M atemticaEje r c ic iosRESUELTOSPa t r ic ioAlc a n oMa r t n e zDe r e c h os Re s e r va dosPSU- 1-PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos ReservadosPalabras inicialesEstimados usuari@s: Este material que pongo a su disposicin est creado a partir de las directrices dadas por el DEMRE para la PSU Matemtica ao 2011, en cuanto los ejes temticos y contenidos que abarca y el tipo de ejercicios que comprende. La prueba original consta de 75 ejercicios y se debe responder en un mximo de 2 horas y 25 minutos. Este documento contiene 20 preguntas similares a las que se encuentran en la prueba original. Para trabajar con este material el usuario NO deber hacer uso de calculadora.Atentamente;Patricio Alcano Martnez2PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 . Se t ien endos n mer os n a t u r a les , p y q.Se pu ede det er min a r s i s upr odu ct o espa ro impa r , s i:(1) p espa r(2) q esimpa rA) (1) pors s olaB) (2) pors s olaC) Amba sju n t a s ,(1) y (2)D) Ca dau n apors s ola(1) (2)E) Se r equ ier e in for ma cina dicion a lSolu c in :(1) pors s olaSi p espa r , en t on cescu a lqu ierpr odu ct o de p s er pa r .Lu ego, (1) pors s ola , s llevaadet er min a rs i el pr odu ct o pq espa ro impa r .(2) pors s olaSi q esimpa r ,en t on ceslapa r ida d de s upr odu ct o es t a r det er min a daporlapa r ida d del ot r o n mer o.Lu ego, (2) pors s ola , n ollevaadet er min a rs i el pr odu ct o pq espa ro impa r .Alt er n a t ivacor r ect a : A.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados32 . Enlacien ciademogr ficas e u t ilizaelcon cept ondice de f eminidad pa r ades cr ibir , enu n apobla cinh u ma n a ,laca n t ida d de mu jer esporca dacienh ombr es .Si encier t ar egins e r egis t r au nn dicede femin ida d 80, s ign ificaqu e mu jer esy h ombr eses t nenlar a zn :A) 8 : 1B) 5 : 4C) 4 : 5D) 1 : 8E) 1 : 4Solu c in :Sigu ien do la defin icinde n dice de femin ida d, s epu ede es t a blecer las igu ien t e r a zn :br es h om 100mu jer es 80Simplifica n do:5 : 454br es h om 100mu jer es 80= =Alt er n a t ivacor r ect a : C.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados33 . Seg nu n ar ecien t e in ves t iga cins ocia l, 13 de ca da20 mu jer es br a s ile a ss e s ien t ena qu eja da sde es t r sdebido alapr es inpora lca n za rcier t osn ivelesde in gr es o pa r ael h oga r .Seg nes t a scifr a s , qu por cen t a je dela sbr a s ile a ss e s ien t enes t r es a da s ?A) 13%B) 15%C) 26%D) 65%E) 75%Solu c in :Or den a n do losda t os :13de ca da20X de ca da100Llevaala pr opor cin :10020X13=Des peja n do:% 65 1002013X = =Alt er n a t ivacor r ect a : D.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados34 . El va lor n u mr ico de laexpr es in :=625257A) 1/ 5B) 5C) 25D) 75E) 125Solu c in :Aplica n do pr opieda des de la sr a ces enel n u mer a dor , qu eda :=625257( )=625257Enel n u mer a dors e ext r a e r a z y el den omin a dor s e expr es acomo pot en cia :( )4775562525=Dividien dopot en cia sde igu a l ba s e:125 5 5553 4 747= = =Alt er n a t ivacor r ect a : E.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados35 . El va lor n u mr ico de laexpr es in :=

+13282 log 5 logA) 8B) 4C) 2D) 1/ 2E) 1/ 4Solu c in :Se obt en dr pr imer o el r ecpr oco de laexpr es in , qu e s u r ge del expon en t e(-1):=

+13282 log 5 log2 log 5 log832+Aplica n do pr opieda desen el n u mer a dor , s econ vier t e lapot en cia de expon en t e fr a ccion a r io en r a z. Enel den omin a dors e plicalapr opieda dde las u ma de loga r it mos :2 log 5 log832+= ) 2 5 ( log) 8 (2 3Res olvien do:) 2 5 ( log) 8 (2 3= 41410 log22= =Alt er n a t ivacor r ect a : B.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados36 . Si x =2 , en t on ces , elva lorn u mr ico de laexpr es in : 2xx1

es :A) 0B) 1C) 2D) 1/ 2E) 3/ 2Solu c in :Tr a ba ja n do conlaexpr es ina l in t er ior del pa r n t es is , s e r ea liza las u ma a lgebr a ica :xx 1xx12= Aplica n do el expon en t e n ega t ivo:2222x 1xxx 1

=

Reempla za n do:22x 1x

= 22) 2 ( 12

==

22 12=

212212=Alt er n a t ivacor r ect a : C.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados37 . Laexpr es in :16 x 254 =A) 2) 4 x 5 ( B) 2 2) 4 x 5 ( C) 2 2) 3 x ( 5 D)) 4 x 5 ( ) 4 x 5 (2 2 +E)) 3 x ( ) 4 x 5 ( 22 2+ Solu c in :An a liza n do la expr es in s e llegaadet er min a rqu e s et r a t adel des a r r ollo del pr odu ct o de u n as u mapors udifer en cia .2 2b a ) b a ( ) b a ( = +Fa ct or iza n do:16 x 254 =) 4 x 5 ( ) 4 x 5 (2 2 +Alt er n a t ivacor r ect a : D.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados38 . Al s implifica r laexpr es in : 9 x9 x 6 x22 + , qu eda :A) 2)3 x3 x(+B) 3 x3 x+C) 3 x3 x+D) 3 x1E)X 10 Solu c in :An a liza n do la expr es in , s e llegaadet er min a rqu e eln u mer a dor s e t r a t adel des a r r ollo de u ncu a dr a do de bin omioy el den omin a dor , u n as u mapors udifer en cia .Fa ct or iza n do:) 3 x ( ) 3 x () 3 x (9 x9 x 6 x222 + = + Simplifica n do por : ) 3 x ( 3 x3 x) 3 x ( ) 3 x () 3 x (2+= + Alt er n a t ivacor r ect a : B.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados39 . El va lor de lain cgn it aenlaecu a cin :1 10 log ) 10 x 2 ( log = es :A) 0B) 1/ 2C) 1D) 45E) 55Solu c in :Se t r a t a de u n aecu a cin loga r t mica , conloga r it mosen ba s e 10. Pa r as us olu cinpr imer o s e expr es a r el s egu n do miembr o, 1, como log 10. En t on ces :10 log 10 log ) 10 x 2 ( log = Aplica n do pr opieda desde losloga r it mos :10 log 10 log ) 10 x 2 ( log + = ) 10 10 ( log ) 10 x 2 ( log = 100 log ) 10 x 2 ( log = Ca n cela n do loga r it mos :100 10 x 2 = 10 100 x 2 + =552110x = =Alt er n a t ivacor r ect a : E.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 0 . La in ecu a cin s igu ien t e:3 x 2 5 > , t ien ecomo s olu cin :A)1 x sB)1 x >C)1 x sD)1 x >E)4 x >Solu c in :Aplica n do pr opieda des :3 x 2 5 > x 2 3 5 > x 2 2 >x 1 >Esdecir :1 x sAlt er n a t ivacor r ect a : A.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 1 . Cier t at cn ica pa r acon feccion a rcer micacon s is t e encocerla spieza sa1.150C y lu ego ba ja r s ut emper a t u r alin ea lmen t e, ar a znde 75C porh or a , h a s t aa lca n za rlat emper a t u r a a mbien t e. Si T eslat emper a t u r adela spieza sdecer mica ,enC, ytel t iempo de en fr ia do, enh or a s ; de la sfu n cion ess igu ien t es , cu l r epr es en t ala t emper a t u r a de lacer micaenfu n cindel t iempo du r a n t e el per odode en fr ia mien t o?A) T = 75 +1.150 tB) T = 1.150 + 75 tC) T = 1.150 - 75 tD) T = 75 - 1.150 tE) t= 75 T - 1.150Solu c in :Un afu n cinlin ea l esde lafor may = a + bx, don de la con s t a n t e a cor r es pon de ala scon dicion esin icia les(enes t e ca s o cu a n do t= 0, esdecir ,cu a n do comien zael en fr ia mien t o) ylacon s t a n t e b esla pen dien t e ova r ia cinqu eexper imen t alava r ia ble depen dien t e (en es t e ca s o lat emper a t u r aT), por ca dau n ida d de va r ia cinde lava r ia ble in depen dien t e (enes t e ca s o el t empo t ).Como a l in icio del en fr ia mien t o lat emper a t u r ade lacer mica es1.150C, en t on cesa=1.150.Como lacer micas e en fr aar a zn de 75C porh or a , en t on ces b = -75. Nt es equ e el s ign o n ega t ivo r evelaladis min u cin de lat emper a t u r aT amedidaqu e t r a n s cu r r e elt iempo t .En t on ces , lafu n cinlin ea l de en fr ia mien t o enes t eca s o es : T = 1.150 - 75 t .Alt er n a t ivacor r ect a : C.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 2 . De loss igu ien t esgr ficos , cu l r epr es en t amejorlafu n cin : x3 10 y = ; con 0 x > ?A)B)C) D)E) Solu c in :Lafu n cin da da , n o eslin ea l. Porlo t a n t o, s e des ca r t aa lt er n a t ivaA.Cu a n do x = 0, elva lordelafu n cines 10. Porlo t a n t o, s e des ca r t aa lt er n a t ivaE.Lafu n cin de lafor maxb a y = , escr ecien t e cu a n do1 b > , como enes t e ca s o enqu e b = 3. Porlo t a n t o, s e des ca r t a la a lt er n a t ivaB.Lafu n cin de lafor maxb a y = , esexpon en cia l,lacu a l t ien e el cr ecimien t o t pico qu e s e mu es t r aenlaa lt er n a t iva C.Alt er n a t ivacor r ect a : C.xy10 0 xy10 0 xy10 0xy0 3yx100 PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 3 . Se t ien e u nt r i n gu lo r ect n gu lo, con n gu lo in t er n o o a gu do, t a l qu e4 , 0 s en = o .Cu l esel va lordeo t g ?A)84B)2121C) 141D) 211E) 212Solu c in :Enu nt r i n gu lo r ect n gu lo, el s en o de u n n gu lo eslar a znen t r e el ca t et o opu es t o a l n gu lo y la h ipot en u s a .En t on ces :Como4 , 0 s en = o = 104= 52, gr fica men t e es t o es :Se ca lcu lael ca t et oAB , media n t e el t eor emade Pit gor a s .2 22 5 AB =21 AB =Se ca lcu laa h or a o t g , a plica n do la defin icinde lar a znt a n gen t e:212t g = oAlt er n a t ivacor r ect a : E.A BC52oA BC52o21PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 4 . Enlafigu r a , ABCDE pen t gon o in s cr it o enu n acir cu n fer en ciade cen t r o O.Espos ible ca lcu la rlaa lt u r a OP del t r i n gu lo ABO, s i:(1) Ra dio de lacir cu n fer en cia= 10(2) ABCDE pen t gon o r egu la rA) (1) pors s olaB) (2) pors s olaC) Amba sju n t a s ,(1) y (2)D) Ca dau n apors s ola ,(1) (2)E) Se r equ ier e in for ma cina dicion a lSolu c in :(1) pors s ola . Ra dio de lacir cu n fer en cia= 10Cones t ain for ma cines pos ible det er min a rqu e en el t r i n gu lo ABO, 10 BO AO = = .Fa lt as a berla medidadeAB .Porlo t a n t o, (1)pors s olan o llevaa r es olverel pr oblema .(2) pors s ola . ABCDE pen t gon o r egu la rCones t ain for ma cines pos ible det er min a rqu eEA DE CD BC AB = = = = y qu e los n gu loscen t r a less oncon gr u en t es= 72. Porlo t a n t o, los n gu losenA y en B s oncon gr u en t esymiden 54.Fa lt as a bera lgu n amedidade losla dosdel t r i n gu lo ABO.Porlo t a n t o, (2)pors s olan o llevaa r es olverel pr oblema .Amba sju n t a s ,(1) y (2)Enes t e ca s o s e t ien e la medidade u nla do del t r i n gu lo r ect n gu lo APO y s e t ien e u n n gu lo OAP = 54. Con es t osdosda t os ,a plica n do t r igon omet r as e pu ede ca lcu la rlaa lt u r a OP .Alt er n a t ivacor r ect a : C.oA BCDEPPSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 5 . Enlas igu ien t efigu r a s e obs er va lat r a n s for ma cinis omt r ica :A) Simet r aa xia lB) Simet r apu n t u a lC) Rot a cinde 90enelpla n oD) Rot a cinde 180enel pla n oE) Tr a s la cinen el pla n oSolu c in :An a liza n do la figu r aespos ible dis t in gu ir qu e u n a pa r t e de ellaes el r eflejo(o s imet r a ) de laot r a . Enlafigu r as igu ien t e s e h at r a za do u n ar ect aver t ica l, qu e esel eje de s imet r a .Porlo t a n t o, s e t r a t adeu n as imet r a axial.Alt er n a t ivacor r ect a : A.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 6 . Den t r o de u nva s o ciln dr ico r ect o de 10 cm de di met r o qu e es t cona gu ah a s t alamit a d de s un ivel, s e depos it au n objet o de 253cm de volu men , qu e qu edacomplet a men t e cu bier t o de a gu a , h a cien do s u bireln ivel de es t a .Cu n t oscen t met r oss u be el n ivel del a gu aenel va s o?A)t 25B)t 5C)t 2D)t / 5E)t / 1Solu c in :El a gu as u bes un ivel enu n amedida igu a l alaa lt u r ade u ncilin dr o de volu men253cm y de r a dio 5 cm.Como el volu mende u n cilin dr o de r a dio ry a lt u r ahesigu a l a :h r V2t = , en t on ces :25 h r2= tReempla za n do r= 5:25 h 52= t25 h 25 = tDes peja n do h y s implifica n do:t=2525ht=1hAlt er n a t ivacor r ect a : E.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 7 . Enlafigu r a , PQR t r i n gu lo r ect n gu lo enR y RS = a lt u r a .Si PS = 4 yQS = 6, en t on ces ,QR =A)3 2B)6 2C)13 2D)15 2E)10Solu c in :Agr ega n do losda t osr eleva n t esalafigu r a , qu eda :Aplica n do el t eor emadeEu clidesenel t r i n gu loPQR:24 6 4 h2= =Ah or a , a plica n do el t eor emade Pit gor a senel t r i n gu lo QSR:36 24 QR2+ =60 QR =15 2 QR =Alt er n a t ivacor r ect a : D.Ot r a s olu c in : pors erPQR t r i n gu lo r ect n gu lo yRS a lt u r a , de a cu er do a l t eor ema de Eu clidess e daqu e:) 4 6 ( 6 QR2+ =0 6 QR2=Llega n do alamis mas olu cin :15 2 QR =RP QSRP QS4 6hPSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 8 . Enlafigu r a , s emicir cu n fer en ciade di met r oPQ y cen t r o O,conu ncr cu lo in s cr it o t a n gen t e en el cen t r o O.Si20 PQ = , en t on ces , el r eade lar egina ch u r a da esigu a l a :A)t 5B)t 10C)t 25D)t 40E)t 50Solu c in :r eadel s emicr cu lo de r a dio 10:t = t 50 10212r eadel cr cu lo pequ e o, de r a dio5:t = t 25 52Difer en cia=t = t t 25 25 50Alt er n a t ivacor r ect a : C.PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados31 9 . Un es t u dio r ea liza do con u n amu es t r aa lea t or iade empr es a sde dis t in t osr u br os , r eca b in for ma cindel n mer o de mu jer esqu e ocu pa nca r gosdir ect ivosenla empr es a .Conlosda t osgen er a doss e con s t r u y el s igu ien t e gr fico:Seg nel gr fico, qu por cen t a je de la sempr es a sde lamu es t r at ien enmu jer esenel n ivel dir ect ivo?A) 80%B) 60%C) 32%D) 28%E) 12%Solu c in :Seg nel gr fico, s e en cu es t a r on75 empr es a s .De es t a s , 60 t en a na l men osu n amu jerens un ivel dir ect ivo.Lleva n do a por cen t a je:% 80 1007560P = =Alt er n a t ivacor r ect a : A.24211815129630NN de casosN de mujeres en el nivel directivo0 1 2 3 4PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados32 0 . Se t ien e u n au r n a A con3 bola sr oja sy 2 ver des , y u n a u r n aB con5r oja sy 3 ver des . Se r ea lizaconella sel s igu ien t e exper imen t o: s e eligeu n au r n aa l a za ry lu ego s e ext r a e de ellau n abola a l a za r .Lapr oba bilida d de ext r a e bolaver deses :A) 1/ 5B) 1/ 10C) 3/ 16D) 5/ 13E) 31/ 80Solu c in :Lapr oba bilida d de elegiru r n aA es : P(A) = 1/ 2Lapr oba bilida d de ext r a erbolaver dede lau r n aA es : P(V/ A) =2/ 5Lu ego, lapr oba bilida d de elegiru r n a A y ext r a er bolaver de es :515221= Lapr oba bilida d de elegiru r n aB es : P(B) = 1/ 2Lapr oba bilida d de ext r a erbolaver dede lau r n aBA es : P(V/ B) =3/ 8Lu ego, lapr oba bilida d de elegiru r n a B y ext r a er bolaver de es :1638321= Lapr oba bilida d pedida ,en t on ces , eslas u madea mba spr oba bilida des , ya qu e ext r a erbolaver de pu ede ocu r r irde cu a lqu ier ade es t a s dosma n er a s :80318015 1616351=+= +Alt er n a t ivacor r ect a : E.