N > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1 Log b N = x b x = N Definición Ejemplo 1: Calcula: Log (1/3) 81 = x * Por definición: (1/3) x = 81 * Exponente negativo: (3 -1 ) x = 3 4 * Exponente de exponente: 3 -x = 3 4 * Bases iguales exponentes iguales: -x = 4 Entonces: x = -4 Ejemplo 2: Calcula: Log 16 128 = x * Por definición: 16 x = 128 * Homogenizamos las bases: (2 4 ) x = 2 7 * Exponente de exponente 2 4x = 2 7 * Bases iguales exponentes iguales 4x = 7 Entonces: x = 7/4 IDENTIDAD FUNDAMENTAL Sabemos: 2 3 = 8 ... (1) Entonces: Log 2 8 = 3 ... (2) Reemplazamos (2) en (1) 2 Log 2 8 = 2 3 = 8 Log b n N m = Log b N m n Log b N + Log b M = Log b (N . M) Ejemplos: Nota Log N = Log 10 N Cuando la base es 10 no es necesario escribirla. PROPIEDADES Log 50 + Log 2 = Log 100 = 2 Log 2 + Log 5 = Log 10 = 1 Log 4 + Log 2 + Log 3 = Log 24 Ejemplos: Log b N - Log b M = Log b (N/M) Log 5 20 - Log 5 4 = Log 5 5 Log 12 - Log 3 = Log 4 Ejemplos: 3 Log 3 4 = 4 7 Log 7 5 = 5 SEMANA 1-2

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COLEGIO MATEMÁTICO "Winner" ÁLGEBRA

Prof. Marco J. CÓNGORA GÓMEZ SEXTO DE PRIMARIA

Logaritmos

Conceptos Previos

PotenCiaCión

23 = P ⇒ P = 2 x 2 x 2 = 8

radiCaCión

b3 = 8 ⇒ b = 3 8 = 2

LogaritmaCión

2x = 8 ⇒ x = log2 8 = 3

notación: Log

así:

* Log2 8 = 3 Porque 23 = 8

* Log3 9 = 2 Porque 32 = 9 * Log4 64 = 3 Porque 43 = 64

n > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1

Logb n = x ⇔ bx = n

definición

ejemplo 1:

Calcula: Log(1/3) 81 = x

* Por definición: (1/3)x = 81

* exponente negativo: (3-1)x = 34

* exponente de exponente: 3-x = 34

* Bases iguales exponentes iguales: -x = 4

entonces: x = -4

ejemplo 2:

Calcula: Log16 128 = x

* Por definición: 16x = 128

* Homogenizamos las bases: (24)x = 27

* exponente de exponente 24x = 27

* Bases iguales exponentes iguales 4x = 7

entonces: x = 7/4

identidad FUndamentaL

Sabemos:23 = 8 ... (1)

entonces:Log2 8 = 3 ... (2)

reemplazamos (2) en (1)2Log2 8 = 23 = 8

Logbn nm = Logb nmn

Logb n + Logb m = Logb (n . m)

ejemplos:

nota

Log n = Log10 n

Cuando la base es 10 no es necesario escribirla.

ProPiedadeS

Log 50 + Log 2 = Log 100 = 2

Log 2 + Log 5 = Log 10 = 1

Log 4 + Log 2 + Log 3 = Log 24

ejemplos:

Logb n - Logb m = Logb (n/m)

Log5 20 - Log5 4 = Log5 5

Log 12 - Log 3 = Log 4

ejemplos:

3Log3 4 = 4

7Log7 5 = 5

SEM

AN

A1-2

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Prof. Marco J. CÓNGORA GÓMEZ SEXTO DE PRIMARIA

1) determina los siguientes logaritmos:

a) Log2 4 =b) Log3 27 = c) Log5 25 =

nivel i

Propiedad del Sombrero

Log n3 = 3 Log n

Log5 32

= 2 Log5 3

Log32 43 = 3/2 Log3 4

recuerda

Logb 1 = 0

Logb b = 1

Log3 1 = 0

Log4 4 = 1

ejemplos:

resolución:

1. determina el valor de: m = Log3 9 + Log2 2 + Log5 1

Log3 9 = 2 PQ 32 = 9

Propiedad:Log2 2 = 1 ; Log5 1 = 0

m = 2 + 1 + 0 = 3

resolución:

2. Calcula: r = 2Log6 7 . 3Log6 7

r = 2Log6 7 . 3Log6 7

r = (2 . 3)Log6 7 r = 6Log6 7

identidad fundamental:r = 7

resolución:

3. Si Log 2 = 0,3 y Log 3 = 0,4; halla el valor de: e = Log 6

e = Log 6 = Log(3 . 2)

Propiedad:e = Log 3 + Log 2

e = 0,4 + 0,3 e = 0,7

resolución:

m = Log3 3 32

exponente fraccionario:m = Log3 32/3

Propiedad sombrero:m = 2/3 Log3 3

= 2/3 (1) m = 2/3

4. Calcula: m = Log3 3 32

resolución:

Log(1/9) 81 = x

definición:(1/9)x = 81

9-x = 92

x = -2

5. Calcula por definición: Log(1/9) 81 = x

2) a p l i c a n d o l a i d e n t i d a d fundamental determina el valor de las siguientes expresiones:

a) 4Log4 3

b) 3Log3 5

c) 10Log 8

3) determina el valor de: e = Log 1000 + Log 10 + 1

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

4) determina el valor de: S = Log 103 + Log2 2 - 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Log 12Log 6 + Log 2

5) Halla ‘‘n’’:

n =

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

6) indica el valor de: m = Log2 3 + Log2 (1/3)

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) -2

7) Halla ‘‘x’’ en : x = Log 100 + 3Log3 2

a) 2 b) 4 c) 6d) 5 e) 3

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COLEGIO MATEMÁTICO "Winner" ÁLGEBRA

Prof. Marco J. CÓNGORA GÓMEZ SEXTO DE PRIMARIA

nivel ii

16) Si: Log 2 = 0,3 Log 3 = 0,4; halla el valor de: e = Log 6

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6d) 0,7 e) 0,9

10) Calcula: S = Log3 15 - Log3 5 + Log2 1

a) 0 b) 1 c) 2d) -2 e) 3

8) Calcula S para x > 2 e y > 3 S = xLogx 2 + yLogy 3

a) 1 b) 3 c) 5d) 6 e) 7

9) Calcula: r = 2Log6 7 . 3Log6 7

a) 1 b) 3 c) 5d) 6 e) 7

11) reduce: a = Log4 2 + 3/4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12) efectúa: 23Log3 4

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 15

13) reduce: t = (Log 2 + Log 50)3Log3 4

a) 10 b) 15 c) 16d) 17 e) 20

14) efectúa: L = Log2 (Log2 256)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

15) reduce: 4Log4 (Log 10 + Loge e)

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 7

17) Calcula por definición de logaritmos:

Log(1/9) 81 = x

a) -1 b) -2 c) -3d) 4 e) 3

18) Calcula: m = Log3 3 32

a) 2/3 b) 1/3 c) 1d) -4/3 e) 3/4

19) Simplifica:r = (Log6 4 + Log6 9)Log3(5 + Log216)

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 16

20) Halla: n = (3Log3 5)Log3 9

a) 27 b) 25 c) 15d) 45 e) 20

21) Halla: n = Log16 Log 6 Log 2 8

a) 4 b) 1/4 c) 2d) 1/2 e) -1/4

22) indica el equivalente de: m = 31+Log3 2 + 21+Log2 3

a) 12 b) 4 c) 6d) 42 e) 1

23) reduce: a = 21+Log2 5 . 51+Log5 3

a) 220 b) 150 c) 100d) 12 e) 42

24) indica el equivalente de: 22+Log6 5 . 31+Log6 5

a) 80 b) 30 c) 60d) 7,5 e) 3,75

25) indica el equivalente de “a”; b ≥ 2

3 Logb(a2b3) - 2 Logb(a3b4)

a) 1 b) b c) 2d) 2b e) 0

26) determina los s iguientes logaritmos:

a) Log2 8 =b) Log3 81 = c) Log5 125 =

27) a p l i c a n d o l a i d e n t i d a d fundamental determina el valor de las siguientes expresiones:

a) 3Log3 7 =b) 5Log5 7 =c) 10Log 7 =

28) Halla el valor de e = Log 1000 + Log 100 + Log 10

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

29) determina el valor de: S = Log 104 + Log7 7 - 3

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 7

30) Halla ‘‘m’’ si:

m =

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Log 20Log 5 + Log 4

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COLEGIO MATEMÁTICO "Winner" ÁLGEBRA

Prof. Marco J. CÓNGORA GÓMEZ SEXTO DE PRIMARIA

nivel iii

31) Halla el valor de: m = Log3 5+ Log3 (1/5)

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

32) Halla ‘‘x’’ en : x = Log 1000 + 7Log7 6

a) 7 b) 5 c) 4d) 8 e) 9

33) Calcula S; para x > 2 e y > 3 S = xLogx 7 + yLogy 6

a) 12 b) 13 c) 15d) 16 e) 14

34) Calcula: r = 2Log 7 . 5Log 7

a) 6 b) 8 c) 7d) 9 e) 10

35) Calcula: S = Log4 20 - Log4 5 + Log3 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

36) reduce: a = Log4

3 2 + 5/6

a) 2 b) 0 c) 1d) 5 e) 6

37) efectúa: 37Log7 6

a) 612 b) 729 c) 480d) 670 e) 48

38) reduce: (Log 4 + Log 25)7Log7 4

a) 18 b) 32 c) 16d) 72 e) 64

39) efectúa: L = Log3( Log3 27)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

40) reduce: 7Log7(Log 100 + 1)

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

41) Si: Log 2 = 0,3 Log 3 = 0,4; halla el valor de Log 36

a) 0,8 b) 1,2 c) 1,4d) 7,2 e) 6,1

42) Calcula x si: Logx 8 = 3

a) 6 b) 4 c) 2d) 7 e) 3

43) Calcula: m = Log3

5 33

a) 3/5 b) 5/3 c) 2/3d) 3/2 e) 4

44) Simplifica: r = (Log6 2 + Log6 18)Log3 (9)

a) 0 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

45) Halla: m = (7Log7 5)Log2 4

a) 12 b) 64 c) 25d) 17 e) 18

46) Halla: n = Log16 Log 6 Log 2 8

a) 1/16 b) 1/4 c) -1/4d) -1/16 e) 32

47) indica el equivalente de: m = 71+Log7 2 + 31+Log3 2

a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26

48) reduce: a = 31+Log3 6 . 51+Log5 2

a) 90 b) 120 c) 180d) 250 e) 300

49) Halla el equivalente de: 3Logb(a2b3) - 2Logb(a3b4)

a) 3 b) 0 c) 1d) 2 e) 4

Un error de Kepler

e s e n alemania donde se van a de-sa-r rol lar los loga-ritmos. al pri-ncipio d e 1 6 1 7 , Ke-pler, que se hallaba fortuita-mente en Viena, tiene la ocasión de con-sultar la primera obra de napier. Hojeándola rápidamen-te, comete un error de interpre-tación. en el transcurso de 1618, dispone de la obra de Benjamín Ursinus: trigo-nometría Logarít-mica John neperi; reconoce su error y se muestra entusiasta de este nuevo cálculo.en 1619, por fin, el libro mirifici llega a Linz, a Kepler, el cual rápidamente lo adapta a sus necesidades, su adhesión es tal que dedica sus efemérides de 1820 al ‘‘célebre y noble señor John