guía de matemática ii unefa

UNEFA-APURE MATEMÁTICA II Profesor: Rafael Valdez

Ejercicios propuestos de cálculo diferencial - Matemática II UNEFA-APURE

™§Funciones Elementales™§

1_Explique por qué la grafica de la ecuación no es la grafica de una función. 2_Demuestre que los siguientes triángulos con vértices A, B Y C es un triángulo rectángulo y encuentre área de cada uno.

a)

b) 3_En cada uno de los ejercicios encuentre una ecuación del círculo que satisfaga las condiciones dadas.

a) b) c) d)

e) f)

4_Encuentre el centro y el radio del círculo con la ecuación dada.

a)

b)

c)

d) ™§ Operación de hallar los limites ™§ Comparación de las magnitudes infinitesimales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)



r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

Función de argumento continúo. Hallar los límites en cada caso

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)



w)

x)

y)

z)

aa)

bb)

cc)

dd) r

ee)

ff)

gg)

hh)

ii)

jj)

kk)

ll)

mm)

nn)

oo)

pp)

qq)

rr)

ss)

tt)

uu)

vv)

ww)

™§Limites Trigonométricos§™

a)

b)

c)

d)



e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

aa)

bb)

cc)

dd)

ee)

ff)

gg)

hh)

ii)



jj)

kk)

ll)

mm)

nn)

oo)

pp)

qq)

rr)

ss)

tt)

uu)

vv)

ww)

xx)

yy)

zz)

aaa) §™Limites por Definición§™ o bien

Use cualquiera de las definiciones para demostrar los siguientes limites:

a) b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

™§ Otros casos de Limites ™§



a)

b)

c)

d)



™§ Función derivada §™

a) Hallar el incremento de la función en el punto , poniendo el incremento de la variable independiente igual a: .

b) Hallar la razón para las siguientes funciones :

1)

2)

3) . Mostar que cuando , el límite de

la referida razón en el primer caso es igual a 4, en el segundo, , en el tercer,

c) Dada la función hallar los valores aproximados de la derivada en el punto ,

poniendo sucesivamente igual a: 1) 0.5 ; 2) 0.1 ; 3) 0.01 ; 4) 0.001.

d)

e)

f) Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

Hallar las derivadas de las funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)



™§ Funciones Trigonométricas§™

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) 14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

™§ Funciones Trigonométricas inversas§™

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

™§ Funciones Logarítmicas ™§

a)

b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s) t)

u)

v)



™§ Funciones Exponenciales ™§

a) b)

c)

d)

e) f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s) t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

aa)

bb)

cc)

dd)

ee)

ff)

gg)

hh)

ii) jj)

™§ Derivación Logarítmica ™§

a)

b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

Integral indefinida La integral se puede definir como un antiderivada, o primitiva de una función F(x) tal que su derivada sea f(x). Por tanto si F´(x)=f(x) dx, entonces F(x)=∫f(x) dx Ejemplo: Sea la función F(x)= 2x4- x3 + 2x – 6, siendo la derivada de F(x), la función F´(x)=8x3 – 3x2 +2. Por tanto la integral de F`(x) en la función F(x). Propiedades de la integral indefinida Distributividad de la integral respecto de la suma y la diferencia ∫[f(x)+g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx ∫[f(x)-g(x)] dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx Homogeneidad de la integral respecto de un factor constante ∫k.f(x) dx = k.∫f(x) dx



c x cotagdxx cosec

ctagx dxx sec

csen xdx x cos

c xcosdxsen x

cdxa

cdxxdxx

c xLn

cedxe

c1n

xdxx

Rk ck.xdxk

cxdx

2

2

lna

ax

1

xm n

x

dx

xx

1n

n

x

m

n

1m

n

m

n

caxxln

ax

dx

cax

axln

2a

1

ax

dx

ca

xsen

xa

dx

caxxln

xa

dx

ca

xtag

a

1

xa

dx

c xcotag xcoseclndx x cosec

c xtag xseclndx x sec

c x secdx x tag. x sec

csen xlndx x cotag

c xseclndx x tag

22

22

22

1

22

22

22

1

22

Integrales de funciones inmediatas 1.- Resolver las siguientes integrales, realizando operaciones algebraicas para reducirlas a integrales inmediatas.

82s

ds12.

3t-3

dt11. dx

x

xxx10.

dxxx

)x-(29. 1)dx xxx).(2x(8. dx 23x7.

dx3x

35x2xx6. dx ea5.

x

xdx4.

dx73. x

dx2. dx .1

2

3 24

2

2322

2

23xx

x

3

3x

dxe

2)(e 24. dx2x)(e 23. dx

xtag1

2tagx 22.

dx xcosec xtag

xcotgsen x 21. dx

tagx1

cosecxsecx 20.

xcos .sen x

dx 19.

xsen2x cos

dx 18.

xx.cossen

dx 3 17. dx x)2sen(2x 16.

dxxx.sencos

2x cos15. dx

2x cos1

xcos114. dx

xx

)x-(2x13.

x

3x

2x

2

222

23

22

2

3

22



2.- Resolver las siguientes integrales usando el teorema de invarianza de la fórmula de integración. Integración por cambio de variables o por sustitución.

1tagxx cos

dx 24. dxcosx .x sen 21.

3xsen

dx 22.

dx 2e

e 21. dx

xcos1

2xsen 20.

.ln xx

dx 19.

dx

41

2 18.

x1

dxx 17.

1x

dxx 16.

)dxe5x(a15. cos3x)dxe(x 14. dxcosx e 13.

34xx

dx 2)-(x12. dx cose e 11. dxsen2x .x cos 10.

dx x

ln x 9. dx 4)sen(3x 5 8. dx

xcos

senx 7.

dx 3xsen .x 6.

4)3x(x

dx 3)(2x 5.

52x

dxx 4.

dx4)(x x 3. dx

63x

x 2.

4)(3x

dx 1.

2

2

2

x

x

2

x

x

8

3

4

x21-3xxsenx

2

xx3

3

2

2

3 223

2

4 332

5 4

3

4

32

3.- Integración de funciones racionales, por división de polinomios

dx x1

3x)-(2 9. dx

x-1

x 8. dx

2x

23xx 7.

dx 1x

x 6. dx

1x

)x(1 5. dx

1x

1x 4.

dx 1-x

32x 3. dx

12x

3x 2. dx

32x

x 1.

332

2

4

2

22

2

2

3

4.- Integración de funciones racionales, por completación de cuadrados

2

2

522

222

3x-2

dx 6.

x-x

dx 5.

32x

dx 4.

107x

dx 3.

544x

dx 2.

103x

dx 1.

x

xxx

9x-6x-2

dx 12.

9x-6x8

dx 11.

x-34x

dx .10

3)(2x-1

dx 9.

94x

dx 8.

41)-(x

dx .7

222

222



5.- Integración de funciones racionales, por separación en fracciones parciales o método de descomposición del integrando

1)(x1)(x

dxx 24. dx

5)(x2)(x

79x6xx 23.

x

dx

1x

2x 22.

dx 1)(x

13x 21.

xx

dx 20. dx

4)(x

511x6xx19.

48x5xx

dx x18.

1)2x(xx

dx 2)3x(x 17.

15)16x(4x 1)-(2x

dx x 32 16.

dxx4x

1x 15. dx

4xx

8xx 14. dx

4)3)(x1)(x(x

9141x2x 13.

3x7x6x

dx 12.

23x2x

dxx 11.

1)(2x 1)(x

dxx 10.

x)-(b x)-(a

dx 9.

3)-(2x 1)(x

dx 8.

1)(xx

dx 7.

9x-4

dx 6.

x-x

dx 5.

103xx

dx 4.

107xx

dx 3.

54x4x

dx 2.

34xx

dx 1.

22

5

3

232

22

2

244

23

23

2

2

2

2

3

3

3

452

232

2

2

522

222

6.- Integración de funciones racionales, por cambio de variable y completación de cuadrados

dx

19x4x

5x-2 9. dx

186x5x

3x-4 8. dx

12xx

24xx 7.

211x3x

dxx 6. dx

13x2x

4x-3 5. dx

26x9x

52x 4.

x-2x-3

dx 3)-(x 3. dx

x-2x5

11)-(8x 2. dx

22xx

2x .1

222

3

222

222

7.-Integrales trigonométricas aplicando las distintas relaciones entre funciones trigonométricas

dx

xcos

xsen 18. dx

xsen

cosx 17. dxx sen 16.

dx x)tagx(tag 15. xdx tg 14. dx cosx

senx-1 13.

xcos

dx 12. dx 5x sen 2x sen 11. dx 3x sen cosx 10.

dx3x coscos2x 9. dxcosx

xsen 8. dx

cosxsenx 1

2x cos 7.

dx senx-1

senx1 6. dx

cosx1

cosx-1 5.

senx1

dx 4.

cosx-1

dx 3. dx x sen 2. dx x cos 1.

3 4

3

3

5

424

3

22



8.- Integración por partes: Fórmula du . v - .vu .dvu

dxsenx ex 24. dx lnx cos 23. dx lnx sen 22.

dx ax 21. dx 1)ln(x x 20. dx x arctag 19.

dx

x

xln 18. dx x sec 17. dx senx e 16.

dx x

xln 15. dx senx x 14. dx e x 13.

dx x1

xarcsen 12. dx

x1

arctagxx 11. dx

x

xlog 10.

dxarcsen x 9. dx arccosx 8. dx x actagx 7.

dxln x 6. dx lnx x 5. dx 3x 4.

dx ex 4. dx 2x sen x 2. dx x cosx 1.

x2

x22

5

2

3x

2

3

3x-2

23

4x

-x

9.- Integración por sustitución o cambio trigonométrico (analogía trigonométrica) Recuerde las expresiones de referencia: cos2 θ = 1 - sen2 θ; sec2 θ = tag2 θ + 1; tag2 θ = sec2 θ – 1 Inversos multiplicativos: Sen θ . Cosec θ = 1; Cos θ . Sec θ = 1; Tag θ . Cotag θ = 1 Razones trigonométricas, en un triangulo rectángulo:

co

caθ Cotag ;

ca

Hθ sec ;

co

Hθ Cosec ;

ca

coθ tag;

H

caθ cos ;

H

coθsen donde

“co, ca y H” se refiere al cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa respectiva de un triangulo rectángulo.

dx

x-1

5-3x 18.

1625xx

dx 17.

499x

dx x 16.

254x

dx 15.

)x(a

dx 14. dx

x

ax 13.

x1 x

dx 12. dx x4x 11. dx

x

xa 10.

19x4x

dx 5 9.

186x5x

dx 8. dx

12xx

24xx 7.

211x3x

dxx 6. dx

13x2x

4x-3 5. dx

26x9x

52x 4.

x-2x-3

dx 3)-(x 3. dx

9x

8x 2. dx

x4

x 1.

222

3

2222

22

22

22

2

22

222

3

222

222

2

10.- Integrales de funciones hiperbólicas. Recordemos:

xx

xxxxxx

ee

ee

cosh x

senh xtagh x ;

2

eecosh x ;

2

eesenh x

Expresiones inverso multiplicativo:



senh x . cosech x = 1; cosh x . sech x = 1; tagh x . cotgh x = 1. Identidades hiperbólicas:

cosh2 x – senh2 x = 1 cosech2 x = 1 - cotgh2 x

senh x

dx 6. xdx tagh 5. dx

senh xcosh x

e 4.

xcosh

dx 3. dx senh x 2. dx cosh x 1.

2

x

2

dxx senh 12. dx x cosh 11. dx tagh x 10.

dxx cotgh 9. senh xcosh x

dx 8. dx x coshx senh 7.

33

232

Integral Definida Propiedades del la integral definida Si f es una función integrable en [a, b] y k un número real cualquiera, entonces k.f es integrable en [a, b]

b

a

b

a

dx f(x)k dx f(x) .k

Si f y g son funciones integrable en [a, b], entonces f ± g es integrable en [a, b] b

a

b

a

b

a

dx g(x)dx f(x)dx g(x) f(x)

Si f es una función continua e integrable en [a, b], entonces a

b

b

a

dx f(x)dx f(x)

Teorema del valor medio para integrales definidas Si f es una función continua e integrable en [a, b], entonces existe un número real z en el intervalo abierto (a, b) tal que

b

a

b

a

dx f(x)a-b

1 f(z) a) -(b f(z) dx f(x)

Teorema fundamental del cálculo Si f es una función continua e integrable en [a, b], Parte I. Si se define G como

x

0

dt f(t) )(xG

Para todo x en [a, b], entonces G es una antiderivada de f en [a, b]. Parte II. Si F es una antiderivada de f, entonces

F(a) - F(b) dx f(x)b

a



Resolver las siguientes integrales definidas

du )3u(

15. )3(2x 14. dx )34(

2 13.

dx 2-3x 12. dx 42x 11. dx e 10.

dr r)(1)r

1-(r 9. dx

2x

2x54x2x 8. dx

2x

1x 7.

dw2)(w w 6. dt t

3t 5. dt )tt( t 4.

dx16x 3. dz 2)z2z(8z 2. dx 6)2x(3x 1.

2

1

4

53

1-

23

2 32

6

2

4

1-

2

2

x

21-

3-

3

1 2

231

4

2

3/2

1-

229

4

3

0

3

4

1

54

1

3

2-

z352

2

udx

xx

x

2

0

2

1 2210

21

1/2 2

5

3

223/2

1/2

1

0 2

4

2 2

/4

0

1

0 4

xπ23

/2

0

/4

0

/2

0

22

2

/2

0 2

2

32/ 2

/22

0 4

1

0 x

x4

1 2

4

1 x

2

1 3

22

1 xx

xx10

1

0

2

2

0 x

x

x

2x1

0

x-

4

0

1

1-

4

2 23

2

2

5)4x(x

dx 42. dx

4)(3x

x 41.

3x2x

dx 40.

dx 164xx 39. dx 3)-2)(x-1)(x(x

11x-37 38. dx

82xx

16x 37.

dx 1)(x

116x 36. dx )(tag 35. dx x sen 34.

dx2x cos3x sen 33. dx x)tag(1x sec 32. dx xsen1

xcos 31.

dx 1xcos

sen x 30.

1xx

dx 29.

x-1

dxx 28.

dx e1

e 27.

16x

dx 26.

e x

dx 25.

dx 3xx

1x 24. dx

1010

1010 23.

xlogx

dx 22.

dx

43

3 21. dx

2

1)(2 20. dx 34x 19.

1)x(x

dx 18. dx

2)(x

x2 17. dx

9x

x 6.1

2

Aplicaciones de la integral definida Área: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y suponga que f(x) >0, para todo x en [a, b]. Entonces el área bajo el gráfico de f entre a y b es:

b

a

dx f(x)A

Si g(x) es una función continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] y f(x) > g(x) para todo x en [a, b], entonces el área A de la región acotada por las graficas de f y g en el intervalo [a, b] es:

b

a

dx g(x)- f(x) A

Algunas veces resulta más sencillo calcular el área respecto del eje y que calcularle respecto del eje x. Para esos casos el área A entre las funciones f(y) y g(y) para todo y en [c, d] y f(y) > g(y) es:



d

c

dy g(y)- f(y) A

En cada una de las situaciones, dibuja la región acotada por el gráfico de las ecuaciones dada y calcule el área de la región.

3xy 3;y x10. 1-x2y ;x-1y 9. 1xy ;1xy .8

2

xy 4x;y 7. -4y ;x-4y 6. 4y ;1xy 5.

3y -2;y 2;x-y ;y x4. 2.y -1;y 4;y- x;y 3.

4. x1; x x;-y ;x y 2. 2. x1; x;x- y ;x

1 y .1

2223

2

22

22

2

2

x

0y ;1)-(xx y 30. 5 x0;y ;9x x y 29. 0y ;x-4x y 28.

y x;y x27. 0 x;y-4y x26. 0y 6x;xxy 25

xcosy x;tagy 24. ln x x y ;4

ln xy 23.

2

xy ;

x1

1y 22.

0y x;xy 21. 02y2x 0;2y2x 0;1y- x20.

4y x3x;y x;y 19. 02-y- x;y x18. 2xy x;4y 17.

16y x6x;y 16. /2xy 8;y x15. /3xy ;xy 14.

48 x 24 -y 16;8xy 13. xy ; xy 12. 01-y- x:12xy 11.

222

23 2323

3

2

2

2

3

222

22222232

2222

Cálculo de volumen de sólido de revolución Método de las arandelas o discos (rebanado) Sea f una función continua en [a, b]. El volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la gráfica de f, x=a, x=b y por el eje x, está dado por:

b

a

2dx [f(x)] πV

Cuando el sólido es rebanado por el eje y, su volumen viene dado por. d

c

2dy [g(y)] πV

En cada uno del los ejercicios propuestos a continuación dibuje la región R acotada por las gráficos de las ecuaciones dadas y calcule el volumen del sólido que genera le región R al girar alrededor del eje indicado.

6 xrecta La ;4 xrecta La 4 x0;y ;xy 14. 5y recta La 4;y recta La 4;y ;xy 13.

y Eje 2; x1;xy 1;y x12. y Eje 0;2x-y ;y x11.

xEje ;0 x;y x10. x Eje ;x-4y ;xy 9.

3y recta La x;Eje 0;y -2; x;xy 8. x Eje 0;y ;4xy 7.

y Eje 3;y 1;y 0; x / x;1y 6. y Eje 2;y ;xy 5.

y Eje ;4x y 2x; y 4. y Eje 3y ;2y x;y 3.

xEje 4; x0;y ;xy 2. x Eje 0;y 3; x1; x1/x; y .1

2

2

2322

32

2

2

y

x

x



Integrales impropias Integrales con limites de integración al infinito: Si f en una función continua en [a, +∞), entonces por definición

t

aat

dx f(x) Lim dx f(x)

La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. De manera de análoga hacemos referencia a las funciones f continuas en el intervalo (-∞, a] y en el intervalo (-∞, + ∞)

t

a t

a

t- t

a

t

a

- t

dx f(x) Limdx f(x) Lim dx f(x)

dx f(x) Lim dx f(x)

Integrales con extremos indeterminados: Si f en una función continua en [a, b), o f es una función continua en (a, b], entonces por definición

εb

a

b

a0ε

dx f(x) Lim dx f(x)

b

εa

b

a0ε

dx f(x) Lim dx f(x)

La integral de f es convergente, si y solamente si; el limite planteado existe. Integrales con un punto c en el intervalo de definición [a, b], tal que f es indeterminada, entonces por definición:

b

εc0ε

εc

a

b

a0ε

dx f(x)Lim dx f(x) Lim dx f(x)

De manera análoga a los casos anteriores, f es convergente, si y solamente si; los limites planteados existen. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales, en caso de ser convergente calcule su valor.

0

- 4 2

222

-

2

-

x-

0

2x-

0 -

2

2

-

2

0

ax-

11

4

1xx

dx 12. dx

12xx

18x 11. dx

23xx

1 10.

dxx cos 9. dx ex 8. dx e 7.

dx9x

x 6. dx

2x-5

1 5. dx

x1

x 4.

0 adx e 3. x

dx 2.

x

dx 1.

2



π/2

0

1

0

3

1

2

3

1

2

2

0

1

1-

x4

1

1-

3 5

1

1-

2

1/e

0

2

1

0

2

0

2

1

2

-

22

0

4

1

2

0

4

3

1

22

0

x-

dxx

sen xln 30.

1-xx

dx 29. dx

2x

x 28.

dx2x

x 27.

1e

dx 26. dx

x-1

x 25.

dx

x

1-x 24.

x-12)-(x

dx 23.

xlnx

dx 22.

dxln x x 21. 1-x

dxx 20.

34xx

dx 19.

1)(x

dx 18. dx

x1

xarctgx 17. dx

x

1)(xln 16.

dxx

1x 15. dx

)x(1

x 14. dx sen x e 13.

guía de matemática ii unefa

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