función exponencial, 8 logarítmica y trigono-...

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Unidad 8: Función exponencial y logarítmica

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8Función exponencial, logarítmica y trigono-métrica

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ESQUEMA

Algunas enfermedades adquieren carácter epidémico cuando afectan a numerosas personas al mismo tiempo,

y el crecimiento del número de afectados suele ser exponencial.

ACTIVIDAD



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John Neper y los logaritmos

Busca en la web

Enlace a la biografía de

John Neper

Historia de los logaritmos

Los logaritmos se hallan presentes en numerosas situaciones de la vida real y son una herramienta

muy utilizada en contextos científicos.

http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/matematicos/neper.htm


http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/penelope/es_conflefort.htm


http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/penelope/es_conflefort.htm



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Esquema de contenidos

Función exponencial y logarítmica

Función exponencial

Tipo

Otras

Interés compuesto

Función inversa

Logaritmos

Función logarítmica

y=ax



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La función exponencial es del tipo:

donde a es un número real positivo y distinto de 1 ( a > 0 y a ≠ 1).

y=ax

• La imagen de 0 vale 1 : (0,1)

• La imagen de 1 vale a: (1,a)

• La función es creciente si a > 1

• La función es decreciente si 0 < a < 1

SIGUIENTE



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Representamos: y=2x y= 12

x

x -3 -2 -1 0 1 2 3

0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

8 4 2 1 0,5 0,25 0,125

y=2x

y= 12

x

SIGUIENTE



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Las funciones del tipo :

con k un número cualquiera distinto de 0, son de forma exponencial, donde la base es .

y=ak⋅x

ak

y=ak⋅x=ak x

k=2

k=12

SIGUIENTE



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Las funciones

son del tipo exponencial.

y=axb

Las funciones


y=axb

SIGUIENTE



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Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente:

b unidades hacia arriba si b es positivo.

b unidades hacia abajo si b es negativo.

y=ax

Las funciones


y=axb

Las funciones


y=axb

SIGUIENTE



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Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior horizontalmente:

b unidades a la izquierda si b es positivo.

b unidades a la derecha si b es negativo.

y=ax

Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente:

b unidades hacia arriba si b es positivo.

b unidades hacia abajo si b es negativo.

y=ax

Las funciones


y=axb

Las funciones


y=axb

SIGUIENTE



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Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.

y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−5−4

SIGUIENTE



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y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6

SIGUIENTE



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y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6

5 unidades abajo

SIGUIENTE



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y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6

5 unidades abajo

5 unidades derecha

SIGUIENTE



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y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6

6 unidades abajo

6 unidades derecha

5 unidades abajo

5 unidades derecha

SIGUIENTE



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Interés compuesto

El capital final, Cf, obtenido al invertir un capital C a un rédito r durante un tiempo t a interés compuesto, es:

C f=C⋅1 r100

r

Para calcular el capital que tenemos en cada momento,

conocidos el capital C y el rédito r, en función del tiempo t, se puede

considerar la fórmula anterior como una función de tipo

exponencial donde la variable dependiente es Cf y la variable

independiente es el tiempo transcurrido.

SIGUIENTE



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Interés compuesto

El capital final, Cf, obtenido al invertir un capital C a un rédito r durante un tiempo t a interés compuesto, es:

C f=C⋅1 r100

r

Para calcular el capital que tenemos en cada momento,

conocidos el capital C y el rédito r, en función del tiempo t, se puede

considerar la fórmula anterior como una función de tipo

exponencial donde la variable dependiente es Cf y la variable

independiente es el tiempo transcurrido.



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Logaritmos

Dados dos números reales positivos a y b ( a ≠ 0), el logaritmo en base a de b es el exponente al que hay que elevar a para que el resultado sea b.

logab=c ac=b

Cuando los logaritmos son de base 10 se llaman logaritmos decimales.

Cuando los logaritmos son de base el número e = 2,7182… se llaman logaritmos neperianos.

log10102=log 102

=2loge e

3=ln e3

=3

SIGUIENTE



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Logaritmos

Calcular los siguientes logaritmos:

a log2 8

b log 0 ,001

SIGUIENTE



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Logaritmos


log2 8=x 2x=8

a log2 8

b log 0 ,001

SIGUIENTE



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Logaritmos


log2 8=x 2x=8 2x=23descom ponem os8 en potencias de 2

a log2 8

b log 0 ,001

SIGUIENTE



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Logaritmos


log2 8=x 2x=8 2x=23

x=3

a log2 8

b log 0 ,001

descom ponem os8 en potencias de 2

log2 8=3

SIGUIENTE



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Logaritmos


log2 8=x 2x=8 2x=23

x=3

log 0 ,001 =x 10x= 0,001

a log2 8

b log 0 ,001


log2 8=3

SIGUIENTE



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Logaritmos


log2 8=x 2x=8 2x=23

x=3

log 0 ,001 =x 10 de potencias en

,0010 descomponemos

10x= 10-4

a log2 8

b log 0 ,001

10x= 0,001


log2 8=3

SIGUIENTE



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Logaritmos


log2 8=x 2x=8 2x=23

x=3

log 0 ,001 =x

10x= 10-4 x=−4

log 0 ,001=−4

a log2 8

b log 0 ,001

10 de potencias en

,0010 descomponemos10x= 0,001

log2 8=3


SIGUIENTE



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Propiedades de los logaritmos

LOGARITMO DE: PROPIEDAD

UN PRODUCTO

UN COCIENTE

UNA POTENCIA

LA UNIDAD

CAMBIO DE BASE

loga b⋅c = loga bloga c

loga bc =loga b−loga c

loga bn=n⋅loga b

loga 1=0

loga b=logcb

logca

SIGUIENTE



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a log4 128

b log 0 ,1log 100

SIGUIENTE



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log 4 128=log4 27 =log 4 26⋅2 =log4 22 3⋅2 = log4 43⋅2 =

=log 4 43 log 4 2=3 log 4 4log 4 4=3log4 4

12=3

12

log 4 4=312=

52

a log4 128

b log 0 ,1log 100

SIGUIENTE



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log 0,1 log 100= log 10-2 log102

=−2 log102 log10==−22=0

a log4 128

b log 0 ,1log 100

log 4 128=log4 27 =log 4 26⋅2 =log4 22 3⋅2 = log4 43⋅2 =

=log 4 43 log 4 2=3 log 4 4log 4 4=3log4 4

12=3

12

log 4 4=312=

52

SIGUIENTE



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Una función logarítmica es del tipo:

donde a es un número real positivo, a > 0, y distinto de 1 (a ≠ 1).

y=f x =loga x

Esta función verifica que:

• El logaritmo solo existe para valores positivos.

Dom f = ( 0, +∞).

• La imagen de 1 es 0, pasa por (1,0), ya que

• La imagen de a es 1, pasa por (a,1), ya que

• La función es creciente cuando a > 1 y es decreciente cuando a < 1.

loga 1=0

loga a=1

SIGUIENTE



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f x =ln 3 x

f x =ln x3

f x =ln 3 x3

SIGUIENTE



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f x =ln 3 x

f x =ln x3

f x =ln 3 x3



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Función inversa

Una gráfica es inversa de otra cuando ambas son simétricas respectivamente de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Otra forma de averiguar que dos gráficas son inversas es comprobando que si el punto (a , b) pertenece a la gráfica de la primera función, entonces (b , a) pertenecerá a la gráfica de la segunda.

SIGUIENTE



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Función inversa

¿Son inversas las funciones siguientes?

f x =2x g x = log2 x

SIGUIENTE



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Función inversa



x f ( x ) g ( x )

−3 0,125

−2 0,25

−1 0,5

0 1

1 2 0

2 4 1

3 8 1,58

SIGUIENTE



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Función inversa



Son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, por lo que son

INVERSAS.

x f ( x ) g ( x )

−3 0,125

−2 0,25

−1 0,5

0 1

1 2 0

2 4 1

3 8 1,58



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Función definida a trozos

La expresión analítica requiere de varias fórmulas, cada una de las cuales rige el comportamiento de f(x) en un cierto tramo. Ejemplo:

f x ={x si x≤21 si x2

y=sgn x ={1 si x00 si x=0−1 si x0



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Función valor absoluto

f x =∣x∣={ x si x≥0−x si x0



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Función parte entera

La parte entera de un número y=E(x) = [x] , se define como el primer número entero menor o igual que él.

La función y= x-[x] se denomina parte decimal.



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Función trigonométrica: seno

* Dom f = R

* Como Im f = [-1,1]−1≤sen x≤1

* Periodo T= 2 sen x=sen x2k, k∈ℝ

* Máximos en Mínimos en22k , k∈ℝ 3

22k , k∈ℝ

* Impar: f(-x)=sen (-x)= - sen x=- f(x). Es simétrica respecto del origen de coordenadas

y=f x =sen x



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Función trigonométrica: coseno

* Dom f = R

* Como Im f = [-1,1]−1≤cos x≤1

* Periodo T= 2 sen x=cos x2k, k∈ℝ

* Máximos en Mínimos en02k , k∈ℝ 2k , k∈ℝ

* Par: f(-x)=cos (-x)= cos x= f(x). Es simétrica respecto del eje Y.

y=f x =cos x



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Función trigonométrica:tangente

* Dom f = La tg x no está definida si cos x= 0

* Como Im f = [-1,1]−1≤cos x≤1

* Periodo T= tg x=tgxk, k∈ℝ

* Es siempre creciente

* Impar: f(-x)=tg (-x)= -tg x= -f(x). Es simétrica respecto del (0,0).

ℝ−{2 k , k∈ℤ}

tg x=sen xcos x



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Función trigonométrica: inversas

* Dom f = La tg x no está definida si cos x= 0

* Como Im f = [-1,1]−1≤cos x≤1

* Periodo T= tg x=tgxk, k∈ℝ

* Es siempre creciente

* Impar: f(-x)=tg (-x)= -tg x= -f(x). Es simétrica respecto del (0,0).

ℝ−{2 k , k∈ℤ}

tg x=sen xcos x



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Ayuda el alumno

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La revista “Números”

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Enlaces de interés

http://www.aplusmath.com/

http://www.sinewton.org/numeros/













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Actividad: La velocidad y el tiempo, magnitudes inversas

En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad del programa Excel usa la proporcionalidad inversa de la relación velocidad-tiempo.

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección:

http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4c.htm




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