matemática 10pdv: matemática guía n°10 [4°medio] (2012)

C u r s o : Matemática

Material N° 10

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

PLANTEAMIENTO

En los problemas de planteamientos aparecen expresiones o vocablos que debemos traducira lenguaje matemático.

EJEMPLOS

1. Traducir las siguientes expresiones a lenguaje matemático:

a) El doble de un número p. __________________

b) El cuadrado de un número m. __________________

c) El triple de un número q. __________________

d) El cubo de un número a. __________________

e) El cuádruplo de un número b. __________________

f) La cuarta potencia de un número c. __________________

g) El quíntuplo de un número d. __________________

h) La quinta potencia de un número b. __________________

i) La diferencia entre m y n respectivamente. __________________

j) El exceso de p sobre q es n unidades __________________

k) La semisuma entre los números c y d. __________________

l) La semidiferencia entre los números m y n. __________________

m) a aumentado en b unidades. __________________

n) a disminuido en b unidades. __________________

o) p es a unidades mayor que q. __________________

p) p es a unidades menor que q. __________________

q) El producto de a y b. __________________

r) x veces el número a. __________________

s) El cuociente entre p y q __________________

t) El cuadrado de la suma de los números a y b. __________________

u) La suma de los cuadrados de los números c y d. __________________

v) El triple de un número a, aumentado en n. __________________

2

2. El enunciado: “el cuadrado del exceso del doble de a sobre b” queda expresado por

A) 2(2a - b)B) (2a)2-b2

C) (2a - 2b)2

D) (2a)2-bE) (2a –b)2

3. El producto del cubo de a y la undécima potencia de b, es equivalente a

A) a · b11

B) (ab)3 · b8

C) a3 · b10

D) a2 · b11

E) (a · b)11

4. El cuadrado de la diferencia entre a y b excede al triple de a, aumentado n, en nunidades y queda expresado por

A) 2a - b =3a + n - n

B) 2a - b = 3 - 2na + n

C) 2a - b = 3a + 2n

D) 2a b 3 na + n - = +

E) 2 2a - b 3 a + n + n=

3

5. El enunciado: “el cuádruplo de b disminuido en el semiproducto de a y b” se expresacomo

A)ab

4b -2

B)ab

4 b -2

C) 4 abb -

2

D)2ab

b -2

E)4ab

b -2

6. El enunciado: “el exceso del cubo del doble de la diferencia entre m y n sobre 5unidades es el doble de la diferencia de los cubos de m y n respectivamente” quedaexpresado por

A) 2(m – n)3 – 5 = 2(m3 – n3)

B) 3 32 m - n - 5 = 2 m - n

C) 32(m n) - 5 = 2(m3 – n3)

D) 32(m n) = 2(m3 – n3) - 5

E) 2(m – n)3 = 2(m3 – n3) - 5

4

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO

Existen diversos tipos de problemas de planteamiento, sin embargo, en todos ellos esconveniente:

Leer total y cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver. Hacer un listado de incógnitas y datos. Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere. Plantear y resolver la(s) ecuación(es) si el caso lo requiere. Comprobar la(s) solución(es).

EJEMPLOS

1. Si al cuádruplo del antecesor de w se le suma el sucesor del sucesor de w y al resultadose le resta el triple de w, resulta

A) 2(w + 1)B) 2(w – 1)C) 2(w – 6)D) 2(w + 6)E) 2w – 1

2. El número cuyo cuádruplo excede a 35 en lo mismo que 35 excede al triple del número,es

A) 7B) 8C) 10D) 35E) 70

3. Una regla se divide en dos partes, de tal forma que el trozo mayor es el cuádruplomenor aumentado en 8 unidades. Si dicha regla mide 28 unidades, ¿a cuánto es igualla semidiferencia positiva ente dichos trozos?

A) 4 unidadesB) 10 unidadesC) 12 unidadesD) 14 unidadesE) 20 unidades

5

4. Si el triple del sucesor de x se disminuye en 2, se obtiene 13. Luego, el sucesor delantecesor de x es

A) 6B) 5C) 4D) 3E) 2

5. La diferencia entre el cuadrado de un número p y el producto de él con su quíntuplo, esigual a

A) 2p - 5p

B) 2 6pp -

C) 2p4D) (p – 5p2)2

E) 24p

6. La suma de dos números naturales consecutivos es r unidades mayor que el sucesordel número mayor. ¿Cuál es el mayor?

A) r + 1B) r + 2C) 1 - rD) 2 – r

E)r + 1

2

7. La semidiferencia de dos números positivos es 20 y la razón de sus recíprocos es 6.Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El mayor es el séxtuplo del menor.II) Dos veces el mayor menos el doble del menor es diez veces el menor.III) El séptuplo de la mitad del menor es la semisuma del menor con el mayor.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

6

PROBLEMAS CON FRACCIONES

Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un

número. La fracciónab

de un número x se calcula multiplicandoab

por x.

EJEMPLOS

1. En una híper tienda hay nueve decenas de empleados. Un tercio de ellos sonreponedores, cinco novenos atienden en el segundo piso y el resto está en las cajas.¿Cuántos atienden en las cajas?

A) 10B) 12C) 18D) 30E) 36

2. El sueldo mensual de una persona es $ M. Si gasta las tres cuartas partes y el resto loahorra, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el ahorro trimestral de dichapersona?

A) 1

M4

B) M -34

M

C) 1

3M4

D) 33

M - M4

E)3

3M M4

7

3. Gabriel compra un sofá a crédito en $ 5B, pagando un sexto al contado y el resto en 25cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

A)25B

$6

B)B

$6

C)B

$25

D) B$30

E) $B

150

4. Si se sabe que 3 38a b

125, ¿qué fracción es a de b?

A)52

B)85

C)58

D)12

E)25

5. Un número aumentado en 8 unidades es equivalente al mismo número dividido por tresquintos. ¿Cuál es el número?

A) 8B) 12C) 15D) 20E) 25

8

6. Sin7

es igual a2m

5

y m es igual a p, ¿qué parte es n de 2p ?

A) 25

B)257

C)725

D)17

E)125

7. En un curso, el número de niñas excede en su tercera parte al número de niños,entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los niños son25

del total de alumnos.

II) Las niñas son32

de los niños.

III) El total de alumnos corresponde a los53

de las niñas?

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

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PROBLEMAS DE DÍGITOS

Un número A está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como lasuma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por lapotencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,centésima...)

abc, de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10-1 + e · 10-2

Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistemadecimal un número de la forma xyz queda representado por x 102 + y · 101 + z 100

EJEMPLOS

1. El número entero 3407 en notación ampliada es:

A) 3 1 03 10 4 10 7 10

B) 2 1 03 10 4 10 7 10

C) 3 2 13 10 4 10 7 10

D) 3 2 03 10 4 10 7 10

E) 3 2 03 10 7 10 4 10

2. El desarrollo de 0,06078 en notación decimal es

A) 6 · 10-2 + 7 · 10-4 + 8 · 10-5

B) 6 · 10-2 + 7 · 10-3 + 8 · 10-4

C) 6 · 10-1 + 7 · 10-4+8 · 10-5

D) 6 · 10-2 + 7 · 10-4 + 8 · 10-6

E) 6 · 10-1 + 7 · 10-3 · 8 · 10-5

3. El desarrollo de 867,93 en notación decimal posicional es

A) 8 · 103 + 6 · 102 + 7 · 101 + 9 · 100 + 3 · 10-1

B) 8 · 102 + 6 · 101 + 7 · 100 + 9 · 10-2 + 3 · 10-1

C) 8 · 102 + 6 · 101 + 7 · 100 + 9 · 10-1 + 3 · 10-2

D) 8 · 102 + 6 · 101 + 7 · 100 + 9 · 10-1 + 3E) 8 · 103 + 6 · 102 + 7 · 100 + 9 · 10-1 + 3 · 10-2

10

4. 4 · 103 + 7 · 102+ 3 · 100 + 2 · 10-1 + 6 · 10-2 es equivalente a

A) 473,026B) 473,26C) 4.073,26D) 4.703,026E) 4.703,26

5. Si B es un número de dos dígitos, en que el dígito de las unidades es w y el dígito delas decenas es z, entonces el antecesor del antecesor de B es:

A) z + w – 2B) 10z + w – 2C) 10w + z – 2D) 100z + 10w – 2E) 10(z – 1) + w

6. Los dígitos de un número de tres cifras suman 6 y el dígito de las decenas es el dobledel dígito de las centenas. Si el dígito de las centenas es c, entonces el número es

A) 120c – 3B) 120c + 3C) 117c – 6D) 117c + 6E) ninguno de los anteriores.

7. Si M es número de tres cifras en el cual el dígito de las centenas es a, el dígito de lasdecenas 4a y el de las unidades es igual a la mitad del dígito de las decenas, entoncesel cuadrado del antecesor de M es

A) 142a – 1B) 142a + 1C) (142a + 1)2

D) (142a – 1)2

E) (142a)2

8. Si los dígitos de un número de 3 cifras suman 20 y el dígito de las decenas (n) es2 veces el dígito de las unidades (m), entonces la cifra de las centenas es

A) 20 + 2mB) 3m – 20C) 3m + 20D) 20 – 2nE) 20 – 3m

11

PROBLEMAS DE TRABAJOS

Si un trabajador (o máquina) puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo

b , la ecuación que permite calcular el tiempo x que demoran en hacer el trabajo en

conjunto es

Observación: La ecuación anterior se puede generalizar para n trabajadores (o máquinas)

EJEMPLOS

1. Una máquina realiza un trabajo en 2 horas y otra máquina realiza el mismo trabajo en3 horas, ¿Cuánto se demoran las dos máquinas trabajando simultáneamente en realizardicho trabajo?

A) 2 horas 24 minutosB) 2 horas 0 minutosC) 1 hora 36 minutosD) 1 hora 30 minutosE) 1 hora 12 minutos

2. Una llave puede llenar una piscina vacía en seis horas y otra llave la llena en dos horasmenos que la primera. Si se abren las dos llaves simultáneamente, ¿cuánto se demoranen llenar la piscina vacía?

A) 5 horasB) 3 horasC) 2 horas 24 minutosD) 2 horas 4 minutosE) 2 horas

3. Una llave A llena un estanque vacío en 2 horas, en cambio una llave B lo llena en6 horas y un desagüe C lo deja vacío en 3 horas. ¿En qué tiempo se llenará elestanque, si estando vacío se abren ambas llaves y el desagüe simultáneamente?

A) 6 horas.B) 4 horas.C) 3 horas.D) 2 horas.E) 1 hora.

1 1 1 = +

x a b

12

4. Rodrigo puede realizar una tarea en 15 días, mientras que Nelson la puede hacer en eltriple de los días que emplearían si trabajaran los dos juntos. ¿En cuántos díasrealizaría la tarea Nelson si trabajara solo?

A) 5 díasB) 10 díasC) 15 díasD) 30 díasE) 32 días

5. Dos llaves si se abren al mismo tiempo pueden llenar una piscina vacía en 15 horas. Siuna de ellas puede llenarla en 40 horas, ¿cuántas horas menos que la anterior sedemoraría la otra llave en llenar la piscina?

A) 8B) 14C) 16D) 20E) 24

6. A realiza una tarea en m días y B realiza la misma tarea en n días. ¿Cuántos díasdemorarán si trabajan juntos?

A)m + n

mn

B)mn

C)mn

m + nD) m n

E)nm

13

PROBLEMAS DE EDADES

En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentesindicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,según corresponda:

EJEMPLOS

1. La edad de una persona será c años dentro de a años ¿Cuántos años tenía hace baños?

A) c a bB) a c bC) a c bD) c – (a + b)E) c b

2. Si al triple de la edad que tengo se resta mi edad aumentada en 8 años, tendría28 años. ¿Qué edad tengo?

A) 14 años.B) 16 años.C) 18 años.D) 20 años.E) 22 años.

3. Un padre tiene x años y su hijo y años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre seráel cuádruplo de la edad de su hijo?

A)4y x

3

B)4x y

3

C)x 4y

3

D)x 3y

2

E)4xy3

Edad pasada(hace b años)

Edad actualEdad futura

(dentro de c años)x – b x x + cy – b y y + c

14

4. Si la edad de una persona en y años más será x años, ¿cuántos años tiene?

A) yB) x + yC) x – yD) xE) y – x

5. Si al triple de la edad de Narciso se le resta 37 años, se obtiene lo que le falta paracumplir 91. ¿Qué edad tendría actualmente si hubiera nacido 6 años antes?


6. Pedro tiene el triple de la edad que tiene María y hace 12 años la edad de Pedro era elcuádruplo de la edad que tenía María. ¿Qué edad tendrá María dentro de 12 años?


7. Dentro de M+15años, María tendrá M+40 años. ¿Qué edad tendría dentro de 15 años sihubiera nacido 7 años después?


15

PROBLEMAS DE MÓVILES

Para este tipo de problemas, debemos tener presente la fórmula:

Donde s = recorridov = rapidezt = tiempo

PROBLEMAS

1. Un ciclista sale de Santiago y otro de Temuco, distantes 720 km, uno hacia el otro. El

primero viaja akm

40h

y el segundo akm

30h

. Si ambos partes a las 7am., ¿qué

distancia los separa a las 10:00 am., de ese mismo día?

A) 510 kmB) 530 kmC) 580 kmD) 610 kmE) 650 km

2. Dos automóviles parten desde la Plaza de Armas a la misma hora en sentidos

opuestos. La rapidez de uno de ellos eskm

10h

menor que la del otro. Sabiendo que

al cabo de 3 horas se encuentran a 510 km de distancia, ¿cuál es la rapidez delautomóvil más rápido?

A)km

60h

B)km

70h

C)km

80h

D)km

90h

E) 95kmh

s = vt

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EJERCICIOS

1. Al escribir en lenguaje algebraico “el cuadrado de la diferencia entre el triple de a y eldoble de b” resulta

A) 3a – 2b2

B) (3a – b2)C) (3a – 2b)2

D) b2 – 3aE) a3 – b2

2. “El cuadrado del triple de h, es siete unidades menor que n”, se expresa como

A) (3h)2 = n – 7B) (3h)2 – 7 = nC) 3h2 + 7 = nD) 3h2 – 7 = nE) (3h)2 = n + 7

3. La edad de un padre es a años y de su hijo b años. ¿Hace cuántos años la edad delpadre era el triple de la edad del hijo?

A)3b a

2

B)a + 2b

3

C)a 2b

2

D)3b + a

2

E)3b a

3

4. Un aparato de aire acondicionado baja la temperatura 10 grados en 12 minutos. Si setrabaja con un segundo aparato simultáneamente, el descenso toma 4 minutos.¿Cuánto tardaría el segundo aparato en producir el cambio de temperatura por sí solo?

A) 4 minB) 5 minC) 6 minD) 8 minE) 10 min

17

5. Entre Carlos y Alberto reunieron 1.200 dólares para una campaña social. Si Carlosreunió 300 dólares más que el doble de lo reunido por Alberto, ¿cuántos dólares reunióeste último?

A) 900B) 750C) 600D) 300E) 250

6. Una persona gana $ m mensual y gasta $ s semestral. ¿Cuánto logra ahorrar en untrimestre?

A) s

3m2

B)3m + s

2

C) s

3m2

D)3m s

2

E) 3s

m2

7. Ely pintó ayer 216m de la pieza de su hija y hoy pintó los dos tercios del resto. Ellaobserva que ambas partes pintadas tienen la misma superficie. Entonces, el área totalde la pieza es

A) 216m

B) 224m

C) 232m

D) 236m

E) 240m

8. El enunciado: “A un número w se le resta su quíntuplo y este resultado se divide por elcubo del doble de z”, se escribe

A) (w – 5w) : (2z)3

B) w – 5w : (2z)3

C) (w – 5w) : 2z3

D) w – zw : 2z3

E) (w – z) : (2z)3

18

9. Dentro de 19 años José tendrá 7 veces la edad que tenia hace 11 años. ¿Cuál será suedad dentro de 24 años?


10. Paola puede escribir un texto en 30 horas, pero si trabajara con Macarena lo harían en20 horas. Si Paola avanzó sola durante 10 horas, ¿cuántas horas empleará Macarenaen terminar el texto sola?

A) 52B) 40C) 30D) 15E) 10

11. Alex compró 4 tarros de duraznos y 3 botellas de vino blanco, cancelando en total $ w.

Si el tarro de durazno cuesta3d

$4

, ¿cuánto cuestan dos botellas de vino blanco?

A)(w 3d)

$3

B)2(3d w)

$3

C)(w + 3d)

$3

D)2(w + 3d)

$3

E)2(w 3d)

$3

19

12. Un taxista cobra $ p por el primer kilómetro recorrido y $ q por cada kilómetroadicional. Si un pasajero tiene $ z, siendo z mayor que p y q, ¿cuántos kilómetrospodría viajar con dicha plata?

A) z p + qp

B) z + p + 1

q

C)z + p + q

p

D) z p + q

q

E) z p + 1

q

13. Un camión alcanza una rapidez media dekm

90h

en un plano horizontal, en cambio en

cuesta su rapidez media es dekm

40h

. Si en recorrer 310 km demora 4 horas,

¿cuántos kilómetros recorrió en cuesta?

A) 270B) 130C) 120D) 90E) 40

14. ¿En cuántos dieciseisavos es mayor12

que14

?

A) 2B) 4C) 6D) 8E) 10

15. En una reunión se observa que los dos tercios son varones, los tres quintos de lasmujeres son casadas y hay 14 solteras. Entonces, la quinta parte de los varones es

A) 4B) 12C) 14D) 21E) 105

20

16. Un padre reparte $ k entre sus tres hijos. Si al mayor le corresponde25

del dinero y al

segundo los23

del resto, ¿cuánto le corresponde al menor?

A) $6

k15

B) $2k

3

C) $3k

5

D) $1k

5

E) $1

k15

17. Hace 4 años la edad de A era la mitad de la edad que tenia B. Si dentro de 8 años Atendrá la edad actual de B, ¿cuál es la edad de B?


18. En una prueba de 60 preguntas, Sergio no omite ninguna. Si la quinta parte de laspreguntas que respondió correctamente es igual al número de las que respondióincorrectamente, ¿cuántas preguntas respondió correctamente?

A) 60B) 50C) 40D) 20E) 10

19. Las Edades de Sebastián, Belén y Fernando suman 60 años. Si Belén tiene 2 años másque Sebastián y la suma de ambos excede en 16 años a la edad de Fernando, ¿cuántosaños tiene Belén?

A) 24B) 22C) 21D) 20E) 18

21

20 Para realizar un mismo trabajo en conjunto, los obreros Juan y Pedro demoran 30 días,en cambio Pedro e Iván 24 días y, a su vez Juan e Iván 20 días. Si trabajaran los tresjuntos, ¿cuántos días demorarían para realizar el mismo trabajo?

A) 8 días.B) 10 días.C) 12 días.D) 14 días.E) 16 días.

21. La suma de tres números es 98. Si el segundo es la cuarta parte del tercero y éste es17 unidades menor que el primero, entonces el sucesor del número menor es

A) 9B) 10C) 11D) 34E) 36

22. El dígito de las decenas de un número de dos cifras es igual al antecesor del dígito delas unidades. Si el dígito de las unidades es n, entonces la expresión que representa elsucesor del doble del número es:

A) 22n – 19B) 22n – 20C) 22n – 21D) 22n – 22E) 22n – 23

23. La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 16, donde el dígito de lascentenas excede en 2 al dígito de las unidades y éste último es el sucesor del dígito xde las decenas. ¿Qué ecuación permite hallar este número?

A) 3x + 3 = 16B) (x – 3) + x + (x – 1) = 16C) (x + 3) + x + (x + 1 ) = 16D) 100 (x + 3) + 10 x + (x + 1 ) = 16E) 100 (x – 3) + 10 x + (x – 1) = 16

22

24. Para realizar la Fiesta de Gala de un cuarto medio se reparte los gastos en partesiguales entre los apoderados. Si cada apoderado aporta $ 8.000 faltan $ 40.000 paracancelar los gastos y si cada apoderado aporta $ 10.000 sobran $20.000, ¿cuánto es elgasto total de la Fiesta de Gala?

A) $ 240.000B) $ 260.000C) $ 280.000D) $ 300.000E) $ 320.000

25. La edad actual de Andrea es la mitad de la de Beatriz, y hace 10 años la edad deAndrea era los tres séptimos de la edad que tenía Beatriz. ¿Cuánto suman sus edadesactuales?


26. Se puede determinar la diferencia de edades entre Ana y María respectivamente, si:

(1) La edad de Ana es tres veces la edad de María.

(2) Hace 5 años Ana tenía la edad actual de María.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

27. A una obra de teatro asisten 800 personas, de las cuales 200 ocupan galería y el restoplatea. Se puede determinar el número de mujeres que ingresan a platea si:

(1) De los que ingresan a platea, los hombres son13

de las mujeres.

(2) Del total de asistentes a la obra, 250 son hombres.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional.

23

28. Un químico es el doble de rápido que su ayudante en realizar una prueba. ¿Cuántodemora el ayudante en realizar, él solo la prueba?

(1) Juntos demoran 40 minutos.(2) Hay 35 pruebas que corregir.

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas.D) Cada una por sí sola, (1) y (2).E) Se requiere información adicional.

29. Dos autos, separados por 100 km, parten al mismo tiempo a encontrarse. ¿Cuántotiempo demoran en juntarse?

(1) Uno tiene el doble de rapidez que el otro.

(2) La rapidez del más lento eskm

30h

.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. Se puede determinar el tiempo que emplea Iván en realizar un trabajo si:

(1) Rodrigo emplea 10 horas en realizar el mismo trabajo.(2) Iván emplea el triple del tiempo que emplean Iván y Rodrigo juntos en realizar el

mismo trabajo.

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

24

RESPUESTAS

EjemplosPágs.

1 2 3 4 5 6 7 8

1, 2 y 3

a) 2p h) b5 o) p = q + ab) m2 i) m-n p) p = q – ac) 3q j) p-q=n q) a bd) a3 k) (c + d)/2 r) x ae) 4b l) (m-n)/2 s) p/qf) c4 m) a + b t) (a+b)2

g) 5d n) a-b u) c2+d2

v) 3a+n

E B C B C

4 y 5 B C B C C B E6, 7 y 8 A D B E B C E9 y 10 D A C E B D D E11 y 12 E C C D C C13 y 14 D C C C B C D

15 A D

EJERCICIOS PÁG. 16

DMDMA10

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1. C 11. E 21. B

2. A 12. E 22. A

3. A 13. E 23. C

4. C 14. B 24. C

5 D 15. C 25. D

6. C 16. D 26. B

7. E 17. D 27. A

8. A 18. B 28. A

9. D 19. D 29. C

10.B 20. E 30. C

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matemática 10pdv: matemática guía n°10 [4°medio] (2012)

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