C U A C 0 N C 5 F R A C C IO N A R A S o s h r . g r a d o 239

^ p - 5 = 0. t f f ) ( * - l ) - ( * - 3 ) = i ( * + 3) + .

0 , *+2 5* 6x+l 11*2 1 , 5 ft.y - 5 T = 7 . 17. - _ - ? (5*-2) = -(6* + 1).

5 x - l 4 3. 4*+l 1 , v 13+2x N1 ,= 4x : m ) = (4x 1 )------ ------- ' - ( x - 3 ) .

3 5 3 3 6 2

@ . 10* ^ T ^ = 2 (5 t_ 3 ) 19 | ( S * - l ) + ^ - ( l f l * - 3 ) = - i ( e - 2 ) -

sm * ~ 2 x - 3 ^ * " 4 3x~l 5x4-4 x+2 _ 2 x - 3 1

3 4 5 ' ' ' 2 3 8 " 5 10'

x-1 x-2 x-3 _ x-5 Tx1 52x __ 4x~3 l+4x2

2 3 4 5 f " 3 2x ~ 4 + 1 T '

3 ) * (5* 1) Z z * = i . 2 ^ + 7 2 (x -4 ) 4 x * -6 __ 7x+6^ lo 3 5x 15x 3x2

2 * - 5 p + | (* - 5)= - 5 x . 23. | ( i i ) = | ( J r i ) .

4 - i 2 i = 4 x - ^ i . 24. 3 / 2 Z l ' 1 _ / ' * f + ? ' l _ i / ^ U = 0.^ 6 4 5 l / 3 W / S U / 5

3x4-5 11 210------------ = 3---------6 12 4

9 * - 2 - 7 x ( - \ = i + .\ X 2 / 2 4

*^ ggtf 5x 3 x4-24 P -r - ~ ( x _ 2 0 ) - ( 2 x J) =

3x 7 12x5 2x-3 , 4x4-9 7 rt

8 10 16 20 ^ " 4 + 8 0 ~

17' 34* 1 / 2 1 /

j^e^ve las ecuaciones:/X 4- 1)(x - 2} - (x - 3)2 , fx + W x - 3) ~ (x + 1}3 = 4 -,& + 4/(x + 7; = fx - 2; V a * ~ 7.'2X ~ 1}2 4 ( x '+ 3) (x - 1) .+ 43x - 2j{2x + f) - 2x* = (2x + 7)(2x - 1) - 3x2x + 3}i - (3x ~ 1}(x + 2} = (x + / /fx - 7j (5x - 2} (1 ~ x) = (7 + 2x/f7 - 2x) - x2 Sfx + 2jfx - *2; - 2(x + 3}{'x - 2) + X*5(x + 3}(x - 5} + 4{x + 7}(x ~ 1} - (3x + 2f3x - y 2(x ~ 3)2 + + 7/* = 5x(x - 4 )3 - {xfx + 7) - 2{3x - 2)] = - f7 - x2. 4- 3 2x - 3 + 3x2 = [(x + 2 //2x - - 1J + x(x - 61}(3x + 2}(3x ~ 2) = [6 ~ 3x{5 ~ 3x} + 2x]

es fraccionarias (con denominador numrico):

X Xsolvamos la ecuacin 5 - ~ -3 2

Multipliquemos todos los trminos por e m.c.d., 0. c on 8x 6x m.c.d. (3,2} = 6 30 - =

Simplifiquemos las fracciones:30 - 2x = 3x

Se procede como en los casos anteriores:5x = 30 => x = 6 Rta.: x = 6

{Verificar el resultado.)Justifica el paso 1 del nmero 35. (Repasa e Cap. 2, N 218.}:n ia prctica, ios apartados 1 y 2 de! nmero 35 se efectan as:Se divide el m.c.d. {mnimo comn mltiplo de los denominadores) por cada denominador y e! resultado se multiplica por el numerador respectivo.

Volvamos sobre la ecuacin 5 A =- _L3 2

1. m.c.d. {3, 2) = 61 6 : 1 = 6 ^ 6 * 5 = 306 : 3 - 2 => 2(x) -2 x => 30 - 2x = 3x

6 : 2 = 3 1=>3 ' x = 3x3- 5x = 30 => x = 6

X 1 x 1Resolvamos ia ecuacin + - = ----------- .4 3 2

1. m.c.d. (4, 3, 2) - 12 1 2 : 4 = 3 ^ 3 - x = 3 x

2- j 1 2 : 3 = 4 = > 4 - 1 = 4 => 3x + 4 = 6x - 6112: 2 - 6 => 6(x - 1) = 6x - 6

>3. 3x 10 => x = Rta.: x - -~ -

- 199-

Estudia1a c u a r i o

a;> - G o m p a ib le d e te rm in a d o

j :; ': : 'r- '-'Vo^V^k#*-.3y ^ * ~ ^ * i p ! a $ s e c a n te s yi- #

b)

c)

, ^ ; y # 4 f ''* '* *.'.** : *?

5 V 17x

v / 17

\ 4

Luego las races son :5 + v 17 5 / 17

Discriminante

La expresin b2 - 4ac la llamamos DISCRIMINANTE, el cual nos permite, sin resolver a ecuacin, el estudio de la naturaleza de las races.

0 . a rai2 es, una y real,RAIZ DOBLE.

Si b 2 - 4ac * > 0 , son dos races reales ydiferentes.

< 0 , no tiene solucin en R,las races son IMAGINARIAS.

Ejemplos:( i)x 2 - 8x + 16 - 0

b2 - 4ac: (8)2-4.1.16 ~ 0 (una raz doble).(ii) x 2 - 3x +2 = 0

b2 ~ 4ac : ( - 3 )2-4.1.2 0 (dos races reales)(iii) x 2 -h 2x -r- 4 - 0

b2 -4 a c : (2)2 ~ 4.1.4 C 0 (races imaginarias)...................: -Ti. ---- ------------------------------------------------ ---- -----------------

tila de !as siguieflt i^aeiaft^s:

(1) x-t.6x-i-64 = 0 m 2xJ- 14x + lt = 0

(3) .;8 | i | | r 5fe ^ - |4) 4x * + | - x - J - = 0

(5| m (2 x +_g-)S ~(x1)=(x+2)

(10) x-' x-- 0 '

114

(1) Resuelve, grafica y comprueba en cada caso:

(a) x 2

(b) . 3 (x ~ 1 ) S 2 (x + 1)

(c) 4x - - i < 4 - (* + 2)

1

(d) - 3 - x > x \i 1+T J(e) (x - 2)2 < x(x - 3)

2)

5 - x

(i) x 2- 7 x - M 2

(j) x2+ 5 x ~ 6 s

0

0

(b)

(c)

3 x 4 - 2 ^ 1

X - 4 * ^ 3 - x 42x 5 ^ x - 3

3x - 1 > - 10

3 - 2x < 4 + 3 x

_ 2x - 1 > 3

m

(e)

2

3(x 2) Z> 2(1 - 3 x ) + 1

(x + 2)2 ^ x(x + 5)

5 ~ x 3 + x2

f - 3 x - 1

4

2 x

> - 8

2(f) j 2

[x + 2

3x + 3

3) Resuelve, grafica y comprueba ias siguientes inecuaciones:

(a) | x + 3 j ^ 5

(b) I 2 x + 1| > 1

(o)

(d)

(e )

j 3 x - 2

! 2. i 3! 1 I 4

2

11 < 3

(f) | 2 - y x < 3 x

( 9>| x + j j > 2 x - ~

(h) | 3 x 2 | ^ x + 1

(i) | 5 - x | > 3 x - - i4

(j) 2 - 3 x >

u

111. Determina x para que e 1 va lor de las expxso&es sea un nmero real:

a) \ j 3 x + y c} T ~ 2 k + n

b) y 2 (x - u - 4 * y * _ l L p i

13 2,UResuelve los sistemas de inecuaciones:

3x + 2 < x - ] f / 3 (x - l ) S x + !2 ( * - 2> > | . * C) t 2 - ' I 2 ( x - / 3 ) > - 4

4

b)

^ X - ! J L < 2 x _ , j y 2 x - i r 2 x - -d)

U / - I S 2 X4 , 6 3 6

Valor absoluto:

( f f t ) Resuelve las siguientes inecuaciones y da la respuesta en forma de intervalo y grficamente:

7 'a) I x ) $2*-61 S 3 s) ! x + 2 1^ 59

> 1 1b) 1 oxi ^ 4 e) 3 (x - 1)2

c)' ! x - 3 < 4 f) l x ! 2 i) 1 2x -i- 3} => 1 .

1)4. Un tringulo tiene base constante b~Sm . Cul puede ser la altura h de ese tringulo si ei rea tiene que ser de \ 5 m2 o ms?

7 15. Un mvil se desplaza en lnea recta con una velocidad de 5 km/h. La distancia recorrida viene expresada por la frmula:

d = 5t 4- 2 (t: tiempo).

Determina el intervalo de tiempo en que el mvil est entre el kilmetro 17 v el kilmetro 32.

E conjunto de todos ios nmeros reales mayores que un nmero real a, se considera un intervalo infinito de la forma (a, +). Ei smbolo + ), {-

104. Dada la recta L, indica las abscisas correspondientes a los puntos:

P* P. p3

^ -3 -2 -1 0 1/ *^ 1 0 5 / Escribe en forma de intervalo los siguientes conjuntos y efecta su representacin g

fica: 5 i

a) I x R / - 3 S x < 2 } e) x S ~ L 4 - h) Ro

b) { x e R /0 < x < 4 } f) x < 3 j i) R +

c) { x R / 1 < x < 3 } g) x ^ 0 y . j) R-

d) { x e R / - 4 ^ x < - 1 } f k) R*

( 106 / Valor absoluto i. Escribe en forma de intervalo ios siguientes conjuntos y efecta representacin grfica. \ .

...., a) { x e R / l ^ | < 2 } d) { x R/ - 3 < x < 3 }. b) { x e R/lxi < 4 } e) { x R/ --1 < x < 1 }

c) | x R / j x i < 5 ] f) I x R / - rr < x < n ] ^

107. Escribe con notacin de conjunto y efecta l&representaci grfica de los siguientes i m valos:a) [ - 4 , - 1 ] d) (1,3) g) (0, x ) j) (-3,3

b) ^ - 3 , - ~ ^ . e) [2, a ) h) ( - ^ , 1) k) (0,2)

c) (0,4) ' O C - a . - H i) (-2,2) l) ( - 4 ,5

108. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas;a) 1 - ] ,3) c) tt (~ cc ; 3,1] e) 2 e (0,2j

b) - 2 ( - 2,0] d) / 2 0; 1, 4) 0 3 { -1 , S\ 5

( 109. ^Calcula grficamente y da la respuesta de intervalos:a) (-2 ,4 ) O (0,2) ) { x R /0 < x < 2 } 0 { x t R/! S x < 3 }b) (-1 ,1) O (0,3) : g) { x R ! ! x < i } U{ x e R / 0 < x < 2 }c) [2,4] fl (4,6) .= h) { x R / x > - 2 } H { x R / 0 2 x < 2 }d) (-3,1 j O [1,4) i) { x R /x = s-3 } U { x R /x < -3 }e) (-4 ,2) O (-2 ,5) j) { x R / x > ~ 2 ) n { x e R / x c . O }

110. Halla los conjuntos solucin y represntalos grficamente: , -

(ver demostracin en el Teorema de Pitgoras)

Siendo: X y X ^ las abscisas de los puntos

Y e Y ^ as ordenadas de los puntds*.

Apliquemos la frmula a problema planteado:

A (2,3) B (-3 ,1)

X - 2iY = 3

AB

X - - 32

Y - 12

\ / (3 2)2+ (13)z=

V 25 + 4

29 i J KJ

X = 22

Y = 3

AB \ / [ 2 (3) J2 +(3-1)2 =

V 25 + 4

= \ / 29 U

Qu conclusin sacas? Por qu?

5>S' . '-r-'j?... Jvi'

Calcula:

Punto medio de un segmento

Cul es e! punto medio de cada uno de Sos segmentos que se dan a continuacin?

*

0 21 " u 3Generaliza mediante una frmula el procedimiento que has utilizado.

! 06. Calcula las b^cisas correspondientes a'Ios putos'dhidentsyl#! 3 yz ~ i\ y :;== 1 per-"? tenecentes la recta. 5x - 3y = 4.

107. Calcula laSordenadas correspondientes a los puntos de.abscisas Xf= - 2, x? = 0, xs 4 per-" tenecentes a la recta: 3x -t 4y = 6.

c) 5v = 6

108. Dadas las reatas:

a) Li s 2x - y - 4 b) Ls s 3x -4- 2y = 8

calcula los pimtos de abscisa igual a cero y di qu representan:".f "

109. Dadas las rectas:

a) Li=5x' y 10 b) L? = x-+.3y --6 s .'^ f^ S y -='8

calcula los puntos de ordenada igual a cero y di qu;representan''

REPRESENTACION D E L A ECUACION LINEAL

10. Representa grficamente las ecuaciones:-'- -

2% 8y Ja) 5x - y:~ 6 b) f - 4

o

... ,-.L ; --i'- " c) 2x " ' - 5 di x - - 3

111, Calcula las pendientes de los ejercicios anteriores y.compara su valor en la inclinacin de-, ls rectas!. .4

1 12. Calcula las pendientes de las rectas:a) 2x - 3 y ';.4b) 5x,H-4y.^3 = 0 .?

e indica el f igicado geomtrico de las mismas.

c ) .f .< x , y ) : ^ r ' X ' B

d) { (x, y) e R x R / x - V .

113. Cul es la ecuacin de las siguientes rectas?

a) Eje de abcisasfb) Ej de ordenadas i

........ ..... .T 4. Calcula las pendientes de ls rectas:

v' f. & & & -

c) Bisectriz d e ll^ y 3er. ciadrantesd) Bisectrizdl cuadrantes

- i i? \ '

.. .r i I

, ! V I

(~ h O ) \0j

Ai \ P .O .- i l 1 \

JJ5. Dibuja las rectas de pen dien tes:

a) m = 2 y que pase por A (2 1)

b) ra = - I y que pase por B B (~ 3, 2)

c) m =

116. Calcula las ecuaciones de las rectas de pendientes:

a) Hit 3 y que pasa por P? ('-2, 5) c ; ni3

b) m2 = - 2 y que pasa por Pz (3, -1 ; d) m-* = -g-

y que pasa por C ( 4, 2)

y que pasa por D !I , - 3)

y que pasa por Ps (1, 4}

y que pasa por P* ( - 3, 2}

117. En la representacin de e - eo - vt (frmula del espacio en ei movimiento uniforme):

a) Qu significa e

Ecuacin de la recta PUNTO - PENDIENTE

Una recta queda tambin dfinda por un punto y su pendiente.Tornando como punto de partida la ecuacin:

y = mx+b (1)

y sabiendo que pasa pore! punto (x^ ;y )tenemos, sustituyendo en (1)

y ~mx +b1 1

despejamos b:b = y r m x i (2)

Sustituyendo (2) en (1) tenemos:y = mx+v - mx' i 1

Agrupando trminos y factorizando obtenemos:

y -y , = rn (x -x )

que es la ecuacin punto~pendiente de Ja recta; donde: m = pendiente(X1 y ) ~ punto que pertenece a la recta.

^ Ejercicios:(1) Dados los puntos: A (-1,2)B (0.3)c(5, D (-3 ,4 )

Hallar las pendientes entre los puntos:

() A yB id) ByC(b) A yC (e) ByD(c) A yD (f) CyD

(2) Hallar la ecuacin de la recta en cada uno de los siguientes casos:

(a) m = 1 fb) m = (c) m = - 3

A (3;-1) B ( 2: ~ ) C ( ' ~ t )

(3) Dados los punios A (-1 ;3) ;2jC(0; 1) d |5 ,- j

89

Puntos de corte con los ejes coordenados

La recta corta ai eje de abscisas en un punto de la forma (x ,0) y ordenadas en uno de la forma {Q,y ).

En la prctica, para calcularlos procedemos as:

(i) corte con eje x (ti) corte con eje y

hacemos y ~ 0 hacemos x - 0

Ejemplo: Hallemos los puntos de corte de la recta x~2y+3= 0 con l< coordenados.

(i) punto de corte con el eje x:x2.0+3 - 0

x - -3 punto: (-3,0)

(ii) punto de corte con el eje y:0 - 2 y + 3 = 0

JL 2

3

Y

punto: ( f i

90

2 \ 2,sta es una funcin hiperblica, la cual est representada por dos lneas curvas simtricas respecto al origen llamadas hiprbolas.

e) f ( r ) = 3 x 1

Para x ~ 1, 0. 1, 2...; los valores de y son; f ( -2 ) - 3 (-2) - 1 - 6 - 1 - 7 ==> (2, 7) f ( - l ) = 3(~1) - 1 - 3 1 -4 = > (-1 , -4 ) f(0) = 3 - 0 - 1 ~ 0 - 1 = - 1 = * ( 0 ,-1 ) f(l) = 3 1 - 1 - 3 - - 1 2 = > ( 1 , 2) f(2) = 3 * 2 - 1 = 6 -7 1 = 5 => (2,5)En esta fundn, el mayor exponente de x es 1, o sea, es una fundn de primer grado, la cual est representada por una lnea recta,

f) f(x) 4 - jt2 Para x = ..,-2 , 1, 0,1,2*..; los valores de y son f(~2) = 4 - (2)2 = 4 - 4 - 0 ^ {-2, 0}

Cul de ios puntos A(2, -4); B(-2, 4); o C(~2, 4) pertenece al grfico de la funcin f(*) x2?

8EJERCITACIN En cada caso, hallar el dominio de todas las funciones dadas.}. f(x ) = x t 2 ; g(x) = x2

cf- i-gm (")2. f {x ) = x2 + 1; g(x) = x + 2

f f ' - m - ^

3. /(x ) = A3; g(x) = 3

r x8

te +f% *)

4. f (x ) ~ V x + 2; g(x) ~ X2

f t S

i. f (x ) - X2 + 5X + 2; g(*) = V

EJER C ITAC I N l Si m ( x ) = \f x + 1, n(x) = x2 yh(x) = x + 4. Calcular.

6. (m 4- n)(6) 7. (m - n)(6)8, (n + h)(6) 9. (h. + m)(6)

10. (n - w)(6) U . (n - ^X6)

12. (h * n)(6) 13. (m * h)(6)

( f h1 S . ( ~ ) { 6 )

. . . ( f m ( I )

ja . JL Ve)V n >

/ n \

1 9 - [ t P

20. (6 * w)(6) 21. (6 * n)(6)

M O D ELA C I N * Sean f(x) 4a- + 2 y gfx) = 3(x2 4- ]).Graficar.22. ( f + g ) ( x ) 23. Cf - g % x )

24 . ( f ' g ) { x ) 25. (g - /)(*)

26. \x)\ 8

2 ? . I M ( x )\ / /

E3ERCITACN. Para cada par de funciones, calcular el valor de la funcin compuesta en el x dado.28. f(x) ~ x3; g(x) ~ sen a:

-1 })

29. f(x) - x2 + 1; g(x) = 3X

}>;))

( f m s

V 'W :* ) .

30 . /(X ) = V* + 2; g(x) =a: + 3

31. f(x) = x + Vi; g(x) ~ Ln x

Wm TV'5MODELACIN. Escribir V si la afirmacin es verdadera o F si es felsa. Justificar la respuesta.32. _ Si j(x) = V * - 1 y g(*) de /(g(x)) es [0, )

3.^ , entonces el dominio

33 . Si f(x) = 4x - 2 y g(-) 2a: + Vx, entonces el domi-

f34 , Si fQt) ~ JL y g(x) ~ x3, entonces el dominio de

io de g(f(xj) es , co\

/((*)) &s, x S U, x O.35 . S /(* ) = V 7 - 3 y g{x) = ^2, entonces el dominio deg(f(x)) son todos los nmeros reales.36 . S f(x ) \x\ y g(x~) 5x - 3, entonces el dominio de:f(g(x)) son todos los nmeros reales

RAZONAMIENTO. Dadas las funciones f y g resolver los nurne-J rales 37 y 38.

f- x 2 si x st 0 ig(x) = Z _ _ _ _ L

U*l si a: < 0

37. Hallar, si es posible, /((*)). j8. Hallar, si es posible, g(/"C*))

En general, cualquier funcin racional tiene la forma / ( x) = pix)/q(x),\ p(x) y q{x) son polinomios en x.

Si el valor f(x) de una funcin / s e encuentra por medio de un ni d | operaciones algebraicas, / se llama fundn algebraica. Las operacioi hricas son la adicin, la sustraccin, la multiplicacin, la divisin, la ele potencias y la extraccin de races. Por ejemplo, las funciones/y g definic

m y s(x) (2z2 - 1) Z7 + 5*3/

son funciones algebraicas.Aparte de las funciones algebraicas, existen otras funciones llamadas!

nes trascendentes. Ejemplos de funciones trascendentes son las ftmcioneli nucas y las funciones exponenciales, que se expondrn en el captulo 6. f

EJERCICIOS 5-1

1. Dadaf(x) 3x + 2, calcule f \ \ ) , f { ~ 2) , f (x 2) y /{* .+ ).

2. Dada/(x) ~ 5 - 2x, calcule / ( 3 } , / ( - l ) , / ( x ) y /(x + A).

3. Dada /(r) = 5r + 7, calcuie /{ ! ) , /< ~ 3). / ( c ) , / ( l + c) y

4. Dada/(x) = 3 - 4x, calcule f ( a \ f { a + 1) y f (a ) + /(1 ).

5. Dada /(x ) - x2, calcule /(3), f ( a \ f ( V x ) y f ix + /i).

6. Dada f ix) = 3x* + 7, calcule /(c ) , / ( c + ft) y / ( c + ft) ~ /(c).

7. Dada/{x) = 3, calcule /(IA)> /{-^X f i x + 2) y /(x + h).

8. Dada /(y ) = 5, calcuie /(1/y), /(y 2) / (y + 3), /(7 ) y /(y + h).

9. Dada f(x) - Vx, calcule/WX/ix2) y /{a 2 + ft2).

10. Dadajf(x) = V x ~ i 0.

14, Dada

14x + 31 + X2evale cada uno de los valores siguientes:

a- (i) b .g(3) c .g ( ~ l )

d. g(0) e. $ ( -3 )

f. g(2 + h) y g{2 /i) s 2 > / > 0

*15. Si F(t) = f/(l + i) y Git) = /( 1 - 0 demue- G(/) = -2G(/2).

*16. Si y = /( x ) (x + l)/(x - 1), pruebe quex

17. Si/Ci) = x2 + 1 y g(x) = 2x ~ 1, calcule/fe^

18. Si /(x ) = (x) + h(x), g{x) - x2 + 3 y /(x j =|M2).

I B S CAPTULOS FUNGONES V GRFICAS

EJERCICIOS 11-2

(*30) Evale los lmites siguientes.

1. lm (3^ + 7x - 1)i-t 2

l. lm (Ir2 + 3x + i)f-* -

3 . l i r ax + 1

m x 2

X2 - 25 5. Km r y r " T / *-5 Vx* +11

* * - 47. Um ,x2 4- 3* + 2

A ^ - 5x + 69. lm ----------------i->3 x 3

x2 + 3x + 21L lm---- ;-----i-- jt I t, x* + 4x + 413. lm ----- - - -

-*-2 x* 4

^ x2 + X - 215. Um; ----------

-^+1 x2 3x + 2

17. Um9 - x

*~9 V x ~ 3

x 119. lm 4 : ~i r - 1

*21. lm

23. Un

Vx 2 x3 64

x + 1

25. lm

mj i 2

V 4 + x - 2

V T + 3 - 2 27. lm ---------w l X2 1

Vi +x ~ 129, lira T77-T-----ri-*o v 4 4- x 2

4. lm Xa + 1

6, lm

*-*3 X + 3

x3 - 16

8. iro

*4 x mw 4

x2 -

1. Km

mi Xa + x 2

x2 5x + 6

12. lm

x-a x2 x 2

JE? - 9

14.

16.

i-3 x2 5x +

,, X2 -r 4x + 3lm -------------i-* -{ x2 +' 3x + 2

x 4lmr-i4

18. Um

20.

*22.

24.

2&

28.

V x - 2

V x - 3 x2 81

i m 4 ^-~ x 4

x3 - 729una 7-------x-fi V x 3

30. lm

2x + 5x + 7 x

V x T 7 - 3 x 2

V 9 + x - 3 x2 + 2x

V2 - x - 1 2 - Vx + 3

lmX*-$

lm*-2

lmj-tD

(31-36) Calcule lm /(x ), en donde f(x) y e se dan abajo.jr^*c

32. /(x) 3x + 1. parax 1j * - 3 j

X3 - 4

para x = 1

33. /(x ) = * ^3

34, /(x) -

35. /(x ) =

36. /(x ) -

x2 - 9

para x 2

para x = 2

para x = 3

c = 2

x + 3

5 para x 3

1x - I

3

r x - 9

para x ^ i

paraje -- 1

para 1 ^ 9

para x = 9

c = 1

(37-41) Las funciones /(x) y los valores de a estn < jo. Evale.

lmk->0

f (a + h) /(c ) h

en cada caso.

37. /(x ) 2x* + 3x + 1, a = 1

38. /Cx) = - 5x + 7, a - 2

39. /(*) - ** - I, a = 040. /(x ) = x2 + x + l , a ~ x

41. /(x) 2*1 + 5^ + 1, fl= x42. Una partcula cae del reposo bajo la accin de la

Cul es la velocidad instantnea despus de 1^43. Una pelota se arroja verucaimente hada arriba

locidad de 40 pies /segundo. La distancia recorr despus de t segundos est dada por la frmula lo/2. Determine la velocidad instantnea:

a. Despus de 1 segundo, b. Despus de 244 Ene! ejercicio 43, calcule la velocidad instant

de t segundos. Qu ocurre asando t locidad instantnea cuando f ?

45, Es este ejercicio, con su calculadora evale la.

466 CAPTULO 11 LA DERIVADA

UNIDAD 5 * MiTES V CONTINUIDAD_ J _ -> {j

I. Lm z indeterminacin)

r * I r 4)

>8 z -

2 , Lim (2 - 2*2 - 8 ~ --------

Lim z~* 8

iz ' + 4)

= L m ___________ L__I___________ - L n \__________________ = 1Z~*B i - z*8 i. JL n

(2 - r ; ' -r 4) z> + 2 z 3 + 4 i

}12 _ 0d. 1. L im _____ _ - "indeterminacin')

"-3 - :

2. I,:m ^-L : ------- A L L - L = Lim J 2 = ^ 5 I - i In~*3 V n 2 ~ - 4 \ r 2 + 7 ^ 4 *3 n2 4- 7 16

Lm ( n~ v r-~ ~ - 'r .4) = Xm V n 2 -f 7 + 4 =n-*3 r : _ G -3

. A C T I V i D A D j E S

EJERCITACIN. Determinar cules de los siguientes lmite.? MODELACIN. Factor izar cada expresin para poder calcular presentan indeterminaciones. el lim ite.

-> 1 1 1. Lim x + 4x + 2 2. Lim - ~ 1 5 . Lm - 1

pc- 0 *~*0 X -* - 1

3. Lm *2 + I 4 . Lm xl ~ 1 1 ' --5 -X--+1 .. *~0 ,X ~ l X - 1

39. Lm ** * 8

16. Lm a:2 - 1* -~ l * + 1

x3 + 118. Lm

x-*-\ X + 1

20. Lm *5 j

5, Lm x 2 ~ 2# + 1 6. Lm *2 - 3* + 1 ^ 2 x + 2 *->1 ~ 1Xr 1 x^ + 3

; 2 1 . Lim x1 + 3x2 + 2x 22. Lm 3x2 - 4x - 15

7. Lim V T ^ l a I.im * ~ 1 " 2 ~ x 6 *2 ~ 5* + 6

V 7 + 1 *'* * + i * - 3; 23, Lm ------------------- 24, Lm 6x2 + 5x - 6

- V I , r : * ' 3 ^ - f t - 3 - y , 5 ,2 -7* - 29- Lm v x - 2 jo, Lm (x !)(* 1-1

X ~ ^ 25. Lim ------ 26. Lim x2 ~ x 2Q*---i X4 - 1 *-5 *2 _ 7x + 10

. , 3 + 2: . . y _ -7U. L im ------------- 12. Lim x ,*-*3 * ~ 3 ^ 2 x2 + x _ J * 27. Lim ^ + 1 28. Lm * + 6x ~ 7

^~i x4 - x * + x ~ l *~~l X4 + Sx2 - 9

3. Lm (x ~ 2) ( ------- ^ 14. Lm 1 29_ Lm x2 + 5x ~ 14 30. Lim * + 4Jr~>2 \ X ~ 2 / x-*\ >2 ------- ;------------ t--4 ;--------------------------------

x2 4 - * - 6x - 40

193

EJERQTACIN. Relacionar cada funcin con la grfica de su

1 .()#?) = 4.x 2 ( ) / [ * ) - - - *

a.

4. ( ) (x) = -4 x

d.

t ~2i

\

RAZONAMIENTO. Utilizar la definicin de derivada, par; demostrar q u e la derivada de cada una de las siguiente: funciones es cero.5. /[*) = 1 6, ftx) = 37. tfx) = 0,02 8. f (x )= - 2 + 3 V 2

WOOCIAON, Hallar en cada funcin. dx

9,/(x) ~ x3 11. /(x) = x~4

1 3 . /(x) * - ~ r

JL3.5. - x 4

19. j(x) =

2i. /r*i 1

10. f(x) - X5 12 .f(x) = x32!/(*) - ~ r

S.fx) - x 3 18./Tx) = V ?

_3_20. /(x) ~ X~ 5

22. #*) * 1

30. = ;>- + 5;i

31, nx = x^ -3 '

32. f(x) = - x4:7

3 j , W - n>v-" + X;

34, tV ~ r + x^ ;

135. nV *x + x:

38. /V; = - ^ x4 Sr X3;

en x 1

en x = 1

en x - 2

en x = 2

en x 1

ien = ~

en x 0

RAZONAMIENTO. Escribir / si ~t ~ corresponde a la funcindx

v 5PR0BUMAS. Resolver23. La fu n cin /() t3 + 2f2 - t + 1 describe el funciona- j 37_ _. x^i + 2 miento de cierta mquina en segundos. Utilizar la aer- ;vada para determinar la ra2n de cambio instantneo para ; el funcionamiento de la mquina en t 4s. i 38. y = ~i~x2 + 124. La temperatura de cierto reactor qumico est dada por ; 4

1 l __iT(x) ~ -----2x. en la cual x es la presin del reactor. ; 39. u - ------- x 2

V x | 5Con qu rapidez cambia T en x - 9?

RAZONAMIENTO. Graficar cada funcin y dibujar la recta tangente a ella e n el punto dado.25. f[x) = 7x; en x - 226. jf(x) - 6x 2; en x - 2

27. /\x) = x3 -t'4 en x = ~ 1

28. /(x) = x3 -+- 5; en x 2 9. f(x) - 4x2 + 3; en x = 0

dada en cada caso y X si no, Justificar la respuesta.

= 8x2 + 2 dx

dy n

efe 2

dydx

dydx

1 JL x~ 210

6x2 + x2

du = 12X3 - 5x

dx

40. 1/ = 2X3 + X* 5

j 41: y = 3x4 - 5x + 2

j * PARA PENSAR.

I 42. Es posible que la derivada de una funcin, sea igual a I la derivada de otra funcin? Justificar con un

?s;n

Set. 3.1 Fundones 93

hTecnologa

FIGURA 3.1 Tabla fudoril;fev

i.-: * d i una funcin se calculan fcilmente con jora grfica. P f jemplo, suponga que:

r(x) = 17*4 ~ 13jt"+ 7, -

> csseamos encontrar'/(G .7), / ( 2.31) y /(1 0 ). ' -^2 caicuiadora TI'83, primero introducimos ia

com o Yt: , .

Y, = : 4 w - : 1 3 3 C 3- + 7. .

^manera su-a ld trodudm