guía de matemática ciu

rea Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptacin y Compilacin: Prof. Jos Neptal Lugo Garca

1

Matemtica

1era versin

Agosto 2003

Autores: Prof. Wilmer Colmenrez

Lic. Alfredo Espejo

Lic. George Kahwati Lic. Francisco Machado

Lic. Francia Martnez

Ing. Pedro Rivas Ing. Luis Gonzlez

Adaptacin y Compilacin:

Prof. Jos Neptal Lugo

Junio 2013 Consolidando el Plan de Transformacin

Rumbo al Plan Estratgico 2014 - 2019

Chvez Vive, la Lucha Sigue!

Plan de Transformacin de la ENAHP-IUT 2009-2013 Un Sistema de Gestin con Visin Socialista

Impulsando la Refundacin del Estado

Av. Francisco de Miranda entre Av. Diego Cisneros y Calle Los Laboratorios Edif. ENAHP-IUT, Los Cortijos de Lourdes. Caracas Venezuela. Telfonos: 0212 232.32.31

CIU


2

Prefacio

El Licenciado en Ciencias Fiscales requiere de una formacin

matemtica que le permita enfrentar de manera adecuada distintas

situaciones que se presentan en el da a da vinculadas con su entorno

laboral y personal; como ciudadano del siglo XXI, debe poseer destrezas lgicas

matemticas que faciliten la toma de decisiones, optimizando tiempo y

recursos.

Estando conscientes de este compromiso, un grupo de docentes del rea

Cuantitativa desarroll en el ao 2003 una gua de matemtica bsica para

aquellas personas que inician estudios en esta prestigiosa casa de estudios,

ENAHP-IUT, cuyo propsito es facilitar el aprendizaje de la matemtica,

unidad curricular querida por pocos, necesaria para todos.

Esta gua ha acompaado a estudiantes durante una dcada,

experimentando varias modificaciones, siendo la ms reciente la presente

versin, que incluye elementos sugeridos por docentes y propios estudiantes:

ejercicios y problemas resueltos, otros con slo respuestas y nuevos tpicos

matemticos.

Se pretende que los estudiantes comprendan la matemtica y que no se

conviertan en unos simples repetidores de algoritmos matemticos sin sentido.

Que entiendan la matemtica no es slo clculo, cuentas, operaciones bsicas,

sino que es una fuente viva de saberes que permiten afrontar situaciones de la

vida real.

Estudiante, que esta gua no sea tu nico vnculo con las matemticas

en este perodo acadmico, te recomendamos consultar libros de matemtica

para profundizar las ideas aqu expuestas, visita frecuentemente la biblioteca.


3

Dedicatoria

Dedico esta gua a la memoria de mi querido padre Neptal Lugo Sanoja.


4

ndice

Pg.

I Operaciones bsicas con nmeros reales 5

Ejercicios propuestos 32

II Expresiones algebraicas y polinomios 35


III Productos notables 52


IV Factorizacin 63


V Fracciones algebraicas 79


VI Radicales y racionalizacin 100


VII Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 114



5

Propiedades de la Potenciacin en R

(1) Multiplicacin de Potencias de Igual Base

nmnm aaa , para todo Ra y Znm ,

(2) Divisin de Potencias de Igual Base nmn

m

aa

a , para todo *Ra y Znm ,

(3) Potencia de un Producto

nnn baba , para todo Rba , y Zn

(4) Potencia de una Potencia

nmnm aa , para todo Ra y Znm ,

(5) Potencia con exponente negativo

nn

a

b

b

a

, para todo *, Rba y

Zn

(6) Potencia con exponente cero

10 a , para todo *Ra


6

Ejercicios y problemas resueltos

1

3

2

5

4

6


7

7

9

8

10

hemos


8

11

13

12


9

14

17

16

15


10

18

21

20

19

22


11

23

24

25

26


12

27

28

29

30

31


13

32

34

33

36

35

37


14

38

39

40

41


15

42

43

44


16

45

47

46

48


17

49

50

51


18

52

53

54


19

55

56

57


20

58

59

60


21

61


22

62

-125/8


23

63

1/4a6


24

64


25

65


26


27

66

67


28

68

nmeros reales.


29

69

70

71


30


31


32

1. Ordenar los siguientes nmeros reales en forma creciente:

9

1- ; 2 ;

4

3 ; e ; ;

5

1- ;

2

3 ; 31, ; 2,6- ; 0,25 ; 0- ; 50 ; 9

2. Calcular el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) y el mximo comn divisor (m.c.d.) de los siguientes grupos de nmeros:

a) 12 , 60 b) 20 , 50 c) 840 , 20 d) 18000 , 10000 , 100

e) 20 , 50 , 100 f) 320 , 180 , 50 g) 365 , 185 , 250 h) 180 , 49 , 21

i) 870 , 64 , 32 j) 69 , 46 , 23

3. Simplificar:

a) 6

5

2

1

5

123

24

748

10

6

15

5

10

93

b)

4

4

7

13

5

1

2

9

2

9

4

3

45

64

c) 10

8

49

9

7

52

100

49

d)

3

8

252

10

9

5

31

5

1

e)

4

1

8

12

2

1

10

7

2

5

4

5

4

2

8

25

2

9

10

8

20

15

5

2

f)

4

13

2

5

10

7

12

5

4

15

4

1

9

464

2

3

10

1

10

99

5

16

Ejercicios propuestos


33

g)

4

3

2

3

4

2

5

2

2

1

6

2

9

2

4

3

4

2

18

9

2

1

10

2

2

6

5

2

h)

4

3

2

1

4

1

8

1

2

1

10

7

2

5

4

5

4

3

8

1

2

5

10

4

20

5

5

2

4. Calcular:

a) 984565 ppp

b) pqqp aaaa 5923

c)

22

4

3

4

3

d)

85

3

3

3

3

3

3

e) 8

9

2

42

f) 84 53

g) yxyx qp 2525

h) 100kpq

i) 34344

31324340

13243

j) 9

2

2

92

k) 2

68

99

9 pp

p

5. Simplificar:

a)

bbba

baba

237

36987

b)

25

36223

52

105.36

c)

xy

yx

yx

xy 347

3

2 2

d)

6

63

2

22

p

pp

e)

3

6242

1657

nm

nmnm

f)

32

211

4

1

8

12

2

1

10

7

2

5

4

5

4

2

8

25

2

9

10

8

20

15

5

2

g)

xy

yx

yx

xy

xy

yyxx

347

3

2

22

32232

2

h)

p

p

p

p

p

p

3

3

3

3

3

36

3


34

i)

2

6

xy

xy

yx

yx

j)

331

33

333

3

27

356

yx

xx

yyy

k) 3

7

qp

qp

l)

qpqppqqpqp

77

777


35

Acuerdo 1. El Conjunto de los polinomios sobre Q se denotar Q[x]

Definicin 1. Un polinomio sobre Q de variable x, es una expresin de la forma

012

2 axaxaxaxpn

n , en el cual n es un nmero natural y naaa ,...,, 10 son nmeros

racionales, llamados coeficientes del polinomio, a cada sumando se denomina trmino del polinomio y el

coeficiente 0a se le llama trmino independiente del polinomio.

Definicin 2. Un polinomio que tiene un solo trmino se llama Monomio, el de dos trminos Binomio, el

de tres trminos Trinomio y si solo tiene trmino independiente se denomina polinomio constante.

Definicin 3. El mayor exponente de la variable de un polinomio cuyo coeficiente es distinto de cero, se

denomina grado del polinomio.

Definicin 4. Si un polinomio de grado n tiene 1n trminos y todos los coeficientes distintos de cero,

se dice que el polinomio es un polinomio completo.

Definicin 5. Dado un polinomio 012

2 axaxaxaxpn

n y un nmero racional r , al nmero

racional 012

2 ararararpn

n se le denomina valor numrico del polinomio xp para rx .

Definicin 6. Dado un polinomio en Q[x], se dice el nmero racional r es una raz del polinomio xp si y slo s 0rp .


36

Ejercicios resueltos 1

2


37


38

3


39

4

5

6


40

7

8

9


41

10


42

11


43

12

13

14


44


45

15

16


46

17

18


47

19

20


48

1. Cules de las siguientes expresiones son polinomios sobre Q de variable x?

a) 24 xx

b) 3

5

c) 23

x

x

d) xx 3

2

2

1 5

e) xx

1

1

f) 2045

4xx

g) 122 xx

h) 210 x

i) 1000x

j) 2

113

x

2. Qu valores puede tomar k para que la expresin 13 2 kxx sea un polinomio?

3. Indique el grado y el nmero de trminos de los siguientes polinomios:

a) 272 p

b) 7

3

c) 2563 yy

d) 200500 1000pp

e) 10 34 qq

f) 82

3

10

9

1yyy

4. Ordene los siguientes polinomios en forma creciente y en forma decreciente:

a) 112 479 ppp

b) qqqq 24 752

c) 67663 683 yyyy

d) 22246 755 zzzz

5. D un ejemplo de un polinomio completo de grado cinco.

6. D un ejemplo de un polinomio incompleto de grado siete.

7. Halle xqxp en cada uno de los siguientes casos:

a) 173 2 xxxp y xxxq 529 2

b) xxxp 25

3

2

1 3 y 22

12 2 xxxq

c) 32 97 xxxp y 32 9 xxxq d) 0xp y xxq 32



49

8. Si un polinomio xp tiene grado tres y un polinomio xq tiene grado cuatro, qu grado tendr xqxp ?

9. Si los polinomios xp y xq tienen grado m, qu puede afirmarse con relacin al grado del polinomio xqxp ?

10. Si 325 4 xxxp y cbxaxxq 34 , qu valores deben tomar cy , ba , para que se cumpla las siguientes igualdades:

a) 323 4 xxxqxp

b)

c) 325 4 xxxqxp

d) 1026 3 xxxqxp

e) 3

12

2

9 34 xxxxqxp

f) xxqxp 2

11. Halle xqxp y xpxq en cada uno de los siguientes casos:

a) 173 2 xxxp y xxxq 529 2

b) xxxp 25

3

2

1 3 y 22

12 2 xxxq

c) 32 97 xxxp y 32 9 xxxq d) 0xp y xxq 32

e) 243 425

3xxxxxp y

5

324 243 xxxxxq

12. Si un polinomio xp tiene grado cinco y otro polinomio xq tiene grado seis, qu grado tendr xqxp ?

13. Si se restan dos polinomios de igual grado, qu puede afirmarse con relacin al grado del polinomio resultante?

14. Efecte las multiplicaciones que se indican a continuacin:

a) 27 48 pp

b)

qq

5

1

2

3 2

c) 07

2 6

x

d) 2389 35 qq

e) 67

4 5

p

f) 31105

2pp

g)

9810

2

3

5

1hh

h)

78

3

10

4

3xx

i)

4799

2

3

9

2qq

xxxxqxp 222

3 34


50

15. Dados los monomios xp de grado tres y xq de grado cuatro, cul es el grado de xqxp ?

16. Qu valores deben tomar ka y , para que se verifique 86 52 xxax k ?

17. Existe algn monomio xp , que satisfaga la siguiente igualdad: 58 23 xxpx ? 18. Calcule xqxp en cada uno de los siguientes casos:

a) 4xp y 324 25 xxxxq

b) 2

1xp y 328

3

1xxxq

c) 22xxp y 104

3

2

1xxxq

d) 0xp y 32 xxq

e) 258xxp y 3122 2119 xxxxq

19. Si xp es un monomio de grado tres y xq es un polinomio de grado cinco, cul es el grado del polinomio xqxp ?

20. Efecta las siguientes multiplicaciones:

a) 13368 2 ppp b)

10

4

3

5

22

2

1 452 qqqq

c) 85423 232 ppppp d) 12432512 81023 xxxxxx

21. Qu valores deben tomar dcba y , , , para que 222 xax sea igual a bdxcxx 23 ?

22. Dados los polinomios 23 2 xxxxp , 12 xxq y 44 23 xxxs . Halle:

a) xsxqxp b) xsxqxp c) xpxqxs

d) xqxpxs e) xsxqxp f) xsxpxq

g) xsxpxp h) xpxp 1

23. Efecte las siguientes divisiones:

a) 2356 2:768 pppp b) 4486 3:3643 yyyy c) 5697100 : ppp

d) 3574

2

5:

3

1

4

3

5

2qqqq

e) 12:227 2108 pppp f) qqqqqq 3:224 26102 g) 2:3 546 xxxx h) 1:2 234 qqqqq


51

24. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule el valor numrico del polinomio dado por los nmeros indicados:

a) 133 qqqp para 2q , 0 , 3 qq

b) yyyq 84 para 2y , 1y , 0 y

c) 23 105 qqqt para 0q , 2q , 5

1q

25. Diga cules de los valores dados en cada caso son races de los siguientes polinomios:

a) 35 24 qqqqp para 2

1q , 1 , 0 qq

b) 844 24 yyyq para 1y , 1y , 0 y


a) 2:71123 23 xxxx b) 3:44435 24 xxxx c) 5:825 34 xxxx d) 1:15 xx e)

f)

g) 21234 :1224 xxxxx

h) 21234 :122 xxxxx

i) 2:25115 35 xxxx

j) 3324 :1 xxx 23:2722533 235 xxxxx

k) maxamaamxmxamx :232 22223

l) 2:8773 2246 xxxx m) 5:256 551015 xxxx n) 3:462 441216 xxxx o) 2:67103 33612 xxxx

p)

q) axaxaaxx 232246 :6523


a) 12:13104 23 xxxx b)

c) 23:36 23 xxxx d) 52:22 23 xxxx e) 25:1535

52134 xxxx

f) axaaxaxxaxx 2:22282 2234 g) 1:7

312

373

91 xxxx

h) bxabbxxbxxaaa

1222341 :33

31234 :714873 xxxxx

32234 :1013956 xxxxx

2:53 661218 xaxaxax

13:1369 234 xxxxx


52

Cuadrado de una suma 222 2 bababa Cuadrado de una diferencia 222 2 bababa Producto de una suma por su diferencia

22 bababa Producto de dos binomios con un trmino comn

bcacbacaba 2

Cubo de una suma 32233 33 babbaaba Cubo de una diferencia 32233 33 babbaaba

Producto especiales 3322 babababa y 3322 babababa

Desarrollar los siguientes productos notables:

Ejercicios resueltos

1

2


53

3

4

5

6

7

8


54

9

10

11

12

14

13


55

16

15

17

18

19

20


56

21

22

23

24

25

26


57

27

28

29

30

31

32

33


58

34

35

36

37

38

39

40


59

41

42

43

44

45


60

46

47


61

48


62

Desarrolle los siguientes productos notables:

a) 2105 24 pp

b) 2

42

1

p

c) 223 qq d) 257 q

e) 2

2

3

3

7

p

f) 232 qq g) 223 qq h) 223,0 p

i) 232 1010 p j) 232 q

k) 223 qq l) 24 3,02,0 p m) 2104 y

n) 232 23 yy o) 25 510 bb p) 25,02,0 a

q) 222 xx r) 245 t s) 55 qq

t) 1,02,11,02,1 33 xx

u) 210210 xx

v) 1,02,11,02,1 33 xx w) x y z x y z

x) 1 1m n m n

y) 2 2x y z x y z

z) 2 25 6 5 6x x x x aa) 3 2 3 2x x x x x x bb) 6464 zz cc) 22 zz

dd) 1515 22 xx ee) 222 33 xx ff) 2 2a b a b a b gg) 21 1 2x x x hh) 23 9 3a a a ii) 1 1 2 2a a a a

jj) 35 xx

kk) 26 22 xx

ll)

3

2

4

1pp

mm) 2515 yy nn) 8292 xx

oo)

5

1

5

2 22 qq

pp) pp 24

qq) 25,015,0 22 qq

8

3

12

3

1 33 tt

rr) 3105 24 qq

ss) 3

42

1

q

tt) 323 qq uu) 357 y

vv) 3

2

3

3

7

p

ww) 332 vv xx) 323 tt yy) 323,0 x

zz) 332 1010 x aaa) 332 x

bbb) 323 vv ccc) 34 3,02,0 x ddd) 3104 y

eee) 332 23 pp fff) 35 510 bb ggg) 35,02,0 q

hhh) 322 xx



63


1


64

9. 10.

12. 11.

14. 13.


65

2

x2(1+x

2)


66

Factorizar:

3

4

1.

2.


67

4.

3.

6.

5.


68

7.

8.

9.


69

10.

11.


70

5

6

49m6-70am

3n

2+25a

2n

4


71

Factorizar:

8

7

9

1.

2.


72

3.

4.

5.

6.


73

8.

7.

10


74

11

1.

2.

4.

3.

1-a3

1-a3


75

6.

5.

12


76

1. Factorizar los siguientes polinomios mediante el uso del factor comn:

a) 33 2 p

b) 44 2 q

c) pp 105 2

d) qqq 462 26

e) qq 2

f) 42 4xx

g) 691215 32 qqqq

h) 2346 483 xxxx

i) 42 4xx

j) 691215 32 xxxx

k) 2346 483 qqqq

l) qqq 1648 35

m) 345

18

1

9

1

3

1ppp

n) 1 3 1x a a

o) 2 1 1x y x

p) 2 2a n n

q) m n x m n

r) 3 1 4 1a a a

s) 2 21 1 1a b a a t) 2 2m n a m n a

u) 1 3 1 2 1 3 1a x a x x

v) 3 3a b c x b c a x

w) 1 1 1a n b n n

x) 2a ab ax bx

y) 3 24 1 4a a a

z) 2 23 2 6x abx ab

2. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) 36122 qq

b) 64162 pp

c) 121222 pp

d) 80182 qq

e) 25309 2 qq

f) 49284 24 qq

g) 234 44 qqq

h) 92416 36 pp

i) 8118 48 pp

j) 25

1

336

252

4 q

q

k) 2

2

4

aab b

l) 22

13 9

b b

m) 4

4 2 2

4

ba a b

n) 22 2a a a b a b

o) 2

6 9m n m n

p) 2 2

2a x a x x y x y

q) 2 2

9 12 4x y x y x y x y



77

3. Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:

a) 162 p

b) 236 q

c) 252 p

d) 52 p

e) 94 2 p

f) 12110 q

g) 32 p

h) 79 2 q

i) 116 4 x

j) 12 4 10256 289a b m

k) 2 4 6 81 9a b c d

l) 4

1

9

1 2 x

m) 8

2 410016

xm n

n) 2 2n na b

o) 12

104981

xn ba

p) 2

7 81x y

q) 2 2

x y c d

r) 2 2

36 121m n m n

4. Factorizar los siguientes trinomios:

a) 1582 pp

b) 1072 qq

c) 1032 qq

d) 342 qq

e) 62 pp

f) 232 pp

g) 672 xx

h) 3652 xx

i) 3522 xx

j) 2 20 300m m

k) 2 380a a

l) 2 42 432a a

m) 2 2 528x x

n) 2 4 320c c

o) 2 8 1008m m

p) 2 2 12x y xy

q) 2

5 24m n m n

r) 8 8 4 4 215 100x y ax y a

s) 2

1 3 1 108a a

5. Factorizar los siguientes binomios:

a) 31 a

b) 3 3x y

c) 3 27a

d) 3 1y

e) 3 125a

f) 3

27 m n

g) 3327x x y

h) 3 3

2 3m m

6. Factorizar los siguientes trinomios:

a) 220 1y y

b) 216 15 15m m

c) 221 11 2x x

d) 22 29 90x x

e) 24 33n n

f) 230 13 10x x

g) 26 15m m

h) 212 6x x

i) 23 5 2x x

j) 2 330 13 10x x

k) 2 218 17 15a ay y

l) 2 2 24 7 15x mnx m n


78

7. Determine el mnimo comn mltiplo (m. c. m.) y el mximo comn divisor (M. C. D.) de las siguientes expresiones:

a) 2 2;a ab

b) 2 36 ;m n am

c) 2 2 2 3 39 ;12 ;18a bx ab x a b x

d) 2 3 2 4 2 5 3 624 ;36 ;40 ;60a x a y x y a y

e) 2 2 3 2 312 ;2 5xy ax y x y

f) 2 2 228 ; 2 1; 1;7 7;14 4x x x x x x

g) 3 3 3 3;ax m n x m n h) 2 2 28 10 3;20 13 2;10 11 6n n n n n n

i) 3 2 21 ;1 ;1 ;1 2a a a a a

j) 3 3 2 2 2 227 ; 9 ; 6 9m n m n m mn n


79


1

2

3


80

4 Simplifica:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

12.

8.

9.

10.

11.


81

5

6

7

-3x2+7x-2

x2-1


82

8

9


83

10

11

12


84

13

14

15

17

16


85

18

19

21

20


86

13

14


87

15


88

16

17


89

18

19


90

20

21


91

22

23

24

25

26

27


92

28

29

30

31

32


93

33


94

34

35

36

37

38


95

39

40


96

41

42

2.

3.

1.


97

4.

5.

.


98

1. Simplificar las siguientes expresiones:

a) 2 33

2 2

ab

a x a

b) 2 2

2 2 2 2

15 45

10 30

a bn a bm

a b n a b m

c) 2 4 2

4 2 8

ax ay bx by

ax a bx b

d) 2

2

3 4 15

5 6

x x

x x

e) 3

4 3

1

1

a

a a a

f) 2

2

20

7 10

a a

a a

g) 3

2 5 6

n n

n n

h) 2 2

3 3

3 5 8m mn n

m n

i) 2 2

2 2

3 10

4 4

m n mn

mn m n

j)

2

2

4 8

3 6

a a ab

x a ab

k) 4 2

3 2

49

2 63

x x

x x x

l)

3 3

4 3 2 2

3 1

1

x x x

x x x x

m) 2 2 2 2

3 3

3 3

mx nx my ny

ny nx my mx

n) 2 2 2

4 2 2

6 3

4 4

an b n

b ab a

o)

2 2

2 3

1 8 16

4 1

x x x

x x x

p) 3

3 2

3 1

1 1 1

a a a

a a a a

q) 2 2 23 2 5 1 4 1

3 10 4 5 3 2

x x x

x x x x x x

r) 1 2 1

2 3 1

a a

a a a

s) 2 2

2 2

2 2 3

2 2 3

x x x x

x x x

t)

3 2

23

1

1

x y x x

x x y

u) 2 2

2 2

6 5 2 35:

15 56 5 24

a a a a

a a a a

v) 2 2 2

2 2 2

8 10 3 4 9 8 14 3:

6 13 6 3 2 9 12 4

x x x x x

x x x x x x

w)

3 1

4 21 3

2 4

x x

x xx x

x x



99

x)

1 1

1 1

x y z x y z

x y z x y z

y) 1

12

1

aa

aa

z)

2 2

2

1 1

a b

b ab

b a a

aa) 2

1

22

2

1

x

xx

xx

x


100

Propiedades de los Radicales

(1) Raz de un Producto

nnn YXXY

(2) Raz de un Cociente 0Y , conY

X

Y

Xn

n

n

(3) Potencia de una Raz

n PPn XX

(4) Raz de una Potencia

n

P

n P XX

(5) Raz de una Raz

mnn m XX


1


101

2

5

4

3


102

6

8

7


103

9

10

11

12

13

14

15

16

17

= x3/5

21/2; 51/3


104

18

22

19

20

21

23

271/5

3

X6/5


105

24

26

25

27

25/12


106

28


107

29

1.

2.

3.

4.

6.

5.

30

31


108

32

33

)

)


109

1. Simplificar:

a) 3 235 33 1585 57 qppqqpqp

b) 5 965 85 64 23 qppqqp

c) 1010105

7

6

5

4

3

5

1

d) 3332

35:

7

6

45

30

10

3

5

1

e) 4

15

20

60

p

p

f) 7 1926

7 979

15

35

zyx

zyx

g) 7 18107 43

7 277 3821

zyxzyx

yzxzyx


34


110

h)

11153

7

11614

54

11

4

111512

3

4

3

9

8

5

8

2

3

yx

xy

yx

yx

xy

yx

yx

yx

i) 613 353 kmx j)

113 77113 777

qpqppq

qpqp

k)

101

347

101 3

101 2

101 22

101 3223101 2

2

xy

yx

yx

xy

xy

yyxx

l) 3575 81279

m) 15 25 310 35 2 xxxx

n) 3

122

7

35

92

3

ab

baa

o) 33 2 :3 pp

p) 4 24 32 :2 pqqp

q) 8 34

8 652

14

7

cab

cba

r)

5 2

5 4

qp

qp

s)

9

2

9 2

2

3

2

3

33

1

p

pq

qp

2. Simplificar:

a) 51

21

3 qqq

b) 472

29

qqq

c)

51

76

2

3

2

3

2

3

d) 21

23

qpqp

e) 53

34

qpqp

f) 23

27

3232

g)

87

p

p

h) 27

42

751

643

cba

bacab

i) 35

27

310

54553

qpm

pmzpm

j) 43

1413

21

34231

yxyx

yxyx

k) 71

3652

cba

l)

3

49

42

zyx

m) 32

41

42

aba

n) 32

38

41

53

xzxy


111

o)

74

53

3

c

ab

p)

45

34

4

23

125

yzx

cba

q)

4

52

37

356

3

dab

3. Simplificar:

a) 4 6x

b) 10 302060 cba

c) 86424

3216256

ma

yx

d) 410

142

b

c

b

c

e) 1248120

2436

ma

yx

4. Simplificar:

a) 3 22 qppq

b) 3 224 23 cbabca

c) 8 33 2 82 mnmmn n

d) 147 345 22 baab

e) 1512

88

3

2

5

4 333

z

yx

x

y

y

x

y

x

f) 3 222:2 baab

g) pqqp :5 23

h) 4 3

6 53

qp

pq

i)

168

4

248

6

q

h

q

h

j) 6 5

4 33 2 3

pq

qpqp

k) 6 453 22

9 2

2

22

qpqp

pqqqpp

l)

2

43

3

12

436 5

b

ab

a

baba

m)

5

86

422

43

22

63

45

y

x

y

zxy

x

zy

z

yx

n)

5251

4

5332

2

qhp

phpq

o) abb

bcabc

81

4

8 343

2

2


112

5. Simplificar:

a) 4 32q

b) 4 5 32 qppq

c) 8 327 32 ppp

d) 4 3

26 23 ababaab

e) 31

q

f) 31

451

3 baba

g) 10 65

20 475 8 52

qp

qppqqp

h)

10 3

51

24 3

4

3

ba

baa

i) 757125183

j) 721050932782

k)

l) 3 483 23 2 4 yxyxyx

m) 3

842 94925

b

abababb

n) xxx 166442416

6. Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

a) 3

1

b) 2

5

c) 54

3

d) pq

p

2

2

e) 3 24

5

a

f) 3 9

1

x

g) 4 9

3

a

h) 3 35

6

x

i) 4 227x

x

j) 5 48

1

a

k) pq

q

3

5 2

l) 4 3255

1

xa

7. Racionalizar el denominador y si es posible el numerador de las siguientes expresiones:

a) 21

23

b) 34

325

c) 52

52

d) 57

527

e) 522

532

f) 3425

19

g) 3627

23

h) 7332

7334

i) 3324

3625

j) 11475

1137

k) 1027

25

l) 66

2339

aaabba 21027262523


113

m) qp

qp

2

n) 1

1

pp

pp

o) 1

1

pp

pp

p) 22

22

q

q

q) qq

qq

4

4

r) qpqp

qpqp

8. Racionalizar el denominador y si es posible el numerador de las siguientes expresiones:

a) 532

3

b) 632

2

c) 532

32

d) 532

53

e) 236

236

f) 1052

52

9. Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

a) 3 21

23

b) 3 34

325

c) 33 57

527

d) 33 522

532

e) 33 3324

3625

f) 33 11475

1137

g) 3 1027

25

h) 3 66

2339


114

Ejercicios resueltos 1


115

2


116

3


117


118

4


119

5


120

6


121

7


122

8


123

9


124

10


125

11

12


126

13


127

14


128

15


129

16


130

17


131

18


132

19


133

20

21

22


134

23

25

24


135

26

)


136

27

28


137

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 1585 pp

b) 214 p

c) 2414 pp

d) ppp 112

e) 2535 qq

f) 36651511 qqq

g) 147348 qqqq

h) qqqq 3115716

i) 17231535130158 xxxxxx

j) 33812 qqq k) 33812 xxx l) 631186435 xxxx

m) pppppp 386545630 n) 529452361583 xxxx o) 324613 qqq p) xxxx 723321615 q) 53354332 qqqqqq r) qqqq 723321615

s) 252373615 22 ppppppp t) 132 22 pp u) 22 1053523123 ppppp v) 14 3 2 5 2 1 0x x x x

w) 2 22 3 1 3 2 1 3 2x x x x x

x) 2 23 2 1 3 2 5 3 5 10x x x x x

y) 3 3

1 1 6 3x x x x

z) 2 2

3 2 5 3 1 1 3x x x x

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 03

4

p

b) 2

5

12

2 ppp

c) 5

4

4

3

3

2

xxx

d) 012

3

5

3

q

e) 14

3

14

2

xx

f) 1

1

1

5

2

qq



138

g) 219925

85210

xx

xx

h) 173

83

52

34

x

x

x

x

i) xxxx 1010

3

412

10

55

4

26

1

j) 11 xa k) xbax

l) bxabax 222

m) 0222 baaxbx

n)

o) mmx

m 21

p) mma

xa 21

q) b

ax

a

bx

2

r)

bxcx

bx

cx

4

2

4

2

s) bxbx

8

2

4

1

t) 4

23

3

pp

u) bpp

6

22

3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadrticas:

a) 23 5 2 0x x

b) 26 222x x

c) 2176 121 64x x

d) 25 7 90 0x x

e) 232 18 17 0x x

f) 2105 2x x

g) 3 5 3x x x

h) 2 27 3 5 1 5 2x x x x i) 3 2 6 23 3x x x x

j) 2 3 2 0x x

k) 2 2 15 0x x

l) 2 4 285x x

m) 23 48x

n) 2 29 0x a

o) 22 3x

p) 25 1 2 2 7 8x x x x

q) 3 5 1

02 1 4 7

x x

x x

r) 4 2 1

5 3 24

x x

x x

4. Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el Mtodo de Ruffini:

a) 043 23 qq

b) 0642 3 qq

c) 07777 23 qqq

d) 01818333 324 qqqq

e) 04020105 23 ppp

f) 0593 234 pppp

g) 04022 23 xxx

h) 08120234 342 qqqq

i) 02020180180 32 qqq

j) 08292 234 qqqq

k) 0241015 235 xxxx

l) 092282405 243 xxxx

m) 01359060105 2345 xxxxx

n) 048804812 234 xxxx

o) 014436283 2345 xxxxx

p) 0225150166 234 xxxx

q) 0120154113311 2345 xxxxx

r) 0120226125515 2435 xxxxx

emdmcmbmamexdxcxbxax


139

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

0

2

qp

qp

b)

132

53

qp

qp

c)

41

51

32

51 2

qp

qp

d)

2515

5351

qp

qp

e)

21

23

132

qp

qp

6. Resolver cada sistema de ecuaciones:

a)

387

132

qp

qp

b)

22

3373

pq

pq

c)

623

2

qp

qp

d)

4423

532

1334

zyx

zyx

zyx

e)

132

1124

32332

zyx

zyx

zyx


140

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Baldor, Aurelio. lgebra.

Delgado, Jos A. Curso Propedutico. ENAHP-IUT

Gallo P. Cesar R. Matemticas para Estudiantes de Administracin y Economa.

Tomo I. 2da edicin 1.988

Hoffmann. Matemtica 5. 8 Edic. Edit Sphinx

Klingman, Draper. Matemticas para Administracin y Economa. Edit. Harla

Mendiola. Matemtica. 4 Ao

Montezuma, et al. Matemtica 2000. Noveno Grado. Edit. Mc Graw Hill

Montezuma, et al. Matemtica 2000. Octavo Grado. Edit. Mc Graw Hill

Natella, et al. Problemario de Preclculo. Edit. Thomsom

Rojo, Armando. lgebra I. Edit. El Ateneo

Weber, Jean E. Matemticas para Administracin y Economa. 4 Edicin. Edit. Harla

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