UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREALFacultad de Ingeniera Geogrfica, Ambiental y EcoturismoEscuela Profesional de Ingeniera Ambiental

Tema:Funcin exponencial y logartmica Frmulas bsicas de integracin. Teoremas

Integrantes:Canchaya Salinas, Dianna BettyCriales Crdova, Arleth Jossy Huaraca Chvez, Wendy Lizet

Profesor: Mg. Mario L. Pimentel Valverde

Curso: Clculo III

Seccin: M A / B3-1

2014

UNIDAD II: INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIN TRASCENDENTEDefinicin.- Es unafuncinque no satisface unaecuacin polinmicacuyos coeficientes sean a su vezpolinomios; esto contrasta con lasfunciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuacin.En otras palabras, unafuncin trascendentees una funcin que trasciende allgebraen el sentido que no puede ser expresada en trminos de una secuencia finita deoperaciones algebraicasdesuma,restayextraccin de races. Una funcin de una variable es trascendente si esindependiente en un sentido algebraicode dicha variable.FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA

FUNCIN EXPONENCIALa) Funcin exponencial de base A positiva.-Sea:

OBSERVACIN.- Del grafico se observa que:

1.

2.

3.

4.

TEOREMA: Derivada de la funcin exponencial natural

i) ii)

INTEGRACIN DE UNA FUNCIN EXPONENCIAL NATURAL

Casos de Integracin de una funcin exponencial

Integracin por partes del producto de polinomio por exponencialLas funciones exponenciales multiplicadas por una expresin en x se integran por partes.En este caso elegir como u la funcin polinomio. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Integracin por partes del producto de una funcin trigonomtrica por una exponencialLas funciones exponenciales multiplicadas por la funcin seno o coseno se integran por partes y las funciones u y dv se eligen de cualquier forma; as tenemos para nuestro caso:EJERCICIO (A)

EJERCICIO (B)

EXPONENCIALES EN OTRAS BASESLas funciones estudiadas anterior mente fuero las funciones exponencial natural y logartmica natural, las cuales tienes base e. Ahora se tratara funciones exponenciales con otras bases.Recuerde que si a > 0, entonces:

Definicin de funcin exponencial en base a:Si a es cualquier nmero real positivo y x es cualquier nmero real entonces la funcin f definida por:

Se denomina funcin exponencial en base a.La funcin exponencial de base a satisface las mismas propiedades que la funcin exponencial natural.CARACTERISTICAS:1)

2)

3) 4)

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Por tanto:

Ejemplo 5:

Por tanto:

Ejemplo 6:

Por tanto:

Ejemplo 7:

FUNCIN LOGARTMICAUna de las funciones ms importantes del anlisis matemtico es la funcin LOGARITMO NATURAL, denotada por y que se define en base a la grafica de la curva , para0 solamente, de la siguiente manera:

CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIN

1. La funcin est definida solamente para 2. De las figuras: si (rea nula entre 1 y 1) 3. , entonces es positivo 4. Si , entonces es negativo; como

NOTA: esta funcin tambin se le llama LOGARITMO NEPERIANO.Derivada de la funcin logartmica naturalEsta es una tcnica muy eficaz para calcular la derivada de expresiones que contengan PRODUCTOS, COCIENTES, POTENCIAS y/o RADICALES.

Indicaremos los pases que se siguen mediante un ejemplo; as, si queremos hallar la derivada de donde;

1. Aplicamos la funcin LOGARITMO NATURAL a ambos miembros, asumiendo que cada funcin involucrada es positiva, y usamos las propiedades de logaritmo:

2. Derivamos implcitamente respecto a la variable independiente, x en este caso. Es decir, aplicamos el operador en ambos miembros y obtenemos

3. Y por ltimo despejamos pasando el denominador a multiplicar a todo el 2do miembro.

NOTA: En el caso de tener algn factor que tome valores negativos, solamente se modifica el 1er PASO tomando LOGARITMO NATURAL al VALOR ABSOLUTO de ambos miembros. Sin embargo, esto no altera en nada los dos pasos siguientes debido a la siguiente propiedad de la derivada:

Este hecho hace que no sea necesario preocuparse por el signo de cada factor cuando se aplica esta tcnica.

PROPIEDADES DE LA FUNCIN LOGARITMO

Las propiedades de la funcin logaritmo ya se mencionaron con anterioridad, pero a continuacin se demostrara una propiedad mediante derivadas.

Propiedad 1:

Para todo tal que y diferenciable

Sea por la regla de la cadena:

Propiedad 2:Si son nmeros positivos, entonces

Propiedad 3:Si , entonces

TEOREMA:Para todo

NOTA: Del teorema I y II se sigue que:

INTEGRACIN DE UNA FUNCIN LOGARTMICA NATURALIntegracin por partes del producto de polinomio por una funcin logartmicaLa integracin por partes se aplica cuando el integrado se encuentra el producto de dos funciones.

Donde son funciones.Ejemplos:

Haciendo integrado por partesEjemplo 1:

Por sustitucin:

Reemplazando x en I:

Aplicando integracin por partes:

Reemplazando t en I:

Ejemplo 2:

Aplicando integracin por partes:

EJERCICIO (A)

EJERCICIO (B)