bases de logaritmos

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Bases de Logaritmos (Logaritmos y Progresiones) En esta investigación de matemáticas del NM veremos el área del programa de estudios relacionada con Logaritmos y Progresiones. Para esto utilizaremos distintos medios tecnológicos como el procesador de textos WORD 2009 y otros que se mencionaran en el transcurso de la tarea. Empezaremos con una pequeña introducción acerca de los logaritmos y progresiones para entender mejor el tema de este trabajo de matemáticas del tipo I. El método para calcular mediante logaritmos fue propuesto públicamente por primera vez por John Napier en 1614, en su libro Mirifici Logarithmorum Canonis. Este método ayudo bastante en el avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, ya que convertía números muy grandes en términos más simples haciendo más fácil solucionar cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados en la navegación y otras ramas de la matemática aplicada antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647. Según su etimología, “logaritmos” significa: relación de números. Esta información fue adquirida de la pagina web www.wikipedia.com. Es así que en matemática el Logaritmo de un número (N) en una base determinada (b), es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el numero (N). Es la función matemática inversa a la Función Exponencial.

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Page 1: Bases de Logaritmos

Bases de Logaritmos

(Logaritmos y Progresiones)

En esta investigación de matemáticas del NM veremos el área del programa de estudios relacionada con Logaritmos y Progresiones. Para esto utilizaremos distintos medios tecnológicos como el procesador de textos WORD 2009 y otros que se mencionaran en el transcurso de la tarea.

Empezaremos con una pequeña introducción acerca de los logaritmos y progresiones para entender mejor el tema de este trabajo de matemáticas del tipo I.

El método para calcular mediante logaritmos fue propuesto públicamente por primera vez por John Napier en 1614, en su libro Mirifici Logarithmorum Canonis. Este método ayudo bastante en el avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, ya que convertía números muy grandes en términos más simples haciendo más fácil solucionar cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados en la navegación y otras ramas de la matemática aplicada antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647. Según su etimología, “logaritmos” significa: relación de números.

Esta información fue adquirida de la pagina web www.wikipedia.com.

Es así que en matemática el Logaritmo de un número (N) en una base determinada (b), es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el numero (N). Es la función matemática inversa a la Función Exponencial.

logbN = x ↔ N = bx

Para poder hallar el valor de (x) de un logaritmo, existen varias propiedades llamadas “propiedades de los logaritmos” que se pueden utilizar para hacer los cálculos sin algún instrumento tecnológico. Aquí presentaremos estas propiedades:

1. alogax=x 6. logaA=logbAlogba

2. loga1=0 7. loganA=logaA1n

Page 2: Bases de Logaritmos

3. logaa=1 8. log1aA=-logaA

4. logaAB= logaA+logaB 9. loga1x=-logax

5. logaAB=logaA-logaB 10.logaAn=n.logaA

Ejemplificando:

log39=x → Llevando el argumento del logaritmo a su potencia y

luego utilizando la decima propiedad tenemos:

log332=x

2.log33=x → Ahora utilizamos la tercer propiedad para obtener el

valor de (x):

2 = x → Asi sabemos el valor de (x)

Ahora que hicimos una breve introducción a los logaritmos, veremos que son las progresiones.

Existen dos tipos de progresiones en la matemática:

a) Progresión ARITMÉTICA b) Progresión GEOMÉTRICA.

a)La Progresión ARITMÉTICA (P.A) es una sucesión de números en el que a cada uno de sus términos se le puede sumar una constante para obtener el siguiente término. Constante = d (diferencia común).

Una Progresión ARITMÉTICA con (n) términos se expresa: a1 , a2 , a3 ,..an

an= n-esimo término.

Ejemplo:

a1 a2 a3 a4

Page 3: Bases de Logaritmos

5 10 15 20 TERMINOS

+5 +5 +5 DIFERENCIA COMUN

b)La Progresión GEOMÉTRICA (P.G)es también una sucesión de números, pero en esta se multiplica cada término por una constante para obtener el término siguiente. Constante = r (razón común).

Una Progresión GEOMÉTRICA con (n) términos se expresa: a1 , a2 , a3 ,..an

an= n-esimo término.

Ejemplo:

a1 a2 a3 a4

3 9 27 81 TERMINOS

x3 x3 x3 RAZON COMUN

Con la ayuda de estos conocimientos consideraremos las siguientes progresiones y escribiremos los siguientes dos términos de cada progresión.

log28 , log48 , log88 , log168 , log328 , …

log381 , log981 , log2781 , log8181 , …

log525 , log2525 , log12525 , log62525 , …

logmmk , logm2mk , logm3mk, logm4mk , …

Utilizando las propiedades de logaritmos encontraremos el valor del primer término de la primer fila del Ejercicio 1:

log28=x

log223=x

3.log22=x

3 = x

Page 4: Bases de Logaritmos

Al aplicar la misma operación en todos los términos de las tres primeras filas del Ejercicio 1 obtenemos:

En la forma a1 , a2 , a3 ,..an

Fila 1: 3 , 32 , 1 , 34 , 35

Fila 2: 4 , 2 , 43 , 1

Fila 3: 2 , 1 , 23 , 12

En los resultados podemos ver claramente que no hay una progresión ni aritmética, ni geométrica en la que exista una razón o diferencia común entre cada uno de los términos.

Pero si observamos las bases de cada uno de los logaritmos vemos que en ellas si existe una progresión geométrica, en donde en cada fila si existe una razón común entre cada termino.

log28 , log48 , log88 , log168 , log328 <= Razón común entre bases = 2

log381 , log981 , log2781 , log8181 <= Razón común entre bases = 3

log525 , log2525 , log12525 , log62525 <= Razón común entre bases = 5

Este sería un ejemplo generalizado del orden de los términos:

logmmk , logm2mk , logm3mk, logm4mk <= la base elevada . a la siguiente potencia

Por lo tanto una fórmula para sacar el siguiente término seria elevar la base del logaritmo (m) al número del término (n) que queremos encontrar:

logmnmk=x

Page 5: Bases de Logaritmos

La progresión que existe entre bases de cada logaritmo es una Progresión GEOMÉTRICA, porque se multiplica cada término (base) por una razón común para hallar el siguiente término. Así que los dos términos siguientes para cada progresión serian:

… , log648 , log1288

… , log24381 , log72981

… , log312525 , log1562525

… , logm5k , logm6k

Trataremos de hallar otra fórmula general para encontrar el n-ésimo término de estas progresiones GEOMÉTRICAS en las bases de los logaritmos en el ejercicio.

Para sacar el n-ésimo término de una progresión GEOMÉTRICA, tenemos la fórmula siguiente:

an = a1 * rn-1

Es decir que el n-ésimo término se encontrara multiplicando el primer término de la progresión por la razón común elevada al número del término que queremos encontrar menos 1.

Si tenemos que : logmnmk=x

Entonces para encontrar el n-ésimo termino tendríamos que reemplazar nuestra formula de termino n-ésimo por mn, es decir la base del logaritmo: loga1* rn-1mk

Demostrando: Sacar el 5 término de la siguiente progresión:

log381 , log981 , log2781 , log8181

El primer término es log381, donde n=1

logmnmk=x ↔ log381=x ↔ log334=x ↔ 4 = x

Page 6: Bases de Logaritmos

Para obtener el quinto término tenemos n=5 r=3

loga1* rn-1mk=x ↔ log3* 3481=x ↔ log3534=x ↔ log24381=x

log24381=x ↔ log3534=x ↔ log3345=x ↔ 45=x

Mediante esta segunda fórmula loga1* rn-1mk hallamos el n-ésimo término de acuerdo a la progresión GEOMÉTRICA que existe en las bases de los logaritmos del ejercicio.

Ahora transformaremos todas las expresiones a la forma pq, donde p , q ϵ Z.

Utilizando las propiedades de logaritmos :

=> loganA = logaA1n => logaAn = n*logaA => logaa = 1

Ejemplo:

log28=x ↔ log2123=x ↔ log2231 ↔ 31log22=x ↔ 31=x

Por lo tanto los resultados de cada línea serian:

Fila 1: 31 , 32 , 33 , 34 , 35

Fila 2: 41 , 42 , 43 , 44

Fila 3: 21, 22 , 23 , 24

Después de aplicar las propiedades de logaritmos para obtener los valores resultantes de los logaritmos, podemos ver que existe una sucesión de términos de acuerdo a una ley dada entre estos resultados. Utilizando las propiedades de logaritmos para sacar una fórmula general para obtener los resultados en la forma pq, tendríamos lo siguiente:

Page 7: Bases de Logaritmos

logmnmk=x ↔ logmmkn=x ↔ knlogmm=x ↔ kn=x

p = k = constante q = n = numero del término que queremos encontrar

En este caso (k) es el valor del índice al cual se eleva el número (m) de un logaritmo.

El valor (n) en este caso es el valor del índice al cual esta elevada la base (m) del logaritmo y también el numero del término en la sucesión.

Utilizado el método tecnológico de hoja de cálculo Word Excel 2009 haremos una tabla en la cual demostremos la progresión de las bases de los logaritmos y cómo influyen los valores.

logmnN => log3n81 = an

f(n) = knlogmm ↔ f(n) = 4nlog33

Termino | m = Base | n = índice que eleva a la Base | N = Numero | Valor |

1 | 3 | 1 | 81 | 4 |

2 | 3 | 2 | 81 | 2 |

3 | 3 | 3 | 81 | 1.333333333 |

4 | 3 | 4 | 81 | 1 |

5 | 3 | 5 | 81 | 0.8 |

6 | 3 | 6 | 81 | 0.666666667 |

7 | 3 | 7 | 81 | 0.57163278 |

8 | 3 | 8 | 81 | 0.5 |

9 | 3 | 9 | 81 | 0.444444444 |

10 | 3 | 10 | 81 | 0.4 |

En este gráfico podemos ver como los valores (x) del logaritmo varían de acuerdo al número (n) del término que queremos obtener, que también son el índice (n) al cual las bases están elevadas.

Page 8: Bases de Logaritmos

Como vemos en el gráfico, el valor (x) del logaritmo depende de la base de este mismo logaritmo. Mientras más alto sea el valor de la base que el del argumento del logaritmo, el valor (x) del logaritmo se acerca más a 0 y tiene más decimales, lo cual hace que (x) sea un número con el cual es difícil hacer los cálculos. (Convierte los números grandes en términos más simples). Por eso los logaritmos son otra forma más fácil de representar estos números y por ende nos facilita los cálculos.

Esto ocurre debido a la relación que existe entre la base y el argumento de un logaritmo. Como sabemos la función logarítmica es la inversa a la función exponencial, es decir que la base (b) de un logaritmo elevada al valor (x) de este logaritmo va a ser igual al argumento (N) del mismo logaritmo.

logbN = x ↔ N = bx

Por eso ocurre que mientras más alto sea el valor de la base (b) que el del argumento (N), más cercano a 0 y mas decimales tendrá el valor de (x) al cual la base estará elevada para igualar el valor de (N).

Ejemplos:

log381=4 ↔ 81=34

log24381=0.8 ↔ 81=2430.8

log218781=0.57142857142857 ↔ 81=21870.57142857142857

*Ejemplos extraídos de la tabla y el gráfico y comprobados con la calculadora Texas Instrument TI-84 Plus.

Ahora calcularemos lo siguiente, con respuestas en la forma pq, donde p , q ϵ Z.

log464 , log864 , log3264

Page 9: Bases de Logaritmos

log749 , log4949 , log34349

log15125 , log1125125 , log1625125

log8512 , log2512 , log16512

Utilizando las propiedades de logaritmos:

=> loganA = logaA1n => logaAn = n*logaA => logaa = 1

Obtenemos:

Fila 1: 62 , 63 , 64

Fila 2: 21 , 22 , 23

Fila 3: -31 , -33 , -34

Fila 4: 93 , 91 , 94

Ahora veremos cómo obtener la tercer respuesta de cada fila a partir de las dos primeras respuestas:

Podemos ver que si multiplicamos las bases de los dos primeros términos de las sucesiones, obtendremos el tercer término.

Llevamos los primeros dos términos de la primer fila a su forma logmnmk=x:

a1 = log2226 a2 = log2326

k = constante m = constante n = variable

Page 10: Bases de Logaritmos

Como vemos, pusimos las bases en su forma exponencial y de acuerdo a la propiedad de multiplicación de exponentes con bases iguales mx.my = mx+y tenemos:

mx.my=mx+y

22. 23 = 25 => Base del tercer término

Dejando las constantes (m) y (k) en sus lugares en logmnmk=x , obtenemos el tercer término:

log2526=x

log3264=x

Utilizando propiedades de logaritmos y la de exponentes con bases iguales:

=> loganA = logaA1n => logaAn = n*logaA => logaa = 1

Podemos deducir:

log3264 ↔ log2526 ↔ log2265 ↔ 65log22 ↔ 62+3log22 ↔ kn1+n2logmm = x

x = Valor del tercer término

n1= Índice al que la base del primer término esta elevada

n2= Índice al que la base del segundo término esta elevada

En esta fórmula dividimos el valor de (n) en n1 y n2 para demostrar que son las potencias a la que las bases de los dos primeros términos están elevadas, y que sumadas son igual a la potencia a la que la base del tercer término esta elevada. Esto resulta por la multiplicación de exponentes con bases iguales, en la que las potencias se suman y la base se mantiene.

Usando la fórmula kn1+n2logmm=x y las mismas propiedades de logaritmos, utilizadas anteriormente, obtenemos en las filas restantes el tercer término:

Page 11: Bases de Logaritmos

Fila 2:

log772 , log7272 , log7372

kn1+n2logmm = 21+2log77 = 23log77 = log7723 = log7372 = log34349

Fila 3:

log5-153 , log5-353 , log5-453

kn1+n2logmm = 3-1-3log55 = 3-4log55 = log553-4 = log5-453 = log1625125

Fila 4:

log2329 , log2129 , log2429

kn1+n2logmm = 93+1log22 = 94log22 = log2294 = log2429 = log16512

Crearemos otros dos ejemplos que sigan el mismo patrón:

log5124096 , log84096 , log40964096

log29212 , log23212 , log212212

kn1+n2logmm = 129+3log22 = 1212log22 = log221212 = log212212 = log40964096

log6216 , log216216 , log1296216

log6163 , log6363 , log6463

kn1+n2logmm = 31+3log66 = 34log66 = log6634 = log6463 = log1296216

Probaremos si esta fórmula general nos sirve para sacar el término siguiente de una de las sucesiones del primer ejercicio del trabajo.

log525 , log2525 , log12525 , log62525

log5152 , log5252 , log5352 , log5452 → llevándolos a la forma logmnmk

Page 12: Bases de Logaritmos

Reemplazando los valores de (n), (k) y (m) de los dos primeros términos en la fórmula general kn1+n2logmm=x para obtener el tercer término tenemos:

21+2log55=y

Utilizando las propiedades de logaritmos que utilizamos anteriormente, obtenemos el tercer término de la sucesión.

21+2log55 ↔ 23log55 ↔ log5523 ↔ log5352 ↔ log12525 = tercer término

Podemos concluir que esta fórmula general es la adecuada para encontrar el n-ésimo término de las sucesiones en este trabajo.

Sabiendo que logax=c y logbx=d . Hallaremos una proposición general que exprese logabx, en función de (c) y de (d). Utilizando la operación inversa a la función logarítmica, hallaremos los valores de (a) y (b) para luego reemplazarlos en logabx.

logax=c ↔ ac=x ↔ a = cx

logbx=d ↔ bd=x ↔ b = dx

Reemplazando a y b en logabx para obtener la proposición general:

logcx.dxx ↔ logx1c.x1dx ↔ logxd+ccdx ↔ logxxcdd+c ↔ cdd+clogxx ↔ cdd+c=y

Comprobaremos la validez de la proposición general que obtuvimos, utilizando para ello otros valores en (a), (b) y (x).

Teniendo logax=c , logbx=d y logabx:

logax=c ↔ log464 = c ↔ 4 = c64 =a

logbx=d ↔ log864 = d ↔ 8=d64 =b

Reemplazando 4 y 8 en log(4*8)64

logc64.d6464 = log641c641d64 = log64d+ccd64 = log6464cdd+c = cdd+c

Page 13: Bases de Logaritmos

a= 5, b= 25, x= 625. Reemplazando 5 y 25 en log(5*25)625

logc625.d625625 = log6251c6251d625 = log625d+ccd625 = log625625cdd+c = cdd+c

Como vemos, esta nueva proposición general también nos ayudo a sacar el valor (x) del término siguiente de la sucesión a partir de los dos términos que están antes de este.

log464=x1 , log864=x2 , log3264=x3

Utilizamos las propiedades de logaritmos anteriores para hallar los valores de (X) y comprobar la nueva fórmula general :

Ejemplo 1

log464 ↔ log2226 ↔ log2262 ↔ 62log22 ↔ 62 ↔ 3 = c

log864 ↔ log2326 ↔ log2263 ↔ 63log22 ↔ 63 ↔ 2 = d

log3264 ↔ log2526 ↔ log2265 ↔ 65log22 ↔ 65 = cdd+c

x1=3=c

x2=2=d

x3=65=cdd+c

Ejemplo2

log525 ↔ log5152 ↔ log5521 ↔ 21log55 ↔ 21 ↔ 2 = c

log2525 ↔ log5252 ↔ log5522 ↔ 22log55 ↔ 22 ↔ 1 = d

log12525 ↔ log5352 ↔ log5523 ↔ 23log55 ↔ 23 ↔ cdd+c

x1=2=c

x2=1=d

x3=23=cdd+c

Page 14: Bases de Logaritmos

Así comprobamos que kn1+n2logmm= cdd+clogxx.

Sabemos que la formula de un logaritmo es logbN=x , donde un término cualquiera (b) es la base y un término cualquiera (N) es el argumento de dicho logaritmo y un numero cualquiera (x) es su valor. Pero tanto la base como el argumento tienen limitaciones, las cuales limitan a que el logaritmo tenga un VALOR POSIBLE.

Esto ocurre debido a la relación que existe entre la base y el argumento de un logaritmo. Como sabemos la función logarítmica es la inversa a la función exponencial, es decir que la base (b) de un logaritmo elevada al valor (x) de este logaritmo va a ser igual al argumento (N) del mismo logaritmo.

Por eso ocurre que mientras más alto sea el valor de la base (b) que el del argumento (N), más cercano a 0 y mas decimales tendrá el valor de (x) al cual la base estará elevada para igualar el valor de (N), como dijimos anteriormente.

Utilizado nuevamente el método tecnológico de hoja de cálculo Word Excel 2009, comprobaremos las limitaciones de la base y argumento de los logaritmos en base a nuestra formula logabx, reemplazando (a), (b) y (x) para ver que se obtengan valores POSIBLES o demostrando limitaciones.

Tabla N.1 logax=c Tabla N.2 logax=c

a | x | c | | a | x | c |

10 | 21 | 1.322219295 | | 10 | 21 | 1.322219295 |

9 | 19 | 1.34007193 | | 9 | 19 | 1.34007193 |

8 | 17 | 1.362487614 | | 8 | 17 | 1.362487614 |

7 | 15 | 1.391662509 | | 7 | 15 | 1.391662509 |

6 | 13 | 1.431525493 | | 6 | 13 | 1.431525493 |

5 | 11 | 1.489896102 | | 5 | 11 | 1.489896102 |

4 | 10 | 1.660964047 | | 4 | 10 | 1.660964047 |

3 | 8 | 1.892789261 | | 3 | 8 | 1.892789261 |

2 | 6 | 2.584962501 | | 2 | 6 | 2.584962501 |

Page 15: Bases de Logaritmos

1 | 4 | #¡DIV/0! | | 1 | 4 | #¡DIV/0! |

4 | 1 | 0 | | 4 | 1 | 0 |

0 | 2 | #¡NUM! | | 0 | 2 | #¡NUM! |

2 | 0 | #¡NUM! | | 2 | 0 | #¡NUM! |

-1 | 4 | #¡NUM! | | 1 | -4 | #¡NUM! |

-2 | 6 | #¡NUM! | | 2 | -6 | #¡NUM! |

-3 | 8 | #¡NUM! | | 3 | -8 | #¡NUM! |

-4 | 10 | #¡NUM! | | 4 | -10 | #¡NUM! |

-5 | 11 | #¡NUM! | | 5 | -11 | #¡NUM! |

Tabla N.3 logbx=d Tabla N.4 logbx=d

b | x | d | | b | x | d |

10 | 22 | 1.342422681 | | 10 | 22 | 1.342422681 |

9 | 20 | 1.363416514 | | 9 | 20 | 1.363416514 |

8 | 18 | 1.389975 | | 8 | 18 | 1.389975 |

7 | 16 | 1.424828748 | | 7 | 16 | 1.424828748 |

6 | 14 | 1.47288594 | | 6 | 14 | 1.47288594 |

5 | 12 | 1.543959311 | | 5 | 12 | 1.543959311 |

4 | 11 | 1.729715809 | | 4 | 11 | 1.729715809 |

3 | 9 | 2 | | 3 | 9 | 2 |

2 | 7 | 2.807354922 | | 2 | 7 | 2.807354922 |

1 | 5 | #¡DIV/0! | | 1 | 5 | #¡DIV/0! |

0 | 3 | #¡NUM! | | 0 | 3 | #¡NUM! |

3 | 0 | #¡NUM! | | 3 | 0 | #¡NUM! |

-1 | 3 | #¡NUM! | | 1 | -3 | #¡NUM! |

-2 | 5 | #¡NUM! | | 2 | -5 | #¡NUM! |

-3 | 7 | #¡NUM! | | 3 | -7 | #¡NUM! |

Page 16: Bases de Logaritmos

-4 | 9 | #¡NUM! | | 4 | -9 | #¡NUM! |

-5 | 11 | #¡NUM! | | 5 | -11 | #¡NUM! |

6 | 1 | 0 | | 7 | 1 | 0 |

Reemplazando (a), (b) y (x) por distintos valores podemos ver las siguientes limitaciones que hacen que el logaritmo tenga un Valor IMPOSIBLE:

Bases (a) o (b) del Logaritmo

a ≠ Números NEGATIVOS b ≠ Números NEGATIVOS

a ≠ 0 b ≠ 0

a ≠ 1 b ≠ 1

a > 1 b>1

a ϵ R+>1 b ϵ R+>1

Argumento (x) del Logaritmo

x ≠ Números NEGATIVOS

x ≠ 0

x ≥ 1

x ϵ R+

Así podemos ver que las bases de un logaritmo no pueden ser igual a números enteros NEGATIVOS, ni a 0 ni tampoco a 1, ya que el valor del logaritmo sería IMPOSIBLE.

Esto se debe a que como la función logarítmica es la inversa a la exponencial tendríamos:

log-28=c ↔ -2c=8 ↔ valor de (c) imposible

log08=c ↔ 0c=8 ↔ Valor de (c) imposible

Page 17: Bases de Logaritmos

log18=c ↔ 1c=8 ↔ Valor de (c) imposible

Y también vemos que el argumento de un logaritmo no puede ser igual a números enteros Negativos, ni a 0. Todo logaritmo con argumento (x) igual a 1 en una base (b) igual a números reales positivos, tiene un valor (c) igual a 0.

Comprobando:

log2-8=c ↔ 2c=-8 ↔ Valor de (c) imposible

log20=c ↔ 2c=0 ↔ Valor de (c) imposible

log21=c ↔ 2c=1 ↔ c = 0 (Todo numero elevado a 0 es igual a 1)

Todas estas limitaciones valen también para nuestra formula general cdd+clogxx=y, ya que esta está compuesta por logaritmos y por consiguiente también de exponenciales. El valor (y) de nuestra formula nunca será posible si en la formula encontramos alguno de los ejemplos anteriores que mencionamos en las limitaciones.

Utilizamos la calculadora Texas Instrument TI-84 Plus para poder hacer nuestros cálculos en este trabajo.

Conclusión:

Este trabajo de Bases de Logaritmos nos ayudo a trabajar nuestro dominio de los temas de progresiones y funciones exponenciales y logarítmicas. Para poder resolver los ejercicios presentados en esta tarea de matemáticas NM del tipo I se tuvo que utilizar los conocimientos básicos de los temas ya mencionados, los cuales fueron aprendidos y ejercitados en los pasados años escolares.

No obstante se tuvo que dar un pequeño repaso a distintas propiedades requeridas para resolver los problemas y se necesito ayuda de la navegación en internet para investigar más profundamente sobre el tema del trabajo.

Page 18: Bases de Logaritmos

En lo personal podría decir que este trabajo, siendo el primero en matemáticas para el Programa IB, fue extenso y difícil porque tuve que implementar varios conocimientos para poder llegar a mis conclusiones ya que no solo se trata de resolver operaciones matemáticas, sino también de explicarlas y justificarlas. Además que tuve que aprender a usar algunos métodos tecnológicos para poder justificar algunas respuestas en esta tarea.

Fuera de eso aprendí más soabre las bases de logaritmos, valiéndome de mis propios conocimientos, algo que encontré realmente interesante, didáctico y muy provechoso para el desarrollo de la lógica.

TAREA TIPO I MATEMÁTICAS NM BASES DE LOS LOGARITMOS SOLUCIÓN

Considere las siguientes progresiones. Escriba los siguientes dos términos de cada progresión. log2 8, log48, log8 8, log168, log32 8, … Los dos siguientes términos de esta progresión serán log648, log1288 puesto que los términos de esta progresión son los logaritmos de 8 en base las potencias sucesivas de 2. log3 81, log981, log27 81, log8181, … En este caso los siguientes términos son log24381, log72981. Se trata de los logaritmos de 81 en base las potencias sucesivas de 3. log5 25, log2525, log125 25, log62525, … Los dos siguientes términos son log312525, log1562525, pues son los logaritmos de 25 en base las potencias sucesivas de 5.

En este último caso más general, es obvio que los dos siguientes términos son ,ya que, siguiendo el mismo patrón que en los tres primeros casos, se trata de los logaritmos de mk en base las sucesivas potencias de m. Halle una expresión para calcular el término n-ésimo de cada progresión. Escriba las expresiones en la forma p/q donde p, q Z. Justifique sus respuestas, utilizando para ello algún medio tecnológico. Definición de logaritmo: loga X = b ab = X, siendo a >0, a 1.

De la propia definición, se extrae que X debe ser un número real positivo y distinto de cero, debido a que la base del logaritmo lo es. Primera progresión Término n-ésimo: an = Usando la definición de logaritmo anterior,

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Es decir, tenemos que an= y es obvio que 3, n posición del término de la progresión. Segunda progresión Término n-ésimo: an = Usando la definición de logaritmo anterior,

Z. Es más, 3, n

N, ya que n es el valor de la

Es decir, tenemos que an= y es obvio que 4, n posición del término de la progresión. Tercera progresión Término n-ésimo: an = Usando la definición de logaritmo anterior,

Z. Es más, 4, n

N, ya que n es el valor de la

Es decir, tenemos que an= y es obvio que 2, n posición del término de la progresión. Progresión general Término n-ésimo: an = Usando la definición de logaritmo anterior,

Z. Es más, 2, n

N, ya que n es el valor de la

Es decir, tenemos que an= y es obvio que k, n

Z siempre que k

Z. Z.

Ahora calcule lo siguiente, dando sus respuestas en la forma p/q donde p, q log4 64, log864, log32 64

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Para responder a esta cuestión, tendremos en cuenta la propiedad del cambio de base de los logaritmos que dice que: donde b >0, b 1

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En nuestro caso, observamos que tanto la base de los logaritmos como el argumento de los mismos son potencias enteras de base 2, por tanto, vamos a aplicar esta propiedad de los logaritmos, siendo b = 2 para conseguir un número racional. log4 64 = log8 64= log32 64 =

log7 49, log49 49, log343 49 En este caso, tanto la base de los logaritmos como el argumento de los mismos son potencias enteras de base 7, por tanto, vamos a aplicar la propiedad mencionada con b = 7 en el último caso, ya que los dos primeros son evidentes a partir de la definición de logaritmo, para conseguir en numerador y denominador números enteros. log7 49 = 2 ya que 72 = 49 log49 49 = 1 ya que 491= 49 log343 49

En este caso, tanto la base de los logaritmos como el argumento de los mismos son potencias enteras de base 5, por tanto, vamos a aplicar la propiedad mencionada con b = 5, para conseguir en numerador y denominador números enteros. =

log8512,log2512, log16 512 En este último caso, tanto la base de los logaritmos como el argumento de los mismos son potencias enteras de base 2 y es por ello por lo que la propiedad mencionada la aplicaremos con b = 2, log8 512 =

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log2 512 = log16 512 =

Describa cómo se puede obtener la tercera respuesta de cada fila a partir de las dos primeras respuestas . Cree otros dos ejemplos que sigan también el patrón anterior. En los cuatro casos, la tercera respuesta de cada fila se obtiene a partir de las dos primeras multiplicando las bases de estas. Es decir, la base de la tercera respuesta es el producto de las bases de la primera y la segunda y el argumento es el mismo en los tres casos. Tal y como se ha comentado, en todos los casos, las bases de los logaritmos y los argumentos son potencias enteras de una misma base. Tendremos esto en cuenta para crear los dos ejemplos pedidos: log3 27, log27 27, log81 27 log11121, log121121, log1331 121 Sea loga x = c y logb x = d. Halle la proposición general que exprese log ab x, en función de c y de d. Compruebe la validez de la proposición general que ha obtenido, utilizando para ello otros valores de a, b, y x. Analice el alcance y/o las limitaciones de a, b y x. Explique cómo obtuvo la proposición general. Partiendo de la definición de logaritmo tenemos que: loga x = c logb x = d Supongamos que logab x = y e intentemos expresar el valor de y en función de c y d usando la definición de logaritmo y las relaciones obtenidas: logab x = y

Es decir, logab x

.

Comprobemos que se cumple esta proposición general utilizando los ejemplos del enunciado: loga x = c log4 64 = 3 log7 49 = 2 log864 = 2 log49 49 = 1 logb x = d log32 64 = log343 49 = logab x

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log8512 =3

log2512= 9

log16 512

(S3) (Sm) Halle una expresión para calcular el término enésimo de cada progresión. Escriba las expresiones en la forma donde p, q Z. Justifique sus respuestas, utilizando para ello algún medio tecnológico. qp Para hallar el término general de cada sucesión, tendremos en cuenta lo anteriormente citado: lo único que varía en cada serie de logaritmos son los exponentes de la base. Tras esto, si factorizamos tanto las bases como los argumentos, podemos concluir que en cada sucesión siempre existe un número x (2, 3, 5), el cual se eleva a un exponente. También se observa que los argumentos siempre están elevados a un mismo número k. En cambio, los exponentes de las bases son diferentes, pero siguen una sucesión sencilla, la cual nos permitirá para hallar el término general de cada sucesión. De esta forma, podemos resumir todo lo dicho en la siguiente tabla: (Tabla #1) Sucesión

Bases Factorización de las bases

Término gral. de las bases

Término gral. de la sucesión

S1 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

21, 22, 23, 24, 25, …

2n

S2 3, 9, 27, 81, 243, 729, …

31, 32, 33, 34, 35, …

3n

S3 5, 25, 125, 625, 3125, …

51, 52, 53, 54, 55, …

5n

: : : : : Sm m1, m2, m3, m4,

m5, … m1, m2, m3, m4, … mn