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matematicas

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  • rea Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptacin y Compilacin: Prof. Jos Neptal Lugo Garca

    1

    Matemtica

    1era versin

    Agosto 2003

    Autores: Prof. Wilmer Colmenrez

    Lic. Alfredo Espejo

    Lic. George Kahwati Lic. Francisco Machado

    Lic. Francia Martnez

    Ing. Pedro Rivas Ing. Luis Gonzlez

    Adaptacin y Compilacin:

    Prof. Jos Neptal Lugo

    Junio 2013 Consolidando el Plan de Transformacin

    Rumbo al Plan Estratgico 2014 - 2019

    Chvez Vive, la Lucha Sigue!

    Plan de Transformacin de la ENAHP-IUT 2009-2013 Un Sistema de Gestin con Visin Socialista

    Impulsando la Refundacin del Estado

    Av. Francisco de Miranda entre Av. Diego Cisneros y Calle Los Laboratorios Edif. ENAHP-IUT, Los Cortijos de Lourdes. Caracas Venezuela. Telfonos: 0212 232.32.31

    CIU

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    2

    Prefacio

    El Licenciado en Ciencias Fiscales requiere de una formacin

    matemtica que le permita enfrentar de manera adecuada distintas

    situaciones que se presentan en el da a da vinculadas con su entorno

    laboral y personal; como ciudadano del siglo XXI, debe poseer destrezas lgicas

    matemticas que faciliten la toma de decisiones, optimizando tiempo y

    recursos.

    Estando conscientes de este compromiso, un grupo de docentes del rea

    Cuantitativa desarroll en el ao 2003 una gua de matemtica bsica para

    aquellas personas que inician estudios en esta prestigiosa casa de estudios,

    ENAHP-IUT, cuyo propsito es facilitar el aprendizaje de la matemtica,

    unidad curricular querida por pocos, necesaria para todos.

    Esta gua ha acompaado a estudiantes durante una dcada,

    experimentando varias modificaciones, siendo la ms reciente la presente

    versin, que incluye elementos sugeridos por docentes y propios estudiantes:

    ejercicios y problemas resueltos, otros con slo respuestas y nuevos tpicos

    matemticos.

    Se pretende que los estudiantes comprendan la matemtica y que no se

    conviertan en unos simples repetidores de algoritmos matemticos sin sentido.

    Que entiendan la matemtica no es slo clculo, cuentas, operaciones bsicas,

    sino que es una fuente viva de saberes que permiten afrontar situaciones de la

    vida real.

    Estudiante, que esta gua no sea tu nico vnculo con las matemticas

    en este perodo acadmico, te recomendamos consultar libros de matemtica

    para profundizar las ideas aqu expuestas, visita frecuentemente la biblioteca.

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    3

    Dedicatoria

    Dedico esta gua a la memoria de mi querido padre Neptal Lugo Sanoja.

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    4

    ndice

    Pg.

    I Operaciones bsicas con nmeros reales 5

    Ejercicios propuestos 32

    II Expresiones algebraicas y polinomios 35

    Ejercicios propuestos 48

    III Productos notables 52

    Ejercicios propuestos 62

    IV Factorizacin 63

    Ejercicios propuestos 76

    V Fracciones algebraicas 79

    Ejercicios propuestos 98

    VI Radicales y racionalizacin 100

    Ejercicios propuestos 109

    VII Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 114

    Ejercicios propuestos 137

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    5

    Propiedades de la Potenciacin en R

    (1) Multiplicacin de Potencias de Igual Base

    nmnm aaa , para todo Ra y Znm ,

    (2) Divisin de Potencias de Igual Base nmn

    m

    aa

    a , para todo *Ra y Znm ,

    (3) Potencia de un Producto

    nnn baba , para todo Rba , y Zn

    (4) Potencia de una Potencia

    nmnm aa , para todo Ra y Znm ,

    (5) Potencia con exponente negativo

    nn

    a

    b

    b

    a

    , para todo *, Rba y

    Zn

    (6) Potencia con exponente cero

    10 a , para todo *Ra

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    Ejercicios y problemas resueltos

    1

    3

    2

    5

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    nmeros reales.

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    32

    1. Ordenar los siguientes nmeros reales en forma creciente:

    9

    1- ; 2 ;

    4

    3 ; e ; ;

    5

    1- ;

    2

    3 ; 31, ; 2,6- ; 0,25 ; 0- ; 50 ; 9

    2. Calcular el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) y el mximo comn divisor (m.c.d.) de los siguientes grupos de nmeros:

    a) 12 , 60 b) 20 , 50 c) 840 , 20 d) 18000 , 10000 , 100

    e) 20 , 50 , 100 f) 320 , 180 , 50 g) 365 , 185 , 250 h) 180 , 49 , 21

    i) 870 , 64 , 32 j) 69 , 46 , 23

    3. Simplificar:

    a) 6

    5

    2

    1

    5

    123

    24

    748

    10

    6

    15

    5

    10

    93

    b)

    4

    4

    7

    13

    5

    1

    2

    9

    2

    9

    4

    3

    45

    64

    c) 10

    8

    49

    9

    7

    52

    100

    49

    d)

    3

    8

    252

    10

    9

    5

    31

    5

    1

    e)

    4

    1

    8

    12

    2

    1

    10

    7

    2

    5

    4

    5

    4

    2

    8

    25

    2

    9

    10

    8

    20

    15

    5

    2

    f)

    4

    13

    2

    5

    10

    7

    12

    5

    4

    15

    4

    1

    9

    464

    2

    3

    10

    1

    10

    99

    5

    16

    Ejercicios propuestos

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    33

    g)

    4

    3

    2

    3

    4

    2

    5

    2

    2

    1

    6

    2

    9

    2

    4

    3

    4

    2

    18

    9

    2

    1

    10

    2

    2

    6

    5

    2

    h)

    4

    3

    2

    1

    4

    1

    8

    1

    2

    1

    10

    7

    2

    5

    4

    5

    4

    3

    8

    1

    2

    5

    10

    4

    20

    5

    5

    2

    4. Calcular:

    a) 984565 ppp

    b) pqqp aaaa 5923

    c)

    22

    4

    3

    4

    3

    d)

    85

    3

    3

    3

    3

    3

    3

    e) 8

    9

    2

    42

    f) 84 53

    g) yxyx qp 2525

    h) 100kpq

    i) 34344

    31324340

    13243

    j) 9

    2

    2

    92

    k) 2

    68

    99

    9 pp

    p

    5. Simplificar:

    a)

    bbba

    baba

    237

    36987

    b)

    25

    36223

    52

    105.36

    c)

    xy

    yx

    yx

    xy 347

    3

    2 2

    d)

    6

    63

    2

    22

    p

    pp

    e)

    3

    6242

    1657

    nm

    nmnm

    f)

    32

    211

    4

    1

    8

    12

    2

    1

    10

    7

    2

    5

    4

    5

    4

    2

    8

    25

    2

    9

    10

    8

    20

    15

    5

    2

    g)

    xy

    yx

    yx

    xy

    xy

    yyxx

    347

    3

    2

    22

    32232

    2

    h)

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    3

    3

    3

    3

    3

    36

    3

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    34

    i)

    2

    6

    xy

    xy

    yx

    yx

    j)

    331

    33

    333

    3

    27

    356

    yx

    xx

    yyy

    k) 3

    7

    qp

    qp

    l)

    qpqppqqpqp

    77

    777

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    35

    Acuerdo 1. El Conjunto de los polinomios sobre Q se denotar Q[x]

    Definicin 1. Un polinomio sobre Q de variable x, es una expresin de la forma

    012

    2 axaxaxaxpn

    n , en el cual n es un nmero natural y naaa ,...,, 10 son nmeros

    racionales, llamados coeficientes del polinomio, a cada sumando se denomina trmino del polinomio y el

    coeficiente 0a se le llama trmino independiente del polinomio.

    Definicin 2. Un polinomio que tiene un solo trmino se llama Monomio, el de dos trminos Binomio, el

    de tres trminos Trinomio y si solo tiene trmino independiente se denomina polinomio constante.

    Definicin 3. El mayor exponente de la variable de un polinomio cuyo coeficiente es distinto de cero, se

    denomina grado del polinomio.

    Definicin 4. Si un polinomio de grado n tiene 1n trminos y todos los coeficientes distintos de cero,

    se dice que el polinomio es un polinomio completo.

    Definicin 5. Dado un polinomio 012

    2 axaxaxaxpn

    n y un nmero racional r , al nmero

    racional 012

    2 ararararpn

    n se le denomina valor numrico del polinomio xp para rx .

    Definicin 6. Dado un polinomio en Q[x], se dice el nmero racional r es una raz del polinomio xp si y slo s 0rp .

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    36

    Ejercicios resueltos 1

    2

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    4

    5

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    48

    1. Cules de las siguientes expresiones son polinomios sobre Q de variable x?

    a) 24 xx

    b) 3

    5

    c) 23

    x

    x

    d) xx 3

    2

    2

    1 5

    e) xx

    1

    1

    f) 2045

    4xx

    g) 122 xx

    h) 210 x

    i) 1000x

    j) 2

    113

    x

    2. Qu valores puede tomar k para que la expresin 13 2 kxx sea un polinomio?

    3. Indique el grado y el nmero de trminos de los siguientes polinomios:

    a) 272 p

    b) 7

    3

    c) 2563 yy

    d) 200500 1000pp

    e) 10 34 qq

    f) 82

    3

    10

    9

    1yyy

    4. Ordene los siguientes polinomios en forma creciente y en forma decreciente:

    a) 112 479 ppp

    b) qqqq 24 752

    c) 67663 683 yyyy

    d) 22246 755 zzzz

    5. D un ejemplo de un polinomio completo de grado cinco.

    6. D un ejemplo de un polinomio incompleto de grado siete.

    7. Halle xqxp en cada uno de los siguientes casos:

    a) 173 2 xxxp y xxxq 529 2

    b) xxxp 25

    3

    2

    1 3 y 22

    12 2 xxxq

    c) 32 97 xxxp y 32 9 xxxq d) 0xp y xxq 32

    Ejercicios propuestos

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    49

    8. Si un polinomio xp tiene grado tres y un polinomio xq tiene grado cuatro, qu grado tendr xqxp ?

    9. Si los polinomios xp y xq tienen grado m, qu puede afirmarse con relacin al grado del polinomio xqxp ?

    10. Si 325 4 xxxp y cbxaxxq 34 , qu valores deben tomar cy , ba , para que se cumpla las siguientes igualdades:

    a) 323 4 xxxqxp

    b)

    c) 325 4 xxxqxp

    d) 1026 3 xxxqxp

    e) 3

    12

    2

    9 34 xxxxqxp

    f) xxqxp 2

    11. Halle xqxp y xpxq en cada uno de los siguientes casos:

    a) 173 2 xxxp y xxxq 529 2

    b) xxxp 25

    3

    2

    1 3 y 22

    12 2 xxxq

    c) 32 97 xxxp y 32 9 xxxq d) 0xp y xxq 32

    e) 243 425

    3xxxxxp y

    5

    324 243 xxxxxq

    12. Si un polinomio xp tiene grado cinco y otro polinomio xq tiene grado seis, qu grado tendr xqxp ?

    13. Si se restan dos polinomios de igual grado, qu puede afirmarse con relacin al grado del polinomio resultante?

    14. Efecte las multiplicaciones que se indican a continuacin:

    a) 27 48 pp

    b)

    qq

    5

    1

    2

    3 2

    c) 07

    2 6

    x

    d) 2389 35 qq

    e) 67

    4 5

    p

    f) 31105

    2pp

    g)

    9810

    2

    3

    5

    1hh

    h)

    78

    3

    10

    4

    3xx

    i)

    4799

    2

    3

    9

    2qq

    xxxxqxp 222

    3 34

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    50

    15. Dados los monomios xp de grado tres y xq de grado cuatro, cul es el grado de xqxp ?

    16. Qu valores deben tomar ka y , para que se verifique 86 52 xxax k ?

    17. Existe algn monomio xp , que satisfaga la siguiente igualdad: 58 23 xxpx ? 18. Calcule xqxp en cada uno de los siguientes casos:

    a) 4xp y 324 25 xxxxq

    b) 2

    1xp y 328

    3

    1xxxq

    c) 22xxp y 104

    3

    2

    1xxxq

    d) 0xp y 32 xxq

    e) 258xxp y 3122 2119 xxxxq

    19. Si xp es un monomio de grado tres y xq es un polinomio de grado cinco, cul es el grado del polinomio xqxp ?

    20. Efecta las siguientes multiplicaciones:

    a) 13368 2 ppp b)

    10

    4

    3

    5

    22

    2

    1 452 qqqq

    c) 85423 232 ppppp d) 12432512 81023 xxxxxx

    21. Qu valores deben tomar dcba y , , , para que 222 xax sea igual a bdxcxx 23 ?

    22. Dados los polinomios 23 2 xxxxp , 12 xxq y 44 23 xxxs . Halle:

    a) xsxqxp b) xsxqxp c) xpxqxs

    d) xqxpxs e) xsxqxp f) xsxpxq

    g) xsxpxp h) xpxp 1

    23. Efecte las siguientes divisiones:

    a) 2356 2:768 pppp b) 4486 3:3643 yyyy c) 5697100 : ppp

    d) 3574

    2

    5:

    3

    1

    4

    3

    5

    2qqqq

    e) 12:227 2108 pppp f) qqqqqq 3:224 26102 g) 2:3 546 xxxx h) 1:2 234 qqqqq

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    51

    24. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule el valor numrico del polinomio dado por los nmeros indicados:

    a) 133 qqqp para 2q , 0 , 3 qq

    b) yyyq 84 para 2y , 1y , 0 y

    c) 23 105 qqqt para 0q , 2q , 5

    1q

    25. Diga cules de los valores dados en cada caso son races de los siguientes polinomios:

    a) 35 24 qqqqp para 2

    1q , 1 , 0 qq

    b) 844 24 yyyq para 1y , 1y , 0 y

    26. Efecte las siguientes divisiones:

    a) 2:71123 23 xxxx b) 3:44435 24 xxxx c) 5:825 34 xxxx d) 1:15 xx e)

    f)

    g) 21234 :1224 xxxxx

    h) 21234 :122 xxxxx

    i) 2:25115 35 xxxx

    j) 3324 :1 xxx 23:2722533 235 xxxxx

    k) maxamaamxmxamx :232 22223

    l) 2:8773 2246 xxxx m) 5:256 551015 xxxx n) 3:462 441216 xxxx o) 2:67103 33612 xxxx

    p)

    q) axaxaaxx 232246 :6523

    27. Efecte las siguientes divisiones:

    a) 12:13104 23 xxxx b)

    c) 23:36 23 xxxx d) 52:22 23 xxxx e) 25:1535

    52134 xxxx

    f) axaaxaxxaxx 2:22282 2234 g) 1:7

    312

    373

    91 xxxx

    h) bxabbxxbxxaaa

    1222341 :33

    31234 :714873 xxxxx

    32234 :1013956 xxxxx

    2:53 661218 xaxaxax

    13:1369 234 xxxxx

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    52

    Cuadrado de una suma 222 2 bababa Cuadrado de una diferencia 222 2 bababa Producto de una suma por su diferencia

    22 bababa Producto de dos binomios con un trmino comn

    bcacbacaba 2

    Cubo de una suma 32233 33 babbaaba Cubo de una diferencia 32233 33 babbaaba

    Producto especiales 3322 babababa y 3322 babababa

    Desarrollar los siguientes productos notables:

    Ejercicios resueltos

    1

    2

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    53

    3

    4

    5

    6

    7

    8

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    54

    9

    10

    11

    12

    14

    13

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    55

    16

    15

    17

    18

    19

    20

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    56

    21

    22

    23

    24

    25

    26

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    57

    27

    28

    29

    30

    31

    32

    33

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    58

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

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    59

    41

    42

    43

    44

    45

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    60

    46

    47

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    61

    48

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    62

    Desarrolle los siguientes productos notables:

    a) 2105 24 pp

    b) 2

    42

    1

    p

    c) 223 qq d) 257 q

    e) 2

    2

    3

    3

    7

    p

    f) 232 qq g) 223 qq h) 223,0 p

    i) 232 1010 p j) 232 q

    k) 223 qq l) 24 3,02,0 p m) 2104 y

    n) 232 23 yy o) 25 510 bb p) 25,02,0 a

    q) 222 xx r) 245 t s) 55 qq

    t) 1,02,11,02,1 33 xx

    u) 210210 xx

    v) 1,02,11,02,1 33 xx w) x y z x y z

    x) 1 1m n m n

    y) 2 2x y z x y z

    z) 2 25 6 5 6x x x x aa) 3 2 3 2x x x x x x bb) 6464 zz cc) 22 zz

    dd) 1515 22 xx ee) 222 33 xx ff) 2 2a b a b a b gg) 21 1 2x x x hh) 23 9 3a a a ii) 1 1 2 2a a a a

    jj) 35 xx

    kk) 26 22 xx

    ll)

    3

    2

    4

    1pp

    mm) 2515 yy nn) 8292 xx

    oo)

    5

    1

    5

    2 22 qq

    pp) pp 24

    qq) 25,015,0 22 qq

    8

    3

    12

    3

    1 33 tt

    rr) 3105 24 qq

    ss) 3

    42

    1

    q

    tt) 323 qq uu) 357 y

    vv) 3

    2

    3

    3

    7

    p

    ww) 332 vv xx) 323 tt yy) 323,0 x

    zz) 332 1010 x aaa) 332 x

    bbb) 323 vv ccc) 34 3,02,0 x ddd) 3104 y

    eee) 332 23 pp fff) 35 510 bb ggg) 35,02,0 q

    hhh) 322 xx

    Ejercicios propuestos

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    63

    Ejercicios resueltos

    1

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    64

    9. 10.

    12. 11.

    14. 13.

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    65

    2

    x2(1+x

    2)

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    66

    Factorizar:

    3

    4

    1.

    2.

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    67

    4.

    3.

    6.

    5.

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    68

    7.

    8.

    9.

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    69

    10.

    11.

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    70

    5

    6

    49m6-70am

    3n

    2+25a

    2n

    4

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    71

    Factorizar:

    8

    7

    9

    1.

    2.

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    72

    3.

    4.

    5.

    6.

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    73

    8.

    7.

    10

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    74

    11

    1.

    2.

    4.

    3.

    1-a3

    1-a3

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    75

    6.

    5.

    12

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    76

    1. Factorizar los siguientes polinomios mediante el uso del factor comn:

    a) 33 2 p

    b) 44 2 q

    c) pp 105 2

    d) qqq 462 26

    e) qq 2

    f) 42 4xx

    g) 691215 32 qqqq

    h) 2346 483 xxxx

    i) 42 4xx

    j) 691215 32 xxxx

    k) 2346 483 qqqq

    l) qqq 1648 35

    m) 345

    18

    1

    9

    1

    3

    1ppp

    n) 1 3 1x a a

    o) 2 1 1x y x

    p) 2 2a n n

    q) m n x m n

    r) 3 1 4 1a a a

    s) 2 21 1 1a b a a t) 2 2m n a m n a

    u) 1 3 1 2 1 3 1a x a x x

    v) 3 3a b c x b c a x

    w) 1 1 1a n b n n

    x) 2a ab ax bx

    y) 3 24 1 4a a a

    z) 2 23 2 6x abx ab

    2. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

    a) 36122 qq

    b) 64162 pp

    c) 121222 pp

    d) 80182 qq

    e) 25309 2 qq

    f) 49284 24 qq

    g) 234 44 qqq

    h) 92416 36 pp

    i) 8118 48 pp

    j) 25

    1

    336

    252

    4 q

    q

    k) 2

    2

    4

    aab b

    l) 22

    13 9

    b b

    m) 4

    4 2 2

    4

    ba a b

    n) 22 2a a a b a b

    o) 2

    6 9m n m n

    p) 2 2

    2a x a x x y x y

    q) 2 2

    9 12 4x y x y x y x y

    Ejercicios propuestos

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    77

    3. Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:

    a) 162 p

    b) 236 q

    c) 252 p

    d) 52 p

    e) 94 2 p

    f) 12110 q

    g) 32 p

    h) 79 2 q

    i) 116 4 x

    j) 12 4 10256 289a b m

    k) 2 4 6 81 9a b c d

    l) 4

    1

    9

    1 2 x

    m) 8

    2 410016

    xm n

    n) 2 2n na b

    o) 12

    104981

    xn ba

    p) 2

    7 81x y

    q) 2 2

    x y c d

    r) 2 2

    36 121m n m n

    4. Factorizar los siguientes trinomios:

    a) 1582 pp

    b) 1072 qq

    c) 1032 qq

    d) 342 qq

    e) 62 pp

    f) 232 pp

    g) 672 xx

    h) 3652 xx

    i) 3522 xx

    j) 2 20 300m m

    k) 2 380a a

    l) 2 42 432a a

    m) 2 2 528x x

    n) 2 4 320c c

    o) 2 8 1008m m

    p) 2 2 12x y xy

    q) 2

    5 24m n m n

    r) 8 8 4 4 215 100x y ax y a

    s) 2

    1 3 1 108a a

    5. Factorizar los siguientes binomios:

    a) 31 a

    b) 3 3x y

    c) 3 27a

    d) 3 1y

    e) 3 125a

    f) 3

    27 m n

    g) 3327x x y

    h) 3 3

    2 3m m

    6. Factorizar los siguientes trinomios:

    a) 220 1y y

    b) 216 15 15m m

    c) 221 11 2x x

    d) 22 29 90x x

    e) 24 33n n

    f) 230 13 10x x

    g) 26 15m m

    h) 212 6x x

    i) 23 5 2x x

    j) 2 330 13 10x x

    k) 2 218 17 15a ay y

    l) 2 2 24 7 15x mnx m n

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    78

    7. Determine el mnimo comn mltiplo (m. c. m.) y el mximo comn divisor (M. C. D.) de las siguientes expresiones:

    a) 2 2;a ab

    b) 2 36 ;m n am

    c) 2 2 2 3 39 ;12 ;18a bx ab x a b x

    d) 2 3 2 4 2 5 3 624 ;36 ;40 ;60a x a y x y a y

    e) 2 2 3 2 312 ;2 5xy ax y x y

    f) 2 2 228 ; 2 1; 1;7 7;14 4x x x x x x

    g) 3 3 3 3;ax m n x m n h) 2 2 28 10 3;20 13 2;10 11 6n n n n n n

    i) 3 2 21 ;1 ;1 ;1 2a a a a a

    j) 3 3 2 2 2 227 ; 9 ; 6 9m n m n m mn n

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    79

    Ejercicios resueltos

    1

    2

    3

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    80

    4 Simplifica:

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    12.

    8.

    9.

    10.

    11.

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    81

    5

    6

    7

    -3x2+7x-2

    x2-1

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    82

    8

    9

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    83

    10

    11

    12

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    84

    13

    14

    15

    17

    16

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    85

    18

    19

    21

    20

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    86

    13

    14

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    87

    15

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    88

    16

    17

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    89

    18

    19

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    90

    20

    21

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    91

    22

    23

    24

    25

    26

    27

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    92

    28

    29

    30

    31

    32

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    93

    33

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    94

    34

    35

    36

    37

    38

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    95

    39

    40

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    96

    41

    42

    2.

    3.

    1.

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    97

    4.

    5.

    .

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    98

    1. Simplificar las siguientes expresiones:

    a) 2 33

    2 2

    ab

    a x a

    b) 2 2

    2 2 2 2

    15 45

    10 30

    a bn a bm

    a b n a b m

    c) 2 4 2

    4 2 8

    ax ay bx by

    ax a bx b

    d) 2

    2

    3 4 15

    5 6

    x x

    x x

    e) 3

    4 3

    1

    1

    a

    a a a

    f) 2

    2

    20

    7 10

    a a

    a a

    g) 3

    2 5 6

    n n

    n n

    h) 2 2

    3 3

    3 5 8m mn n

    m n

    i) 2 2

    2 2

    3 10

    4 4

    m n mn

    mn m n

    j)

    2

    2

    4 8

    3 6

    a a ab

    x a ab

    k) 4 2

    3 2

    49

    2 63

    x x

    x x x

    l)

    3 3

    4 3 2 2

    3 1

    1

    x x x

    x x x x

    m) 2 2 2 2

    3 3

    3 3

    mx nx my ny

    ny nx my mx

    n) 2 2 2

    4 2 2

    6 3

    4 4

    an b n

    b ab a

    o)

    2 2

    2 3

    1 8 16

    4 1

    x x x

    x x x

    p) 3

    3 2

    3 1

    1 1 1

    a a a

    a a a a

    q) 2 2 23 2 5 1 4 1

    3 10 4 5 3 2

    x x x

    x x x x x x

    r) 1 2 1

    2 3 1

    a a

    a a a

    s) 2 2

    2 2

    2 2 3

    2 2 3

    x x x x

    x x x

    t)

    3 2

    23

    1

    1

    x y x x

    x x y

    u) 2 2

    2 2

    6 5 2 35:

    15 56 5 24

    a a a a

    a a a a

    v) 2 2 2

    2 2 2

    8 10 3 4 9 8 14 3:

    6 13 6 3 2 9 12 4

    x x x x x

    x x x x x x

    w)

    3 1

    4 21 3

    2 4

    x x

    x xx x

    x x

    Ejercicios propuestos

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    99

    x)

    1 1

    1 1

    x y z x y z

    x y z x y z

    y) 1

    12

    1

    aa

    aa

    z)

    2 2

    2

    1 1

    a b

    b ab

    b a a

    aa) 2

    1

    22

    2

    1

    x

    xx

    xx

    x

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    100

    Propiedades de los Radicales

    (1) Raz de un Producto

    nnn YXXY

    (2) Raz de un Cociente 0Y , conY

    X

    Y

    Xn

    n

    n

    (3) Potencia de una Raz

    n PPn XX

    (4) Raz de una Potencia

    n

    P

    n P XX

    (5) Raz de una Raz

    mnn m XX

    Ejercicios resueltos

    1

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    101

    2

    5

    4

    3

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    102

    6

    8

    7

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    103

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    = x3/5

    21/2; 51/3

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    104

    18

    22

    19

    20

    21

    23

    271/5

    3

    X6/5

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    105

    24

    26

    25

    27

    25/12

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    106

    28

  • rea Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptacin y Compilacin: Prof. Jos Neptal Lugo Garca

    107

    29

    1.

    2.

    3.

    4.

    6.

    5.

    30

    31

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    108

    32

    33

    )

    )

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    109

    1. Simplificar:

    a) 3 235 33 1585 57 qppqqpqp

    b) 5 965 85 64 23 qppqqp

    c) 1010105

    7

    6

    5

    4

    3

    5

    1

    d) 3332

    35:

    7

    6

    45

    30

    10

    3

    5

    1

    e) 4

    15

    20

    60

    p

    p

    f) 7 1926

    7 979

    15

    35

    zyx

    zyx

    g) 7 18107 43

    7 277 3821

    zyxzyx

    yzxzyx

    Ejercicios propuestos

    34

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    110

    h)

    11153

    7

    11614

    54

    11

    4

    111512

    3

    4

    3

    9

    8

    5

    8

    2

    3

    yx

    xy

    yx

    yx

    xy

    yx

    yx

    yx

    i) 613 353 kmx j)

    113 77113 777

    qpqppq

    qpqp

    k)

    101

    347

    101 3

    101 2

    101 22

    101 3223101 2

    2

    xy

    yx

    yx

    xy

    xy

    yyxx

    l) 3575 81279

    m) 15 25 310 35 2 xxxx

    n) 3

    122

    7

    35

    92

    3

    ab

    baa

    o) 33 2 :3 pp

    p) 4 24 32 :2 pqqp

    q) 8 34

    8 652

    14

    7

    cab

    cba

    r)

    5 2

    5 4

    qp

    qp

    s)

    9

    2

    9 2

    2

    3

    2

    3

    33

    1

    p

    pq

    qp

    2. Simplificar:

    a) 51

    21

    3 qqq

    b) 472

    29

    qqq

    c)

    51

    76

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    d) 21

    23

    qpqp

    e) 53

    34

    qpqp

    f) 23

    27

    3232

    g)

    87

    p

    p

    h) 27

    42

    751

    643

    cba

    bacab

    i) 35

    27

    310

    54553

    qpm

    pmzpm

    j) 43

    1413

    21

    34231

    yxyx

    yxyx

    k) 71

    3652

    cba

    l)

    3

    49

    42

    zyx

    m) 32

    41

    42

    aba

    n) 32

    38

    41

    53

    xzxy

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    111

    o)

    74

    53

    3

    c

    ab

    p)

    45

    34

    4

    23

    125

    yzx

    cba

    q)

    4

    52

    37

    356

    3

    dab

    3. Simplificar:

    a) 4 6x

    b) 10 302060 cba

    c) 86424

    3216256

    ma

    yx

    d) 410

    142

    b

    c

    b

    c

    e) 1248120

    2436

    ma

    yx

    4. Simplificar:

    a) 3 22 qppq

    b) 3 224 23 cbabca

    c) 8 33 2 82 mnmmn n

    d) 147 345 22 baab

    e) 1512

    88

    3

    2

    5

    4 333

    z

    yx

    x

    y

    y

    x

    y

    x

    f) 3 222:2 baab

    g) pqqp :5 23

    h) 4 3

    6 53

    qp

    pq

    i)

    168

    4

    248

    6

    q

    h

    q

    h

    j) 6 5

    4 33 2 3

    pq

    qpqp

    k) 6 453 22

    9 2

    2

    22

    qpqp

    pqqqpp

    l)

    2

    43

    3

    12

    436 5

    b

    ab

    a

    baba

    m)

    5

    86

    422

    43

    22

    63

    45

    y

    x

    y

    zxy

    x

    zy

    z

    yx

    n)

    5251

    4

    5332

    2

    qhp

    phpq

    o) abb

    bcabc

    81

    4

    8 343

    2

    2

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    112

    5. Simplificar:

    a) 4 32q

    b) 4 5 32 qppq

    c) 8 327 32 ppp

    d) 4 3

    26 23 ababaab

    e) 31

    q

    f) 31

    451

    3 baba

    g) 10 65

    20 475 8 52

    qp

    qppqqp

    h)

    10 3

    51

    24 3

    4

    3

    ba

    baa

    i) 757125183

    j) 721050932782

    k)

    l) 3 483 23 2 4 yxyxyx

    m) 3

    842 94925

    b

    abababb

    n) xxx 166442416

    6. Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

    a) 3

    1

    b) 2

    5

    c) 54

    3

    d) pq

    p

    2

    2

    e) 3 24

    5

    a

    f) 3 9

    1

    x

    g) 4 9

    3

    a

    h) 3 35

    6

    x

    i) 4 227x

    x

    j) 5 48

    1

    a

    k) pq

    q

    3

    5 2

    l) 4 3255

    1

    xa

    7. Racionalizar el denominador y si es posible el numerador de las siguientes expresiones:

    a) 21

    23

    b) 34

    325

    c) 52

    52

    d) 57

    527

    e) 522

    532

    f) 3425

    19

    g) 3627

    23

    h) 7332

    7334

    i) 3324

    3625

    j) 11475

    1137

    k) 1027

    25

    l) 66

    2339

    aaabba 21027262523

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    113

    m) qp

    qp

    2

    n) 1

    1

    pp

    pp

    o) 1

    1

    pp

    pp

    p) 22

    22

    q

    q

    q) qq

    qq

    4

    4

    r) qpqp

    qpqp

    8. Racionalizar el denominador y si es posible el numerador de las siguientes expresiones:

    a) 532

    3

    b) 632

    2

    c) 532

    32

    d) 532

    53

    e) 236

    236

    f) 1052

    52

    9. Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

    a) 3 21

    23

    b) 3 34

    325

    c) 33 57

    527

    d) 33 522

    532

    e) 33 3324

    3625

    f) 33 11475

    1137

    g) 3 1027

    25

    h) 3 66

    2339

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    114

    Ejercicios resueltos 1

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    115

    2

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    116

    3

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    117

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    118

    4

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    119

    5

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    120

    6

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    121

    7

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    122

    8

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    123

    9

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    124

    10

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    125

    11

    12

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    126

    13

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    127

    14

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    128

    15

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    129

    16

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    130

    17

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    131

    18

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    132

    19

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    133

    20

    21

    22

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    134

    23

    25

    24

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    135

    26

    )

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    136

    27

    28

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    137

    1. Resolver las siguientes ecuaciones:

    a) 1585 pp

    b) 214 p

    c) 2414 pp

    d) ppp 112

    e) 2535 qq

    f) 36651511 qqq

    g) 147348 qqqq

    h) qqqq 3115716

    i) 17231535130158 xxxxxx

    j) 33812 qqq k) 33812 xxx l) 631186435 xxxx

    m) pppppp 386545630 n) 529452361583 xxxx o) 324613 qqq p) xxxx 723321615 q) 53354332 qqqqqq r) qqqq 723321615

    s) 252373615 22 ppppppp t) 132 22 pp u) 22 1053523123 ppppp v) 14 3 2 5 2 1 0x x x x

    w) 2 22 3 1 3 2 1 3 2x x x x x

    x) 2 23 2 1 3 2 5 3 5 10x x x x x

    y) 3 3

    1 1 6 3x x x x

    z) 2 2

    3 2 5 3 1 1 3x x x x

    2. Resolver las siguientes ecuaciones:

    a) 03

    4

    p

    b) 2

    5

    12

    2 ppp

    c) 5

    4

    4

    3

    3

    2

    xxx

    d) 012

    3

    5

    3

    q

    e) 14

    3

    14

    2

    xx

    f) 1

    1

    1

    5

    2

    qq

    Ejercicios propuestos

  • rea Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptacin y Compilacin: Prof. Jos Neptal Lugo Garca

    138

    g) 219925

    85210

    xx

    xx

    h) 173

    83

    52

    34

    x

    x

    x

    x

    i) xxxx 1010

    3

    412

    10

    55

    4

    26

    1

    j) 11 xa k) xbax

    l) bxabax 222

    m) 0222 baaxbx

    n)

    o) mmx

    m 21

    p) mma

    xa 21

    q) b

    ax

    a

    bx

    2

    r)

    bxcx

    bx

    cx

    4

    2

    4

    2

    s) bxbx

    8

    2

    4

    1

    t) 4

    23

    3

    pp

    u) bpp

    6

    22

    3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadrticas:

    a) 23 5 2 0x x

    b) 26 222x x

    c) 2176 121 64x x

    d) 25 7 90 0x x

    e) 232 18 17 0x x

    f) 2105 2x x

    g) 3 5 3x x x

    h) 2 27 3 5 1 5 2x x x x i) 3 2 6 23 3x x x x

    j) 2 3 2 0x x

    k) 2 2 15 0x x

    l) 2 4 285x x

    m) 23 48x

    n) 2 29 0x a

    o) 22 3x

    p) 25 1 2 2 7 8x x x x

    q) 3 5 1

    02 1 4 7

    x x

    x x

    r) 4 2 1

    5 3 24

    x x

    x x

    4. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el Mtodo de Ruffini:

    a) 043 23 qq

    b) 0642 3 qq

    c) 07777 23 qqq

    d) 01818333 324 qqqq

    e) 04020105 23 ppp

    f) 0593 234 pppp

    g) 04022 23 xxx

    h) 08120234 342 qqqq

    i) 02020180180 32 qqq

    j) 08292 234 qqqq

    k) 0241015 235 xxxx

    l) 092282405 243 xxxx

    m) 01359060105 2345 xxxxx

    n) 048804812 234 xxxx

    o) 014436283 2345 xxxxx

    p) 0225150166 234 xxxx

    q) 0120154113311 2345 xxxxx

    r) 0120226125515 2435 xxxxx

    emdmcmbmamexdxcxbxax

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    139

    5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a)

    0

    2

    qp

    qp

    b)

    132

    53

    qp

    qp

    c)

    41

    51

    32

    51 2

    qp

    qp

    d)

    2515

    5351

    qp

    qp

    e)

    21

    23

    132

    qp

    qp

    6. Resolver cada sistema de ecuaciones:

    a)

    387

    132

    qp

    qp

    b)

    22

    3373

    pq

    pq

    c)

    623

    2

    qp

    qp

    d)

    4423

    532

    1334

    zyx

    zyx

    zyx

    e)

    132

    1124

    32332

    zyx

    zyx

    zyx

  • rea Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptacin y Compilacin: Prof. Jos Neptal Lugo Garca

    140

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