matemática. funciones y probabilidades · • funciÓn exponencial y funciÓn logarÍtmica •...

Matemática.Funciones y probabilidades

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MatemáticaMatemática

• TRIGONOMETRÍA • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS• FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

• CÓNICAS • LÍMITE Y CONTINUIDAD• CÁLCULO COMBINATORIO • PROBABILIDAD

FUNCIONES Y PROBABILIDADES

Irene Marchetti de De Simone / Margarita García de Turner

M2_Prelimin(I-VII).qxd:M2_Prelimin(I-VII).qxd 2/2/12 13:07 Página III

©A-Z editora S. A.Montenegro 1335 (C1427ANA)Ciudad Autónoma de Buenos Aires, ArgentinaTel.: (054 11) 4552-0505/[email protected]

Libro de edición argentinaHecho el depósito según la Ley 11.723Derechos reservados

Turner, Margarita, Matemática, funciones y probabilidades / Turner,

Margarita. - 1a ed. . 2a reimp. - Ciudad Autónoma deBuenos Aires : AZ, 2016.

208 p. ; 28 x 21 cm.

ISBN 978-950-534-814-5

1. Matemática. I. Título.CDD 515

En esta obra, creada y diseñada por el Departamento Editorial de A-Z editora S. A., participó el siguiente equipo:

EDICIÓN: Equipo de edición A-ZDISEÑO DE TAPA E INTERIORES Y DIAGRAMACIÓN: Equipo de diseño A-Z

La reproducción total o parcial de este libro –en forma textual o modificada, por fotocopiado, medios informáticos o cualquier procedimiento– sin el permiso previo por escrito de la editorial, viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

1.a edición: enero de 20061.a reimpresión: febrero de 20122.a reimpresión: enero de 2016

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V

1.TRIGONOMETRÍA

Introducción ............................................................ 1

1.1 VECTORES. REVISIÓN.................................... 1Producto escalar. Definición ................................... 2Expresión del producto escalar mediante

las componentes de los vectores ........................... 2

1.2 FÓRMULAS DE ADICIÓN................................. 4Cálculo de cos (α - β) ............................................. 4

Para ejercitar ........................................................... 5

1.3 NÚMEROS COMPLEJOS ............................... 11Forma trigonométrica de un número

complejo .............................................................. 11Operaciones con números complejos

en forma trigonométrica ......................................13Raíces de los números complejos ......................... 15

Para ejercitar ......................................................... 16Para recordar ......................................................... 17

2.FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Introducción .......................................................... 19

2.1 FUNCIÓN SENO ............................................ 20

2.2 FUNCIÓN COSENO ....................................... 25

Para ejercitar ........................................................ 30

2.3 FUNCIONES TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE ............................. 33

Función tangente ................................................... 33Función cotangente ............................................... 34Funciones: secante y cosecante............................. 35

Para ejercitar ......................................................... 36

2.4 FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS ........ 37Arco seno .............................................................. 37Arco coseno........................................................... 38Arco tangente ........................................................ 39


3.FUNCIÓN EXPONENCIALY FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Introducción .......................................................... 43

3.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL ............................. 43Variación de a en la función y = ax ....................... 44Estudio de la función y = K . ax ........................... 45Variación de K en la función y = K . ax .................45

3.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA .............................. 46Estudio de la función y = logax............................. 47Representación de funciones en papel

semilogarítmico................................................... 48

3.3 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS .......................................... 52


4.CÓNICAS

Introducción .......................................................... 59

4.1 FUNCIONES IRRACIONALES........................ 60

4.2 CÓNICAS ........................................................ 61Circunferencia ....................................................... 61

ÍNDICE

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4.3 ELIPSE ............................................................ 65Elementos principales de la elipse ....................... 65Ecuación de la elipse ............................................ 66

4.4 HIPÉRBOLA ................................................... 71Elementos principales de la hipérbola .................. 71Ecuación de la hipérbola. Asíntotas ...................... 72Hipérbola equilátera .............................................. 75

4.5 PARÁBOLA ..................................................... 76Elementos principales de la parábola.................... 76Ecuación de la parábola ........................................ 77

4.6 ECUACIONES E INECUACIONES IRRACIONALES.............................................. 81

Inecuaciones .......................................................... 82


5.LÍMITE Y CONTINUIDAD

Introducción .......................................................... 91

5.1 INTERVALOS .................................................. 91Intervalos infinitos................................................. 92Entorno de un punto a, de radio δ ........................ 93Entorno reducido e un punto a, de radio δ ........... 93

Para ejercitar ......................................................... 94

5.2 NOCIÓN DE LÍMITE ....................................... 95Propiedades de los límites .................................. 102Límites infinitos .................................................. 104Límite para x → ∞ .............................................. 106Límites indeterminados ....................................... 108Límite de sen x para x → 0 ................................ 110x

Para ejercitar........................................................ 112

5.3 CONTINUIDAD .............................................. 113Continuidad en un intervalo abierto.................... 114Asíntotas .............................................................. 115

Para ejercitar........................................................ 117Para recordar ....................................................... 119

6.CÁLCULO COMBINATORIO

Introducción ........................................................ 121

6.1 PERMUTACIONES ....................................... 121Factorial de un número natural ........................... 121Permutaciones ..................................................... 123Permutaciones con elementos repetidos ............. 126

6.2 VARIACIONES .............................................. 128Variaciones sin repetición o sin reposición......... 128Variaciones con repetición (con reposición) ....... 129

6.3 COMBINACIONES ........................................ 132Propiedades del número combinatorio................ 134Triángulo de Pascal ............................................. 135Binomio de Newton ............................................ 137

Para ejercitar ...................................................... 139Para recordar ...................................................... 142

7.PROBABILIDAD

Introducción ........................................................ 143

7.1 CONCEPTO DE PROBABILIDAD ................ 144Experimentos aleatorios ...................................... 144Espacio muestral ................................................. 144Sucesos o eventos................................................ 145Axiomas de probabilidad .................................... 149Probabilidad total ................................................ 155

7.2 PROBABILIDAD CONDICIONAL. INDEPENDENCIA ........................................ 157

Para ejercitar ....................................................... 164

7.3 VARIABLES ALEATORIAS ............................ 166

VI

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Función de probabilidad...................................... 167Variable aleatoria binomial. Función

de probabilidad.................................................. 168Varianza de una variable aleatoria ...................... 173

Para ejercitar ....................................................... 174Para recordar ....................................................... 176

PARA PRACTICARTrigonometría ...................................................... 177Funciones trigonométricas .................................. 178Función exponencial y función logarítmica........ 179Cónicas ................................................................ 179Límite y continuidad ........................................... 181Cálculo combinatorio .......................................... 182

Probabilidad ........................................................ 183

PARA EVALUARIntegración I ........................................................ 184Integración II ....................................................... 189

RESPUESTASTrigonometría ...................................................... 195Funciones trigonométricas .................................. 201Función exponencial y función logarítmica........ 209Cónicas ................................................................ 212Límite y continuidad ........................................... 216Cálculo combinatorio .......................................... 221Probabilidad ........................................................ 222

VII

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1. Trigonometría

Introducción

1.1. Vectores. RevisiónPara aplicar (A)

1.2. Fórmulas de adiciónPara aplicar (B)Para ejercitar (Ejercicios N°- 1 al 32)

1.3. Números complejosPara aplicar (C, D, E y F)Para ejercitar (Ejercicios Nº°- 33 al 38)

Para recordar

Introducción¿Será cierto que la suma de las tangentes de los tres ángulos de un triángulo es siempre igual al producto de

las mismas?

1.1 VECTORES. REVISIÓNConsideremos en el plano un sistema de coordenadas cartesianas perpendiculares, de origen O y ejes X, Y.

Llamaremos V0 al conjunto formado por los vectores del plano con origen en O e indicaremos con A→al elementoperteneciente a V0 con extremo en el punto A (fig. 1).

En la figura 1 se han ubicado los versores (vectores de módulo 1) I, J, sobre los ejes X e Y respectiva-mente.

I con extremo en (1 ; 0)J con extremo en (0 ; 1)

1

y

IJ

Aay

ax x

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Si A→ε V0, y tiene componentes (ax ; ay), entonces A→ puede escribirse como:

A→= axI + ayJ

Ejemplo:

A→= 2 I + 4 J

Observemos que las componentes del vector A→ coinciden con las coordenadas del punto A. Luego, el módulo de A→puede calcularse en función de las coordenadas de su extremo.Es decir:

⏐A→⏐=

Producto escalar. DefiniciónDados dos vectores A→, B→ pertenecientes a V0, llamamos producto escalar de A→

y B→ (A→ x B→) al número real

obtenido como producto de los módulos de A→ y B→ por el coseno del ángulo formado por los dos vectores.

Es decir:Si A→, B→ ε V0

entonces:

A→ x B→ = ⏐A→⏐⏐B→⏐

donde α es el ángulo formado por A→ y B→.Como consecuencia inmediata de la definición resulta que:

Dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es igual a cero.

Expresión del producto escalar mediante las componentes de los vectores

Si A→, B→ ε V0 , A→= ax I + ay J y B→= bx I + by J

entonces:

A→ x B→ = ax bx + ay by

2 Trigonometría

y

IJ

A (2;4)

ay

x

ax2 + ay

2

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Para aplicar - A

a. Calcular (A→ x B→) siendo:

a1) A→= 2 I + 4 J a2) 2⏐A→⏐= 3⏐B→⏐

⏐B→⏐= 5 B→ = 3 I - 3 J

áng. (A→, B→) = 60° A→ y B→ son colineales

a3) ⏐A→⏐=⏐B→⏐= a4) A→

= 2 I + 2 J

áng. (A→, B→) = 135° B→ = -2 I + 2 J

b. Calcular áng. (A→, B→), siendo:

b1) A→= 3 I - J b2) A→

= 4 I b3) A→

= I + J

B→ = B→ = B→ = -J

c. Determinar en cada uno de los siguientes casos las componentes de B→, sabiendo que:

c1) A→= -2 J c2) ⏐B→⏐= 7

⏐B→⏐= 3 A→= 3 I + 4 J

A→ y B→ tienen sentidos opuestos. A→

y B→ tienen el mismo sentido.

c3) A→

= 2 I - J

⏐B→⏐= 2

A→ y B→ tienen igual dirección.

d. Dados A→ = 2 I + 2 J y B→ = m J, hallar el valor de m para que resulte A→ x B→ = 5.

e. Dados A→ = I + 3 J, y B→ = m I + 2 J, hallar m tal que:

e1) A→ y B→ sean perpendiculares. e2) A→

y B→ tengan igual dirección.

f. Dados A→ = 2 I - J y B→ = I + m J, hallar el valor de m para el cual se cumple:

f1) A→ y B→ son perpendiculares. f2) A→

y B→ tienen igual dirección.

− 2 I − 2 3 J2 5 I + 5 J

6

3Trigonometría

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g. Dados A→= 3 I + y B→ = m I + 1—2 J, hallar el valor de m para el cual:

g1) áng. (A→, B→) = g2) áng. (A→, B→) = π—6

h. Determinar en cada uno de los siguientes casos las componentes de B→, sabiendo que:

h1) A→= 2 I - h2) A→= I + 3 J h3) A→= I +

⏐B→⏐= 2 ⏐B→⏐= 1 áng. (A→, B→) = 150°

áng. (A→, B→) = π—3 áng. (A→, B→) = A→ x B→ =

1.2 FÓRMULAS DE ADICIÓN

Cálculo de cos (αα - ββ)Si A y B son dos puntos de la circunferencia C (0,1), entonces para los vectores A→

y B→ se cumple que:

⏐A→⏐=⏐B→⏐= 1 (1)

Llamando α y β a los ángulos que forman A→ y B→ respectivamente, con el sentido positivo del eje X,

áng. (A→, B→) = α - β (2)

luego, el producto escalar

A→ x B→ =⏐A→⏐⏐B→⏐cos (A→, B→)

puede escribirse, teniendo en cuenta (1) y (2), como:

A→ x B→ = cos (α - β)

pero siendo:

A→ x B→ = ax bx + ay by

−4 33π4

3 J2 3 J

2π3

3 J

4 Trigonometría

y

0xα β

B

Aay

by

ax bx (1;0)

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de las dos últimas igualdades resulta:

y como:

es

Para aplicar - B

a. Calcular cos 15°.Sug.: tomar α = 45°, β = 30°.

b. Deducir la fórmula de cos (α + β).Sug.: α + β = α - (- β)

cos (α + β) =

c. Calcular cos 75°.

d. Deducir la fórmula de sen (α - β).Sug.: sen (α - β) = cos [90° - (α - β)] = cos [(90° - α) + β].

sen (α - β) =

e. Calcular sen 15°.

f. Deducir la fórmula de sen (α + β).

sen (α + β) =

g. Calcular sen 75°.

PARA EJERCITAR1. Calcular sen 105° y cos 105°.

2. Obtener cos (β - α) sabiendo que .0 < α <π2

, 0 < β <π2

⎛⎝

⎞⎠

sen α =35

, tg β =43

cos (α − β) = cos α cos β + sen α sen β

ax = cos α, ay = sen α, bx = cos β, by = sen β

cos (α − β) = ax bx + ay by

5Trigonometría

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3. Deducir tg (α + β) y tg (α - β).

Sug. 1:

Sug. 2: dividir numerador y denominador por cos α cos β.

tg (α + β) =

tg (α - β) =

4. Obtener:

a)

b)

5. Deducir la fórmula de cotg (α + β).

6. Hallar, utilizando la sugerencia que se encuentra al final del ejercicio:

a) sen 2α = b) cos 2α = c) tg 2α =

Sug.: Reemplazar 2α por (α + α). Por ejemplo, sen 2α = sen (α + α).

FÓRMULAS DEL ÁNGULO DOBLE

sen 2 α =

cos 2 α =

tg 2 α =

7. Obtener sen 2α, cos 2α, tg 2α, siendo

8. Calcular:

a) cos α sabiendo que .

b) sen α sabiendo que .

9. Calcular , siendo 0 < α <π2

, 0 < β <π2

⎛⎝

⎞⎠sen β =

13

y tg α = 2tg (2α + β)

cos 2 α = −14

, (0 < 2α < π)

cos 2 α =16

, 32

π < 2 α < 2π⎛⎝

⎞⎠

0 < α <π2

⎛⎝

⎞⎠

cos α =45

0 < α <π2

, 0 < β <π2

⎛⎝

⎞⎠

tg (α − β) si sen α =23

, cos β =25

0 < α <π2

, 0 < β <π2

⎛⎝

⎞⎠

tg (α + β) si tg α = 3, cos β =13

tg (α + β) =sen (α + β)cos (α + β)

6 Trigonometría

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10. Indicar V o F. Justificar.

11. Calcular tg α siendo

12. Calcular tg (2α + β) sabiendo que α y β son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo

y

13. Calcular sin utilizar las medidas de los ángulos agudos del BAΔC rectángulo en A^ .

14. Simplificar las siguientes expresiones.

a)

b)

15. Demostrar que:

16. Obtener los valores de x que satisfacen:

3 cos 2x - 3 (cos x - 1) = 0 y 0 ≤ x ≤ 360°

sen (α + 2 β) + sen (α − 2 β)2 sen α

= cos2 β − sen2β si sen α ≠ 0

sen 2α − cos αsen 2 α + cos α

si cos α ≠ 0 ; sen α ≠ −12

cos 2α2 cos α −1

si cos α ≠2

2

sen α =23

cos 2 β =14

CB = 12 (2 10 − 30 )

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

AC

cos 2 α = −45

.

cos 2 α = −725

, (π < 2α < 2π).

tg α =5

12

0 < α <π2

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⇒ sen 2 α =120161

7

αβ

A

C

B

Trigonometría

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17. Calcular:

a) sen (-15°) = b) sen 195° =

c) tg 195° - tg 75° = d) 3 cos 15° + 2 sen 15° + sen 75° =

18. Hallar, utilizando la sugerencia dada al final del ejercicio:

a) b) c)

Sug.: tomar . Por ejemplo,

FÓRMULAS DEL ÁNGULO MITAD

19. Calcular:

a) sen 67° 30’ = b) cos 165° =

c) tg 112° 30’ = d) sen 22° 30’ =

20. Demostrar las siguientes identidades:

a) si

b) si

c)

21. Obtener el valor de sen 2α sabiendo que cos α2

=3

3y π

4<

α2

<π2

.

cos α + cos 2 α + cos 3 α = (2 cos α +1) (2 cos2 α −1)

sen α ≠ 0 y cos α2

≠ 01+ tg2 α

2tg α

2

= 2 cosec α

cos α ≠ 0 y cos 2α ≠ 0sen π2

+ tgα tg 2α = sec 2α

tg α2

cos α2

sen α2

cos 2 α2

⎛⎝

⎞⎠

= cos2 α2

− sen2 α2

α = 2 α2

tg α2

cos α2

sen α2

8 Trigonometría

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22. Calcular el valor de y sen 2α sabiendo que

23. Resolver analíticamente (0 ≤ x ≤ π).

a) b) c)

24. Considerar dos ángulos α y β de manera tal que:

α + β = pα - β = q

Completar:α = (Ver sugerencia al final del ejercicio)β =

sen p + sen q = sen (α + β) +sen p + sen q = sen p + sen q = 2

FÓRMULAS DE LA TRANSFORMACIÓN EN PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS SENOS

sen p + sen q = 2 ............ ............

Sug.: expresar α y β en función de p y q, resolviendo el sistema de dos ecuaciones planteado anterior-mente.

25. Transformar en producto:

a) sen 15° + sen 75° = b) sen 105° + sen 75° =

c) sen 110° + sen 50° = d) sen 70° + sen 20° =

26. Demostrar que

27. Demostrar que:

a)

b) cos p − cos q = −2 sen p + q2

sen p − q2

sen p − sen q = 2 sen p − q2

cos p + q2

cos p + cos q = 2 cos p + q2

cos p − q2

p − q2

p + q2

y = sen 3xy = sen x{y = cos x −

π4

⎛⎝

⎞⎠

y = cos 12

x

⎧

⎨⎪

⎩⎪

y = cos 2xy = sen x{

cos 2 α =19

y 0 < 2 α <π2

.sen α2

9Trigonometría

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28. Transformar en producto:

a) sen (-105°) + sen 15° = b) cos 15° - cos (-75°) =

c) cos 105° + sen (-75°) = d) sen (-15°) - sen (-105°) =

e) 1 + cos 40° = f) 1 - sen (-50°) =

g) + 2 sen 40° = h)

29. Simplificar las siguientes expresiones transformando previamente en producto:

a) b)

c) d)

30. Expresar como suma o diferencia de funciones:

a) 2 cos 55° . cos 45° = b) 2 sen 2a . cos 10a =

c) 2 cos 110° . sen 55° = d) - 2 sen 20° . sen 5° =

31. Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x tales que 0 ≤ x < 360°.

a) b)

c) d)

e) f)

32. Demostrar que:

sen x + sen 2x + sen 3xcos x + cos 2x + cos 3x

= tg 2x si cos x ≠ −12

y cos x ≠ ±2

2

sen 3x + sen (−x) = 0sen (x + 30°)cos 30°

−3

3cos x = 1

sen x4

− sen x2

= 0cos x2

+ sen x2

= 1

cos 4x + cos 2x +1 = 0cos (x + 2π) −1 = cos π2

− tg x2

si cos x2

≠ 0

cos 50°+ cos 40°+ 2 cos 85°cos 40°

cos 50°+ sen 50°cos 45°

cos 2a + cos 3asen 2a + sen 3a

si sen 2a ≠ −sen 3asen 2x + sen 6xcos 9x + cos 5x

si cos 9x ≠ − cos 5x

2 sen 20°− 2 =3

10 Trigonometría

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1.3 NÚMEROS COMPLEJOS

Forma trigonométrica de un número complejoFijemos en el plano un sistema de coordenadas cartesianas perpendiculares de origen 0 y ejes X, Y y consi-

deremos el conjunto C de los números complejos.Si z es un elemento de C de componente real a y componente imaginaria b, es decir,

z = a + bi

Fig. 3

podemos hacer corresponder a z el punto del plano de coordenadas (a; b). Recíprocamente, a cada punto del pla-no de coordenadas (a; b) le corresponde el número complejo a + bi (fig. 3).

Se establece así una correspondencia uno a uno entre los elementos de C y los puntos del plano, de maneraanáloga a la establecida entre los puntos de una recta y el conjunto de los números reales.

Como cada punto A = (a; b) del plano determina un vector fijo de origen O y extremo A, a cada número com-plejo z = a + bi corresponde un vector OA→ y a cada vector OA→ un número complejo z = a + bi. Podemos enton-ces representar a z por medio del vector OA→ (fig. 4).

Fig. 4

El módulo de ese vector es el módulo del número complejo. Así, en la figura 4, el módulo del vector que re-presenta a z = a + bi es ρ. Luego ρ es el módulo de z, es decir,

y como:

es:

A la medida del ángulo ϕ se la llama argumento de z (fig. 4), es decir:

ϕ = arg (z)

Observación: si ϕ = arg (z) entonces ϕ + 2Kπ = arg (z), donde K es un número entero. Dando valores aK se obtienen distintos valores del argumento de z. Suele tomarse como argumento principal a aquel queverifica:

- π ≤ arg (z) ≤ π

z = a2 + b2

ρ = a2 + b2

ρ = z

11

y

a

b z = a + bi

x

y

aO�

ρb AZ

x

Trigonometría

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Utilizando el módulo ρ y el argumento ϕ de un número complejo z = a + bi y teniendo en cuenta las relacio-nes:

de donde:a = ρ cos ϕ b = ρ sen ϕ

resulta:

z = a + bi = ρ (cos ϕ + i sen ϕ) (1)

A la expresión (1) se la llama representación trigonométrica de z.

Ejemplos: 1. Expresar en forma trigonométrica el número complejo

1°- Calculamos ρ:

2°- Calculamos ϕ = arg (z):

Como: (fig. 4)

es:

entonces ϕ = 30°

3°- Expresamos a z en forma trigonométrica:

reemplazando en la fórmula (1) ρ y ϕ por los valores obtenidos:

z = 3 (cos 30° + i sen 30°)

2. Dado z = 2 (cos 60° + i sen 60°), expresar a z en forma binómica.

Como: y ,

reemplazando estos valores en la expresión trigonométrica de z resulta:

z = 2 12

+3

2i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1+ 3 i

sen 60°=3

2cos 60°=

12

tg ϕ =

32

32

3=

13

=3

3

tg ϕ =ba

ρ =32

3⎛⎝

⎞⎠

2

+32

⎛⎝

⎞⎠

2

= 3

z =32

3 +32

i

sen ϕ =bρ

cos ϕ =aρ

12 Trigonometría

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Para aplicar - Ca. Expresar en forma trigonométrica los siguientes números complejos.

b. Representar los siguientes números complejos:

z1 = 2 (cos 30° + i sen 30°)

z2 = cos 240° + i sen 240°

(cos 180° + i sen 180°)

c. Determinar las siguientes regiones del plano:

Operaciones con números complejos en forma trigonométrica

Multiplicación

Sean

entonces:

(1)

pero:

reemplazando en (1), resulta:

z . z1 = ρ . ρ1 [cos (ϕ + ϕ1) + i sen (ϕ + ϕ1)]

cos ϕ sen ϕ1 + sen ϕ cos ϕ1 = sen (ϕ + ϕ1)

cos ϕ cos ϕ1 − sen ϕ sen ϕ1 = cos (ϕ + ϕ1)

= ρ . ρ1 [(cos ϕ cos ϕ1 − sen ϕ sen ϕ1) + i (cos ϕ sen ϕ1 + sen ϕ cos ϕ1)]

z . z1 = ρ . ρ1 (cos ϕ + i sen ϕ) (cos ϕ1 + i sen ϕ1)

z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ) y z1 = ρ1(cos ϕ1 + i sen ϕ1)

1 < z ≤ 50 ≤ arg (z) ≤32

πR (z) > −3Im (z) ≤ 1

z > 3z < 2z ≤12

z = 3

z3 =43

z4 = 2 + 2 3 iz3 = 2 iz2 = 3 − iz1 = 1+ i

13

y

x

Trigonometría

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Para aplicar - Da. Dados:

Obtener:

b. Si z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ), obtener:

b1) z2 = b2) z3 =

En general se cumple que:

FÓRMULA DE MOIVRE

c. Dado z = 3 (cos 15° + i sen 15°), obtener:

c1) z2 = c2) z3 =

DivisiónSean z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ) y z1 = ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1)

entonces:

(1)

pero:

y

reemplazando en (1), resulta:

zz1

=ρρ1

[(cos (ϕ − ϕ1) + i sen (ϕ − ϕ1)]

cos ϕ1 sen ϕ − cos ϕ sen ϕ1 = sen (ϕ − ϕ1)

cos ϕ cos ϕ1 + sen ϕ sen ϕ1 = cos (ϕ − ϕ1)

=ρρ1

[(cos ϕ cos ϕ1 + sen ϕ sen ϕ1) + i (sen ϕ cos ϕ1 − cos ϕ sen ϕ1]

=ρρ1

. (cos ϕ + i sen ϕ) (cos ϕ1 − i sen ϕ1)cos2 ϕ1 + sen2ϕ1

=

zz1

=ρ (cos ϕ + i sen ϕ)

ρ1 (cos ϕ1 + i sen ϕ1)=

zn = ρn (cos n ϕ + i sen n ϕ)

z2 . z3 =z1 . z4 =z3 . z4 =z1 . z2 =

z4 = 3 (cos 315°+ i sen 315°)z3 = 3 (cos 45°+ i sen 45°)

z2 = 3 (cos 30°− i sen 30°)z1 = 2 (cos 60°− i sen 60°)

14 Trigonometría

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Para aplicar - E

a. Dados

y

hallar:

Raíces de los números complejosTodo número complejo distinto de cero tiene n raíces enésimas distintas.

Ejemplo: calcular las tres raíces cúbicas de

1) Expresamos a z en forma trigonométrica:

z = 3 (cos 60° + i sen 60°)

o bien:

z = 3 [cos (60° + 360° k) + i sen (60° + 360° k)], donde k ε Z

2) Aplicamos la fórmula de DE MOIVRE:

entonces:

3) Dando valores k se obtienen las raíces buscadas:

Si continuamos dando valores a k, vuelven a repetirse w1, w2 yw3, por lo tanto estas son las tres raíces cúbicas de z.

Representando gráficamente a w1, w2 y w3 observamos que en lacircunferencia determinan tres arcos de igual longitud(fig. 5).

Fig. 5

C 0, 33( )

si k = 2 ⇒ w3 = 33 (cos 260°+ i sen 260°)

si k = 1⇒ w2 = 33 (cos140°+ i sen 140°)

si k = 0 ⇒ w1 = 33 (cos 20°+ i sen 20°)

w = z3 = 33 [cos (20°+120°k) + i sen (20°+120°k)]

z13 = 3

13 cos 1

3(60°+360°k) + i sen 1

3(60°+360°k)⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

z =32

+3

2i

z2

z1=

z1

z2=

z2 = 6 (cos 60°+ i sen 60° )

z1 = 2 (cos120°+ i sen 120° )

15

y

x

w1

w2

w3

(3 3;0)

140°

20°

260°

Trigonometría

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Para aplicar - Fa. Hallar las raíces cuartas de los siguientes números complejos:

a1) z = 8 (cos 180° + i sen 180°) a2) z = cos 240° + i sen 240°

a3) z = 3 - 3 i a4) z = -1

b. Representar gráficamente las raíces halladas en a.

PARA EJERCITAR33. Calcular las siguientes potencias, utilizando la fórmula de DE MOIVRE, y expresar luego el resultado

en forma binómica:

a) b)

c) d)

34. Comprobar si z = 2 (cos 60° + i sen 60°) satisface x2 - 2x + 4 = 0.

35. Comprobar si z = sen 75° + i cos 75° satisface x8 - x4 + 1 = 0.

36. Hallar:

a) las raíces cuadradas de .

b) las raíces cuartas de - 1 + i.

c) las raíces quintas de 5 - 5 i.

37. Dados z1 = 1 + i y z2 = 2 i, hallar:

a) b) c)

38. Resolver el problema planteado en la introducción.

z1 ÷ z2( )3z18

z2=z1 . z2

2 =

1+ i 3

( 27 − 3 i)3 =(−1− i)5 =

[ 8 (cos 45°+ i sen 45°)]4 =(cos 30°+ i sen 30°)2 =

16 Trigonometría

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PARA RECORDAR

VECTORES

• Producto escalar

FÓRMULAS DE ADICIÓN

NÚMEROS COMPLEJOS

• Forma trigonométrica:

• Potencia enésima:

zn = ρn (cos n ϕ + i sen n ϕ)

z = ρ (cos ϕ + i sen ϕ)

cos α2

=1+ cos α

2

sen α2

=1− cos α

2

cos 2 α = cos2 α − sen2α

sen 2 α = 2 sen α cos α

cos (α + β) = cos α cos β − sen α sen β

sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α

�A x�B = ax bx + ay by

�A x�B =�A�B cos (

�A,�B)

17

y

ϕρ

z

x

Trigonometría

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matemática. funciones y probabilidades · • funciÓn exponencial y funciÓn logarÍtmica •...

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