inducción matemática ejercicios

31
Inducción Matemática/Mat-021 Página 1 Eleazar Madariaga -UTFSM Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática I (Mat-021) Problemas Resueltos de Inducción Matemática [email protected] ____________________________________________________________ Tema : -Inducción (Primer y segundo PIM) Dificultad: : Simple : Intermedio : Desafiante : Nivel Certamen UTFSM __________________________________ En cada uno de los siguientes problemas demuestre, usando inducción, que el enunciado es verdadero para todo : Problema nº 1: 1234 1 2 Solución: Sea : 1234 Probemos para 1 1: 1 Es verdad, es decir, se cumple: 1234 H.I (Hipótesis Inductiva) Pero, quiero demostrar para 1;

Upload: eduardo-almazan

Post on 08-Apr-2016

181 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 1 Eleazar Madariaga -UTFSM

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos de Inducción Matemática [email protected] ____________________________________________________________ Tema: -Inducción (Primer y segundo PIM) Dificultad: : Simple : Intermedio : Desafiante : Nivel Certamen UTFSM __________________________________

En cada uno de los siguientes problemas demuestre, usando inducción, que el enunciado es verdadero para todo � � �:

Problema nº 1: 1 � 2 � 3 � 4 �� � � ��� � 1 2

Solución:

Sea ��� : 1 � 2 � 3 � 4 �� � � �������

Probemos para � � 1 � ��1 : 1 � ������� ��� Es verdad, es decir, se cumple:

1 � 2 � 3 � 4 �� � � ������� H.I (Hipótesis Inductiva)

Pero, quiero demostrar para ��� � 1 ;

Page 2: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 2 Eleazar Madariaga -UTFSM

1 � 2 � 3 � 4 �� � � � � 1 � ����������� T.I (Tesis Inductiva)

Dem:

En efecto: 1 � 2 � 3 � 4 �� � � � � 1 � ��� � 1 2��������.

� � � 1

� ��������������

� �������� � �����������

Lo que prueba la Tesis.

Problema nº 2: 1 � 3 � 5 � 7 �� �2� � 1 � ��

Solución: Sea ��� : 1 � 3 � 5 � 7 �� �2� � 1 � �� Probemos para � � 1 � ��1 : 1 � 1� ��� Es verdad, entonces se cumple:

1 � 3 � 5 � 7 �� �2� � 1 � �� (H.I)

Pero, quiero demostrar para ��� � 1 ; 1 � 3 � 5 � 7 �� �2� � 1 � �2� � 1 � �� � 1 � (T.I)

Dem: 1 � 3 � 5 � 7 �� �2� � 1 � �2� � 1 � ����.

� �2� � 1

Page 3: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 3 Eleazar Madariaga -UTFSM

� �� � 2� � 1 � �� � 1 ��

Problema nº 3: 1 � � � �� � �� �� ���� � �� � 1� � 1 (� Es una constante, distinta de 1)

Solución:

Sea ��� : 1 � � � �� � �� �� ���� � ��� ��

Probemos para � � 1 � ��1 : 1 � ��� �� ��� Es verdad, entonces se cumple: 1 � � � �� � �� �� ���� � ��� �� (H.I)

Pero, quiero demostrar para ��� � 1 ; 1 � � � �� � �� �� ���� � �� � ����� �� (T.I)

Dem: 1 � � � �� � �� �� ���� � �� � �� � 1� � 1 � �� � ��� � 1 � ���� � 1 � � 1 � ���1 � � � 1 � 1� � 1 � ���� � 1� � 1 �

Page 4: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 4 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 4: 11 · 3 � 13 · 5 � 15 · 7 � � 1�2� � 1 · �2� � 1 � �2� � 1

Solución:

Sea ��� : ��·�� ��·�� �

�·��� �������·������ � �

����

Probemos para � � 1 � ��1 : ��·� � ���� ��� Es verdad, entonces se cumple:

��·�� �

�·�� ��·��� �

������·������ � ����� (H.I)

Pero, quiero demostrar para ��� � 1 ; ��·�� �

�·�� ��·��� �

������·������� �������·������ � ������� (T.I)

Dem:

��·�� �

�·�� ��·��� �

������·������� �������·������ � �

����� �������·������ � � · �2� � 3 � 1�2� � 1 · �2� � 3

� �������������������� � �2� � 1 �� � 1 �2� � 1 �2� � 3

� ������� �

Page 5: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 5 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 5: 1� � 2� � 3� �� �� � �1 � 2 � 3 �� � � Solución: Antes de usar Inducción, trabajemos la igualdad un poco:

Sabemos que: 1 � 2 � 3 � 4 �� � � �������

Y reemplazando obtenemos: 1� � 2� � 3� �� �� � ���� � 1 2 ��

Entonces sea ��� : 1� � 2� � 3� �� �� � �������� � Probemos para � � 1 � ��1 : 1� � �������� � ��� Es verdad, entonces se cumple: 1� � 2� � 3� �� �� � �������� � (H.I)

Pero, quiero demostrar para ��� � 1 ; 1� � 2� � 3� �� �� � �� � 1 � � ������������ � (T.I)

Dem: 1� � 2� � 3� �� �� � �� � 1 �!""""""""""#""""""""""$�. � ���� � 1 2 ��!"""#"""$�. � �� � 1 � � ���� � 1 � � 4�� � 1 �4 � �� � 1 ���� � 4�� � 1 4

� ������������� � ��� � 1 �� � 2 2 ���

Page 6: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 6 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 6: Demostrar % � � �, '() ��� � � es divisible por 2

Solución: Lo anterior es equivalente a: �� � � � 2* , %* � +� Probemos para: � � 1 � 1� � 1 � 2 � � 2 � 2� � 2 � 6

2 y 6 son divisibles por 2, entonces se cumple: �� � � � 2* %* � +� (H.I) Pero, queremos demostrar: �� � 1 � � � � 1 � 2- , %- � +� (T.I) Dem: �� � � � 2* �� � 2* � � � � √2* � � /�1 � � 1 � √2* � � � 1 /� � �� � 1 � � �√2* � � � 1 � /��� � 1 �� � 1 � � � � 1�����������

�.� �√2* � � � 1 � � � � 1 �� � 1 � � � � 1 � 2 0* � 1 � √2* � �1�������������

� �

Problema nº 7: Demostrar % � � �, '() ��� � 2� es divisible por 3 Solución: Lo anterior es equivalente a: �� � 2� � 3* , % * � +� Probemos para: � � 1 � 1� � 2 · 1 � 3

Page 7: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 7 Eleazar Madariaga -UTFSM

� � 2 � 2� � 2 · 2 � 12 3 y 12 son divisibles por 3, entonces se cumple: �� � 2� � 3* , % * � +� (H.I)

Pero, queremos demostrar: �� � 1 � � 2�� � 1 � 3- , % - � +� (T.I)

Dem:

Empleare el mismo método que en el problema nº 6(despejando, sumando, restando, elevando y usando: 0 � � � � ) �� � 2� � 3* �� � 3* � 2� � � √3* � 2��

� � 1 � √3* � 2�� � 1 �� � 1 � � �√3* � 2�� � 1 � �� � 1 � � �3* � 2� � 30√3* � 2�� 1� � 3√3* � 2�� � 1 �� � 1 � � �3* � 2� � 30√3* � 2�� 1� � 3√3* � 2�� � 1 � �2 � 2 �� � 1 � � 2 � �3* � 2� � 30√3* � 2�� 1� � 3√3* � 2�� � 1 � 2 �� � 1 � � 2 � 2� � 3* � 30√3* � 2�� 1� � 3√3* � 2�� � 1 � 2 �� � 1 � � 2�� � 1 ��������������.

� 3 �* � 0√3* � 2�� 1� � √3* � 2�� � 1 ����������������������������

Page 8: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 8 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 8: Demuestre que la suma de los ángulos de un polígono convexo de � lados es 180�� � 2 Solución: Notemos que los polígonos tienen por lo menos 3 lados, por lo que debemos demostrar lo propuesto para � 4 3. Claramente para � � 3 se cumple (es un triangulo).Entonces ya tenemos nuestra (H.I), de modo que asumamos como verdadero y demostremos para � � 1. Es decir, debemos demostrar que la suma es: 1806�� � 1 � 27 � 180�� � 1 (T.I) Consideremos un polígono convexo de � lados, entonces para formar uno convexo de � � 1 lados basta tomar un punto P en alguna de las regiones (zonas achuradas) que se determinan por la prolongación de los lados del polígono original (sin considerar las mismas rectas).

Des esta manera, la suma de los ángulos de este nuevo polígono va a ser la suma de todos los ángulos del polígono original más 8, 9, :. Notemos que 8, 9, : son los ángulos de un triangulo, entonces: 8 � 9 � : � 180° Finalmente la suma de los ángulos de un polígono de � � 1 lados es:

Page 9: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 9 Eleazar Madariaga -UTFSM

180�� � 2 ��������.

� �8 � 9 � : � 180�� � 2 � 180 � 180�� � 1 �

Problema nº 9: Determine la falla del método de inducción en la demostración de: % � � � La formula ;�� � �� � � � 41 proporciona solo números primos. Solución: Definición Número Primo: Un número natural ; < 1 es primo si y solo si, sus únicos factores son exactamente ; y 1. De acuerdo con esto, basta tomar � � 41 � ;�41 � 41� que

claramente no es primo.

Problema nº 10: Demuestre por inducción: = 12��

���� 1 � 12�

Solución: > � � 1 � ∑ ���

���� � ��� � 1 � �

��

Para � � 1 se cumple, así que aceptamos: ∑ �

������ � 1 � �

�� (H.I)

Pero, quiero demostrar: ∑ ���

������ � 1 � ����� (T.I)

Dem: = 12����

���� = 12��

�������.��� �

��

� 12��� � 1 � 12� � 12��� � 1 � 12������������.

Page 10: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 10 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 11: Demuestre mediante inducción la “Desigualdad de Bernouilli”. Esto es si @ 4 �1, entonces % � � �, se cumple que: �1 � @ � 4 1 � �@ Solución: Sea la proposición:

����: �1 � @ � 4 1� �@ , con @ < 1 > ��1 : �1 � @ � 4 1 � 1 · @ , entonces ��1 es verdadera >> Supongamos ahora que, dado un natural �, ��� también es cierto: �1 � @ � 4 1 � �@ (H.I) Entonces debemos probar que ��� � 1 se cumple: �1 � @ ��� 4 1 � �� � 1 @ (T.I) En efecto. Como �1 � @ 4 0 , tenemos: �1 � @ �1 � @ � 4 �1 � �@ �������������

�.�1 � @

�1 � @ ��� 4 1 � @ � �@ � �@� 4 1 � @ � �@ , ya que �@� 4 0 A �1 � @ ��� 4 1 � �� � 1 @ �

Problema nº 12: Se define la sucesión �@� como sigue: @� � 1 @��� � @� � �2� � 1 ; � 4 1

a) Escriba los primeros 5 términos de la sucesión. b) Conjeture una expresión para el termino general @�. c) Demuestre por inducción su conjetura de la parte anterior.

Solución: a) @� � 1 @� � @� � �2 � 1 � 2 @� � @� � �4 � 1 � 5 @� � @� � �6 � 1 � 10 @� � @� � �8 � 1 � 17 b) La formula que parece emanar de los casos anteriores es:

Page 11: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 11 Eleazar Madariaga -UTFSM

@� � 1 � �� � 1 � c) Demostrare la formula anterior por inducción matemática: > � � 1 � @� � 1 � 1 � �1 � 1 � Es verdadera, así suponemos que: >> @� � 1 � �� � 1 � (H.I) Pero, queremos probar: >>> @��� � 1 � �� (T.I) >B Dem: Por definición: @��� � @� � �2� � 1 Por H.I: @� � 1 � �� � 1 � Por lo tanto: @��� � @��

�.� �2� � 1 @��� � 1 � �� � 1 � � �2� � 1 @��� � 1 � �� � 2� � 1 � 2� � 1 @��� � 1 � �� �

Problema nº 13: Se define: @� � 1 @��� � @� � 1� � 1

Demuestre que para todo � � �: =@��

���� �� � 1 @� � �

Solución: > � � 1 � =@��

���� @� � �1 � 1 @� � 1 � 1

Page 12: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 12 Eleazar Madariaga -UTFSM

Es verdadera, así suponemos que: >> ∑ @����� � �� � 1 @� � � (H.I)

Pero, queremos probar: >>> ∑ @������� � �� � 2 @��� � �� � 1 (T.I) >B Dem:

Observemos que: @��� � @� � ���� � @� � @��� � �

��� �C =@����

���� =@��

�������.

� @��� � �� � 1 @��

���� � � @��� � �� � 1 �@��� � 1� � 1� � � � @��� � �� � 1 @��� � 1 � � � @��� � �� � 2 @��� � �� � 1 �

Problema nº 14: Demostrar por inducción que 8�� � 9�� es divisible por 8 � 9. Solución: La proposición es cierta para � � 1 , ya que: 8�·� � 9�·� � 8� � 9� � �8 � 9 · �8 � 9 Supongamos ahora que 8�� � 9�� es divisible por 8 � 9. Queremos

demostrar que también 8������ � 9������ es divisible por 8 � 9

Tenemos que: 8������ � 9������ � 8���� � 9���� � 8��8� � 9����

Page 13: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 13 Eleazar Madariaga -UTFSM

� �8�� � 9�� � 9����������

8� � 9���� � �8�� � 9�� 8� � 9��8� � 9���� � �8�� � 9�� 8� � 9���8� � 9� El primer termino es divisible por 8 � 9 por hipótesis de inducción y el

segundo lo es ya que 8� � 9� � �8 � 9 �8 � 9 . Por lo tanto 8������ �9������ es divisible por 8 � 9 y eso completa la demostración.

Problema nº 15: Demuestre que, para todo � 4 3: 2� < � � 4 Solución: Empleare Inducción: > � � 3 � 2��

�< 2 � 4���

Es verdadera, así suponemos: >> 2� < � � 4 (H.I) Pero, debo probar: >>> 2��� < � � 5 (T.I) >B Dem: 2��� � 2 · 2� < �� � 4 ���������

�.· 2

Además 2�� � 4 � 2� � 8 < � � 5 Luego por transitividad se demuestra lo pedido Observación: Para más formalidad usar ���

Problema nº 16: Demuestre que % � � �: 4���� � 3��� , es múltiplo de 13 Solución:

Page 14: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 14 Eleazar Madariaga -UTFSM

Lo anterior equivale a: 4���� � 3��� � 13* , % * � +� > � � 1 � 4� � 3� � 13

Es verdadera, así suponemos: >> 4���� � 3��� � 13* , % * � +� (H.I) Pero, quiero demostrar: >>> 4���� � 3��� � 13- , % - � +� (T.I) >B Dem: 4���� � 3��� � 13* !""""""#""""""$�.

Multiplicando ambos lados por 4� � 16 � 13 � 3 4���� � 3����13 � 3 � 16 · 13* 4���� � 13 · 3��� � 3 · 3��� � 16 · 13* 4���� � 3��� � 16 · 13* � 13 · 3��� 4���� � 3��� � 13 �16* � 3��� ���������

��

Problema nº 17: Demuestre que % � � � D E�3 � ��2 � ��6 F � �

Solución: Lo demostrare por inducción:

Sea ��� : �� � ��� � ��

� � � > ��1 : �� � ��� �

� � 1 � � , Luego se satisface ��� Suponemos: >> ��� : �� � ��

� � ��� (H.I)

Probaremos: >>> ��� � 1 : ���� � ������� � ������

� (T.I) >B Dem:

Page 15: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 15 Eleazar Madariaga -UTFSM

� � 13 � �� � 1 �2 � �� � 1 �6 � �3 � 13 � ��2 � 12 � ��6 � ��2 � �2 � 16 � � � �3 � ��2 � ��6���������

� 13 � 12 � 16�������

� � � ��2 � �2�������

G � � ;H� I)J>�>K>H�, GG � � ;H� '() ��1 )L B)�I@I)�@ Solo nos queda demostrar que GGG � �, de modo que volvemos a usar inducción:

Sea M�� : ������� > M�1 : ������� � 2 � �, Luego se satisface M�� Suponemos: >> M�� : ������� (H.I)

Probaremos: >>> M�� � 1 : ����������� (T.I) >B Dem: �� � 1 �� � 4 2 � ��2 � 3�2 � � � 2 � ��� � 3 2�������

���� � � 2���

���

(1) � �, por H.I y (2) � �, por definición ya que � 9 2 � � Con esto queda demostrado que GGG � � y con ello ���

Page 16: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 16 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 18: Un polinomio de chebyshev esta definido por la siguiente relación de recurrencia: N O��8 � 1O��8 � 8O��8 � 28 · O����8 � O����8 , � 4 2P Demuestre que para la función coseno, las formulas de ángulos múltiples se pueden expresar mediante este polinomio, es decir, pruebe que: cos��T � O��KHLT Así por ejemplo: cos�1 · T � O��KHLT � KHLT

Solución:

Demostrare por Inducción > U � 1 , es verdadero (demostrado en el ejemplo)

Asumimos: >> cos�UT � O��KHLT , U V � (H.I)

Por demostrar, para U � � � 1: >>> cos��� � 1 T � O����KHLT (T.I) >B Dem: O����KHLT � 2KHLT · O��KHLT � O����KHL � 2KHLT · KHL�T � cos ��� � 1 T ������������������� � �!�"�#$ %& �.

� 2KHLT · KHL�T � 6cos��T · cos�T � L)���T · L)��T 7 � cos��T · cos�T � L)���T · L)��T � cos�T � �T

Page 17: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 17 Eleazar Madariaga -UTFSM

� cos0�� � 1 T1 �

Problema nº 19: Demuestre rigurosamente que: % � � �: cos��W � ��1 � Solución:

Definimos el subconjunto de �: X � Y� � �: cos��W � ��1 �Z Y aplicamos el Principio de Inducción Matemática para demostrar que X � � > Como cos�W � �1 se tiene que 1 � X y en consecuencia X [ \

Supongamos que � � X, es decir: >> cos��W � ��1 � (H.I)

Por demostrar que � � 1 � X, esto es: >>> cos��� � 1 W � ��1 ��� (T.I)

Para demostrar que (H.I) implica (T.I) basta recordar la ley del coseno de la suma de ángulos: cos�8 � 9 � cos�8 cos�9 � L)��8 L)��9 y que cos�W � �1 y L)��W � 0. En efecto: >B Dem: cos��W � W � cos��W �����

'.(��1 � 0 · L)���W � ��1 ���1 � ��1 ��� �

Page 18: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 18 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 20: Demuestre % � � �, � 4 2 =U�U! � �� � 1 ! � 2!�

���

Solución: Probemos para � � 2 =U�U! ��

���=U�U! ��

���=U�U! �

��� � 0�0! � 1�1! � 2�2! � �0�0! � 1�1! � 4

Por otro lado tenemos �2 � 1 ! � 2! � 3! � 2! � 6 � 2 � 4 Por lo tanto asumimos que es verdadera =U�U! � �� � 1 ! � 2!�

��� … �_. G

Pero, debemos probar = U�U! � �� � 2 ! � 2!���

��� … �O. G

Dem: =U�U! ����

���=U�U! ���

���� =U�U! �

���

Page 19: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 19 Eleazar Madariaga -UTFSM

� =U�U! ���

���� 1

� =U�U! �

���� �� � 1 0�� � 1 !1 � 1

� `=U�U! �

���� 1a � �� � 1 0�� � 1 !1

� `=U�U! �

���� =U�U! �

���a � �� � 1 0�� � 1 !1

� =U�U! ��

�����������.

�� � 1 0�� � 1 !1 � �� � 1 ! � 2! � �� � 1 0�� � 1 !1 � �� � 1 ! 61 � �� � 1 7 � 2! � �� � 2 �� � 1 ! � 2! � �� � 2 ! � 2! �

Problema nº 21: Demuestre por Inducción que % � � � =U · 5��

���� 116 65 � �4� � 1 5���7

Solución: Probemos para � � 1

Page 20: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 20 Eleazar Madariaga -UTFSM

=U · 5��

���� 1 · 5� � 5

Por otro lado tenemos 116 65 � �4 � 1 5�7 � 8016 � 5

Por lo tanto asumimos que es verdadera =U · 5��

���� 116 65 � �4� � 1 5���7 … �_. G

Pero, debemos probar = U · 5����

���� 116 65 � �4� � 3 5���7 … �O. G

Dem: =U · 5����

���� =U · 5��

�����������.

� �� � 1 5��� � 116 65 � �4� � 1 5���7 � �� � 1 5��� � 516 � �4� � 1 5���16 � �� � 1 5��� � 516 � 5��� b4� � 116 � � � 1c � 516 � 5��� b20� � 1516 c � 516 � 5��� b4� � 316 c

Page 21: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 21 Eleazar Madariaga -UTFSM

� 116 65 � �4� � 3 5���7 �

Problema nº 22: Sea ; � � un número natural fijo. Probar por Inducción que % � � � � Y0Z ;!0! � �; � 1 !1! � �; � 2 !2! � � �; � � � 1 !�� � 1 ! � �; � � !�; � 1 · �� � 1 !

Solución: Primero debemos notar que ;!0! � �; � 1 !1! � �; � 2 !2! � � �; � � � 1 !�� � 1 ! � = �; � U !U!���

���

Por lo tanto, la expresión inicial se puede escribir como =�; � U !U!���

���� �; � � !�; � 1 · �� � 1 !

Probemos para � � 1 =�; � U !U!���

���� �; � 0 !0! � ;!

Por otro lado tenemos �; � 1 !�; � 1 · �1 � 1 ! � �; � 1 !�; � 1 � ;!

Por lo tanto asumimos que es verdadera

Page 22: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 22 Eleazar Madariaga -UTFSM

= �; � U !U!���

���� �; � � !�; � 1 · �� � 1 ! … �_. G

Pero, debemos probar = �; � U !U!�

���� �; � � � 1 !�; � 1 · �! … �O. G

Dem: =�; � U !U!�

���� =�; � U !U!���

�������������.

� �; � � !�!

� �; � � !�; � 1 · �� � 1 ! � �; � � !�! � �; � � !�; � 1 · �� � 1 ! � �; � � !��� � 1 ! � �; � � !�� � 1 ! b 1; � 1 � 1�c � �; � � !�� � 1 ! d�; � � � 1 �; � 1 � e � �; � � � 1 !�; � 1 · �! �

Page 23: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 23 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 23: Sea @ una constante real @ < �1 , pruebe usando Inducción sobre � que: % � � �: = 1�1 � @ � � �1 � @ � � 1@�1 � @ ��

���

Solución: Probemos para � � 1 = 1�1 � @ � ��

���

11 � @

Por otro lado tenemos �1 � @ � � 1@�1 � @ � � @@�1 � @ � 11 � @

Por lo tanto asumimos que es verdadera = 1�1 � @ � � �1 � @ � � 1@�1 � @ ��

��� … �_. G

Pero, debemos probar = 1�1 � @ � � �1 � @ ��� � 1@�1 � @ ������

��� … �O. G

Dem: = 1�1 � @ � ����

���= 1�1 � @ ��

�������������.

� 1�1 � @ ��� � �1 � @ � � 1@�1 � @ � � 1�1 � @ ���

Page 24: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 24 Eleazar Madariaga -UTFSM

� �1 � @ ��� � �1 � @ � @@�1 � @ ��� � �1 � @ ��� � 1@�1 � @ ��� �

Problema nº 24: Demuestre por Inducción: =�f� � 1 f! � ��� � 1 !�

���

Solución: Probemos para � � 1 =�f� � 1 f! ��

����1� � 1 1! � 2

Por otro lado tenemos 1�1 � 1 ! � 2

Por lo tanto asumimos que es verdadera =�f� � 1 f! � ��� � 1 !�

��� … �_. G

Pero, debemos probar =�f� � 1 f! � �� � 1 �� � 2 !���

��� … �O. G

Dem:

Page 25: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 25 Eleazar Madariaga -UTFSM

=�f� � 1 f! ����

���=�f� � 1 f!�

�������������.

� 6�� � 1 � � 17�� � 1 ! � ��� � 1 ! � 6�� � 1 � � 17�� � 1 ! � �� � 1 ! 6� � �� � 1 � � 17 � �� � 1 ! 6�� � 3� � 27 � 6�� � 1 �� � 2 7�� � 1 ! � �� � 1 �� � 2 ! �

Problema nº 25: Demuestre por Inducción que: 2� g �! ; % � 4 4

Solución: Probemos para � � 4 16 � 2� g 4! � 24

Lo cual es verdadero, así que asumimos 2� g �! … �_. G Pero, debemos probar 2��� g �� � 1 ! … �O. G Dem: 2��� � 2 · 2� g �!�����

�.· 2

Por otro lado 2 g � � 1 % � 4 4

Así que 2��� g 2 · �! g �� � 1 �! � �� � 1 ! �

Page 26: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 26 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 26: La sucesión de Fibonacci se define recursivamente como: h i� � 0i� � 1i��� � i� � i��� , % � � �P Demuestre % � � � j Y0Z i� � 1√5 kE1 � √52 F� � E1 � √52 F�l

Solución: i� de la definición recursiva es 0, veamos que sucede con la formula i� � 1√5 kE1 � √52 F� � E1 � √52 F�l i� � 1√5 61 � 17 � 0 Lo cual es verdadero, así que asumimos i� � 1√5 kE1 � √52 F� � E1 � √52 F�l … �_. G

Pero, debemos demostrar i��� � 1√5 kE1 � √52 F��� � E1 � √52 F���l … �O. G Dem:

Sabemos de la definición recursiva que se cumple % � � � i��� � i� � i��� Sea : � 1 � √52 m � 1 � √52

Entonces i��� � 1√5 6m� � :�7 � 1√5 6m��� � :���7

Page 27: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 27 Eleazar Madariaga -UTFSM

i��� � 1√5 6m� � m��� � �:� � :��� 7 i��� � 1√5 bm� �1 � 1m� � :� �1 � 1:�c Veamos que 1 � 1m � 1 � 21 � √5 � 3 � √51 � √5 � 1 � √52 1 � 1: � 1 � 21 � √5 � 3 � √51 � √5 � 1 � √52

Por lo tanto i��� � 1√5 kE1 � √52 F� E1 � √52 F � E1 � √52 F� E1 � √52 Fl i��� � 1√5 kE1 � √52 F��� � E1 � √52 F���l �

Problema nº 27: Considere la siguiente figura:

En ella hay 2� resistencia n. Sea n� la resistencia total del circuito entre A y B cuando hay 2� resistencias n. Conjeture y pruebe por inducción una formula general para calcular n�.

Solución: Si calculamos con los primeros valores de �, vamos a tener:

Page 28: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 28 Eleazar Madariaga -UTFSM

n� � n2 , n� � 35n, n� � 813n, n� � 2134n

Ahora, para poder conjeturar un formula general, necesitamos conocer la sucesión de Fibonacci que se define recursivamente por: N J� � 1J� � 1 J��� � J� � J���, �*� P Si calculamos para los primeros valores, tenemos: J� � 2 J� � 13 J� � 3 J� � 21 J� � 5 J� � 34 J� � 8 Y si notamos en nuestras resistencias calculadas anteriormente, podemos deducir que: n� � n2 � J�J� n n� � 35n � J�J� n n� � 813n � J�J� n n� � 2134n � J�J� n

Lo anterior nos da para conjeturar que: n� � J����J�� n … �_. G Ahora, debemos demostrar a partir de nuestra hipótesis de inducción (H.I) que: n� � J����J���� n … �O. G

Dem:

Si hay 2� � 2 resistencias, entonces hay dos resistencias más que en el primer caso. De ellas hay una que se agrega en serie y la otra en paralelo.

Page 29: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 29 Eleazar Madariaga -UTFSM

Calculamos primero la resistencia equivalente, considerando la resistencia en serie n: n�+� � n� � n � J����J�� n � n � �J���� � J��J�� �n

Pero, J���� � J���� � J�� por recurrencia de Fibonacci, entonces: n�+� � �J���� � J�� � J��J�� �n n�+� � �J����J�� �n Ahora, calculemos la resistencia del circuito agregando la resistencia n en paralelo: 1n��� � 1n�+� � 1n � � J��J����� 1n � 1n � �J�� � J����J���� � 1n n��� � � J����J�� � J�����n

Pero, J���� � J���� � J�� por recurrencia de Fibonacci, entonces: n� � J����J���� n �

Page 30: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 30 Eleazar Madariaga -UTFSM

Problema nº 28: Sea ; un número natural fijo. Demuestre que para todo � � � se satisface la siguiente igualdad =�; � UU ��

���� �; � � � 1� �

Solución: Probemos para � � 1 =�; � UU ��

���� �; � 00 � � �; � 11 � � �;0 � �; � 11 � � 1 � ; � 1 � ; � 2

Por otra parte �; � 1 � 11 � � �; � 21 � � ; � 2

Lo cual es verdadero, así que asumimos = �; � UU ��

���� �; � � � 1� � … �_. G

Pero, debemos probar = �; � UU ����

���� �; � � � 2� � 1 � … �O. G

Dem: =�; � UU ����

���� =�; � UU ��

�����������.

� �; � � � 1� � 1 �

Page 31: Inducción Matemática Ejercicios

Inducción Matemática/Mat-021 Página 31 Eleazar Madariaga -UTFSM

� �; � � � 1� � � �; � � � 1� � 1 � � �; � � � 2� � 1 � �