apuntes de preparación para la psu matemática

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Apuntes de preparacin para la o

Prueba de Seleccion Universitaria

MATEMATICA

Preuniversitario Popular

V ctor Jara

Pamela Paredes N unez Licenciada en Ciencias Exactas Estudiante de Licenciatura en Educacin o Universidad de Chile

Manuel Ramrez Panatt Profesor de Estado en F sica y Matemtica a Licenciado en Ciencias Exactas y Educacin o Universidad de Chile

Apuntes de Preparacion para la Prueba de Seleccion Universitaria Matematica.Autores

Pamela Paredes Nnez u Manuel Ram rez Panatt Diseno y Diagramacion

Manuel Ram rez Panatt Primera edicion

Abril de 2008 Segunda edicion

Marzo de 2009Reimpresiones

Abril de 2010 y Marzo de 2011 Registro de Propiedad Intelectual N 171.533 Santiago, Chile.

Las ediciones de este documento se mantendrn actualizadas en la web http://zeth.ciencias.uchile.cl/manramirez a

Simbolog Matematica a< > // es menor que es mayor que es menor o igual que es mayor o igual que es perpendicular a es paralelo a angulo contenido en para todo implica si y solo si (doble implicancia) Y para nuestro libro. . . = = = AB es igual a es distinto de es equivalente a es semejante a es congruente con pertenece a no pertenece a trazo AB existe union entre conjuntos interseccion entre conjuntos

Ejemplos Observaciones

Actividades

Un pa mejor se crea con igualdad social, sin una nivelacin cultural no hay igualdad social, s o sin educacin popular no hay nivelacin cultural. . . Creemos educacin popular! o o o

Este libro ha sido facilitado a todos los alumnos del Preuniversitario Popular V ctor J ara, cu dalo y aprovchalo al mximo. e a Cuando ya no lo necesites, reglalo a a alguien que le sea ms util que a ti. a Este libro no debe venderse ni guardarse, pues el valor de un libro no se mide por la calidad de su edicin, o mas bien, por la cantidad de ojos que lo han leido.

Indice generalPresentacin o

VII

I

Apuntes de Preparacin para la PSU Matemtica o a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 3 3 3 4 4 4 5 5 6 9 9 9 9 10 10 11 11 12 14 16 18 23 23 23 24 26 26 26 27 28 29

1. N meros u 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Representacin . . . . . . . . . . . . . . o 1.1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Conjuntos Numricos . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1. Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . u 1.2.2. Nmeros Cardinales . . . . . . . . . . . u 1.2.3. Nmeros Enteros . . . . . . . . . . . . . u 1.2.4. Nmeros Racionales . . . . . . . . . . . u 1.2.5. Nmeros Irracionales . . . . . . . . . . . u 1.2.6. Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . u 1.3. Operatoria con los nmeros Reales . . . . . . . u 1.3.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . 1.3.2. M nimo Comn Mltiplo . . . . . . . . u u 1.3.3. Mximo Comn Divisor . . . . . . . . . a u 1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad . 1.3.5. Orden Operatorio . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Operaciones con Fracciones . . . . . . . 1.3.7. Potenciacin y Radicacin . . . . . . . . o o 1.3.8. Notacin Cient o ca . . . . . . . . . . . . 1.4. Mini Ensayo I, Nmeros . . . . . . . . . . . . . u 2. Proporcionalidad 2.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Razn Aritmtica . . . . . . . o e 2.1.2. Razn Geomtrica . . . . . . o e 2.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Proporcin Aritmtica . . . . o e 2.2.2. Proporcin Geomtrica . . . o e 2.2.3. Proporcionalidad Directa . . 2.2.4. Proporcionalidad Inversa . . 2.2.5. Proporcionalidad Compuesta

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INDICE GENERAL 2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Porcentaje de una Cantidad . 2.3.2. Porcentaje de un Porcentaje . 2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuniveritario Popular V ctor J ara

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3. Introduccin al Algebra o 3.1. Signos del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Expresiones Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . a 3.3.1. Trmino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.2. Clasicacin de las Expresiones Algebricas o a 3.3.3. Trminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4. Eliminacin de Parntesis . . . . . . . . . . o e 3.4. Productos Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Multiplicacin de Monomios . . . . . . . . . o 3.4.2. Multiplicacin de Polinomio por Monomio . o 3.4.3. Multiplicacin de Polinomio por Polinomio o 3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del Algebra . . . . .

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4. Desarrollo Algebraico 4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Cuadrado de Binomio . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Suma por su Diferencia . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Cubo de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Multiplicacin de binomios con un trmino en o e 4.1.5. Binomio a una Potencia Natural . . . . . . . 4.2. Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.1. Factor Comn . . . . . . . . . . . . . . . . . u 4.2.2. Factorizacin de Trinomios . . . . . . . . . . o 4.2.3. Factorizacin de Cubos . . . . . . . . . . . . o 4.2.4. Diferencia de Cuadrados Perfectos . . . . . . 4.2.5. Completacin de Cuadrados de Binomio . . . o 4.3. Mini Ensayo IV, Factorizacin . . . . . . . . . . . . o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . comn u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Ecuaciones Algebraicas 5.1. Conceptos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5.2. Ecuacin de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2.1. Resolucin de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . o 5.2.2. Redaccin de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . o 5.3. Ecuacin de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.1. Ecuacin incompleta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.2. Ecuacin incompleta binomial . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.3. Ecuacin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.4. Propiedades de las raices de la ecuacin de segundo grado o 5.4. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Resolucin de Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . o 5.4.2. Sistemas de Ecuaciones de 3 incgnitas . . . . . . . . . . o 5.4.3. Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Mini Ensayo V, Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . .

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Prueba de Seleccion UniversitariaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

Universidad de Chile

INDICE GENERAL 79 79 79 81 81 81 82 83 84 89 89 89 89 90 90 90 91 91 95 97 97 98 98 99 99 99 99 100 100 100 101 102 102 102 104 108 111 116 117 118 119 120 125 125 125 126 126

6. Ecuaciones no Algebraicas 6.1. Ecuacin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.1.1. Resolucin de Ecuaciones Exponenciales . . . o 6.2. Ecuacin Logar o tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Signicado de un Logaritmo . . . . . . . . . . 6.2.2. Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . 6.2.3. Resolucin de Ecuaciones Logar o tmicas . . . 6.3. Aplicacin de los Logaritmos a las ec. exponenciales o 6.4. Mini Ensayo VI, Ecuaciones no Algebraicas . . . . . 7. Inecuaciones 7.1. Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Intervalo Abierto . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Intervalo Cerrado . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Intervalo Semi-Abierto . . . . . . . . . . 7.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Desigualdad Absoluta . . . . . . . . . . 7.2.2. Desigualdad Condicionada o Inecuacin o 7.3. Resolucin de Inecuaciones . . . . . . . . . . . o 7.4. Mini Ensayo VII, Desigualdades e Inecuaciones

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8. Funciones 8.1. El Concepto de Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.1.1. Funciones Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2. Funciones Sobreyectivas o Epiyectivas . . . . . . 8.1.3. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4. Composicin de Funciones . . . . . . . . . . . . . o 8.1.5. La Funcin Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.1.6. Funciones Crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7. Funciones Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.8. Funciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . 8.2. El Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Determinacin de un punto por sus coordenadas o 8.2.2. Representacin grca de las funciones . . . . . . o a 8.3. Algunas Funciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Funcin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.3.2. Funcin Af y la Recta . . . . . . . . . . . . . . o n 8.3.3. Un Poco de Geometr Anal a tica . . . . . . . . . 8.3.4. Funcin Cuadrtica y la Parbola . . . . . . . . o a a 8.3.5. Funcin Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . o 8.3.6. Funcin Parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . o 8.3.7. Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.3.8. Funcin Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . o 8.4. Mini Ensayo VIII, Funciones . . . . . . . . . . . . . . . 9. Geometr Plana a 9.1. Conceptos Primitivos de la Geometr . . . . . . . . . . a 9.1.1. Axiomas Principales de la Geometr Euclidiana a 9.2. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Clasicacin de los Angulos segn su medida . . o u Matematica

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Pamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

INDICE GENERAL


9.2.2. Clasicacin de los Angulos segn su posicin . . . . . . . . . . . . . . . . o u o 9.2.3. Clasicacin de los ngulos de acuerdo a la suma de sus medidas . . . . . o a 9.2.4. Angulos formados por dos paralelas cortadas por una secante o transversal 9.3. Pol gonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Pol gono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.4.1. Clasicacin de los Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 9.4.2. Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3. Bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4. Simetral o Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.5. Transversal de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.6. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.7. Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.5. Mini Ensayo IX, Angulos y Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.6. Cuadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.6.1. Paralelgramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 9.6.2. Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.3. Trapezoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Mini Ensayo X, Cuadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 9.8. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8.1. Posiciones Relativas a dos Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9. Partes de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.1. Teoremas Referentes a una Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.2. Angulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9.3. Teoremas Referentes a Angulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . 9.10. Mini Ensayo XI, Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11. Areas y Per metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11.1. Areas y Per metros de Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11.2. Suma de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11.3. Diferencia de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.12. Mini Ensayo XII, Areas y Per metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.Geometr de Proporciones a 10.1. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Congruencia de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10.1.2. Criterios de Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Semejanza de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10.2.2. Teorema fundamental para la existencia de Tringulos Semejantes a 10.2.3. Criterios de Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1. Aplicacin al Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 10.4. Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10.5. Teorema de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1. Teorema de Euclides referente a una Altura . . . . . . . . . . . . . 10.5.2. Teorema de Euclides referido a un Cateto . . . . . . . . . . . . . . 10.6. Relacin Mtrica en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 10.6.1. Teorema de las Cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.2. Teorema de las Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126 127 127 128 128 129 129 131 131 132 132 133 133 133 137 137 138 139 140 142 142 144 145 147 148 150 154 154 155 156 156 161 161 161 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 166

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10.6.3. Teorema de la Tangente . . . . . . . . . . . . . . . 10.7. Trigonometr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10.7.1. Tringulos Rectngulos Semejantes . . . . . . . . . a a 10.7.2. Raznes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . o e 10.7.3. Angulos Importantes y sus razones trigonomtricas e 10.7.4. Identidades Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . e 10.7.5. Ecuaciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . e 10.8. Mini Ensayo XIII, Geometr de Proporciones . . . . . . . a 11.Transformaciones Isomtricas e 11.1. Isometr . . . . . . . . . . . . as 11.1.1. La Traslacin . . . . . . o 11.1.2. La Simetr o Reexin a o 11.1.3. La Rotacin . . . . . . . o 11.2. Teselaciones . . . . . . . . . . . 11.2.1. Teselacin Regular . . . o 11.2.2. Teselacin Semi-regular o 11.3. Mini Ensayo XIV, Isometr as .

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12.Cuerpos Geomtricos e 187 12.1. Supercie y Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 12.2. Cuerpos de Revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 o 13.Probabilidad y Estad stica 13.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1. Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2. Evento o Suceso . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3. Probabilidad a Priori . . . . . . . . . . . . 13.1.4. Probabilidad a Posteriori o Frecuencial . . 13.1.5. Ley Aditiva de las Probabilidades . . . . 13.1.6. Ley Multiplicativa de las Probabilidades . 13.2. Estad stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1. Algunos Conceptos Previos . . . . . . . . 13.2.2. Medidas de Tendencia Central . . . . . . 13.2.3. Representacin de los Datos Estad o sticos . 13.3. Mini Ensayo XV, Probabilidad y Estad stica . . 14.Permutaciones, Arreglos 14.1. Permutaciones . . . . 14.2. Arreglos . . . . . . . . 14.3. Combinaciones . . . . 191 191 191 192 192 193 194 195 197 197 197 198 201 205 205 206 206 209 209 209 210 211 211 212

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y Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.Inters e 15.1. Inters Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 15.1.1. Deduccin de la frmula del inters simple . . o o e 15.1.2. Resolucin de ejercicios con inters simple . . o e 15.2. Inters Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 15.2.1. Deduccin de la frmula de inters compuesto o o e 15.2.2. Resolucin de ejercicios de inters compuesto o e Matematica

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Pamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

INDICE GENERAL


II

Solucionario

215217 219 227

Soluciones de los Mini Ensayos Soluciones a los Problemas de Actividades Bibliograf a

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Presentacin oa Prueba de Seleccin Universitaria parte Matemtica, es una o a de las pruebas obligatorias aplicadas en el proceso de seleccin o a las Universidades llamadas tradicionales. Esta prueba permite determinar el nivel de habilidad en el razonamiento matemtico y a conocimientos que posee cada postulante a la educacin superior y o si stos son los adecuados para que prosiga en estudios superiores. e En particular, la PSU parte Matemtica mide las capacidades a del postulante para reconocer los conceptos, principios, reglas y propiedades de la matemtica, identicar y aplicar mtodos a e matemticos en la resolucin de problemas, analizar y evaluar ina o formacin matemtica proveniente de otras ciencias y de la vida o a cotidiana y por ultimo analizar y evaluar las soluciones de un prob lema para fundamentar su pertinencia. Para medir correctamente stos procesos, el equipo tcnico de e e matemtica del DEMRE elabora una prueba de 70 preguntas divia dades en 4 grandes ejes temticos estudiados en la matemtica de a a enseanza media. Las preguntas se subdividen aproximadamente n en 11 del primer eje temtico Nmeros y Proporcionalidad, 29 a u del segundo eje temtico Algebra y Funciones, 21 del tercer eje a temtico Geometr y 9 del ultimo eje temtico Probabilidad y a a a Estad stica. El libro que tienes en tus manos contiene la mayor de los cona tenidos que se evaluarn en la prueba, las materias se estudiarn a a en su totalidad en las clases del preuniveristario, aprovecha ste e documento leyendo lo que corresponda antes de cada clase para que sta pueda ser ms uida y productiva sirviendo de complee a mento a tus conocimientos.

L

Los Autores Preuniversitario Popular V ctor J ara

vii

Estimado lector: Si tiene algn aporte o cr u tica sobre el contenido de este libro, le agradecemos comunicarlo a los correos,

[email protected] Pamela Paredes Nunez

[email protected] Manuel Ram rez Panatt

Parte I

Apuntes de Preparacin para la o Prueba de Seleccin Universitaria o Matemtica a

1

Cap tulo 1

N meros u J cionado optimizndose cada vez ms. En muchas culturas distintas se realiz la numeracin a a o ounto con la historia de la humanidad, la historia de las matemticas y la numeracin a evolua o

de variados modos pero todos llegaban a una misma solucin, denir una unidad y aumentarla o en conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya exist una cantidad incmoda de reprea o sentar se involucraba un nuevo s mbolo que representaba a todas las unidades anteriores, a ste e ultimo s mbolo se le conoce como base, y sin lugar a duda la base ms usada ha sido la base de a 10, como lo hace el sitema de numeracin que ocupamos actualmente, aparentemente a causa o que tenemos 10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera ms primitiva de contar. aVersin 1.0, Junio de 2007 o

1.1.

Conjuntos

Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el trmino conjunto, e seguramente nos estamos reriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada. Bueno, en matemticas esta expresin no est para nada alejada de lo que tu entiendes por a o a un conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemos son aquellos que estn a formados por nada ms ni nada menos que nmeros. Los nmeros son elementos fundamentales a u u en el estudio de las matemticas, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar exactaa mente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos en este cap tulo, agruparlos.

1.1.1.

Subconjuntos

Los subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prejo sub. que aparece delante nos inere que existe un conjunto ms grande del que estamos hablando. Uno en el cual nuestro a subconjunto esta contenido. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado por todas las personas involucradas en nuestro preuniversitario, encontraremos en el a profesores, alumnos y coordinadores, y un subconjunto de este ser el grupo de todos los profesores, ya que stos por a e si solos forman un conjunto, pero ste est contenido en el primer conjunto nombrado. e a

1.1.2.

Representacin o

Para representar un conjunto cualquiera, generalmente se usa una l nea que encierra a un grupo de cosas, las cuales, forman el conjunto. Una manera anloga es ordenarlos, separados de a comas y entre parntesis de llave ({})1 esta ultima notacin es la que utilizaremos frecuentee o mente.1

Ejemplo de un conjunto A={a,b,c,d,e}

3

1. Numeros


1.1.3.

Cardinalidad

Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un conjunto es ms grande o no que otro, introducimos un trmino que llamamos cardinalidad, la cual a e representamos por el s mbolo #, sta solo depende del nmero de objetos de nuestro conjunto. e u Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la gura 1.1 es 4.

Figura 1.1: Conjunto de objetos

1.2.

Conjuntos Numricos e

Son todos aquellos conjuntos que estn formados por nmeros, stos se dividen principala u e mente en:

1.2.1.

N meros Naturales u

Los nmeros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por u el s mbolo N. Y sus elementos son: N = {1, 2, 3, 4, . . . }

Algunos subconjuntos de N son: Los nmeros pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }, stos los podemos representar como u e 2n n N Los nmeros impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . }, los cuales los podemos representar u como (2n + 1) o (2n 1) n N Los nmeros primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }, son todos aquellos nmeros que u u son divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a ste ultimo. e Los nmeros compuestos, Son todos aquellos que NO son primos. u etc. . .

.... 4



1.2. Conjuntos NumericosObserva que . . .

La cardinalidad de N es innita.

Este conjunto es cerrado bajo la suma y la multiplicacin, es decir, para o todo par de nmeros en N, su suma y su multiplicacin tambin es un nmero u o e u natural. Este conjunto NO es cerrado bajo la resta y la divisin, ya que para todo o par de nmeros en N, su diferencia y divisin NO es necesariamente un nmero u o u natural. 2 es el unico nmero par que es primo. u

1.2.2.

N meros Cardinales u

Cuando en el conjunto de los nmeros naturales incluimos el 0, se denomina como Nmeros u u Cardinales, se representa por el s mbolo N0 , y sus elementos son: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } Algunos subconjuntos de N0 son: Los nmeros Naturales y todos los subconjuntos de ste. u e Los d gitos; = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

1.2.3.

N meros Enteros u

Es el conjunto formado por todos los nmeros sin cifra decimal, es decir, los numeros natuu rales, sus inversos aditivos2 , y el neutro aditivo3 . Z = { . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . } Algunos subconjuntos de Z son: Los nmeros Naturales. u Los nmeros Cardinales. u etc. . .

Observa

que . . .

A diferencia de los nmeros Naturales, este conjunto si es cerrado bajo la suma, u la resta y la multiplicacin; es decir, para todo par de nmeros enteros, su suma, o u multiplicacin y diferencia es siempre un nmero entero. o u Pero como el mundo no es tan bello, ste conjunto no conserva a la divisin, ya e o que una divisin entre dos nmeros enteros no es necesariamente un nmero de Z o u u

Se dice que un nmero a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que, a + b = 0, tal b es tambin conocido u e como a. 3 Para cualquier nmero x existe un unico que cumple que x+(ese unico)= x, a ese nmero lo conocemos como u u neutro aditivo, (tambin conocido como 0). e

2

MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

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1. Numeros


1.2.4.

N meros Racionales u

Como te habrs dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el proba lema de que sus elementos se pueden escapar facilmente de ellos, nos referimos a que basta que dos nmeros Naturales se resten (4 5, por ejemplo), para obtener algn nmero negativo u u u y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta que dos de ellos que no sean divisibles entre si (3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces ya no tendremos un nmero u entero. Para resolver ste problema, existe el conjunto de los nmeros Racionles, representados por e u el s mbolo Q y que cumple que para cada par de nmeros racionales, la suma, resta, divisin y u o multiplicacin (sin considerar al 0), es siempre un nmero de Q, a ste tipo de conjuntos se les o u e conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como: p q

Q=

p, q Z, q = 0

Para cada elemento de ste cuerpo aparecen en el mismo, los llamados inversos multiplicae tivos, que son aquellos que al multiplicarse por el elemento obtenemos el 1 (neutro multiplicativo). Por ejemplo: 5 1 = 1, por lo tanto el inverso multiplicativo de 5 es 1 , o 3 4 = 1, por lo 5 5 4 3 tanto el inverso multiplicativo de 3 es 4 . 4 3 Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto. Forma Fraccionaria Esta forma nos expresa porciones de algn entero. En su estructura tenemos una l u nea fraccionaria, un numerador (nmero sobre la l u nea fraccionaria), y un denominador (nmero u bajo la l nea fraccionaria). El denominador nos indica la cantidad de partes en que dividimos un entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar. Por ejemplo:

Figura 1.2: Representaciones Fraccionarias

En el primer caso dividimos un c rculo en 8 partes iguales, y de ellas ocupamos 3, lo cual 3 representamos por: 8 . Y en el segundo caso dividimos un rectngulo en 6 partes iguales, cona 3 siderando slo 3 de ellas, lo cual representamos por: 6 o Forma Mixta Hay ocasiones en que el numerador de una fraccin es mayor que el denominador. En stas o e situaciones dividimos el numerador por el denominador, del resultado de esta divisin consido eramos el cuociente como la parte entera, y el resto como numerador de la fraccin que la o acompaa. n Por ejemplo:

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1.2. Conjuntos Numericos

Consideremos la fraccin 5 , entonces al efectuar la divisin se tiene. o 8 o 8 5=1 3. Por lo tanto podemos escribir esta fraccin como: o Forma Decimal Toda fraccin tiene su representacin como nmero decimal, para obtenerlo basta dividir, o o u sin dejar resto, el numerador con el denominador. Por ejemplo, consideremos la fraccin 5 : o 4 5 4 = 1, 25 10 20 0. Para pasar un nmero decimal a fraccin existen 3 posibles casos: u o 1. Con Decimales Finitos Es decir, cundo las cifras decimales de un nmero son nitas, por ejemplo 4,376 es un a u decimal nito pues tiene solo 3 d gitos despues de la coma, pero 4,333333333333. . . con innitos 3, uno tras otro, no es un decimal nito pues tiene innitos d gitos despues de la coma. La manera de pasar este tipo de decimales a fracctin es simplemente escribir una fraccin o o cuyo nmerador sea el mismo nmero pero sin coma, y cuyo denominador sea 10000. . . u u con tantos ceros como d gitos tiene el nmero despues de la coma, por ejemplo: u8 5

= 13. 5

5, 326 =3 d gitos

5626 1000 232 100 13 10

2, 32 =2 d gitos

1, 31 d gitos

=

Esto es dibido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc, lo unico que le sucede al dividendo es que se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee el divisor. 2. Decimales Peridicos o Los decimales peridicos son aquellos en que los nmeros despues de la coma se repiten o u innitamente sin alterar su orden, por ejemplo:

1,333333333333333. . . es un nmero decimal donde el 3 se repite innitas veces deu spues de la coma, este nmero lo escribiremos de la forma: 1, 3. u MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

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1. Numeros


4,324324324324324324. . . es un nmero decimal donde el nmero 324 se repite inniu u tamente despues de la coma, este nmero lo escribiremos de la forma: 4, 324 u 2,56565656723214569875. . . es un nmero cuyos decimales no tienen ninguna relacin u o por lo tanto se dice que NO es un decimal peridico. o

La fraccin que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el nmero escrito o u sin coma ni linea peridica menos la parte entera dividido por 9999. . . con tantos 9 como o decimales peridicos halla, por ejemplo: o

132 1 131 = 99 99 1586 1 1585 1, 586 = = 999 999 62 6 56 6, 2 = = 9 9 12420 12432 12 = 12, 432 = 999 999 1, 32 =

3. Decimales Semiperidicos o Los decimales semiperidicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solo o una vez y las dems se repiten innitamente, por ejemplo: a

1,233333333333333. . . es un nmero decimal donde el 3 se repite innitas veces deu spues del 1, este nmero lo escribiremos de la forma: 1, 23. u 3,3211111111111111111. . . es un nmero decimal donde el nmero 1 se repite inniu u tamente despues del 32, este nmero lo escribiremos de la forma: 3, 321 u 2,532323232323232323232. . . es un nmero decimal donde el nmero 32 se repite u u innitamente despues del 5, este nmero lo escribiremos de la forma: 2, 532 u

La fraccin que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el nmero o u escrito sin coma ni linea peridica menos la parte no peridica del nmero, dividido por o o u 9999. . . 0000. . . con tantos 9 como decimales peridicos halla y tantos ceros como d o gitos no perdicos halla despues de la coma, por ejemplo: o

1, 32 =

132 13 119 = 90 90 2561 256 2305 2, 561 = = 900 900 6123 61 6062 6, 123 = = 990 990 1206 120 1086 12, 06 = = 90 90

Algunos subconjuntos de Q son: Los nmeros Naturales, ya que todo nmero natural n lo podemos escribir como u u Los nmeros Cardinales. u Los nmeros Enteros ya que todo nmero entero z lo podemos escribir como z . u u 1 etc. . .n 1.

.... 8



1.3. Operatoria con los numeros Reales

1.2.5.

N meros Irracionales u

Es el conjunto de todos los nmeros que no pertenecen al mundo de los racionales, es decir u no se pueden escribir como fraccin ya que tienen innitos decimales sin ninguna relacin. Una o o forma de enunciar sus elementos es: I = { i | i Q} Algunos elementos de ste conjunto son: , e, 2, etc . . . e

Observa

que . . .

Entre el conjunto de los nmeros racionales y el de los irracionales no existe ningn u u elemento en comn. u Adems, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse, a o dividirse pueden obtener un nmero racional, como por ejemplo; 2 = 1, y 1 no es u 2 un nmero irracional. u

1.2.6.

N meros Reales u

Es el conjunto que obtenemos entre la unin de todos los conjuntos que acabamos de ver, o pero como te habrs dado cuenta, en los nmeros racionales estn ya incluidos los naturales y a u a los enteros, entonces basta decir que: R=QI En la gura 1.3 puedes observar grcamente ste hecho. a e

Figura 1.3: Diagrama de los conjuntos numricos bsicos e a

1.3.1.3.1.

Operatoria con los n meros Reales uAxiomas de Cuerpo

1. Conmutatividad: Para todo a, b R, se cumple que: a+b=b+a y ab=ba


.... 9

1. Numeros 2. Asociatividad: Para todo a, b y c R, se cumple que: a + (b + c) = (a + b) + c 3. Distributividad: Para todo a, b y c R, se cumple que: y


a (b c) = (a b) c

a (b + c) = a b + a c

1.3.2.

M nimo Com n M ltiplo u u

El m nimo comn mltiplo (M.C.M), entre dos o ms nmeros reales es el nmero ms u u a u u a pequeo entre todos los mltiplos que tengan en comn. Por ejemplo, para determinar el M.C.M n u u entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus mltiplos. u Mltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, . . .} u Mltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . . .} u Y la interseccin entre stos dos conjuntos es = {12, 24, 36, 48, . . .} o e Luego, como el m nimo de ste ultimo conjunto es 12, entpnces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12. e Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla: 4 2 1 6 3 3 1 2 2 3

Donde se va dividiendo a los nmeros hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. ser la u a multiplicacin entre los divisores usados. o De manera que obtenemos: 2 2 3 = 12

1.3.3.

Mximo Com n Divisor a u

Cuando nos referimos al divisor de un nmero real estamos hablando de un nmero que u u divide exactamente (sin dejar resto) al nmero en cuestin. El mximo comn divisor (M.C.D) u o a u entre dos o ms nmeros reales es el divisor ms grande que tienen en comn. Por ejemplo, a u a u busquemos el mximo comn divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntos a u de sus respectivos divisores. Divisores de 16 = {1, 2, 4, 8, 16} Divisores de 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} Y la interseccin entre stos dos conjuntos es = {1, 2, 4,8} o e Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8.

Observa

que . . .

El m nimo comn mltiplo y el mximo comn divisor entre dos o ms nmeros u u a u a u enteros siempre existe, ya que en el peor de los casos el M.C.M ser la multiplicacin a o entre ellos, y el M.C.D. ser el 1. a

.... 10




1.3.4.

Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad

Para multiplicar o dividir nmeros reales debes tener en cuenta que su signo (positivo o u negativo), importa mucho al momento de operarlos. Para esto siempre considera la siguiente tabla: + + + + = = = = + +

O si te es ms sencillo, considera la palabra amigo como positivo (+), y enemigo como a negativo (), y recuerda que: El amigo de mi amigo es mi amigo El enemigo de mi enemigo es mi amigo El amigo de mi enemigo es mi enemigo El enemigo de mi amigo es mi enemigo Adems para que te sea ms fcil la obtencin de divisores o mltiplos comunes es bueno a a a o u tener presente que: Todos los nmeros son divisibles por 1. u Los nmeros divisibles por 2, son todos aquellos cuyo ultimo d u gito es par o 0. Los nmeros divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de sus d u gitos es divisible por 3. Los nmeros divisibles por 4, son todos cuyos ultimos dos d u gitos forman un nmero u divisible por 4. Los nmeros divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0. u Los nmeros divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3 al mismo u tiempo.

1.3.5.

Orden Operatorio

Siempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente que existe una prioridad en el desarrollo de stas, es decir; hay operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el resultado e correcto. Este orden es el siguiente: 1. Potencias. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas. MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

.... 11

1. Numeros


Adems si aparecen parntesis dentro de algn ejercicio nos indicar que debemos realizar a e u a primero las operaciones que estn dentro de l. a e Por ejemplo: 6 + 4 (14 22 3) 26 2 Primero debemos realizar el parntesis (la potencia, luego la multiplicacin y despus la e o e resta). Luego la multiplicacin por 4 y la divisin 26 2. Posteriormente terminamos con las o o sumas y restas. Entonces se ver algo as a : 6 + 4 (14 22 3) 26 2 = 6 + 4 (14 4 3) 26 2 = 6 + 4 (14 12) 26 2 = 6 + 4 (2) 26 2 = 6 + 8 26 2 = 6 + 8 13 = 14 13 = 1

Resuelve los siguientes ejercicios combinados: 1. 2. 3. 4. (2 + (3 3 + 5)) = (6 3 (1 + 2 3 1)) 2 = (65 [2 (10 2)] + (5 3 5)) = 5 (10 + 3 3 + 48 6 7) = 5. 6. 7. 8.

Actividad 1.1.

(6 2 3 [2 (45) + 112]) = [(12 4 + 5)] + 1 = [3 + 4 3 4 (5 + 2)] = ((2 + 3) (3 6 + 5) + 2) =

1.3.6.

Operaciones con Fracciones

Multiplicacin de Fracciones o Multiplicar fracciones es muy sencillo, basta multiplicar sus numeradores y ste ser el nue a merador del resultado, para el denominador se realiza el mismo procedimiento. Veamos algunos ejemplos: 3 6 36 18 = = 2 7 27 14 5 52 10 2= = 4 41 4 4 1 41 4 = = 3 5 35 15

Divisin de Fracciones o Dividir fracciones es un poco ms complicado ya que debemos realizar lo que llamamos a una multiplicacin cruzada, es decir; el numerador del resultado de una divisin ser lo que o o a obtengamos de multiplicar el numerador del dividendo con el denominador del divisor, de la misma forma el denominador del resultado ser lo que obtengamos de multiplicar el denominador a del dividendo con el numerador del divisor.

.... 12




Como lo anterior parece ser ms complicado de lo que realmente es, tambin podemos transa e formar la divisin en una multiplicacin y realizar la operacin de esta forma que ya conocemos, o o o recuerda que dividir no es otra cosa que multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor. Veamos algunos ejemplos: 5 2 5 3 15 = = 4 3 4 2 8 9 9 1 9 4= = 5 5 4 20 6 1 6 18 = 3= 5 3 5 5

Adicin y Sustraccin de Fracciones o o Antes de continuar vamos a aclarar dos conceptos muy importantes al momento de sumar y restar fracciones, la amplicacin y la simplicacin. o o Amplicar

Signica aumentar el numerador y el denominador de una fraccin en la misma proo 2 porcin. Por ejemplo, ampliquemos 3 por 5. o 2 2 2 5 10 = 1= = 3 3 3 5 15 Estas dos fracciones son llamadas equivalentes, es dcir, representan la misma cantidad. Simplicar

Anlogamente simplicar signica disminuir el numerador y el denominador de una a fraccin (si es que se puede), en una misma proporcin. Por ejemplo, simpliquemos 150 : o o 90 150 15 10 15 5 3 5 5 = = 1= = 1= 90 9 10 9 3 3 3 3 En el proceso anterior primero simplicamos por 10 y luego por 3, obteniendo una fraccin irreducible (que no se puede simplicar). o Antes de realizar cualquier operacin con fracciones es recomendable simplicar lo ms o a que se pueda. Ahora, para sumar o restar fracciones tenemos dos casos: cuando tienen igual denominador y cuando no. Para el primer caso no existe gran problema ya que consiste simplemente en operar solo los numeradores, dejando intacto al denominador. Por ejemplo: 2 7 2+7 9 4 + = = =1 5 5 5 5 5 6 9 69 3 3 = = = 7 7 7 7 7

En cambio para el segundo caso donde tenemos distintos denominadores debemos amplicar cada una de las fracciones en juego de forma tal que obtengamos el mismo denominador en ambas, el cual no ser al azar, ms bien ser el m a a a nimo comn mltiplo entre los denominadores u u de las fracciones. Por ejemplo: MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

.... 13

1. Numeros 5 7 5 3 7 2 15 14 15 + 14 29 + = + = + = = 4 6 4 3 6 2 12 12 12 12


En el ejemplo anterior primero encontramos el M.C.M entre 6 y 4, que es 12, luego buscamos los nmeros por los que deb u amos amplicar cada fraccin para obtener este denominador en o ambas encontrando el 3 para la primera y el 2 para la segunda. Posteriormente obtuvimos una suma entre fracciones de igual denominador que ya sabemos operar. Otro ejemplo: 9 3 9 4 3 5 36 15 36 15 21 = + = = = 5 4 5 4 4 5 20 20 20 20

Suma o resta segn corresponda las siguientes fracciones: u 1. 2. 2 1 + = 3 3 5 1 = 4 4 7 4 + = 2 3 9 2 + = 4 6 1 5 2 + = 4 4 4 6 1 4 + = 5 3 3 7. 8. 3 7 8 + + = 2 9 4 6 + 111 3

Actividad 1.2.

1 +

1 2

=

3. 4. 5. 6.

9. 10. 11. 12.

41 31 + +1= 36 72 60 6 15 12 24 + + = 6 48 20 36 18 m n mn + = n m n 1 1+1 2

+

2 2+

2 3

+

3 3+

3 4

=

1.3.7.

Potenciacin y Radicacin o o

Potencias Esencialmente una potencia nos representa una multiplicacin por sigo mismo de un nmero o u que llamamos base, tantas veces como lo indique otro nmero que llamamos exponente. u

Propiedades Consideremos a, b R {0} y m, n Z a0 = 1 a1 = a

.... 14




am an = am+n an = a b a b 1 an m m = am b n b n = a = amn

=

bn an

am an (an )m

= anm = amn = (am )n

Utilizando las propiedades de las potencias, realiza los siguientes ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5. 1 4 2 3 6 5 10 5 2 102

Actividad 1.3.3 4 3

6.2

2 1 3 5 (2 6)2

11. 12. 6 4 52

7.2

8.(2)

9.3

2 3 4 63 5 3 42

4

13. 14.

2 5 2 4 3 1 3 3 1 1 2 1 1 2 4

16.3

17.6

18.8

1 4 2 5 5 6

6 3 5 43

102 1 1 0,01 55

19.4

0,02 0,12 8 33 2

3 23

4

3

10.

15.

20.

Raices Las raices son casos ms generales de las potencias, ya que corresponden a una potencia, a pero de ndice racional. Decimos que una ra n-sima de un nmero a es b, si y solo si la n-sima potencia de b es z e u e a,es decir:

Propiedades Consideremos a, b R {0} y m, n Z n am = am/n , con sta propiedad podemos generalizar las mismas propiedades e de las potencias a las raices. na nb= nab na n b

n

= n a b m a = nm a MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

.... 15

1. Numeros a


n

b=

n

an b

1. 2. 3. 4. 5. 4 16 6. 7. 8. 9. 27 19

Actividad 1.4.56 0 4 64 4 92 4

Utilizando las propiedades de las raices, realiza los siguientes ejercicios: 11. 12. 13. 14. 15. 3 8 27 216

9 16 25 3 8 643

8

27 125 1 8

3

10.

81 36 25 3 27 729 5 32 243 1024

28 36 3 2 32 3 5 32 3 64

1.3.8.

Notacin Cient o ca

La notacin cient o ca es una herramienta que ocupamos para poder escribir nmeros deu masiado pequeos o demasiado grandes con el n de reducir espacio en su escritura. n Por ejemplo, 5.000.000.000.000.000.000.000, es un nmero bastante grande, por lo que aprenu deremos que podemos escribir ste nmero como 5 1021 , cuya notacin es claramente ms e u o a eciente. Potencias de 10 Son aquellas potencias que tienen base igual a 10, y exponente entero. Son potencias de la forma: 10n n Z Estas potencias cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros que vamos a poner a la derecha del nmero 1. De la misma forma para los enteros negativos nos indicar la u a cantidad de ceros que vamos a poner a la izquierda del 1. Es decir: 100 101 102 103 104 . . . =1 = 10 = 100 = 1000 = 10000 101 102 103 104 105 . . . = 0, 1 = 0, 01 = 0, 001 = 0, 0001 = 0, 00001

De esta forma podemos expresar las unidades, decenas, centenas, milsimas, decenas de e milsimas, etc . . .. Reemplazando por stas potencias de 10 se tiene por ejemplo: e e 5000 = 5 unidades de mil = 5 1000 = 5 1033 ceros

20000 = 2 decenas de mil = 2 10000 = 2 1044 ceros

300000000 = 3 centsimas de millonsima = 3 100000000 = 3 108 e e

.... 16

8 ceros




As podemos ver que este tipo de escritura nos puede ser de mucha utilidad cuando de seemos expresar nmeros excesivamente grandes. Pero tambin utilizando exponentes negativos u e podemos obtener el mismo resultado, esta vez con nmeros pequeos. Por ejemplo: u n 0,0000000005 = 5 0,0000000001 = 5 101010 ceros

Descomposicin de n meros con potencias de 10 o u Tambin podemos ocupar a las potencias de diez para descomponer nmeros, ya que como e u cuando lo hac amos en enseanza bsica, los nmeros los podemos separar en una suma de n a u unidades, decenas, centenas, etc. . ., y las potencias de base diez son precisamente eso. Por ejemplo:

4580403

= = =

4000000 + 500000 + 80000 + 400 + 3 4 1000000 + 5 100000 + 8 10000 + 4 100 + 3 1 4 106 + 5 105 + 8 104 + 4 102 + 3 100 200 + 50 + 6 + 0,4 2 100 + 5 10 + 6 1 + 4 0,1 2 102 + 5 101 + 6 100 + 4 101

256,4

= = =

Ahora; llamamos espec camente notacin cient o ca cuando escribimos cualquier nmero u representado por un nmero, con un solo d u gito antes de la coma, multiplicado por una potencia de diez. Este d gito es el primero del valor original, por ejemplo: Escribamos el nmero 65.300.000 con notacin cient u o ca, entonces tenemos que escribir un nmero de un solo d u gito antes de la coma que multiplicado por alguna potencia de diez resulte 65.300.000. Dicha potencia de diez resulta tener el exponente igual a la cantidad de espacios que vamos a correr la coma. Entonces: 65.300.000 = 6,53 1077 espacios

Otros ejemplos: 4.568.000 = 4,568 1066 espacios

12.050.000 = 1,205 1077 espacios

0, 0003 2 = 3,2 1044 espacios

0,000000000000061 = 6,1 101515 espacios


.... 17

1. Numeros


Actividad 1.5.

I. Escribe los siguientes valores con notacin cient o ca: 1. 0,00001 = 6. 0,00000639 = 2. 0,0000000000235 = 7. 0,000000001001 = 3. 125.230= 8. 123.200.000= 4. 1.235.300= 9. 998.000.000.000.000.000.000= 5. 85.325.000.000= 10. 0,0000000000000000009 = II. Escribe los siguientes nmeros como decimales sin notacin cient u o ca: 2 23 1. 1, 2 10 = 5. 6, 022 10 = 2. 3, 456 106 = 6. 1, 6232 = 3. 1, 56 103 = 7. 2, 99 108 = 9 4. 9, 99 10 8. 5, 99 1028 =

1.4.

Mini Ensayo I N meros u

1. 3 + 2 4 (1)2 = a) 21 b) 19 c) 12 d ) 10 e) Otro valor 2. Un nmero entero p se compone de dos d u gitos que son de izquierda a derecha a y b respectivamente, entonces el inverso aditivo de p es: a) 10a + b b) 10a + b c) 10b + a d ) 10a b e) 10b a 3. Si a es un nmero natural y b un nmero cardinal, entonces puede darse que: u u a) a + b = 0 b) a b = 0 c) b a = 0 d ) a + b2 = b e) ba + 1 = 0 4. Si m y n son nmeros naturales impares, entonces es (son) siempre un nmero par: u u I. m + n

.... 18



1.4. Mini Ensayo I, Numeros

II. m n III. m n IV. m + 1 a) Solo I b) Solo II y IV c) Solo I y IV d ) Solo III y IV e) I, II y IV 5. Si se divide el m nimo comn mltiplo por el mximo comn divisor entre los nmeros 30, u u a u u 54, 18 y 12; se obtiene: a) 5 b) 15 c) 30 d ) 45 e) 90 6. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros nmeros primos, entonces a + b + c = u a) 6 b) 10 c) 15 d ) 17 e) 30 7. Cuntos elementos en comn tiene el conjunto de los divisores de 18 y 16? a u a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 8. Si se duplica la expresin 24 se obtiene: o a) 25 b) 28 c) 42 d ) 45 e) 46 9. Si n es un nmero tal que n Z, entonces cul(es) de las siguientes expresiones repreu a senta(n) tres nmeros pares consecutivos? u MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

.... 19

1. Numeros I. 2n, 2n + 1, 2n + 2 II. 4n, 4n + 2, 4n + 4 III. 2n 4, 2n 2, 2n a) Solo III b) I y II c) I y III d ) II y III e) Todas


10. Sea el conjunto A ={1,2,5,8,9,11}, entonces la cantidad de elementos que existen entre la interseccin de A con el conjunto de los nmeros primos es: o u a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Se dene (a, b) (c, d) = (ad + bc, ab cd), entonces (2, 1) (3, 2) = a) (3,1) b) (7,5) c) (8,4) d ) (8,4) e) (7,4) 12. El sxtuplo del nmero par consecutivo de 8 es: e u a) 16 b) 36 c) 48 d ) 60 e) 80 13. Si a Z y b N, entonces el conjunto mas pequeo al que pertenece siempre n a) R b) I c) Z d) Q e) N 14. 3 8 + 2 140 = Prueba de Seleccion UniversitariaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatta b

es:

.... 20


1.4. Mini Ensayo I, Numeros

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 15. 5.432 es equivalente con: a) 5 100 + 4 101 + 3 102 + 2 b) 5 104 + 4 103 + 3 102 + 2 101 c) 5 103 + 4 102 + 3 101 + 2 10 d ) 5 102 + 4 101 + 3 102 + 2 e) 5 103 + 4 102 + 3 101 + 2 100 16. Cul de las siguientes expresiones NO es racional? a a) 3/0 b) 2/6 c) 0,3 d) e)5 3 1 (5) 3 4

17. Al amplicar por 2 el racional a) c) e)6 8 6 4 3 2 5 p

resulta:

b) 3/8 d ) 3,2

18. Que nmero dividido por u a) b) c) d) e) 1p2 5 p 5 5 p p 2 5

da como resultado p . 5

19. Al ordenar los nmeros 8, 1/6, 4, 3/4, 5, 1/2, 7, 1/9 en forma decreciente, el quinto trmino u e es: a) 1/9 b) 5 c) 1/2 MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

.... 21

1. Numeros d) 4 e) 3/4 20. Si a = 1/2 y b = 1/3, entonces a) 1/2 b) 6/5 c) 1/6 d) 6 e) 5 21. 11 + 22 + 33 = a) 25 b) 26 c) 35 d ) 39 e) 661 a+b


=

22. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad se obtiene: a) 0 b) 3 21 c) 2

d) e)

3 2 1 2 13 26

23. Cuntas veces esta contenida la quinta parte de a a) 0,1 b) 0,5 c) 2,5 d) 5 e) 10

en un entero?

24. Si m = 4 1/3, p = 8 1/6 y q = 6 1/8, entonces cul de las siguientes relaciones es a verdadera? a) m > p b) q > m c) p > m d) q > p e) m > q

.... 22


Cap tulo 2

Proporcionalidad E simple vista y con un consenso comn nos parecen bellas, esto es debido a que la naturaleza un el mundo que nos rodea existe una disposicin armoniosa en su estructura, cosas que a o

en general es ordenada, en ciertos aspectos a causa de proporciones que la rigen. Por ejemplo el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinci esta basado en una proporcin. o En el presente cap tulo aprenders los conceptos bsicos de las razones y las proporciones, de a a forma que tambin puedas aprender, de paso, a deleitarte con la belleza gracias a la armon e a impl cita en la naturaleza.Versin 1.0, Julio de 2007 o

2.1.

Razones

La razn es un objeto matemtico que utilizamos para comparar dos cantidades cualesquiera o a para poder establecer una caracter stica que las relacione, en particular ambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas; a travs de su diferencia (razn aritmtica), e o e y a travs de su cuociente (razn geomtrica): e o e

2.1.1.

Razn Aritmtica o e

La razn aritmtica es una forma de comparar dos cantidades en las cuales consideramos o e cuanto exede una de la otra, es decir, encontrando su diferencia. Este tipo de razn la podemos escribir de dos modos; separando ambas cantidades a comparar o con un signo menos (), o con un punto(.). De esta forma la razn aritmtica entre un par de o e nmeros a y b, es: a b a.b, y se lee a es a b. u o El primer trmino de una razn aritmtica se denomina antecedente, mientras que el see o e gundo consecuente. Ejemplo :

Un padre quiere repartir la mesada correspondiente a sus dos hijos, pero al n del mes uno de ellos se port mal, por lo cual lo va a castigar dndole $6.000 menos que a su hermano. o a Si dispone de $20.000 a repartir. Cunto le corresponde a cada uno?. a

Respuesta : Para resolver este y todos los otros problemas de este tipo existe un mtodo bastante sencillo e a utilizar. Consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales (en este caso $20.000 : 2 = 23

2. Proporcionalidad


$10.000), e incorporar a cada parte la mitad de la diferencia que existe entre el antecedente y el consecuente de la razn, es decir $3.000 para cada lado en este caso, por lo tanto tenemos que: o

Figura 2.1: Divisin por Razn Aritmtica o o e Luego, resulta ser la cantidad que aparece gris en la gura 2.1 la que le corresponde al hijo que se port bien, $13.000, y el resto es para el mal hijo, $7.000. o

2.1.2.

Razn Geomtrica o e

Cada vez que se habla de razn en realidad se quiere hacer referencia a una razn geomtrica. o o e La razn geomtrica entre dos cantidades a y b es la comparacin por cuociente entre ambas, o e o es decir, la divisin entre ellas. Este tipo de razn la podemos representar de dos formas; a travs o o e de un signo de divisin ( o :), o expresada en forma fraccionaria. De ambas formas se lee a es o a b. Al igual que la razn aritmtica el primer trmino se denomina antecedente y el segundo o e e consecuente. El tratamiento de las razones geomtricas es similar al de las fracciones, es decir, se suman, e restan, multiplican, dividen, simplican y amplican de la misma forma. Ahora; a qu nos referimos espec e camente cuando decimos 3 es a 5? por ejemplo. Bueno, la respuesta es muy sencilla, quiere decir que cada vez que tengamos 3 partes del antecendente tendremos 5 del consecuente, y en conjunto formamos 8 partes. Ejemplo :

Al siguiente mes, el mismo padre del ejemplo anterior tiene el mismo problema, uno de sus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos mesada que a su hermano, pero esta vez quiere que cada $3 del hermano que se port bien, el otro reciba solo $2, es decir o quiere repartir el dinero a razn de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de $20.000, Cunto o a dinero le corresponder a cada uno?. a

Respuesta : Para este tipo de problemas te recomendamos utilizar el siguiente mtodo; el entero que se va e a repartir (en este caso $20.000), div delo en el total de partes ms conveniente para repartirse, a la cual siempre resulta ser la suma entre el antecedente y el consecuente de la razn geomtrica, o e es decir, en este caso debes dividir $20.000 en 5 partes igules, ya que 3 + 2 = 5, y luego 3 de esas

.... 24



2.1. Razones

partes le correspondern al antecedente (hijo que se port bien), y las otras 2 al consecuente a o (hijo que se port mal). o Observa el siguiente diagrama:

Figura 2.2: Divisin por Razn Geomtrica o o e Donde la parte gris es la que le corresponde al hijo que hizo todas sus obligaciones. Obviamente esta divisin del dinero que eligi su padre para castigarlo le conviene mas al mal hijo o o que la anterior. Claro que esto no quiere decir que siempre sea as haz de ejercicio los mismos , dos ejemplos pero que el padre disponga de $40.000 para repartir y te podrs dar cuenta. a Otro ejemplo :

Los ngulos de un tringulo estn a razn de 1 : 2 : 3 (recuerda que esto se lee; uno es a a a o a dos es a tres), Sabiendo que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180 a a grados. Cunto miden sus ngulos?. a a

Respuesta : Sabiendo que la suma de los ngulos interiores del tringulo es 180, debemos dividir 180 a a grados en 6 partes, ya que entre las partes que le corresponden al primero, al segundo y al tercero suman 6. 180 6 = 30 Entonces; cada parte resulta ser de 30 grados, por lo tanto los ngulo son: a Al primero le corresponde una parte, es decir 1 30 = 30 Al segundo le corresponden dos partes, es decir 2 30 = 60 Al tercero le corresponden tres partes, es decir 3 30 = 90


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2. Proporcionalidad


2.2.

Proporciones

Una proporcin es una igualdad entre dos razones equivalentes.1 o

2.2.1.

Proporcin Aritmtica o e

Es la igualacin de dos razones aritmticas equivalentes. A la diferencia entre las razones o e involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmtica. e Este tipo de proporcin no es particularmente importante, es por esto que no le dedicaremos o ms pginas de estudio. a a

2.2.2.

Proporcin Geomtrica o e

Una proporcin geomtrica (o simplemente proporcin), es la igualacin de dos razones geo e o o omtricas equivalentes. En una proporcin podemos distinguir sus partes por distintos nombres, e o estn los extremos, que son el antecedente de la primera razn y el consecuente de la segunda, a o y los medios, que son el consecuente de la primera razn y el antecedente de la segunda. o

Otra forma, adems de la equivalencia entre razones, de comprobar si una proporcin reala o mente lo es, es vericar que el producto entre los extremos sea igual al producto entre los medios es decir: a:b=c:dad=bc Ejemplos :

3 : 2 = 9 : 6 es una proporcin, pues 3 6 = 2 9 o 4 : 3 = 5 : 2 NO es una proporcin, pues 4 2 = 3 5 o

Con esta ultima propiedad podemos resolver ejercicios para determinar algunos de los ele mentos de una proporcin. Por ejemplo: o

Dada la proporcin 7 : 3 = 21 : x, determinemos el valor de x utilizando la igualacin o o entre el producto de medios y extremos: 7 : 3 = 21 : x 7 x = 3 21 7 1 1 x = 3 21 7 7 3 21 1x= 7 x=9

Dos razones aritmticas son equivalentes si la diferencia entre sus antecedentes y consecuentes son respectie vamente iguales. Dos razones geomtricas son equivalentes si el cuociente entre sus antecedentes y consecuentes son respectivae mente iguales

1

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2.2. Proporciones

Encuentra el trmino que falta en las siguientes proporciones: e 1. 2. 3. 4. 5. 3:5=4:x 2 : x = 5 : 10 5 x = 9 18 9 : 25 = x : 5 23 x = 41 123 6. 7. 8. 9. 10. 144 x = 56 14 3 : x = x : 12 x : 16 = 4 : x 9 3 = 345 x 72 : 9 = 24 : x 11. 12. 13. 14. 15.

Actividad 2.1.4 x = x 36 12 x = 3 12 x 1 = 9 x x : 8 = 32 : x 3 9 = 9 x

2.2.3.

Proporcionalidad Directa

Hasta ahora solo hemos trabajado con este tipo de proporcionalidades, ya que dos magnitudes son directamente proporcionales si multiplicando o dividiendo una de ellas por un nmero la u otra queda multiplicada o dividida por el mismo nmero, que es precisamente el caso de las u proporciones que hemos visto. Tambin decimos que dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cuociente e es constante, es decir: a = k, b Ejemplo : Con k constante

Si para comprar dos kilogramos de pan necesitas $1.300, Cunto dinero necesitas para a comprar 5 kilogramos de pan?

Respuesta : Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad directa ya que si aumenta la cantidad de kilogramos de pan, entonces aumenta el dinero. Por lo tanto se debe cumplir que: Dinero $1.300 x =k = Kilos 2 5 2 x = 5 $1.300 $6.500 x= = $3.250 2 Y as puedes vericar que para cualquier cantidad de kilos de pan con el dinero que necesites para comprarlo tendrn un cuociente constante. En este caso ese cuociente (k) es igual a 1,300 : a 2 = 650. Una forma de representar dos cantidades que son directamente proporcionales es a travs e de un grco, graquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntos 2 con 1300, 4 a con 2600, 6 con 3900, etc. MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

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2. Proporcionalidad


Observa

que . . .

Siempre dos cantidades directamente proporcionales al ser gracadas representarn a una recta que pasa por el (0,0) u origen.

2.2.4.

Proporcionalidad Inversa

Dos cantidades tienen proporcionalidad inversa si al multiplicar una de ellas por un nmero u la otra queda dividida por ese mismo nmero y viceversa. Tambin decimos que dos magnitudes u e a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante, es decir: a b = k, Con k constante

Ejemplo :

2 trabajadores se demoran 24 horas en pintar una casa, Cunto se demorarn 6 trabaa a jadores?

Respuesta : Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad inversa debido a que si aumenta una de las magnitudes la otra disminuye ( si hay ms trabajadores se demoran menos a tiempo), por lo tanto se debe cumplir que:

Trabajadores Horas = k 2 24 = 6 x 48 =x 6 x = 8 horas. Una forma de representar dos cantidades que son inversamente proporcionales es a travs de e un grco, graquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntos cuyo producto a es 48 (pues 48 es la constante k de el ejemplo), entre ellos estan, 1 con 48, 2 con 24, 3 con 16, 8 con 6 y 6 con 8.

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2.2. Proporciones

2.2.5.

Proporcionalidad Compuesta

Hasta ahora solo hemos visto casos con dos variables, sin embargo puede pasar que las variables en juego para una proporcin sean mas de dos, lo que provoca que la forma de analizar o el problema sea un poco ms complicada. a Ejemplo :

Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto en 20 d Cuntos kilos de pasto comern 15 vacas as, a a en 10 d as?.

Respuesta : Como puedes ver las variables en juego son ahora tres, el nmero de vacas, la cantidad de u kilos de pasto y el nmero de d Para comenzar es bueno esquematizar el problema como u as. sigue: Vacas 10 15 Kilos 30 x D as 20 10

Para resolver este tipo de ejercicios te recomendamos utilizar el siguiente mtodo. e Iguala una de las columnas procurando hacer la correccin sobre las variables de la la que o corregiste, esto quiere decir si por ejemplo queremos igualar el nmero de d o aumentamos u as, al doble las vacas, o aumentamos al doble los kilos de pasto, ya que si 15 vacas comen x kilos en 10 d entonces 15 vacas comern 2 x kilos en 20 d (el doble de comida en el doble de as, a as tiempo), luego la proporcin la podemos cambiar por: o Vacas 10 15 Kilos 30 2x D as 20 20

Luego, cuando tenemos una columna igualada ese valor pasa a ser un dato ms del problema, a ya que no existe diferencia entre una situacin y la otra. Entonces ahora la pregunta es: o Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto, Cuntos kilos de pasto comern 15 vacas?. a a Vacas 10 15 Kilos 30 2x


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2. Proporcionalidad


Simplemente eliminamos la columna que coincid Y nos queda una proporcin de dos a. o magnitudes, que es directamente proporcional (mientras ms vacas, ms pasto comen), y que ya a a sabemos resolver.

10 2x = 30 15 20x = 450 45 x = 2 x = 22,5

kilos

Otro ejemplo :

8 obreros trabajan 18 d para poner 16 metros cuadrados de cermica, Cuntos metros as a a cuadrados de cermica pondrn 10 obreros si trabajan 9 d a a as?.

Respuesta : El esquema del problema es algo como:

Obreros 8 10

D as 18 9

Metros cuadrados 16 x

De la misma forma que en el ejemplo anterior, igualamos una de las columnas. Como la ms sencilla resulta ser la columna de los d entonces nos preguntamos, Cuntos obreros se a as, a necesitan para hacer el mismo trabajo en el doble de d as?, claramente la respuesta es la mitad, ya que si hay menos obreros, se demoran ms d (proporcionalidad inversa), por lo tanto el a as esquema nos quedar de la forma: a

Obreros 8 5

Metros cuadrados 16 x

Ahora vemos que nos queda una proporcin directa (a ms obreros, ms metros cuadrados), o a a y resolvemos como ya sabemos:

8 x = 16 5 80 x = 8 x = 10 m2

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2.3. Porcentaje

I. Proporcin Directa: o

Actividad 2.2.

1. Si 5 pantalones cuestan $60.000, cunto costarn 8 pantalones?. (R. $96.000) a a 2. Si un veh culo se mantiene con velocidad constante de 60 m/s, cuntos metros recorrer en a a un minuto?. (R. 3.600 m) 3. Una persona a cierta hora del d da una sombra de 3 m, si un rbol de 4 m de altura da a a una sombra de 6 m, cunto mide la persona?. (R. 2 m) a 4. Si los nios y las nias de un curso estn a razn de 3 : 4 respectivamente, cuntas nias n n a o a n hay si el curso es de 35 personas?. (R. 20 nias) n II. Proporcin Inversa: o 1. Si 2 personas realizan un trabajo en 5 horas, cunto tiempo demoran 5 personas?. (R. 2 ahoras)

2. Si un veh culo a una velocidad de 70 Km/hr se demora 3 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B, a qu velocidad debe desplazarse para demorarse 2 horas entre ambas e ciudades?. (R. 105 Km/hr) 3. Si 5 personas se comen 100 completos en 35 minutos, cunto demorarn 7 personas en a a comer la misma cantidad?. (R. 25 minutos) 4. Un artesano hace 10 tazas de cermica por hora, cunto se demorarn 3 artesanos en a a a hacer la misma cantidad de tasas?. (R. 20 minutos) III. Proporcin Compuesta o 1. Si tres personas arman un rompecabezas en 24 horas, cuntos rompecabezas armarn 36 a a personas en 48 horas?. (R. 24 rompecabezas) 2. 5 trabajadores construyen una muralla en 6 horas, cuntos trabajadores se necesitan para a contruir 8 murallas en solo un d (R. 10 trabajadores) a?.

2.3.

Porcentaje

En la vida cotidiana siempre nos encontramos con expresiones como Liquidatodo, hasta un 70 % de dscto, Con un inters del 0,01 %, Mata el 99,9 % de los grmenes y bacterias, etc. e e Bueno para que tengas an ms claro el signicado de stas expresiones, veremos el signicado u a e matemtico del tanto por ciento. a Cuando hablamos de porcentaje, no nos referimos a otra cosa que a una razn, pero una muy o especial, es una razn cuyo consecuente es 100, es decir x % = x/100, por lo tanto el tratamiento o que se haga con un porcentaje es el mismo que con una razn. o Cuando queremos buscar el tanto por ciento de una cantidad solo debemos formar la proporcin geomtrica y directa entre la cantidad y la incgnita versus el porcentaje. As se tiene: o e o

El a % de b lo obtenemos resolviendo la siguiente proporcin: o a a ba ? = ? = b = b 100 100 100

Por lo tanto tenemos que siempre el a % de b es: ba = b a% 100 MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

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2. Proporcionalidad Veamos algunos ejemplos:


El 30 % de 60 se obtiene de la forma: ? = 60 30 % = 60 Por lo tanto, el 30 % de 60 es 18. 30 = 6 3 = 18 100

El 15 % de 80 se obtiene de la forma: ? = 80 15 % = 80 Por lo tanto, el 15 % de 80 es 12. 15 = 8 1,5 = 12 100

2.3.1.

Porcentaje de una Cantidad

Cuando queremos determinar el porcentaje que una cantidad A es de otra B, debemos considerar una proporcin donde el antecedente de la primera razn sea A y el consecuente B, o o y en la segunda razn el antecedente es la incgnita mientras que el consecuente es 100. Por o o ejemplo:

Si queremos conocer que porcentaje es 36 de 40. Entonces debemos decir 36 es a 40 como x es a 100, sto escrito matemticamente se ve como: e a x 36 = 40 100 Resolviendo como ya sabemos hacerlo: o 36 : 40 = x : 100

40x = 36100

x=

3600 40

x=

360 4

x = 90

36 es el 90 % de 40

I. Ubica el 20 %, el 30 % y el 40 % de: 1. 2. 3. 100 90 80 4. 5. 6. 60 50 45 7. 8. 9. 10 12,5 54.800 10. 11. 12.

Actividad 2.3.

1.000 956 831

II. Qu porcentaje es la primera cantidad de la segunda: e 1. 2. 3. 30 de 90 45 de 360 1 de 200 4. 5. 6. 20 de 680 68 de 300 23 de 89 7. 8. 9. 55 de 330 364 de 4 96 de 32 10. 11. 12. 35 de 70 956 de 478 45693 de 458

.... 32



2.3. Porcentaje

2.3.2.

Porcentaje de un Porcentaje

Muchas veces habrs escuchado en una liquidacin 40 % de descuento, ms un 20 % adia o a cional, ante esta estupenda promocin la mayor de la gente cree que le estn dando un 60 % de o a a descuento en total. Como veremos a continuacin este pensamiento esta completamente errneo o o ya que cuando se dice un 20 % adicional se hace referencia a un descuento sobre la cantidad ya descontada, lo que resulta ser menor al 20 % de la suma original. Veamos un ejemplo :

Un abrigo cuesta originalmente $60.000. Si tiene un descuento de un 40 % y luego al pagar con tarjeta de crdito, le descuentan un 20 % adicional. Qu valor debe cancelar una e e persona que lo compra con tarjeta de crdito?. e

Respuesta : Primero debemos calcular el primer descuento. Es decir: 40 = $6.000 4 = $24.000 de descuento 100 Esto quiere decir que el abrigono cuesta $60.000 $24.000 = $36.000. Luego, como pagamos con tarjeta de crdito nos dan de nuevo un descuento de: e $60.000 40 % = $60.000 20 = $3.600 2 = $7.200 de descuento adicional 100 Es decir, el abrigo nos sale por: $36.000 $7.200 = $28.800 Ahora comparemos el precio si es que hubieramos considerado un descuento de 40 % + 20 % = 60 %. $36.000 20 % = $36.000 60 = $6.000 6 = $3.600 de descuento 100 Es decir, el abrigo nos saldr por una cantidad de $60.000 - $36.000 = $24.000, que claraa mente es distinto a la suma anterior de $28.800 que es lo que sale realmente el abrigo. Por lo tanto, que no te hagan tonto, te descuentas menos de lo que parece. Ms en general, para poder determinar el porcentaje del porcentaje de una cantidad sima plemente se vuelve a multiplicar por el siguiente porcentaje. En el caso anterior, como 40 % y 20 % son descuentos (lo que quiere decir que cancelas 60 % con el primer descuento y 80 % con el segundo), entonces el ejercicio se debi efectuar de la forma: o $60.000 60 % = $60.000 $60.000 Otros ejemplos : 60 80 = $600 6 8 = $3.600 8 = $28.800 100 100

El 25 % del 80 % de 200 es: 200 80 % 25 % = 200 80 25 4 1 200 = 200 = = 40 100 100 5 4 5

El 60 % del 30 % de 90 es: 90 30 % 60 % = 90 3 81 30 60 =93 = = 16,2 100 100 5 5


.... 33

2. Proporcionalidad


2.4.

Mini Ensayo II Proporcionalidad

1. Una docena de pasteles cuesta $6m, y media docena de queques cuesta $12n, cul de a las expresiones siguientes representa el valor en pesos de media docena de pasteles y dos docenas de queques? a) 3(m + 8n) b) 3(m + 16n) c) 6(4m + n) d ) 12(m + 4n) e) 24(m + 2n) 2. En un curso hay 36 alumnos, si 24 son hombres, entonces la razn entre hombres y mujeres o respectivamente es: a) 1 : 2 b) 2 : 3 c) 24 : 12 d ) 36 : 12 e) 36 : 24 3. En una esta hay 12 hombres, si la razn entre mujeres y hombres que hay en la esta es o 2 : 3, cuntas personas hay en la esta? a a) 8 b) 16 c) 18 d ) 20 e) 24 4. Tres kilos de papas cuestan $x, 6 kilos cuestan $(x + 30), entonces el valor de 3 kilos de papas es: a) $30 b) $40 c) $50 d ) $60 e) $70 5. La diferencia entre dos nmeros es 48, y estn a razn de 5 : 9, cul es el menor de ellos? u a o a a) 5 b) 9 c) 12

.... 34



2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad

d ) 60 e) 108 6. Si 3 ladrillos pesan 6kg, cunto pesarn una decena de ladrillos? a a a) 18kg b) 20kg c) 22kg d ) 24kg e) 26kg 7. 7 obreros cavan en 2 horas una zanja de 10m, cuntos metros cavarn en el mismo tiempo a a 42 obreros? a) 6 b) 30 c) 60 d ) 69 e) 90 8. Las edades de Gonzalo y Cristian estn a razn de 1 : 3, si Gonzalo tiene 10 aos, cuntos a o n a aos suman sus edades? n a) 20 b) 30 c) 40 d ) 50 e) 60 9. En una granja hay patos y gallinas en razn 9 : 10, si en una esta se sacrican 19 gallinas o la razn se invierte, cuntas gallinas hab inicialmente? o a a a) 10 b) 81 c) 90 d ) 100 e) 119 10. La suma de 6 enteros pares consecutivos es 90, en qu razn estn los 2 nmeros centrales? e o a u a) 1 : 2 b) 3 : 4 c) 6 : 7 d) 7 : 8 e) 8 : 9 MatematicaPamela Paredes N unez Manuel Ram rez Panatt

.... 35

2. Proporcionalidad


11. Si una repisa con libros pesa 44 kg, y la razn entre el peso de la bandeja y el de los libros o 1 es 10 , cunto pesa la repisa? a a) 4 kg b) 4,4 kg c) 6 kg d ) 6,6 kg e) 8 kg 12. Cristian tiene que pagar $90.000, si le rabajan el 5 % de su deuda, cunto le queda por a cancelar todav a? a) $450 b) $4.550 c) $85.500 d ) $89.500 e) $94.550 13. De 125 alumnos de un colegio, el 36 % son damas, Cuntos varones hay? a a) 89 b) 80 c) 45 d ) 36 e) 25 14. Qu porcentaje de rebaja se hace sobre una deuda de $4.500 que se reduca a $3.600? e a) 80 % b) 60 % c) 40 % d ) 20 % e) 10 % 15. El 35 % de una hora es equivalente en minutos a: a) 2 b) 21 c) 35 d) e)1 35 7 12

16. Un nio reparti 40 dulces entre sus amigos, a Cristian le di 2 del total, a Gonzalo el n o o 5 25 % del resto y a Paola el 50 % de lo que le quedaba, con cuntos dulces se qued el a o nio? n

.... 36



2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad

a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 17. Un tubo se parte en cuatro partes iguales, a qu porcentaje del tubo equivale cada parte? e a) 40 % b) 33,3 % c) 25 % d ) 20 % e) 75 % 18. Qu porcentaje es 1/3 de 1/6? e a) 50 % b) 100 % c) 150 % d ) 200 % e) 400 % 19. De qu cantidad 80 es el 25 %? e a) 160 b) 200 c) 240 d ) 320 e) 400


.... 37

2. Proporcionalidad


.... 38


Cap tulo 3

Introduccin al Algebra o L 825 D.C. por el matemtico y astrnomo musulman Mohamad ibn Msa Al-Khwrizmi. El a o u aa palabra lgebra deriva del nombre del libro Al-jebr Al-muqbla escrito en el ao a a a n

a lgebra es la rama de la matemtica que estudia estructuras, relaciones y cantidades de un modo a ms general que la aritmtica, pues utiliza letras o s a e mbolos que pueden tomar cualquier valor para desarrollar distintos tipos de problemas que pueden tener multiples y cambiantes factores que intervengan. Para trabajar con el lgebra es necesario conocer el denominado Lenguaje Algebraico, mea diante el cual escribimos frases y proposiciones del lenguaje comn, por medio de s u mbolos y letras para ya que de sta manera podemos plantear problemas que se quieren resolver. Para e hacer un lenguaje ms uido. aVersin 1.0, Febrero de 2008 o

3.1.

Signos del Algebra

En la escritura algebraica generalmente se representa a cantidades que nos son conocidas por las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d, e, . . .), y para representar las cantidades que nos son desconocidas utilizaremos las ultimas letras del alfabeto (. . .v, w, x, y, z). Para unir stas e cantidades utilizamos signos de operacin, de relacin y de agrupacin, los cuales son: o o o Signos de operacin: o a + b a ms b a a b a menos b a b a multiplicado por b (o simplemente, a por b) a : b (o a ) a dividido por b b ab a elevado a b b a la ra b-sima de a. z e

Signos de relacin: o = igual a > mayor que < menor que.

Signos de agrupacin: parntesis o e (), {}, [ ]

39

3. Introduccion al Algebra


3.2.

Lenguaje Algebraico

Para poder trabajar con el lgebra es necesario manejar la equivalencia entre el lenguaje a comn o cotidiano con el lenguaje algebraico. A continuacin haremos un paralelo entre los dos u o lenguajes, para as poder aplicarlo en el planteamiento de problemas.

Lenguaje Algebraico

Lenguaje Cotidiano

+ :, = x x+1 x1 2x 3x 4x x2 x3 1 o 2x 1x o 3 1 x x+y 2 xy 2

x 2 x 3

2x + 1 2x 1 o

x, x + 1, x + 2, x + 3, . . . 2x, 2x + 2, 2x + 4, 2x + 6, . . . 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5, 2x + 7, . . . 4x, 4x + 4, 4x + 8, 4x + 12, . . . 5x, 5x + 5, 5x + 10, 5x + 15, . . . 10x + y

Ms, suma, adicin, aadir, aumentar a o n Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar De, del, veces, producto, por, factor Divisin, cuociente, razn, es a o o Igual, es da, resulta, se obtiene, equivale a Un nmero cualquiera u Sucesor de un nmero u Antecesor de un nmero u Doble de un nmero, duplo, dos veces, nmero u u par, mltiplo de dos u Triple de un nmero, triplo, tres veces, mltiplo u u de 3 Cudruplo de un nmero a u Cuadrado de un nmero u Cubo de un nmero u Mitad de un nmero, un medio de u Tercera parte de un nmero, un tercio de u Inverso multiplicativo Nmero impar u Semi suma de dos nmeros u Semi diferencia de dos nmeros u Nmeros consecutivos u Nmeros pares consecutivos u Nmeros impares consecutivos u Mltiplos consecutivos de 4 u Mltiplos consecutivos de 5 u Nmero de dos cifras, Nmero de dos d u u gitos

.... 40



3.3. Expresiones Algebraicas

Actividad 3.1.

Escribir en lenguaje cotidiano las siguientes expresiones algebricas: a 2x 3y 4 (x + y)2 3 x x+ 4 (7x)3 7(x)3 (2x) 4y2 3

1. 2. 3. 4. 5. 6.

x4 2x + 3y 5x y x + 3y 4 (x 3)2 x 32

7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17. 18.

3x2 (2y)3 4 x 2 y2 22 2 2(x + y 3 ) 3 x2 (x + 1) 1 3x 2 3x 4 (2x y)3

Escribir en lenguaje cotidiano las siguientes expresiones:

Actividad 3.2.

1. El doble de un nmero disminuido en el triple de otro nmero u u 2. Un nmero aumentado en su mitad u 3. El exceso de nmero sobre tres u 4. El cudruple del exceso de un nmero sobre ocho a u 5. El exceso del qu ntuplo de un nmero sobre diez u 6. El doble del cubo de un nmero u 7. El cubo del cudruple de un nmero a u 8. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un nmero y la tercera parte u del cuadrado de otro nmero u 9. La mitad del exceso del cuadrado del triple de un nmero sobre el doble del u cubo de otro nmero u 10. La suma de dos mltiplos consecutivos cualesquiera de ocho u

3.3.

Expresiones Algebricas a

Es la representacin de una o ms operaciones algebricas. o a a

Ejemplos: (a + b) 62a 3b a b


.... 41



3.3.1.

Trmino e

Es una expresin algebrica formada por varios s o a mbolos no separados entre si por (+) () o

Ejemplos: 7b 3a 4x

15xz a

Los elementos de un trmino son el signo, el coeciente, la parte literal y el grado e Ejemplos :

3b2 , es un trmino negativo, su coeciente es 3, la parte literal es b2 y el grado es 2. e

Observa

que . . .

El coeciente puede ser numrico o literal, por lo general se toma el primer elemento y e como se acostumbra poner el nmero antes que la letra, este nmero es el coeciente. u u El grado puede ser absoluto o con respecto a una letra.

4a2 b3 c4 , el grado absoluto es 9 ya que es la suma de los exponentes de los factores literales, con respecto a a es 2, a b es 3, a c es 4.

3.3.2.

Clasicacin de las Expresiones Algebricas o a

Monomio : Consta de un solo trmino. e

Ejemplos: 4b 8c 4ab c2

Polinomio : Consta de ms de un trmino. a e

Ejemplos: 4a + 2b cb a +3y b 5b3 a2 9c 5 4d 14

+ 11y

Los polimonios ms utilizados son: a Binomios: Consta de 2 trminos e Trinomios: Consta de 3 trminos e

.... 42



3.4. Productos Algebraicos

3.3.3.

Trminos Semejantes e

Dos o ms trminos son semejantes si tienen la misma parte literal (iguales letras e iguales a e exponentes).

12p, 3,5p y

7p 2 ,

son trminos semejantes. e

Solo teniendo trminos semejantes tu puedes sumar o restar. e

Observa

que . . .

3.3.4.

Eliminacin de Parntesis o e

Si al parntesis lo antecede un signo positivo (+), ponemos este y todos los trminos quedan e e igual, no sucede lo mismo con el signo negativo (), ya que este invierte todos los signos de los trminos del parntesis. e e

Resuelve reduciendo trminos semejantes. e 1. 7a 9b + 6a 4b 2. 71a3 b 82a4 b2 + 50a3 b + 84a4 b2 + 45a3 b 3. am+2 + xm+3 5 + 8 3am+2 + 5xm+3 6 + am+2 5xm+3 4. a + b + 2b 2c + 3a + 2c 3b 5.3m2 5 1m2 10

Actividad 3.3.

2mn +

1mn 3

+ 2mn 2m2

6. {[(a + b c)]} {+[(c a + b)]} + [{a + (b)}]

3.4.3.4.1.

Productos AlgebraicosMultiplicacin de Monomios o

Se multiplican los coecientes y luego las letras en orden alfabtico. e

(3x2 )(4xy 2 )=12x2+1 y 2 =12x3 y 2 (5a3 )(3ab)=15a3+1 b=15a4 b


.... 43



Multiplique los siguientes monomios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. (5x3 y)(xy 2 ) (4a2 b)(ab2 ) (a2 b3 )(3ax ) (15x4 y 3 )(16a2 x3 ) (5am bn )(6a2 b3 x) (xm y n c)(xm y n cx ) (mx na )(6m2 n) (3an+4 bn+1 )(4an+2 bn+3 ) (4xa+2 ba+4 )(5xa+5 ba+1 ) 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.4 ( 1 a2 )( 5 a3 b) 2

Actividad 3.4.

( 3 x3 y 4 )( 5 a2 by 5 ) 5 63 ( 2 ax bm+1 )( 5 ax1 bm ) 9

(a)(3a)(a2 ) (m2 n)(3m2 )(mn3 ) (am bx )(a2 )(2ab)(3a2 x)2 3 ( 3 am )( 4 a2 b4 )(3a4 bx+1 ) 3 1 ( 5 m3 )(5a2 m)( 10 ax ma ) 1 ( 2 x2 y)( 3 xy 2 )( 10 x3 )( 3 x2 y) 5 3 4

3.4.2.

Multiplicacin de Polinomio por Monomio o

Multiplicamos el monomio por cada uno de los trminos del polinomio. e

(3a2 7a + 4)4ax2 =(3a2 )(4ax2 ) (7a)(4ax2 ) + a(4ax2 )=12a3 x2 28a2 x2 + 16ax2

Observa

que . . .

Al multiplicar letras tienes que sumar los exponentes. Siempre tienes que reducir trminos semejantes. e

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3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del Algebra

Multiplicar: 1. (8x62 y 3y 2 )(2ax3 ) 2. (m4 3m2 n2 + 7n4 )(4m3 x) 3. (a3 5a62b 8ab2 )(4a4 m2 ) 4. (an+3 3an + 2 4a

apuntes de preparación para la psu matemática

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