guÍa de actividades matemÁtica - mtin01

Guía de Ejercicios

MTIN01 – Matemática

Disciplinas Básicas: Matemática

1

GUÍA DE EJERCICIOS

MATEMÁTICA – MTIN01

CIENCIAS BÁSICAS ÁREAS TRANSVERSALES

VICERRECTRÍA ACADÉMICA DE PREGRADO

Material realizado por: David Contreras

Cristina Fuenzalida

Guía de Ejercicios



2

Contenido Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información ............................................................................5

Conocimientos previos .........................................................................................................................................5

Ejercicios genéricos: .........................................................................................................................................5

Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas,

comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ...................... 10

Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 11


Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 16

Aprendizaje 1.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera

acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ........................................................................................ 23



Ejercicios propuestos: Genéricos .................................................................................................................. 30

Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................................................. 34

Mecánica ....................................................................................................................................................... 34

Construcción .................................................................................................................................................. 35

Procesos Industriales ..................................................................................................................................... 36

Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes ............................................................................................................ 37

Aprendizaje 2.1 Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y porcentajes estructurando su

estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e

interlocutores. ................................................................................................................................................... 37

Ejercicio resuelto 1 ........................................................................................................................................ 38







Guía de Ejercicios



3


Mecánica ....................................................................................................................................................... 58

Construcción .................................................................................................................................................. 59


Unidad 3: Álgebra .................................................................................................................................................. 61

Aprendizaje 3.1 Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategia de valorización, reducción de términos

semejantes, factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. .................................................... 61




Aprendizaje 3.2 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas

de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su

estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. .............. 68





Aprendizaje 3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y

sistemas de inecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica,

explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e

interlocutores. ................................................................................................................................................... 79





Mecánica ....................................................................................................................................................... 87

Construcción .................................................................................................................................................. 88


Guía de Ejercicios



4

Unidad 4: Funciones .............................................................................................................................................. 91

Aprendizaje 4.1 Representa funciones en forma tabular, gráfica y analítica describiendo sus características

generales, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. ....................................... 91


Ejercicios propuestos: Genéricos: ................................................................................................................. 93

Aprendizaje 4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos

modelos correspondan a funciones afines, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. ................................ 102

Ejercicio resuelto 1: ..................................................................................................................................... 103








Ejercicios propuestos: Genéricos. ............................................................................................................... 118

Ejercicios propuestos para la unidad ............................................................................................................... 122

Mecánica ..................................................................................................................................................... 122

Construcción ................................................................................................................................................ 124

Procesos Industriales ................................................................................................................................... 126

Guía de Ejercicios



5

Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información

Conocimientos previos

Ejercicios genéricos:

1. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. entre los siguientes números.

a) 70 y 120 b)

168 y 504 c) 130 y 455

d) 28, 35 y 56 e)

16, 120 y 210 f) 252, 308 y 504

2. Completa la siguiente tabla.

Número decimal Fracción

irreductible Número decimal

Fracción

irreductible

3. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando propiedades de potencias.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

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6

4. Realiza las siguientes operaciones sin calculadora, utilizando propiedades de raíces.

a) √ √ √ b) √ √ √ √ c) √ (√ √ ) √

d) ( √ )( √ ) e) ( √ ) √ (√ √ ) f) ( √ )

(√ √ )(√ √ )

5. Racionaliza los siguientes radicales.

a)

√

b)

√

c) √

√

d) √

√ e)

√

f)

√

6. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando prioridad de las operaciones.

a)

b) √(

)

( (

)

)

c)

( )

d)

(

)

e)

(

)

(( ) √

)

f)

( )

(√ )

√

g)

h)

7. En la calculadora científica los órdenes de las operaciones se introducen con paréntesis.

Así por ejemplo,

( (

)

)

Se ingresa como

( ( (

)

) (

) )

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7

En cada uno de los siguientes ejercicios, reescribe la expresión para ser ingresada a la calculadora usando el

mínimo de paréntesis y anota el resultado.

Operación planteada Expresión para ser ingresada a la calculadora usando el

mínimo de paréntesis

Resultado

a)

√

b)

(

)

c)

(

)

d)

e)

f)

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8

Soluciones:

1. a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.

Número decimal Fracción

irreductible Número decimal

Fracción

irreductible

3. a) b) c)

d) e) f)

g)

4. a) √ b) √ √ c) √ √

d) e) √ f) √

5. a) √

b)

√

c)

√

d) √

e) √ f)

√

6. a) b) √

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Guía de Ejercicios



9

7.

Operación planteada expresión para ser ingresada a la calculadora

usando el mínimo de paréntesis

Resultado

a)

√

(√

) (

)

b)

(

)

((

) ) (( (

))

)

c)

(

) (

) (

)

d)

( (

) )

e)

(

) ( (

))

f)

( (

))

Guía de Ejercicios



10

Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias

aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la

situación comunicativa e interlocutores.

Criterios de evaluación:

1.1.1 Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información.

1.1.2 Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez.

1.1.3 Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema.

1.1.4 Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

Para resolver un problema, recuerda:

a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones.

b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis.

c) Resolver el problema.

d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores.

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11

Ejercicio resuelto 1:

Los alumnos de una sección de la sede, están preparando una salida para celebrar los cumpleaños del mes.

de la clase prefiere salir el viernes,

prefiere salir el sábado y los 8 restantes, solo pueden salir de lunes a

jueves por razones de trabajo. ¿Cuál es el total de alumnos que puede salir viernes o sábado?

Solución:

Procedimiento N° 1

a) Identificar datos

-

de la clase prefiere salir el viernes.

-

de la clase prefiere salir el sábado.

- 8 alumnos pueden salir de lunes a jueves.

b) Establecer estrategia de resolución

Se utilizará ecuaciones de primer grado.

c) Resolver problema

Sea el número de alumnos de la clase. Entonces,

de la clase se escribe

y

de la clase se escribe

. Por lo tanto, la cantidad total de alumnos se calcula:

⏟

⏟

⏟

Luego podemos plantear la siguiente ecuación

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12

A continuación se muestran dos procedimientos para resolverla

Procedimiento 1 Procedimiento 2

Finalmente, si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves, entonces los 22 restantes salen

viernes o sábado

d) Comunicar resultados

22 alumnos prefieren salir viernes o sábado

Procedimiento N° 2


- fracción de alumnos que prefiere salir el viernes:

- fracción de alumnos que prefiere salir el sábado:

- N° de alumnos que puede salir de lunes a jueves: 8

b) Estrategia de resolución

Se utilizará propiedades de fracciones.

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13


Vamos a calcular la fracción que corresponde a los 8 alumnos

(

)⏟

Si

corresponde a 8 alumnos, entonces

de la clase se calcula 8:4, como se representa a continuación

2 2

2 2

Luego si 2 alumnos corresponden a

, entonces el total de alumnos se calcula


Si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves, entonces los 22 restantes salen viernes o

sábado.

8 alumnos =

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14


Calcular la cantidad aproximada de alambre que se necesita para construir un cubo en que el área de una cara

es 20 cm2.

Solución:


- Una de sus caras tiene una superficie de 20 cm2, como se muestra en el dibujo

b) Estabelcer estrategia de resolución

Al determinar la cantidad de alambre del cubo, se esta haciendo referencia a la arista del cubo. Como la

información entregada en el enunciado hace referencia al área de una de las caras, se utilizará la fórmula

de área de un cuadrado para calcular la medida de la arista y luego se multiplicará por el total d earistas del

cubo.


Sea la medida de una arista del cubo

Sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de sus lados, luego

/ estramos la raíz cuadrada

√ √ / √ | | | |

20 cm2

20 cm2

X

X

X

X

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15

√ / simplificando la raíz cuadrada

√

√

Por lo tanto, la longitud de la arista del cubo es √ . Se sabe además que un cubo tiene 12 aristas,

entonces para determinar la cantidad necesaria de alambre para construir el cubo, se debe multiplicar 12

por la longitud de una arista.

√ √

Utilizando la calculadora y aproximando a las centésimas, se obtiene:

√


Para la confección del cubo se necesita aproximadamente 53,7 cm de alambre.

Observación: Es importante realizar las aproximaciones de los números irracionales solo al finalizar el ejercicio,

ya que la aproximación no es una igualdad, por ende, si se van realizando aproximaciones en

cada paso, el margen de error aumenta y esto repercute en la precisión de la respuesta.

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16

Ejercicios propuestos: Genéricos.

1. Un huevero tiene ante si seis cestas de huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de gallina o de pata. El

número de huevos de cada cesta es: 6, 12, 14, 15, 23 y 29. El huevero señala una cesta y dice: “Si vendo

esta cesta me quedarán el doble de huevos de gallina que de pata” ¿De qué cesta habla?

2. En la biblioteca de un establecimiento de educación superior, los libros pueden ser colocados de 7 en 7, de

5 en 5, de 11 en 11 o de 21 en 21, sin que sobren ni falten libros. ¿Cuántos libros hay si en total son más de

3000 y menos de 4000?

3. En una librería se compraron 432 cuadernos, 288 gomas y 336 lápices para ofrecer una pack de útiles

escolares. Si cada pack debe tener el mismo número de artículos de cada tipo y se utilizan todos los

artículos ¿Cuál es el mayor número de pack que se pueden hacer? ¿Cuántos artículos de cada tipo tiene un

pack?

4. Gastón tiene algunas tablas de 2 por 5 pulgadas y de diferentes largos. Algunas son de 60 pulgadas de largo

y otras son de 72. Desea cortarlas a fin de obtener piezas de igual longitud ¿Cuál es la mayor longitud de

cada pieza que puede cortar sin desperdiciar ningún pedazo?

5. Una sala de eventos mide 2310 cm de largo y 1176 cm de ancho. Se quiere cubrir todo el piso sólo con

baldosas cuadradas ¿Cuál debe ser la medida del lado de cada baldosa si se desea utilizar el menor número

posible de baldosas? ¿Cuántas baldosas se necesitan?

6. En una competencia de bicicletas dentro de una pista circular, los competidores comienzan en el mismo

lugar y avanzan en la misma dirección. Uno de ellos completa una vuelta cada 40 segundos, mientras que

otro lo hace cada 45 segundos. ¿Cuántos minutos pasarán hasta que ambas alcancen de nuevo el punto de

salida simultáneamente?

7. En la industria vitivinícola Santa Rita hay dos toneles, uno de vino blanco y otro de vino tinto, cuyas

capacidades son 154 y 210 litros de vino respectivamente. Si se quieren que las garrafas para envasar el

vino tengan igual capacidad y utilizar el menor número posible de ellas ¿Cuál debe ser la capacidad de las

garrafas para desocupar completamente los toneles?

8. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en

la segunda caja, en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada

caja

9. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se

descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo

15 malas y 9 omitidas?

10. Con pequeños cuadrados congruentes dispuestos como se muestra en la figura siguiente, se construye otro

cuadrado.

¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2013?

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17

11. Se tienen tres bolsas cerradas que contienen dos frutas cada una. En una hay dos manzanas, en otra hay

dos naranjas y en la tercera hay una naranja y una manzana. Las bolsas están marcadas como se indica,

pero se sabe que los rótulos están equivocados.

¿Es posible saber el contenido de las tres bolsas, abriendo sólo una y extrayendo una fruta sin mirar la

otra? Justifica tu respuesta.

12. El cajero de una compañía se da cuenta, al hacer el arqueo, que falta

del total del dinero recaudado ¿Qué

parte de lo que queda restituiría lo perdido?

13. Un pueblo decide pavimentar una calle principal. Con los aportes de los habitantes se pudo pagar la mitad

de la obra. El Intendente pide ayuda a la nación y a la provincia. El aporte provincial será el triple del

nacional, y la mitad del hecho por los vecinos pero aun así faltarán $ 1.650.000 ¿Cuánto cuesta la obra?

14. Un hombre reparte un campo entre sus hijos. Al primero le entrega un cuarto del terreno, al segundo le

entrega la tercera parte del terreno y al tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno?

15. En la preparación de una ensalada de frutas se ocupa

kg de uva a $ 300 el kilogramo,

kg de frutilla a $

450 el kilogramo,

kg de manzanas a $ 200 el kilogramo, medio kilo de plátanos a $280 el kilogramo y

kg

de peras a $ 180 el kilogramo. ¿Cuál es el precio promedio de la mezcla? ¿Cuál es el costo de una porción

de 220 g?

16. A Claudia le inyectaron un antibiótico que mata, cada día,

de las bacterias que están en su cuerpo, es

decir, el segundo día le quedan

de las bacterias que tenía inicialmente. Construye una tabla que indique

el día y la fracción de bacterias que muere por día. ¿Qué fracción de ellas muere al tercer, al cuarto y al

octavo día? ¿Es posible que el antibiótico logre en un determinado número de días matar todas las

bacterias? Fundamenta tu respuesta.

17. Un biólogo toma una muestra de cierta colonia de bacterias para analizarlas. Después de una ardua

investigación descubre que estas se duplican cada una hora. Si la muestra estaba conformada por

bacterias al medido día, ¿Cuántas bacterias habrá a las 3 pm y a las 6 pm? ¿Cuántas bacterias habrá a las 12

pm del día siguiente?

18. El átomo de hidrógeno es el más ligero ya que tiene una masa de g ¿Cuántos de estos átomos

hay en 1 kg de hidrógeno?

19. La magnitud de la Fuerza con la que se atraen dos objetos físicos cualesquiera, está dada por la fórmula

, donde es la fuerza de atracción entre los cuerpos, y son las masas de los cuerpos

en kilógramos, es la distancia en metros entre los centros de las masas y es una constante. Se ha

determinado que la masa de la tierra es kg, la masa del Sol es kg y la

Guía de Ejercicios



18

distancia que los separa es m. Si

, calcula la magnitud de la Fuerza

con la que se atraen la tierra y el sol.

20. En el rectángulo ACEG, AB = 9 cm, BC = 21 cm, CD = 11 cm, DE = 9 cm, EF = 11 cm y GH = 7 cm. ¿Cuánto

mide el área sombreada?

21. Las farolas de una ciudad tienen la forma de la imagen. Los cristales de la parte superior tienen 26,7 cm de

arista superior, 30,7 cm de arista inferior y 15,4 cm de arista lateral. Los cristales de la parte inferior tienen

30,7 cm de arista superior, 21 cm de arista inferior y 37,2 cm de arista lateral. ¿Qué cantidad de cristal

tiene cada farola?

22. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles.

a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja los bordes de la pista?

b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista?

c) ¿Cuánta superficie tiene la pista?

23. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4,2 cm de lado con una cuerda de 7,7 m de

longitud. Calcular el área de la región en la que puede moverse.

24. ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 24 m2?

Guía de Ejercicios



19

25. Una lata de conservas cilíndrica tiene 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad?

¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la

etiqueta?

26. El cubo de arista 1,2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un

cuadrado de lado 0,12 m. Calcula el volumen del cubo con el agujero.

27. Alex tiene un acuario con forma de prisma de base rectangular que contiene agua

hasta una profundidad de 50 cm. Sus dimensiones

basales son 60 cm de largo y 40 cm de ancho.

a) ¿Cuántos litros de agua contiene el acuario?

b) Alex notó que cuando hundió una piedra en

el acuario el nivel del agua se elevó 4 cm

¿Cuál es el volumen de la piedra?

28. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1,3 cm de radio. ¿Qué altura alcanzará el agua?

29. Una piscina tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo, como se muestra en el

dibujo. Si su rango de profundidad va de 0,8 m a 2,2 m ¿Cuántos litros de agua, como máximo, puede

contener?

30. Con cilíndricos de 47 cm de altura y 16 cm de radio se llena de agua una piscina con forma de

paralelepípedo rectangular de 3 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de alto. ¿Cuántos cilindros es necesario

vaciar en la piscina para llenarla?

31. ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de cada copa tiene una

altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm?

32. Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilíndrico de 3,1 cm de altura y 1,5 cm

de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el recipiente.

33. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, con un

grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero. ¿Qué volumen de mortero se necesita

para construirlo? ¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito?

Guía de Ejercicios



20

34. Durante una tormenta se registraron unas precipitaciones de 80 litros por metro cuadrado. ¿Qué altura

alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 15 cm de arista?

Soluciones:

1. De la cesta con 12 huevos.

2. 3465 libros.

3. Se pueden hacer como máximo 48 pack de útiles escolares, donde cada uno contiene 9 cuadernos, 6

gomas y 7 lápices.

4. Cada pieza es de 12 pulgadas.

5. La baldosa cuadrada tiene 42 cm de ancho y se necesitan 1540 baldosas.

6. 6 minutos.

7. Las garrafas deben ser de 14 litros cada una.

8. Una caja tenía 14 monedas y la otra 28.

9. 10 puntos.

10. 8056 cuadrados

11. Si las bolsas están mal etiquetadas se tiene lo siguiente:

Posible contenido de la bolsa

Dos naranjas o

una manzanas y

una naranja

Dos manzanas o

una manzana y

una naranja

Dos manzanas o

dos naranjas.

Si se debe abrir una bolsa esta es la marcada con MN, pues contiene dos frutas del mismo tipo,

luego al extraer una fruta:

Si es naranja la única posibilidad para la bolsa MM es tener una manzana y una naranja y en la

Guía de Ejercicios



21

bolsa NN dos manzanas

Si es manzana la única posibilidad para la bolsa NN es tener una manzana y una naranja y en la

bolsa MM dos naranjas.

Por lo tanto, es posible saber el contenido de cada bolsa solo si extraemos una fruta de la bolsa MN.

12.

13. $9.900.000

14. 48 hectáreas.

15. La mezcla cuesta $685 pesos y 220 g cuestan $67.

16. Al tercer día muere (

)

de bacterias, al cuarto día (

)

y al octavo día (

)

. Sin embargo, no es

posible matar todas las bacterias, pues por poco que quede, cada día mata

, de las bacterias.

17. A las 3 pm habrá bacterias, a las 6 pm habrá bacterias y a las 12 pm del día siguiente

habrá bacterias.

18. átomos

19. N

20. 310 cm2

21. 5566,6 cm2

22. a) 409,87 m b) 1144,63 m2 c) 1024,67 m

2

23. 158,94 cm2

24. 2 cm

25. La lata cilíndrica tiene una capacidad de 101,68 cm3 y para construirla se necesitan 604,44 cm

2 de

material y 338,98 cm2 de papel.

26. 1,7 m2

27. a) 120 litros b) 9.600 cm3

28. 1,32 cm

Guía de Ejercicios



22

29. 1.530.000 litros

30. 238 cilindros

31. 68 copas

32. 17,72 cm3

33. Se necesitan 3200 m3 de mortero y la piscina tiene una capacidad de 2.798.437,5 litros

34. 8 cm

Guía de Ejercicios



23

Aprendizaje 1.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando

sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.


1.2.1 Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una

situación.

1.2.2 Recoge información de tablas realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.






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24


En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se registró las horas en promedio diarias en usos de

tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. (Fuente:

INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile)

a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet?

c. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión?

d. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer?

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Leer Escuchar música oradio

Ver TV Navegar porInternet

Pro

me

dio

de

ho

ras

dia

rias

Actividades principales

Hombres

Mujeres

Guía de Ejercicios



25

Solución:


- El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de

comunicación de masas como actividad principal por sexo.


La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos contestamos las preguntas.


Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a continuación

Ahora contestamos las preguntas.

a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

Esta información no la entrega el gráfico.

b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet?

⏟

⏟

⏟

LeerEscucharmúsica o

radioVer TV

Navegar porInternet

Hombres 1,5 1,6 2,8 2,3

Mujeres 1,5 1,5 2,6 2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Pro

me

dio

de

ho

ras

dia

rias

Actividades principales

Hombres

Mujeres

Guía de Ejercicios



26

Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a minutos. Para ello debemos

recordar que una hora equivale a 60 minutos, por lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por

60 para obtener los minutos, como se muestra a continuación

⏟

⏟

c. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión?

La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo, luego es necesario calcular el promedio de horas

diarias que utilizan hombres y mujeres en ver televisión.

d. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer?

Para determinar la fracción del día debemos comparar mediante una división las horas que en

promedio una mujer dedica en un día a leer y el total de horas que tiene un día.

Para transformar el decimal a fracción utilizamos la calculadora científica. Según la calculadora se

utiliza distintas teclas, a continuación vamos a mostrar dos calculadoras diferentes.

Caso 1:

Caso 2:


a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de encuestados.

b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres en navegar por internet.

c. Los santiaguinos dedican, en promedio, 2,7 horas diarias en ver televisión

d. Las mujeres ocupan

parte del día en leer.

Se digita 0,0625, se apreta la tecla y aparece la fracción

𝑎 𝑏 𝑐

Se digita 0,0625, se apreta la tecla y aparece la fracción

𝑆 ⟺ 𝐷

Guía de Ejercicios



27


En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad

de los accidentes laborales. Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador como media del

tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo de accidente. Se extrajo una muestra de individuos

que habían sufrido un accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble entrada:

Muy Grave Grave Lesiones medias Leve

Muy fumador 20 10 10 30

Fumador 30 40 20 50

Fumador Esporádico 10 60 80 60

No fumador 5 20 30 50

a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?

b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

c. ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves?

d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores?

e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?

Solución:


La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes

laborales.


Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las preguntas.

Guía de Ejercicios



28


Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a continuación:

Muy Grave Grave

Lesiones

medias Leve Total

Muy fumador 20 10 10 30 70

Fumador 30 40 20 50 140

Fumador

Esporádico 10 60 80 60 210

No fumador 5 20 30 50 105

Total 65 130 140 190 525

Ahora contestamos las preguntas

a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?

525 individuos

b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

⏞

⏟

Para simplificar una fracción con calculadora se utilizan distintos procedimientos según el modelo de la

calculadora. Por ejemplo, utilizando la calculadora Casio fx-82xx se realiza lo siguiente:

c. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves?

105 525 1/5 𝑎 𝑏 𝑐

Guía de Ejercicios



29

⏞

⏟

d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores?

⏞

⏟

e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?

⏞

⏟


En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales un quinto no fuma. De los

fumadores, dos séptimos han tenido accidentes graves mientras que de los muy fumadores sólo un

séptimo. Respecto de los individuos que sufren accidentes graves, un treceavo son muy fumadores.

Guía de Ejercicios



30

Ejercicios propuestos: Genéricos

1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino Benítez ubicado en la Región

Metropolitana, durante un día lunes de temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la

capacidad de cada avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo.

En base a los datos entregados en el gráfico:

a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes?

b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas?

c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica?

d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes?

e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas?

2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo

(en horas) y la distancia recorrida (en kilómetros).

a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron?

b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la excursión?

c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó?

Arica

Antofagasta

Temuco

Punta Arenas

La Serena

Guía de Ejercicios



31

d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el autobús hasta la próxima

detención?

e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se encuentra el autobús

de su punto de partida?

3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial?

b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg menos de la dosis inicial?

d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10 mg de concentración

en sangre de anestesia?

e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la anestesia?

4. Dos atletas participan en una carrera de 1000 metros. El gráfico describe en forma aproximada el

comportamiento de los atletas en dicha prueba.

a) ¿Cuál atleta empezó la carrera más rápido? Justifica tu respuesta

b) ¿En qué momento un atleta alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Quién fue el atleta alcanzado?

c) ¿Quién ganó la carrera?

Guía de Ejercicios



32

5. En la asignatura Física I, están realizando el siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada grupo

dispone de una regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico,. El experimento

consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir agregando monedas de $10 en el vaso. Para

ello, los estudiantes realizan el experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder

establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y luego los grafican.

El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres grupos del curso. Los

gráficos fueron los siguientes:

¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu respuesta (Sugerencia: Construye

una tabla de valores correspondientes a cada gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas)

6. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo con la medida de

desconectar de las máquinas a quienes permanecen en estado vegetal. Según segmento socioeconómico,

los resultados se muestran en la siguiente tabla, en número de casos:

Segmento socioeconómico Total Alto Medio Bajo

¿Está de

acuerdo?

Si 51 158

No 48

Total 73 109 91

Completa la tabla y luego el siguiente párrafo:

De un total de . . . . . . . . . . personas encuestadas, el . . . . . . . . . . % se manifestó de acuerdo con la

medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De

estos, el . . . . . . . . % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . . . . . . % en el

segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . . . . . . . % esté de

acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el . . . . . . . .% lo está.

Guía de Ejercicios



33

Soluciones:

1. a) 46 vuelos b) 1.320 pasajeros c) 1.250 pasajeros

d) 6.690 pasajeros e) Temuco y Punta Arenas

2. a) 140 km b) 280 km c) 5 horas

d) 60 km e) 80 km

3. a) 100 mg b) 45 mg c) 2,5 minutos

d) 40 minutos e) 70 minutos

4. a) El atleta A, pues en el mismo tiempo recorrió mayor distancia que el atleta B.

b) A los 120 segundos el atleta B alcanza al atleta A.

c) El atleta B, porque recorrió los 1000 metros en 160 segundos, mientras que A lo

hizo en 180.

5. Al comparar los datos mediante una tabla, se observa que con una misma cantidad de

monedas se obtiene el mismo alargamiento, por lo tanto, los resortes son iguales, pero las

gráficas difieren en forma, porque están diseñadas a distinta escala.

6. Segmento socioeconómico Total Alto Medio Bajo

¿Está de

acuerdo?

Si 51 61 46 158

No 22 48 45 115

Total 73 109 91 273

De un total de 273 personas encuestadas, el 57,9 % se manifestó de acuerdo con la medida

de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal.

De estos, el 38,6 % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el 32,3

% en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el

69,9 % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el 50,5

% lo está.

Guía de Ejercicios



34

Ejercicios propuestos para la unidad

Mecánica

1. Claudio llenó el estanque de su vehículo para ir a visitar a su amiga Javiera que vive en una parcela a las

afueras de Santiago. Después de recorrer los

del trayecto, se da cuenta que ha consumido los

de la

gasolina que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros, ¿cuál es la capacidad del

estanque del auto de Claudio?

2. Juan desea aflojar una tuerca de una medida que desconoce. Para probar utiliza una llave de

pulgada que

le queda chica, luego decide utilizar una llave de

pulgada que le queda grande, entonces, se da cuenta

que la medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. ¿De cuántas pulgadas es la

llave que debe utilizar Juan?

3. Un tecle de 5,20 m de altura que sostiene una cadena de remolque de 8,10 m de largo unida en sus

extremos, se encuentra sobre un foso de 1,80 m de profundidad. Se quiere rescatar un motor que tiene una

altura de 70 cm ubicado en el fondo del foso. Si para ello se necesita unir una cadena a la que tiene el tecle

que debe quedar doble para que haga el mismo juego que la original ¿Cuál será el largo de la cadena para

poder subir el motor a la superficie?

4. Según el INE, el año 2011 las regiones que concentraron mayor cantidad de vehículos fueron la región del

Biobío y la Metropolitana con un total de 1.904.208 vehículos. De entre ellos, 1.870.402 eran motorizados y

390.530 de la región del Biobío. Además 22.727 vehículos no motorizados circularon por la región

metropolitana.

a. Con la información anterior, completa la siguiente tabla.

Vehículos

motorizados no motorizados Totales

VIII del Bío Bío

XIII Metropolitana

Totales

b. ¿Cuántos vehículos motorizados circularon por la región del Biobío el año 2011?

Guía de Ejercicios



35

Soluciones:

1. La capacidad del estanque es 50 litros. 2. Debe utilizar una llave de 5/8 de pulgada.

3. 4,27 metros.

4. a)

Vehículos

motorizados no motorizados Totales

VIII del Bío Bío 379.451 11.079 390.530

XIII Metropolitana 1.490.951 22.727 1.513.678

Totales 1.870.402 33.806 1.904.208

b) Circularon 379.451 autos.

Construcción

1. Para la reparación de una reja, una barra de fierro se corta en 5 trozos de 25 cm; 62,5 cm;

m; 75,5 cm y

1,20 m respectivamente. ¿Qué longitud tenía inicialmente la barra, si en cada corte se pierde

aproximadamente

cm?

2. Se quiere cerrar un sitio cuadrado de área 120 m2 con tres corridas de alambre púa.

a. ¿Cuánto alambre se debe comprar para cercar el terreno?

b. Si por un rollo de 50 m se pagan $16.800. ¿Cuánto se debe pagar por el alambre que se necesita?

(sólo se vende por royos).

3. Una cancha de acopio de material para hacer estabilizado, tiene un largo de 80 m. y un ancho de 55 m. Si

se aumenta el largo en la décima parte ¿En cuántos metros debe aumentarse el ancho para que la

superficie de la cancha aumente al doble?

Soluciones:

1. 335 cm aproximadamente. 2. a) 132 metros aproximadamente. b) $50.400

3. Se debe aumentar en 45 cm.

Guía de Ejercicios



36

Procesos Industriales

1. En la estación TOBALABA del metro, punto de convergencia de las líneas 1 y 4, debido a la alta congestión

de público, se determinó ampliar la platabanda de espera cuyas dimensiones son, 70 m de largo por 4,60 m

de ancho. Su largo se aumentará en 15 m y para mayor seguridad, la franja amarilla que indica la menor

distancia que debe separar el andén del pasajero que espera el tren, de 60 cm quedará ahora ubicada a 70

cm. ¿En cuántos m2 se aumentará el área de la superficie que puede ocupar el pasajero sin riesgos?

2. La política de control de calidad de la fábrica de envases de vidrio “El CRISTAL S.A.”, no les permite fabricar

nuevos modelos, si estos no superan al menos 120 pruebas cuya tolerancia máxima de falla es 0,012.

Completa la tabla para hallar el indicador de tolerancia para cada tipo de envase.

Modelos Pruebas No aprobados Tolerancia falla

Glass A 80 1

Glass B 180 2

Glass C 300 3

¿Qué tipo de modelo crees que será aceptado? Fundamenta.

3. Una empresa importadora de rodamientos, tiene convenio con proveedores de tres países pertenecientes

al MERCOSUR. La mitad se los compra a un país A, mientras que a B y C se les compra un cuarto a cada

uno. El departamento de control de calidad de la empresa determinó que de un total de 3.000 unidades

que llegaron en un embarque, la fracción de rodamientos defectuosos que llegaron de A , B y C es

respectivamente. ¿Cuál es la cantidad de unidades defectuosas provenientes de cada uno de

los proveedores

Soluciones:

1. Aumenta en 51,5 m2.

2. Podrían aceptar Glass B o Glass C, porque tienen tolerancia de falla menor a 0,012.

3. La cantidad de unidades defectuosas son 75, 75 y 90 respectivamente.

Guía de Ejercicios



37

Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes

Aprendizaje 2.1 Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y

porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus

resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.


2.1.1 Determina la solución de problemas que involucren la comparación de cantidades por medio de razones,

comunicando sus resultados de manera acorde a la situación.

2.1.2 Establece el tipo de proporcionalidad entre variables dadas, para dar respuesta a un problema,

justificando su decisión.

2.1.3 Aplica estrategias de proporcionalidad para dar respuesta a un problema contextualizado, explicando su

estrategia.

2.1.4 Realiza cálculo de porcentajes mediante estrategias de proporcionalidad, numérica decimal o fraccionaria

para resolver situaciones problemáticas, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación.






Guía de Ejercicios



38

Ejercicio resuelto 1

Una persona viaja de Santiago a la Serena en un automóvil a una rapidez constante de 110 km/h durante 4

horas y media sin detenerse. Si el rendimiento de este vehículo en carretera es 19 km/l ¿Cuántos litros de

combustible ha consumido en el viaje?

Solución:


- rapidez del vehículo: 110 km/h

- Tiempo de viaje: 4,5 horas

- Rendimiento del vehículo : 19 km/l


Interpretar las razones en juego y aplicar sus propiedades.


La rapidez 110 km/h significa que en una hora el vehículo ha recorrido 110 kilómetros, por lo tanto, la

distancia recorrida en 4,5 horas se calcula

El rendimiento 19 km/l significa que con un litro de combustible se puede recorrer una distancia de 19 km,

luego los litros consumidos en 605 kilómetros se calcula


Se ha consumido aproximadamente 26 litros de combustible.

Guía de Ejercicios



39


Una empresa constructora estima que se necesitan 8 obreros para construir una casa en un período de 35 días.

Sin embargo, el cliente solicita que no tarden más de 21 días. ¿Cuántos obreros, como mínimo, se requieren?

Solución:


Cantidad de obreros Tiempo en días

8 35

¿? 21


Reconocer el tipo de proporcionalidad entre las dos variables y aplicar sus propiedades.


Si el tiempo de construcción de la casa disminuye, entonces será necesario más obreros para realizarla, por

lo tanto, la cantidad de obreros es inversamente proporcionalida a los días. Luego, para calcular la

constante de proporcionalidad se multiplican los valores correspondientes a cada variable.

Cantidad de obreros Tiempo en días Constante

8 35

21

Sabemos que la cantidad de obreros debe ser un número natural, es decir, 13 o 14. Entonces, para

determinar cuál es la cantidad adecuada se calcula el tiempo en días para cada caso.

Cantidad de obreros Tiempo en días

8 35

13

14


Se necesitan al menos 14 obreros para construir la casa en menos de 21 días.

Guía de Ejercicios



40


Diez mecánicos reparan ocho vehículos en doce días. ¿Cuántos mecánicos repararán 9 vehículos en 15 días

trabajando la misma cantidad de horas diarias?

Solución:


Cantidad de mecánicos Cantidad de vehículos Tiempo en días

10 8 12

¿? 9 15


Reconocer el tipo de proporcionalidad entre dos variables considerando la tercera constante y aplicar las

propiedades según tipo de proporcionslidad.


Considerando el tiempo constante y que la cantidad de mecánicos es directamente proporcional a la

cantidad de vehículos, podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para reparar un vehículo en

12 días.


10 8 12

9 12

Del mismo modo, considerando que la cantidad de vehículos constante y el tiempo es inversamente

proporcional a la cantidad de mecánicos, podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para

reparar 9 vehículos en 15 días.


11,25 9 12

9 15


Se necesitan 9 mecánicos para reparar 9 vehículos en 15 días.

Guía de Ejercicios



41


Muchos de los materiales que se utilizan en la construcción de máquinas o estructuras, están sometidos a

esfuerzos variables que se repiten con frecuencia. En el gráfico se muestra el ensayo de fatiga de un material.

Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es el esfuerzo al que ha sido sometido el material en el ciclo

931?

Solución:


Número de ciclos Esfuerzo MPa

4 500

8 250

12 ]150,180[

16 ]100,130[

20 100

24 ]80,100[


Si dos variables son inversamente proporcionales, su representación gráfica corresponde a una hipérbola,

esto es, una curva que se acerca progresivamente a los ejes pero nunca los toca. Para verificar que la

gráfica representa una relación inversamente proporcional, extraemos algunos datos, los organizamos en

una tabla y multiplicamos los valores correspondientes a cada variable.

0

100

200

300

400

500

600

4 8 12 16 20 24

Esfu

erz

o M

Pa

Número de ciclos

Ensayo de fatiga

Guía de Ejercicios



42

Número de ciclos Esfuerzo MPa Constante

4 500

8 250

12 ]150,180[

16 ]100,130[

20 100

24 ]100,130[

c) Vemos que el producto de los valores correspondientes de cada variable es constante, por lo tanto el

esfuerzo es inversamente proporcional al número de ciclos.

d) Resolver problema

Sabemos que la constante de proporcionalidad es 2000. Luego, si es el esfuerzo aplicado en el ciclo

número 93 se tiene que:

Número de ciclos Esfuerzo MPa Constante

93

e) Comunicar resultados

El esfuerzo en el ciclo 93 es aproximadamente 21,5 MPa

Guía de Ejercicios



43


En una encuesta, el 25% de las personas consultadas contestó que la mejor zona para tener residencia es en las

periferias de Santiago mientras que el 55% dijo que era entorno al centro de la capital. Si 180 personas

contestaron otros sectores de Santiago ¿Cuántas personas contestaron que la mejor zona para tener residencia

en Santiago es entorno al centro?

Solución:


- 25% de los encuestados prefieren la perisferia de Santiago.

- 55% de los encuestados prefieren entorno al centro de Santigo.

- 180 personas contestaron otras zonas de Santiago.

- Lo que se solicita es la cantidad de personas que contestó por tener residencia entorno al centro de

Santiago.


Según los datos identificados, la estrategia será mediante cálculo de porcentajes y el uso de

proporcionalidad directa.


El 25% y el 55% de los encuestados corresponden a un 80% del total. Esto implica que el 20% restante se

relaciona con las 180 personas que prefieren otras zonas de Santiago. Por ende se establece la siguiente

tabla de proporcionalidad, donde “ ” es la cantidad de encuestados que prefiere entorno al centro de

Santiago.

Encuestados %

180 20

x 55

Como el porcentaje es una proporción directa, se plantea la siguiente ecuación:


495 personas prefieren tener residencia entorno al centro de Santiago.

Guía de Ejercicios



44


Se debe fabricar concreto con cemento, arena y grava en la razón y de agua para 8 zapatas cuyo

volumen total es La tabla 1 muestra el coeficiente de aporte de material para concreto y mortero. Si en

el proceso de construcción se pierde el 10% de material ¿Qué cantidad de cada material se necesita?

Tabla 1

Coeficiente de aporte de material para

concreto y mortero

(cantidad real de material sin vacíos que

interviene en la mezcla)

Cemento 50%

Arena 60%

Grava 60%

Piedra 60%

Agua 100%

Solución:


- Los volúmenes aparentes de cemento, arena y grava están en la razón 1:2:2,5.

- 15% de la mezcla es agua.

- es el volumen de concreto a utilizar.

- 10% de material se pierde en el proceso de construcción.


Calcular el volumen real de la mezcla por según la razón entre los volúmenes aparentes de los

materiales que debe contener. Luego, con este volumen se calculan proporcionalmente los volúmenes

aparentes necesarios para fabricar un concreto que cubra un volumen real de . Finalmente se

calcula la cantidad real de cada material considerando que el 10% de ellos se pierde en el proceso de

construcción.


Si cemento, arena y grava están en la razón 1:2:2,5 significa que por de cemento se necesitan de

arena y de grava. Además, la cantidad de material para el concreto está determinada por los

porcentajes especificados en la tabla 1. Entonces la cantidad de concreto que se fabrica por se calcula:

- Si es la cantidad de cemento en el concreto, podemos organizar los datos en una tabla.

Los materiales al estar en forma granulada presentan vacíos entre sus partículas, por lo tanto en ese estado tienen volúmenes aparentes, pero al mezclarse entre si, los vacíos de los materiales más gruesos son ocupados por las partículas de los más pequeños y los de estos por el agua, es decir, los vacíos desaparecen, por lo tanto presentan volúmenes reales.

Guía de Ejercicios



45

Volumen cemento porcentaje

100%

50%

El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa, entonces la cantidad de cemento se obtiene:

Del mismo modo, se calculan la cantidad de arena y grava.

Volumen arena porcentaje

100%

60%

Volumen grava porcentaje

100%

60%

Además un 15% de la mezcla es agua, luego si es la cantidad de agua de la mezcla, se tiene:

Volumen agua porcentaje

100%

15%

Por lo tanto, el volumen de concreto que se fabrica por se calcula sumando los volúmenes reales de

cada material.

⏟

⏟

⏟

⏟

Si por se debe fabricar un concreto con volumen real de , debemos calcular

proporcionalmente el volumen aparente de cada material para que la mezcla tenga .

Guía de Ejercicios



46

Volumen

aparente cemento

Volumen

real

concreto

Volumen

aparente arena

Volumen

real

concreto

Volumen

aparente grava

Volumen

real

concreto

Volumen

aparente agua

Volumen

real

concreto

Se sabe que 10% de material se pierde en el proceso de construcción, entonces cada una de las cantidades

anteriores corresponde a lo no desperdiciado, es decir, el 90% del volumen real del material. Por lo tanto,

el volumen real de cemento considerando el desperdicio se calcula:

Volumen porcentaje

90%

100%

Del mismo modo se obtienen los volúmenes para la arena, grava y agua.


Por lo tanto, considerando el material desperdiciado, se necesita de cemento, de

arena, de grava y litros de agua para utilizar de concreto.

Guía de Ejercicios



47

e) Verificación

Vamos verificar que el volumen aparente del cemento, arena y grava esté en al razón .

⏟

⏟

⏟

Debemos recordar que los valores calculados han sido aproximados a la milésima, por lo tanto, al verificar

la razón habrá un margen de error. En este caso el error es .

También es necesario comprobar el 15% de agua en la mezcla. Para ello sumamos los volúmenes de

cemento, arena y grava y calculamos el 15% de ese total.

Finalmente, hay que probar que el volumen real de mezcla es

Material Volumen aparente

con desperdicio

Volumen aparente sin

desperdicio Volumen real

Cemento

Arena

Grava

Agua

Total

Guía de Ejercicios



48


1. Interpreta cada razón según su contexto.

a)

b)

2. Las siguientes tablas proporcionan los valores aproximados de la energía de ciertos alimentos y el consumo

de energía aproximado de algunas actividades, en kilojoules (kj). Calcula el tiempo que toma utilizar la

energía de los siguientes alimentos:

a) Una hamburguesa, si corriera.

b) Una malteada de chocolate, si caminara.

c) Un vaso de leche descremada, si practicara ciclismo.

Valor energético

Alimento kj

Malteada de chocolate 2200

Huevo frito 460

Hamburguesa 1550

Pastel de fresa 1440

Vaso de leche descremada 350

Consumo de energía

Actividad Kj/min

Caminata 25

Ciclismo 35

Natación 50

Carrera 80

3. El consumo de una estufa a mecha es 0,286 Litros/hora. Si el estanque tiene una capacidad de 6,3 litros

pero solo tiene las tres cuartas partes con parafina ¿Cuántas horas, aproximadamente, está encendida?

4. Las cantidades de un licor A de 12° GL, de un licor B de 30° GL, de un licor C de 28,5° GL y de un licor D de

35° GL están dadas en la razón de 2:3:4:7 en una preparación de 9 litros. ¿Cuántos litros de cada licor se

necesitan?

Guía de Ejercicios



49

5. En una empresa la razón entre hombres y mujeres es 7:2. Si hay 140 hombres más que mujeres ¿Cuántas

mujeres tiene la empresa?

6. Esteban, Jorge y Claudia compraron un número de rifa en $900. Jorge puso $300, Esteban $200 y Claudia el

resto. Si obtuvieron un premio de $702.000 y se lo repartieron en la razón del dinero que aportó cada uno.

¿Cuánto dinero recibió Claudia?

7. Un granjero tiene cierta cantidad de animales entre vacas y chanchos. La razón entre las vacas y el total de

animales es 4:13. Si hay 100 chanchos más que vacas ¿Cuántas vacas hay?

8. En cada una de las tablas que hay a continuación se presentan algunos datos correspondientes a distintas

relaciones. Utilizando los valores dados en cada tabla, determina si podría, la relación en cuestión, ser de

proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta.

a) b) c)

3

16 12

8 24

2 4

3 9

4 16

9 21

6 14

3 7

9. Examina cada uno de los siguientes gráficos y luego, determina si describe una relación de

proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o de otro tipo. Justifica tu respuesta.

a) b) c)

d) e) f)

Guía de Ejercicios



50

10. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el consumo de energía y el tiempo de funcionamiento de

dos máquinas industriales.

a) ¿Cuánto consume la Máquina 1 en una hora? ¿Y en 3 horas? ¿Y en 30 minutos?

b) ¿Cuánto consume la Máquina 2 en una hora? ¿Y en 4 horas?

c) ¿La relación entre las variables para cada máquina es de proporcionalidad directa, inversa o no

proporcional? Justifica tu respuesta.

11. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el largo y el peso de dos alambres que los identificaremos

como A y B. Utilizando la información que proveen estos gráficos, responde:

Guía de Ejercicios



51

a) ¿Cuál de los dos tipos de alambre es el más pesado? Justifica

b) Para cada tipo de alambre, determina el peso de 2,4 m.

c) Para cada tipo de alambre, determina el largo de 48 gr.

d) ¿A qué alambres corresponden los siguientes pares de valores?

El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr



12. Una embotelladora de bebidas dispone de botellas con las siguientes capacidades: 0,25l, 0,5l, 0,75l, 1l,

1,25l, 1,5l, 2l, 2,5l y 3l. En la embotelladora necesitan embotellar 60 litros de bebida, y quieren repartirlos

en botellas de un solo tipo.

a) Define las variables de la situación y construye una tabla de valores, considerando en ella todos los

tipos de botella de que dispone la embotelladora.

b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando.

c) Si se requiere que sean menos de 45 botellas, ¿qué capacidad deben tener las botellas?

13. Don Armando ha heredado una parcela de su abuela. Quiere construir un corral de forma rectangular para

sus ovejas. Él dispone de material suficiente para construir 240 metros de cerco y quiere utilizarlo todo, sin

que le falte ni sobre material.

a) Completa la siguiente tabla con las posibles dimensiones del corral.

Largo(m) 110 105 93 70 60

Ancho(m) 20 30 35 40

b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. Determina si

describe una relación de proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa o no proporcional.

Justifica tu respuesta.

Guía de Ejercicios



52

14. Alberto quiere sembrar pasto y para ello ha escogido la variedad Chépica Alemana. La información que este

pasto trae para su siembra es que se necesita ¼ kg de semillas por cada 10 m2.

a) Completa la siguiente tabla de valores relativa a la relación entre las variables de la situación,

escribiendo en la tabla dichas variables.

3 5

20 80

b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica

tu respuesta.

15. En La Serena se ofrece una casa en arriendo. La casa tiene una capacidad para 8 personas y tiene un costo

de $33.600 por un fin de semana. Un grupo de amigos quiere ir este fin de semana distribuyéndose

equitativamente los costos.

a) Uno de los integrantes de este grupo quiere saber si dispone del dinero suficiente para ir. Para ello

necesita saber cuánto debe pagar en cada uno de los casos posibles (de 1 a 8 personas). Haz una

tabla que contenga esta información

b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica

tu respuesta.

16. Andrea tiene un plan telefónico de $9.000 mensuales. En este plan, cada minuto que habla tiene un valor

de $180, que se van restando de los $9.000. Haz una tabla, con cinco casos, que muestre la relación entre

los minutos que Andrea pudiese hablar durante el mes y la cantidad de dinero disponible que quedaría en

su teléfono. ¿La relación que existe entre las variables de la situación es directamente proporcional,

inversamente proporcional o no proporcional? Justifica tu respuesta.

17. Resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa o inversa,

según corresponda.

a) El área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de su diagonal. Si para

un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm, el área es 18 cm2, escribe la fórmula que relaciona el área y la

longitud de la diagonal del cuadrado.

b) Sean , y tres variables tales que es directamente proporcional a e inversamente proporcional

a . En una situación dada los valores de las variables son ¿Cuál sería el valor

de si la situación cambia a ?

c) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros etiquetarán la misma cantidad de

tarros en 4 horas?

d) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros como mínimo se necesitan para

etiquetar al menos 40 tarros en el mismo tiempo?

e) Se emplean 8 máquinas para realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de tres máquinas menos,

¿Cuántos días se emplearían en hacer el mismo trabajo?

Guía de Ejercicios



53

f) Veinte personas consumen aproximadamente 520 kg. de carne en 10 días. ¿Cuántos kg de carne

consumen 16 personas en 8 días en las mismas condiciones?

18. Completa la siguiente tabla con la representación fraccionaria y decimal de los porcentajes dados.

Tanto por ciento Fracción irreductible Decimal

12

25

75

33

19. Si la tasa de desempleo en el Gran Santiago fue de 5,2% en diciembre de 2012, lo que equivale a 156.900

personas desocupadas ¿Cuántas personas de Santiago tenían empleo en ese período?

20. Según la información de la noticia que se muestra a continuación ¿Cuántas Pymes más fueron beneficiadas

por la Corfo el año 2012 respecto del 2009?

Guía de Ejercicios



54

21. Según la información de la imagen ¿Cuántos buses nuevos tiene el transantiago este año?

22. El precio de un artículo con IVA incluido es $56.990 ¿Cuánto dinero se paga por concepto de IVA (19%)?

23. El precio de un perfume es $21.990. Se puede comprar al contado o en 8 cuotas de $3.126 cada una ¿Cuál

es, aproximadamente, el porcentaje de recargo sobre el precio contado al comprar el perfume en 8

cuotas?

24. Si se sabe que una boleta de honorarios retiene el 10% de impuestos ¿Por cuánto dinero se debe emitir

una boleta para recibir líquido $480.000?

Soluciones:

1. a) Un vehículo, que viaja a rapidez

constante, en una hora debe recorrer

50 km.

b) En 5 ml de jarabe hay 15 mg de

fármaco.

2. a) 19,38 minutos b) 88 minutos c) 10 minutos

3. 16 horas y media, aprox.

4. 1,125 l de un licor A de 12° GL, 1,688 l de un licor B de 30° GL, 2,25 l de un licor C de 28,5° GL y 3,938

l de un licor D de 35° GL

5. 56 mujeres.

6. $ 312.000 recibe Claudia.

7. 80 vacas.

8. a) Las variables son inversamente proporcionales, pues al multiplicar los valores de con su

correspondientes en siempre se obtiene 192.

b) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al

dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

c) Las variables son inversamente proporcionales, pues al dividir los valores de con su

correspondientes en siempre se obtiene

.

9. a) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al


Guía de Ejercicios



55

b) La relación entre las variable es de proporcional inversa, pues si multiplicamos los valores

los valores de con su correspondientes en , siempre se obtiene 20.

c) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al


d) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al


e) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al


f) La relación entre las variable es de proporcional directa, pues al dividir los valores de con

su correspondientes en siempre se obtiene 3.

10. a) En una hora consume 30 Kwh, en 3 horas 90 Kwh y en 30 minutos 15 Kwh.

b) En una hora consume 30 Kwh y en 4 horas 60 Kwh.

c) En la máquina 1, el tiempo es directamente proporcional a la energía consumida, pues al

dividir los valores de con su correspondientes en , siempre se obtiene

En la máquina 2, el tiempo y la energía consumida no se relacionan proporcionalmente,

pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su

correspondientes en

11. a) El alambre más pesado es A, pues cada metro pesa 40 g, mientras que en el alambre B

cada metro pesa 30 g.

b) 96 g de alambre A y 72 g de alambre B tienen cada uno una longitud de 2,4 m.

c) 1,2 m de alambre B y 1,6 m de alambre A pesan 48 g cada uno.

El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr B

El peso de 4,2 m de alambre es 168 gr A

El peso de 5,4 m de alambre es 108 gr a ninguno

12. a)

Capacidad

botella (litros) 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 2,5 3

Cantidad de

botellas 240 120 80 60 48 40 30 24 20

Guía de Ejercicios



56

b)

c) 2; 2,5 o 3 litros.

13. a)

Largo(m) 110 105 100 93 90 85 80 70 60

Ancho(m) 10 15 20 27 30 35 40 50 60

b)

La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al


14. a)

Kilógramos de semilla

2 3 5

Superficie a sembrar (m2) 10 20 30 80 120 200

b) La relación entre las variable es directamente proporcional, pues al dividir los valores de

con su correspondientes en siempre se obtiene 0,25 kg/m2

15. a)

Número de personas 4 5 6 7 8

Costo por persona (pesos)

33.600 16800 11200 8400 6720 5600 4800 4200

b) La relación entre las variable es inversamente proporcional, pues al multiplicar los valores

de con su correspondientes en siempre se obtiene $ 33.600

0

100

200

300

0,2

5

0,5

0,7

5 1

1,2

5

1,5

1,7

5 2

2,2

5

2,5

2,7

5 3

Can

tid

ad d

e b

ote

llas

capacidad botella (litros)

0

50

100

150

20 40 60 80 100 120

anch

o (

m)

largo (m)

Guía de Ejercicios



57

16. Tiempo utilizado (minutos) 3 4

Saldo disponible (pesos) 9000 8820 8640 8460 8280

La relación entre el tiempo utilizado y el saldo disponible no es proporcional, pues al dividir o

multiplicar los valores de con sus correspondientes en no se obtiene una constante.

17. a) , con : área del cuadrado en cm y :longitud de la diagonal en cm

b) 34,43 aprox.

c) 6 obreros.

d) 7 obreros.

e) 24 días.

f) 332,8 kg.

18. Tanto por ciento Fracción irreductible Decimal

12

0,12

25

0,25

75

0,75

33

0,33

19. 2.860.408 personas

20. 54.080 Pymes más fueron beneficiadas el año 2012 respecto del 2009

21. 5920 buses nuevos.

22. $ 9.099

23. 13,7 %

24. $ 533.333

Guía de Ejercicios



58


Mecánica

1. Una persona viaja de Arica a Atacama en una vehículo a una rapidez constante de 118 km/h durante 3

horas y 8 minutos sin detenerse. Si el rendimiento del vehículo en carretera es 17,5 km/l ¿Cuántos litros de

combustible ha consumido en el viaje?

2. Cuatro mecánicos tardan normalmente 45 minutos en efectuar la revisión técnica a un vehículo. Si un

cliente exige que la revisión no tarde más de 28 minutos ¿Cuántos mecánicos como mínimo se necesitan?

3. Doce mecánicos reparan nueve vehículos en quince días. ¿Cuántos vehículos repararán diez mecánicos en

22 días trabajando la misma cantidad de horas diarias?

4. El ensayo de tracción estudia el comportamiento de un

material sometido a un esfuerzo de tracción

progresivamente creciente, ejercido por una máquina

apropiada, hasta conseguir la rotura. La siguiente

gráfica corresponde al ensayo de tracción o

estiramiento de un metal.

Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es

la deformación unitaria del metal si ha sido sometido a

un esfuerzo de 331 MPa?

5. En las especificaciones técnicas sobre el consumo de combustible de un cierto modelo de vehículo, se

indica que el consumo en ciudad es de 8 km/l y en carretera es un 30% más que en ciudad ¿Cuál es el

consumo promedio del vehículo?

Soluciones:

1. En el viaje ha consumido 21,12 litros.

2. Se necesitan como mínimo 7 mécanicos.

3. 6 días.

4. La deformación unitaria es de 0,0016

5. El consulo promedio del vehículo es de 9,2 km/l

Guía de Ejercicios



59

Construcción

1. En una mezcla de concreto la razón entre los volúmenes aparentes de cemento, arena y grava es

. Si el volumen aparente de arena es , calcula el volumen aparente de cemento, grava y de la

mezcla.

2. Para pintar un edificio, un grupo de obreros tarda 24 días trabajando 6 horas diarias. Si la jornada de

trabajo aumenta a 8 horas diarias ¿Cuántos días tardaría el mismo grupo de obreros en pintar el edificio?

3. Durante 10 días, 4 personas trabajando 8 horas diarias, han reparado 60% de una Iglesia en Chiloé

¿Cuántos días tardan en reparar el resto de la iglesia 6 personas trabajando 6 horas diarias?

4. El ensayo de tracción estudia el comportamiento de un

material sometido a un esfuerzo de tracción progresivamente

creciente, ejercido por una máquina apropiada, hasta

conseguir la rotura. La siguiente gráfica corresponde al ensayo

de tracción o estiramiento de un metal.

Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es la

deformación unitaria del metal si ha sido sometido a un

esfuerzo de 467 MPa?

5. Se debe fabricar concreto con cemento, arena y grava en la razón

y de agua para 8 columnas cuyo volumen total es

La tabla 1 muestra el coeficiente de aporte de material para

concreto y mortero. Si en el proceso de construcción se pierde el 10%

de material ¿Qué cantidad de cada material se necesita?

Soluciones:

1. de cemento, de grava y de mezcla.

2. 18 días se tardarán en pintar el edificio.

3. 6 días tardarán en reparar el rsto de la iglesia los 6 obreros trabajando 6 horas diarias.

4. La deformación unitaria es de 0,0023 sometido a un esfuerzo 467 MPa.

5. de cemento, de arena, de grava y de litros de agua.

Guía de Ejercicios



60


1. En un colegio, las zonas de seguridad están ubicadas en el patio del establecimiento. Cada zona de

seguridad tiene un área de 10,8 mts2. Si la razón entre el área de seguridad y el total de superficie del patio

es de 2:155 ¿Cuánto mide la superficie del patio del colegio?

2. Cuando se expresa la capacidad de una pila (práctica muy común en los acumuladores), se hace por el

número máximo de amperios que puede dar en una hora. Así un acumulador de 20 amperios-hora, puede

suministrar 20 amperios durante una hora. Luego de esto el acumulador se descarga y debe volver a

cargarse. En la siguiente tabla se muestran los valores de un acumulador.

Tiempo Amperios

10 1

4 2,5

0,8 12

¿Cuánto durará el acumulador con 8 amperios?

3. El siguiente gráfico representa las toneladas de residuos sólidos por persona en Punta Arenas.

¿Cuánto será la cantidad de residuos sólidos generados por 500 personas durante un mes?

4. El departamento de certificación de calidad de una empresa consta de 4 trabajadores, los cuales

consumen 40 litros de agua purificada en 5 días. Si la dotación del personal aumenta, consumiendo 32

litros en 2 días y se mantienen en consumo por persona ¿Cuántas personas se anexaron al departamento?

5. Una persona destina mensualmente un 0,4% de su sueldo bruto para pagar un seguro de cesantía que

equivale a $2.560. ¿Cuál es el sueldo bruto de esta persona?

Soluciones:

1. 834 m2 tiene de superficie el patio.

2. 1,25 horas durará el cumulador con 8 amperios.

3. 500 personas durante 30 dias generan 7,5 toneladas de residuos.

4. El departamento de certificación aumenta en 4 personas.

5. El sueldo bruto es de $ 640.000

Guía de Ejercicios



61

Unidad 3: Álgebra

Aprendizaje 3.1 Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategia de

valorización, reducción de términos semejantes, factorización y simplificación,

explicando los pasos aplicados.


3.1.1 Valoriza expresiones algebraicas mediante operatoria en los números reales, en contextos diversos.

3.1.2 Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica.

3.1.3 Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de

paréntesis, explicando su estrategia.

3.1.4 Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias de factorización y simplificación

utilizadas.






Guía de Ejercicios



62


La fórmula para obtener el volumen de un cilindro es:

Donde, es una constante, es el radio de la base del cilindro y es la altura del cilindro.

Calcular el volumen de un cilindro cuyo diámetro es 3 m y su altura 4 m.

Solución:


- El diámetro es 3 m, por lo tanto si el radio es la mitad = 1,5 m.

- La altura es 4 m, es decir = 4 m.

- El volumen del cilindro es lo que se requiere.

- es una constante.

b) Establecer una estrategia de resolución

Para calcular el volumen del cilindro hay que remplazar los datos en la fórmula

c) Resolver el problema

Al remplazar los datos en la fórmula se obtiene:

m3

Observación: La calculadora proporciona el número con muchas cifras decimales, por lo tanto al

utilizarla hay mayor precisión en los resultados que aproximando este número a 3,14.

d) Comunicar los resultados

El volumen del cilindro cuyo diámetro es 3 m y altura 4 m es 28,27 m3 aproximadamente.

Para calcular 9π se utiliza la

calculadora. Primero se ingresa el

número nueve, luego se presiona el

botón multiplicación, y finalmente,

para ingresar el número 𝜋 se

presiona el botón shift y EXP.

(Éste procedimiento varía según el

modelo de la calculadora.)

Guía de Ejercicios



63


La fórmula del movimiento uniformemente acelerado viene dada por la ecuación:

Donde, es la distancia, la posición inicial, velocidad inicial, la aceleración y el tiempo. Esta ecuación

es también conocida como la ecuación de posición.

¿Cuál es la expresión algebraica resultante al despejar la variable ?

Solución:


- El problema no entrega valores numéricos, sólo la ecuación de posición que contiene únicamente

expresiones literales.


Para obtener la expresión algebraica del literal , consideramos esta variable como incógnita y la

despejamos utilizando propiedades algebraicas y de las ecuaciones.


Se tiene que:


Al despejar el literal “ ” de la ecuación inicial, queda la siguiente ecuación:

Guía de Ejercicios



64


1. Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados

para las variables respectivas.

a) 2

·2at

tvd i ; si = 8 m/seg , = 4 seg , = 3 m/seg

2 ( : distancia que recorre un móvil)

b) ; si = 0,8 g , = 15 m, = 9,8 m/seg

2 ( : energía potencial)

c) 4

32aA

; si = 3,2 m ( : área de triángulo equilátero)

d) 21

21·

rr

rrR

; si = 4 ohm y = 6 ohm ( : resistencia eléctrica total en paralelo)

e) 1 2

2

··q q

F kr

; si = 9·10

9

2

2

c

Nm ; = = 4 c y = 10 m ( : fuerza atracción entre

dos cargas)

2. Resuelve los siguientes ejercicios mediante propiedades de términos semejantes, eliminación de

paréntesis y producto de polinomios.

a) – – – b)

c)

d)

e) { } f) { [ ( – ) ]}

g) { [ ] } h) [ ]

i) j)

k) l)

m) n)

3. Expresa los siguientes polinomios como productos de polinomios primos aplicando las reglas de

factorización.

a) b)

c) d)

Guía de Ejercicios



65

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

o) p)

q) r)

s) t)

4. Aplica las reglas de factorización para simplificar las siguientes fracciones hasta dejarlas irreductibles

e indica las restricciones.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

5. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita.

a) b)

c) d)

e) f)

g)

h)

i)

j)

Guía de Ejercicios



66

k)

l)

6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

a) b)

c) d)

e) f)

7. En las siguientes fórmulas, despeje la variable indicada.

a) Despeje Interés simple

b) Despeje Circunferencia de un círculo

c)

Despeje Área de un triángulo

d)

Despeje Ley de Newton de gravitación

e)

Despeje Ley de Ohm en teoría eléctrica

f) Despeje Perímetro de un rectángulo

g) Despeje Principal más interés

h)

Despeje Área de un trapecio

i) Despeje Área superficial de una caja rectangular

j)

Despeje Ecuación de una lente

Soluciones:

1. a) 56 m b) 117,6 gm2/s

2 c)

√

d) 2,4 ohm e) N

2. a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n)

3. a) b) c)

d) e)

Guía de Ejercicios



67

f) g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

o) p)

q) r) s)

t)

4. a)

b)

c) d)

e)

f)

g)

h)

5. a) b)

c)

d) e) f)

g) h) Todos los números

reales. i)

j) k)

l)

6. a) √

√

b)

c)

d)

e) f)

7. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Guía de Ejercicios



68

Aprendizaje 3.2 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución

de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos

algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y

comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.


3.2.1 Determina la solución de un problema propuesto que involucra que involucra una ecuación de primer

grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando de acuerdo a la situación e interlocutores.

3.2.2 Determina la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado, analizando la

pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores.

3.2.3 Resuelve problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones, analizando

la pertinencia de las soluciones y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores.






Guía de Ejercicios



69


Para construir un muro Arturo tarda 4 días, mientras que Patricio lo realiza en 6 días, trabajando en idénticas

condiciones. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo?

Solución:


- Arturo tardar 4 días en construir el muro.

- Patricio tardar 6 días en construir el muro.


Primero se calcula la parte del muro que construye cada albañil, trabajando solo, en un día. Luego, se

define una incógnita para representar el tiempo en días que demorarían en construir el muro juntos y se

escribe algebraicamente la parte del muro que construirían juntos en un día. Finalmente se plantea la

ecuación correspondiente a la parte del muro que construyen los albañiles en un día trabajando juntos y se

resuelve.


Sabemos que Arturo, trabajando solo, construye el muro en 4 días, luego en un día hará

del muro. Del

mismo modo, si Patricio tarda 6 días en construir el muro, en un día hará

del muro. Por lo tanto, los dos

juntos construirán en un día (

) del muro.

Si llamamos al tiempo en días que tardarían Arturo y Patricio en construir el muro juntos, entonces en un

día harán juntos

del muro. Luego, escribimos la ecuación que representa lo que construyen juntos del

muro en un día y la resolvemos como se muestra a continuación.


Arturo y Patricio, trabajando juntos, construirán el muro en

días.

Guía de Ejercicios



70


Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 200 metros de cerca. Calcula las dimensiones del terreno,

si su área debe ser de 2176 m2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles.

Solución:


- El terreno es rectangular.

- Se disponde de 200 metros para cercar terreno.

- El área del terreno debe ser 2176 m2.


Se definen las incógnitas correspondientes a los lados del rectángulo. Luego, considerando el perímetro del

rectángulo, se escribe algebraicamente un lado del rectángulo en términos del otro. Con ambos lados del

rectángulo, se escribe la expresión algebraica correspondiente a su área y se iguala a 2176 m2, que es el

área que exige el problema. Finalmente se resuelve la ecuación de segundo grado planteada.


Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la medida en metros

del largo del rectángulo, como se muestra en la figura 1.

Se dispone de 200 metros para cercar el terreno, entonces 200 m es el

perímetro del rectángulo. Luego, se escribe la ecuación correspondiente al

perímetro y se despeja una de las dos incógnitas:

Con el resultado de la ecuación (1), se escribe el largo y ancho del rectángulo

utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2.

Se sabe que el área del terreno rectangular debe ser 2176 m2 y el área de un

rectángulo se calcula multiplicando las medidas de su largo y ancho, entonces, la

ecuación correspondentiente al área del rectángulo de la figura 2 es:

⏟

⏟

Ahora debemos resolver la ecuación anterior

Guía de Ejercicios



71

Al multiplicar las expresiones algebraicas obtenemos una incógnica al cuadrado, por lo tanto se trata de

una ecuación de segundo grado. Para resolver esta ecuación, es necesario igualar a cero e identificar los

parámetros y de una ecuación cuadrátrica.

En este caso , y . Luego, estos números se reemplazan en la fórmula cuadrática

√

.

√

√

√

√

√

√

Finalmente se reemplaza y en la ecuación (1) para calcular, en cada caso, la medida del largo del

rectángulo. Si el ancho mide 68 m, el largo será 32 m, mientras que si el ancho es 32 m, el largo será 68 m.


Las medidas de los lados del terreno rectangular deben ser 68 y 32 metros.

Guía de Ejercicios



72


Un automóvil deja la ciudad A y va a la ciudad B a una rapidez constante de 95 km/h. Al mismo tiempo, otro

automóvil deja la ciudad B rumbo a la ciudad A, a una rapidez constante 120 km/h. Si la distancia desde A hasta

B es 614 km. ¿En cuánto tiempo se encuentran ambos automóviles? ¿Qué distancia recorre cada automóvil?

Solución:


- La rapidez del automóvil que viaja de A hasta B es 95 km/h.

- La rapidez del automóvil que viaja de B hasta A es 120 km/h.

- La distancia entre las ciudades A y B es 614 km.


Se define la incógnita distancia en km recorrida por uno de los vehículos. Luego, considerando la distancia

entre las ciudades A y B, se escribe algebraicamente la distancia recorrida por el otro vehículo en términos

de la incógnita distancia que se ha especificado. Además, se determina otra incógnita para el tiempo en

horas que tardan los vehículos en encontrarse. Luego, con los datos velocidad, tiempo y distancia

correspondiente a cada vehículo se plantean dos ecuaciones según la fórmula Finalmente se

resuelve el sistema de ecuaciones con alguno de los métodos estudiados para determinar el valor de cada

incógnita.


La rapidez de un automóvil se calcula con la siguiente fórmula:

, donde es la distancia recorrida por

el automóvil , el tiempo que tarda el automóvil en recorrer esa distancia y la velocidad del automóvil.

Despejando la variable de la fórmula anterior se obtiene:

Sea la distancia en kilómetros que recorre el automóvil que viaja a 95 km/h hasta llegar al punto de

encuentro. Si la distancia entre ambas ciudades es 614 km, el otro automóvil necesariamente recorre

kilómetros hasta el punto de encuentro, como se ilustra a continuación.

A B

95 km/h 120 km/h

Punto de

encuentro

614 km

Guía de Ejercicios



73

Respecto al tiempo, ambos vehículos salieron a la misma hora de cada ciudad y al encontrarse tambien

coinciden en horario, por lo tanto, ambos han recorrido distintas distancias pero en el mismo intervalo de

tiempo. Llamaremos al tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse.

Si reemplazamos los datos de cada automóvil en la fórmula , obtenemos las siguientes ecuaciones:

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones, a continuación mostraremos dos.

1. sustitución 2. reducción

Reemplazando la ecuación (1) en (2) se obtiene

Luego resolvemos la ecuación anterior

*valor aproxiamdo a la centésima

Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) obtenemos

la ecuación:

Reemplazando el tiempo h en la ecuación (1), se tiene que km, por lo tanto, el otro

vehículo recorre km.

Además podemos expresar el tiempo en horas y minutos como se muestra a continuación

⏟

Por lo tanto, horas corresponde a horas y minutos aproximadamente.


Los automóviles se encuentran en 2 horas y 52 minutos aproximadamente. El vehículo que viaja a 95 km/h

recorre 271,7 km y el que viaja a 120 km/h recorre 342,3 km.

A B

95 km/h 120 km/h

Punto de

encuentro

𝑑 𝑑

Guía de Ejercicios



74


1. Plantea una ecuación y luego resuélvela para dar respuesta a los siguientes problemas.

a) Una molécula de azúcar, tiene el doble de átomos de hidrógeno que de oxígeno y un átomo más de

carbón que de oxígeno. Si una molécula de azúcar tiene un total de 45 átomos ¿Cuántos son de

oxígeno? ¿Cuántos son de hidrógeno?

b) El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $35.000 por hora y el de su asistente a $11.000 por

hora. Un cliente recibe una cuenta de $773.000 por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos

que la ingeniera. ¿Cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo?

c) Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin tener un esqueleto completo. Si

un arqueólogo encuentra sólo un húmero, puede determinar la estatura del individuo usando una

relación lineal simple. Para una mujer, si es la longitud del húmero (en cm), entonces su estatura

(en cm) se puede encontrar con la fórmula ; para un hombre, debe usarse la fórmula

i. Se encuentra el esqueleto de una mujer que tiene un húmero de 30 cm, ¿Cuál es la

estatura a su fallecimiento?

ii. Si la estatura de un hombre al morir fue 1,81 m ¿Cuánto mide su húmero a su

fallecimiento?

d) La altura (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando la ecuación ,

donde es la temperatura del suelo y el punto de rocío. Calcula la temperatura del suelo si el punto

de rocío es 65°F y la base de la nube está a 3500 pies.

e) A las 10:00 am el jefe de Carlos le pide que quite las hierbas del jardín. Por experiencia, Carlos sabe que

esto le tomará 3 horas y media trabajando sólo. Su compañero Gonzalo, cuando realiza el mismo

trabajo tarda 6 horas. Como Gonzalo irá a jugar un partido de fútbol con Carlos a las 1:00 pm acepta

ayudarle. Suponiendo que no hay ganancia ni pérdida en la eficiencia ¿A qué hora terminarán si

trabajan juntos? ¿Lograrán llegar a la hora para jugar el partido de fútbol?

f) Alejandra pinta sólo cuatro habitaciones en 10 horas. Si contrata a Martina, para ayudarle, pueden

hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si deja a Martina sola ¿Cuánto tardará ella en pintar las cuatro

habitaciones?

g) Un fabricante de té quiere vender una nueva mezcla. Para ello mezclará té negro con aroma a limón

que se vende a $5.000 por kg con un poco de té negro con aroma a naranja que se vende a $3.000 por

kg para obtener 50 kg de la nueva mezcla, cuyo precio será $4.500 por kg y no debe haber diferencia

entre los ingresos por la venta separada o de la mezcla ¿Cuántos kg de cada té se requieren?

h) Un hombre deja su hogar manejando a 64 km/h. cuando su automóvil se descompone camina por la

misma ruta hacia su casa a 8 km/h. Si el recorrido completo, conducción y caminata, le tomó dos horas

un cuarto ¿Cuántos kilómetros caminó hasta su casa?

i) La altura sobre el suelo de un cohete de juguete, segundos después de que es lanzado, está dada

por ¿Cuándo estará el cohete 180 pies sobre el suelo?

j) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el

Guía de Ejercicios



75

nivel del mar) por la ecuación . La altura del Monte Everest es

aproximadamente 8840 m. Estime la temperatura a la que el agua hierve en la cima de la montaña.

(sugerencia: use la fórmula cuadrática con – )

k) En un rectángulo un lado mide 43 cm más que el otro ¿Cuáles pueden ser las medidas de los lados del

rectángulo si su área es 328 cm2?

2. Los cubos marcados con la misma letra tienen igual peso. Determina el peso de cada cubo.

Para resolver el problema, contesta las siguientes preguntas:

a. ¿Qué letra representa el cubo de mayor peso? Justifica tu respuesta.

b. Determina el peso del cubo E. Justifica tu respuesta.

c. ¿Cuál es la letra que le corresponde a los otros cubos?

3. Dados los pares ordenados , determina:

a) Verifica, para cada una de las siguientes ecuaciones, si los pares ordenados anteriores pertenecen

a la solución.

i. ii. iii.

b) A partir de lo anterior ¿Cuál es la solución de los siguientes sistemas?

i. {

ii. {

4. Resuelva y marque cada sistema como consistente (escriba la solución), inconsistente (sin solución) o

dependiente (con número infinito de soluciones).

R R L C C R E S L E

T

L

10 kg. 20 kg. 40 kg. 30 kg. 50 kg. 100 kg.

Guía de Ejercicios



76

a) {

b) {

c) {

d)

{

e) {

f) {

g) {

5. En un monedero hay un total de $ 8.500 distribuidos en 33 monedas de dos tipos, unas de $

100 Y el resto de $ 500. De acuerdo a estos datos Pilar y Mario escribieron dos sistemas de

ecuaciones diferentes.

Pilar Mario

{

{

Según el contexto de la situación inicial ¿Qué representa e en cada caso?

6. Plantea un sistema de ecuaciones y luego resuélvelo para dar respuesta a los siguientes

problemas.

a) Un atleta se entrena nadando en un río. Primero nada contra la corriente y demora 30

minutos en recorrer 2000 metros. Luego, nada a favor de la corriente y demora 15

minutos en recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río?

¿y la velocidad del río respecto de la orilla?

b) El gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. Mezclará algo

de café colombiano grado B que se vende $ 475 el kg con algo de café de Arabia de grado

A que se vende en $1200 el kg, para obtener 50 kg de la nueva mezcla. El precio de venta

de la nueva mezcla debe ser $790 por kg y no debe haber diferencia en la ganancia por

vender la nueva mezcla comparada con vender otros tipos. ¿Cuántas libras de café grado B

colombiano y grado A de Arabia y se requiere?

c) Dos ciudades están conectadas por una carretera. Un auto sale de la ciudad B a las 1:00

pm y avanza a una rapidez constante de 40 mi/h hacia la ciudad C. treinta minutos

después, otro auto sale de la ciudad B y avanza hacia C a una velocidad constante de 55

Guía de Ejercicios

MTIN01 - Matemática


77

mi/h. Si no consideramos las longitudes de los autos ¿A qué hora el segundo auto

alcanzará al primero?

d) Dos guardias de una empresa tienen radios de comunicación con un alcance máximo de 3

km. Uno de ellos sale de cierto punto a la 1:00 y camina al norte a razón de 6,4 km/h. El

otro sale del mismo punto a las 1:15 y camina al sur a 9,6 km/h. ¿Desde qué hora no

podrán comunicarse entre sí?

e) Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de

lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios 5 minutos en el torno y 10 en la

prensa taladradora, mientras que para la válvula de lujo son necesarios 9 minutos en el

torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible 4 horas y la prensa 7. Si utilizan

las máquinas en forma continuada ¿Cuántas válvulas de cada tipo se fabrican?

f) Tres tubos de ensayo contienen diferentes niveles de líquido. Para que tuvieran el mismo

nivel, se hicieron tres transferencias de líquidos, así,

del primero se vació en el segundo,

de lo que quedó en el segundo se vació

al tercero, y lo que quedó en el tercero se vació

al primero. Después de lo anterior, cada tubo quedó con 9 ml ¿cuántos ml tenía cada

tubo inicialmente?

Soluciones:

1. a) 11 átomos de oxígeno y 22 átomos de hidrógeno.

b) La ingeniera facturó 18 horas y su asistente 13 horas

c)

i. 159,2 cm ii. 35,8 cm

d) 80,42°F

e) Juntos tardarán 2 horas y 12 minutos aprox., por lo tanto lograrán llegar al partido de fútbol.

f) 15 horas

g) 37,5 kg de té negro con aroma a limón y 12,5 kg de té negro con aroma a naranja.

h) 10,43 km

i) A los 2,07 segundos y a los 5,43 segundos

j) A 96,86°C y 104,86°C

k) 6,61 cm y 49,61 cm aprox.

2.

T C E L R S

10 kg. 20 kg. 40 kg. 30 kg. 50 kg. 100 kg.

Guía de Ejercicios



78

a) Si observamos la tercera pesa en equilibrio, S es mayor que cada uno de los cubos T, L y

E y según la segunda pesa, E tiene mayor peso que R y C por separado, por lo tanto S

corresponde al peso mayor, 100 kg.

b) Sabemos que y , entonces si observamos la tercera pesa

podemos concluir que y de los pesos que quedan por identificar los

únicos que suman 60 kg es 50 kg y 10 kg. Según la segunda pesa, E tiene mayor peso que

R y C, por lo tanto E no puede ser 10 kg porque no hay pesas que sumen 10 kg, luego

y .

c) y .

3. a)

i. (3,4) (1,1) ii. (1,1) (-2,5) iii. (3,4)(-2,5)

b)

i. (1,1) ii. (3,4)

4. a) Consistente, b) Consistente,

c) Inconsistente d) Consistente,

e) Dependiente f) Consistente,

g) Dependiente

5. Para Pilar, es la cantidad de monedas de 100 e es la cantidad de monedas de 500, mientras

que Mario nombró al dinero total que reúnen las monedas de 500 e al dinero total que

reúnen las monedas de 100.

6. a) La velocidad del atleta respecto al río corresponde a 6 km/h y la velocidad de la

corriente del río respecto de la orilla es 2 km/h.

b) 28,28 kg del café colombiano grado B y 21,72 kg del café de Arabia de grado A

c) Se encuentran a las 2:50 pm

d) Desde las 1:20 aprox.

e) 12 válvulas estándar y 20 válvulas de lujo

f) En el primero habían 12 ml, en el segundo 8 ml y en el tercero 7 ml

Guía de Ejercicios



79

Aprendizaje 3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y

resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones mediante la

utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica,

explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de

acuerdo a la situación e interlocutores.


3.3.1 Resuelve problemas mediante inecuaciones de primer grado, expresando la solución de

manera gráfica, analítica y en lenguaje natural.

3.3.2 Resuelve problemas mediante sistemas de inecuaciones de primer grado, expresando la

solución de manera gráfica y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e

interlocutores.






Guía de Ejercicios



80


Un servicio de lavado de automóviles ofrece lavado, aspirado y encerado a un valor de $ 7.000 por

vehículo. Si en materia prima y mano de obra se gasta $2.500 por vehículo y además hay costos

fijos mensuales de $100.000, ¿Cuál es la menor cantidad de automóviles que hay que lavar para

obtener al menos $500.000 de ganancia mensual?

Solución:


- Lavado de un automóvil: $ 7.000

- Costo por vehículo: $ 2.500

- Costo fijo mensual: $ 100.000

- Obtener al menos $ 500.000 de ganancia mensual


Se define la incógnita número de vehículos lavados mensualmente. Luego, se escribe

algebraicamente el ingreso, el costo mensual y la ganancia en términos de la incógnita

definida. Finalmente, considerando que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000 se

escribe la inecuación entre la ganancia mensual escrita algrebraicamente y el mínimo

requerido.


Sea la cantidad de vehículos lavados mensualmente. La expresión algebraica

correspondiente al ingreso mensual por los vehículos lavados es

Mientras que el costo mensual queda expresado como

Por lo tanto, la ganancia, que corresponde a la diferencia entre el ingreso y el costo, queda

expresada de la siguiente manera

Además se sabe que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000, esto significa que debe

ser mayor o igual a $500.000, luego la inecuación que representa esta situación es

Guía de Ejercicios



81

Ahora debemos resolver la inecuación

Como corresponde a cantidad de vehículos, puede tomar solo valores enteros positivos y el

cero, luego si la solución de la inecuación indica que debe ser mayor o igual a 133,33… el

menor entero que cumple con tal condición es 134.


Para obtener una ganancia de al menos $500.000 se deben lavar por lo menos 134 vehículos al

mes.


Un estudiante para mantener su beca, debe tener un promedio semestral superior a seis. Este

semestre, las notas finales correspondiente a cuatro de cinco asignaturas son: 5,2; 6,4; 5,8; 5,5.

¿Qué calificaciones debe obtener en la última asignatura para mantener su beca?

Solución:


- En el semestre hay cinco asignaturas que cursar.

- 5,2; 6,4; 5,8; 5,5 son cuatro de las cinco notas finales por asignatura.

- El promedio semestral debe ser superior a 6,0.


Se define la incógnita nota final de la quinta asignatura. Luego, se escribe algebraicamente el

promedio de las cinco asignaturas en términos de la incógnita definida. Finalmente, se

escriben las inecuaciones considerando las siguientes restricciones, el promedio semestral

debe ser mayor a 6,0 y menor o igual a 7,0 y la nota de la asignatura debe pertenecer al

intervalo [ ]


Sea la nota final de la quinta asignatura. La expresión algebraica para calcular el promedio

semestral es

Reduciendo términos se obtiene

Guía de Ejercicios



82

Como la nota de la quinta asignatura debe ser superior a seis y menor o igual a siete,

escribimos el siguiente sistema siguientes inecuaciones:

Además la nota de la asignatura debe pertenecer al intervalo [ ], es decir

Resolviendo el sistema de inecuaciones se tiene

Gráficamente:

Graficando los intervalos y se tiene


Para mantener la beca, el alumno debe obtener una calificación superior a 6,5 y menor o igual

a 7. De esta forma el intervalo solución es

] ]

0 6,5 11,5

0 6,5 11,5 7 1

Guía de Ejercicios



83


1. Completa la siguiente tabla

Intervalo Desigualdad Recta real En palabras

[ ]

Número estrictamente

inferior a 3.

Número mayor o igual a 4

] [

2. Resuelve las siguientes inecuaciones.

a) b)

c) d)

e) f) (

) (

)

g)

h)

3. A continuación se muestra el procedimiento y solución que obtuvo Rodrigo al resolver una

inecuación.

¿Cuál es el error que cometió? Justifica tu respuesta.

El conjunto solución de la inecuación son los

números inferiores o iguales a 1.

Guía de Ejercicios



84

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones.

a) {

b) {

c) {

d)

{

e) {

5. Resuelve los siguientes problemas utilizando inecuaciones.

a) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en

metros sobre el nivel del mar) por la ecuación

para . ¿Cuál es el intervalo para la elevación ?

b) Supóngase que los consumidores adquieren unidades de un artículo a un precio de

(en miles de pesos) por unidad ¿Cuántas unidades se deben vender para

obtener ingresos mayores a un millón de pesos?

c) Un almacén que confecciona ropa deportiva vende cierta cantidad de poleras a $18.500

cada una. Si los costos fijos de producirlas son $100.000 a la semana y la mano de obra y

material es $12.000 por poleras ¿Cuántas poleras se deben confeccionar para tener

utilidades cada semana?

d) La compañía A arrienda automóviles por $ 17.500 el día más $ 30 el km. La compañía B

cobra $ 15.000 diarios más $38 el km. Se necesita arrendar un auto por 5 días. ¿En qué

rango de km hay que permanecer para tener ventaja económica al arrendar uno de la

compañía B?

e) ¿Para qué valores de el perímetro del rectángulo A es superior al del rectángulo B?

Guía de Ejercicios



85

f) Una industria que confecciona camisetas estampadas emplea un servicio externo de

estampado a un costo de $1.965 por camiseta. El dueño de la industria calcula que si ellos

hacen ese trabajo, los costos por camiseta se reducen a $ 470, más un costo fijo de

operación de $108.000 a la semana. ¿Cuántos estampados debe realizar la industria

semanalmente para justificar la inversión en un equipo de estampación?

g) Un estudiante tiene que rendir tres pruebas parciales, las notas en dos ellas fueron 4,5 y

5,0 y en tareas tiene un promedio de 4,7. Si las tareas ponderan un 10% y el promedio de

las notas parciales un 90% ¿Qué nota como mínimo debe obtener en la última prueba

para eximirse? (un estudiante se exime si tiene al menos un 5,0 de promedio)

h) El costo de publicar cada ejemplar de un periódico es de $ 400. Los ingresos por ventas

son de $ 350 por unidad y los ingresos por concepto de publicidad son el 20% de los

ingresos obtenidos por las ventas que sobrepasen los 10.000 ejemplares. ¿Cuántos

periódicos se debe vender para obtener utilidades superiores a $ 5.000.000?

i) La desigualdad triangular es un teorema de geometría que establece que en

todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la

longitud del lado restante. Según lo anterior ¿Para qué valores de se cumple la

desigualdad triangular la figura?

Soluciones:

1. Intervalo Desigualdad Recta real En palabras

[ ]

Número mayor o

igual a y menor

o igual a

] [

Número

estrictamente

inferior a 3.

] ]

Número mayor

estricto que 7 y

menor o igual a 12

𝑥

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

Guía de Ejercicios



86

] [

Número positivo

[ [

Número mayor o

igual a 4

] [

Número mayor o

igual a - 8 y menor o

igual a cero

] [

Número negativo

[ [

Número mayor o

i ual a - 20

2. a) b)

c) d)

e) Todos los

números

reales

f) g) h)

3. No cambió de sentido la desigualdad al dividir por un número negativo

4. a) b) c)

d)

e)

5. a)

b) A lo más 28 unidades.

c) Al menos 16 poleras.

d) A lo más 312,5 km

e) debe ser mayor a 16,2 cm y menor que 50 cm.

f) Al menos 73 estampados semanales.

g) Una nota igual o superior a 5,5.

h) Al menos 13.572 ejemplares.

i)

Guía de Ejercicios



87


Mecánica

1. Para evitar los choques por alcance en caminos que están siendo reparados, donde se utiliza

una pista para ambos sentidos, se recomienda ocupar la siguiente fórmula:

donde representa la distancia (metros) mínima entre dos vehículos y la velocidad (Km/h)

que llevan los móviles. Si dos vehículos están a una distancia de 17,6 m ¿Cuál es la velocidad

que deben llevar los vehículos para evitar un choque por alcance?

2. Una de las fórmulas utilizadas en el trabajo con gases es

Donde p: presión (MPa) ; v: volumen (litros) ; n: mol (moles) ; r = 0,82 (constante) ; t:

temperatura (Kelvin). El CO2 contenido en un recipiente ocupa un volumen de un litro, a una

temperatura de 290,15°K y 1,12 MPa de presión. Determine la cantidad de moles presentes de

CO2?

3. Rodrigo tarda 4 horas y media en instalar un cierre centralizado con alza vidrios a un vehículo,

mientras que Sergio realiza el mismo trabajo en 6 horas. Si ambos mecánicos trabajarán juntos

en efectuar la instalación ¿Cuánto tiempo tardarían?

4. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 10 km/h y

menores que 150 km/h el rendimiento de bencina (km/l) está relacionada con la velocidad

(km/h) mediante la ecuación . ¿A qué velocidad el rendimiento del

automóvil será 16 km/l?

5. Un bus sale de Santiago a 95 km/h. Una hora más tarde, un automóvil sale a 120 km/h del

mismo punto y realizando el mismo recorrido que el bus para intentar alcanzarlo. Si ambos

vehículos realizan el viaje a una rapidez constante ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en

alcanzar al bus? ¿A cuántos kilómetros están de Santiago cuando ambos vehículos se

encuentran?

6. El sueldo de un mecánico depende de una parte fija y otra variable. La parte fija es de $320.450

y la parte variable corresponde a las horas extras trabajadas mensualmente. ¿Cuántas horas

extras aproximadas debe realizar en un mes para obtener un sueldo entre $650.000 y 800.000,

si el valor de la hora extra es de $5.800?

Soluciones:

1. 32 kms/hr

2. Los moles presentes de CO2 son 0,05

3.

4. 80 km/h y 100 km/h

5. 3 horas y 48 minutos; 456 km.

6. La cantidad de horas extras está representado por el intervalo: ] [

Guía de Ejercicios



88

Construcción

1. Una de las ecuaciones que se utiliza para estimar el endurecimiento de un metal es:

√

Dónde:

: Dureza mínima (MPa); : constante del material; : diámetro de la partícula.

Si se aplica un tratamiento térmico a la plancha de latón que tiene una dureza mínima 200 MPa

(σ0) , en donde el diámetro es de 0,01 mm y su constante es de 6,8 ¿Cuál es el valor de la nueva

dureza?

2. La deflexión de una viga viene dado por la siguiente fórmula:

Dónde:

: peso de la viga; : longitud de la viga ; : constante de la viga

¿Cuál es la expresión al despejar ?

3. Para construir un muro Jaime tarda 5 días, mientras que Luis lo realiza en 3 días trabajando en

idénticas condiciones. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo

tardan en construirlo?

4. En una obra de construcción se tiene 258 metros de cerca para encerrar un terreno

rectangular de 8100 m2. Además el terreno, en uno de sus lados, estará cubierto por una

cadena de cerros ¿Cuáles podrían ser sus dimensiones si se debe utilizar todos los metros de

cerca disponibles?

5. Se quiere taladrar tres agujeros de igual diámetro sobre una placa rectangular, como se

muestra en la figura. ¿Cuál es el diámetro del agujero y la distancia que los separa?

6. Para calcular el porcentaje de pendiente de un techo de un modelo de casa, se utiliza la

siguiente fórmula :

Donde corresponde al largo del techo en metros.

¿Cuánto debe ser el largo del techo para tener una pendiente desde 10% a 25%?

Guía de Ejercicios



89

Soluciones:

1. R: La nueva dureza de la plancha es de 268 MPa

2.

3.

4. Dos lados de 75 m y uno de 108 m ó dos lados de 54 m y uno de 150 m.

5. d = 2,83 cm y l = 1,17 cm

6. El largo del techo debe estar en el intervalo de: [ ] mts.


1. Para obtener la cotización total a pagar de una empresa, se utiliza la siguiente fórmula

donde:

: Cotización total a pagar; : Cotización adicional diferenciada; : Total de

remuneraciones imponibles.

Determine la cotización total a pagar de una empresa que ha sufrido un alza en su cotización

adicional diferenciada, correspondiente a un 2,55%, a causa de la gran cantidad de accidentes

que ha sufrido este último tiempo, si el total de remuneraciones imponibles es de $65.000.000

y la cotización básica es de 0,95%. (Valor fijo establecido por ley 16744 “Constante”).

2. Para obtener la frecuencia de accidentabilidad se utiliza la siguiente expresión:

donde:

: Frecuencia de accidentabilidad; : Número de accidentes; : Número de trabajadores.

En la empresa “American Globe”, los trabajadores se exponen a diversos accidentes por el uso

de máquinas y equipos que generan condiciones inseguras, ocasionando incapacidades

temporales. Luego de recibir tratamiento médico la empresa permite al trabajador la

recuperación de su capacidad de ganancia en un 100%. Calcule el número de accidentes

producidos en la empresa considerando que la tasa de accidentabilidad es de 1,6% y la

cantidad de trabajadores es de 1500.

3. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra

por medio de un tanque. Éste es alimentado por dos llaves, una lo llena en 10 minutos y otra

lo hace en 12 minutos y un desagüe, estando lleno, lo vacía en 45 minutos. Si el tanque está

vacío y abierto el desagüe ¿En cuánto tiempo aproximado se llenará con ambas llaves

abiertas?

Guía de Ejercicios



90

4. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra

por medio de un tanque que contiene 5000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo

del tanque. La ley de Torricelli da el volumen de agua que queda en el tanque después de

minutos, lo que se calcula con la ecuación:

a. ¿En cuánto tiempo el tanque se vacía?

b. ¿En cuánto tiempo el tanque disminuye su capacidad total a la mitad?

5. Un ingeniero desea preparar una mezcla de 100 g con dos sustancias diferentes A y B. Para su

propósito el 60% de la mezcla debe ser de la sustancia A y el 40% de la sustancia B. Si dispone

de 2 mezclas M1 y M2 cuyos contenidos son:

M1: 25% de la sustancia A y 75% de la sustancia B.

M2: 80% de la sustancia A y 20% de la sustancia B.

¿Cuál es la cantidad aproximada que se requiere de la mezcla M1 para lograr lo que desea

preparar el ingeniero?

Soluciones:

1. $2.275.000

2. El número de accidentes es de 24

3. 6 minutos y 12 segundos aprox.

4. 40 minutos; 11 minutos y 43 segundos aprox.

5. 36,36 grs. aproximadamente.

Guía de Ejercicios



91

Unidad 4: Funciones

Aprendizaje 4.1 Representa funciones en forma tabular, gráfica y analítica

describiendo sus características generales, comunicando sus resultados

de acuerdo a la situación e interlocutores.


4.1.1 Identifica si una expresión analítica, tabular o un gráfico corresponde a una función,

analizando dominio, recorrido y aplicando la regla de la recta vertical.

4.1.2 Grafica funciones a partir de una tabla de valores, analizando dominio y recorrido de

definición de manera efectiva

4.1.3 Describe las características generales de ciertas funciones dadas, comunicando sus resultados

de manera efectiva.






Guía de Ejercicios



92


La siguiente tabla corresponde a algunos datos de una función definida sobre el conjunto A={1, 2,

3, 4, 5}

x 1 2 3 4

f(x) 5 6 8 3

¿Puede saber qué valor tomará la función en x=5?

Grafique la parte de la función que se representa tabularmente.

Solución:

a) Identificar datos.

Dominio = {1, 2, 3, 4, 5}

Recorrido = {3, 5, 6, 8, f(5)}

b) Establecer una estrategia de resolución.

Primero graficaremos para saber qué podría pasar en x=5. Luego, responderemos la

primera pregunta.


Al graficar obtenemos el siguiente gráfico. No es posible

determinar qué valor toma la función cuando x=5.

Hay que saber que los puntos no deben unirse puesto que el

dominio de la función es discreto.

d) Comunicar los resultados.

No se puede determinar el valor de x=5.

El gráfico de la parte tabulada de la función es el mismo que se señala en el paso anterior.

Guía de Ejercicios



93

Ejercicios propuestos: Genéricos:

1. Indica cuál de las gráficas siguiente representa una función.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

2. Traducir cada frase a una igualdad

a) 4 es la imagen del 5 por la función

b) – 3 es la imagen del 0 por la función

c) La imagen de 17 por la función es – 17

d) La imagen de – 31,8 por la función es – 3

e) – 3 es la preimagen de 0 por la función

f) Una preimagen de 7,2 por la función es –1

g) Una preimagen de – 5 por la función es – 8

Guía de Ejercicios



94

3. La siguiente tabla de valores corresponde a la función

Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la imagen de 3 por la función ?

b) ¿Cuál es la preimagen de 4 por la función ?

c) ¿Cuáles son los números que tienen la misma imagen por la función ?

d)

e)

4. La siguiente gráfica representa la función .

Completa la tabla

5. La gráfica representa una función

Completa

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) Indica la(s) preimagen(es) de 1 por la

función .

Guía de Ejercicios



95

6. Dada la función , calcula:

a) La imagen de 2

b) La imagen de -5

c) La(s) preimagen(es) de cero

d) La(s) preimagen(es) de -3

7. Dada la función

, calcula:

a)

b)

c)

d)

8. Dada la función {

√

, calcula:

a)

b)

c)

d)

9. Para cada función definida en los reales que está representada en las gráficas indica dominio,

recorrido, intervalos de monotonía (crece, decrece, constante).

a. b. c.

Guía de Ejercicios



96

10. Indica dominio y recorrido de las siguientes funciones definidas en los reales.

a) √ b) c)

d)

e) √ f)

11. Dadas las funciones gráficamente, analice si son biyectivas.

a) b) ]

12. Analice si las funciones dadas son biyectivas.

a) [ b)

13. Determine si las siguientes funciones admiten inversa y justifique. En caso

afirmativo, defina la función inversa.

a) b) c) d)

14. En cada una de las siguientes funciones complete la definición para que sea una función que

admite inversa y defina la función inversa.

a) √

b) c)

15. Dadas las funciones , determina las siguientes funciones con

sus respectivos dominios:

a) b) c)

d)

e) f)

Guía de Ejercicios



97

16. Dadas las funciones , √ y

, calcula:

a) b) c)

d) e) f)

17. Sea , calcula el valor de para que la composición de ambas sea

conmutativa, es decir, .

18. Sean

, , calcula

19. Identifica cada una de las siguientes funciones y luego grafícalas.

a) b)

c) | |

d) e) f) √

g)

h) |

| i)

j) √ k) [ ] l)

m) n) o)

p) q) [ ] r) √

20. En las siguientes funciones, identifica cada una de las funciones componentes y luego

grafícala.

a) {√ | |

b) {

Guía de Ejercicios



98

Soluciones:

1. a) Si es función b) Si es función c) No es función

d) Si es función e) No es función f) No es función

g) Si es función h) Si es función i) No es función

2. a) b) c)

d) e) f)

g)

3. a) 4 b) 3 c) -4 y 1; 0 y 4

d) 5 e) - 1

4. 0 - 0,75

0 0,75

5. a) 1 b) 2,5 c) -3 d) 2

e) 1 f) 1 g) 3 h) -2; 1 y 2

6. a) -3 b) 32 c) – 1;3 d) 0;2

7. a)

b)

c) -6; 6 d)

8. a) 6 b) 6 c) 5 d)

9. a)

] ]

Creciente en

] [ ] ] [ ]

Decreciente en

[ ]

b)

{ }

{ }

Decreciente en

] [ ] [

c)

] ] ] ]

Decreciente en

] [ ] [

10. a) [ [

b)

[ [

c) { }

{ }

d)

e)

[ [

f)

[ ]

11. a) Es inyectiva pues valores distintos del dominio tienen distinta imagen, pero no es sobreyectiva

porque todos los números reales pertenecientes al intervalo [ no son imagen de ningún

valor del dominio. El conjunto de imágenes está incluido en el conjunto de llegada, es decir,

[ Por lo tanto a la función no es biyectiva.

Guía de Ejercicios



99

b) No es inyectiva porque valores distintos del dominio tienen la misma imagen, por ejemplo

, pero es sobreyectiva porque todos los elementos del intervalo ] son

imagen de algún elemento del dominio. Por lo tanto la función no es biyectiva.

12. a) No es inyectiva porque valores distintos del dominio tienen la misma imagen, por ejemplo

y si es sobreyectiva porque para todo número real se verifica que su

cuadrado es mayor o igual que cero y si se le suman tres unidades resulta El

recorrido es el intervalo [ que coincide con el conjunto de llegada. La función no es

biyectiva.

b) Dado que los valores de distintos del dominio tienen imágenes distintas, la función es

inyectiva. Como todo número real es imagen de algún elemento del dominio, la función es

sobreyectiva. La función es biyectiva.

13. a) no es biyectiva (no es inyectiva ni sobreyectiva), por lo tanto, no admite inversa.

b) es biyectiva, por lo tanto, admite inversa.

c) no es biyectiva (no es inyectiva ni sobreyectiva), por lo tanto, no admite inversa.

d) es biyectiva, por lo tanto, admite inversa.

14. a) Si se define la función [

/ √

la función es biyectiva y admite inversa. La

función inversa se define [

b) Si se define la función g [ [ / la función es biyectiva y admite inversa.

La función inversa se define [ [ √

c) Si se define la función { } { } /

la función es biyectiva y admite

inversa. La función inversa se define { } { }

15. a)

b)

c) (

)

{ } d) (

)

{ }

e) f)

16. a) [ [ b)

c) - 1 d)

[ [

e) 49 f)

17.

18. 7

Guía de Ejercicios



100

19. a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

Guía de Ejercicios



101

m) n) o)

p) q) r)

20. a) b)

Guía de Ejercicios



102

Aprendizaje 4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la

resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones afines,

cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.


4.2.1 Identifica los tipos de funciones mediante su representación gráfica y algebraica,

distinguiendo sus principales características de modelamiento.

4.2.2 Evalúa funciones para dar respuesta a un problema de modelación, analizando y

comunicando sus resultados de acuerdo a la situación.

4.2.3 Representa gráficamente funciones expresadas por medio de enunciados, tablas y

expresiones algebraicas indicando sus elementos característicos.

4.2.4 Realiza operaciones entre funciones para dar respuesta a un problema de modelación.






Guía de Ejercicios



103


La posición de un móvil que se mueve a velocidad constante, está dada por la función

donde es la posición del móvil (en metros) transcurridos segundos.

a. Grafica la trayectoria del móvil.

b. ¿Cuál es la posición inicial del móvil?

c. ¿Cuál es la posición del móvil a los 13 segundos?

d. ¿En qué instante el móvil pasa por la posición 268 m?

Solución:


- : tiempo, en segundos.

- : posición del móvil (en metros) transcurridos segundos.


Dada la expresión analítica de la función , podemos afirmar que es una función afín, con lo

que su representación gráfica es una recta. Para graficar una recta basta con determinra dos

puntos pertenecientes a ella, por lo tanto, calculamos las imágenes de dos tiempos y

distintos, pertenecientes al dominio de la función. Respecto de las preguntas b. y c., la

posición del móvil se obtiene calculando la imagen, por la función , del tiempo en cuestión

mientras que en la pregunta d., debemos calcular la preimagen de la posición del móvil dada.


a. La forma analítica de la función indica que es una función afín, por lo tanto su

representación gráfica es una recta. Al graficar una recta, es necesario conocer al menos

dos puntos de ella. Para tener precisión en el gráfico de una recta, es recomendable

calcular las intersecciones con los ejes cartesianos, es decir, y

Para

Para

Guía de Ejercicios



104

Por lo tanto, en el punto la recta intersecta al eje , y en al eje , como se

muestra a continuación.

b. La posición inicial del móvil es en , luego hay que calcular la imagen de cero para la

función , es decir, .

c. La posición del móvil en corresponde a la imagen de trece para la función , es

decir, .

d. La posición 268 significa que entonces hay que calcular la preimagen de 268.

d) Comunicación de resultados

a. Inicialmente el móvil está a 600 m del origen.

b. A los 13 segundos el móvil está a 470 m del origen.

c. A los 33,2 segundos el móvil está a 268 m del origen.

Guía de Ejercicios



105


Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de tenis imprimiéndole una velocidad de

Si después de haber sido lanzada la función que describe la altura es:

a. ¿Desde qué altura fue lanzada?

b. ¿En qué instante alcanza la altura máxima? Calcula la altura máxima.

c. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

Solución

a) Identificar Datos

- : tiempo, en segundos, transcurrido desde que la pelota comienza su vuelo.

- : altura que alcanza la pelota en el instante .


Dada la expresión analítica de la función , podemos identificar que es una función cuadrática,

por lo tanto, su representación gráfica es una parábola. De acuerdo a ella, la altura desde la

cual la pelota fue lanzada corresponde a la intersección de la parábola con el eje , por lo

tanto, en la pregunta a. debemos calcular la imagen de cero. Respecto de la altura máxima,

ésta gráficamente se alcanza en el vértice de la parábola, el que se calcula utilizando la

fórmula (

(

)). Por último, el tiempo que tarda en llegar al suelo, se visualiza

en la intersección de la parábola con el eje , para lo cual calculamos la preimagen de cero.

c) Resolver Problema

a. El instante en que la pelota comienza su vuelo es en , luego es la altura desde la

que fue lanzada.

b. La forma analítica de la función corresponde a una función cuadrática, cuya

representación gráfica es una parábola, por lo tanto, la altura máxima será el vértice de la

parábola.

Dada la función cuadrática , el vértice se calcula utilizando la

siguiente fórmula.

(

(

))

En la función , y , luego la coordenada

del vértice es:

Para calcular la coordenada del vértice, se calcula la imagen de 1,03 en la función

Guía de Ejercicios



106

c. La pelota cuando llega al suelo, su altura es cero, esto es , luego

La ecuación anterior es de segundo grado, por lo tanto, para resolverla es necesario

utilizar la fórmula cuadrática √

.

Para la función , y , luego

√

√

√

√

El dominio de la función es [ [, y no pertenece a ese intervalo, por lo tanto la pelota

tarda 3,29 segundos en llegar al suelo.


a. La pelota fue lanzada desde 5,4 metros.

b. La máxima altura que alcanza la pelota es 6,82 metros y esto ocurre transcurridos 1,03

segundos luego de ser lanzada.

c. La pelota tarda 3,29 segundos en llegar al suelo.

Guía de Ejercicios



107


La ley de Torricelli, que permite calcular la velocidad de salida de un líquido no viscoso e

incompresible a través de un orificio de un recipiente, se describe mediante la función

√ , donde es la velocidad del líquido, la aceleración de gravedad y la

diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura).

a. Si en un recipiente se mantiene un nivel constante de agua de 2,4 m y el orificio está ubicado a

1,5 m de la base ¿Cuál es la velocidad de salida del líquido?

b. Si en un recipiente, que se mantiene un nivel constante de agua, la velocidad de salida del

líquido es y el orificio está ubicado a 1,2 m de la base ¿Cuál es la altura del nivel de

agua?

c. Si en un recipiente, que se mantiene un nivel constante de agua de 10,3 m, se requiere que la

velocidad de salida del líquido sea ¿A qué altura debe realizarse el orificio?

Solución


- es una constante.

- : diferencia de altura entre nivel del líquido y orificio.

- : velocidad de salida del líquido.


Para conocer la velocidad de salida del líquido, es necesario calcular la imagen, por la función

de la diferencia entre la altura del nivel del agua y la del orificio. En la pregunta b. si

queremos determinar la altura del nivel del agua, primero calculamos la preimagen de la

velocidad de salida del líquido y esta diferencia la sumamos con altura del orifico. En la

pregunta c. también calculamos la preimagen de la velocidad de salida del líquido, pero ahora

a este número le restamos el nivel del agua, analizando si el valor obtenido pertenece al

dominio de la función.


a. Si en un recipiente se mantiene un nivel constante de agua de 2,4 m y el orificio está

ubicado a 1,5 m de la base, la diferencia de altura se calcula:

Guía de Ejercicios



108

Luego, es la velocidad de salida del líquido.

√

b. Si la velocidad de salida del líquido es , entonces , luego

√

Llamemos a la altura del nivel de agua. Considerando que el orificio está a una altura

de 1,2 metros de la base y que es la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el

orificio, entonces

Reemplazando en la ecuación anterior se tiene que

c. Si la velocidad de salida del líquido es , entonces , luego

√

Llamemos a la altura del nivel de agua. Considerando que el nivel de agua está a una

altura de 10,3 metros de la base y que es la diferencia de altura entre el nivel del líquido

y el orificio, entonces

Reemplazando en la ecuación anterior se tiene que

Como corresponde a una altura, éste número siempre debe ser mayor o igual a cero,

por lo tanto, no es posible realizar un orificio a un recipiente con las condiciones

anteriores.


a. La velocidad de salida del líquido es .

b. La altura del nivel del agua es .

c. No es posible realizar un orificio a un recipiente con las condiciones que se especifican.

Guía de Ejercicios



109


Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en el hipocentro o foco, que es

aquella zona del interior de la tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas, la que se

propaga mediante ondas sísmicas. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter es

Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora. A través de ella

a. ¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 7?

b. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto que libera kilowatts-hora?

Solución:


- : magnitud del terremoto en escala de Richter.

- : energía del terremoto en kilowatts-hora.

b) Resolver problema

a. Calcular la energía que libera un terremoto de magnitud siete, significa que calcular la

preimagen de 7 en la función , es decir

b. Calcular la magnitud de un terremoto que libera kilowatts-hora, significa calcular

la imagen de en la función , es decir

c) Establecer estrategia de resolución

Calcular la energía que libera un terremoto dada su magnitud, significa calcular la preimagen

de la magnitud por la función , mientras que para calcular la magnitud de un terremoto

dada la energía que libera, basta con determinar la preimagen de dicha energía en kilowarrs-

hora.

Guía de Ejercicios



110


a. Un terremoto de magnitud 7, en la escala de Ritcher, libera kilowatts-

hora.

b. Un terremoto que libera kilowatts-hora de energía en el hipocentro,

tiene una magnitud de 5,3 en la escala de Ritcher.


La vida media de una sustancia radiactiva corresponde al tiempo requerido para que determinada

cantidad de material se reduzca a la mitad. Se ha observado que este proceso radiactivo tiene un

comportamiento exponencial decreciente de la forma , donde es la cantidad

de sustancia radiactiva en el instante Si de 200 g de cierta sustancia radiactiva quedan 50 g al

cabo de 100 años ¿Cuántos gramos de sustancia radiactiva quedarán transcurridos 135 años?

Solución:


- son constantes.

- : tiempo en años.

- : cantidad de sustancia radiactiva en el instante .

- Inicialmente hay 200 g de sustancia radiactiva, es decir,

- Transcurridos 100 años hay 50 g de sustancia radiactiva, es decir,

b) Establecer estrategia de resolución:

Para calcular los gramos de sustancia radiactiva que quedarán transcurridos 135 años es

necesario primero determinar la función , es decir calcular las constantes y Para

ello, con los puntos y planteamos ecuaciones y conocemos los

valores de las constantes en cuestión. Finalmente calculamos la imagen de 135 por la función

.


Para calcular los gramos de sustancia radiactiva que quedarán transcurridos 135 años es

necesario determinar la función , es decir calcular las constantes y

Se sabe que inicialmente hay 200 g de sustancia radiactiva, es decir

Por lo tanto, remplazando en la función se tiene

Guía de Ejercicios



111

Además , luego

Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad obtenemos

Por lo tanto,

(

)

Sea

, aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad se tiene

(

)

(

)

(

)

Luego la función es

Finalmente si ,


Luego de 135 años quedará 30,77 g de sustancia radiactiva.

Guía de Ejercicios



112


La cuenta mensual del agua potable en período normal (sin sobre consumo) dice:

Cargo fijo : $ 472

Valor m³ : $ 353

El Valor por cada m³ incluye: agua potable, alcantarillado y tratamiento aguas servidas.

i. ¿Cuál es la función que modela la tarifa mensual del agua potable?

ii. ¿Esta función es predictiva en el cobro por consumo de agua potable?

Solución:


Se comienza definiendo las variables a trabajar, en este caso:

x : m³ de consumo de agua mensualmente. (Variable independiente).

y : costo por consumo mensual de m3 de agua. (Variable dependiente).

b) Establece estrategia de resolución

Primero identificamos las variables dependiente e independiente. En este caso, llamaremos

a los m³ de consumo de agua mensualmente (variable independiente) y al costo por

consumo mensual de m3 de agua (variable dependiente). Luego construimos una tabla de

registro y graficamos. A partir del gráfico, identificamos el tipo de función y calculamos sus

parámetros.


Para obtener los cobros por cantidad de

consumo, se realiza una tabla de registro, con

diferentes parámetros de consumo:

Con estos valores se realiza un registro

gráfico, para determinar el gráfico asociado

al cobro:

Guía de Ejercicios



113

x y

0

1

2

3

10

30

45

73

Como el cobro del agua potable sigue un modelo a fin, una manera de obtener la función que

modela el cobro, es utilizando la ecuación de la recta dado dos puntos, para esto se puede

acudir al registro de tabla o al registro gráfico, en este caso se tomarán en cuenta los dos

primeros datos de la tabla de registro, los cuales representan un punto en el plano cartesiano

cada dato. De esta forma: P1 = ( 0 , 472 ) y P2 = ( 1 , 825 ).

Reemplazando estos puntos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos:

De esta forma, se obtiene la función que modela el cobro del agua potable mensualmente, es

recomendable verificar si esta ecuación arroja parámetros coherentes con los datos dados en

un comienzo, es decir:

Se sabe que con 0 m3 sólo cobrarán el cargo fijo; si se reemplaza en la función modela, la

imagen que arroje esta función para la pre imagen 0, debe ser de $ 472, al verificar:

Reemplazando otro consumo, 45 m3:


i) Así se verifica que la función modelada tenga consistencia con los valores de

referencia del problema. Por lo tanto la función que modela el cobro del agua potable

es:

Guía de Ejercicios



114

Es importante mencionar que la función que modela este cobro es una función a fin y

no lineal, ya que las funciones lineales pasan por el origen, en este caso no cumple con

esa condición, por ende es a fin.

ii) Con respecto a si esta función es predictiva con respecto al cobro del agua potable

mensualmente y sin sobreconsumo. Cuando se modela una función el principal

objetivo es poder saber que sucederá con diferentes valores, es decir , si una persona

proyecta gastar 30 m3 , 70 m3 , 21 m3 o cualquier valor que se refiera al consumo de

agua, se puede saber cuánto será el costo sólo basta con reemplazar este valor en la

función modelada. Además se puede determinar la cantidad de m3 consumidos dado

el valor de cobranza. Ambos puntos son importantes ya que el primero hace

referencia a que el modelamiento es predictivo y el segundo punto tiene como

utilidad la verificación, es decir puede permitir saber si existe algún error en la cuenta.


Una compañía de teléfonos públicos, tiene un valor de $100 por cada 3 minutos o fracción a

números de red fija, dentro de la región donde se realice la llamada.

¿Cuál es la función que modela el cobro por llamada de esta compañía?

Solución:


Cobro: $ 100 por cada 3 minutos o fracción


Primero identificamos las variables dependiente e independiente. En este caso, llamaremos a los

segundos que dura la llamada, ya que se cobra $100 por minuto o fracción (variable

independiente) y al costo total de la llamada según los segundos utilizados (variable

dependiente). Luego construimos una tabla de registro y graficamos. A partir del gráfico,

identificamos el tipo de función y calculamos sus parámetros.


Para obtener los cobros por cantidad de segundos utilizados, se realiza una tabla de registro.

x f(x)

]0 – 180]

]180 – 360]

Guía de Ejercicios



115

]360 – 540]

]540 – 720]

]720 – 900]

]900 – 1080]

Con estos valores se realiza el gráfico asociado al cobro

Al tener el registro gráfico de los datos, se identifica una función parte entera, de esta forma la

función que modela el cobro por las llamadas es:

x y

]0 – 180] [

]

]180 – 360] [

]

]360 – 540] [

]

]540 – 720] [

]

]720 – 900] [

]

Guía de Ejercicios



116

]900 – 1080] [

]


De esta manera la función que modela el cobro por llamada realizada es:

[

]


Se debe cercar un terreno rectangular de 5000 m2 en el cual uno de sus lados ya está cubierto por

una cadena de cerros.

a. Escribe una función que permita calcular el perímetro del terreno dada la medida de uno

de sus lados.

b. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno si el perímetro es 348 m?

Solución


El terreno tiene forma rectangular.

La superficie del terreno mide 5.000 m2

Uno de los lados del terreno está cubierto por cerros.


Primero identificamos las variables dependiente e independiente. En este caso, llamaremos

a la medida en metros del ancho del rectángulo (variable independiente) y al perímetro

del terreno (variable dependiente). Luego escribimos el largo del rectángulo en términos de

y finalmente la expresión algebraica correspondiente perímetro. Entonces conocida la función

para determinar las dimensiones del terreno dado su perímetro, debemos calcular la

preimagen del perímetro.


a. Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la

medida en metros del largo del rectángulo como se muestra

en la figura 1.

Se sabe que el terreno debe tener un área de 5000 m2,

entonces la ecuación correspondiente al área es

𝑥

𝑥

𝑦

Fig. 1

𝑥

𝑥

𝑥

Fig. 2

Guía de Ejercicios



117

Por lo tanto, al despejar se obtiene

Con el resultado de la ecuación anterior, se escribe el largo y ancho del rectángulo

utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2.

Por lo tanto, si es el perímetro de la superficie rectangular, el perímetro en función de

es

b. Si el perímetro es 348 m, significa calcular la preimagen de 348 en la función P

Para resolver esta ecuación cuadrática, es necesario identificar los parámetros y .

En este caso , y . Luego, estos números se reemplazan en la

fórmula cuadrática √

.

√

√

√

√

Finalmente se reemplaza y en

para calcular, en cada caso, la medida del

largo del rectángulo.

Guía de Ejercicios



118

Para ,

Para


a. El perímetro del terreno en función de la medida de su ancho es

b. Si el perímetro es 348, las dimensiones del terreno pueden ser 158,2 m de ancho y 31,61

m de largo o 15,8 m de ancho y 316,46 m de largo.


1. Resuelve los siguientes problemas.

a) El número de bacterias en cierto cultivo en el tiempo (en horas) está dado por

, donde se mide en miles.

i. ¿Cuántas bacterias hay inicialmente?

ii. Calcula el número de bacterias después de 10 minutos, 30 minutos y 1 hora.

b) La relación entre el número de decibles y la intensidad del sonido en watts por metro

cuadrado está dada por la función (

) ¿Cuál es el número de decibeles

de un sonido cuya intensidad es 1 watts por metro cuadrado?

c) Una aproximación del número de hogares (en millones) con televisión digital, de 2003 a

2007, está dado por la función , con donde

representa el año 2003. ¿Cuántos hogares tenían televisión digital el año 2005?

d) La economía de una empresa de construcción de barcos se rige por las siguientes

funciones de oferta y demanda:

Donde es el precio por unidad en euros, son las unidades fabricadas y son las

unidades que pide el mercado. Calcula el precio y el número de unidades que se deben

fabricar para que la oferta y la demanda coincidan.

e) El ingreso mensual en miles de pesos por la venta de unidades de cierto artículo está

dado por la función – .

i. ¿Cuántos es el ingreso por la venta de 950 unidades?

Guía de Ejercicios



119

ii. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener un ingreso de quince millones de

pesos?

iii. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener?

f) El gráfico muestra el costo en pesos de producir cuadernos tapa dura.

i. Exprese el costo en función del número

de cuadernos.

ii. ¿Cuál es el costo de producir 358

cuadernos?

iii. ¿Cuántos cuadernos se pueden

producir con $ 450.560?

g) La imagen muestra la tarifa de un

estacionamiento. Exprese el costo en función de

los minutos estacionados y grafique dicha función.

h) La trayectoria de un proyectil corresponde a una función cuadrática. Si la altura máxima

alcanzada por el proyectil es de 120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros

¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo cuando el proyectil alcanza por

primera vez una altura de 80 metros?

i) Después de t horas de operación, una empresa ha ensamblado una cantidad de

segadoras de pasto de motor, donde

, siendo Sea C el

costo de fabricación de esas unidades (en dólares) dado por

i. Exprese el costo de fabricación como función del número de horas de ensamble.

ii. ¿Cuál es el costo de las primeras dos horas de operación?

iii. Si el costo de fabricación es dos mil quinientos dólares ¿cuántas horas le demanda

esa operación?

j) En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio, y el gobio se alimenta

de plankton. Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función

Guía de Ejercicios



120

del número de gobios presentes en el lago, y el número de gobios es una función

de la cantidad de plankton en el lago. Si √

y

i. Si en el lago se estima que hay 7549 peces gobios ¿cuántos plankton y róbalos

hay?

ii. Exprese el tamaño de la población del róbalo como una función de la cantidad de

plankton.

k) Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su tamaño.

Después de minutos, el radio del charco mide

pulgadas. Si el área A del

charco está dado por la función ,

i. ¿Cuál es área inicial del charco?

ii. Exprese el área del charco en función del tiempo.

Guía de Ejercicios



121

Soluciones:

1. a) i. 2000 bacterias; ii. A los 10 minutos hay 2402 bacterias, a los 30 minutos 3464 bacterias y a la

hora hay 6000 bacterias.

b) 20 decibles

c) 55.528.879 hogares tenían televisión digital el año 2005.

d) La oferta y la demanda coinciden cuando se fabrican 5 000 barcos a 2 000 euros cada uno.

e)

i. $ 23.750.000 ii. 142 o 1058 unidades iii. $36.000.000

f)

i.

ii. $ 36.150 iii. 4502 cuadernos

g) [

]

h) 211,32 metros.

i)

i.

ii. 6.040 dólares iii. 40,3 horas

j)

i. 57 peces róbalos y 1887 peces plankton ii. √

k)

i. 5,06 pulgadas ii. (

)

Guía de Ejercicios



122


Mecánica

1. Una empresa que se dedica a la pintura de automóviles, estima que el costo por pintar una

pieza de un vehículo, en donde “x” representa el número de piezas a pintar está dada por la

función:

a) ¿Cuánto es el costo de pintar las dos puertas delanteras de un automóvil?

b) ¿Cuántas pizas se pintaron, si el costo fue de $40.500?

2. La ley de Torricelli, que permite calcular la velocidad de salida de un líquido no viscoso e

incompresible a través de un orificio de un recipiente, se describe mediante la función

√ , donde es la velocidad del líquido, la aceleración de

gravedad y la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura)

a) Si el recipiente que contiene el agua destilada de un vehículo se mantiene un nivel

constante de agua de 1,1 m, el cual tiene una fuga en donde la velocidad de salida del

agua es de ¿A qué altura se encuentra el orificio?

b) ¿Qué restricción se debe realizar en el dominio, para que la función tenga sentido dentro

del contexto?

3. El número de kilómetros que puede recorrer con 4,3 litros de gasolina un determinado modelo

de automóvil, con una rapidez de “v” kilómetros por hora, viene dado por la función:

a) ¿Cuál será la cantidad de kilómetros que puede recorrer el vehículo con una rapidez de 15

km/h?

b) ¿Cuál es la rapidez del automóvil, si recorrió 40 km?

Guía de Ejercicios



123

4. Es posible Medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones

sugieren que el riesgo “r” (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico viene

dado por la función:

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante.

a) Suponga que con una concentración del 0,04 de alcohol en la sangre y un riesgo del 10%

de sufrir un accidente. ¿Cuál es el valor de k?

b) Utilizando el valor de k obtenido anteriormente, ¿Cuál es el riego de tener un accidente si

la concentración de alcohol es de un 0,17?

c) ¿Cuál es la concentración de alcohol en la sangre de una persona, para que tenga un

riesgo de un 100%? (utilizando el valor de k del ejercicio a)

5. En 1880 el promedio de la temperatura del suelo fue 11,8 °C. Desde entonces, ha subido a un

ritmo casí constante, llegando a 13,6 °C en 1970 ¿Cuál es la expresión que modela la

temperatura(T) en función del tiempo(t)? (considerar que t = 0 corresponde al año 1880 y

)

Soluciones:

1.

a) El costo por dos piezas es de $21.900

b) 5 piezas.

2.

a) La altura del orificio se encuentra a 1 mt.

b) La restricción que debe haber es que la variable “h” sea mayor o igual que cero, ya que

corresponde a una altura, además se encuentra dentro del radical de una raíz, “g” no

influye, ya que es una constante.

3.

a) 22,5 kilómetros

b) 40 o 50 kms/hrs

4.

a) k = 12,77

b) El riesgo es de un 52,6%

c) Una concentración del 0,22

5. La función que modela la temperatura es :

Guía de Ejercicios



124

Construcción

1. Una empresa que se dedica al trabajo con cerámicos, paga a sus trabajadores en forma

mensual, según la cantidad de metros cuadrados realizados ( x ), utilizando la siguiente

función:

a) ¿Cuánto obtiene un trabajador que pegó 350 mts2 de cerámicos durante un mes?

b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pegar un trabajador para obtener $722.000?

2. Según la ley de enfriamiento de Newton, si un objeto que se encuentra inicialmente a una

temperatura se coloca en una habitación a una temperatura , la temperatura (en

del objeto en el instante (en horas) esta dada por la función

donde , y son constantes.

Un objeto se saca del horno a 350°F y se deja enfriar en una habitación que está a 70°F. Si la

temperatura del objeto desciende a 250°F en una hora. ¿Cuál será su temperatura tres horas

después de que se sacó del horno?

3. Para evacuar las aguas de las casas en las techumbres

se utilizan canaleta. Con una plancha de lata de 30 cms,

se requiere obtener una canaleta de sección transversal

rectangular, que evacue la mayor cantidad de agua

posible, para esto la plancha debe ser doblada, como lo

indica la figura.

¿Cuáles deben ser las medidas de la canaleta (altura y

base) para que transporte la mayor cantidad de agua

posible?

4. El número de vibraciones de una cuerda es directamente proprcional a la raíz cudrada de la

tensión de la cuerda. Cuyo modelo se expresa a continuación:

√

En donde:

t : es la tensión de la cuerda en kg ; V: es la cantidad de vibraciones por seg ; k : constante

a) ¿Cuál es el valor de la constante si una cuerda en particular tiene 864 vibraciones por

segundo, sometida a 24 kg?

b) Expresar el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T

c) Determinar el número de vibraciones por segundo, cuando la cuerda esté sometida a 6 kg.

Guía de Ejercicios



125

5. De una pieza rectangular de lata que mide 44 cm de largo y 19 cm de ancho se va a construir

una caja sin tapa. Se cortarán 4 cuadrados de x cm de lado, como se muestra en la figura, y

luego se doblará sobre las líneas punteadas para formar la caja. Exprese el volumen de esta

caja como función de x.

Soluciones:

1.

a) Por pegar 350 mts2 de ceramica gana $470.000

b) Tiene que pegar 560 mts2

2. La temperatura después de tres horas será de 144,4°F

3. 3. Para evacuar la mayor cantidad de agua la canaleta debe tener 7,5 cms de altura y 15 cms

de base.

4.

a) √

b) √ v/seg

c)

5.

Guía de Ejercicios



126


1. La concentración de amoniáco sobre superficies de tungsteno luego de minutos esta dada

por la función .

a. ¿Cuál es la concetración inicial de amoniáco en la superficie de tungsteno?

b. ¿Cuál es la concentración de amoniáco a los 93 minutos?

c. ¿Cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el amoníaco?

2. La contaminación por monóxido de carbono en ciertas zonas del planeta está dada por la

función

√ donde corresponde a la población en miles de habitantes

y al monóxido de carbono en ppm.

a. Si una ciudad tiene una población de 9.548.000 habitantes ¿Cuantó es el nivel de

contaminación por monóxido de carbono de esa ciudad?

b. Si la población de una ciudad emite 6 ppm de monóxido de carbono ¿Cuántos

habitantes tiene la ciudad?

3. Estudios demográficos han estimado que dentro de años la población de una ciudad, en

miles de habitantes será .

a. ¿Cuántos habitantes tenía inicialmente la ciudad?

b. ¿En cuánto tiempo la población de la ciudad será 14.890.000 habitantes?

c. Considerando la función de contaminación por monóxido de carbono del

ejercicio anterior ¿En cuánto tiempo el nivel de monóxido de carbono de esa ciudad

llegará a 5,5 ppm?

4. Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en el hipocentro o foco,

que es aquella zona del interior de la tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas, la

que se propaga mediante ondas sísmicas. La magnitud M de un terremoto en la escala de

Richter es:

Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora. A través de ella

¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 9?

5. El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y su decrecimiento exponecial se modela

mediante la función , donde es la cantidad de sustancia radiactiva en el

instante . Su vida media es 5730 años, es decir, tarda 5730 años que una cantidad

determinada de carbono 14 decaiga a la mitad. Si originalmente estaban presentes 10 gramos

¿Cuánto quedará después de 2000 años?

Guía de Ejercicios



127

Soluciones:

1.

a) La concetración inicial de amoniáco es de 0,02

b) La concetración de amoniáco a los 93 minutos es de 0,00469

c) 119,76 minutos tarda en descomponerse totalmente el amoníaco.

2.

a) El nivel de contaminación por monóxido de carbono de la ciudad es de 218,54 ppm

b) La cantidad de habitantes es de 3200 personas.

3.

a) Inicialmente teniá 700 habitantes

b) En 2.227,8 años

c) Cuando la población tenga 2.050 habitantes.

4. La energia liberada es de

5. Despues de 2000 años quedará 7,85 grs.

guÍa de actividades matemÁtica - mtin01

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