resumen total psu matemÁtica
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Resumen total PSUTRANSCRIPT
1
60 : 2
30 : 2
15 : 3
5 : 5
1
2 · 2 · 3 · 5
60
6 10
2 3 2 5
2 · 2 · 3 · 5
RESÚMEN DE CONTENIDOS
MÍNIMOS PARA LA PSU (Para Savane)
I) Conjuntos numéricos y proporcionalidad.
Naturales: { }1,2,3,4,5,6,...=
Notación Decimal. 8.965 = 8·103 + 9·102 + 6·101 + 5·100 Cifras o dígitos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Suma y resta. Minuendo Sustraendo Ej. 18.343.275 - 5.637.107 = i) La suma de dos naturales siempre
resulta otro natural. ii) Si el minuendo es mayor que el
sustraendo el resultado es positivo. iii) Si el minuendo es menor que el
sustraendo el resultado es negativo. iv) El antecesor de un natural n es n – 1. v) El sucesor de un natural n es n + 1. Multiplicación. i) Al multiplicar dos naturales el resultado
es siempre natural. ii) Si a · b = c , entonces c es múltiplo de
a y b. iii) 2·n, es un número par. iv) 2·n + 1 es un número impar
+ o - Par Impar Par par Impar Impar impar par
· Par Impar
Par par par Impar par impar
Números primos: son aquellos naturales mayores que 1, que sólo tienen dos divisores; la unidad (1) y el mismo número. {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…}
Números compuestos: son aquellos números mayores que uno que no son primos. {4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,…} Descomposición prima de un número o factorización de un número. Tabla de descomposición 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 Diagrama de árbol 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 Conjunto de múltiplos. M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...} Mínimo común múltiplo (m.c.m) El m.c.m entre dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. Veamos el ejemplo. 6 8 :2 3 4 :2 2·2·2·3 = 24 3 2 :2 3 1 :3 1
2
División Algoritmo de la división: Dividendo = cuociente · divisor + resto i) Si el dividendo es mayor que el divisor,
entonces el cuociente es mayor o igual a 1.
ii) Si el dividendo es múltiplo del divisor el resto es 0 (división exacta).
iii) Si un número al dividirlo por otro da resto cero, se dice que es divisible por el otro.
Conjunto de divisores D6 = {1,2,3,6} Máximo común divisor (M.C.D.): es el mayor de los divisores comunes. 6 8 :2 3 4 como los números 3 y 4 no tienen divisor primo común se detiene la tabla. M.C.D.(6,8) = 2 Reglas de divisibilidad i) todo número es divisible por 2 si su
última cifra es par. ii) todo número es divisible por 3, si la
suma de las cifras o dígitos es múltiplo de 3.
iii) todo número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
iv) todo número es divisible por 5. si su última cifra es 0 o 5.
v) todo número es divisible por 6, si lo es por 2 y 3.
vi) todo número es divisible por 8, si sus 3 últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
vii) todo número es divisible por 9, si la suma de sus cifras o dígitos es múltiplo de 9.
ENTEROS ( )
{ }... 3, 2, 1,0,1,2,3...= − − −
Valor Absoluto: es la distancia entre un número y el 0. Ej.: 4 4= y 4 4− =
En general: n, si n 0≥ n =
-n, si n < 0 Suma: la suma de números de igual signo, conservan el signo. Resta: i) Si el minuendo es mayor que el sustraendo el resultado es positivo. ii) Si el minuendo es menor que el sustraendo, el resultado es negativo. Multiplicación: Al multiplicar cantidades de igual signo, el resultado es positivo, y si son de distinto signo el resultado es negativo. División: En la división la regla de signos es igual que en la multiplicación. Potencia: El valor de una potencia es positivo si, su base es positiva y el exponente es cualquiera, y si su base es negativa y el exponente es par. El resultado de una potencia es negativo si su base es negativa y su exponente es impar. Orden de las operaciones: Al operar un conjunto de operaciones, se debe respetar el siguiente orden 1º Paréntesis 2º Potencias 3º Multiplicación y división 4º Suma o resta
3
RACIONALES (Q)
Q = { a/a b b 0
b∧ ∈ Ζ ∧ ≠ }
Amplificación: a n·ab n·b= Ej. 2 2·3 6
3 3·3 9= =
Simplificación: a a:nb b :n= (esto se puede hacer cuando el
numerador y el denominador son múltiplos de n)
Ej. 18 18 : 9 2 136 36 : 9 4 2
= = =
Observación: Siempre es conveniente simplificar si es posible antes de operar, los resultados se han de simplificar al máximo. Orden en racionales i) Dos racionales son iguales si:
a ca d b c
b d= ⇔ ⋅ = ⋅ Ej.
4 127 21= son
iguales ya que 4 · 21 = 7 · 12, 84 = 84. ii) Para saber cuando un racional es mayor
que otro, consideraremos tres criterios de comparación, a saber:
1er criterio: si dos racionales tienen igual de denominador entonces el mayor de ellos es aquel que tiene mayor numerador. 2º criterio: si dos racionales tiene igual numerador, entonces el mayor es aquel que tiene menor denominador.
3er criterio: a c
a d b cb d> ⇔ ⋅ > ⋅
Suma y Resta. a c ad bcb d bd
±± =
Ej. 2 1 2·5 1·3 10 3 133 5 3·5 15 15
+ ++ = = =
Multiplicación. a c ac·
b d bd=
Ej. 3 2 6 2·
5 3 15 5= =
División: a c a d a d
:b d b c b c
⋅= ⋅ =
⋅
Ej. 1 2 1 3 3:
2 3 2 2 4= ⋅ =
Potencias En este conjunto podemos enunciar las propiedades de potencias que nunca deben olvidar, a saber: i) a1 = a ii) 1n = 1 iii) an · bn = (ab)n iv) an · am = an+m
v) a-n = n
1
a
vi) an : bn = (a:b)n vii) an : am = an-m viii) (an)m = an·m ix) a0 = 1, si a ≠ 0 x) 0n = 0, si n >0
Fracción propia Es cuando el numerador es menor que el denominador.
Ej. 34
, 3 < 4, la representación gráfica es.
1 entero Observación: toda fracción propia es menor que un entero (0 < f.p. < 1).
4
Fracción impropia Es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.
Ej. 74
, 7 > 4. la representación gráfica es:
1 entero 1 entero
1 + 34
= 31
4
Observación: toda fracción impropia es mayor que un entero, por tanto se puede expresar como número mixto. Para llevarla a número mixto se debe dividir el numerador por el denominador, el cuociente es la parte entera y el resto es el numerador de la parte racional siempre se debe conservar el denominador. Para llevar un número mixto a fracción impropia se debe multiplicar el denominador por la parte entera y a este resultado sumarle el numerador de la parte racional. Número decimal Ej. 73,84 = 7·101 + 3·100 + 8·10-1 + 4·10-2 La cifra que multiplica a: 10-1; se llama décimo 10-2; se llama centésimo 10-3; se llama milésimo, etc. Es decir el número 73,84 se lee como 73 enteros y 84 centésimos. Todo racional se puede llevar a decimal dividiendo el numerador por el denominador.
Ej. 34
= 0,75
30 : 4 = 0,75 20 0 Decimales finitos: son aquellos que tienen una cantidad determinada de cifras en la parte decimal.
Ej. 0,25 Todo decimal finito es un racional y para llevarlo a forma racional, se anota en el numerador el número sin coma, y en el denominador un uno con tantos ceros como cifras haya en la parte decimal.
Ej. 0,25 = 025 25 1100 100 4
= =
Decimales infinitos periódicos puros: son aquellos que en su parte decimal tienen una o más cifras que se repiten indefinidamente. Las cifras que se repiten se llaman periodo. Ej. 0,3333... = 0,3 Todo decimal periódico puro es un racional. Para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el periodo y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.
Ej. 0,333... = 3 19 3=
Si además del periodo aparece parte entera, en el numerador se anota el número sin coma y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.
Ej. 2,333... = 23 2 21 79 9 3−
= =
Decimales infinitos semiperiódicos: son aquellos que en su parte decimal además del periodo tienen una o más cifras que no se repiten (ante periodo). Ej. 0,2333... = 0,23 Todo decimal semiperiódico es un racional y para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el número sin coma menos al ante periodo, y en le denominador se anotan tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el ante periodo.
Ej. 0,2333... = 23 2 21 790 90 30−
= =
5
Si además de lo anterior el número tiene parte entera, se transforma de la misma forma.
Ej. 4,2333... = 423 42 38190 90−
=
Decimales infinitos no periódicos: son aquellos que en su parte decimal tienen una cantidad indeterminada de cifras en las cuales jamás se puede establecer un periodo. Ej. π = 3,1415... 0,1010010001... Estos decimales no se pueden llevar a forma racional, por lo tanto reciben el nombre de Irracionales ( '). La unión de los Racionales con los Irracionales genera el gran conjunto de los Reales. Operatoria entre racionales e irracionales: i) Al sumar o restar un racional con un irracional el resultado es siempre irracional. ii) Al sumar o restar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. iii) Al multiplicar un racional con un irracional en un único caso resulta racional, es cuando el racional es cero, en cualquier otro caso da irracional. iv) Al multiplicar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. Operatoria entre decimales. Para sumar o restar decimales estos deben ser ordenados de acuerdo a la coma. Ej. 12,356 + 103,54 =115,896 12,356 + 103,54 115,896
Para multiplicar decimales, estos se multiplican igual como si fueran enteros, y al resultado final se corre la coma tantos lugares como cifras decimales hayan en los dos números que se multiplicaron. Ej. 2,35 · 1,2 = 2,82 2 , 3 5 · 1,2 4 7 0 2 3 5 2,820 (la coma se corre 3 lugares) Para dividir decimales, estos se deben amplificar para que el divisor sea entero, esto se hace corriendo la coma hacia la derecha en ambos números y luego se rellena con ceros. Si uno requiere encontrar más decimales en una división se debe agregar cero al resto y seguir dividiendo. Ej. 4,6 : 0,23 = 20 460 : 23 = 20 00 0 Regularidades numéricas y cuadrados mágicos. Regularidades numéricas: son aquellas secuencias de números en las cuales se puede inferir un patrón que las generan. Ej. Los números pares 2, 4, 6, 8, … , estos se generan multiplicando por 2 todos los naturales (2n). Estas situaciones tiene dos formas de preguntarse, una de ellas es determinar el siguiente y la otra es determinar el término general o determinar un término muy lejano. Una de las maneras más simple de determinar el siguiente es hacer las restas de dos consecutivos, si el resultado muestra un patrón este se aplica al último para determinar el siguiente. Para determinar el patrón o un elemento muy lejano se trata de descubrir el término general. Si en las primeras restas no se distingue un patrón se hacen las restas de las primeras restas hasta que aparezca un patrón.
6
8, 11, 14, 17,
3 3 3 3
20
x
y
Ej. Si 8, 11, 14, 17, … , entonces determinar el siguiente y determinar el término 100. El siguiente El término 100 Es conveniente hacer una tabla para encontrar el patrón
Luego el término 100 es 5 + 100 · 3 = 305
Razones, proporciones y Tanto por ciento
Razón: es un cuociente entre dos reales. ab
= a : b , se lee “a es a b”
Observación: una razón es similar a un racional, por tanto se pueden amplificar o simplificar. Proporción: Es una igualdad entre dos o más razones. a cb d= , se lee “ a es a b como c es a d”
También se escribe como a : b = c : d, de esta forma de escribir es que a y d se llaman extremos, b y c se llaman medios. Propiedad fundamental:
a c
a d b cb d= ⇔ ⋅ = ⋅
Se dice que en toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Ej. Si en un cine hay 800 adultos y 400 niños, entonces podemos escribir:
adultos 800niños 400
= y simplificando, tenemos
adultos 2niños 1
= . Ahora decimos que los adultos
son a los niños como 2 es a 1. Recuerda que todo número que está dividiendo en un lado de una igualdad pasa multiplicando al otro lado o al revés. Cantidades proporcionales: Ej. 1 Si 3 kilos de manzanas cuestan $ 750, entonces,¿cuánto cuestan 5 kilos? Planteamos la regla de tres; 3 k $ 750 aumenta 5 k $ x aumenta Al hacer un análisis simple detectamos que al aumentar una la otra también aumenta, por lo tanto las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto multiplicamos cruzado e igualamos. 3 · x = 5 · 750
x = 5·750
3
x = $ 1.250 Formalmente en matemáticas dos cantidades son directamente proporcionales cuando el cuociente de ellas es constante. La gráfica de dos cantidades directamente proporcionales es una recta que comienza en el origen.
x
Cte.y=
Ej. 2. Si 6 obreros demoran en construir una muralla en 3 días, entonces ¿cuánto demoraran en terminar la misma muralla 9 obreros? Planteamos la regla de tres: 6 obreros 3 días aumenta 9 obreros x días disminuye Como al haber más obreros se deben demorar menos, entonces al aumentar una y
1 8 5+3 5+1·3 2 11 5+3+3 5+2·3 3 14 5+3+3+3 5+3·3 4 17 5+3+3+3+3 5+4·3 n 5+n·3
7
x
y
disminuir la otra, las cantidades son inversamente proporcionales, cuando descubres que las cantidades son inversamente proporcionales, debes multiplicar en línea e igualar. 6 · 3 = 9 · x 18 = 9 · x
189
= x
2 días = x Formalmente se dice que cuando las cantidades son inversamente proporcionales el producto de ellas es constante. La gráfica de cantidades inversamente proporcionales es la que se muestra a continuación. x · y = Cte. Serie de razones o proporción compuesta Si tenemos más elementos que los 4 que forman una proporción simple, entonces estamos en presencia de una proporción compuesta. a : b : c : … = m : n : p : …, am
= k ; bn
= k ; cp
= k ; … , k es lo que se
llama constante de proporcionalidad. Esto nos lleva finalmente a: a = m · k ; b = n · k ; c = p · k ; … Eje. Si la razón entre las edades de Juan, Pedro y Daniel es 1 : 2 : 3, entonces, ¿cuál es la edad de cada uno si sus edades suman 36 años? Juan = 1·k, Pedro = 2·k , Daniel = 3·k y si Juan + Pedro + Daniel = 36 años, reemplazando tenemos: 1k + 2k + 3k = 36 6k = 36 k = 6 Finalmente sustituimos k, resultando:
Juan =1 · 6 = 6 años Pedro = 2·6 = 12 años Daniel = 3·6 = 18 años Tanto por ciento o porcentaje. En matemática para hacer más fácil el entender ciertas fracciones o decimales, se crearon los porcentajes. Es decir debes entender que los porcentajes son otra forma de decir algunas fracciones.
Ej. 14
= 25% = 0,25
Por lo tanto: a
a%100
=
Ej. El 80% de los alumnos llegó a la hora, si el curso tiene 30 alumnos, ¿cuántos alumnos llegaron a la hora? 80100
· 30 = 80·30 2.400100 100
= = 24 alumnos
Ej. En un cine hay 250 niños y 1.250 adultos, luego ¿qué porcentaje de los adultos son los niños? Obtengamos la fracción correspondiente: niños
adultos, tenemos
2501.250
, puedes
simplificarla antes o lo dejas para el final. Para llevar toda fracción a porcentaje, se debe multiplicar por 100
250
1.250 · 100 =
250·1001.250
= 1005
= 20%
Ej. En una liquidación se hace el 20% de descuento, entonces, ¿cuánto se pagará por un artículo que costaba $ 5.000? 100% - 20% = 80%, significa que debes pagar el 80% del valor inicial. 80
5.000100
⋅ = $ 4.000
Ej. El 20% del 30% de 500 es: 20 30
500100 100
⋅ ⋅ =600 50010.000
⋅= 30
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El algebra tiene por objeto trabajar con cantidades literales, a ellas se les aplica las reglas que rigen a los Reales (algebra en ú). Cantidad literal: es una cantidad compuesta de un número real y letras, las cuales representan a números reales. 3ab2 es una cantidad literal 3; se llama factor numérico o coeficiente. ab2 se llama factor literal. Suma o resta: sólo se podrán sumar o restar cantidades literales si estas tiene el mismo factor literal. Si tiene igual factor literal se suman o restan los coeficientes, conservando el factor literal, la suma o resta de cantidades literales la sustenta la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Distributividad. a·(b + c) = ab + ac Ejemplos: 3ab2 + 5ab2 = 8ab2 Multiplicación. No existe impedimento para multiplicar cantidades literales, y se aplica la propiedad de asociatividad de la multiplicación. 3 ab2 · 5 ab = (3·5)(a·a)(b2·b) = 15a2 b3 División: en la división de cantidades literales se aplica la simplificación.
3ab2 : 5 ab = 23ab 3b
5ab 5=
Potencia: en esta operación se aplica la propiedad de potencia “ an·bn = (a·b)n. (3ab2 )3 = 33 · a3 · (b2 )3 = 27· a3 ·b6
Polinomios: están compuestos por dos o más cantidades literales de distinto factor literal, sumadas y/o restadas. 3ab2 + 5ab (por tener dos cantidades literales se llama binomio) Polinomio formal. Es aquel en que todas las cantidades literales tienen la misma letra en el factor literal pero distintas potencias de ella. 5x4 + 3x3 -2x2 +5x +1
Operatoria de polinomios. Suma o resta. Para sumar o restar polinomios se suman o restan las cantidades literales de ambos polinomios que tengan el mismo factor literal (reducción de términos semejantes). 5x4 + 3x3 -2x2 +5x +1 – (4x4 - 7x3 +5x +4) = 5x4 - 4x4 + 3x3 + 7x3 - 2x2 + 5x - 5x+1 -4 = x4 + 10x3 -2x2 – 3 Recuerda que un signo menos cambia todos los signos del paréntesis. Multiplicación. Para multiplicar polinomios el primer término se multiplica por cada uno de los términos del segundo polinomio, e segundo término de igual forma hasta el último termino de primer polinomio, luego se reúnen los términos semejantes. (-2x2 +5x +1)·(x +1) =
-2x2 ·x - 2x2 ·1 + 5x·x + 5x · 1 + 1 · x + 1 · 1
-2x3 - 2x2 + 5x2 + 5x + x + 1 Productos notables: son productos que aparecen con bastante frecuencia, por tanto hay que tenerlos siempre presente, te presentamos los dos mas usados; Cuadrado de binomio: (a " b)2 = a2 " 2ab + b2 Suma por su diferencia: (a + b)·(a – b) = a2 - b2 Factorización: es o son los métodos que permiten expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios. A continuación veremos los métodos más usados para este nivel. 1er caso: Factor común; es cuando todos los términos del polinomio tiene como factor; un número, una cantidad literal o un polinomio, para extraer el factor común se aplica la distributividad. 12a2 b + 6ab2 – 4ab 2ab(6a + 3b – 2)
9
2º caso: si un polinomio tiene dos términos este se debería factorizar mediante suma por diferencia. 16a2 – 81 (4a + 9)(4a – 9) 3º caso: polinomios de tres términos. 3-1) trinomios que son cuadrado de binomio, lo recomendable que cuando enfrentes un polinomio de tres término veas si es posible un cuadrado de binomio, y para eso debes observar lo siguiente: a) que hayan dos cuadrados perfectos positivos. b) el otro término debe ser el doble del producto de la raíz del primer cuadrado por la raíz del segundo cuadrado.
a2 + a + 14
; hay dos cuadrados; a2 y 14
,
2a = a y 14
= 12
, y 2· 2a ·14
= a,
entonces es un cuadrado de binomio, de la
forma:(a + 12
)2
3-2) Trinomios que no son cuadrados. 3-2-1) Trinomios de la forma; x2 " (a + b)x + ab = (x " a)(x " b) x2 + 11x + 18 ; ab = 18 y a + b = 11, los números a y b son 9 y 2, luego x2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9) 3-2-2) Trinomios de la forma; x2 " (a - b)x - ab = (x + a)(x - b) x2 - 4x - 32 ; ab = 32 y a – b = 2, los números son 4 y 8, como el término central es negativo el número mayor será negativo. x2 - 4x - 32 = (x + 4)(x – 8) 3-2-3) Trinomios de la forma; acx2 +(ad + bc) x + bd = (ax + b)(cx + d) 6x2 + 13x + 5; en estos casos hay un método antiguo bastante agradable, y dice así: i) multiplicar el coeficiente de x2 con el término sin x, 30. ii) buscar dos números que multiplicados dan 30 y sumados den 13, 3 y 10.
iii) separar el término central de acuerdo a los números encontrados: 6x2 + 3x + 10x + 5; apareamos y sacamos factor común, 3x(2x + 1) + 5(2x + 1), ahora resulta que (2x + 1) es factor común, lo extraemos. (2x + 1)(3x + 5) Observación: en el punto ii) se respeta la misma regla de signos de los métodos 3-2-1 y 3-2-2. 4º caso. Agrupamiento: cuando un polinomio tiene más de tres términos este se debe agrupar de acuerdo a formas conocidas, es decir todas las anteriores. Es posible que intentes más de una vez agrupar, no es raro, pero debes seguir intentándolo. x2 – y2 + 2x + 1; como vez hay suma por diferencia, pero los binomios que se generan no son iguales por tanto de esta forma no se puede factorizar. (x + y)(x – y) + 2x +1 Agrupemos de otra forma: x2 + 2x + 1 - y2 ;como veras ahora aparece un cuadrado de binomio: (x + 1)2 - y2 ; ahora tenemos suma por diferencia, quedando: (x + 1 + y)( x + 1 – y) Como en muchos casos deberás factorizar un polinomio y te puedes perder en buscar la factorización, es por esto que te recomendamos seguir los siguientes pasos: Estrategia general de factorización: 1º Intentar factor común. 2º Contar el número de términos del polinomio: 2-1) si tiene dos términos intentar suma por diferencia. 2-2) si tiene tres términos intentar primero cuadrado de binomio, si no trinomio que no son cuadrados. 2-3) si tiene más de tres términos agrupar convenientemente. 3º El polinomio debe quedar totalmente factorizado.
10
Fracciones algebraicas Son aquellas en que tanto en el numerador como en el denominador aparecen expresiones algebraicas, se operan de la misma forma que los racionales y el trabajo principal en ellas es la simplificación. Ecuación: es una igualdad en la que hay uno o más términos desconocidos(incógnita) Ej. 2·x – 5 = 17 Para resolver una ecuación se debe despejar la incógnita utilizando las propiedades de la igualdad. Propiedades de la igualdad i) a = b ⇔ b = a ; esta propiedad nos indica que la incógnita la podemos despejar en cualquier lado de la igualdad la incógnita, despéjala en el lado que quede positiva. ii) a = b ⇔ a ± c = b ± c; esta propiedad nos permite pasar sumando o restando una cantidad de un lado al otro lado. iii) Si a = b y b = c ⇒ a = c; esta nos permite despejar de una igualdad una incógnita y reemplazarla en otra igualdad. iv) a = b ⇔ a·c = b·c, si c ≠ 0; esta nos permite pasar de un lado a otro una cantidad multiplicando o dividiendo, se debe tener la precaución de que la cantidad que se va a multiplicar o dividir no sea 0. v) Si a = b y c = d ⇒ a ± c = b ± d; esta nos permite sumar o restar dos ecuaciones. Ej. 2x – 5 = 17 2x = 17 + 5 (pasamos –5 sumando al otro lado propiedad ii) 2x = 22 /:2 (dividimos por 2 la ecuación, propiedad iv) x = 11 Sistemas de ecuaciones lineales: Es el conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. ax + by = c dx + ey = f
Métodos de resolución algebraicos. Son las distintas formas que hay para resolver un sistema de ecuaciones, ahora conoceremos algunos, todos estos tiene el objetivo de transformar un sistema en una ecuación con una incógnita. Sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones, para reemplazar el resultado en la otra ecuación. x – 3y = 6 2x + y = 3 Despejemos x de la primera ecuación: x = 6 + 3y, reemplazamos x en la segunda ecuación; 2(6 + 3y) + y = 3 12 + 6y + y = 3 7y + 12 = 3 7y = 3 – 12 7y = -9
y = 79−
Finalmente se reemplaza el valor de y, para obtener x. Reducción: este método consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones de manera tal que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo para restar o sumar las dos ecuaciones. x – 3y = 6 2x + y = 3 Multiplicamos la primera ecuación por 2, luego: 2x – 6y = 12 2x + y = 3 a la primera ecuación le restamos la segunda ecuación, luego: -6y – y = 12 – 3 -7y = 9
y = 9 97 7
−=
−
11
x
y
x1 x2
y1
y2
x2 -x1
y2 - y1
A
B
a b
a b
Problemas de planteos Son problemas de enunciado verbal que debe transformarse en una proposición matemática (ecuación). Lo recomendable para enfrentar adecuadamente estos problemas es la siguiente estrategia. Estrategia general para resolver problemas de planteos: 1. Leer total y cuidadosamente el problema. 2. Hacer un listado de incógnitas y datos, ordenar la información. 3. Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere. 4. Plantear y resolver la(s) ecuaciones. 5. Reemplazar el resultado obtenido en el enunciado del problema. Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad en la cual aparecen un o más términos desconocidos (incógnitas). La solución de una inecuación es un subconjunto de los reales que satisface la desigualdad. Propiedades de la desigualdad: i) Si a – b > 0 ⇒ a > b ii) Si a > b ⇒ a ± c > b ± c iii) Si a > b y b > c ⇒ a > c iv) Si a > b ⇒ a · c > b · c, si c > 0 v) Si a > b ⇒ a · c < b · c, si c < 0 vi) Si x a a x a< ⇒ − < <
vii) Si x a x a o x a> ⇒ > < −
Las soluciones de una inecuación se pueden presentar mediante conjuntos o intervalos. Intervalos Intervalos abiertos: { }x / a x b∈ < <
a,b⎤ ⎡⎦ ⎣
Intervalos cerrados: { }x /a x b∈ ≤ ≤
a,b⎡ ⎤⎣ ⎦
Se pueden combinar los intervalos, es decir pueden haber abiertos por la izquierda (menores) y cerrado por la derecha (mayores). Una inecuación se despeja tan igual que una ecuación, respetando las propiedades de la desigualdad. Los sistemas de inecuaciones después de resolver cada inecuación deben intersectarse sus conjuntos soluciones.
Geometría analítica Geometría analítica: es la parte de las matemáticas que une el álgebra con la geometría Euclidiana. La idea de punto ahora es “aquello que sólo tiene ubicación” Para ubicar los puntos se requiere de un sistema de ejes ortogonales (perpendiculares), los primeros elementos de los pares van en el eje horizontal (x, eje de las abscisas) y los segundos elementos van al vertical (y, eje de las ordenadas). Distancia entre dos puntos:
dAB = 2 22 1 2 1(x x ) (y y )− + −
Coordenadas del punto medio:
1 2 1 2x x y y( , )
2 2+ +
12
x
y
x1 x2
y1
y2
x2 -x1
y2 - y1
Pendiente de un segmento: es la tangente el ángulo que forma el segmento con un eje horizontal (ángulo de inclinación, α )
2 1
2 1
y ytag m
x x−
α = =−
Ecuación de la recta: La característica mas relevante de la recta es que cualquier por de puntos de ella, siempre tiene la misma pendiente. Ecuación principal de la recta: y mx c= + c: es el coeficiente de posición, es la ordenada del punto donde la recta corta al eje y. Ej. y = 3x – 4, la pendiente es 3 y corta al eje y en -4. Observaciones: i) Si m = 0 ⇒ la recta es paralela al eje x. ii) Si m es indeterminado (" = 90º) ⇒ la recta es paralela al eje y. Relaciones entre rectas: i) Si m1 ≠ m2 ⇒ L1 y L2 se intersectan. ii) Si m1 = m2 ∧ c1 ≠ c2 ⇒ L1 // L2 no coincidentes. iii) Si m1 = m2 ∧ c1 = c2 ⇒ L1 // L2 coincidentes. iv) Si m1 · m2 = -1⇒ L1 y L2 son perpendiculares.
Observación: El punto de intersección entre dos rectas se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones de las dos rectas. Como toda ecuación de una recta es igual a una ecuación lineal de dos incógnitas, entonces podemos aplicar lo anterior al análisis de sistemas de ecuaciones a saber: i) Si m1 ≠ m2 ⇒ el sistema tiene solución única. ii) Si m1 = m2 ∧ c1 ≠ c2 ⇒ el sistema no tiene solución. iii) Si m1 = m2 ∧ c1 = c2 ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones. Función: es una relación que de cumplir con: i) todo elemento del dominio tiene su correspondiente en el recorrido. ii) a cada elemento del dominio le corresponde uno solo del recorrido. Función algebraica: y = f(x) x : es dominio (variable independiente, preimagen) y : es recorrido (variable dependiente, imagen) Para encontrar los puntos pertenecientes a la función, se le dan valores a x, y estos se reemplazan en la función, los resultados son los y correspondientes. Ej. Sea y = f(x) = x2 – 2x +5, luego: f(2) = 22 – 2·2 +5 = 5 f(2) = 5 ⇒ (2,5) Gráfica de una función: para graficar una función en el eje horizontal de un sistema de ejes ortogonales, se ubica el dominio y en el eje vertical el recorrido.
f(x) = x
x
f(x)
13
x
y
1 2 3
1
2
-1-2-3
-1
-2
-3
2
3
f(x)=(x-2)2+3
x
y
Ej: función parte entera, esta función que esta muy de moda indica que “para todo real x, lo transforma en el menor entero más cercano”. Si f(x) = x⎡ ⎤⎣ ⎦; función parte entera, entonces:
f(3,8) 3,8 3= =⎡ ⎤⎣ ⎦
f( 2,6) 2,6 3− = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦
Su gráfica tiene forma de escalera, como lo muestra la figura: Desplazamientos de una gráfica: Sea f(x) = x2
Si al dominio le sumamos un número la gráfica se desplaza horizontalmente en sentido inverso al número sumado. Si al recorrido (f(x)) le sumamos un número, entonces se produce un desplazamiento vertical en el mismo sentido del signo del número sumado. Función cuadrática: es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c La gráfica es una parábola como las figuras anteriores. Análisis: i) Si a > 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia arriba. ii) Si a < 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia abajo. ) = b2 – 4ac
x
y f(x) = x2
x
y f(x) = (x – 2)2
14
O
A
B
T
180º180º180º180º
α + β =β + γ =γ + δ =δ + α =
iii) Si ) > 0 ⇒ la parábola corta en dos puntos al eje x. iv) Si ) = 0 ⇒ la parábola corta al eje x en un punto. v) Si ) < 0 ⇒ la parábola no corta al eje x.
vi) El eje de simetría es, x = b
2a−
vii) Coordenadas del vértice; (b b
, f( )2a 2a− −
)
Observaciones: hay dos características en la gráfica de funciones que no debes dejar de lado, a saber: i) Si y = f(x) = 0 ⇒ la gráfica interfecta al eje x. ii) Si x = 0 ⇒ la gráfica interfecta al eje y.
GEOMETRÍA ÁNGULAR
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida: Ángulo agudo: tiene su medida entre 0º y 90º. Ángulo recto: mide 90º. Ángulo obtuso: tiene su medida entre 90º y 180º. Ángulo extendido: mide 180º. Ángulo completo: mide 360º. Los ángulos cuyas medidas están entre 0º y 180º reciben el nombre de convexos y los que tienen por medidas superiores a 180º y menores a 360º se llaman cóncavos. Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide en dos ángulos de igual medida a un ángulo. OT es bisectriz ⇔ AOT = TOB Relaciones entre ángulos:
i) Si las medidas de dos ángulos suman 90º entonces se dicen complementarios. El complemento de un ángulo es igual a 90º menos el ángulo. ii) Si las medidas de dos ángulos suman 180º entonces se dicen suplementarios. El suplemento de un ángulo es igual a 180º menos el ángulo. iii) Dos ángulos se dicen contiguos o consecutivos, si comparten el vértice y un lado y sus interiores no se intersectan.
AOB es consecutivo a BOC iv) Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y suplementarios.
AOB y BOC son suplementarios Teorema 1: sí dos rectas sé intersectan, entonces: α β δ γ i)
ii) α = γβ = δ
O
A
B
C
O A
B
C
15
A B
C
ab
c
A B
C
AB
C
Teorema 2: dos paralelas que son cortadas por una transversal o secante forman 8 ángulos que cumplen con: Ángulos alternos internos
3 5= y 4 6= Ángulos alternos externos
1 7= y 2 8= Ángulos correspondientes
1 5= , 2 6= , 3 7= y 4 8= Triángulo: es un polígono de tres lados. γ α β A, B y C son vértices
, y α β γ son ángulos interiores
AB c, BC a y CA b= = = son lados del triángulo Relaciones entre lados y ángulos interiores: i) La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero; a + b > c. ii) La diferencia positiva de dos lados de un triángulo es menor que el tercero; b c a− < .
iii) A ángulo interior mayor se opone el lado mayor.
iv) A ángulo interior menor se opone el lado menor. v) A ángulos interiores iguales se oponen lados iguales. Clasificación de los triángulos: i) Según sus lados: i-1) Equilátero: sus tres lados iguales y sus ángulos interiores iguales (60º) i-2) Isósceles: a lo menos dos lados iguales y si tiene uno distinto este se llama base. i.3) Escaleno: sus tres lados distintos. ii) Según sus ángulos interiores: ii-1) Acutángulo: sus tres ángulos interiores agudos. ii.2) Rectángulo: tiene un ángulo interior recto. ii-3) Obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso. Teorema 3: Las medidas de los ángulos interiores suman 180º. γ α β 180ºα + β + γ = Ángulo exterior: es aquel que esta formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo a él. 'γ γ 'α α β 'β
' , ' y 'α β γ son ángulos exteriores
123 4
567 8
L1
L2
L1 // L2
16
A B
C
A’ B’
C’
b a
c
b’ a’
c’
Teorema 4: la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes a él.
' ' 'α = β + γ β = γ + α γ = α + β Teorema 5: la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360º ' ' ' 360ºα + β + γ = Puntos y rectas notables de un triángulo. Altura: es la recta que pasando por un vértice intersecta al lado opuesto o a su prolongación de manera perpendicular, la intersección de las alturas se llama ortocentro. Bisectriz: es la recta que dimidia a un ángulo interior, la intersección de las bisectrices se llama incentro. Simetral: es la perpendicular que divide a un lado en dos partes iguales, la intersección de las simetrales se llama circuncentro. Transversal de gravedad: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, la intersección de las simetrales se llama centro de gravedad o baricentro. Mediana: es el segmento que une los puntos medios de un par de lados del triángulo. Observaciones: i) En un triángulo equilátero todas las rectas notables y los puntos notables coinciden. ii) En un triángulo isósceles, las rectas notables coinciden solo cuando intersectan el lado distinto. iii) En un triángulo escaleno nada coincide. iv) Las medianas son paralelas al lado opuesto y miden la mitad del lado al cual es paralela.
Congruencia de triángulos Dos triángulos se dicen congruentes cuando son iguales en medidas y forma. γ 'γ α β 'α 'β
'''
ABC A 'B 'C 'a a'b b 'c c '
α = α⎧⎪β = β⎪⎪γ = γ⎪
∆ ≅ ∆ ⇔ ∧⎨⎪ =⎪
=⎪⎪ =⎩
Para determinar si dos triángulos son congruentes, no es necesario probar que todos los elementos correspondientes son iguales, si no basta con probar un grupo de elementos, estos grupos de elementos se llaman postulados de congruencia. i) (l, l, l) lado, lado, lado; si los tres lados correspondientes en dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. ii) (l, a, l) lado, ángulo, lado: si dos de lados son iguales y el ángulo comprendido por ellos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. iii) (a, l, a) ángulo, lado ángulo: si dos ángulos son iguales y el lado que forma parte de los dos ángulos también lo es, entonces los triángulos son congruentes. Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados, la suma de los ángulos interiores es 360º. En todo cuadrilátero se verifica que: i) La suma e los ángulos interiores es 360º. ii) La suma de los ángulos exteriores es 360º. Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
17
Paralelogramos
Rectángulos Rombos
Diagonales
CuadradoRectánguloRomboRomboide
IGUALES BISECTRICES PERPENDICULARES
SI SI SISI NO NONO SI SINO NO NO
A B
D C
A
B
C
D
Clasificación Paralelogramos: tiene sus lados opuestos son paralelos. i) Cuadrado: sus lados iguales y sus ángulos interiores rectos. ii) Rectángulo: sus ángulos interiores rectos. iii) Rombo: sus cuatro lados iguales. iv) Romboide: sus lados opuestos paralelos. Trapecios: tiene un par de lados paralelos, llamados bases. i) Trapecio isósceles: tiene sus lados no paralelos iguales. ii) Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos interiores rectos. iii) Trapecio escaleno: tiene sus lados no paralelos distintos. Trapezoides: no tienen lados paralelos. Paralelogramos Propiedades: estas propiedades son de todos los paralelogramos. i) Sus ángulos interiores opuestos son iguales. ii) Sus pares de ángulos consecutivos son suplementarios. iii) Sus lados opuestos son iguales. iv) Sus diagonales sé intersectan dimidiándose.
Trapecios δ γ α β AB //CD (son bases del trapecio)
180º y 180ºα + δ = β + γ = Observación: sólo en el trapecio isósceles las diagonales son iguales. Trapezoides Los trapezoides solo tienen las propiedades de todo cuadrilátero, pero existe un trapezoide simétrico que tiene varias propiedades, lo que lo hace motivante para ejercicios, es más varias veces a aparecido en pruebas reales de selección Universitaria, por tanto lo estudiaremos, este trapezoide se llama Deltoide. Propiedades:
i) AD = DC y CB = BA ii) DAB BCD= iii) AC BD⊥ iv) DB es bisectriz v) DB dimidia a AC
18
O
A
B
c
D
S
T
r
OA
B
CD
E
FG
H
Propiedades de polígonos en general: Sea n el número de lados (n además es igual al número de; vértices, ángulos interiores y exteriores), luego: i) La suma de los ángulos interiores es 180º · (n – 2), n – 2 es el número de triángulos que se genera al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice. ii) La suma de los ángulos exteriores es siempre 360º, independiente del número de lados. iii) El número de diagonales que se pueden
trazar en un polígono es n (n 3)
2⋅ −
, donde
n – 3 es el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice. Polígono regular es aquel que tiene; lados iguales, ángulos interiores iguales y ángulos exteriores iguales. iv) La medida de un ángulo interior de un
polígono regular es 180º (n 2)
n⋅ −
.
v) La medida de un ángulo exterior de un
polígono regular es 360º
n
Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro. O: centro de la circunferencia. r: radio, segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. c: cuerda, segmento que une dos puntos de la circunferencia. D: diámetro, es la cuerda que pasa por el centro, luego es la cuerda mayor de una circunferencia y D = 2r.
T: tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto e tangencia. S: secante, es la recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.
AB : arco, es una parte e la circunferencia.
AOB ; ángulo del centro, esta formado por dos radios.
CDE , ángulo inscrito, esta formado por dos cuerdas de origen común.
HGF , ángulo semiinscrito, esta formado por un tangente y una cuerda que llega al punto de tangencia. Teoremas: 1. Un ángulo del centro es igual equivalente al arco que encierra.
AOB AB=
A
B
O
19
AB
CD
2. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo inscrito, entonces el del centro mide el doble del inscrito.
AOB 2 ACB= ⋅ Corolario:
ABACB
2=
3. Una radio que llega el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.
r T⊥
4. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo semiinscrito, entonces el del centro mide el doble del semiinscrito.
AOB 2 ABC= ⋅ Corolario
ABABC
2=
5. Todo triángulo rectángulo esta inscrito en una semicircunferencia.
ABC∆ es rectángulo en C. 6. Si un cuadrilátero esta inscrito en
una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios. 180ºα + γ = α δ 180ºβ + δ = β γ 7. Si dos tangentes se intersectan entonces se generan dos segmentos congruentes.
AB AC=
´
O
B
A
C
r
T
A
B
O
C
A B
C
O
A
B
C
20
60º
30º
LD
L
h
L/2
AB
C
D
8. Un radio es perpendicular a una cuerda sí y solo sí dimidia a la cuerda.
Si r AB AE EB⊥ ⇔ = , además si el radio es
perpendicular a la cuerda, entonces AF FB= .
9. Si dos cuerdas son iguales, entonces los arcos encerrados por ellas son iguales.
AB CD AB CD= ⇔ =
GEOMETRÍA MÉTRICA Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo se cumple: a2 + b2 = c2 Este teorema permite obtener algebraicamente la medida de un lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos lados, para evitar cálculo existen tríos
pitagóricos, es decir números que cumplen con el teorema de Pitágoras. Aplicaciones: Diagonal de un cuadrado. D L 2= Altura de un triángulo equilátero.
Lh 3
2=
Tríos Pitagóricos: son tríos de números que satisfacen al Teorema de Pitágoras. 3, 4, 5 32 + 42 = 52 5, 12, 13 52 + 122 = 132 Cualquier múltiplo de ellas, también cumplen con el teorema de Pitágoras.
L3
2 L
L2
Perímetro: es la medida del contorno o borde de una figura. - El perímetro de un polígono cualquiera es la suma de sus lados. - En el caso de un polígono regular (iguales lados) se debe multiplicar la medida del lado por el número de lados.
a
bc
ABE
O
r
F
21
OD
rA
B
b
h
h
b
D
d
O
r
A
B
A AA A
L1
L2
A A A
Perímetro de una circunferencia: P D 2 r= π ⋅ = π
Longitud del AB = D360ºα
⋅ π
Área: es la medida de la superficie que encierra una figura, las unidades de medida son cuadrados de área unitaria (cm2, m2, km2, etc.). PARALELOGRAMOA b h= ⋅
TRIÁNGULO
1A bh
2=
RECTÁNGULOA L A= ⋅
TRAPECIOB b
A h2
B bMediana m
2
+= ⋅
+= =
El área de cualquier cuadrilátero de
diagonales perpendiculares es D dA
2⋅
=
A = π r2
α 2A r360ºα
= ⋅ π
Criterios de áreas:
i) Para encontrar el área de una figura esta se debe transformar otro conocida de acuerdo a la información recibida.
ii) Para encontrar el área de una figura esta se debe dividir en áreas conocidas, de acuerdo a la información recibida.
Casos de igualdad de áreas: Si un triángulo o un paralelogramo están inscritos en paralelas y tienen igual base tiene igual área. Si dos o más triángulo tienen sus bases iguales y colineales comparten el tercer vértice tienen igual área.
Or
22
A A
A
AA
AAA
A B A’ B’
C
C’
a
c
b
c’
a’b’
L1
L2
L3
a c
b d
A BE
A B E’
Al trazar la trazar la transversal de gravedad se generan 2 triángulos de igual área. Al trazar las tres transversales de gravedad se forman 6 de igual área. Geometría de proporciones Semejanza: Dos figuras se dicen semejantes (-) si estas tienen igual forma. Semejanza de triángulos: 'α = α 'β = β
ABC A 'B 'C '∆ ∆ ⇔∼ 'γ = γ
∧
a b ca' b ' c '
= =
Para probar que dos triángulos son semejantes se deben utilizar los postulados de semejanza, a continuación daremos dos de ellos los más usados. (A,A) ángulo, ángulo Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes.
(L,L,L) lado, lado, lado Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes. Teorema de Tales. Si dos rectas no paralelas son cortadas por una familia de paralelas, entonces en las rectas no paralelas se forman segmentos proporcionales. Si L1 // L2 // L3, entonces
a cb d=
División de trazos: Un trazo se dice dividido interiormente si hay un punto dentro del trazo que lo divide en dos segmentos que están en una razón determinada. Un trazo se dice que esta dividido exteriormente si existe un punto en la prolongación del trazo que divide al trazo en una razón determinada.
División interior AE mEB n
=
División exterior AE' mBE' n
=
23
A BE
A B
C
ab
cq p
h
ab
c
d
a
b
c
d
a
b
c
Razón Áurea o Razón de oro, si un trazo esta dividido de menara que el segmento mayor es media proporcional entre todo el trazo y el segmento menor. AB esta divido áureamente si:
2AB AEAE AB EB
AE EB= ⇔ = ⋅
Teorema de Euclides Si en un triángulo rectángulo se dibuja la altura desde el ángulo recto, entonces se generan las siguientes relaciones: Teorema de los catetos a2 = p · c b2 = q · c Teorema de la altura h2 = p · q Observación: Al trazar las transversales de gravedad en cualquier triángulo estas se intersectan de manera que generan dos segmentos que están en la razón 2 : 1
Proporcionalidad en una circunferencia: Dos cuerdas. a b c d⋅ = ⋅ Dos secantes que se intersectan. a b c d⋅ = ⋅ Una tangente y una secante. 2a b c= ⋅ Observaciones:
i) Si dos figuras son semejantes, entonces
todos sus elementos lineales correspondientes están en la misma razón.
ii) Si dos figuras son semejantes, entonces
sus áreas están en una razón igual al cuadrado de la razón en que están sus elementos lineales correspondientes.
2p
p
24
A
B
C
a
b
c
cara
arista
vértice
Trigonometría Como basta saber que en dos triángulos rectángulos dos ángulos agudos sean iguales para concluir que dichos triángulos son semejantes y por tanto las razones entre sus lados son iguales, entonces podemos establecer que existe una relación directa entre la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo de él. β α Razones trigonométricas: Sea triángulo ABC rectángulo en C, luego:
Seno; a cateto opuesto
senc hipotenusa
α = =
Coseno; b cateto adyacentecos
c hipotenusaα = =
Tangente; a cateto opuesto
tgb cateto adyacente
α = =
Identidades trigonométricas: Es una igualdad que se verifica para cualquier ángulo agudo, las identidades elementales a saber son: i) sen cos(90º )α = −α ii) cos sen(90º )α = −α
iii) sen
tgcos
αα =
α
iv) 2 2sen cos 1α + α = Ecuaciones trigonométricas: Son aquellas en que la incógnita es un ángulo afectado por una razón trigonométrica, para despejarlas se debe llevar a una sola función para determinar el ángulo (incógnita) que la
satisface, en el caso de PSU sólo se consideran ángulos desde 0º a 90º. Valores notables:
0º 30º 45º 60º 90º
Seno 0 12
22
32
1
Coseno 1 32
22
12
0
Tangente 0 33
1 3 ∃
VOLÚMENES, ISOMETRÍAS e SIMETRÍAS Cuerpo: es una figura de tres dimensiones, esta limitado por superficies planas o curvas. Prisma: cuerpo formado por dos caras paralelas congruentes y poligonales, llamadas bases. Todas las caras laterales son paralelogramos. base base Volumen: es la cantidad de cubos de volumen unitario que caben exactamente en un cuerpo. El volumen de todo prisma es área basal · altura El área de todo prisma es la suma de las áreas de todas sus caras. Algunos prismas son; el cubo, el paralelepípedo recto, etc.
25
r
r
r
PIRÁMIDE
Vol. = 13
área basal · h
h: altura Cuerpos redondos estos cuerpos están limitados por superficies curvas, los cuerpos redondos más conocidos son el cilindro, el cono y la esfera. CILINDRO Vol. = π r2h Área = 2 π r2 + 2 π rh CONO
Vol. =13π r2h
Área = π r2 + área del manto ESFERA
Vol. = 43π r3
Área = 4 π r2 Transformaciones isométricas: son todas aquellas transformaciones en que la figura original es congruente con la figura final.
Traslación: es cuando cada punto de la figura se traslada de acuerdo a un vector traslación.
figura original
figura final
Rotación: es cuando la figura es girada una cantidad de grados en torno a un punto, se dice que el giro es positivo cuando se hace en el sentido contrario a los punteros del reloj. Reflexión: es cuando la figura es reflejada con respecto a un eje, los puntos homólogos o correspondientes equidistan del eje de reflexión.
base
figura original
figura final
centro derotación
figura original figura final
eje dereflexión
26
eje de simetría
A
B
CA’
B’
C’
O
Eje de simetría: es la recta que divide a una figura en dos partes congruentes, al doblar una figura por esta línea las dos partes coinciden al enfrentarlas, esta simetría recibe el nombre de simetría axial. Centro de simetría: es el punto medio del segmento formado por el punto original y el transformado, en el caso de una figura, es el punto que equidista de todos los puntos originales y los transformados correspondientes. Se dice que una figura tiene centro de simetría, si existe un punto por el cual se rota la figura una magnitud angular y la figura resultante coincide con la figura original. La figura nos muestra a el centro de simetría O, O es el punto medio de AA’, BB’ y CC’. Teselaciones Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación. Observación: Los polígonos regulares que teselan el plano son aquellos que tienen por medida de su ángulo interior a un divisor de 360º.
También existen teselaciones con figuras que no son regulares, a saber: Consecuencia de lo anterior, todo paralelogramo tesela el plano. También pueden teselar dos figuras distintas, en especial combinaciones de polígonos regulares, en estos casos hay que verificar que en un nudo debe generarse 360º. En este caso aparece una teselación formada por un octógono regular y un cuadrado, si notamos que el ángulo interior de un octógono es 135º y 90º el cuadrado, por tanto; 135º + 135º + 90º = 360º.
Estadística y probabilidades Estadística: es la ciencia que se ocupa de la obtención, organización e interpretación de conjuntos de datos. Conceptos básicos. Dato: es la característica a estudiar. Población: universo de donde se extraen los datos. Muestra: es un subconjunto de la población.
27
Dato cualitativo: es aquel que no se puede representar con números. Ejemplos; color de ojos, preferencia política, etc. Dato cuantitativo: es aquel que se puede expresar como números. Ejemplos; la altura, el peso, etc. Variable discreta: es cuando puede tomar valores en un conjunto finito de números o cualidades. Ejemplo el número de libros leídos. Variable continua: es cuando puede tomar valores en un conjunto infinito de números. Ejemplo el peso de una persona. Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato. Rango o amplitud: Es la diferencia entre el mayor y menor dato de una muestra. Medida de tendencia central: son los datos reales o ficticios que representan a toda la población, estas son: Moda: es el dato que más se repite o la marca de clase de mayor frecuencia cuando los datos están tabulados y agrupados en clase o intervalos. Mediana: es el dato central de una muestra ordenada de manera creciente o decreciente, si la cantidad de datos es impar la mediana coincide con el dato central, si hay una cantidad par de ellos, la mediana es el promedio de los dos datos centrales. Media: es el promedio aritmético de los datos;
datos
xnºdatos
= ∑
En el caso de datos agrupados:
dato·frecuencia
xfrecuencia
= ∑∑
Probabilidad: La probabilidad es el cuociente entre los casos favorables y los casos posibles, siempre y cuando todos los
casos sean equipropable (tengan la misma probabilidad de ocurrir).
C.favorables
P(s)C.posibles
=
Como los C.favorables C.posibles≤ ⇒ 0 P(s) 1≤ ≤ Propiedades: i) Si P(s) = 1 ⇒ el suceso ocurrirá. ii) Si P(s) = 0 ⇒ el suceso nunca ocurrirá. iii) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A1B) iv) P(A1B) = P(A)·P(B) v) P(no ocurra s) = 1 – P(s) Como el contar los casos a veces es problemático, te indicaremos dos principios fundamentales. Principio multiplicativo (y,∧ ): si dos sucesos n y m ocurren ambos a la vez, entonces la ocurrencia de ambos a la vez es: n · m. Ej. Se disponen de tres tipos de panes y 5 tipos de quesos, ¿de cuántas maneras se puede hacer un emparedado? Resp. Como para hacer un emparedado debes usar el pan y el queso, por lo tanto 3 · 5 = 15 maneras distintas. Principio aditivo (ó,∨ ): si dos sucesos ocurren de n y m formas distintas, entonces la ocurrencia de sólo uno de ellos es n + m. Ej. Una persona dispone de 5 camisas y 3 camisetas para combinarlas con un pantalón, ¿de cuantas maneras distintas puede vestirse? Resp. Como normalmente no se usa una polera con una camisa, si no que una sola de ellas, entonces 5 + 3 = 8 son las formas distintas de vestirse. Observación: en todos estos casos debe primar el sentido común, es decir lo más usual.
28
FIN
Dedicado a una ex alumna mía que me motivo por este trabajo en vista de su angustia por la cercanía de la PSU, creo haber puesto en este material, todo lo mínimo necesario. Qué este trabajo sea lo que querías Savane. Sixto Maulén Rojas (Florindo) Noviembre del 2008
Danny Perich C.
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REPASO GENERAL PSU
Estimados alumnos: Les he preparado
este repaso como una última actividad para
realizar antes de enfrentar la Prueba de
Selección Universitaria P.S.U. Matemática.
En él se encuentran la mayoría de las
contenidos incorporados en la prueba y para
una mayor comprensión de sus aplicaciones, he
agregado algunos ejercicios resueltos, optando
especialmente por aquellos que han salido en
los ensayos oficiales publicados por el DEMRE.
Espero que este material sirva como una
última revisión antes de rendir la PSU, el que
reforzará los conocimientos que has adquirido
tras 4 años de estudio en la enseñanza media.
Números y Proporcionalidad
Lo primero es recordar las equivalencias más
utilizadas entre fracciones, decimales y
porcentaje:
%505,02
1 %
3
1333,0
3
1
%2525,04
1 %202,0
5
1
%5,12125,08
1 %101,0
10
1
%7575,04
3
*** Ejercicios PSU ***
1.
22
1
1
2
1
A) 6
1 B)
6
1 C)
2
3
D) 10
1 E) 0
El orden de resolución es muy importante para
no equivocarse. Resolvamos
6
1
6
43
3
2
2
1
2
3
1
2
1
2
41
1
2
1
La alternativa B es la correcta.
2.
25,08
3
1
75,08
3
1
A) 3
15 B)
3
16 C)
3
16 D) 4 E)
3
8
La alternativa correcta es B.
Porcentaje:
100
a%a
a% del b% de c= cba
100100
Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio
de porcentaje y obtengan un resultado, vuelve
a leer lo que te preguntan para que no te
equivoques al responder por algo que no te
estaban consultando. (Muy común en %)
*** Ejercicios PSU ***
1. En un curso de 32 alumnos 8 de ellos
faltaron a clases. ¿Qué porcentaje asistió?
A) 75% B) 25% C) 24%
D) 0,25% E) 0,75%
Lo típico es que se plantee que
x
%
al
al 100
8
32 obteniéndose para x = 25%, que
obviamente está en las alternativas, pero que
no es lo que preguntan, ¡cuidado! La
alternativa correcta es A ya que se pregunta
por el porcentaje de asistencia.
2. En un supermercado hay supervisores,
cajeros y reponedores. Si el 60% de los
trabajadores son reponedores, 18 son
supervisores y éstos son un tercio de los
cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?
A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54
18 son supervisores, por lo tanto los cajeros
son 54. En total, 72 trabajadores que
corresponden al 40%. Luego se calcula el
100%
La alternativa correcta es C.
Regularidades
Se trata de obtener un patrón o regla de
formación para resolver una situación
problemática.
Ejemplo: ¿Cuántos triángulos se forman con 71
fósforos si se sigue con la secuencia de la
figura?
A) 30 B) 34 C) 35 D) 36 E) 43
Debemos fijarnos que para formar el primer
triángulo (T) se necesitan 3 fósforos, para
formar 2 triángulos, 5 fósforos y para tres
triángulos, 7 fósforos. Se van obteniendo
números impares, comenzando desde el 3, lo
cual se puede representar como 2T + 1, o sea
F=2T+1.
Luego con 71 fósforos tenemos 71=2T+1, de
donde T=35. Alternativa correcta C.
*** Ejercicios PSU ***
1. Las siguientes figuras están formadas por
triángulos equiláteros congruentes ¿Cuántos
triángulos se necesitan para construir la n-
ésima figura?
A) 2n B) 3n
C) n3 D) 2n2
E) n2
La alternativa correcta es E.
Danny Perich C.
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2. La cantidad de cubos de acuerdo a los
escalones que se quieren obtener (n), está
dada por la fórmula )nn(2
1 2 . ¿Cuántos cubos
se necesitarán para que la escalera tenga 14
peldaños?
A) 210
B) 105
C) 14
D) 91
E) 182
Basta con reemplazar por 14. La alternativa
correcta es B
Interés simple
C = K + Knr, donde K es el capital inicial, n los
períodos, C capital acumulado y r la tasa de
interés simple.
Interés compuesto
C = K·(1 + i)n donde K es el capital inicial, n los
períodos, C capital acumulado e i la tasa de
interés compuesto.
*** Ejercicio PSU ***
1. Si $ 50.000 se invierten al 10% de interés
compuesto anual, ¿cuál es el capital total
después de dos años?
A) $ 60.000 B) $ 60.500 C) $ 70.000
D) $ 90.000 E) $ 110.000
Aplicamos la fórmula que permite calcular el
interés compuesto anual, sabiendo que
10%=0,1 o sea
21,01000.50C
21,1000.50C
21,1000.50C
C= 60.500
La alternativa B es la correcta.
2. Una persona deposita $1.000 y en tres años
gana $157,5. Calcular el interés simple anual.
A) 5% B) 5,25% C) 5,5%
D) 5,75% E) 15,75%
1.157,5 = 1.000 + 1.000·3·r. Se calcula el
interés r en forma decimal y luego como
porcentaje..
La alternativa correcta es B
Proporcionalidad Directa: (Dividir)
kb
a
Proporcionalidad Inversa: (Multiplicar)
a · b = k
Para ambos casos, k recibe el nombre de
constante de proporcionalidad.
*** Ejercicios PSU ***
1. y es inversamente proporcional al cuadrado
de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces
y =
A) 2
1 B)
4
1 C) 2 D) 4 E) 9
Como y es inversamente proporcional al
cuadrado de x, entonces y·x2 = k
reemplazando se obtiene 16·12 = k, de donde k
= 16. Entonces si x = 8, resulta y·82 = 16, o
sea 64y=16 donde 4
1
64
16y . Alternativa B.
2. Dos electricistas hacen un trabajo en 6 días,
trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. 4 electricistas harán el trabajo en 3
días, trabajando 8 horas diarias.
II. Los electricistas y las horas son
directamente proporcionales.
III. La constante de proporcionalidad es 3.
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
La alternativa correcta es A.
3. Dada la siguiente tabla:
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?:
I. A y B son directamente
proporcionales.
II. El valor de x es 2.
III. La constante de proporcionalidad
inversa es 30.
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
La alternativa correcta es D.
Cuadrado del Binomio:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Suma por Diferencia:
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
*** Ejercicios PSU ***
1. 3w23w222w32
A) 14w12w2 B) 22w12w2
C) 5w12w2 D) 13w12w2
E) 14w12w2
Resolvemos el cuadrado de binomio y la suma
por su diferencia, obteniéndose:
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)9w4(24w12w9 22 =
Se resuelve el paréntesis. ¡Cuidado con los
signos!
18w84w12w9 22 =
22w12w2 Alternativa B.
2. Dada la siguiente figura:
Se sabe que a y b
son positivos y a >
b. ¿Cuál(es) de las
siguientes
afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. El área del
cuadrado de lado
(a + b) es igual
al área achurada.
II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de
las áreas del cuadrado de lado a y el de
lado b.
III. a(a + b) > a2
+ b2
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
FACTORIZAR
Un polinomio cuyos términos tienen un
factor común.
mx - my + mz = m( x - y + z )
Un trinomio cuadrado perfecto.
a2 2ab + b2=(a b)2
Factorización de la diferencia de dos
cuadrados
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Factorizar trinomio de la forma x2+mx+n.
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
*** Ejercicios PSU ***
1. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes
es(son) divisor(es) de la expresión algebraica
20x6x2 2 ?
I) 2 II) (x – 5) III) (x + 2)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D)
Sólo I y III E) I, II y III
Generalmente los alumnos responden la
alternativa A, ya que se dan cuenta que todos
los términos del trinomio son múltiplos de 2,
pero no consideran que se puede factorizar y
obtener que:
)x)(x()xx(xx 52210322062 22 .
Por lo tanto la alternativa correcta es E.
ECUACION DE LA RECTA
Forma Principal: y = mx + n
Donde m corresponde a la pendiente de la
recta y n es el coeficiente de posición.
Si m > 0 la recta se “inclina” a la derecha.
Si m < 0 la recta se “inclina” hacia la izquierda.
Si m = 0, la recta es paralela al eje x.
Si m = ∞, la recta es paralela al eje y.
Forma General: ax + by + c = 0, donde la
pendiente b
am
y el coeficiente de posición
b
cn
Pendiente dado dos puntos: (x1,y1) y (x2,y2)
12
12
xx
yym
Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ecuación de la recta dado punto-pendiente
y - y1 = m(x - x1)
Rectas Paralelas
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 ≠ n2
Rectas Coincidentes
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y
n1=n2
Rectas Perpendiculares
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1
*** Ejercicios PSU ***
1. La ecuación de la recta que pasa por el
punto (1,-4) y que es paralela con la recta
x+5y–3=0, es:
A) –x+y+5=0 B) x+5y+19=0 C) x+y+3=0
D) –5x+y+9=0 E) x+5y+21=0
Al despejar y de la recta dada se obtiene
5
3 xy
, o sea la pendiente es –1/5. Entonces
la recta pedida también pendiente -1/5 por ser
paralelas y como pasa por el punto (1,-4)
queda determinada por la fórmula punto
pendiente, )1(5
14 xy que al resolver
resulta x+5y+19=0. La alternativa B es
correcta.
Danny Perich C.
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2. Determinar el valor de K para que las rectas
y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean
perpendiculares.
A) K = 3/4 B) K = 1/2 C) K = -1/2
D) K = –4/3 E) K = -2
Se despeja y de ambas ecuaciones. Luego y =
Kx-3 ; y = -2x-4K. Se multiplican las
pendientes de cada recta igualando a -1, ya
que deben ser perpendiculares, obteniéndose
K·(-2) = -1. Luego K=1/2. La alternativa B es
la correcta.
3. Dada la recta L, donde a y b son positivos,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. La pendiente de la recta L es negativa.
II. El punto (a, b) pertenece a la recta.
III. La recta L es perpendicular a la recta
b
axy
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
Como se tienen dos puntos de la recta, se
puede determinar su pendiente, también su
ecuación.
La alternativa correcta es D.
FUNCIÓN PARTE ENTERA (o Escalonada)
Para todo número real x, se puede encontrar
un número entero n, tal que cumple con las
siguientes propiedades:
El número x esté entre n y n+1
Si n x < n+1 [x] = n
En otras palabras, la parte entera de un
número es el entero menor más cercano al
número. A la función y(x) = [x], se la llama
Función parte entera.
Ej: 37,3 ; 31,3 ;
¡cuidado con esto!: 37,2 ya que -2,7
está entre -3 y -2, y el resultado debe ser el
entero menor, o sea -3.
Gráfica de la función parte entera
*** Ejercicios PSU ***
1. Del gráfico de la función f(x) = [x + 1] +1,
se afirma:
I) Pasa por el origen (0,0).
II) Tiene más de un punto en el eje x.
III) Intersecta al eje x en )0,2
5(
Es(son) falsa(s)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) I, II y III
2. Un taxista tiene un cobro fijo de $150 y
cobra, además, $300 por cada kilómetro
recorrido. Encontrar la función que relaciona el
valor (y) y los kilómetros recorridos (x)
A) xy 300150
B) 300150 xy
C) 3001150 xy
D) 1300150 xy
E) 1300150 xy
La alternativa correcta es A
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Se define:
x si x 0
y =
-x si x < 0
esto es equivalente a escribir y = | x |
Ej: 777
55
Gráfica de la función valor absoluto
*** Ejercicios PSU ***
1. Dada la función x
xx)x(f
2
3 entonces
f(-4)=
A) 6
11 B)
2
1 C)
2
1 D)
6
11 E) Otro valor
2. ¿Cuál es la expresión que representa la
función valor absoluto de la figura?
A) 1xy
B) 1xy
C) 1xy
D) 1xy
E) xy
La alternativa correcta es A.
y
1 x
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PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
nmnm aa·a
nmnm aa:a
10 a ; a≠0
n
n
aa
1 , a≠0
considerar que
nn
a
b
b
a
a≠0, b≠0
mnnm aa
*** Ejercicios PSU ***
1.
1
11
5
43
A) 35
12 B)
12
35 C)
5
7 D)
7
5 E)
12
5
12
35
5
112
7
5
112
34
5
14
1
3
1
5
431
11
La alternativa correcta es B.
2. ¿Cuál de las siguientes igualdades es(son)
correcta(s) cuando x = -3?
I. 64
14 x II. 144 3 x III. 644 1 x
A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
La alternativa correcta es E.
3. Si x = -1, entonces el valor de 432 xxx
es:
A) 3 B) 1 C) 0 D) 2 E) 27
La alternativa correcta es A.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Producto y división de raíces
Del mismo índice:
nnn abba
nn
n
b
a
b
a
De distinto índice
mnmn baba
11
Raíz de una raíz
mnm n aa
*** Ejercicios PSU ***
1. 3 2
2
A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1
33
1
6
2
6
13
6
1
2
1
6
1
2
1
6322222
2
2
2
2
2
2
Alternativa B.
2. Si t3232 , entonces el valor
de 2t2 es:
A) 222 B) 2 C) 32 D) 0 E) -2
Primero determinemos 2t , elevando ambos
lados de la ecuación. Lo principal es darse
cuenta que el lado izquierdo es un binomio, por
lo tanto:
22
t3232
Se desarrolla el cuadrado del binomio:
2t323232232
Se reducen los términos semejantes y
multiplicamos las raíces: 2t3424
4 – 2 = t2
2 = t2
Nos preguntan por 2t2 , por lo tanto la
respuesta es 2 – 2 = 0.
Alternativa D.
3. 3 32727 x =
A) 93 2727 x B) 93 33 x C) 33 x
D) 39 x E) 33 x
333 93 33 93 3333333 xxxx
La alternativa correcta es E.
4. 344322222222 es un
número:
A) racional positivo B) racional negativo
C) irracional positivo D) irracional negativo
E) no real
3333222222222222 )()(
= 33 42222242 ))(()()(
21616281628228228 )()(
La alternativa correcta es D.
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Danny Perich C.
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Si ax2 + bx + c = 0, entonces
a2
ac4bbx
2
*** Ejercicios PSU ***
Las raíces (o soluciones) de la ecuación
x(x–1)=20 son
A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5
D) 4 y –5 E) –4 y 5
Se efectúa el producto y se obtiene que x2
– x = 20, o sea x2 – x – 20 = 0.
Entonces 2
91
2
8011
x de donde
x1 = 5 y x2 = -4. Alternativa E.
Suma de las soluciones o raíces de una
ecuación de segundo grado:
a
bxx 21
Producto de las soluciones o raíces de
una ecuación de segundo grado:
a
cxx 21
*** Ejercicio PSU ***
Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2
+ 5x + c = 0, ¿cuál es el valor de c?
A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E) 3
5
Al ser x = 3 una solución, este valor puede ser
reemplazado en la ecuación obteniéndose 32 +
5·3 + c = 0 de donde c = -9 – 15 = -24.
Alternativa A.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f(x) = ax2 + bx + c
Su gráfica corresponde a una PARÁBOLA.
Concavidad
El coeficiente a indica si las ramas de la
parábola se abren hacia arriba (a>0) o hacia
abajo (a<0)
Vértice
Para determinar el vértice es conveniente
determinar primero a
bx
2
, posteriormente se
reemplaza el valor obtenido en la función para
calcular el valor y.
Eje de simetría de la parábola
Corresponde a la recta a
bx
2
, paralela al eje
y.
Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la
izquierda del eje x.
Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la
derecha del eje x.
Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la
derecha del eje x.
Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la
izquierda del eje x.
Intersección con los ejes
La intersección con el eje y la da el coeficiente
c y corresponde al punto (0, c).
La intersección con el eje x está determinada
por el valor del discriminante b2-4ac.
Si b2-4ac>0, la parábola intersecta en dos
puntos al eje x.
Si b2-4ac=0, la parábola intersecta en un punto
al eje x.
Si b2-4ac<0, la parábola no intersecta al eje x.
*** Ejercicios PSU ***
1. Considere la parábola 2)1x(2
1y
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) La parábola se abre hacia arriba.
II) Su vértice se encuentra en (1, 0).
III) Su eje de simetría es x = 1.
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
Resolvamos:
2
1xx
2
1)1x2x(
2
1)1x(
2
1y 222
I. Se cumple ya que el coeficiente 2
1a es
mayor que 0.
II. Se cumple. Basta con reemplazar x por 1 en
la ecuación original y el resultado es 0.
III. Se cumple. El eje de simetría es
1
2
12
1
a2
b
. La alternativa es E.
2. Según la ecuación ax2xy 2 es correcto
afirmar que:
I. Si a > 1, existen 2 intersecciones con el
eje x
II. Si a = 1, existe 1 intersección con el eje
x
III. Si a < 1, no hay intersección con el eje
x
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y III E) Sólo II y III
La alternativa correcta es B.
3. Dada la siguiente figura:
¿Cuál es la ecuación que
mejor representa al gráfico
de la figura?
A) y=x2 B) y=x3
C) y=4x4 D) y=4x
E) y=4x2
Danny Perich C.
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La alternativa correcta es E.
TRIGONOMETRÍA
En un triángulo rectángulo se cumple que:
( ángulo agudo)
hipotenusa
opuestocatetosen
hipotenusa
adyacentecatetocos
adyacentecateto
opuestocatetotg
opuestocateto
adyacentecatetoctg
adyacentecateto
hipotenusasec
opuestocateto
hipotenusaeccos
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
1.
cos
sec1
2.
sen
eccos1
3.
cos
sentg 4.
sen
cosctg
5. 122 cossen 6. 22 1 tgsec
7. 22 1 ctgeccos
ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CONOCIDAS
0º 30º 45º 60º 90º
sen 0 2
1
2
2
2
3 1
cos 1 2
3
2
2
2
1 0
tg 0 3
3 1 3 ∞
*** Ejercicios PSU ***
1. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo
en C, AB=5 cm. y tg = 2
3,
entonces BC =
A) 3 cm B) 13
15 cm.
C) 13
10 cm D)
2
15 cm. E)
2 cm.
Como tg = 2
3 =
p
p
2
3, se plantea por Pitágoras
que 2549 22 pp de donde 13
5p . Luego
13
15BC La alternativa B es correcta.
2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden
5 cm. y 12 cm., entonces el coseno del ángulo
menor es:
A) 13
5 B)
13
12 C)
12
5 D)
5
12 E)
12
13
Como tenemos los catetos, podemos obtener la
hipotenusa a través del teorema de Pitágoras. 222 x125 , de donde x = 13.
El coseno del ángulo menor (opuesto al lado
menor) es 13
12. Alternativa B.
3. Un ratón observa a un águila en la copa de
un árbol con un ángulo de elevación de 70º. Si
la distancia del ratón al árbol es 12m.,
determinar la distancia entre el águila y el
ratón.
A) ºtan70
12 B)
ºcos70
12 C)
ºsen70
12
D) 12
70ºsen E)
12
70ºtan
La alternativa correcta es B.
4. Dada la siguiente figura
Es verdadero que:
I. 29
5sen
II. 29
2cos
III. 2
5tg
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) I, II y III
La alternativa correcta es E.
LOGARITMOS
Logaritmo de base a de un número n
naxnlog xa
Logaritmo del producto de dos números:
log(ab) = loga + logb
Logaritmo del cociente de dos números:
blogalogb
alog
Logaritmo de una potencia:
alognalog n
Logaritmo de una raíz.
alogn
alogn 1
Logaritmo de un número a, en base a.
1aloga
A
B
C
Danny Perich C.
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Cambio a base 10:
b
xxb
log
loglog
Valores de algunos logaritmos:
log 1 = 0 log 10 = 1
log 100 = 2 log 1000 = 3
log 0,1 = -1 log 0,01 = -2
log 0,001 = -3
*** Ejercicios PSU ***
1. Si 21
1
)
xlog( , entonces x vale
A) 100
99 B) –99 C)
100
99 D)
100
101 E)
20
19
Si 21
1
)
xlog( , entonces 100
1
1log)
xlog(
Entonces 1001
1
xde donde 1=100 – 100x.
Por lo tanto 100x = 99 y x = 100
99
Alternativa C.
2. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a
log 12?
A) log 6 · log 2 B) log 10 + log 2 C) 2log 6
D) log 2 · log 2 · log 3 E) log 6 + log 2
Debemos descomponer el 12 de manera
conveniente para obtener la alternativa
correcta y en este caso es 12 = 6 · 2.
Luego log 12 = log (6 · 2) = log 6 + log 2.
Alternativa correcta E.
INECUACIONES LINEALES
Desigualdades
En los números reales se cumple que dos
números x e y son x>y, x<y o x=y.
Las desigualdades corresponden a expresiones
relacionadas por los signos <, >, ≤, ≥.
Una desigualdad no cambia al sumarle o
restarle una cantidad a ambos lados de ella.
Tampoco cambia al multiplicarla o dividirla por
un real positivo, pero CAMBIA al multiplicarla o
dividirla por un número negativo.
Ejemplo: 3 < 5 y si multiplicamos la
desigualdad por -1 se obtiene que -3 > -5.
Intervalos
Conjunto de números reales los cuales pueden
ser cerrados, abiertos, semiabierto o infinitos.
Cerrado: incluye a los valores extremos b,a ,
o sea bxa .
Abierto: No incluye los valores extremos b,a ,
o sea bxa
Semiabierto: No incluye uno de los extremos b,a
Infinito: Uno de los extremos tiende a un
valor infinito. b,
Inecuaciones de Primer Grado
Es una desigualdad que contiene una o más
incógnitas la cual se resuelve aplicando las
propiedades de las desigualdades.
Ejemplo:
4x – 1 > 7
4x > 8
x > 2
Solución: x pertenece al intervalo ,2
*** Ejercicio PSU ***
1. La solución de la inecuación 5
2
15
8x
3
x
es el
intervalo:
A)
,
2
1 B)
,
2
1 C)
,
2
1
D)
,
2
1 E)
2
1,
2
1
La alternativa correcta es A.
2. Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes
opciones es verdadera?
A) xx B) xx
1 C) x
x
1
D) x > 1 E) xx
Alternativa correcta C.
Cálculo de probabilidades
PosiblesCasos
FavorablesCasos)A(P
1 )A(P)A(P , siendo )A(P la probabilidad de
que no ocurra el suceso A.
*** Ejercicio PSU ***
Si la probabilidad de que ocurra un suceso es
de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el
suceso no ocurra?
A) 0,45 B) 0,55 C) 0,65
D) -0,45 E) -0,55
0,45 + )A(P = 1, entonces )A(P = 1 – 0,45 =
0,55. Alternativa B.
PROBABILIDAD TOTAL
Probabilidad de que ocurra el suceso A o el
suceso B o ambos sucesos.
Danny Perich C.
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)BA(P)B(P)A(P)BA(P
Si los eventos son excluyentes (A B = ), la
probabilidad de que se produzca A o B es:
)B(P)A(P)BA(P
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Probabilidad que se den simultáneamente dos
sucesos:
)A/B(P)A(P)BA(P
o sea la probabilidad de A multiplicada por la
probabilidad de B, una vez ocurrido A.
Si el suceso B es independiente de la
ocurrencia del suceso A, se dice que son
eventos independientes. En este caso se da
que:
)B(P)A(P)BA(P
*** Ejercicios PSU ***
1. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin
devolución, de una baraja de 40 cartas.
Calcular la probabilidad de que ambas cartas
sean reyes.
A) 100
1 B)
5
1 C)
130
1 D)
130
23 E)
20
1
La probabilidad de obtener un rey en la primera
sacada es 4/40 y luego de extraer otro rey, sin
devolución, es 3/39, , por lo tanto la
probabilidad total es 130
1
13
1
10
1
39
3
40
4 .
La alternativa C es correcta.
2. Se tiene dos urnas con bolas. La primera
contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras;
mientas que la segunda contiene 4 bolas
blancas y una bola negra. Si se elige una urna
al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la
probabilidad de que la bola extraída sea
blanca?
A) 5
6 B)
25
8 C)
5
2 D)
5
3 E)
5
4
Para obtener la probabilidad pedida se debe
efectuar la siguiente operación 5
3
5
4
2
1
5
2
2
1 ,
donde el 1/2 corresponde a la probabilidad de
elegir una de las urnas, el 2/5, de sacar una
bola blanca de la primera urna y el 4/5 de
sacar una bola blanca de la segunda urna.
Alternativa correcta: D.
3. En una caja hay 50 fichas de igual peso y
tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son
amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una
roja, una café, una amarilla y nuevamente una
roja, en ese orden y sin reposición?
A) 50
11
50
18
50
20
50
12 B)
47
11
48
18
49
20
50
12
C) 50
11
50
18
50
20
50
12 D)
47
12
48
18
49
20
50
12
E) 47
11
48
18
49
20
50
12
Alternativa correcta E.
4. Se tienen 10 fichas con los números: 44, 44,
45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar una ficha con un número
mayor que 46?
A) 0,4 B) 0,41 C) 0,42
D) 0,5 E) Ninguno de los valores anteriores.
Alternativa correcta A.
5. Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál
es la probabilidad de que sumen 3 ó 4?
A) 6
1 B)
36
7 C)
36
4 D)
36
5 E)
36
21
Alternativa correcta D.
6. Una ruleta está dividida en 8 sectores
iguales, numerados del 1 al 8. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número impar y
mayor que 3?
A) 8
7 B)
4
1 C)
2
1
D) 8
3 E)
8
5
Alternativa correcta B.
Estadística
Principalmente las preguntas están
relacionadas con la Media (Promedio), la Moda,
la Mediana.
Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3,
4, 7, 7, 1, 8.
La Media (Promedio) es
5,510
55
10
8177439673
La Moda corresponde al valor que más se repite
(con mayor frecuencia), en este caso, el 7.
(Puede haber más de un valor que sea moda)
Para obtener la Mediana se deben ordenar los
datos en forma ascendente o descendente, o
sea 1, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 9. La mediana,
valor que divide a los datos en dos partes
iguales, está entre 6 y 7 por lo que es 6,5.
*** Ejercicios PSU ***
1. Las notas de pablo en Biología son 6,3; 3,8;
6,7 y 6,7. ¿Qué nota debe obtener Pablo en su
quinta prueba para que su promedio final sea
un 6,0?
A) 7,0 B) 6,5 C) 6,3 D) 6,0 E) 5,9
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En total son 5 las notas que se deben
promediar, 4 de ellas conocidas, o sea
0,65
x7,67,68,33,6
, de donde
23,5 + x = 30
x = 6,5.
La alternativa correcta es B.
2. Dados los siguientes datos: a – 3d, a – 2d, a
– d, a, a + d, a + 2d, a + 3d con d>0.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) La moda es a + 3d.
II) La media aritmética es a.
III) La mediana es a.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo II y III E) I, II y III
Son verdaderas II y III. En la II se suman
todos los datos se divide por 7 y así se obtiene
que la media es a. La mediana corresponde al
valor a (los datos ya están ordenados)
3. Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000,
$10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. La moda es $10.000.
II. La mediana es $10.000
III. El promedio es $9.600.
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II
D) Sólo I y III E) I, II y III
Alternativa correcta E.
GEOMETRÍA
Triángulos congruentes: Un ABC es
congruente con otro DEF si sus lados
respectivos (homólogos) son congruentes y sus
ángulos respectivos (homólogos) también los
son.
En la figura vemos que AB DE; BC EF; AC
DF; y CAB FDE, CBA FED, BCA
DFE, entonces el ABC DEF.
Para que dos triángulos sean congruentes, es
suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos
sean congruentes. Las condiciones requeridas
para esto se conocen como criterios de
congruencia y se expresan en los siguientes:
Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos
lados congruentes y el ángulo comprendido por
ellos también congruente.
ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y
BC EF.
Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos
ángulos congruentes y el lado común a ellos,
también congruente.
GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y
HIG KLJ
Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)
Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres
lados respectivamente congruentes.
MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM
RP
Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos
lados congruentes y el ángulo opuesto al lado
de mayor medida, también congruente.
ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA
DFB, siendo AC y BD los lados de mayor
medida.
*** Ejercicios PSU ***
1. Los triángulos ABC y DEF de la figura son
congruentes, entonces la medida de EF es:
A) 9 B) 15 C) 17
D) 40 E) Falta información
Alternativa correcta C.
A
C
17
B
40
80
15
F
D
E
60 80
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2. En la figura, el ABC DEF, entonces se
verifica que:
A) AC DF B) BC DE C) AB FE
D) AC FE E) AB FD
Alternativa correcta A.
Transformaciones Isométricas
Traslación: Los pares indican si la traslación
es hacia la izquierda o hacia la derecha
(abscisa del par) y si la traslación es hacia
arriba o hacia abajo (ordenada del par).
Rotaciones de un punto (x, y)
Al rotar: En 90º se transforma en (-y, x)
En 180º se transforma en (-x, -y)
En 270º se transforma en (y, -x)
En 360º vuelve a ser (x, y)
A la derecha (sentido horario), rotación
negativa.
A la izquierda (sentido antihorario), rotación
positiva.
Simetrías (o Reflexiones)
Axial: Simetría con respecto a un eje. La
reflexión de un punto A en torno a una recta L,
es un punto A’ tal que L'AA y 'PAAP .
Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al eje x,
obtenemos el punto A’(x, -y). Si reflejamos
A(x, y) en torno al eje y, obtenemos el punto
A’(-x, y).
Central: Simetría con respecto a un punto. La
reflexión de un punto A en torno a un punto P,
es un punto A’ tal que A, P y A’ son colineales y
'PAAP . Si reflejamos el punto A(x, y) en
torno al origen (0,0), se obtiene el punto A’(-x,
-y)
*** Ejercicios PSU ***
1. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5),
B(2,1) y C(3,1), según el vector de traslación
(4,-1), el vértice homólogo de B es:
A) (3,4) B) (2,1) C) (6,0) D) (4,-1) E) (7,0)
Como el vector traslación es (4,-1) debemos
trasladar los puntos dados 4 unidades a la
derecha y 1 hacia abajo. Por consiguiente el
punto B quedará ubicado en (6,0).
La alternativa correcta es C.
2. En la figura, las coordenadas del punto A
son (-4, -1), ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El punto simétrico de A con respecto al
eje y es el punto (4, -1)
II) Al rotar el punto
A en 90º en
sentido horario,
en torno al
origen se
obtiene el punto
(-1, 4).
III) Al trasladar el
punto A dos unidades a la derecha y 2
unidades hacia arriba, se obtiene el punto
(-2, 1)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y III E) I, II y III
El I es verdadero, ya que para que sea
simétrico con respecto al eje y, debe estar a
igual distancia de éste, pero en sentido
opuesto. El II es verdadero ya que al rotar se
aplica (-y, x) y el III verdadero y sólo hay que
contar los espacio para darse cuenta de ello.
La alternativa correcta es E.
3. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos
regulares permite(n) teselar (embaldosar) el
Plano?
I) Pentágonos
II) Triángulos Equiláteros
III) Hexágonos
A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
Para teselar el plano al unir las figuras y que no
queden huecos entre ellas, debe cumplirse que
la suma de los ángulos en la unión de los
vértices debe ser 360º.
Por lo tanto, cumplen con esa condición los
triángulos equiláteros (60º cada ángulo
interior) y los hexágonos (120º cada ángulo
interior). Los ángulos interiores del pentágono
miden 108º, por lo que al unir tres de ellos,
completan en los vértices 324º y no 360º.
La alternativa correcta es D.
4. El triángulo ABC tiene coordenadas A(2, 3),
B(-3,8) y C(3, 7). Si se aplica una traslación
según el vector (5, -7), las nuevas coordenadas
del triángulo serán:
I. A’(7,-4)
II. B’(-8, 1)
III. C’(8, 0)
A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
La alternativa correcta es C.
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos
son iguales uno a uno, respectivamente; los
C
A B
D
F E
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lados opuestos a dichos ángulos son
proporcionales
Para determinar la semejanza entre dos
triángulos existen tres criterios que son los
siguientes:
Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos de
sus ángulos respectivamente iguales.
Si se dice que A = D y que el C = F,
entonces el ABC DEF
Segundo Criterio: Lado-Ángulo-Lado (LAL)
Dos triángulos son semejantes si dos de sus
lados son proporcionales respectivamente y
congruente el ángulo que forman.
Si se dice que EF
BC
DE
AB y que B = E,
entonces el ABC DEF
Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si sus tres lados
son respectivamente proporcionales.
Si se dice que FD
CA
EF
BC
DE
AB entonces el ABC
DEF
*** Ejercicios PSU ***
Los triángulos ABC y DEF son semejantes. AB =
6 cm., BC = 12 cm., DE = 10 cm. y DF = 7,5
cm. Determinar AC + EF.
A) 7,2 cm. B) 12,5 cm. C) 19,5 cm.
D) 19,7 cm. E) 24,5 cm.
Alternativa correcta E.
Teorema de Thales
Algunas proporciones:
BD
PB
AC
PA ;
PD
PB
PC
PA ;
CD
PC
AB
PA (Esta es la
principal)
*** Ejercicios PSU ***
1. En el ∆ ABC de la figura 13, se sabe que AB
= 48 cm, SP = 12 cm, CB//QR//SP y AP : PR :
RB = 1 : 2 : 3, entonces el valor de CB es:
A) 96 cm
B) 72 cm
C) 48 cm
D) 36 cm
E) 24 cm
Como AP:PR:RB = 1:2:3 y AB=48 cm.
Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.
Luego BC
AB
PS
AP reemplazando por los valores
correspondientes y despejando CB, se obtiene
que su medida es 72 cm.
Alternativa correcta B.
2. La figura muestra un rectángulo ABEF con
BC=10, CF=5 y CD=4. ¿Cuánto mide el
perímetro del trapecio ABCD?
A) 16
B) 22
C) 28
D) 32
E) 36
Alternativa correcta D.
Teoremas de la circunferencia
1. El ángulo del centro
mide el doble que
todos aquellos
ángulos inscritos que
subtienden el mismo
arco.
<AOC = 2<ABC
2. Todos los ángulos inscritos que subtienden
el mismo arco, miden lo mismo.
3. Todo ángulo inscrito en una
semicircunferencia es recto.
4. Todo ángulo semi-inscrito en una
circunferencia tiene medida igual a la mitad
D
F C
B E A
F
E D
C
A B
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de la medida del ángulo del centro, que
subtiende el mismo arco.
5. La intersección de un radio y la tangente a
la circunferencia forman un ángulo recto.
5. Si desde un punto se trazan dos tangentes
a una circunferencia, los trazos formados
son congruentes.
6. La medida de un ángulo interior es igual a
la semisuma de las medidas de los arcos
correspondientes.
2
CDABAEB
7. La medida de un ángulo exterior es igual a la
semidiferencia de las medidas de los arcos
correspondientes.
2
BECDCAD
Proporcionalidad en la circunferencia
Dos cuerdas
PA PC = PB PD
Dos secantes
PB PA = PD PC
Una secante y una tangente
PC2 = PB PA
*** Ejercicios PSU ***
1. En la figura siguiente, AC y BC son
tangentes a la circunferencia de centro O. Si
<ACB = 70°, entonces el <ABO =
A) 20° B) 35° C) 45°
D) 55° E) 70°
El ángulo ACB = 70º,
además los ángulos
CBO y CAO, son rectos,
obteniéndose para el ángulo AOB = 110º.
Como AO = OB, por ser radios, entonces el
ángulo ABO = 35º. La alternativa B es la
correcta.
2. Desde un punto distante 5 cm. del centro de
una circunferencia se ha trazado a ésta una
tangente de 3 cm de longitud. Determinar la
medida del diámetro de la circunferencia.
A) 2,5cm B) 4cm C) 5cm
D) 8cm E) 10cm
Se aplica el teorema de la tangente y la
secante o el teorema de Pitágoras,
obteniéndose que el radio de la circunferencia
es 4 cm. Luego el diámetro mide 8 cm.
Alternativa D: correcta.
3. En la circunferencia de la figura AB // CD.
¿Cuál(es) de las siguiente afirmaciones es(son)
verdadera(s)
I.
II.
III. º180
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III
D) Sólo I y II E) I, II y III
Alternativa correcta D.
4. Se tiene el triángulo ABC isósceles
rectángulo en A. Sus catetos miden 1. AD, DE
y DF son radios de la semicircunferencia y DF
es perpendicular a BC. ¿Cuánto vale el radio de
la semicircunferencia inscrita?
A) 12 B) 2
2
C) 12 D) 13
E) 22
Alternativa correcta C.
TEOREMAS DE EUCLIDES
BDADCD2
ADABAC2
BDABBC2
AB
BCACCD
o sea
hipotenusa
catetocatetoaltura
*** Ejercicios PSU ***
1. En la figura 9, si AD = 1 cm y AB = 6 cm,
entonces ¿cuánto mide CD?
C
D B A
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A) 5 cm
B) 6 cm
C) 26 cm
D) 6 cm
E) 25 cm
Alternativa correcta A.
2. En la circunferencia de centro O, AB es
diámetro, CD BD; CD = 4; BD = 3. El radio
es:
A) 5 B) 3
25
C) 3
5 D)
9
25
E) 6
25
Alternativa correcta E.
Perímetros, Áreas y Volumenes
Triángulo Cualquiera
p = a + b + c
2
h·c
2
altura·baseá
Triángulo Rectángulo
p = a + b + c
2
b·a
2
cateto·catetoá
Triángulo Equilátero
p = 3a 2
3ah
4
3aá
2
Cuadrado
p = 4a
á = a2
2
dá
2
Rectángulo
p = 2a + 2b
á = lado · lado = a·b
Rombo
p = 4a
á = base · altura = b · h
2
f·e
2
diagonal·diagonalá
Romboide
p = 2a + 2b
á = a · h
Trapecio
p = a + b + c + d
2
h)·ca(
2
altura)·2base1base(á
á = Mediana · altura = M · h
Circunferencia y Círculo
p = 2·r
á = ·r2
Sector Circular
360
r2r2ABr2p
360
·rá
2
Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres
dimensiones son iguales.
26aA
3aV
Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas
bases son dos rectángulos.
A = 2(ab+ac+bc)
V = abc
Cilindro: Es el Cuerpo geométrico engendrado
por la revolución de un rectángulo alrededor de
uno de sus lados
)(2 rHrA
HrV 2
Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un
polígono cualquiera y sus caras laterales
triángulos
lateralbase AAA
HBV 3
1
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Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por
la revolución de un triángulo rectángulo
alrededor de uno
lateralbase AAA
HrV 2
3
1
Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la
revolución completa de un semicírculo
alrededor de su diámetro.
24 RA
3
3
4RV
*** Ejercicios PSU ***
1. Unas pelotas se venden en latas de forma
cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si
el diámetro de la lata es de 6 cm. Calcular el
volumen, en cm3, que queda libre en el interior
de una lata.
a) 162 b) 126 c) 108
d) 54 e) Ninguno de los valores anteriores
El volumen del cilindro del enunciado queda
determinado por 16218·3· 2 y el volumen de
cada esfera por 3633
4 3· y como son 3
esferas, 108363 . Por lo tanto, el volumen
libre al interior de la lata es 162 - 108 = 54
cm3.
La alternativa D es la correcta.
2. Se tiene un prisma cuya base es un
hexágono regular de lado 2 . La altura del
prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del prisma?
A) 9 B) 18 C) 29
D) 39 E) 69
Como la base es un
hexágono regular, esta formado por 6
triángulos equiláteros. Por lo tanto su área es
334
312
4
326
4
36
22
a
A
Voumen del prisma A·h = 9333
La alternativa correcta es A.
Geometría del espacio
Aquí lo fundamental es ubicar puntos en el
sistema de coordenadas tridimensional. Es
conveniente practicar para tener claridad en la
posición de cada punto, utilizando para ello
paralelepípedos.
*** Ejercicio PSU ***
1. El triángulo ABC de la figura tiene sus
vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0,
0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su
perímetro miden, respectivamente:
A) 22
1 y 23 B) 3
2
1 y 2
C) 3 y 23 D) 32
1 y 23
E) 22
1 y 2
Los puntos A, B y C están a una distancia 1 del
origen. Por Pitágoras se obtiene que AB = BC =
AC = 2 , por lo tanto el perímetro del
triángulo es 23 . Para determinar el área de
este triángulo, que es equilátero, lo hacemos
aplicando la fórmula 4
3aA
2
donde el lado a
= 2 . Por lo tanto, 2
3
4
3·2A
2
.
La alternativa correcta es D.
2. Un plano queda determinado mediante:
I. Tres puntos cualesquiera
II. Una recta y un punto no contenido en
ella.
III. Dos rectas paralelas no coincidentes.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III
D) Sólo II y III E) I, II y III
La alternativa correcta es D.
3. Un cubo tiene lado 2, como el de la figura.
¿Cuáles son las coordenadas del centro de
gravedad del cubo?
A) (0, 1, 0)
B) (2, 2, 2)
C) (1, 0, 1)
D) (0, 0, 0)
E) (1, 1, 1)
La alternativa correcta es E.
Danny Perich C.
FORMULARIO PSU
He preparado este formulario como una última actividad para realizar antes
de enfrentar la Prueba de Selección Universitaria P.S.U. En él se encuentran la mayoría de las fórmulas a utilizar en la Prueba y para
una mayor comprensión de sus aplicaciones, he agregado a algunas de ellas ejercicios resueltos, optando especialmente por aquellos que han salido en los ensayos oficiales publicados por el DEMRE.
Espero que este material sirva como un último repaso antes de rendir la PSU, que se implementará con el conocimiento que has adquirido tras 4 años de estudio en la enseñanza media. Porcentaje:
100a
%a =
a% del b% de c= cba
⋅⋅100100
Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio de porcentaje y obtengan un resultado, vuelve a leer lo que te preguntan para que no te equivoques al responder por algo que no te estaban consultando. (Esto en muy común en %) *** Ejercicio PSU *** En un curso de 32 alumnos 8 de ellos faltaron a clases. ¿Qué porcentaje asistió?
A) 75% B) 25% C) 24% D) 0,25% E) 0,75% Lo típico es que se plantee que
x%
alal 100
832
= obteniéndose para x = 25%, que obviamente está en las alternativas,
pero que no es lo que preguntan, ¡cuidado! La alternativa correcta es A ya que se pregunta por el porcentaje de asistencia. Interés simple C = K·(1 + nr), donde K es el capital inicial, n los períodos, C capital acumulado y r la tasa de interés simple. Interés compuesto C = K·(1 + i)n donde K es el capital inicial, n los períodos, C capital acumulado e i la tasa de interés compuesto. *** Ejercicio PSU *** ¿A qué % anual se colocaron $ 75.000 que en 24 días han producido $ 250?
a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5%
Considerando que el tiempo está dado en días, debemos resolver el producto 36.000 por 250 y el producto 75.000 por 24. Luego se efectúa la división entre ambos lo que determina el porcentaje anual. La alternativa E es la correcta.
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Proporcionalidad Directa:
kba
=
Proporcionalidad Inversa: a · b = k Para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. *** Ejercicio PSU *** y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =
A) 21
B) 41
C) 2 D) 4 E) 9
Como y es inversamente proporcional al cuadrado de x, entonces y·x2 = k reemplazando se obtiene 16·12 = k, de donde k = 16. Entonces si x = 8, resulta
y·82 = 16, o sea 64y=16 de donde 41
6416
==y . Alternativa B.
Cuadrado del Binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
*** Ejercicio PSU ***
Si y , entonces a · b = 2)ba(n += 2)ba(p −=
A) 2
pn − B)
4
44 pn − C)
4
22 pn − D)
4pn −
E) 4(n – p)
222 2 baba)ba(n ++=+= 222 2 baba)ba(p +−=−=
n – p = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab - b2
O sea n – p = 4ab
De donde 4
pnab
−= . Alternativa D
Suma por Diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 FACTORIZAR Un polinomio cuyos términos tienen un factor común. mx - my + mz = m( x - y + z ) Un trinomio cuadrado perfecto. a2 2ab + b± 2=(a ± b)2
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Factorización de la diferencia de dos cuadrados a2 - b2 = (a + b)(a - b). Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) *** Ejercicio PSU *** ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica ? 20x6x2 2 −−
I) 2 II) (x – 5) III) (x + 2)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III Generalmente los alumnos responden la alternativa A, ya que se dan cuenta que todos los términos del trinomio son múltiplos de 2, pero no consideran que se puede factorizar y obtener que:
)x)(x()xx(xx 52210322062 22 −+=−−=−− . Por lo tanto la alternativa correcta es E. ECUACION DE LA RECTA
Forma General: ax + by + c = 0
Forma Principal: y = mx + n
En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. Pendiente dado dos puntos
12
12xxyy
m−−
=
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
1
1
12
12xxyy
xxyy
−−
=−−
Ecuación de la recta dado punto-pendiente y - y1 = m(x - x1)
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares
Paralelas L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 distinto a n2
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Coincidentes L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2
Perpendiculares L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 ⊥ L2 sí y sólo si m1· m2 = -1 *** Ejercicio PSU *** 1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y que es paralela con la recta x+5y–3=0, es:
a) –x+y+5=0 b) x+5y+19=0 c) x+y+3=0 d) –5x+y+9=0 e) x+5y+21=0
Al despejar y de la recta dada se obtiene 5
3 xy −= , o sea la pendiente es –1/5.
Entonces la recta pedida también pendiente -1/5 por ser paralelas y como pasa por
el punto (1,-4) queda determinada por )1(514 −−=+ xy que al resolver resulta
x+5y+19=0. Alternativa B es correcta. 2. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean perpendiculares.
a) K = 3/4 b) K = 1/2 c) K = -1/2 d) K = –4/3 e) K = -2 Se despeja y de ambas ecuaciones. Luego y = Kx-3 ; y = -2x-4K. Se multiplican las pendientes de cada recta igualando a -1, ya que deben ser perpendiculares, obteniéndose K·(-2) = -1. Luego K=1/2. La alternativa B es la correcta.
Cálculo de probabilidades
PosiblesCasosFavorablesCasos
)A(P =
1=+ )A(P)A(P , siendo )A(P la probabilidad de que no ocurra el suceso A. *** Ejercicio PSU *** Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra? A) 0,45 B) 0,55 C) 0,65 D) -0,45 E) -0,55
0,45 + )A(P = 1, entonces )A(P = 1 – 0,45 = 0,55. Alternativa B.
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PROBABILIDAD TOTAL Probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.
)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ Si los eventos son excluyentes (A ∩ B = φ), la probabilidad de que se produzca A o B es:
)B(P)A(P)BA(P +=∪
PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad que se den simultáneamente dos sucesos:
)A/B(P)A(P)BA(P ⋅=∩ Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, se dice que son eventos independientes. En este caso se da que:
)B(P)A(P)BA(P •=∩ *** Ejercicio PSU *** 1. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes.
a) 1/100 b) 1/5 c) 1/130 d) 23/130 e) 1/20 La probabilidad de obtener un rey en la primera sacada es 4/40 y luego de extraer otro rey, sin devolución, es 3/39, , por lo tanto la probabilidad total es
1301
131
101
393
404
=⋅=⋅ . La alternativa C es correcta.
2. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
a) 6/5 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/5 e) 4/5 Para obtener la probabilidad pedida se debe efectuar la siguiente operación
53
54
21
52
21
=⋅+⋅ , donde el 1/2 corresponde a la probabilidad de elegir una de las
urnas, el 2/5, de sacar una bola blanca de la primera urna y el 4/5 de sacar una bola blanca de la segunda urna. Alternativa correcta: D. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
nmnm aa·a += nmnm aa:a −=
10 =a ; a≠0
nn
aa
1=− , considerar que
nn
ab
ba
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
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( ) mnnm aa = *** Ejercicio PSU ***
=+−
−−
1
11
543
A) 3512
B) 1235
C) 57
D) 75
E) 125
1235
51
127
51
1234
51
41
31
543
1
11==
+
=+
=+−
−−
Alternativa B.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Producto y división de raíces Del mismo índice:
nnn abba =⋅
nn
n
ba
b
a=
De distinto índice
mnmn baba11
⋅=⋅ Raíz de una raíz
mnm n aa = *** Ejercicio PSU ***
=3 22
A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1
331
62
613
61
21
61
21
6322222
2
222
22
=======−
−
Alternativa B. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Si ax2 + bx + c = 0, entonces
a2ac4bb
x2 −±−
=
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*** Ejercicio PSU *** Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x – 1) = 20 son
A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5 D) 4 y –5 E) –4 y 5
Se efectúa el producto y se obtiene que x2 – x = 20, o sea x2 – x – 20 = 0.
Entonces 2
912
8011 ±=
+±=x de donde x1 = 5 y x2 = -4. Alternativa E.
Suma de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:
ab
xx 21−
=+
Producto de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:
ac
xx 21 =⋅
*** Ejercicio PSU *** Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, ¿cuál es el valor de c?
A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E) 35
Al ser x = 3 una solución, este valor puede ser reemplazado en la ecuación obteniéndose 32 + 5·3 + c = 0 de donde c = -9 – 15 = -24. Alternativa A. FUNCIÓN CUADRÁTICA f(x) = ax2 + bx + c Concavidad El coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abren hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0) Vértice
Para determinar el vértice es conveniente determinar primero ab
x2−
= ,
posteriormente se reemplaza el valor obtenido en la función para calcular el valor y. Eje de simetría de la parábola
Corresponde a la recta ab
x2−
= , paralela al eje y.
Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x. Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la derecha del eje x. Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la derecha del eje x. Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.
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Intersección con los ejes La intersección con el eje y la da el coeficiente c y corresponde al punto (o, c). La intersección con el eje x está determinada por el valor del discriminante b2-4ac. Si b2-4ac>0, la parábola corta en dos puntos al eje x. Si b2-4ac=0, la parábola corta en un punto al eje x. Si b2-4ac<0, la parábola no corta al eje x. TRIGONOMETRÍA
hipotenusaopuestocateto
sen =α
hipotenusaadyacentecateto
cos =α
adyacentecatetoopuestocateto
tg =α
opuestocatetoadyacentecateto
ctg =α
adyacentecatetohipotenusa
sec =α
opuestocatetohipotenusa
eccos =α
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
1. α
=αcos
sec1
2. α
=αsen
eccos1
3. αα
=αcossen
tg
4. αα
=αsencos
ctg
5. 122 =α+α cossen
6. α+=α 22 1 tgsec
7. α+=α 22 1 ctgeccos ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CONOCIDAS
0º 30º 45º 60º 90º
sen 0 21
22
23
1
cos 1 23
22
21
0
tg 0 33
1 3 ∞
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*** Ejercicio PSU ***
En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB=5 cm. y tg �= 23
, entonces
BC = B
α A
C
a) 3 cm. b)
1315
cm. c) 13
10 cm. d)
215
cm. e) 2 cm.
Como tgα = 3/2 = 3p/2p, se plantea por Pitágoras que de donde 2549 22 =+ pp
135
=p . Luego 13
15=BC La alternativa B es correcta.
LOGARITMOS Logaritmo de base a de un número n
naXnlog xa =⇔=
Logaritmo del producto de dos números: log(a⋅b) = loga + logb Logaritmo del cociente de dos números:
blogalogba
log −=
Logaritmo de una potencia: alognalog n ⋅=
Logaritmo de una raíz.
alogn
alogn 1=
Logaritmo de un número a, en base a. 1=aloga
Cambio de base:
bx
xa
ab log
loglog =
A base 10
bxxb log
loglog =
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Valores de algunos logaritmos:
log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2
log 1000 = 3
log 0,1 = -1
log 0,01 = -2
log 0,001 = -3
*** Ejercicio PSU ***
Si 21
1=
−)
xlog( , entonces x vale
A) 10099
− B) –99 C) 10099
D) 100101
− E) 2019
Si 21
1=
−)
xlog( , entonces 100
11
log)x
log( =−
Entonces 1001
1=
− xde donde 1 = 100 – 100x.
Por lo tanto 100x = 99 y x = 10099
Alternativa C.
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GEOMETRÍA
Teorema de Thales
Algunas proporciones:
BDPB
ACPA
= ; PDPB
PCPA
= ; CDPC
ABPA
= (Esta es la principal)
*** Ejercicio PSU *** En el ∆ ABC de la figura 13, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, CB//QR//SP y AP : PR : RB = 1 : 2 : 3, entonces el valor de CB es:
A) 96 cm B) 72 cm C) 48 cm D) 36 cm E) 24 cm
Como AP:PR:RB = 1:2:3 y AB=48 cm. Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.
Luego BCAB
PSAP
= reemplazando por los valores correspondientes y despejando CB,
se obtiene que su medida es 72 cm. Alternativa correcta B.
Teoremas de la circunferencia 1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que
subtienden el mismo arco.
<AOC = 2<ABC 2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo. 3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad
de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco. 5. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los
trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
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6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.
2CDAB
AEB+
=<
7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de
los arcos correspondientes.
2BECD
CAD−
=<
Proporcionalidad en la circunferencia Dos cuerdas
PA • PC = PB • PD Dos secantes
PB • PA = PD • PC. Una secante y una tangente
PC2 = PB • PA
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*** Ejercicio PSU *** 1. En la figura siguiente, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O. Si <ACB = 70°, entonces el <ABO =
a) 20° b) 35° c) 45° d) 55° e) 70° El ángulo ACB = 70º, además los ángulos CBO y CAO, son rectos, obteniéndose para el ángulo AOB = 110º. Como AO = OB, por ser radios, entonces el ángulo ABO = 35º. La alternativa B es la correcta.
2. Desde un punto distante 5 cm. del centro de una circunferencia se ha trazado a ésta una tangente de 3 cm de longitud. Determinar la medida del diámetro de la circunferencia.
a) 2,5 cm. b) 4 cm. c) 5 cm. d) 8 cm. e) 10 cm.
Se aplica el teorema de la tangente y la secante o el teorema de Pitágoras, obteniéndose que el radio de la circunferencia es 4 cm. Luego el diámetro mide 8 cm. Alternativa D: correcta.
TEOREMAS DE EUCLIDES
A B D
C BDADCD2 •=
ADABAC2 •=
BDABBC2 •=
ABBCAC
CD⋅
= (Muy útil, apréndela)
*** Ejercicio PSU *** En la figura 9, si AD = 1 cm y AB = 6 cm, entonces ¿cuánto mide CD?
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 26 cm D) 6 cm E) 25 cm
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Transformaciones Isométricas Traslación: Los pares indican si la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha (abscisa del par) y si la traslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del par). *** Ejercicio PSU *** Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,1) y C(3,1), según el vector de traslación (4,-1), el vértice homólogo de B es:
a) (3,4) b) (2,1) c) (6,0) d) (4,-1) e) (7,0) Como el vector traslación es (4,-1) debemos trasladar los puntos dados 4 unidades a la derecha y 1 hacia abajo. Por consiguiente el punto B quedará ubicado en (6,0). La alternativa correcta es C. Rotaciones de un punto (x, y)
En 90º se transforma en (-y, x)
En 180º se transforma en (-x, -y)
En 270º se transforma en (y, -x)
En 360º vuelve a ser (x, y)
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Figura Geométrica Perímetro y Área
Triángulo Cualquiera
p = a + b + c
2h·c
2altura·base
á ==
Triángulo Rectángulo
p = a + b + c
2b·a
2cateto·cateto
á ==
Triángulo Equilátero
p = 3a
23a
h =
43a
á2
=
Cuadrado
p = 4a á = a2
2d
á2
=
Rectángulo
p = 2a + 2b
á = lado · lado = a·b
Rombo
p = 4a
á = base · altura = b · h
2f·e
2diagonal·diagonal
á ==
Romboide
p = 2a + 2b
á = a · h
Trapecio
p = a + b + c + d
2h)·ca(
2altura)·2base1base(
á+
=+
=
á = Mediana · altura = M · h
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Circunferencia y Círculo
p = 2π·r á = π·r2
Sector Circular
360r2
r2ABr2pαπ
+=+=
360·r
á2 απ
=
Nombre Figura Área Volumen Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.
26aA = 3aV =
Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectángulos.
A = 2(ab+ac+bc) V = abc
Cilindro: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados
)(2 rHrA += π HrV ⋅= 2π
Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos
lateralbase AAA += HBV ⋅=31
Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno
lateralbase AAA += HrV ⋅= 2
31 π
Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.
24 RA π= 3
34 RV π=
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*** Ejercicio PSU *** Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la lata es de 6,5 cm. Calcular el volumen, en cm3, que queda libre en el interior de una lata.
a) 162π b) 126π c) 108π d) 54π e) Ninguna de las anteriores
El volumen del cilindro del enunciado queda determinado por y el
volumen de la esfera por
π=π 16218·3· 2
π=π 1083·34 3 . Por lo tanto, el volumen libre al interior de la
lata es 162π - 108π = 54π cm3. La alternativa D es la correcta
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RESUMEN PSU
ORDEN DE OPERACIÓN
Para operar correctamente no te olvides que existe un orden(prioridad) que se debe respetar y es el siguiente:
1º Paréntesis2º Potencias3º Multiplicación y División4º Suma y Resta
Números en potencia de 10
Todo número puede ser expresado en potencia de diez. Veamos el siguiente ejemplo:739 = 7·100 + 3·10 + 9·1 = 7·102 + 3· 101 + 9·100 = 7 centenas + 3 decenas + 9 unidades.
Debes tener presente al operar con 0 que la división por 0 no está definida.
Un número de dos cifras se representa por 10+y.Un número de tres cifras se representa por 100x+10y+z
Orden en Q
Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elementoUn método es el de los productos cruzados ¿Cuál
fracción es menor 97
o´711
?
Se efectúa el producto 77 = 49 y 911 = 99, como
49 es menor que 99, se concluye que 97
<711
Fracción de Fracción
La fracción de una fracción corresponde al producto entre ellas.
Decimales a fracción
Decimal exacto: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10; dependiendo la cantidad de ceros, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.
Decimal Períodico: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9; dependiendo lacantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar. _ Ejemplo: 0,4 = 4/9 Caso especial es cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el número la parteentera como lo indican los siguientes ejemplos: _2,7 = (27 - 2) / 9 = 25/9 Si el decimal es semiperiódico, se procede similarmente al caso anterior. _Ejemplo: 2,53 = (253-25)/90 = 228/90 =114/45 = 38/15
NÚMEROS IRRACIONALES
Corresponde al conjunto de los números que no pueden expresarse en forma fraccionaria, como decimales infinitos no periódicos, raíces inexactas y algunas constantes.
Ejemplo: 3 , , e
LENGUAJE ALGEBRAICO
Números consecutivos cualesquiera -----> x, x+1, x+2, x+3, x+4, .....
Números pares consecutivos -----> 2x, 2x+2, 2x+4,2x+6, 2x+8 .....
Números impares consecutivos -----> 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9 .....
Múltiplos de 5 consecutivos -----> 5x, 5x+5, 5x+10,5x+15, 5x+20, ......
Antecesor de un número cualquiera -----> x - 1
Sucesor de un número cualquiera -----> x + 1
Semi-suma de dos números -----> 2
yx
Semi-diferencia de dos números -----> 2
yx
Proporcionalidad Directa:
Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cuociente es constante.
kba
Proporcionalidad Inversa:
Dos cantidades a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante.
a · b = kpara ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad.
Cuadrado del BinomioCorresponde al producto de un binomio por sí mismo.
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
Suma por DiferenciaCorresponde al producto de la suma de dos términospor su diferencia.Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia,o sea (a – b)
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.
Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz. Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea mx - my + mz = m( x - y + z ). Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que (a b)2 = a2 2ab + b2. Luego, se tendrá inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2.
Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2. Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).
Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n. Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Luego, se tendrá inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Ejemplos: Factorizara) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)
(x + 3)b) x2 + 5x – 14 = x2 + (7 – 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x
– 2)
Embaldosado o Teselaciones
Embaldosar o teselar, significa recubrir el plano con figuras que se repiten de modo que al unir las figuras se recubre completamente el plano y la intersección de dos figuras es vacía (sin huecos).
Teselación Regular
La Teselación regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
TRASLACIÓN
Isometría determinada por un vector. O sea, el movimiento de traslación tiene: Dirección: horizontal, vertical y oblicua.Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.Magnitud: Distancia entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura.
ROTACIÓN
Isometría en quetodos los puntosgiran un ánguloconstante conrespecto a unpunto fijo. Elpunto fijo sedenomina centrode rotación y lacantidad de girose denomina ángulo derotación. O sea todos los puntos de la figura son rotadas a través de círculos concéntricos en O y ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.
REFLEXIÓN
Una reflexión osimetría axial esuna simetría queestádeterminada poruna rectallamada eje desimetría.
En la figura se ve que la parte que está a la derecha del eje y, es exactamente igual a la parte que está a la izquierda de este mismo eje. Entonces hablamos de figuras
simétricas y el eje de simetría corresponde al eje de las ordenadas.La distancia desde A al eje y es la misma que de A’ a este eje. Lo mismo ocurre con los restantes puntos homólogos del triángulo.
Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente.
ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y BC EF. Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos, también congruente.
GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y HIG KLJ
Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.
MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM RP
Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente.
ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA DFB,siendo AC y BD los lados de mayor medida.
ECUACION DE LA RECTA
La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:
Forma General: ax + by + c = 0
Forma Principal: y = mx + n
En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.
La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea
12
12xxyy
m
Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:
1
1
12
12xxyy
xxyy
Ecuación de la recta dado punto-pendiente
La ecuación de la recta que pasa por un punto P(x1,y1) y tiene pendiente m es:
y - y1 = m(x - x1)
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares
Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 distinto a n2
Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de suspendientes es -1, o sea
L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales
Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulosrespectivamente iguales.
Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL) Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo queforman.
Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.
Teorema de Thales
BDPB
ACPA
CDPC
ABPA
Teoremas de la circunferencia
Recordemos las relaciones fundamentales que se cumplen en las circunferencias.1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos
ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.
<AOC = 2<ABC
2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.
3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.
5. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.
2CDAB
AEB
7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.
2BECD
CAD
Proporcionalidad en la circunferencia
1. Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.
PA PC = PB PD
2. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.
PB PA = PD PC.
3. Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior.
PC2 = PB PA
Cálculo de probabilidades
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 que en tanto por ciento significa entre 0% y 100%.
Regla de Laplace: La probabilidad de que se cumpla un suceso está determinado por el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.
PosiblesCasosFavorablesCasos
)A(P
Suceso Imposible: Corresponde al valor cero.
Suceso Seguro: Corresponde al valor uno.
Sucesos Independientes: Si el suceso B es independientes de la ocurrencia del suceso A, la probabilidad total se dará por el producto de ambas probabilidades.
PROBABILIDAD TOTAL
Se define la Probabilidad Total como la probabilidad de queocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos. La podemos determinar a través de la siguiente fórmula:
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
Si los eventos son excluyentes (A B = ), la probabilidad de que se produzca A o B es:
)B(P)A(P)BA(P
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación inicial.
La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A. O sea:
)A/B(P)A(P)BA(P
Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del sucesoA, se dice que son eventos independientes. En este caso se da que:
)B(P)A(P)BA(P
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1. Suma y resta de raíces:
Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes, o sea del mismo índice y mismo radicando
2. Producto y división de raíces:
Del mismo índice:
621627827•8 3333 De distinto índice:
12 1112 812 33 24 aaaaa =
3. Raíz de una raíz:
Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices.
63 aa
FUNCIÓN CUADRÁTICA
La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales.
Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo. Si a>0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y.
Si a>0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y.
Si a<0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y.
Si a<0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y.
Si b=0, el eje y, es eje de simetría de la parábola.
El punto (0,c) indica la intersección de la parábola con el ejey.
Para resolver una ecuación de segundo grado de
la forma ax2 + bx + c = 0, se aplica la fórmula:
a2ac4bb
x2
Se denomina Discriminante a la expresión b2 - 4ac, y se representa por , letra griega delta mayúscula.
Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.
Se distinguen tres casos:
Si > 0, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas.Si = 0, las dos soluciones son la misma, o sea, x1 = x2.
Si < 0, la ecuación de segundo grado no tiene solución real.
1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado es:
ab
xx 21
2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado es:
ac
xx 21
TEOREMAS DE EUCLIDES
BDADCD2
ADABAC2
BDABBC2
ABBCAC
CD
TRIGONOMETRÍA
ca
hipotenusaopuestocateto
sen
c
b
hipotenusa
adyacentecatetocos
b
a
adyacentecateto
opuestocatetotg
a
b
opuestocateto
adyacentecatetoc tg
b
c
adyacentecateto
hipotenusasec
a
c
opuestocateto
hipotenusaec cos
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
1.
cos
1sec
2.
sen
1cos ec
3.
cos
sentg
4.
sen
costg c
5. 1cossen 22 6. 22 tg1sec
7. 22 ctg1eccos
30 45 60
sen2
1
2
2
2
3
cos2
3
2
22
1
tg3
31 3
LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES
Definición:Logaritmo de base a de un número n, es el exponente
al que debemos elevar el número a, positivo y distinto de 1, para obtener el número n:
naXnlog xa
1 ) El logaritmo del producto de dos números:
log(ab) = loga + logb
2 ) El logaritmo del cociente de dos números:
bab
alogloglog
3 ) El logaritmo de una potencia:
ana n loglog
4 ) El logaritmo de una raíz.
an
an log1
log
5 ) El logaritmo de 1.
01log a
6 ) El logaritmo de un número a, en base a.
1log aa
7) Se cumple que: b
xx
a
ab log
loglog siendo la más
utilizada aquella en que debemos trasformar logaritmos a
base 10, o sea b
xxb log
loglog
Ojo: En algunas ecuaciones logarítmicas podemos obtener soluciones numéricas que no son válidas, lo que nos obliga a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación inicial para decidir sobre su validez
ESTADÍSTICA
Población: Se le llama población o universo, al conjunto total de individuos u objetos que se desean investigar.
Muestra: Es un grupo de una población. Se utiliza cuando la población es muy numerosa, infinita o muy difícil de examinar.
Distribución de Frecuencias: Las distribuciones de frecuencias, son series estadísticas ordenadas por intervalos de clases, y por lo tanto, corresponden a la clasificación de grupo de datos, de acuerdo a una característica cuantitativa.
Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados):
Para ello debemos considerar cada intervalo con límites cerrado y abierto.
Frecuencias absolutas, estas frecuencias son las que se obtienen directamente del conteo.
Las frecuencias relativas que corresponden a los porcentajes de cada frecuencia absoluta.
C
D BA
Frecuencia absoluta acumulada que corresponde a la frecuencia absoluta del intervalo más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa acumulada que corresponde al porcentaje de la frecuencia relativa del intervalo más la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores.
La marca de clase corresponde al valor medio de cada intervalo.
Gráfico de Barras: Se usa fundamentalmente para representar distribuciones de frecuencias de una variable cualitativa o cuantitativa discreta y, ocasionalmente, en la representación de series cronológicas o históricas. Uno de los ejes sirve para inscribir las frecuencias, ya sean absolutas o relativas(%), y el otro para la escala de clasificación utilizada.
Gráfico circular: Se usa, fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta.En este gráfico se hace corresponder la medida del ángulo de cada sector con la frecuencia correspondiente a la clase en cuestión. Si los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados, a cada 1% le corresponderán 3,6º. Luego, para obtener el tamaño del ángulo para un sector dado bastaría con multiplicar el por ciento correspondiente por 3,6º (por simple regla de tres).
Histograma: Este gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje Y, y en el eje X la variable
Polígono de frecuencias: Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, perocomo no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en elmismo gráfico más de una distribución.
Ojiva: Su objetivo, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas
Pictograma: Se utiliza un dibujo relacionado con el tema, para representar cierta cantidad de frecuencias. Este tipo de gráfica atrae la atención porlos dibujos, pero la desventaja es que se lee en forma aproximada.
Medidas de Tendencia Central
La media aritmética: comúnmente conocida como media opromedio. Se representa por medio de una letra M en otros casos por X .
La mediana: la cual es el puntaje que es ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md.
La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo.
Para determinar la mediana, se ordenan los valores de mayor a menor o lo contrario. Se divide el total de casos entre dos, una vez el valor resultante corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.
Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos, se suma cada uno de los valores y se divide entre el total de casos.
La moda se identifica al observar el valor que se presenta con más frecuencia en la distribución.
Figura Geométrica Perímetro y ÁreaTriángulo Cualquiera
p = a + b + c
2h·c
2altura·base
á
Triángulo Rectángulo
p = a + b + c
2b·a
2cateto·cateto
á
Triángulo Equiláterop = 3a
23a
h
43a
á2
Cuadradop = 4aá = a2
2d
á2
Rectángulo
p = 2a + 2b
á = lado · lado = a·b
Rombo p = 4a
á = base · altura = b · h
2f·e
2diagonal·diagonal
á
Romboide
p = 2a + 2b
á = a · h
Trapecio
p = a + b + c + d
2h)·ca(
2altura)·2base1base(
á
á = Mediana · altura = M · h
Circunferencia y Círculo
p = 2·r á = ·r2
Sector Circular
360r2
r2ABr2p
360·r
á2
Nombre Figura Área Volumen
Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.
26aA 3aV
Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectángulos.
A = 2(ab+ac+bc) V = abc
Cilindro: Es el Cuerpogeométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados
)(2 rHrA HrV 2
Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos
lateralbase AAA HBV 3
1
Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno
lateralbase AAA HrV 2
3
1
Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa deun semicírculo alrededor de su diámetro.
24 RA 3
3
4RV