ma25 logaritmos, función logarítmica

8/18/2019 MA25 Logaritmos, Función Logarítmica

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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 21

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA

DEFINICIÓN

El logaritmo de un número real positivo b en base a, positiva y distinta de 1, es el númerom a que se debe elevar la base para obtener dicho número.

OBSERVACIONES: La expresión loga b = m se lee “el logaritmo de b en base a es m”. El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. log10 a = log a

CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO

EJEMPLOS

1.3

log 243 = 5 expresado en forma exponencial es

A) 53 = 243

B) 155 = 243

C) 15243 = 3

D) 35 = 243

E) 243-5 = 13

C u r s o: Matemática

Material N° 25

loga b = m ⇔⇔⇔⇔ am = b , b >>>> 0 , 1 ≠≠≠≠ a >>>> 0

loga 1 = 0 loga a = 1 loga am = m


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2

2. Exprese en forma logarítmica la siguiente igualdad 43 = 64.

A)

4log 64 = 3

B) 64log 3 = 4

C) 3

log 64 = 4

D) 14

log 64 = 3

E) 1

3

log 4 = 64

3. 5 log (2 · 2-1) =

A) 1B)

2C) 0D) 5E) 10

4.a

log 3 2

2

a + 2a + a

(a + 1) =

A) 1B) a2 C) aD) a + 1E) a2 + a

5.2

log14

=

A)

2

B) 12

C) 4

2

D) - 12

E) -2


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3

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Sean b > 0, c > 0, 1 ≠ a > 0

LOGARITMO DE UN PRODUCTO

LOGARITMO DE UN CUOCIENTE

EJEMPLOS

1.4 4

log 8 + log 5 =

A) 4

log 10

B) 4 ·4

log 10

C) 4 4

log 8 · log 5

D) 4

log 40

E)

4log 13

2. Si −3 3log a log b = 2, el cuociente ab es igual a

A) 6B) 8C)

9D) 27E) 81

3. La expresión log 5 – log 2 + log 6 escrita como el logaritmo de un número es

A) log 9B)

log 15

C) log58

D) log 54

E) log 512

loga (b · c) = loga b + loga c

loga bc

= loga b – loga c


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4

4. El desarrollo logarítmico de5x4y

es

A) log 5 + log x – log 4 + log yB)

log 5 – log 4 + log x – log y

C) log 5 + log 4 – log x – log yD) log(5 + x) – log(4 + y)E) log 9 + log x – log y

5.2 2

log 32 log 64− =

A) -32B) 32C)

-1

D) 2log (-32) E)

2log 32

6.3 3 3

log 81 log 243 + log 9− =

A) -1B) 2C) 3

D) 3

log 1

E) 3

log 3

7. logx yx + y

− =

A) log (-2y)B) -2 log y

C) log (x y)log (x + y)

−

D) log (x – y) – log (x + y)

E) 1x + y

log (x – y)


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5

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

LOGARITMO DE UNA RAÍZ

CAMBIO DE BASE

EJEMPLOS

1.3

1log

27 =

A) 9

B) 3C)

13

D) -13

E) -3

2.3

3log 3 =

A) 13

B) 1C)

3D) 9

E) 19

loga bn = n loga b

loga n

b = 1n

loga b, con n >>>> 0

c

ac

log b

log b = log a


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6

3. -3

1 log 64

2 =

A) -3

log 8

B) -3

log 32

C) - 23

log 64

D) 12

3log 64

E) 23

log 64

4. log [(a + b) a + b ]=

A)

3log (a + b)2

B)

log 3 a2

+ 2 log b

C) 32

log a +32

log b

D) 3 log (a + b)2

E)

12

log (a + b)2

5. El valor de la expresión64 3

log 4 + log 81 es

A) 11

B) 133

C) log2716

D) log 8567

E) 3

81log

16


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7

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una función f definida por sedenomina

función logarítmica.

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

i) f(x) = log2 x

ii) f(x) = 12

log x

En los gráficos se puede observar que:

La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0).

Si a > 1, entonces f(x) = loga x es creciente.

Si 0 >> 0

x18

14

12

1 2 4 8

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

x18

14

12

1 2 4 8

f(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3

-2

2

1 2 3 4

y

x

3

f(x) = 12

log x

-1

-2

-3

2

1 2 3 4

y

x

f(x) = log2 x


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8

2. El punto (2, 1) pertenece a la función

A) f(x) = log xB)

f(x) = log x – 2C) f(x) = log (x – 1)D) f(x) = log (5x)E) f(x) = log (x + 1)

3. Si g(x) =x

log (14 + x) , entonces g(2) es 2 elevado a

A) 1B)

2C) 4

D) 8E) 16

4. Respecto a la función f(x) = 12

log (x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es

(son) falsa(s)?

I) Si f(x) = -2, entonces x = 3.II) Si x = 15, entonces f(x) = -4

III) Si f(x) = 2, entonces x = 1

A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III


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EJERCICIOS

1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a log 12?

I) 2 log 2 + log 3II) 4 log 3

III) log 48 + log 3

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE)

Sólo II y III

2. El valor de(-5)

log 25 es

A)

-5B) -2C) 2D) 5E) no está definido en los reales.

3. Si2

log (3x 5)− = 0, el valor de x es

A) -1B)

0C) 1D) 2E) 6

4. Si3

log (b + 1) = 2, entonces b es igual a

A) 2B) 5C)

8D) 9E) 10

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a log 48?

A) log 40 + log 8B) log 6 · log 8C) 3 log 16D) 2 log 20 + log 8E) log 6 + log 8


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10

6. Sic

1log = 3

27, entonces el valor de c es

A) -3

B) - 1

3

C) 9D) 3

E) 13

7. En la expresión8

log 2 = x , el valor de x es

A) -3

B)

-

1

3 C) 1

3

D)

23

E) 3

8. Si m – 5 = 46 6

(log 3 + log 2) , entonces m es

A) 6log 5

B) 1C) 2D)

4E) 9

9. log ( 7 )5 =

A) 5

log 72

B) 7

5 log2

C) log10

7 D) log 35

E) 7 log 5


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11

10. 3

2 5

log 81 =

1log + log 125

64

A) - 4

3

B) - 49

C) 911

D) 49

E) 43

11. 15

log (25 · 5 5 ) =

A) - 35

B) -115

C) - 25

D) 25

E) 115

12.t t t

log K log S log U− − =

A) t t

Slog K log

U−

B) t t

log (K S) log U− −

C) KUlog S

D) t

Klog U

S −

E) t

Klog

SU


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12

13. Dadas las siguientes expresiones:

I) a a a

log 1 · log b = log b

II) 1a

log (a) < 0

III) a a alog b · log a = log (b · a)

Determine ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

14. Si4a

log 64 = 2 , entonces 2a es

A) -4B) -2C) ±4D) 2E) 4

15. ¿Cuál de las siguientes figuras representa al gráfico de la función g(x) =2

log x + 1?

A) B) C)

D) E)

1-1

12

x

y

3

1

1

x

y

21 3 4

2

3

1

x

y

21 3 4

2

3

x

y

2112

1

2

2

x

y

2

1

12


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13

16. Dada la función f(x) =5

log (x 3)− , su representación gráfica es

A) B) C)

D) E)

17. El gráfico de la figura 1 representa la función

A) y = 110

log x

B) y =110

log (x 1)−

C) y =110

log x 1−

D) y =110

log (x 2)−

E) y =110

log x 2−

18. Si g(x) =(x 3)

log−

(75 + x), entonces g(6) =

A) 3B) 4C) 27D) 81E)

3 3log 75 + log 6

19. Respecto a la función f(x) =3

log (4x – 7), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones

es (son) verdadera(s)?

I) f(4) = 2II) Intersecta al eje x en (1,0).III) f es decreciente.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

y

x3

y

x

3

y

x2

y

x-3

y

x1

-1

fig. 1

y

x43


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14

20. Dada la proporción “a es a b” como “2 es a 4” con a positivo, entonces

2 2log a + log (b-1) =

A) -1B) 0

C) 12

D) 1E) 2

21. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) log a · log b = log (a + b)

II) log (a – b) =log alog b

III)

log a2

= log a + log a

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Ninguna de ellas

22. Si log 300 = 2,47, entonces log 30 es

A) 0,147B) 0,247C) 1,47D) 3,47E) 24,7

23. Si 2 log b = 3, entonces log 3 b =

A) 33

2

B) 12

C) 29

D) 92

E) 274


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15

24. Si3

alog 2 =

b, entonces

3log 54 es

A) a + 3bb

B) a + 9b

b

C) a + 3b

D) 9ab

E) 3ab

25. Si log x – z = log y – log x, entonces y =

A)

10

-z

B) 10zx2

C) 2

z

x

10

D) z

2x

10

E) z

2

10

x

26. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real a · log (b · c) · log c si:

(1) b = c-1

(2) c = 10

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. Se puede determinar el valor numérico de la expresión real log a + log b si se sabe que:

(1) a · b = 1000

(2) a + b = 110



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28. El gráfico de la función real f(x) =a

log x es decreciente si :

(1) a > 0(2) a < 1


29. Se puede determinar el valor delog clog b

si :

(1) log c – log b = 1(2) c = b2


30. Se puede determinar el valor de log 30 si se conoce:

(1) El valor de log 3.(2) El valor de log 5.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

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