Download - Guía Matemática
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C U A C 0 N C 5 F R A C C IO N A R A S o s h r . g r a d o 239
^ p - 5 = 0. t f f ) ( * - l ) - ( * - 3 ) = i ( * + 3) + .
0 , *+2 5* 6x+l 11*2 1 , 5 ft.y - 5 T = 7 . 17. - _ - ? (5*-2) = -(6* + 1).
5 x - l 4 3. 4*+l 1 , v 13+2x N1 ,= 4x : m ) = (4x 1 )------ ------- ' - ( x - 3 ) .
3 5 3 3 6 2
@ . 10* ^ T ^ = 2 (5 t_ 3 ) 19 | ( S * - l ) + ^ - ( l f l * - 3 ) = - i ( e - 2 ) -
sm * ~ 2 x - 3 ^ * " 4 3x~l 5x4-4 x+2 _ 2 x - 3 1
3 4 5 ' ' ' 2 3 8 " 5 10'
x-1 x-2 x-3 _ x-5 Tx1 52x __ 4x~3 l+4x2
2 3 4 5 f " 3 2x ~ 4 + 1 T '
3 ) * (5* 1) Z z * = i . 2 ^ + 7 2 (x -4 ) 4 x * -6 __ 7x+6^ lo 3 5x 15x 3x2
2 * - 5 p + | (* - 5)= - 5 x . 23. | ( i i ) = | ( J r i ) .
4 - i 2 i = 4 x - ^ i . 24. 3 / 2 Z l ' 1 _ / ' * f + ? ' l _ i / ^ U = 0.^ 6 4 5 l / 3 W / S U / 5
3x4-5 11 210------------ = 3---------6 12 4
9 * - 2 - 7 x ( - \ = i + .\ X 2 / 2 4
*^ ggtf 5x 3 x4-24 P -r - ~ ( x _ 2 0 ) - ( 2 x J) =
3x 7 12x5 2x-3 , 4x4-9 7 rt
8 10 16 20 ^ " 4 + 8 0 ~
17' 34* 1 / 2 1 /
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j^e^ve las ecuaciones:/X 4- 1)(x - 2} - (x - 3)2 , fx + W x - 3) ~ (x + 1}3 = 4 -,& + 4/(x + 7; = fx - 2; V a * ~ 7.'2X ~ 1}2 4 ( x '+ 3) (x - 1) .+ 43x - 2j{2x + f) - 2x* = (2x + 7)(2x - 1) - 3x2x + 3}i - (3x ~ 1}(x + 2} = (x + / /fx - 7j (5x - 2} (1 ~ x) = (7 + 2x/f7 - 2x) - x2 Sfx + 2jfx - *2; - 2(x + 3}{'x - 2) + X*5(x + 3}(x - 5} + 4{x + 7}(x ~ 1} - (3x + 2f3x - y 2(x ~ 3)2 + + 7/* = 5x(x - 4 )3 - {xfx + 7) - 2{3x - 2)] = - f7 - x2. 4- 3 2x - 3 + 3x2 = [(x + 2 //2x - - 1J + x(x - 61}(3x + 2}(3x ~ 2) = [6 ~ 3x{5 ~ 3x} + 2x]
es fraccionarias (con denominador numrico):
X Xsolvamos la ecuacin 5 - ~ -3 2
Multipliquemos todos los trminos por e m.c.d., 0. c on 8x 6x m.c.d. (3,2} = 6 30 - =
Simplifiquemos las fracciones:30 - 2x = 3x
Se procede como en los casos anteriores:5x = 30 => x = 6 Rta.: x = 6
{Verificar el resultado.)Justifica el paso 1 del nmero 35. (Repasa e Cap. 2, N 218.}:n ia prctica, ios apartados 1 y 2 de! nmero 35 se efectan as:Se divide el m.c.d. {mnimo comn mltiplo de los denominadores) por cada denominador y e! resultado se multiplica por el numerador respectivo.
Volvamos sobre la ecuacin 5 A =- _L3 2
1. m.c.d. {3, 2) = 61 6 : 1 = 6 ^ 6 * 5 = 306 : 3 - 2 => 2(x) -2 x => 30 - 2x = 3x
6 : 2 = 3 1=>3 ' x = 3x3- 5x = 30 => x = 6
X 1 x 1Resolvamos ia ecuacin + - = ----------- .4 3 2
1. m.c.d. (4, 3, 2) - 12 1 2 : 4 = 3 ^ 3 - x = 3 x
2- j 1 2 : 3 = 4 = > 4 - 1 = 4 => 3x + 4 = 6x - 6112: 2 - 6 => 6(x - 1) = 6x - 6
>3. 3x 10 => x = Rta.: x - -~ -
- 199-
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Estudia1a c u a r i o
a;> - G o m p a ib le d e te rm in a d o
j :; ': : 'r- '-'Vo^V^k#*-.3y ^ * ~ ^ * i p ! a $ s e c a n te s yi- #
b)
c)
, ^ ; y # 4 f ''* '* *.'.** : *?
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5 V 17x
v / 17
\ 4
Luego las races son :5 + v 17 5 / 17
Discriminante
La expresin b2 - 4ac la llamamos DISCRIMINANTE, el cual nos permite, sin resolver a ecuacin, el estudio de la naturaleza de las races.
0 . a rai2 es, una y real,RAIZ DOBLE.
Si b 2 - 4ac * > 0 , son dos races reales ydiferentes.
< 0 , no tiene solucin en R,las races son IMAGINARIAS.
Ejemplos:( i)x 2 - 8x + 16 - 0
b2 - 4ac: (8)2-4.1.16 ~ 0 (una raz doble).(ii) x 2 - 3x +2 = 0
b2 ~ 4ac : ( - 3 )2-4.1.2 0 (dos races reales)(iii) x 2 -h 2x -r- 4 - 0
b2 -4 a c : (2)2 ~ 4.1.4 C 0 (races imaginarias)...................: -Ti. ---- ------------------------------------------------ ---- -----------------
tila de !as siguieflt i^aeiaft^s:
(1) x-t.6x-i-64 = 0 m 2xJ- 14x + lt = 0
(3) .;8 | i | | r 5fe ^ - |4) 4x * + | - x - J - = 0
(5| m (2 x +_g-)S ~(x1)=(x+2)
(10) x-' x-- 0 '
114
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(1) Resuelve, grafica y comprueba en cada caso:
(a) x 2
(b) . 3 (x ~ 1 ) S 2 (x + 1)
(c) 4x - - i < 4 - (* + 2)
1
(d) - 3 - x > x \i 1+T J(e) (x - 2)2 < x(x - 3)
2)
5 - x
(i) x 2- 7 x - M 2
(j) x2+ 5 x ~ 6 s
0
0
(b)
(c)
3 x 4 - 2 ^ 1
X - 4 * ^ 3 - x 42x 5 ^ x - 3
3x - 1 > - 10
3 - 2x < 4 + 3 x
_ 2x - 1 > 3
m
(e)
2
3(x 2) Z> 2(1 - 3 x ) + 1
(x + 2)2 ^ x(x + 5)
5 ~ x 3 + x2
f - 3 x - 1
4
2 x
> - 8
2(f) j 2
[x + 2
3x + 3
3) Resuelve, grafica y comprueba ias siguientes inecuaciones:
(a) | x + 3 j ^ 5
(b) I 2 x + 1| > 1
(o)
(d)
(e )
j 3 x - 2
! 2. i 3! 1 I 4
2
11 < 3
(f) | 2 - y x < 3 x
( 9>| x + j j > 2 x - ~
(h) | 3 x 2 | ^ x + 1
(i) | 5 - x | > 3 x - - i4
(j) 2 - 3 x >
u
-
111. Determina x para que e 1 va lor de las expxso&es sea un nmero real:
a) \ j 3 x + y c} T ~ 2 k + n
b) y 2 (x - u - 4 * y * _ l L p i
13 2,UResuelve los sistemas de inecuaciones:
3x + 2 < x - ] f / 3 (x - l ) S x + !2 ( * - 2> > | . * C) t 2 - ' I 2 ( x - / 3 ) > - 4
4
b)
^ X - ! J L < 2 x _ , j y 2 x - i r 2 x - -d)
U / - I S 2 X4 , 6 3 6
Valor absoluto:
( f f t ) Resuelve las siguientes inecuaciones y da la respuesta en forma de intervalo y grficamente:
7 'a) I x ) $2*-61 S 3 s) ! x + 2 1^ 59
> 1 1b) 1 oxi ^ 4 e) 3 (x - 1)2
c)' ! x - 3 < 4 f) l x ! 2 i) 1 2x -i- 3} => 1 .
1)4. Un tringulo tiene base constante b~Sm . Cul puede ser la altura h de ese tringulo si ei rea tiene que ser de \ 5 m2 o ms?
7 15. Un mvil se desplaza en lnea recta con una velocidad de 5 km/h. La distancia recorrida viene expresada por la frmula:
d = 5t 4- 2 (t: tiempo).
Determina el intervalo de tiempo en que el mvil est entre el kilmetro 17 v el kilmetro 32.
- E conjunto de todos ios nmeros reales mayores que un nmero real a, se considera un intervalo infinito de la forma (a, +). Ei smbolo + ), {-
-
104. Dada la recta L, indica las abscisas correspondientes a los puntos:
P* P. p3
^ -3 -2 -1 0 1/ *^ 1 0 5 / Escribe en forma de intervalo los siguientes conjuntos y efecta su representacin g
fica: 5 i
a) I x R / - 3 S x < 2 } e) x S ~ L 4 - h) Ro
b) { x e R /0 < x < 4 } f) x < 3 j i) R +
c) { x R / 1 < x < 3 } g) x ^ 0 y . j) R-
d) { x e R / - 4 ^ x < - 1 } f k) R*
( 106 / Valor absoluto i. Escribe en forma de intervalo ios siguientes conjuntos y efecta representacin grfica. \ .
...., a) { x e R / l ^ | < 2 } d) { x R/ - 3 < x < 3 }. b) { x e R/lxi < 4 } e) { x R/ --1 < x < 1 }
c) | x R / j x i < 5 ] f) I x R / - rr < x < n ] ^
107. Escribe con notacin de conjunto y efecta l&representaci grfica de los siguientes i m valos:a) [ - 4 , - 1 ] d) (1,3) g) (0, x ) j) (-3,3
b) ^ - 3 , - ~ ^ . e) [2, a ) h) ( - ^ , 1) k) (0,2)
c) (0,4) ' O C - a . - H i) (-2,2) l) ( - 4 ,5
108. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas;a) 1 - ] ,3) c) tt (~ cc ; 3,1] e) 2 e (0,2j
b) - 2 ( - 2,0] d) / 2 0; 1, 4) 0 3 { -1 , S\ 5
( 109. ^Calcula grficamente y da la respuesta de intervalos:a) (-2 ,4 ) O (0,2) ) { x R /0 < x < 2 } 0 { x t R/! S x < 3 }b) (-1 ,1) O (0,3) : g) { x R ! ! x < i } U{ x e R / 0 < x < 2 }c) [2,4] fl (4,6) .= h) { x R / x > - 2 } H { x R / 0 2 x < 2 }d) (-3,1 j O [1,4) i) { x R /x = s-3 } U { x R /x < -3 }e) (-4 ,2) O (-2 ,5) j) { x R / x > ~ 2 ) n { x e R / x c . O }
110. Halla los conjuntos solucin y represntalos grficamente: , -
-
(ver demostracin en el Teorema de Pitgoras)
Siendo: X y X ^ las abscisas de los puntos
Y e Y ^ as ordenadas de los puntds*.
Apliquemos la frmula a problema planteado:
A (2,3) B (-3 ,1)
X - 2iY = 3
AB
X - - 32
Y - 12
\ / (3 2)2+ (13)z=
V 25 + 4
29 i J KJ
X = 22
Y = 3
AB \ / [ 2 (3) J2 +(3-1)2 =
V 25 + 4
= \ / 29 U
Qu conclusin sacas? Por qu?
5>S' . '-r-'j?... Jvi'
Calcula:
Punto medio de un segmento
Cul es e! punto medio de cada uno de Sos segmentos que se dan a continuacin?
*
0 21 " u 3Generaliza mediante una frmula el procedimiento que has utilizado.
-
! 06. Calcula las b^cisas correspondientes a'Ios putos'dhidentsyl#! 3 yz ~ i\ y :;== 1 per-"? tenecentes la recta. 5x - 3y = 4.
107. Calcula laSordenadas correspondientes a los puntos de.abscisas Xf= - 2, x? = 0, xs 4 per-" tenecentes a la recta: 3x -t 4y = 6.
c) 5v = 6
108. Dadas las reatas:
a) Li s 2x - y - 4 b) Ls s 3x -4- 2y = 8
calcula los pimtos de abscisa igual a cero y di qu representan:".f "
109. Dadas las rectas:
a) Li=5x' y 10 b) L? = x-+.3y --6 s .'^ f^ S y -='8
calcula los puntos de ordenada igual a cero y di qu;representan''
REPRESENTACION D E L A ECUACION LINEAL
10. Representa grficamente las ecuaciones:-'- -
2% 8y Ja) 5x - y:~ 6 b) f - 4
o
... ,-.L ; --i'- " c) 2x " ' - 5 di x - - 3
111, Calcula las pendientes de los ejercicios anteriores y.compara su valor en la inclinacin de-, ls rectas!. .4
1 12. Calcula las pendientes de las rectas:a) 2x - 3 y ';.4b) 5x,H-4y.^3 = 0 .?
e indica el f igicado geomtrico de las mismas.
c ) .f .< x , y ) : ^ r ' X ' B
d) { (x, y) e R x R / x - V .
113. Cul es la ecuacin de las siguientes rectas?
a) Eje de abcisasfb) Ej de ordenadas i
........ ..... .T 4. Calcula las pendientes de ls rectas:
v' f. & & & -
c) Bisectriz d e ll^ y 3er. ciadrantesd) Bisectrizdl cuadrantes
- i i? \ '
-
.. .r i I
, ! V I
(~ h O ) \0j
Ai \ P .O .- i l 1 \
JJ5. Dibuja las rectas de pen dien tes:
a) m = 2 y que pase por A (2 1)
b) ra = - I y que pase por B B (~ 3, 2)
c) m =
116. Calcula las ecuaciones de las rectas de pendientes:
a) Hit 3 y que pasa por P? ('-2, 5) c ; ni3
b) m2 = - 2 y que pasa por Pz (3, -1 ; d) m-* = -g-
y que pasa por C ( 4, 2)
y que pasa por D !I , - 3)
y que pasa por Ps (1, 4}
y que pasa por P* ( - 3, 2}
117. En la representacin de e - eo - vt (frmula del espacio en ei movimiento uniforme):
a) Qu significa e
-
Ecuacin de la recta PUNTO - PENDIENTE
Una recta queda tambin dfinda por un punto y su pendiente.Tornando como punto de partida la ecuacin:
y = mx+b (1)
y sabiendo que pasa pore! punto (x^ ;y )tenemos, sustituyendo en (1)
y ~mx +b1 1
despejamos b:b = y r m x i (2)
Sustituyendo (2) en (1) tenemos:y = mx+v - mx' i 1
Agrupando trminos y factorizando obtenemos:
y -y , = rn (x -x )
que es la ecuacin punto~pendiente de Ja recta; donde: m = pendiente(X1 y ) ~ punto que pertenece a la recta.
^ Ejercicios:(1) Dados los puntos: A (-1,2)B (0.3)c(5, D (-3 ,4 )
Hallar las pendientes entre los puntos:
() A yB id) ByC(b) A yC (e) ByD(c) A yD (f) CyD
(2) Hallar la ecuacin de la recta en cada uno de los siguientes casos:
(a) m = 1 fb) m = (c) m = - 3
A (3;-1) B ( 2: ~ ) C ( ' ~ t )
(3) Dados los punios A (-1 ;3) ;2jC(0; 1) d |5 ,- j
89
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Puntos de corte con los ejes coordenados
La recta corta ai eje de abscisas en un punto de la forma (x ,0) y ordenadas en uno de la forma {Q,y ).
En la prctica, para calcularlos procedemos as:
(i) corte con eje x (ti) corte con eje y
hacemos y ~ 0 hacemos x - 0
Ejemplo: Hallemos los puntos de corte de la recta x~2y+3= 0 con l< coordenados.
(i) punto de corte con el eje x:x2.0+3 - 0
x - -3 punto: (-3,0)
(ii) punto de corte con el eje y:0 - 2 y + 3 = 0
JL 2
3
Y
punto: ( f i
90
-
2 \ 2,sta es una funcin hiperblica, la cual est representada por dos lneas curvas simtricas respecto al origen llamadas hiprbolas.
e) f ( r ) = 3 x 1
Para x ~ 1, 0. 1, 2...; los valores de y son; f ( -2 ) - 3 (-2) - 1 - 6 - 1 - 7 ==> (2, 7) f ( - l ) = 3(~1) - 1 - 3 1 -4 = > (-1 , -4 ) f(0) = 3 - 0 - 1 ~ 0 - 1 = - 1 = * ( 0 ,-1 ) f(l) = 3 1 - 1 - 3 - - 1 2 = > ( 1 , 2) f(2) = 3 * 2 - 1 = 6 -7 1 = 5 => (2,5)En esta fundn, el mayor exponente de x es 1, o sea, es una fundn de primer grado, la cual est representada por una lnea recta,
f) f(x) 4 - jt2 Para x = ..,-2 , 1, 0,1,2*..; los valores de y son f(~2) = 4 - (2)2 = 4 - 4 - 0 ^ {-2, 0}
Cul de ios puntos A(2, -4); B(-2, 4); o C(~2, 4) pertenece al grfico de la funcin f(*) x2?
-
8EJERCITACIN En cada caso, hallar el dominio de todas las funciones dadas.}. f(x ) = x t 2 ; g(x) = x2
cf- i-gm (")2. f {x ) = x2 + 1; g(x) = x + 2
f f ' - m - ^
3. /(x ) = A3; g(x) = 3
r x8
te +f% *)
4. f (x ) ~ V x + 2; g(x) ~ X2
f t S
i. f (x ) - X2 + 5X + 2; g(*) = V
EJER C ITAC I N l Si m ( x ) = \f x + 1, n(x) = x2 yh(x) = x + 4. Calcular.
6. (m 4- n)(6) 7. (m - n)(6)8, (n + h)(6) 9. (h. + m)(6)
10. (n - w)(6) U . (n - ^X6)
12. (h * n)(6) 13. (m * h)(6)
( f h1 S . ( ~ ) { 6 )
. . . ( f m ( I )
ja . JL Ve)V n >
/ n \
1 9 - [ t P
20. (6 * w)(6) 21. (6 * n)(6)
M O D ELA C I N * Sean f(x) 4a- + 2 y gfx) = 3(x2 4- ]).Graficar.22. ( f + g ) ( x ) 23. Cf - g % x )
24 . ( f ' g ) { x ) 25. (g - /)(*)
26. \x)\ 8
2 ? . I M ( x )\ / /
E3ERCITACN. Para cada par de funciones, calcular el valor de la funcin compuesta en el x dado.28. f(x) ~ x3; g(x) ~ sen a:
-1 })
29. f(x) - x2 + 1; g(x) = 3X
}>;))
( f m s
V 'W :* ) .
30 . /(X ) = V* + 2; g(x) =a: + 3
31. f(x) = x + Vi; g(x) ~ Ln x
Wm TV'5MODELACIN. Escribir V si la afirmacin es verdadera o F si es felsa. Justificar la respuesta.32. _ Si j(x) = V * - 1 y g(*) de /(g(x)) es [0, )
3.^ , entonces el dominio
33 . Si f(x) = 4x - 2 y g(-) 2a: + Vx, entonces el domi-
f34 , Si fQt) ~ JL y g(x) ~ x3, entonces el dominio de
io de g(f(xj) es , co\
/((*)) &s, x S U, x O.35 . S /(* ) = V 7 - 3 y g{x) = ^2, entonces el dominio deg(f(x)) son todos los nmeros reales.36 . S f(x ) \x\ y g(x~) 5x - 3, entonces el dominio de:f(g(x)) son todos los nmeros reales
RAZONAMIENTO. Dadas las funciones f y g resolver los nurne-J rales 37 y 38.
f- x 2 si x st 0 ig(x) = Z _ _ _ _ L
U*l si a: < 0
37. Hallar, si es posible, /((*)). j8. Hallar, si es posible, g(/"C*))
-
En general, cualquier funcin racional tiene la forma / ( x) = pix)/q(x),\ p(x) y q{x) son polinomios en x.
Si el valor f(x) de una funcin / s e encuentra por medio de un ni d | operaciones algebraicas, / se llama fundn algebraica. Las operacioi hricas son la adicin, la sustraccin, la multiplicacin, la divisin, la ele potencias y la extraccin de races. Por ejemplo, las funciones/y g definic
m y s(x) (2z2 - 1) Z7 + 5*3/
son funciones algebraicas.Aparte de las funciones algebraicas, existen otras funciones llamadas!
nes trascendentes. Ejemplos de funciones trascendentes son las ftmcioneli nucas y las funciones exponenciales, que se expondrn en el captulo 6. f
EJERCICIOS 5-1
1. Dadaf(x) 3x + 2, calcule f \ \ ) , f { ~ 2) , f (x 2) y /{* .+ ).
2. Dada/(x) ~ 5 - 2x, calcule / ( 3 } , / ( - l ) , / ( x ) y /(x + A).
3. Dada /(r) = 5r + 7, calcuie /{ ! ) , /< ~ 3). / ( c ) , / ( l + c) y
4. Dada/(x) = 3 - 4x, calcule f ( a \ f { a + 1) y f (a ) + /(1 ).
5. Dada /(x ) - x2, calcule /(3), f ( a \ f ( V x ) y f ix + /i).
6. Dada f ix) = 3x* + 7, calcule /(c ) , / ( c + ft) y / ( c + ft) ~ /(c).
7. Dada/{x) = 3, calcule /(IA)> /{-^X f i x + 2) y /(x + h).
8. Dada /(y ) = 5, calcuie /(1/y), /(y 2) / (y + 3), /(7 ) y /(y + h).
9. Dada f(x) - Vx, calcule/WX/ix2) y /{a 2 + ft2).
10. Dadajf(x) = V x ~ i 0.
14, Dada
14x + 31 + X2evale cada uno de los valores siguientes:
a- (i) b .g(3) c .g ( ~ l )
d. g(0) e. $ ( -3 )
f. g(2 + h) y g{2 /i) s 2 > / > 0
*15. Si F(t) = f/(l + i) y Git) = /( 1 - 0 demue- G(/) = -2G(/2).
*16. Si y = /( x ) (x + l)/(x - 1), pruebe quex
17. Si/Ci) = x2 + 1 y g(x) = 2x ~ 1, calcule/fe^
18. Si /(x ) = (x) + h(x), g{x) - x2 + 3 y /(x j =|M2).
I B S CAPTULOS FUNGONES V GRFICAS
-
EJERCICIOS 11-2
(*30) Evale los lmites siguientes.
1. lm (3^ + 7x - 1)i-t 2
l. lm (Ir2 + 3x + i)f-* -
3 . l i r ax + 1
m x 2
X2 - 25 5. Km r y r " T / *-5 Vx* +11
* * - 47. Um ,x2 4- 3* + 2
A ^ - 5x + 69. lm ----------------i->3 x 3
x2 + 3x + 21L lm---- ;-----i-- jt I t, x* + 4x + 413. lm ----- - - -
-*-2 x* 4
^ x2 + X - 215. Um; ----------
-^+1 x2 3x + 2
17. Um9 - x
*~9 V x ~ 3
x 119. lm 4 : ~i r - 1
*21. lm
23. Un
Vx 2 x3 64
x + 1
25. lm
mj i 2
V 4 + x - 2
V T + 3 - 2 27. lm ---------w l X2 1
Vi +x ~ 129, lira T77-T-----ri-*o v 4 4- x 2
4. lm Xa + 1
6, lm
*-*3 X + 3
x3 - 16
8. iro
*4 x mw 4
x2 -
1. Km
mi Xa + x 2
x2 5x + 6
12. lm
x-a x2 x 2
JE? - 9
14.
16.
i-3 x2 5x +
,, X2 -r 4x + 3lm -------------i-* -{ x2 +' 3x + 2
x 4lmr-i4
18. Um
20.
*22.
24.
2&
28.
V x - 2
V x - 3 x2 81
i m 4 ^-~ x 4
x3 - 729una 7-------x-fi V x 3
30. lm
2x + 5x + 7 x
V x T 7 - 3 x 2
V 9 + x - 3 x2 + 2x
V2 - x - 1 2 - Vx + 3
lmX*-$
lm*-2
lmj-tD
(31-36) Calcule lm /(x ), en donde f(x) y e se dan abajo.jr^*c
32. /(x) 3x + 1. parax 1j * - 3 j
X3 - 4
para x = 1
33. /(x ) = * ^3
34, /(x) -
35. /(x ) =
36. /(x ) -
x2 - 9
para x 2
para x = 2
para x = 3
c = 2
x + 3
5 para x 3
1x - I
3
r x - 9
para x ^ i
paraje -- 1
para 1 ^ 9
para x = 9
c = 1
(37-41) Las funciones /(x) y los valores de a estn < jo. Evale.
lmk->0
f (a + h) /(c ) h
en cada caso.
37. /(x ) 2x* + 3x + 1, a = 1
38. /Cx) = - 5x + 7, a - 2
39. /(*) - ** - I, a = 040. /(x ) = x2 + x + l , a ~ x
41. /(x) 2*1 + 5^ + 1, fl= x42. Una partcula cae del reposo bajo la accin de la
Cul es la velocidad instantnea despus de 1^43. Una pelota se arroja verucaimente hada arriba
locidad de 40 pies /segundo. La distancia recorr despus de t segundos est dada por la frmula lo/2. Determine la velocidad instantnea:
a. Despus de 1 segundo, b. Despus de 244 Ene! ejercicio 43, calcule la velocidad instant
de t segundos. Qu ocurre asando t locidad instantnea cuando f ?
45, Es este ejercicio, con su calculadora evale la.
466 CAPTULO 11 LA DERIVADA
-
UNIDAD 5 * MiTES V CONTINUIDAD_ J _ -> {j
I. Lm z indeterminacin)
r * I r 4)
>8 z -
2 , Lim (2 - 2*2 - 8 ~ --------
Lim z~* 8
iz ' + 4)
= L m ___________ L__I___________ - L n \__________________ = 1Z~*B i - z*8 i. JL n
(2 - r ; ' -r 4) z> + 2 z 3 + 4 i
}12 _ 0d. 1. L im _____ _ - "indeterminacin')
"-3 - :
2. I,:m ^-L : ------- A L L - L = Lim J 2 = ^ 5 I - i In~*3 V n 2 ~ - 4 \ r 2 + 7 ^ 4 *3 n2 4- 7 16
Lm ( n~ v r-~ ~ - 'r .4) = Xm V n 2 -f 7 + 4 =n-*3 r : _ G -3
. A C T I V i D A D j E S
EJERCITACIN. Determinar cules de los siguientes lmite.? MODELACIN. Factor izar cada expresin para poder calcular presentan indeterminaciones. el lim ite.
-> 1 1 1. Lim x + 4x + 2 2. Lim - ~ 1 5 . Lm - 1
pc- 0 *~*0 X -* - 1
3. Lm *2 + I 4 . Lm xl ~ 1 1 ' --5 -X--+1 .. *~0 ,X ~ l X - 1
39. Lm ** * 8
16. Lm a:2 - 1* -~ l * + 1
x3 + 118. Lm
x-*-\ X + 1
20. Lm *5 j
5, Lm x 2 ~ 2# + 1 6. Lm *2 - 3* + 1 ^ 2 x + 2 *->1 ~ 1Xr 1 x^ + 3
; 2 1 . Lim x1 + 3x2 + 2x 22. Lm 3x2 - 4x - 15
7. Lim V T ^ l a I.im * ~ 1 " 2 ~ x 6 *2 ~ 5* + 6
V 7 + 1 *'* * + i * - 3; 23, Lm ------------------- 24, Lm 6x2 + 5x - 6
- V I , r : * ' 3 ^ - f t - 3 - y , 5 ,2 -7* - 29- Lm v x - 2 jo, Lm (x !)(* 1-1
X ~ ^ 25. Lim ------ 26. Lim x2 ~ x 2Q*---i X4 - 1 *-5 *2 _ 7x + 10
. , 3 + 2: . . y _ -7U. L im ------------- 12. Lim x ,*-*3 * ~ 3 ^ 2 x2 + x _ J * 27. Lim ^ + 1 28. Lm * + 6x ~ 7
^~i x4 - x * + x ~ l *~~l X4 + Sx2 - 9
3. Lm (x ~ 2) ( ------- ^ 14. Lm 1 29_ Lm x2 + 5x ~ 14 30. Lim * + 4Jr~>2 \ X ~ 2 / x-*\ >2 ------- ;------------ t--4 ;--------------------------------
x2 4 - * - 6x - 40
193
-
EJERQTACIN. Relacionar cada funcin con la grfica de su
1 .()#?) = 4.x 2 ( ) / [ * ) - - - *
a.
4. ( ) (x) = -4 x
d.
t ~2i
\
RAZONAMIENTO. Utilizar la definicin de derivada, par; demostrar q u e la derivada de cada una de las siguiente: funciones es cero.5. /[*) = 1 6, ftx) = 37. tfx) = 0,02 8. f (x )= - 2 + 3 V 2
WOOCIAON, Hallar en cada funcin. dx
9,/(x) ~ x3 11. /(x) = x~4
1 3 . /(x) * - ~ r
JL3.5. - x 4
19. j(x) =
2i. /r*i 1
10. f(x) - X5 12 .f(x) = x32!/(*) - ~ r
S.fx) - x 3 18./Tx) = V ?
_3_20. /(x) ~ X~ 5
22. #*) * 1
30. = ;>- + 5;i
31, nx = x^ -3 '
32. f(x) = - x4:7
3 j , W - n>v-" + X;
34, tV ~ r + x^ ;
135. nV *x + x:
38. /V; = - ^ x4 Sr X3;
en x 1
en x = 1
en x - 2
en x = 2
en x 1
ien = ~
en x 0
RAZONAMIENTO. Escribir / si ~t ~ corresponde a la funcindx
v 5PR0BUMAS. Resolver23. La fu n cin /() t3 + 2f2 - t + 1 describe el funciona- j 37_ _. x^i + 2 miento de cierta mquina en segundos. Utilizar la aer- ;vada para determinar la ra2n de cambio instantneo para ; el funcionamiento de la mquina en t 4s. i 38. y = ~i~x2 + 124. La temperatura de cierto reactor qumico est dada por ; 4
1 l __iT(x) ~ -----2x. en la cual x es la presin del reactor. ; 39. u - ------- x 2
V x | 5Con qu rapidez cambia T en x - 9?
RAZONAMIENTO. Graficar cada funcin y dibujar la recta tangente a ella e n el punto dado.25. f[x) = 7x; en x - 226. jf(x) - 6x 2; en x - 2
27. /\x) = x3 -t'4 en x = ~ 1
28. /(x) = x3 -+- 5; en x 2 9. f(x) - 4x2 + 3; en x = 0
dada en cada caso y X si no, Justificar la respuesta.
= 8x2 + 2 dx
dy n
efe 2
dydx
dydx
1 JL x~ 210
6x2 + x2
du = 12X3 - 5x
dx
40. 1/ = 2X3 + X* 5
j 41: y = 3x4 - 5x + 2
j * PARA PENSAR.
I 42. Es posible que la derivada de una funcin, sea igual a I la derivada de otra funcin? Justificar con un
?s;n
-
Set. 3.1 Fundones 93
hTecnologa
FIGURA 3.1 Tabla fudoril;fev
i.-: * d i una funcin se calculan fcilmente con jora grfica. P f jemplo, suponga que:
r(x) = 17*4 ~ 13jt"+ 7, -
> csseamos encontrar'/(G .7), / ( 2.31) y /(1 0 ). ' -^2 caicuiadora TI'83, primero introducimos ia
com o Yt: , .
Y, = : 4 w - : 1 3 3 C 3- + 7. .
^manera su-a ld trodudm