ejercicios de matemática primer año

8/15/2019 Ejercicios de Matemática Primer Año

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ETAPA DE DIAGNÓSTICO

En esta primera parte vamos a repasar las operaciones con númerosnaturales, que son los primeros números que aprendemos en la

escuela primariarepasamos! S"#A A$GE%&AICA

' Suprime los si(nos de a(rupaci)n *par+ntesis, corcetes - llaves. -e/ectúa la suma al(e0raica Aplica la propiedad cancelativa siempreque sea posi0le

a 18− {2+[9− (6−4 )−5 ] }=¿

0 (4−3 )−4−(7−3 )+(12−5 )=¿

c 15− 2−[9+ (−5 )−(+7 )+15 ]−2 =¿

d (a+3−1 )+(−3−a )+1=¿

repasamos! P&OPIEDADES

1 Escri0e al lado de cada e2ercicio la pala0ra asociativa, conmutativa,

o distri0utiva, re3riendo a la propiedad que se aplic)4

a 5 +5=5+6 propiedad 66666666666666666666666666 de la suma

0 1+(7+4 )= (1+7 )+4 propiedad 66666666666666666666666666 de la suma

c 8 . (1+4 )=8 .1+8. 4 propiedad 66666666666666666666666666 del producto

d 9 . (3 .6 )=(9 .3 ) .6 propiedad 66666666666666666666666666 del producto

e 2 . (5−1 )=2 .5−2 .1 propiedad 66666666666666666666666666 del producto / 8 .7=7 .8 propiedad 66666666666666666666666666

del producto

repasamos! OPE&ACIONES %7SICAS

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*de0es acordarte de los len(ua2es que utili8amos4 coloquial -sim0)lico.9 Escri0e en cada casillero li0re el número que a- que sumarle alanterior para o0tener el número si(uiente

9: ;9: ' ;9: 1' ;9:

< Calcula el sustraendo sa0iendo que el minuendo es - ladi/erencia es =;

: Calcula el dividendo sa0iendo que el divisor es 19, el cociente es '1- el resto 1

5 $a di/erencia entre quince - el cuadrado de tres es !

> $a suma entre la ra?8 cuadrada de veinticinco - el cu0o de dos es !

= Separa en t+rminos - resuelve los e2ercicios com0inados

a (10−7 ).4−3 . (5+3 )+7 . (6−4 )=¿

0 (8−4 )÷2+(16−4 )÷3−(18÷6 )=¿

c (√ 100+√ 25 ) .3+92+31=¿

d 63 ÷62+4 . (10−3√ 8+20)=¿

e √ 144 . (20−3 )−70 .204=¿

/ 97−(43 .3+20÷10) ÷2=¿

( √ 20. (3+5 )−60+30=¿

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(√ 49+3250 ). 3√ 12÷6+6=¿

repasamos ! #@$TIP$OS DIBISO&ES

; Completa el cuadro tildando los casilleros para los cuales unnúmero es divisi0le

#últiplo

de !

1 9 < : 5 > ; '1'

91<>5:


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los tres cam0ios 2untos, Fdespu+s de cuntos il)metros volver aacerlo simultneamente

/ Dos letreros se encienden con intermitencia de


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Lectura del resultado de tu trabajo en la etapa de diagnóstico:

Si as podido reali8ar todos los e2ercicios sin a-uda, te vaticino un #"%"EN ALO ESCO$A&, eres candidato a tener un promedio de ' *die8.en #atemtica de Primer AMo de la Escuela T+cnicaSi de los : e2ercicios propuestos para la etapa dia(n)stica pudisteresolver ms de la mitad, ENO&A%"ENA vas a poder transitar elPrimer AMo sin di3cultades, recuerda pre(untar las dudas que te sur2anen el aMo escolarSi as lle(ado a acer menos de la mitad, te /alta BO$"NTAD, - con

E#PELO, ES"E&O CONIANA en ti mismo - en la docente que teacompaMa podrs apro0ar sin di3cultades De0es dedicar ms tiempoa estudiar #ATE#7TICA

“El hombre que mueve una montaña comienza por llevar pequeñas piedras” *prover0io cino.


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Unidad 1: NÚMEROS ENTEROS – OPERACIONES (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓNY DIVISIÓN)

Números enteros ( Z ). Imposibilidad de la diferencia en naturales (

N ). Números negativos. Valor absoluto. Números opuestos.Ordenamiento de números enteros. Representación gráca! en la rectanum"rica # en el plano. $%ercicios # problemas de aplicación.

N@#E&OS NEGATIBOS

El con2unto de los números naturales * N . est dado por N Q R'K 1K9K

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de la misma, es decir no eHiste nin(ún número natural que sumado a <d+ 'Para resolver esta clase de di/erencias se crearon los llamadosnúmeros enteros ne(ativos * U ., que se representan por los naturales

precedidos por el si(no menos4U : K U 91 K U :'< K ! las operaciones con estos nuevos números (o8an de las mismaspropiedades que las correspondientes operaciones con númerosnaturalesAs?, los números naturales - los números enteros ne(ativosconstitu-en en con2unto los números enteros que lo representamos

con * Z . 4

El concepto de número ne(ativo aparece en mucas situaciones denuestra vida diaria Al re/erirnos a temperaturas a0lamos de (rados

so0re cero - (rados 0a2o ceroK a aMos antes de Cristo - despu+s deCristoK a metros so0re el nivel del mar - metros 0a2o el nivel del marK a(anancias - a p+rdidasK etc

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN '

EHpresa con un número entero los si(uientes enunciados4

a Oscar pierde siete puntos

0 #il novecientos aMos antes de Cristo

c Trescientos metros so0re el nivel del mar

d Cinco mil pesos de p+rdida

e Beinte (rados 0a2o cero


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/ El Aconca(ua tiene una altitud de aproHimadamente siete milmetros

( "na depresi)n de doscientos metros 0a2o el nivel del mar $a temperatura de solidi3caci)n del alcool es de ciento die8(rados 0a2o cero

i El se(undo su0suelo de un edi3cio

BA$O& A%SO$"TO ||

Se llama valor a0soluto de un número entero al número natural que lo

representa, independientemente del si(no Sim0)licamente el valora0soluto se eHpresa encerrando el número entre dos 0arras4

|−3|=3 se lee valor a0soluto de menos tres es i(ual atres

|+9|=9 se lee valor a0soluto de ms nueve es i(ual anueve

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN 1

EHpresa el valor a0soluto de4

a |0|=¿ 0 |−8|=¿ c |+10|=¿ d |−ñ|=¿

N@#E&OS OP"ESTOS

Dos números enteros que tienen el mismo valor a0soluto - distintosi(no se llaman opuestosK o dico de otra /orma es el número deunidades que dista *estn a la misma distancia. del cero sin tener encuenta el si(noAs? son números opuestos por e2emplo4 5 - U 5 U

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Indica el opuesto de cada número4

a ' 0 U c U :1d '

&EP&ESENTACIÓN G&7ICA

Siendo los números enteros ne(ativos los opuestos de los númerospositivos, se los considera representados en la semirrecta opuesta4

. ne(ativos o positivos

ori(en

As? por e2emplo, el número < Q < si(ni3ca contar < unidades a ladereca del cero *ori(en.- U < si(ni3ca contar < unidades a la i8quierda del ori(en4

< unidades

. . . . . . . . .. U < <

< unidades

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN

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Di0u2a una recta num+rica considerando como el aMo de tunacimiento $ue(o representa en la recta4

a el aMo de nacimiento de tus padres,

0 el aMo en que cursaste el :X (rado,

c el aMo de nacimiento de tus a0uelos,

d el aMo en que in(resaste a la Escuela T+cnica

T&A%AWO P&7CTICO NX ' U CARACTERÍSTICAS DE LOS ENTEROSPara ser presentado el!!!!!!!!!!!!!!!!!!

' Escri0e en los trin(ulos, el número entero que eHpresa cadaenunciado4

'' una p+rdida de ',

'1 > se(undos antes del lan8amiento del coete,

'9 Wuan (ana 1 puntos en un 2ue(o de cartas,

'

a1 1 XC K U ' XC K ; XC K U < XC K ' XC K U 1 XC

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a9 U 5 K U 9 K ' K 4 U 1 K < K U 1

0 En orden descendente4

0' ; a C K = d C K 9 a CK 1 a CK ' d C K ' a C K K U :

09 U < K U = K U 1 K K < K = K '1

< Esta0lece cules de las si(uientes relaciones de ma-or * V. o menor

*Y. son B *verdaderas. o */alsas.4

U > V U ' U = V U < 9 Y U < 5 Y U ': U < Y U '' ' V U '

' V U ; U 9 Y 1 Y U :9 | – 3| 9: | – 8| >:= U 9< | – 34|

5 Completa los c?rculos escri0iendo cinco números comprendidosentre los eHtremos que se dan en cada ?tem4

5' U 1 551 U' U '

59 U =


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Operaciones con números enteros. &e# de composición interna.

'dición (suma). ropiedades de la adición. ustracción (resta).ropiedades de la sustracción. uma algebraica. upresión de lossignos de agrupación! par"ntesis* corc+etes # llaves.

ADICIÓN DE N@#E&OS ENTE&OS P&OPIEDADES&ecuerda que cada número que se suma se llama sumando oTÉRMINO

Consideremos dos números enteros a - 0 Interpretamos la suma a 0

so0re la recta num+rica como el resultado que se o0tiene al e/ectuarun despla8amiento de 0 unidades *a la dereca o a la i8quierda. apartir del entero aAs?4

< unidadesa 9 < Q 7. . . . . . . . . . . . 97

0 9 * U < . Q – 1 < unidades . . . . . . . .. . . . – 1 9

c U : 9 Q – 2 9 unidades


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. . . . . . . .. . . . U : – 2

d U ' * U : . Q – 6 : unidades

. . . . . . . .. . . . – 6 U '

#ediante esta interpretaci)n (eom+trica de la suma de númerosenteros, podemos dar las dos si(uientes re(las 0sicas para allar elresultado de a 04

&e(la '4[$A S"#A DE DOS N@#E&OS ENTE&OS DE$ #IS#O SIGNO ES OT&O

N@#E&O ENTE&O, C"O BA$O& A%SO$"TO ES $A S"#A DE $OSBA$O&ES A%SO$"TOS DE $OS S"#ANDOS S" SIGNO ES IG"A$ A$ DE

$OS S"#ANDOS\

E2emplo4

a

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EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN :

' Completa la ta0la de la suma de al(unos enteros4

U Q

d U : *U :. Q

P&OPIEDADES DE $A S"#A DE ENTE&OS

a6 Clausurativa o cerrada4 [$a suma de dos números enteros es otro

número entero\Si a ∈ - 0 ∈ K entonces a 0 ∈

Por e2emplo4U : ∈ - U 1 ∈ K U : *U 1. Q – 7 - U > ∈


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Como al sumar números enteros el resultado es siempre un númeroentero, se dice que la adici)n es una operaci)n interna en el con2untode los números enteros, o que cumple con la lede cierre o de laclausura

06 Conmutativa4 [Si se cam0ia el orden de los sumandos, la suma novar?a\

Si a ∈ - 0 ∈ K entonces a 0 Q 0 a

Por e2emplo4U : 9 Q 9 *U :. Q – 2 U 5 ; Q ; U 5 Q $

c6 Asociativa4 [Si se reempla8an dos o ms sumandos por su sumae/ectuada, la suma total no var?a\

Si a, 0, c ∈ K entonces *a 0. c Q a *0 c.

Por e2emplo4 : 9 *U


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& ' &/6 Cancelativa4 [Cuando un t+rmino 3(ura en am0os miem0ros de unai(ualdad, con el #IS#O si(no, se puede suprimir\

Si a, 0, c∈

- a c Q 0 c K entonces a Q 0Por e2emplo4i. U 9 a Q U > *U 9. U 9 a Q U 9 *U >. *propiedad conmutativa.

a Q – 7 *propiedad cancelativa.

ii. a *U

!!!!!!!!!!!!!!!!!!0 U '1= *9: U >=. Q *U '1= 9:. *U >=.!!!!!!!!!!!!!!!!!!

c U '' Q U ''!!!!!!!!!!!!!!!!!!


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d '1: *U '1:. Q !!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 Pro0lemitas para pensar - resolver4a FDe cuntos aMos muri) una persona que naci) en el aMo 9= a deC - muri) en el aMo '> d de C

0 "n padre de /amilia sale de su o(ar con >

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0 U ' U * 1. Q

c U '' U *U ;. Q

d U ;1> U *U ' :;;. Q

P&OPIEDADES DE $A S"ST&ACCIÓN DE N@#E&OS ENTE&OS

$a sustracci)n de números enteros (o8a de las mismas propiedadesque la de números naturales, es decir es uni/orme - NO conmutativaComo la sustracci)n de números enteros da siempre por resultado otronúmero entero, resulta que es una operaci)n interna en el con2unto denúmeros enteros, o sea que cumple la lede cierre

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN =

' &esuelve mentalmente las si(uientes restas4

a 9 U 1 Q 0 9 U < Q c U 9 U 1 Q

d U 9 U *U 1. Q e : U *U '. Q / U = U*U 1. Q

1 Escri0e en cada caso, dos números enteros que al restarlos den elnúmero indicado4

a < 0 c U : d U'

9 &esponde4a FCunto a- que restar a 5 para o0tener U '

0 FCunto a- que restar a ' para o0tener U ':

c FCunto a- que restar a U ' para o0tener U 9

< Si a los :1 domin(os del aMo se adicionan 1 d?as /estivos, Fcuntosd?as la0orales quedan

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: &eali8a las si(uientes sumas - restas de números enteros4

a *U 5. Q 0 U > *U ''. Q

c U 9 * :. Q d U *U

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= U < 5 U > Q ': 9 1 U 1' Q *= 5. U *< >. Q *': 9 1. U 1' Q '< U '' Q $ 1 U 1' Q – 1

iii – 12

+{−4

+5

−[−2

+3

−(5

+2

−9

) ]+4

}=¿ −12+ {−4+5−[−2+3−5−2+9 ]+4 }=¿ −12+ {−4+5+2−3+5+2−9+4 }=¿ −12−4+5+2−3+5+2−9+4=¿ (5+2+5+2)− (12+3+9)=¿ '< U 1< Q – 1 #

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN ;

' Suprime par+ntesis, corcetes - llaves - resuelve4

a – 9+[−5+(−9−5 )+9 ]−4+3 +6=¿

0 8+ −10−[−4−(−2+1−9) ] +7=¿

c – 35−{−23+[−18−(−23+21−10 )+18 ]−9 }=¿

d – (15+3−10 )− {11− [−12− (−3+1 ) ]+32}=¿

e −−16+[3−(2+3 ) ]−(−6+4 ) =¿

1 Interpreta los pro0lemas como sumas al(e0raicas, - resuelve

a A partir de cero (rados cent?(rados se o0serv) un descenso detemperatura de ' (rados - despu+s un aumento de > (rados FCules la temperatura despu+s de los dos cam0ios

0 $a suma de tres números enteros es i(ual a U 1K dos sumandos sonnúmeros opuestos, Fcul es el otro

c F]u+ número entero de0e sumarse a U = para o0tener U =

d El opuesto de un número, ms el número >, es i(ual a cero FCules ese número

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9 Balor num+rico En estos e2ercicios de0es suprimir primero lossi(nos de a(rupaci)n, lue(o reempla8ar las letras por los valores dados- por último resolver la suma al(e0raica

a 6−{4− [a+(+b )−5 ]−30}=¿ si a Q U : 0 Q >

0 a *U ' 0. U 5 U * 0. Q si a Q U=

c U 1 U a 0 U *c '. U * 0. Q si a Q c Q U <

T&A%AWO P&7CTICO NX 1 U S(MA AL)E*RAICA DE ENTEROS –SI)NOS DE A)R(+ACI,N

Para ser presentado el!!!!!!!!!!!!!!!!!!

' &esuelve las si(uientes sumas al(e0raicas suprimiendo los t+rminosopuestos siempre que sea posi0le

'' ; : U '1 ' U '= '1 Q '1 U = U 5 = ; U'; 5 '; Q


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'9 U '' :; U ; 9' '' Q ' 1= 99 Q

': '5 '> ': U 9' U ': Q '5 19 U ' ' : U 19 1 Q

1 Determina el valor de las si(uientes eHpresionesK para ello utili8alas re(las - propiedades dadas para la suma de números enteros

1' −19−(−13 )+ (−21 )−(−60 )=¿

11 |−30|−|41|−(−38 )+ (−30 )=¿

19 −8+[7−(−10 ) ]− (25−13)=¿

1


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[$l producto de dos números enteros es otro número entero cu#o valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores # susigno es positivo si los factores tienen el mismo signo # negativo sitienen distinto signo\

Sea multiplicar a . 0

Bamos a interpretar la multiplicaci)n de los enteros en la rectanum+rica, si(uiendo los pasos4

'X Tra8amos dos rectas num+ricas que sean perpendiculares *unaori8ontal - la otra vertical. - asi(namos el entero cero al punto deintersecci)n

*A las rectas num+ricas dispuestas en esta /orma se las llama sistemade coordenadas $a recta ori8ontal se llama e2e de las a0scisas - lavertical se llama e2e de las ordenadas. * .

se(undo /actor . 0

' * U . . * .

a primer /actor

* U .

1X $ocali8amos el primer /actor [ a \ so0re la recta ori8ontal - el

se(undo /actor [ 0 \ so0re la vertical

9X Tra8amos la recta r' que pasa por el punto que corresponde alprimer /actor [a[ *so0re la ori8ontal. - por el punto que correspondeal ' so0re la vertical *siempre es el número uno.


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d 9 *U '. Q e *U 9. Q /< Q

1 E/ectúa los si(uientes productos4

a *U '. *U '. Q 0 U '1 '1 Q c ' *U '. Q

d U 9 5=; Q e ' *U :;=. Q / *U 9. * =. Q

( *U :. *U 1. *U 5. Q > *U 9. ; Q i *U '. *U '. *U '. Q

P&OPIEDADES DE $A #"$TIP$ICACIÓN DE N@#E&OS ENTE&OS

a6 Clausurativa o cerrada4 [El producto de dos números enteros esotro número entero\

Si a ∈ - 0 ∈ K entonces a 0 ∈

Por e2emplo4U : ∈ - U 1 ∈ K U : *U 1. Q 1# - ' ∈

06 Conmutativa4 [Si se cam0ia el orden de los /actores, el producto nocam0ia\

Si a ∈ - 0 ∈ K entonces a 0 Q 0 a

Por e2emplo4U : 9 Q 9 *U :. Q – 1& ; *U 5. Q *U 5. ; Q– &"


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c6 Asociativa4 [Si se reempla8an dos o ms /actores por su productoe/ectuado, el producto total no var?a\

Si a, 0, c ∈ K entonces *a 0. c Q a *0 c.

Por e2emplo4 : 9 *U

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a Q – 7 *propiedad cancelativa.

(6 Distri0utiva4 [El producto de una suma al(e0raica por un número,

es i(ual a la suma al(e0raica de los productos que se o0tienenmultiplicando cada t+rmino por dico número\

Si a, 0, c ∈ K entonces *a 0. c Q a c 0 c

Por e2emplo4

*U 9 : U '. < Q U 9 < : < U ' < Q U '1 1 U < Q "

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN ''

' #enciona la propiedad indicada en cada caso4

a U 9 *< :. Q *U 9


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a "n autom)vil recorre 9 m en dos minutos, un ca0allo ' m en :minutos, un om0re ' m en ' minutos FCunto tiempo emplea cadauno en recorrer 1> il)metros

0 Escri0e, si es posi0le, un número que multiplicado por : d+ unresultado menor que :

DIBISIÓN DE N@#E&OS ENTE&OS P&OPIEDADES

&ecuerda que cuando dividimos dos números, al primero lo llamamosDIBIDENDO, al se(undo DIBISO& - al resultado COCIENTE

[$l cociente de dos números enteros es otro número entero* cu#ovalor absoluto es el cociente de los valores absolutos de los enterosdados* # su signo es positivo si los números tienen igual signo* # negativo si los números tienen distinto signo\

O sea que la re(la de los si(nos de la divisi)n es la misma que para lamultiplicaci)n

P&OPIEDADES DE $A DIBISIÓN DE ENTE&OS

a6 "ni/orme4 [Si a am0os miem0ros de una i(ualdad, los dividimospor el mismo número, se o0tiene otra i(ualdad\

Si a, 0, c ∈ - a Q 0 K entonces a ÷ c Q 0 ÷ c con c ≠ - donde a ÷ c es un cociente eHacto

Por e2emplo4

1 ÷( – 4) Q [25+(−5 ) ]÷ (−4 ) 1 ÷ *U

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Si a, 0, c ∈ - a ÷ c Q 0 ÷ c K entonces a Q 0con c ≠

- cociente eHacto

Por e2emplo4 Si a ÷ *U >. Q *U 9. ÷ *U >.podemos ase(urar que a Q – $

a- que recordar que la divisi)n de números enteros no esconmutativa, asociativa, clausurativa, ni tiene elemento neutroK solo esdistri0utiva a la dereca

Por e2emplo4*1 < U 5. ÷ 1 Q 1 ÷ 1 < ÷ 1 U 5 ÷ 1 Q ' 1 U 9 Q %

ACTO& CO#@N

Como se veri3ca las propiedades distri0utivas de la multiplicaci)n - dela divisi)n con respecto a la suma al(e0raica de números enteros, sededuce que4 cuando en una suma algebraica de números enteros

gura un factor común* esa suma puede escribirse como el productode dic+o factor por la suma /ue resulta de dividir cada t"rmino de lasuma dada por ese factor

Por e2emplo4

a. : U 5 U ' 1 Q ' *: U 5 U ' 1. /actorcomún4 1#

0. U < H U 9 a H ' H Q H *U < U 9 a '. /actorcomún4

c. 91 a 0 U d. /actorcomún4 ! . a

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d. U : 9 U 1 < Q *U '. *: U 9 1 U


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'= (−7+2. 4 )+(−9+2 .3−1 ) ÷ (−5+1 )− (−8 ) .2=¿

'; −[−(−2+1)+ (−9 )÷3 ]− (−5+4 ) ÷ (−3 .3+7+1)=¿

'' 3 . (−4 )+2 . (−2 ) . (−1 )−(−3 ) . (−5 ) .2−2 . (−3 )=¿(n/0a0 2 NMEROS ENTEROS – O+ERACIONES 3+OTENCIACI,N 4 RADICACI,N5

otenciación. Regla de los signos. ropiedades de la potenciación.otencia de la suma algebraica. ropiedad distributiva de la potenciaen la multiplicación # en la división. ropiedad rec0proca de ladistributiva (asociativa). roducto de potencias de igual base. 1ocientede potencias de igual base. otencia de otra potencia. roductos

especiales! cuadrado de la suma # de la resta de dos números producto de la suma por la diferencia de dos números.

POTENCIACIÓN DE N@#E&OS ENTE&OS

Se llama potencia en+sima de un número entero [a\ siendo [n\ unnúmero natural ma-or que ', al producto de [n\ /actores i(uales a [a\

Si a ∈ - n ∈ N K entonces an Q a a a a ! a

- donde [a\ se llama 0ase - [n\ eHponente

Por e2emplo4

a. 91 Q 9 9 Q % 0. *U


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'6 Se llama potencia r/8era de un número entero al mismo número4a' Q a

Por e2emplo4

*U =;.

'

Q U =; >

'

Q > H

'

Q H *U 8.

'

Q U 8

rec?procamente, cuando en un número no 3(ura el eHponente,suponemos que dico eHponente es '4Por e2emplo4

; Q %1 *U :5. Q 3– &651 a Qa1

16 Se llama potencia 9ero de un número entero, distinto de cero, alnúmero uno4 a Q 'Por e2emplo4

* 19. Q 1 *U 51. Q 1 *U 1 a: 0 > -. Q 1

96 $a potenciaci)n de números enteros (o8a de la propiedadun/:or8e4

Si se elevan am0os miem0ros de una i(ualdad a un mismo eHponente,se o0tiene otra i(ualdad


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P&OPIEDAD &ECJP&OCA DE $A DIST&%"TIBA, O ASOCIATIBA4Cuando tenemos una multiplicaci)n o una divisi)n de potencias con elmismo eHponente, podemos escri0ir dica multiplicaci)n o divisi)nto0a elevada al mismo eHponente

Por e2emplo4= ^ ;>5 Q ;>= U >5 Q ;1 Q !1

0. *U 9.: ^ *U 9.1 Q *U 9.: U 1 Q *U 9.9 Q – 27

>6 $a potencia de otra potencia es otra potencia de la misma 0ase,cu-o eHponente es la multiplicaci)n de los eHponentes dados4

*an. m Q a n m

Por e2emplo4

a. [ (−2 )2 ]3=(−2 )2 . 3=(−2 )6=64


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0. {[ (−7 )−1 ]−2}1

=(−7 )−1 . (−2 ) .1

=(−7)2=49

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN '1

' Calcula las si(uientes potencias4

a *U '.>= Q 0 *U '.=> Q c *U 5.9 Qd *U '.: Q

1 Indica si el número entero representado por las si(uientes potenciases positivo o ne(ativo4

a *U :.' 0 *U 1'.

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< Aplica la propiedad distri0utiva cuando sea posi0le4

a [ (−2 ) .3 (−5 ) ]2

=¿

0 [ (−5 )+4 ]2

=¿

c [ (−12) ÷ (+3) ]2=¿

d (6÷3−1 )3=¿

e [9÷ (−3 ) ]4

=¿

/ [2. (−3 )+(−2 ) ]3=¿

P&OD"CTOS ESPECIA$ES4C"AD&ADO DE $A S"#A DE $A &ESTA DE DOS N@#E&OS

Cuadrado de la suma4 Teorema4[El cuadrado de la suma de dos números es i(ual al cuadrado delprimer número, 8


37/175

Por e2emplo4

a. *'' p.1 Q 121 22 2 0. *t ; q.1 Q t2 1! t = !1 =2

Cuadrado de la resta4[El cuadrado de la resta de dos números es i(ual al cuadrado delprimer número, 8enos el do0le producto del primero por el se(undo,ms el cuadrado del se(undo\

*a U 0.1 Q *a U 0. *a U 0.E/ectuando la multiplicaci)n en el se(undo miem0ro4

*a U 0.1 Q a a U a 0 U 0 a 0 0 *1.

Pero4 a a Q a1 U a 0 U 0 a Q U 1 a 0 *U 0. *U 0. Q 01&eempla8ando en *1.4

3a – -52 ' a2 – 2 a - -2

Por e2emplo4

a. *'' U p.1 Q 121 – 22 2

0. *t U ; q.1 Q t2 – 1! t = !1 =2

c. *> m9 U 9 M=.1 Q "% 86 – "2 8$ >! % >16

e sobreentiende /ue si uno de los t"rminos de la suma es positivo # el otro negativo* el doble producto es negativo

P&OD"CTO DE $A S"#A PO& $A DIE&ENCIA DE DOS N@#E&OS

Para multiplicar la suma de dos números por su di/erencia *a 0. *a U0. K se aplica la re(la para multiplicar una suma al(e0raica por otra4

*a 0. *a U 0. Q a1 U a 0 0 a U 01 se reducen los t+rminosU a 0 0 a

resulta4


38/175

3a -5 . 3a – -5 ' a2 – -2

___ A N !N"#N$%& ```4

' la e2presión! a3

4 b3

se la llama diferencia de cuadrados ' la e2presión (a 4 b)3 se la llama cuadrado de la diferencia

Por e2emplo4

a. *9 U 0. *9 0. Q 91 U 01 Q % – -2

0. *U : H


39/175

( *'1 a; U '' 0'. *'1 a; '' 0'. Q *U : a 0 U '. *U : a0 '. Q

Radicación. Regla de los signos. ropiedades de la radicación. Ra05 deuna suma algebraica. ropiedad distributiva de la ra05 en lamultiplicación # en la división. ropiedad rec0proca de la distributiva(asociativa). Ra05 de otra ra05.$%ercicios combinados con todas las operaciones.

&ADICACIÓN DE N@#E&OS ENTE&OS

$a ra?8 en+sima de un número entero [a\ que es potencia en+sima,siendo [n\ un número natural ma-or que uno, es el número entero [0\

tal que, elevado a la potencia en+sima, da por resultado [a\

Si a K 0 ∈ - n ∈ N K entonces n√ a=b si 0n Q a- donde [a\ se llama radicando, [0\ ra?8 - [n\ ?ndice

Por e2emplo4 & -a que * :.1 Q 1:a. 2√ 25=¿

– & -a que *U :.1 Q 1:

0. −81=¿4√ ¿ es imposi0le, -a que no eHiste un número entero que

elevado al cuadrado d+ un resultado ne(ativo


40/175

c. 3√ 216=¿ 6 -a que * 5.9 Q 1'5

d. 5√ −32=−2 -a que *U 1.: Q U 91

e.√ 13

=¿ es imposi0le, -a que no eHiste un número entero queelevado al cuadrado sea i(ual a '9

En (eneral podemos esta0lecer la rela 0e s/nos4[i el 0ndice es impar* la ra05 tiene el mismo signo del radicando.i el 0ndice es par # el radicando negativo* la ra05 no es posible en elcon%unto de los números enteros.i el 0ndice es par # el radicando es positivo* las ra0ces son dosnúmeros enteros opuestos\

P&OPIEDADES DE $A &ADICACIÓN$a radicaci)n de números enteros al i(ual que la radicaci)n denúmeros naturales no es conmutativa'6 $a radicaci)n de números enteros (o8a de la propiedad distri0utivacon respecto a la multiplicaci)n - a la divisi)n *Cuidado en ladistri0uci)n cuando el ?ndice es par - el radicando ne(ativo, en estecaso no se puede distri0uir.

NO ES DIST&I%"TIBA CON &ESPECTO A $A S"#A NI A $A &ESTA

En la multiplicaci)n4 En la divisi)n4√ a . b=√ a .√ b √ a ÷ b=√ a ÷√ b

Por e2emplo4

a. 3√ (−27 .8)=3√ −27 . 3√ 8=−3 .2=−6

0. √ 100÷25=√ 100÷√ 25=10÷5=2

P&OPIEDAD &ECJP&OCA DE $A DIST&%"TIBA, O ASOCIATIBA4Cuando tenemos una multiplicaci)n o una divisi)n de ra?ces con elmismo ?ndice, podemos escri0ir dica multiplicaci)n o divisi)n to0a0a2o la misma ra?8

41/175

Por e2emplo4

√ −4 .√ −3 √ 12=√ (−4 ) . (−3 ) .12=√ 144=12

√ −81÷√ −9=√ −81÷(−9)=√ 9=3

c. 4√ −2−3+21=4√ 16=2 En la ra?8 de una suma se resuelve primero la suma - al resultado se leeHtrae la ra?8

16 $a ra?8 de otra ra?8 es otra ra?8 cu-o ?ndice es la multiplicaci)n delos ?ndices dados4

m√

n√

p√ a Q

m.n. p√ a

Por e2emplo4

a. 3√ √ 729=6√ 729=3 0. √ √ 625=5

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN '<

' Calcula, cuando sea posi0le, cada ra?8

a √ 4=¿ 0 3√ −8=¿ c √ 8=¿

d 3√ 64=¿ e √ 64=¿ / √ −16=¿

( 4√ 16=¿ √ 0=¿ i 3√ 125=¿

2 5√ 32=¿ 7√ −1=¿ l 3√ −343=¿

1 &esuelve aplicando la propiedad asociativa4

a √ 32.√ 2=¿ 0 4√ 162÷ 4√ 2=¿

c √ −4 .√ −1=¿ d 3√ 24÷ 3√ −3=¿

e 3√ −100 . 3√ 10=¿ / 4√ −48÷ 4√ −3=¿

42/175

9 &esuelve, cuando sea posi0le, de dos /ormas distintas4

a √ 16+9=¿ 0 √ 25−16=¿

c√ 16 .4

=¿ d√ 100

−64

=¿ e √ 81÷9=¿ / √ 36 .9=¿

< Completa escri0iendo los dos números naturales consecutivos entrelos que est comprendida cada ra?8 cuadrada a- que tener en cuentael primer e2ercicio resuelto4

a : Y √ 28 Y 5 0 Y √ 5 Y

c Y √ 30 Y d Y √ 139 Y

e Y √ 75 Y / Y √ 40 Y

: "ne con ecas los clculos que tienen el mismo resultado4

a √ 16+ 3√ 27=¿ / √ 49 . 3√ −8=¿

0 √ 100−√ 64=¿ ( 3√ 54÷ 3√ 2=¿

c √ 196÷ 5√ −1=¿ √ 25+√ 4=¿

d √ 225 . 3√ −8=¿ i 3√ −27 .√ 100=¿

e √ √ 256−√ 1=¿ 2 3√ √ 64=¿

5 Escri0e el clculo - resuelve4

a $a di/erencia entre la ra?8 cú0ica de trescientos cuarenta - tres - lara?8 cuadrada de veinticinco

0 $a ra?8 cuadrada del anterior de cincuenta aumentada en tresunidades

43/175

c $a ra?8 cuadrada de la suma entre el cuadrado de cuatromultiplicado por die8 - el cuadrado de tres

T&A%AWO P&7CTICO NX < U +OTENCIACI,N – RADICACI,N DE ENTEROS –+RO+IEDADES


' Separa en t+rminos - resuelve

'' 23−4 (−5 )−(−3 )2+ 3√ −27=¿

'1 3√ −15+7−(−2) [1−3

2+(−1 )3 ]+(−1 )0=¿

'9 3√ −72 . 3√ −3+(−1)5−2 [ – 1+(−3 )2 ]=¿

'


44/175

'> 3√ 1−28−32÷ √ 4+12+ [ (3−2 .5+5 )2 ]3

¿=¿

'= −8−2 (4−7 )2+3

√ (4−6)3(−1) (−3 )2+12÷ (2−5 )=¿

'; [−12÷ (1−3 )2−(−1 )3+(8−5 .3+4 )2−√ 5−4]2

=¿

'' √ 2.√ 8− 3√ 27 . 3√ −1+(√ 9 )4

÷ (−3 )+[ (−2 )2−7 ]2=¿

(n/0a0 $ EC(ACIONES E INEC(ACIONES CON NMEROS ENTEROS$cuaciones con todas las operaciones. $%ercicios. &engua%e colo/uial # simbólico. roblemas de aplicación.Inecuaciones. ignos de la desigualdad. 1on%unto solución. Intervalo.Representación en la recta num"rica. $%ercicios. asa%e de factoresnegativos. roblemas de aplicación.

EC"ACIONES CON S"#AS &ESTAS

$ENG"AWE SI#%Ó$ICOEl len(ua2e de las pala0ras, que puede ser oral o escrito, se denominalen(ua2e coloquial $a matemtica utili8a un len(ua2e particulardenominado lengua%e simbólico o matemático

Por e2emplo4

$ENG"AWE CO$O]"IA$ $ENG"AWE SI#%Ó$ICO

un número Hun número aumentado en dos H 1un número disminuido en oco H U =la di/erencia entre dos - unnúmero

1 U H

el si(uiente de un número H '

45/175

EC"ACIONES"na ecuaci)n es una i(ualdad en la que aparece, por lo menos, unvalor desconocido que llamamos incógnita Por e2emplo4

H < Q 1 U >

'X miem0ro 1X miem0ro&esolver una ecuaci)n si(ni3ca encontrar el o los valores de lainc)(nita que acen verdadera la i(ualdad Cada valor de la inc)(nitaes una solución de la ecuaci)n

Para resolver una ecuaci)n, se de0en tener en cuenta las propiedadesque permiten o0tener ecuaciones equivalentes, es decir, con la mismasoluci)n4si se suma o resta un mismo número a ambos miembros de laigualdad* se obtiene una ecuación e/uivalente a la dada

En el e2emplo4 H < Q 1 U > clculos auHiliares H U < U < Q 1 U *> para H Q ; ; < Q '9

1$ ' 1$

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN ':' Calcula la inc)(nita en cada ecuaci)n4

a H U ': Q '1 0 '9 U = Q H :

c H '1 Q U : d ; Q 

U *U H 9. *U =. Q [2+(−4+1 ) ]

46/175

i 9 H U ' Q '= 1 H 2 *< 9. *H =. Q':

< *H >. ' Q

47/175

d En un partido de /út0ol eHpulsan varios 2u(adores - al 3nali8ar s)loquedaron '> en la canca FCuntos 2u(adores eHpuls) el r0itro

e "n comerciante ace su pedido de 1 :1= pares de 8apatos a una/0rica Primero le mandan >>> pares, ms tarde 1>: menos que laprimera ve8 - despu+s 19< ms que la se(unda ve8 FCuntos paresde 8apatos /altan por enviar

EC"ACIONES CON #"$TIP$ICACIONES DIBISIONES

Para resolver ecuaciones con multiplicaciones o divisiones tam0i+n se

de0en tener en cuenta las propiedades que permiten o0tenerecuaciones equivalentes4si se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) aambos miembros de la igualdad* se obtiene una ecuación e/uivalentea la dada

Por e2emplo4a. < H Q 1 0. H ÷ 9 Q > < H ÷ < Q 1 ÷ < H

÷ 9 9 Q > 9 H Q &H Q 21

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN '5' Completa la ta0la escri0iendo en len(ua2e sim0)lico o coloquial,se(ún corresponda

coloquial sim0)lico coloquial sim0)licoEl do0le de a El si(uiente de a

a ÷ 1 a U 'El anterior de a 9 a

1 *a '. El si(uiente del do0lede a

1 Completa los trapecios4

48/175

a Si a Q 1 el do0le de a es la mitad de a es elsi(uiente de a es

0 Si H Q 51 el do0le de H es la mitad de H es elsi(uiente de H es

9 &esuelve las ecuaciones - veri3ca el resultado

a 1 H 1 Q 5 0 H ÷ ' .÷ 9 Q '

d 1 H < Q H ' e 9 *H '. U > Q '' / *U Q 1 l *5H U '. < Q 1

< Plantea los pro0lemas como ecuaciones - resuelve

a Si a un número se le resta 91 - la di/erencia se multiplica por 9, elresultado es el mismo que si al número se le resta

49/175

: Sin despe2ar el valor de la inc)(nita, veri3ca en cules de lassi(uientes eHpresiones4

H Q U 9 *equis es i(ual a menos tres.a H U 1 Q U 9 0 U 9 H : Q '<

c ; 1 H Q 9 d *> H U 1. ÷ 19 Q U'

5 "ne con ecas cada enunciado con la eHpresi)n sim0)licacorrespondiente

#i edad 1 H#i edad dentro de cinco aMos H#i edad ace cinco aMos *H U 9. ^ 1El do0le de mi edad H ̂ 9$a mitad de la edad que ten?a ace tres aMos H U :$a tercera parte de mi edad H :

EC"ACIONES CON POTENCIAS &AJCES

Para resolver ecuaciones con potencias o ra?ces tam0i+n se de0entener en cuenta las propiedades que permiten o0tener ecuacionesequivalentes4i a ambos miembros de una igualdad la elevamos al mismoe2ponente* o le e2traemos la misma ra05 se obtiene una ecuacióne/uivalente a la dada

a. xn=b 0. n√ x=b

n√ xn Q n√ b( n√ x )

n=bn


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x=n√ b x=bn

Por e2emplo4

a H1 ' Q ' 0 3√ x ÷2=−1

H1 ' U ' Q ' U ' ( 3√ x ÷2 ) .2=−1.2

H1 Q ; 3√ x=−2

√ x2=√ 9 3√ x3=(−2 )3

H Q $ H Q – !

EWE&CICIOS DE AP$IC ACIÓN '>Calcula \H\ en las si(uientes ecuaciones

a x+ (−5 ) [ (−2 )2−(√ 9−1 ) ]+8÷4=−5

0 −6 [ x− 3√ −8+1 ]+ 3√ −1=5 (3 x−8 )

c x−3

√ −64= (2 x+12 )÷4

d 3√ x2+2÷3+(−1 )2= 3√ √ 25+√ 9

e (2 x +1 )2−23=1

/ 3 . 3√ x +27+ 3√ 125÷ (22+15 )=10

INEC"ACIONES

$lamamos inecuaciones a las desi(ualdades que se veri3can paradeterminados valores de la inc)(nita&ecordamos los si(nos de la desi(ualdad4


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¿ #AO& ]"E ≥ #AO& O IG"A$ ]"E¿ menor que ≤ menor o i(ual que

&esolver una inecuaci)n es allar el con2unto de valores de [H\ que la

satis/acen A dico con2unto lo llamamos 9on@unto solu9/nPor e2emplo4 H : ≤ ;

H : U : ≤ ; U :H ≤ "

$a soluci)n es el con2unto /ormado por todos los números enterosmenores o i(uales que


52/175

H ≥ – $ C S { – 3 ;−2 ;−1 ;0 ;…;+∞ } U 9 ! ∞

Intervalo4 −3 ;+∞[¿

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN '=

' Escri0e los elementos de la inecuaci)n que /altan4

i ii

a H ≥ U

53/175

_Cuidado con los /actores ne(ativos`

a H : Y 9 U > ' 0 9 U H Y : U;

c : U H ≤ '= U ; d H U 5 ≥ : '

e > 5 ≥ H U 1 / = ' VH U 9

( 9 H U ' ≤ U 9 H U <≥

i U 1 H Y 1 H :

2 5 U 9 H ≤ 5 *H U 1.≥ > *1 H U U H : V '= U H 9 p *9 H 9.9 Y < H U '

9 Piensa, plantea como inecuaci)n - resuelve4

a alla el con2unto de números o la desi(ualdad correspondiente para

números tales que si se les suma tres, da por resultado un númeroentero ma-or a cinco

0 alla el con2unto num+rico para números tales que si se losmultiplica por menos dos - al resultado se le suma cinco, da porresultado un número entero menor a uno

54/175

c Si al do0le de la edad de #ar?a le resto cinco aMos, el resultado esmenor a once F]u+ edad podr?a tener #ar?a

d $a suma de un número - su triple no puede so0repasar a veinteFCules son las posi0ilidades para ese númeroe $a 0ase ma-or de un trapecio tiene por medida < H U '9 - la 0asemenor 5 H U 19 F]u+ valores puede tomar [H\

/ En el manual de instrucciones de un ciclomotor se aconse2a nollevar una car(a superior a los noventa ilo(ramos ]ueremos sa0ercul de0e ser el peso mHimo del acompaMante si el conductor pesacincuenta - oco ilo(ramos

( El rea de un trin(ulo no supera los die8 cent?metros cuadrados Sila lon(itud de la 0ase es de cuatro cent?metros - la altura es unnúmero entero de cent?metros, Fqu+ lon(itud puede tener la altura


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T&A%AWO P&7CTICO NX : U EC(ACIONES – INEC(ACIONES

Para ser presentado el!!!!!!!!!!!!!!!!!!' Calcula el valor de [H\ en las si(uientes ecuaciones

'' – {5−[ x +(7−1 ) ]−2}=25−9−6

'1 7− (3 x +2)+[−3+(−1 ) ]=−4 x−(−3−9+8 )

'9 8−(7−2 x+1 )= x−{−3+ [6−(−8−4 )+ (−5 ) ]}

'


56/175

Números racionales ( 6 ). 1aso de la imposibilidad de la división denúmeros enteros. Necesidad de la creación de números racionales.Representación en la recta num"rica # gráca. Igualdad o e/uivalenciade fracciones! amplicación # simplicación* fracciones irreducibles.

-esigualdad de números fraccionarios. Reducción de fracciones am0nimo común denominador. $%ercicios # problemas de aplicación

N@#E&OS &ACIONA$ES H

CASOS DE I#POSI%I$IDAD DE $A DIBISIÓN DE N@#E&OS ENTE&OS

Necesidad de la creaci)n de nuevos números para acer posi0le la

operaci)n4

As? como /ueron creados los números ne(ativos, para acer posi0le lasustracci)n en los casos en que el minuendo es menor que elsustraendo, tam0i+n /ue necesario crear ciertos números parainterpretar las divisiones en los casos en que el dividendo no esmúltiplo del divisor

As?, por e2emplo, dada la divisi)n > ÷ 9 , no eHiste nin(ún número

entero que sea resultado de la misma

&ACCIONESPara interpretar las divisiones de este tipo se crearon los números:ra99/onar/os[Se llama número /raccionario al cociente indicado de dos números,distintos de cero, - tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor\

Al con2unto de números /ormados por los números enteros * Z . - suspartes posi0les, positivas o ne(ativas, se los llama con2unto denúmeros racionales - se lo desi(na con la letra * H .Es decir4 Z ∪ :ra99/onar/os ' H

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"na /racci)n es un par ordenado de números a - 0 con 0 ≠ 4ab

)ab

[a\ se llama numerador, [0\ es el denominador

Si a Y 0 Kab

representa un número menor que la unidad

Por e2emplo4

20

−25 1 es el numerador - U 1: el denominadorK

−86

U = es el dividendo - 5 el divisor

&EP&ESENTACIÓN EN $A &ECTA

$as /racciones se representan so0re la recta "na ve8 marcado elori(en - el se(mento unidad, para representar, por e2emplo 9 < else(mento unidad se divide en cuatro partes i(uales - se toman 9 deesas partes

' 1

1

4

2

4

3

4

4

4 '

1

4 '

2

4

' 3

4 ' 4

4

tam0i+n podemos escri0ir45

4

6

4

7

48

4

&EP&ESENTACIÓN G&7ICAEl denominador le da el nom0re a la /racci)n *la denomina., - elnumerador eHpresa el número de partes


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Si queremos representar la /racci)n2

6 4 '1

$a 3(ura est partida en seis partes, - de las seis partes tomamos dos

&ACCIONES E]"IBA$ENTESCaracteres de la i(ualdad

$as /racciones que representan un mismo número son /raccionesequivalentesPara o0tener una /racci)n equivalente a otra dada, alcan8a conmultiplicar *ampli3car. o dividir *simpli3car. su numerador - sudenominador por un mismo númeroSon dos /racciones que se escri0en distinto, pero si(ni3can lo mismo

*como si /ueran sin)nimos.

A8l/B9a9/n S/8l/B9a9/nSe multiplica el numerador - eldenominador por un mismonúmero natural distinto de ceroE2 1

16

212

1

Se divide el numerador - eldenominador por un mismonúmero natural que sea divisor delos dosE2 ÷ :

1015

23

÷ :

"na /racci)n que no se puede simpli3car se llama /rre0u9/-le

"n número /raccionario es i(ual o equivalente a otro cuando elproducto de su numerador por el denominador del se(undo es i(ual alproducto de su denominador por el numerador del se(undoEn s?m0olos4

ab

=cd⇔a d=b c

59/175

Por e2emplo4

a1

4 Q

5

20 porque el producto de4 ' 1 Q < :

0−46

= 2

−3 porque el producto de4 *U cd

si a .d>b . c

Dadas dos /racciones, puede ocurrir que4

a sean os/t/;as, en cu-o caso es ma-or la que tiene ma-or valora0soluto4

4

5>2

3 porque < 9 V : 1

0 sean neat/;as, en cu-o caso es ma-or la de menor valora0soluto4

−213

>−14

porque *U 1. < V '9 *U '.

c una neat/;a - la otra os/t/;a, en cu-o caso es ma-or siempre lapositiva4

60/175

4

9>

−78

d ten(an /ual 0eno8/na0or, en cu-o caso es ma-or la de ma-ornumerador4

3

5>1

5 porque 9 : V : '

e ten(an i(ual numerador, en cu-o caso es ma-or el de menordenominador4

7

4>7

6 porque > 5 V < >

#JNI#O CO#@N DENO#INADO&

&educir dos o ms /racciones a m?nimo común denominador esencontrar otras /racciones equivalentes a las dadas, tales que el

denominador sea el m c m de los denominadores dados

Para reducir /racciones a m?nimo común denominador se /orman otras/racciones que tienen por denominador el m c m de losdenominadores, - cu-os numeradores se o0tienen dividiendo el m cm por el denominador correspondiente - multiplicando ese cocientepor el numerador respectivo

E2emplo4

Sea reducir a m?nimo común denominador412

; 3

4; 5

6 el m c m *1 K < K 5. Q '1

12÷2=6→ 1

2=1 .6

2 .6= 6

12

61/175

12÷ 4=3→ 3

4=

3.34 .3

= 9

12

12÷6=2→ 5

6=

5 .26 .2

=10

12

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN ';

' EHpresa el número4

a cinco en tercios, 0 siete en quintos, c nueve ens+ptimos

1 Completa escri0iendo una /racci)n

#art?n colecciona monedas de distinto pa?ses Tiene ; monedas de%rasil, > de "ru(ua-, ' de Cile - ; de EspaMa

❑❑ del total son monedas de %rasil

❑❑ del total son

monedas de Cile

❑❑ del total son monedas de "ru(ua-

❑❑ del total son

monedas de EspaMa

9 &epresenta cada /racci)n de tres /ormas distintas4

a1

4 0

2

3 c

5

2

< Escri0e la /racci)n que representa la parte pintada en cada 3(ura

a 0 c

: Completa la ta0la


62/175

racci)n racci)n irreduci0le Tres /racciones equivalentes4

12

2

8

6

10

44

33

30

50

5 Pro0lemas para pensar - resolver

a $aura pidi) en una con3ter?a1

4 de una tortilla El mo8o le tra2o

2

8 de la tortilla FEs la misma cantidad FPor qu+

0 FCunto vale la seHta parte de 9

c Dos ami(os estn 2u(ando al 0squet Clara encest) ; lan8amientosde '1 - $uis > de ; Ordena a los 2u(adores se(ún su e/ectividad

d F]u+ /racci)n de un si(lo son


63/175

( En el micro a #ar del Plata se ocuparon2

3 de los asientos en el

via2e de ida -3

4 en el via2e de vuelta FEn qu+ via2e u0o ms

asientos ocupados

> "n (rupo de cicos 2unta 3(uritas de la misma serie Cada uno pe()en su l0um una determinada cantidad se(ún se indica en la ta0la

Nom0re Parte del l0um que pudo completar

Balentina3

4

Ga0riel2

3

Paula3

6

a0io4

6

#artina1

2

F]ui+nes tienen la misma cantidad de 3(uritas F]ui+n tienems

= Ordena de menor a ma-or413

10; 8

4;15

10;3

2;6

9;6

7: 8

9; 5

4

; &esuelvea Completa la ta0la escri0iendo cada /racci)n en la columna quecorresponde4

1224

; 87

; 1530

; 34

; 2010 #AO& ]"E ' #ENO& ]"E '


64/175

0 FCules representan1

2

' FCules son los números que se representaron con [a\ - [ 0\ enlas rectas

a 0

' a7

3 0 a

0 '

'' Simpli3ca cada una de las si(uientes /racciones4

72

60 81

54 144

600

360

900

75

225

640

896

147

245

143

440

225

75 132

110 171

189

105

945


65/175

675

1260 770

1430 880

380

792

858

'1 &educe a común denominador las si(uientes /racciones4

a1

5;2

3;5

2 0

7

11; 3

4;5

6

c3

7; 1

2;2

5; 3

14 d

1

6; 4

9; 2

3; 8

15

e2

5; 3

4; 1

20 /

4

16; 3

4;1

5;3

2

(7

13; 9

130; 1

15; 4

65

1

2;5

3; 7

10; 4

30

i9

8

; 5

12

;7

9

;1

2

22

5

;7

6

; 1

2

; 3

4

3

20;5

8; 3

4;2

5 l

5

7; 11

30;11

2; 9

14

m3

10; 4

30; 7

60; 11

15 n

1

720; 5

108; 1

432; 3

320

M5

3;7

6; 1

12; 7

18 o

7

90; 2

45; 1

135; 1

630


66/175

(n/0a0 & NMEROS RACIONALES – O+ERACIONES CON GRACCIONESOperaciones con números racionales. 'dición. ropiedades de laadición. Número mi2to. ustracción. ropiedades de la sustracción.,ultiplicación. ropiedades de la multiplicación. Números racionalesinversos o rec0procos. -ivisión. Regla práctica. ropiedades de ladivisión.

ADICIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ESAl sumar /racciones pueden presentarse dos casos4

'X que todos los sumandos ten(an /ual 0eno8/na0or4

En este caso el resultado es otra /racci)n cu-o numerador se o0tienesumando los numeradores con sus respectivos si(nos - eldenominador es el mismo que el dadoE2emplo4

a5

9+(−39 )+(−

7

9 )=5 – 3−7

9=

−59

0−67

+(−47 )+(−1

7 )=−6 – 4−1

7=

−117

1X que las /racciones sean de 0/st/nto 0eno8/na0or4

$a suma de las /racciones de distinto denominador es la suma de esas/racciones, previamente reducidas a común denominador

E2emplo4

a 15+(−

23 )+(−

54 )+

12=12 – 40 – 75+30

60= (12+30 )−(40+75 )

60=42−115

60=−73

60

0−35

+1+(−76 )=−18+30−35

30=

30 – (18+35)30

=30−53

30=

−2330

67/175

P&OPIEDADES DE $A ADICIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

$a adici)n de números racionales (o8a de las mismas propiedades quela de números naturales, es decir las propiedades4 uni/orme,conmutativa, asociativa, disociativa - le-es de monoton?a

N@#E&O #IfTODada una /racci)n ma-or que la unidad */racci)n impropia., por

e2emplo13

5 , se o0serva que a- en ella4

10

5 y 3

5 ms

Pero 105 Q 1 K entonces 135 =2+ 35 Esta suma /ormada por un número entero - una /racci)n menor que launidad, se llama n8ero 8/toJ que se escri0e el entero se(uido dela /racci)n4

13

5=2

3

5

Pasa2e de /racci)n impropia a número miHto

EHpresa en número miHto la /racci)n impropia 149 4

orma '4

14

9=

9

9+5

9=1

5

9

orma 14Otra /orma de eHpresar en número miHto, consiste en dividir *sin sacardecimales. el numerador de la /racci)n impropia por el denominador -/ormar el número as?4 el cociente es el entero, el resto es el

numerador - el denominador es el divisor4

14

9 '< ; dividendo4 '< K divisor4 ; K

cociente4 ' K resto4 : : '


68/175

Entonces414

9=1

5

9

Pasa2e de número miHto a /racci)n impropia

EHpresa en /racci)n impropia el número miHto 3 47

4

orma '4

9 enteros equivalen a21

7 K ms la /racci)n

4

7

entonces4 3 4

7=

21

7+4

7 Q

25

7

orma 14

Se multiplica el entero por el denominador - al resultado se le suma elnumerador, - el denominador es el mismo dado

3 4

7=

3 .7+47

=21+47

=25

7

S"ST&ACCIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

Se procede como en la suma de /racciones, teniendo cuidado con losdenominadores, si son i(uales o distintos4

E2emplo4

a4

5−

1

5=

4−15

=3

5

04

5−

3

4=

16−1520

= 1

20

c7

2−(−73 )=7+76 =146

d−912

− 1

4=−9−312

=−1212

=−1


69/175


70/175

(−94

27

8 i

−419

9 Trans/orma cada /racci)n en otra equivalente, se(ún los datos4

a3

2= 9

❑ 04

7=

20

❑ c2

3=14

❑

d70

90= 7

❑ e32

48= 8

❑ /24

30= 4

❑

(3

5= ❑

30

2

9=❑36

i7

4= ❑

20

236

45=❑

5

30

42=❑

7 l

18

54=❑

9


71/175

−9−12 l

45

−20 m14

−35 n−8

−28

M27

−63

: E/ectúa las si(uientes sumas - restas4

a1

5+3

4−1

2+2

3=¿ 0

9

16+ 7

12−

5

8+1

2−

5

6+1

4=¿

c5

11− 1

33+1+

2

3−2=¿ d

5

12− 7

18+4−

1

6−2+

4

9=¿

e2

9−1

3+4

5− 7

15=¿ /

3

5+1

2− 7

10+1

3−

5

6=¿

( 1 −1

2+3−

3

4−4+

1

5=¿ 1

+35

−1− 3

10+2+

1

3=¿

i ' −2

5−5+

7

10+10=¿ 2

−49

−3

8− 5

72=¿

5 Calcula mentalmente4

a 1−3

4=¿ 0 1−

1

2=¿

c 1−2

3=¿ d 1−

3

5=¿

e −1−1

3=¿ / −1−

4

5=¿


72/175

( 1 −1

2=¿ 1

−23

=¿

i −2−1

2=¿ 2 9

−14

=¿

> Piensa - resuelve4

a "n o0rero puede acer un tra0a2o en ' d?as, otro en ; - un terceroen : F]u+ parte del tra0a2o pueden acer los tres 2untos en un d?a

0 "na persona (ast) los3

7 de su /ortuna F]u+ /racci)n de la

misma le queda

c Gast+1

5 - lue(o los

2

3 de una suma de dinero F]u+ parte

(ast+ - qu+ parte me queda

d Se an vendido los3

4 de una pie8a de tela, lue(o la cuarta

parte del resto FCunto queda aún

e FCul es el número que eHcede a3

5en

1

2

/ FCunto a- que a(re(ar a13

4 para o0tener

43

5

( F]u+ /racci)n representa la suma de un medio - cinco seHtos

F]u+ /racci)n representa la suma de tres cuartos - dos quintos

i F]u+ /racci)n representa la resta entre tres cuartos - un quinto

2 F]u+ /racci)n representa la resta entre oco novenos - dos tercios


73/175

= Decide cules de las si(uientes /racciones pueden eHpresarse condenominador = En caso que se pueda, escr?0elas4

a3

2 07

16 c28

16 d27

32 e

40

32

; Escri0e, cuando sea posi0le, las si(uientes /racciones condenominador


74/175

El producto de dos o ms /racciones es otra /racci)n cu-o si(no seo0tiene aplicando la re(la de los si(nos de la multiplicaci)n denúmeros enteros, - cu-o valor a0soluto es la /racci)n que tiene pornumerador el producto de los numeradores - por denominador el

producto de los denominadores de las /racciones dadasab

. cd

=a . cb . d

E2emplo4

a3

4.(−75 )=

3 .(−7)4 .5

=−2120

en los e2ercicios de multiplicaci)n resulta valioso e/ectuar todas lassimpli3caciones posi0les, antes de o0tener el resultado 3nal '

' > 9

09

16.14

27.15

11. 1

25 Q

1 .7 .1 .18.1 .11.5

= 7

440

= 9 :'

P&OPIEDADES DE $A #"$TIP$ICACIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

$a multiplicaci)n de números racionales (o8a de las mismaspropiedades que la multiplicaci)n de números enteros

Cuando se aplica la propiedad distri0utiva de la multiplicaci)n denúmeros racionales con respecto a la suma al(e0raica, al e/ectuarcada producto parcial, antes de calcularlo es preciso e/ectuar todas lassimpli3caciones posi0lesE2emplo4

Aplica la propiedad distri0utiva - resuelve4


75/175

a (12+ 34 −1) .(−23 )=−13 −12+ 23=−2−3+46 =−16

0 (34 +3−9

2 )(−2

3+1

6 )=−1

2−2+3+

1

8+1

2−

3

4=

3

8

N@#E&OS &ACIONA$ES INBE&SOS O &ECJP&OCOS

Dos números racionales son /n;ersos o re9Kro9os cuando, teniendoel mismo si(no, el numerador del primero es i(ual al denominador del

se(undo -, rec?procamente, el denominador del primero es i(ual alnumerador del se(undo

E2emplo4Son números inversos4

8

3 y 3

8 −1

4 y −4 2 y 1

2 −5

7 y−

7

5

Producto de números racionales inversos4El producto de dos números racionales inversos es i(ual a 1 3uno5.

E2emplo4−14

. (−4 )=1

DIBISIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

Dividir un número racional por otro es allar un tercer número racional

tal que, multiplicado por el se(undo, d+ por resultado el primeroab

÷ cd

= x y⇒

x y

. cd

=ab

Pero en la re(la prctica multiplicamos el dividendo por el rec?proco deldivisor


76/175

E2emplo4

a3

4÷ 12

5=

3

4. 5

12= 5

16

0 −4÷(−23 )=−4 .(−34 )=3

c−54

÷15=−54

. 1

15=

−112

P&OPIEDADES DE $A DIBISIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

$a divisi)n de números racionales (o8a de las mismas propiedades quela divisi)n de números enterosPor e2emplo en la propiedad distri0utiva4

(34 −8

9+1

2 )÷(−2

3 )=−9

8+4

3−

3

4=

−27+32−1824

=−1324

racci)n compuesta

$a /racci)n compuesta es una divisi)n de /racciones, eHpresada ladivisi)n con una ra-a de /racci)n4

a

b÷

c

d=

a

b

c

d

en donde [a\ - [d\ se llaman etre8os, [0\ - [c\ se llaman 8e0/os

Para resolver la /racci)n compuesta aplicamos la re(la del colectivo4


77/175

los de a/uera

a

b

c

d

Q a .d❑

quieren su0ir

$os de a/uera quieren su0ir,los de adentro quieren 0a2ar

los de adentro

abcd

Q ❑b .c

quieren 0a2ar

Por e2emplo4 :

512

6

10

=5 .1012 .6

=25

36

5

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN 1'

' Calcula los si(uientes productos e/ectuando previamente todas las

simpli3caciones posi0les4

a1

3.26

5. 9

4.10

13 Q

010

7.21

4. 4

15.16

5=¿

c 94 . 23 . 227 . 53=¿

d3

8. 4

5.10

9.18

7.28

3=¿


78/175

e1

2 (−34 )(−53 )85=¿

/ (−35 )1

7 (−109 )(

−214 )

4

5=¿

( (−12 ) 5

6 (−12

13 ) 8

9 (−3

20 )=¿

(−2 )

(

−7

8

)

4

45

.1

2

(−6 )=¿

i (−227 )(−9

18 )(−44

81 )(−126

88 )=¿

215

22 (−23 )(−335 )12=¿

1 O0tiene mentalmente los si(uientes productos4

a1

2.5=¿ 0

3

4.7=¿ c (−7 ) .

2

5=¿

d 5 .

(

−14

)=¿ e 3 . (−6)=¿ /

13

4. (−12)=¿

(5

12.10=¿

5

7.28=¿ i

3

7.14=¿

79/175

2 (−7 )(−97 )=¿ 1112 (−9 )=¿ l 22 . 211=¿

m (−310 )

5=¿ n −14 .5

2=¿ M5

18 .24=¿

9 E/ectúa las si(uientes divisiones4

a1

3÷2

5=¿ 0

3

5÷ 27

10=¿

c2

7÷ 3

7=¿ d (−316 )÷

1

10=¿

e1

36÷(−94 )=¿ /

5

4÷(−1516 )=¿

(

11

12÷ 121

144=¿

1÷

9

16=¿

i6

13÷ (−1 )=¿ 2 (−3 15 )÷

2

5=¿

82

5÷(−12 )=¿ l −3

1

2÷(−10 12 )=¿

< Calcula mentalmente los si(uientes cocientes4

a 12÷ 4

3=¿ 0 (−1 ) ÷

2

7=¿

80/175

c 6÷ 3

5=¿ d < ÷

1

2=¿

e (−3 )÷(−65

)=¿ / = ÷(−47

)=¿

( 2÷ 5

2=¿ (−3 )÷

11

5=¿

i (−38 )÷ 19

2=¿ 2 12÷

9

5=¿

(−1

3 )÷ (−12)=¿ l (−4

5 )÷ 20=¿

m11

5÷11=¿ n (−134 )÷13=¿

M3

2÷ (−15 )=¿ o −4÷

1

2=¿

: Calcula4

a los3

6 de >>

c los5

12 de ' d los

4

35 de >

e los9

4 de 95 / los

2

5 de ':

/ los5

6 de 5 los

3

4 de


81/175

i los3

5 de 1: 2 los

4

7 de


82/175

i (23+ 14 −32 )÷( 23−14 +1)=¿

2 (1

3+2

5−1

2 )÷

(1

1

2−1

3 )=¿

> &educe las si(uientes /racciones compuestas4

a 3

5

4

7

Q 0−23

5

8

Q c

5

9

−34

Q

d −209

−54

Q e6

5

4

5

Q

/

2

3

8

5

Q

(

7

2

3

8

Q

3

4

−2716

Q i

5

6

4

−2

Q

= Separa en t+rminos - resuelve4

a −2+5

3÷ 25

9−

8

3+75

12. 6

25=¿


83/175

012

5÷ 3

5−

3

7. 1

6−50

7+ 3

14=¿

c (12+ 34 − 110 ). 43 −1=¿

d 4÷ 1

5+3

5. 1

10+ 1

25− 1

10=¿

e4

9(−2 )−1÷

3

2−( 518−23 )32 + 43 ÷ (−1 )=¿

/1

2−(−3 ) ÷

6

5+4

9 (−38 )−1=¿

(

(−2+

3

4

)÷

(1

2

+3

5

)=¿

−8+

1

3

−5+2

3

=¿

I

2

5

+3

219

2.4

−(−58 ) .

415

=¿


84/175

m5

3

2+2

3

+1−

5

4

7

2. 3

14

=¿

otenciación. ropiedades de la potenciación de números racionales.roducto de potencias de igual base. 1ociente de potencias de igualbase. otencia de otra potencia. $2ponente negativo. Radicación.ropiedad distributiva # rec0proca de la distributiva (asociativa).$cuaciones en racionales. $%ercicios combinados. roblemas deaplicación

POTENCIACIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

Se llama potencia en+sima de un número racionalab

*siendo [n\

un número natural. ma-or que ' al producto de n /actores i(uales aab

( ab )n

=ab

.ab

.ab

. … .ab

Para esta0lecer el si(no del resultado, se aplica la re(la de los si(nosde la potenciaci)n de números enteros4El único caso en que el resultado es neat/;o, cuando la -ase esneat/;a - el eHponente /8ar

E2emplo4

a (+52 )4

=+62516

0 (−32 )2

=+94


85/175

c (+97 )3

=+729343

d (−34 )3

=−2764

P&OPIEDADES DE $A POTENCIACIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

$a potenciaci)n de números racionales (o8a de las mismaspropiedades que la potenciaci)n entre números naturales4

i distri0utiva con respecto a la multiplicaci)n - a la divisi)n4 secalcula la potencia de cada /actorKii producto de potencias de i(ual 0ase4 se suman los eHponentesK

iii cociente de potencias de i(ual 0ase4 se restan los eHponentesK

iv potencia de otra potencia4 se multiplican los eHponentesK

Eonente neat/;o *esta propiedad es nueva.4 se invierte la/racci)n - se la eleva al eHponente dado positivo

(ab )−n

=(bn )n

=b

n

an

E2emplo4

a (89 )

−1

=(98 )

1

=98

0 (+89 )−2

=(+98 )2

=+8164

c (−103 )−4

=(−310 )4

= +8110000

d (−67 )−3

=(−76 )3

=−343216


86/175

e (+52 )−3

=(+25 )3

= +8125

/ (4 )−2

=( 1

4 )2

= 1

16

( ( 110 )−3

=(10)3=1000

&ADICACIÓN DE N@#E&OS &ACIONA$ES

Se llama ra?8 en+sima de un número racionala

b

que es potencia

en+sima de otro, siendo [n\ natural ma-or que ', a otro número

racional tal que elevado a la en+sima potencia d+ por resultadoab

n√ ab = cd ⇒( cd )n

=ab

$a re(la de los si(nos de la radicaci)n de números racionales esseme2ante a la de los números enteros4 ?ndice impar el resultado lleva

el mismo si(no del radicando, ?ndice par - radicando positivo tienedo0le soluci)n positiva - ne(ativa, aunque en este curso s)lo usamosel resultado positivoK en cam0io si el ?ndice es par - el radicando esne(ativo, no tiene soluci)n en los racionales

E2emplo4

a 4√ 81625=35 0 √−4981 =no tiene solucin

c 3√51227 =83 c 5√−132 =−12

P&OPIEDADES DE $A &ADICACIÓN DE N@E#E&OS &ACIONA$ES


87/175

$a radicaci)n de números racionales (o8a de las mismas propiedadesque la radicaci)n de números enteros

E2emplo4i Distri0utiva en multiplicaci)n - divisi)n *Cuidado en la distri0uci)ncuando el ?ndice es par - el radicando ne(ativo, en este caso no sepuede distri0uir.

√ 4

49.(259 ) Q √ 449 .√ 259 = 27 . 53=1021

3

√ 1

1000÷(−729343 )= 3√ 11000 ÷ 3√−729343 Q

1

10÷(−97 )=−790

ii Asociativa o rec?proca de la distri0utiva4

√ 323 .√ 227=√323 . 227=√ 6481=89

3√−95 ÷ 3√ 253 =3√−95 ÷ 253 =3√−27125=−35


' alla las si(uientes potencias4

a (78 )2

=¿ 0 (−56 )2

=¿ c (−911 )2

=¿


88/175

d ( 34 )2

=¿ e (45 )3

=¿ /

(−34 )3

=¿

( (−79 )1

=¿ (79 )3

=¿ i

(−58 )3

=¿

2 ( 310 )4

=¿ (−23 )4

=¿ l (−12 )4

=¿

ll (43 )4

=¿ m (−57 )0

=¿ n (−12 )7

=¿

M (−3a b4 x y )3

=¿ o (−2a xb y ! )5

=¿ p (−a2b3

10c )n

=¿

q (3 )−4=¿ r (−5 )−2=¿ s (−4 )−3=¿

t (12 )−7

=¿ u (−15 )−2

=¿ v ( 17 )−4

=¿

H (−29 )−4

=¿ - (−1513 )−2

=¿ 8 (−ms )−1

=¿

1 Aplica la propiedad distri0utiva de la potenciaci)n - resuelve4

a (12 . 34 . 110 )2

=¿ ( 45 ÷ 32 )2

=¿


89/175

0 ( 23 . 4

5.1

7 )3

=¿ l ( 89 ÷ 3

4 )1

=¿

c [(−32 )(−

14 ) (−

1 )]5

=¿ m [(−35 )

÷ 27 ]2

=¿

d [(−12 )(−13 )52 (−14 )]4

=¿ n [(−23 )÷(−12 )]4

=¿

e [ (−3 ) .4 .2 ]−2

=¿ M (4÷9 )−2=¿

/ [ (−5 ) .(−8)]−1=¿ o (−2÷3)−5=¿

( [13 . 92 . 125 ]−2

=¿ p (37 ÷ 4

5 )−3

=¿

[4

7 .(−18 ) .

1

2 ]−3

=¿ q [(−34 )÷

9

2 ]−1

=¿

i [(−12 ) .5 .(−32 )]−1

=¿ r [7÷ (−34 )]−2

=¿

2

[(−78 ) .

6

11

]

−2

=¿ s

[(−125 )÷ (−3 )

]

−1

=¿

9 alla los si(uientes productos - cocientes de potencias de i(ual0ase4

90/175

a ( 12 )2

(12 )3

(12 )2

=¿ (16 )7

÷(16 )5

=¿

0 (−13 )

4

(−13 )

❑

(−13 )

2

=¿ l (11

13 )7

÷ (11

13 )7

=¿

c (−2 )−2 (−2 )−1 (−2)−3=¿ m (23 )4

÷ 2

3=¿

d ' U 9 ' U 1 ' U < Q n (−79 )5

÷(−79 )2

=¿

e (−54 )−4

(−54 )−23

(−54 )25

=¿ M (−85 )−20

÷(−85 )−22

=¿

/ 8−5 .83 .8−1=¿ o 4−3÷ 4−1=¿

( (−1 )14

. (−1)41

. (−1)21

=¿ p (1

2 )1

÷(1

2 )−4

=¿

(−3 )−2 (−3 )−1 (−3 )5=¿ q (−a )−8÷ (−a )−8=¿

i (13 )−2

. 1

3.1

3=¿ r (−13 )

−1

÷(−13 )1

=¿

2 (−78 )−4

(−78 )(−7

8 )3

=¿ s x7÷ x−7=¿

< Encuentra las potencias de potencias4


91/175

a [( 32 )2

]3

=¿ 0 [( 14 )1

]4

=¿ c [(−23 )2

]4

=¿

d [(−12 )3

]3

=¿ e [22 ]−3=¿ / {[ (−1 )2 ]−5}3

=¿

( [ (−3 )−1 ]4=¿ {[ (−10 )−2 ]2}−1

=¿ i [(−15 )−2

]1

=¿

: Calcula las si(uientes ra?ces siempre que sea posi0le4

a √ 94=¿ 0 √ 625121 Q c√1−19=¿

d √−1625 =¿ e √

1

10000=¿ / √−19 =¿

( 3√ 127=¿ 4√ 181 Q i6√ 11000000=¿

25

√−132 =¿

4

√−256625 Q l √

1−3

4=¿

5 &esuelve aplicando las propiedades correspondientes4


92/175

a √ 81100 . 94 Q 0 3√ 827 .( −1125 ) . 64343=¿

c3

√( −1512 )(−

2764 ) (−

729 ) Q d3

√−343

8. 11000

=¿

e 5√ 132 ÷ (−243)=¿ / 4√−16÷(−116 )=¿

(

√

4

3.

√

3

5.√ 5 Q

√

32

5÷

√

2

5=¿

i √52 .√ 15 .√ 32 Q 2 3√−14 ÷ 3√ −2=¿

3√−116 . 3√ 54 Q l 4√ 323 ÷ 4√ 2243=¿

> &esuelve los e2ercicios com0inados &ecuerda que los clculosauHiliares de0en 3(urar en la o2a, son mu- importantes

a [(1−12 ) . 13 ÷ 14 −15 ]÷ 16 . 17 =¿

0 [(5

4 −2)+1

8 ÷3]÷(−34 +1+

7

6 )=¿


93/175

c

6

5÷3+

1

2

4

3÷ 5

6−

1

4

+3=¿

d −27

−( 47−2)÷51

10 (4

3−3)

=¿

e 3√−18 .(−23 )÷ 56=¿

/ √1−89 . (−3 )2+(12 )2

÷ 3

2=¿

( (32 )2

.5

9+(−12 ).

4

3−

3√−164 =¿

√ 116 . 3√ −27÷ 34−(−23 )−3

=¿

i (1−12 )2

+3

√(3

5 )2

+(45 )2

−( 12 )−2

=¿

2 −15 +√(1+ 1

2 )(1−15 )(1+

15 )=¿

= EHpresa en len(ua2e matemtico los enunciados si(uientes4


94/175

a siete veintiunavos son equivalentes a treinta - cinco cientocincoavos - a setenta doscientos die8avos

0 El producto de un quinto por la mitad de dos tercios es i(ual a un

quinceavoc Dos tercios es menor que la semisuma de los dos quintos - los tresd+cimos

d $a ra?8 cuadrada de una cent+sima es ma-or que la ra?8 cuadradade una die8mil+sima

e $a unidad ms la ra?8 cú0ica de una mil+sima es menor que dosms la ra?8 cú0ica de una mil+sima

/ $a cuarta parte de trece ms la ra?8 cuadrada de la di/erencia entreun quinto - dos s+ptimos es ma-or que el cu0o de un nX

( El cu0o de dos tercios menos la mitad de la di/erencia entre unquinto - dos s+ptimos es ma-or que el cu0o de un nX

Siete veces el duplo del cuadrado de tres octavos, ms el triple delcu0o de tres s+ptimos es ma-or que el cu0o de un nX

i $a semisuma de equis - 8eta menos la quinta parte de la di/erenciaentre equis - 8eta es i(ual a la d+cima parte de la suma de siete veces8eta - tres veces equis

2 $a ra?8 cú0ica de la ra?8 cuadrada del cociente entre 8eta a la seHta -sesenta - cuatro es i(ual a 8eta medios

; Piensa - resuelve los pro0lemas con /racciones4

a "n o0rero ace1

5 de un tra0a2o durante el primer d?a El

se(undo d?a reali8a las3

5 partes del resto del tra0a2o - decide no

tra0a2ar ms F]u+ parte del tra0a2o de2) sin completar


95/175

0 Para preparar una torta se emplea por dos porciones de arina2

7

de porci)n de cocolate Calcula las porciones de cocolate que sede0en utili8ar para acer una torta con '' porciones de arina

c "na persona compra un li0ro - lee el primer d?a los5

7 del total

de p(inas - durante el se(undo d?a los2

5 del número de p(inas

que /alta0an Si aún le /altan por leer ; p(inas, Fcuntas p(inastiene el li0ro

T&A%AWO P&7CTICO NX 5 U NMEROS RACIONALES – EERCICIOSCOM*INADOS


96/175

&esuelve los si(uientes e2ercicios com0inados

'

(

1

2−

1

5

)

2

÷ 3

10=¿ 1

(√

3

5+ 1

25−

1

2

). 5

6=¿

9 √(3

2+1

5 )÷ 3415 .3=¿ < (√ 49−√ 1625+√ 1225)−2

=¿

: √(

√ 4

√ 25− 2

√ 9

)(−115 )=¿ 5 √(1+

1

2 )−2

.(13 )−2

=¿

> √( 13+ 12 +136 )2+[ 35 ÷( 25−14 )]2

=¿

= 3√(3

2−

2

7 )÷( 317−1)−1

=¿

; √ 34−12−√1925−25=¿

' (−23 +1

2 )√(1

5 )−2

+32+( 12 )−1

+(−12 )(−1

3 )=¿

Unidad 6: NÚMEROS DECIMALES. PORCENTAE. NOTACIÓN CIENT!"ICA.PROPORCIONESValor decimal de una fracción. 7ransformación de fracción a númerodecimal o a e2presión decimal. $2presiones periódicas puras # mi2tas.7ransformación en fracción. Operaciones combinadas con enteros*fracciones* decimales # periódicos


97/175

N@#E&OS DECI#A$ESAs? como la :ra99/n se caracteri8a por tener la ra?a de /racci)n, eln8ero decimal se caracteri8a por tener la 9o8a decimal que separa

la parte entera de la decimalE2emplo4 parte entera parte 0e9/8al

9 ' : = > coma

unidad d+cimos

decena cent+simos

centena mil+simos

PASAWE DE &ACCIÓN A DECI#A$

OT&AS OAS DE ESC&I%I& "N DE ESC&I%I& "N N@#E&O &ACCIONA&IO

DECI#A$ EACTO PE&IÓDICO +(RO PE&IÓDICO MITOEWE#P$O4

3

4 si(ni3ca 9 dividido :

#J7& es decimal ea9toPorque el resto de la divisi)n escero

Por lo tanto44

5=0 "75

EWE#P$O4

5

9 si(ni3ca : dividido ;4

: ; : , : :! :

#J&&! es decimaler/0/9o uroCuando to0as las ci/rasdecimales del cociente serepiten inde3nidamente Aestas ci/ras las llamamos

er/o0o o parte peri)dica

Por lo tanto45

9=0 " 5̂

"samos el arquito arri0a delos d?(itos que se repiten4 elperiodo

EWE#P$O4

11

90 si(ni3ca '' dividido

;4

' ' ; 1 , '1 1 ! 1 1 #J122! es decimaler/0/9o 8/toCuando el cociente es undecimal que tiene ci/ras que nose repiten *parte no peri)dica.

- otras que se repiteninde3nidamente *periodo.

Por lo tanto411

90=0 "12̂



98/175

' Ga0riel, #ariana - Carolina compraron cocolates - (astaron :Ga0riel pa() la compra, pero cuando repartieron el (asto en partesi(uales no lo(ra0an ponerse de acuerdo acerca de cunto le

correspond?a pa(ar a cada cico#arca con una cru8, B *verdadero. o */also., se(ún corresponda encada caso4

El (asto de cada uno /ue eHactamente de ',55 B

El (asto de cada uno /ue ma-or que ',55 B

El (asto eHacto de cada uno /ue de 53

B

Si cada cico pon?a ',55 /alta0an 1 centavos B

Si cada cico pon?a ',5> so0ra0a un centavo B

Cada cico de0er?a poner ms que ',55 pero menos que ',5>B

1 EHpresa en /orma decimal las si(uientes /raccionesK - clasi/?calas endecimal eHacto, 3nito o in3nito, peri)dico puro o peri)dico miHto4

a17

20

23

3c

1

5d

9

4e

5

3

/ 72

( 35

9 "ne cada /racci)n con su eHpresi)n decimal44

51"2


99/175

6

52 " 3̂

7

30 "9

28

122,3̂

9

100 "8

PASAWE DE DECI#A$ A &ACCIÓNDECI#A$ EfACTO PE&IODICO P"&O PE&IODICO #IfTO

Para eHpresar un decimaleHacto en /racci)n acemosas?4

Como numerador escri0imosel nX dado sin la coma -como denominadorescri0imos [1\ *uno.se(uido de tantos [#\*ceros. como ci/rasdecimales ten(a el nX dadoE2emplos4

0,6= 6

10=

3

5

2,37=237100

108,001=108001

1000

Para eHpresar un peri)dicopuro en /racci)n, a- quetener en cuenta4

6 si la parte entera es cero,escri0imos como numeradortodo el número sin la coma,- como denominador tantos[%\ *nueve. como ci/rasten(a el periodo4E2emplos4

0, 3̂5=35

99

0,

^

124=124999

6 si la parte entera esdistinta de cero, escri0imoscomo numerador todo elnúmero sin la coma, restadode la parte entera - comodenominador tantos [;\como ci/ras ten(a elperiodo4E2emplo4

2,3̂1=231−2

99=229

99

40, 8̂=408−40

9=

368

9

Para eHpresar un peri)dicomiHto en /racci)n acemosas?4

Como numerador escri0imosel nX dado sin la comarestado del nX sin el periodo- como denominador tantos[%\ como ci/ras peri)dicasKse(uido de tantos [#\ comoci/ras no peri)dicas*recuerda que s)lo vemos laparte no peri)dica en losdecimales, no en losenteros.4E2emplos4

0,31̂5=315−3990

=312

990

2,217̂=2217−221

900=

1996

900

4,01̂2=4012−40

990=

3972

990

100/175

EWE&CICIOS DE AP$ICACIÓN 1<

' EHpresa en /orma /raccionaria los si(uientes decimales EHpresa el

resultado como /racci)n irreduci0le4a 9,= 0 ,' c

101/175

: "0ica los si(uientes números en el casillero correspondiente delcuadro4

2

3; 4

3;3

9;1

2;2

5;5

6; 50

100; 9

4;5

2; 11

4;

9,< K

102/175

> Encierra con un c?rculo la respuesta correcta de cada pro0lema

a Cuatro veces la cuarta parte de la edad de una persona es 91 aMos

$a edad de la persona es4i 1 aMos ii '5 aMos iii 91 aMosiv 5< aMos

0 $os perros pueden escucar sonidos a una distancia die8 vecesma-or que los umanos "n perro puede escucar cierto sonido a 1>m de distancia $a distancia a la cual podr?a un om0re escucar estesonido es4i 1,> m ii 1> m iii 1> m iv 1> m

c En un curso de (imnasia de ; personas, la tercera parte de laspersonas tiene '= aMos, la mitad tiene '; aMos - los restantes tienen1 aMos $a suma total de sus edades en aMos es4i ' 5;: ii ' >: iii ' =;: iv 1 '':

d "na /amilia destina la mitad de sus entradas mensuales para

alimentaci)n, un tercio para vivienda, un seHto para estudios - el restoaorra Si la entrada mensual de la /amilia es de ' =, entonces paraaorro dedica4i ii 9 iii


103/175

= "ne con eca cada uno de los pro0lemas con la operaci)ncorrespondiente para resolverlo4

i FCuntos marcadores de ',: cada uno se puede a

16,5÷ 1

5 comprar como mHimo con '5,:

ii FCunto cuesta un ilo(ramo - medio de masas, 016,5+1,5

Si cada ilo(ramo vale '5,:

iii "n li0ro costa0a '5,: - me descontaron un c16,5−1,5

peso - medio FCunto pa(u+

iv En un tanque a0?a un litro - medio de a(ua, se d

16,5÷ 3

2

A0ri) una canilla e in(resaron '5 litros - medio ms FCuntos litros a- aora

v FCuntos vasitos de ,1 litros de capacidad se e

16,5 .3

2

pueden llenar con '5,: litros de un 0id)n de 0e0ida

; Pro0lemas para pensar - resolver4

a De las


104/175

c El respaldo de un so/ rectan(ular mide ',=: m de lar(o por ',': mde alto FCul es el rea del respaldo

d FCul es el volumen de un cu0o de 9,: cm de arista

e #arta 0e0i) los tres quintos de una lata de (aseosa, - su i2aernanda, los dos s+ptimos FSe 0e0ieron toda la (aseosa En caso deno a0erlo eco, Fqu+ parte queda

' Encuentra el o los valores de [H\ en las si(uientes i(ualdades4

a √ x=0,04 0 3 .√ x=4

3 c √ x=

7

3

d x2=0,0036 e 512= x3 / x2=

4

25

'' EHplica por qu+ el si(uiente ra8onamiento es correcto4

140,4÷0,25=140,4÷ 1

4=140,4 .4

'1 Sin acer las cuentas, decide si las si(uientes i(ualdades soncorrectas - eHplica por qu+4

a 25,48 .0,125=25,48 .1

8=25÷8+0,48÷8

0 5,56÷2,3=556÷23

c 5,56÷2,3=5560÷2300

'9 FCul de estas divisiones dar ms que := #arca con una cru8 -veri3ca

58÷2,3 58÷0,4 58÷5 58÷0,00001

105/175

'< Trans/orma en /racci)n cuando sea necesario - resuelve lasoperaciones4

a 1,75−0, 8̂=¿ 07

5−1,16̂=¿

c2

5+(12−0,3)=¿ d −12 −(−0, 6̂−16 )=¿

e (0,25+ 16 )−0,2=¿ /2

3−(0,8 3̂−12 )=¿

(1

2−(−0,8+ 115 )−0,23̂=¿ 0, 3̂+0,7̂−0, 2̂=¿

i (6,33…+0,66… ) . (−0,4 )=¿ 2 (0, 5̂)2÷ (−0, 2̂ )=¿

(−0,3̂ )2−3−2=¿ l √0, 2̂−0,13, 6̂+8, 5̂

+0,01=¿

m (4,1−0,21̂)−(1, 2̂−0, 6̂)=¿ n (2,3̂−1,2−3,4 )−1

=¿

T&A%AWO P&7CTICO NX > U NMEROS DECIMALES – EERCICIOSCOM*INADOS


&esuelve los si(uientes e2ercicios


106/175

&ecuerda que cuando en un e2ercicio aparece una eHpresi)n peri

ejercicios de matemática primer año

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