ejercicios matemática ii

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA CÁLCULO DIFERENCIAL PARA EL PROGRAMA DE

INGENIERÍA CIVIL

Primer entrega

Realizados por:

José Jorge Sierra Molina 153305 Jorge Luis Riveros Rodríguez 214599

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá

Primer semestre de 2012

EJERCICIO 1

Temas: Conteo

Materia: Matemáticas Básicas

Aplicaciones: Gestión en Construcción

El índice de construcción es un indicador que relaciona las áreas totales construidas con las áreas

del terreno de dichas construcciones. Si el área del terreno para un proyecto de apartamentos es

de 1 Hectarea y se desean construir apartamentos en promedio de 100m2. Cuantos apartamentos

se podrán construir si el índice de construcción establecido es de 4.5.

Solución

El área total para construir será:

=4.5*10000m2

=45000m2

EL número de apartamentos será:

EJERCICIO 2

Temas: Ecuaciones de primer grado


Aplicaciones: Geotecnia. Equilibrio de esfuerzos, sumatoria de momentos igual a cero.

Demostrar que el esfuerzo cortante en un plano z en dirección x, es igual al esfuerzo cortante en la

dirección x en el plano z.

Solución

Para garantizar el equilibrio se tiene como condición que la sumatoria de momentos es 0.

∑

Entonces,

(

(

) (

) (

)(

) (

)

(

Al plantear la sumatoria de momentos teniendo en cuenta la condición de equilibrio que implica

que esta debe ser igual a cero se obtiene, tras un breve desarrollo matemático, que el esfuerzo

cortante que actúa sobre el plano z en la dirección x es el mismo que actúa en el plano x en la

dirección z, es decir:

EJERCICIO 3

Temas: Matriz inversa

Materia: Algebra lineal

Aplicaciones: Geotecnia. Obtención de la matriz de rigidez tras invertir la matriz de

compresibilidad

Esta matriz se conoce como la matriz de compresibilidad y se denota como [ce]. La inversa de la

matriz de compresibilidad por supuesto es la matriz de rigidez, denotada [ke]. Calcularla.

Solución

Como tenemos que,

[ce]-1= [ke]

Para obtener la mencionada matriz inversa puede utilizarse el método de Gauss Jordan, pero por

practicidad, podemos dividir la matriz de compresibilidad en cuatro por los 0 que tiene. Entonces

la primera parte (fila 1 a 3 y columna y a 3) y la segunda parte (4 a 6 fila y columna), podrán ser

invertidas y puestas allí.

Tras dividir la matriz de compresibilidad [ce] e invertirla se obtiene la matriz mostrada a

continuación, que corresponde a la matriz de rigidez [ke].

EJERCICIO 4

Temas: Geometría.

Materia: Algebra lineal. Matemáticas básicas

Aplicaciones: Geotecnia

Para un talud de 15° infinito encuentre el estado de esfuerzos a una profundidad de 7 metros en el

plano x,z

⁄

Solución

Lo primero que hacemos es equilibrio de esfuerzos, para este caso usamos esta ecuación:

⁄

⁄

Ecuaciones constitutivas

√(

)

⁄

⁄

Ahora realizamos una rotación de 15 grados aplicando las ecuaciones siguientes y asi

obtendremos los esfuerzos en los planos x y z.

⁄

⁄

⁄

EJERCICIO 5

Temas: Integrales

Materia: Calculo Integral

Aplicaciones: Mecánica de sólidos. Solución de modelos viscoelasticos.

Encontrar el desplazamiento en un modelo visco elástico como el que se presenta a continuación.

Solución

Equilibrio

Compatibilidad

Constitutivas

Reemplazando las ecuaciones constitutivas la de equilibrio,

Integrando a ambos lados por el diferencial indicado

|

|

| | | |

EJERCICIO 6

Temas: Integrales

Materia: matemáticas básicas

Aplicaciones: Mecánica de sólidos. Solución de modelo elástico.

Encontrar el desplazamiento en un modelo elástico con n resortes en serie como el que se

presenta a continuación.

Solución

Equilibrio:

Compatibilidad:

Constitutivas:

Si se remplazan las ecuaciones constitutivas en la ecuación de compatibilidad se obtiene,

Al factorizar,

Luego,

Finalmente la ecuación que relaciona la carga con el desplazamiento del sistema es

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11

EJERCICIO 12

Temas: Geometría Analítica

Materia: Matemáticas básicas


Se ha diseñado un túnel de forma elíptica. El centro se encuentra a 10 metros de la superficie. La

altura mayor de la elipse es de 10 m y la menor es de 6 metros.

Encuentre la ecuación de dicha elipse, tenga en cuenta que la altura estará en términos de

profundidad, por ende, el eje vertical será positivo hacia abajo.

Solución

Centro: (0,10)

Radio mayor: 5 m

Radio menor: 3 m

Ecuación de la elipse:

EJERCICIO 13

Temas: Derivadas implícitas

Materia: Cálculo diferencial


En el ejercicio anterior, de la elipse cuya ecuación es la siguiente,

Se requiere calcular la pendiente para hallar el estado de esfuerzos en dicho plano. Calcular la

pendiente para un punto dado

Solución

EJERCICIO 14

Temas: Ecuaciones


Aplicaciones: Estructuras hidráulicas

Se han instalado dos canales triangulares equiláteros, con la única diferencia de que uno de ellos

estará con la base hacia arriba y el otro con la base hacia abajo. Si el caudal que transportan es el

mismo, se desea conocer en profundidad la velocidad transportada por ambos canales será la

misma.

L L L L

Canal 1 Canal 2

Solución

Como las velocidades son iguales,

Área 1

L

Base mayor: L

Base menor:

Área:

(

)

(

)

(

√ )

(

√ )

( √

)

Área 2

y

y

(

)

(

)

√

Igualando las áreas:

√

√

√

√

√

√

√

√

EJERCICIO 15

Temas: Ecuaciones



El caso de los canales circulares o alcantarillas es más fácil de analizar si se utilizan como

parámetro el ángulo teta y el diámetro de la tubería. Encontrar una expresión que relacione la

profundidad con el ángulo teta. Tambien una expresión para el área y una para el perímetro

mojado.

Solución

Sabemos que para un círculo completo, el área está dada por:

Como el área es directamente proporcional al ángulo teta, tenemos que,

Para un círculo completo, el perímetro es:

Como el área es directamente proporcional al ángulo teta, tenemos que,

Ahora como lo que conocemos es la profundidad, tenemos que

ϴ

α


INGENIERÍA CIVIL

Segunda entrega

Realizados por:




Objetivos: Acercar al estudiante a las ecuaciones diferenciales las cuales tiene aplicación en todas las

ciancias, ingeniería, etc. mediante los conceptos aprendidos en un primer curso de cálculo diferencial

en el tema de razón de cambio, es decir la parte final del curso, la cual es tal vez la más importante

porque es donde realmente se aplica lo aprendido durante el semestre. Los sgtes problemas pertenecen

a la ingeniería civil para la parte de estructuras, instalación de redes electricas, hidráulica, etc. Y se ven

como pueden aplicarse conceptos básicos para la solución de problemas que pueden ser vistos como

complicados.

1.

2.

3.

Se desea poner refuerzos de acero en la parte inferior de una viga. Se piensan instalar 8 varillas número 1, 6 varillas número 2 y 4 varillas número 4. Las varillas serán instaladas en una sola fila, de tal forma que sea simétrica la instalación de las mismas. ¿De cuantas maneras se podría realizar esto? Formulación matemática. Como la viga debe ser simétrica, analizaremos solo con la mitad de

materiales que tenemos, suponiendo que con la otra mitad se realizará una distribución que permita que suceda esto. Tenemos entonces 4 varillas tipo 1, 3 varillas tipo 2 y 2 varilla tipo 4. Para un total de 9 varillas.

Aplicando combinatoria obtenemos: Numero de formas diferentes de organizar=9!/(4!3!2!)=1260 formas diferentes organizar. 4. En una cercha, dos elementos están unidos y miden 35 y 40 metros. Además uno de ellos es paralelo al suelo (el de 35 m), y el otro tiene 14 metros de distancia horizontal al punto 0 o de referencia. Encuentre el ángulo que forman estos elementos. Formulación matemática. Se tienen los sgtes datos para poder trabajar:

Elemento 1: Elemento 2: Posición (35,0) Vector (14,x) Longitud 35 metros Longitud 40 metros Como la longitud del elemento la podemos interpretar como la norma del vector, podemos aplicar la definición de producto punto por coseno, es decir:

Luego Cos(θ)=0.35, lo cual implica que el ángulo que forman estos dos elemntos es : 69.51 grados.

EJERCICIO 6

Temas: Proporciones


Aplicaciones: Diseño geométrico de vías

En un plano de altimetría, las curvas de nivel significan los puntos que se encuentran a la misma altura. En el

diseño de una vía se cuenta con un plano del terreno a escala 1:2000 (es decir, cada unidad en el plano

significa 2000 unidades en el terreno) en el cual se trazaron curvas de nivel cada 5 metros de altura.

Aquí tenemos un ejemplo:

Si en el trazado de una vía uno de los criterios de diseño es que la pendiente sea máxima del 8%. ¿Cuál sería la

distancia en el trazado sobre el plano mínima entre las curvas de nivel?

Solución

Una pendiente del 8%, significa que por cada 100 m de longitud la altura varía 8 m

Como entre curvas de nivel la variación es de 5 m, utilizamos similitud de triángulos y obtenemos la longitud

con la que la altura tiene esta variación:

Como necesitamos la longitud del trazado en el plano, utilizamos la proporción que nos brinda la escala:

Es decir, la distancia del trazado entre curvas de nivel debe ser mínimo de 3,125 cm

1560 m

1565 m

1570m

EJERCICIO 7

Temas: Porcentajes


Aplicaciones: Fundamentos de construcción

Un obrero trabajo en una obra desde el 1 de Marzo hasta el 2 de Octubre. Si el subsidio de transporte es de

$2260, su jornal diario es de $25000 y el total recibido por horas extras los 3 últimos meses fue de $400000.

Calcule lo que el recibirá por cesantías al momento de su retiro.

Solución

Como las cesantías son 3 días por cada mes trabajado, tomando como base las horas extras, el salario básico y

el subsidio de transporte en los últimos 3 meses, el cálculo seria el siguiente:

Número de días trabajados: 31+30+31+30+31+31+30+2=216

Días de los últimos 3 meses:

Del 2 de Julio al 2 a octubre

Julio: 30

Agosto: 31

Septiembre: 30

Octubre: 2

Total: 93 días

Cesantías:

(

) (

)

EJERCICIO 8

Temas: Cónicas



Se desea diseñar canales con la forma típica de una parábola. Dichos canales Tendrán la siguiente geometría.

Encuentre la ecuación de dicha parábola.

Solución

Suponiendo que el vértice se encuentre en un punto de coordenadas (0,0), la ecuación de la parábola seria de

la forma:

Como sabemos que uno de los puntos de la parábola es el punto (a/2,b), sustituimos:

Luego, la ecuación de la parábola será,

Con el foco ubicado en el punto:

a

b

EJERCICIO 9

Temas: Áreas bajo la curva

Materia: Cálculo integral


Un canal cumple con la siguiente ecuación,

Se desea conocer una fórmula para calcular el área de la sección para una profundidad determinada d.

Solución

Lo primero que haremos será hallar el área bajo la curva para posteriormente obtener con una resta el área

que llenara el canal parabólico.

Si la profundidad es d, según la ecuación, la coordenada en x será:

√

d

√

Luego calculamos el área bajo la curva, aprovecharemos la simetría de la gráfica respecto a l eje y,

∫

√

(

√

)

(

)

(

)

(

)√(

)

√(

)

Como el área que queremos es la interior a la parábola, calculamos el área del rectángulo total mostrado en la

figura,

√

√

Entonces,

√

√(

)

√

√

EJERCICIO 10

Temas: Esfuerzos totales

Materia: Calculo integral

Aplicaciones: Mecánica de suelos

El peso específico en un suelo está dado por

Donde z es la profundidad en metros y peso es el peso específico en KN/m3. Si la primera capa que cumple esta

propiedad tiene una profundidad de 25m. Encontrar el esfuerzo total promedio de la misma.

Solución

Sabemos que,

Luego,

∫

EJERCICIO 11

Temas: Almacenamiento de aguas


Aplicaciones: Acueductos

Se desea construir un tanque de almacenamiento para un conjunto residencial. Los estudios hidráulicos dan

como resultado que el volumen de diseño para el tanque debe ser de 40

La base del tanque se realizara con concreto y tendrá un espesor de 0,15m y un radio total de 1,5 m. La pared

del tanque será en concreto y tendrá un espesor de 0,1m. El tanque será elevado para distribuir agua por

gravedad y se construirá sobre una estructura en acero. Calcule el peso máximo que tendrá el tanque para que

con dicho valor se diseñe la estructura que lo sostendrá. Asume un peso específico de 24 KN/m3 para el

concreto y del agua de 10 KN/m3

Solución

Como para el peso de la pared necesitamos la altura, la obtenemos del volumen total que soportara el tanque,

teniendo en cuenta que el radio interno del tanque será 1,92 m, ya que se resta el espesor de la pared.

40

El peso máximo del tanque ocurre cuando está lleno de agua. Es decir

EJERCICIO 12

Temas: centros de masa


Aplicaciones: Estática

Hallar el centro de masa de una placa metalice de densidad constante, de forma semicircular de radio 4 m.

Solución

El centro de masa en la coordenada x será 0 si ubicamos el centro de la circunferencia en el origen del plano

cartesiano, debido a la simetría de la figura.

Sabemos que la ecuación de esta semicircunferencia es:

√

Como en este caso g(x) es 0, la ecuación nos queda así:

∫

∫

(

)

((

) (

))

Luego el centroide es (0,

)

EJERCICIO 13

Temas: Secciones de columnas


Aplicaciones: Mecánica de solidos

Para una futura intervención estructural al edificio de química, resulta necesario calcular una ecuación que

describa la forma de las columnas. Estas son elípticas y tienen como radio mayor 40 cm y como radio menor 20

cm.

Solución

La ecuación general es:

Como conocemos los radios tenemos que:

EJERCICIO 14

Temas: Secciones de columnas


Aplicaciones: Mecánica de solidos

Para una columna su sección transversal está dada por:

Hallar el área transversal

Solución

Como la fórmula es una relación y no una función, trabajaremos con la mitad y esta la multiplicaremos por dos,

es decir:

√

El área estaría dada por la ecuación:

∫ √

Debido a la simetría de la elipse en ambos ejes, tenemos que,

∫ √

∫ √

Aplicando la siguiente fórmula:

(

√

(

√ ) )

( √ (

√ ) )

( √ (

√ )) ( )

(

)

EJERCICIO 15

Temas: Conteo de aceros


Aplicaciones: Análisis estructural

Una viga de 10 metros tiene 10 varillas de refuerzo número 4. Calcular la cantidad en peso de acero que allí se

encuentra. 7850 Kg/m3 es la densidad del acero.

Solución

Volúmenes

Por varilla:

(

)

Total:

Peso


INGENIERÍA CIVIL

Tercer entrega

Realizados por:




EJERCICIO 1

Temas: muros de contención



Un muro contiene un terreno que forma un Angulo β con la horizontal, como lo podemos ver en la

siguiente imagen:

Si la profundidad en un punto sobre el muro es z sin tomar en cuenta la inclinación del terreno, encuentre una fórmula que tome en cuenta dicha inclinación y nos permita obtener la verdadera profundidad del terreno. Solución Extrayendo algunos elementos del anterior diagrama podemos ver que: Como podemos ver apartir de los valores de z y de los ángulos podemos obtener la profundidad corregida. Obtenemos el valor de l:

tan𝛼 =𝑧

𝑙

𝑙 =𝑧

tan𝛼

β

α

β

α

z

Z corregida

l

Por otro lado

tan𝛽 =𝑧 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 − 𝑧

𝑙

tan𝛽 =𝑧 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 − 𝑧

𝑧tan𝛼

tan𝛽 =(𝑧 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 − 𝑧) tan𝛼

𝑧

tan𝛽

tan𝛼=𝑧 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎

𝑧− 1

𝑧 (tan𝛽

tan𝛼+ 1) = 𝑧 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎

EJERCICIO 2

Temas: muros de contención



Para el ejercicio anterior, calcular el peso de la cuña de falla para aplicar el método de Mohr Coulomb. Solución Extraemos el triángulo que forma la cuña, es decir, el formado por el muro de contención, la superficie de falla, y el terreno.

β

α ϴ

Los valores de los ángulos son:

𝑎 = 𝜋 − 𝛼 − 𝜃 𝑐 = 𝛼 + 𝛽

𝑏 = 𝜋 − (𝜋 − 𝛼 − 𝜃 + 𝛼 + 𝛽) = 𝜃 − 𝛽 Como conocemos la altura del muro. Podemos obtener la longitud superficial del muro, es decir el lado B.

𝐵 =𝑧

sin𝛼

Como conocemos los ángulos y uno de los lados, utilizando el teorema del seno podemos obtener los otros lados.

sin 𝑎

𝐴=sin 𝑏

𝐵

sin( 𝜋 − 𝛼 − 𝜃)

𝐴=sin( 𝜃 − 𝛽)

𝑧sin 𝛼

sin( 𝜋 − 𝛼 − 𝜃)

𝐴=sin𝛼 sin( 𝜃 − 𝛽)

𝑧

sin(𝜋 − 𝛼 − 𝜃)𝑧

sin𝛼 sin( 𝜃 − 𝛽)= 𝐴

sin 𝑐

𝐶=sin 𝑏

𝐵

sin(𝛼 + 𝛽)

𝐶=sin𝛼 sin( 𝜃 − 𝛽)

𝑧

sin(𝛼 + 𝛽) 𝑧

sin𝛼 sin( 𝜃 − 𝛽)= 𝐶

Hallamos con estos valores el perímetro:

a

b

c

A

B C

𝑃 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

𝑃 =sin(𝜋 − 𝛼 − 𝜃)𝑧

sin 𝛼 sin( 𝜃 − 𝛽)+

𝑧

sin𝛼+

sin(𝛼 + 𝛽) 𝑧

sin𝛼 sin( 𝜃 − 𝛽)

𝑃 =𝑧

sin𝛼(sin( 𝜋 − 𝛼 − 𝜃)

sin( 𝜃 − 𝛽)+ 1 +

sin(𝛼 + 𝛽)

sin( 𝜃 − 𝛽))

Luego el valor del semiperimetro es,

𝑆 =𝑧

2 sin𝛼(sin( 𝜋 − 𝛼 − 𝜃)

sin( 𝜃 − 𝛽)+ 1 +

sin(𝛼 + 𝛽)

sin( 𝜃 − 𝛽))

Con el valor del semiperimetro y de los lados del triángulo podemos obtener el área:

𝐴 = √𝑆(𝑆 − 𝐴)(𝑆 − 𝐵)(𝑆 − 𝐶)

Dicha área la multiplicamos por el peso específico y obtenemos el peso de la cuña de falla. EJERCICIO 3

Temas: Análisis de precios unitarios



Para la elaboración de un m2 de placa de contrapeso se requieren las siguientes actividades: Alambre Negro KG 0.14 3% $ 2,300

Formaleta Entrepisos M2-Mes 0.70 $ 9,000

M.O. Colocación concreto HH 1.50 $ 6,300

M.O. Formaleta HH 3.50 $ 6,500

Puntilla LB 0.12 $ 2,500

Repisa Ordinario ML 0.05 $ 1,500

Tabla Burra madera ordinaria ML 0.60 $ 3,000

Casetón en guadua M3 0.17 2% $ 30,000

Concreto 21 Mpa M3 0.18 3% $ 320,000

Los porcentajes son los desperdicios en el material. Los precios que aparecen son el valor unitario de cada material u actividad. Encontrar el precio unitario para esta placa. Solución Simplemente debemos tener en cuenta que los desperdicios incrementaran el precio final, de esta manera podemos realizar una tabla completa donde se tome en cuenta la cantidad para cada material y actividad.

Alambre Negro KG 0.14 3% $ 2,300 331.66

Formaleta Entrepisos M2-Mes 0.70 $ 9,000 6,300.00

M.O. Colocación concreto HH 1.50 $ 6,300 9,450.00

M.O. Formaleta HH 3.50 $ 6,500 22,750.00

Puntilla LB 0.12 $ 2,500 300.00

Repisa Ordinario ML 0.05 $ 1,500 75.00

Tabla Burra madera ordinaria ML 0.60 $ 3,000 1,800.00

Casetón en guadua M3 0.17 2% $ 30,000 5,299.92

Concreto 21 Mpa M3 0.18 3% $ 320,000 58,240.32

104,546.90

Es decir, para la elaboración de un m2 de este tipo de placa, se debe pagar $104.546,9 EJERCICIO 4

Temas: Canales en laboratorio


Aplicaciones: Estructuras hidráulicas.

Se ha diseñado un canal en el laboratorio de hidráulica, en el cual se pueden realizar diferentes

pruebas con un medidor de profundidad que tiene cierto inconveniente; el cual es que la

profundidad de la lámina de agua que mide no es la perpendicular a la base del canal, la cual es la

realmente útil en los cálculos hidráulicos; sino que está midiendo la altura vertical de la lámina de

agua. Dicho canal permite graduar pendientes desde 0.001% hasta 6%. Encuentre una fórmula que

a partir de la pendiente del canal permita obtener una corrección de la profundidad.

Solución

Como conocemos la profundidad vertical y queremos saber la profundidad perpendicular a la base

del canal, podemos realizar un acercamiento al triángulo formado por estas profundidades.

α

α

α

Como podemos ver en el triángulo superior, el ángulo es el mismo al ángulo de la pendiente del canal debido a la geometría del mismo. Además conocemos un ángulo y una distancia en un triángulo rectángulo, lo que nos permitirá hallar la verdadera profundidad.

cos𝛼 =𝑦

𝑑

Donde y es la profundidad real, es decir la perpendicular, y d es la que se mide en el laboratorio, luego

𝑦 = 𝑑 cos𝛼 EJERCICIO 5

Temas: Cargas distribuidas


Aplicaciones: Mecánica de sólidos

Una viga recibe una carga distribuida de la siguiente forma, debido a un extraño diseño arquitectónico: La parte superior de la carga tiene como fórmula:

𝑦 = 1/10𝑥2 + 3𝑥 Es decir, al lado izquierdo la carga es de 0 KN y al extremo derecho es de 40 KN al ser la viga, un elemento de 10m. Calcular la carga total que recibirá la viga en KN. Solución Matemáticamente, la carga distribuida es igual al área bajo la curva que define la altura de la carga, con límites de integración de 0 a 10. Es decir,

𝑤 = ∫ 1/10𝑥2 + 3𝑥10

0

𝑑𝑥

𝑤 = 1/30𝑥3 + (3/2)𝑥2

𝑤 = 1/30(10)3 + (3/2)(10)2

𝑤 =100

3+ 150

𝑤 = 183.33 𝐾𝑁 EJERCICIO 6

Temas: Cantidades de obra



Calcular la cantidad de m2 de enchape que es necesario para instalar en un baño cuya área interior es un rectángulo de lados 2 y 3 metros y cuya altura es de 2.5m. La puerte tiene un ancho de 0.8m y una altura igual a la de los muros. Solución Calculamos el perímetro: P= 2+3+2+3-0.8=9.2 m Como la altura es de 2.5 multiplicamos este perímetro en la altura para tener el área superficial: A= p*h=9.2*2.5=23m2 Es decir que la cantidad de enchape total es de 23 m2. EJERCICIO 7

Temas: Esfuerzo sobre un muro de contención



Se han calculado los esfuerzos normales sobre un muro de contención,

α

z

c

b

Si los esfuerzos varían linealmente de b a c, calcular la fuerza normal de empuje sobre el muro. Solución Lo primero que haremos será calcular la longitud del muro, esto lo podremos realizar así:

𝐿 =𝑧

sin𝛼

Luego tendremos los siguientes puntos en un plano cartesiano rotado paralelo al muro de contención: (0,b)

(𝑧

sin𝛼, 𝑐)

Es decir, la pendiente de esta línea es:

𝑚 =𝑐 − 𝑏𝑧

sin 𝛼

=(𝑐 − 𝑏) sin𝛼

𝑧

Luego la línea tiene la siguiente ecuación:

𝑦 =(𝑐 − 𝑏) sin𝛼

𝑧𝑥 + 𝑏

Y el área bajo esta recta entre los puntos 0 y 𝑧

sin𝛼 será:

𝐴 = ∫(𝑐 − 𝑏) sin𝛼

𝑧𝑥 + 𝑏

𝑧sin𝛼

0

𝑑𝑥

𝐴 =(𝑐 − 𝑏) sin 𝛼

2𝑧(

𝑧

sin𝛼)2 + 𝑏(

𝑧

sin𝛼)

𝐴 =(𝑐 − 𝑏)𝑧

2 sin𝛼+ 𝑏(

𝑧

sin 𝛼)

𝐴 = (𝑧

sin 𝛼)((𝑐 − 𝑏)

2+ 𝑏)

𝐴 = (𝑧

sin𝛼)((𝑐 + 𝑏)

2)

Lugo la fuerza de empuje es de (𝑧

sin𝛼)(

(𝑐+𝑏)

2)

EJERCICIO 8

Temas: Esfuerzo sobre un muro de contención



Se han calculado los esfuerzos normales sobre un muro de contención, Si los esfuerzos varían linealmente de 20 a 40 linealmente, calcular la fuerza normal de empuje sobre el muro. Solución Lo primero que haremos será calcular la longitud del muro, esto lo podremos realizar así:

𝐿 =5

sin 30

Luego tendremos los siguientes puntos en un plano cartesiano rotado paralelo al muro de contención: (0,20) (10,40) Es decir, la pendiente de esta línea es:

𝑚 =40 − 20

10= 2

Luego la línea tiene la siguiente ecuación:

𝑦 = 2𝑥 + 20 Y el área bajo esta recta entre los puntos 0 y 10 será:

30°

5

40

20

𝐴 = ∫ 2𝑥 + 2010

0

𝑑𝑥

𝐴 = (10)2 + 20(10)

𝐴 = 300 Lugo la fuerza de empuje es de 300 𝐾𝑁 EJERCICIO 9

Temas: hidrostática


Aplicaciones: mecánica de fluidos

Un tanque de base circular con radio de 0.5 m y altura de 2m se encuentra completamente lleno de agua. Si en la parte inferior se abre una abertura circular de 2 cm de radio para que el agua salga. ¿En cuánto tiempo se desocupara por completo el tanque? Solución Lo primero que haremos es calcular la velocidad con que sale el agua. Según Bernoulli:

𝑣𝑠 = √2𝑔𝐻

Luego el caudal de salida, el cual es igual a la velocidad por el área de la salida, es de:

𝑄𝑠 = 𝜋(0.02)2√2𝑔𝐻

𝑄𝑠 = 0.0055 20 √𝐻

El área dentro del tanque es igual a:

𝐴 = 𝜋0.52 𝐴 = 0. 85398 𝑚2

Luego por continuidad el caudal que se mueve dentro del tanque es el mismo que sale, es decir,

𝑄𝑠 = 𝑄𝑡 0.0055 20 √𝐻 = 0. 85398 𝑣𝑡

Despejando la velocidad en el tanque,

0.00 08184 √𝐻 = 𝑣𝑡 Pero por definición, la velocidad en el tanque es,

0.00 08184 √𝐻 =𝑑𝐻

𝑑𝑡

0.00 08184 𝑑𝑡 =𝑑𝐻

√𝐻

0.00 08184 𝑑𝑡 = 𝐻−1/2𝑑𝐻 Integrando en ambos lados,

0.00 08184 𝑡 = 2𝐻1/2 + 𝑐 Como sabemos que cuando el tiempo es igual a 0 la altura es igual a 2, despejamos la constante,

0 = 2(2)1/2 + 𝑐 c = 2.8284

Luego la ecuación es,

0.00 08184 𝑡 = 2𝐻1/2 +2.8284 Cuando H sea igual a 0, T=399s, es decir, este es el tiempo de vaciado del tanque. EJERCICIO 10

Temas: hidrostática

Materia: matemáticas básicas

Aplicaciones: mecánica de fluidos

Calcule el empuje que realiza el agua sobre un objeto cuya forma es de primas de base 10 cm2 y altura 6 cm, el cual se sumerge todo en el fluido. Solución El volumen del objeto es de 60cm3, luego como el empuje del agua es igual al volumen desplazado por el peso específico del agua, tenemos que el empuje es igual a 60 cm3 por 1g, es decir, el empuje es de 60 gramos fuerza.

Recomendaciones: los siguientes problemas acercan al estudiante a las

ecuaciones diferenciales, cálculo integral e intentan en buena parte crear aptitudes creativas en el estudiante haciendo aproximaciones sin recursos, las cuales tiene aplicación en todas las ciencias, ingeniería, etc. mediante los conceptos aprendidos en un primer curso de cálculo diferencial en el tema de razón de cambio, es decir la parte final del curso, la cual es tal vez la más importante porque es donde realmente se aplica lo aprendido durante el semestre. Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Ingeniería. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente en el estudio de varios procesos naturales como el crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades, sorprende a la imaginación. Los siguientes problemas tienen un grado de dificultad mayor a los otros ejercicios resueltos anteriormente, sin embargo, no son difíciles de asimilar. Casas 1. Se desea construir una casa con techo utilizando un material rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen de la caja?

De

acue

rdo a la figura, la casa formada así tendrá un volumen que se puede calcular con la

formula:

Regiones 2.

Conos 3.

Errores de aproximación

4.

Aproximaciones 5.

ejercicios matemática ii

Engineering