geometria 2

C u r s o : MatemticaMaterial N 14

GUA TERICO PRCTICA N 11UNIDAD: GEOMETRA

CONGRUENCIA DE TRINGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOSCONGRUENCIA DE TRINGULOSDEFINICIN

Dos tringulos son congruentes si y slo si existe una correspondencia entre sus vrtices,de modo que cada par de lados y ngulos correspondientes sean congruentes.

EJEMPLOS

1. Los tringulos RST y XWZ de la figura 1, son issceles congruentes en ese orden, de baseRS y XW , respectivamente. Cul(es) de las siguientes proposiciones es (son)verdadera(s)?

I) TSR ZXW II) STR ZXWIII) SRT WZX

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Slo II y III

2. Los tringulos PQR y TNM de la figura 2, son escalenos. Si PQR TNM, entoncescul de las siguientes proposiciones es falsa?

A) PQ TNB) PR TMC) QR NMD) QRP NMTE) PQR TMN

R

P QA

C

B

R

ST

W Z

X

fig.1

R

P Q

fig. 2M

T

N

AB PQAC PRCB RQ

A PB QC R

ABC PQR

23. En la figura 3, si ABC PQR, entonces cul es el valor de x?

A) 4B) 7C) 12D) 15E) Falta informacin

4. En la figura 4, LMN HIJ, entonces los ngulos correspondientes a los MNL y NML,respectivamente, son

A) JIH y IJHB) IJH y JIHC) IHJ y JIHD) IJH y IHJE) HIJ y HJI

5. Si ABC PQR, AB = 3x + 2 y PQ = 5x 8, cul es el valor de AB ?

A) 5B) 10C) 15D) 17E) 18

6. Los tringulos ABC y DEF de la figura 6, son escalenos rectngulos en B y en F,respectivamente. Si ABC DFE, entonces cul de las opciones siguientes esverdadera?

A) BC DFB) AC FEC) ABC FDED) CAB EDFE) DE AB

7. Los tringulos ABC y DBE de la figura 6, son congruentes en ese orden, entonces lasuma de los trazos del contorno es

A) 21 cmB) 19 cmC) 18 cmD) 17 cmE) 16 cm

PA

BC RQ

fig. 37

10

15

x + 3

LM

N

J

H

I

fig. 4

A

CBD

F

E fig. 5

U

TA N

D

G3676

fig.5

A B

D

E

5 cm

3 cm

fig. 6

C

3L RM

S N

fig. 1

5 5

12

880 80

55 55

fig. 2

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS

EJEMPLOS

1. Los segmentos LN y RS (figura 1), se intersectan en M, tal que RM SM y LM MN ,entonces el LMS NMR por el criterio

A) ALAB) LALC) LLLD) LLA>E) AAA

2. Los tringulos escalenos de la figura 2, son congruentes por el criterio


ALA: Dos tringulos son congruentes si tienenrespectivamente iguales un lado y los dos ngulosadyacentes a ese lado.

LAL: Dos tringulos son congruentes cuando tienendos lados y el ngulo comprendido entre ellosrespectivamente iguales.

LLL: Dos tringulos son congruentes si tienen sustres lados respectivamente iguales.

LLA>: Dos tringulos son congruentes cuando tienedos lados y el ngulo opuesto al mayor de esoslados respectivamente iguales.

c

C

BA

c

C

BA

C

BA c

b a

c

C

BA

b a

C

BA c c

C

BA

b b b < c

c

C

BA

C

BA c

bb

48

101017 17

100 100

fig. 3

11 9

17 y + 50 x + 43x + 2 11

fig. 4y + 12

3. Los tringulos escalenos de la figura 3, son congruentes por el criterio


4. Los tringulos de la figura 4 son congruentes. Si x = 7 e y = 5, estos tringulos soncongruentes por el criterio


5. En la figura 5, DC AD y CB AB. Si DAC BAC, entonces el tringulo CAB escongruente con el tringulo DCA en su orden

A) ACDB) ADCC) CADD) DCAE) CDA

6. El tringulo ABC de la figura 6, es issceles de base AB , CD AB y AD DB .Entonces, cul(es) de los siguientes pares de tringulos es (son) congruentes en eseorden?

I) ADE con BDE II) AEC con BECIII) ADC con BDC

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) I, II y III

fig. 6

A D B

E

C

DC

BA

fig. 5

5C

A B

H

H = ORTOCENTRO (punto deinterseccin de las alturas)F

E

D

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIANGULO

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vrtice al lado opuesto o a suprolongacin.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, el ABC es equiltero y el DEA es rectngulo issceles CE es altura,entonces + + =

A) 105B) 120C) 135D) 150E) 165

2. En el MNO de la figura 2, H es el ortocentro. El ngulo MON mide 55 y el ngulo MNOmide 40, entonces el ngulo PHQ mide

A) 120B) 130C) 140D) 150E) Ninguno de los Anteriores

M

N

O

H

P

Q fig. 2

A B

C

E

fig. 1

D

6BISECTRIZ: Es el trazo que divide al ngulo en dos ngulos congruentes.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, CD es bisectriz del ngulo ACB. Cul es la medida del ngulo x?

A) 10B) 20C) 50D) 60E) 110

2. Si en un tringulo equiltero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dostringulos

A) issceles congruentes.B) acutngulos congruentes.C) issceles acutngulos congruentes.D) escalenos rectngulos congruentes.E) issceles rectngulos congruentes.

I = INCENTRO (punto deinterseccin de las bisectrices)

A B

C

I

x

60

A C

B

70 fig. 1D

7G = CENTRO DE GRAVEDAD(punto de interseccin de lastransversales de gravedad)

A D

F

B

C

G E

A D B

F E

C

G

fig. 2

TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une un vrtice con el punto medio del ladoopuesto.

OBSERVACIN: Si ABC es rectngulo en C, entonces CD = AD = DB .

EJEMPLOS

1. En el tringulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE BE . La medida delngulo x es

A) 40B) 70C) 80D) 90E) no se puede calcular.

2. En el tringulo equiltero de la figura 2, se trazan las transversales de gravedad.Entonces, es falso afirmar que

A) AEC AEBB) ECG DBGC) FCG DBGD) AGD CGEE) AGD CGB

xB C

A

E70

fig. 1

8 SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado deltringulo.

EJEMPLOS

1. En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS. Cul es la medida del x?

A) 139B) 90C) 51D) 49E) 41

2. En el MNO de la figura 2, C es el circuncentro, AC y BC son simetrales, el ngulo OMNmide 40 y el ngulo MNO mide 80, entonces el ngulo ACB mide

A) 140B) 130C) 120D) 110E) 100

x

49A B

C

49

fig. 1D

R

S

MN

O

A B

Cfig. 2

O = CIRCUNCENTRO(punto de interseccinde las simetrales)

A B

C

O

9FE // ABFD // BCDE // AC

A D B

F E

C

MEDIANA: Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del tringulo.

EJEMPLOS

1. En el tringulo PQR de la figura 1, PRQ = 80 y DE es mediana. Cunto mide el x?

A) 35B) 45C) 50D) 55E) 60

2. En el tringulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces el suplementode la suma de de las medidas de los ngulos MON y ONM es

A) 40B) 45C) 50D) 55E) 60

fig. 1

P D

E

Q

R

55 x

B

CO

N

A

M 75 50fig. 2

ADF DBE FEC EFD

10

ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRINGULO ISSCELES Y/O EQUILTERO

En todo tringulo issceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al ladodistinto.

En todo tringulo equiltero coinciden los elementos secundarios correspondientes acualquier lado. Adems, coinciden los puntos singulares.

EJEMPLOS

1. En un tringulo issceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al vrticeC. Si 2hc = AB , entonces se forman dos tringulos

A) equiltero congruentes.B) escalenos rectngulos congruentes.C) issceles rectngulos congruentes.D) acutngulos congruentes.E) escalenos no congruentes.

2. En el tringulo equiltero ABC de la figura 1, E es punto medio de AB y BD es bisectrizdel ngulo ABC. Cunto mide el suplemento de (x + y)?

A) 150B) 120C) 90D) 60E) 30

A D B

F E

C

G

30 30

3030 30

30

y

A E B

D

C

x

fig. 1

CD = hc = tc = bc = scAC BCAB BC

A

BD

C

11

O

L

G

JH

I40 fig. 5

3. En el tringulo PQR de la figura 2, si PRS SQP y PS es transversal de gravedad,entonces la medida del RSP es

A) 60B) 90C) 100D) 110E) 120

4. El ABC es issceles de base AB (fig. 3). Si se trazan las alturas AD y BE , cul(es) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) BEC ADCII) ADB EABIII) BAE ABD

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Slo I y III

5. El tringulo DEF de la figura 4, es issceles de base DF . Si R es punto medio de DF yDFE = 50, cunto mide el ngulo REF?

A) 25B) 30C) 40D) 50E) 80

6. El tringulo GOL de la figura 5, es issceles de base GO , H es el ortocentro yGLO = 40. Cunto mide el IHJ?

A) 140B) 120C) 100D) 70E) 50

R

P Q

S

fig. 2

C

E

A B

D

fig. 3

fig. 4

D E

F

R

12

EJERCICIOS

1. Dos tringulos issceles que tienen la misma medida de su base, son siemprecongruentes si

A) la altura de los 2 tringulos mide lo mismo.B) sus ngulos basales son agudos.C) el ortocentro de cada uno, queda en el interior del tringulo.D) en cada uno, los lados basales miden 5 cm.E) en cada uno, los ngulos basales miden lo mismo.

2. En el tringulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del ABC. Si CAB = 70 yBCA = 50, entonces cunto mide el ngulo x?

A) 30B) 50C) 60D) 70E) 100

3. En el tringulo SRT de la figura 2, TH es altura, = 110 y = 140. Cul es lamedida del ngulo x?

A) 20B) 30C) 50D) 60E) 70

4. En el tringulo ABC de la figura 3, AC CD DB . Cul es la medida del x?

A) 35B) 40C) 60D) 70E) 110

A B

C

D xfig. 1

T

S H R

x

fig. 2

xA C

B

D

35 fig. 3

13

5. En la figura 4, los puntos A, B y D son colineales, ABC DBE, = 36 y CBE = 20,cunto mide el DEB?

A) 20B) 36C) 64D) 108E) 116

6. En el tringulo ABC rectngulo en C de la figura 5, CD es altura. Cul es la medida delngulo x?

A) 140B) 135C) 125D) 115E) 100

7. Qu pareja(s) de tringulo(s) es(son) congruente(s)?

I) II) III)

A) Slo IIB) Slo I y IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

8. Cunto mide el x en el ABC de la figura 6, si DE es mediana?

A) 90B) 72C) 60D) 48E) 42

A B

C

D

Efig. 4

C E

BD

x

fig. 5

A

25

40

1510 150

1520150

C

A B

D

x fig. 6

72 2 E

5

730

5

730

115

1230

15012

65

14

9. En la figura 7, QRP DFE. Si QP PR , cunto mide el ngulo exterior HEF?

A) 62B) 64C) 74D) 106E) 116

10. Las siguientes figuras estn formadas por dos tringulos equilteros. En cul(es) de ellasse puede asegurar que los tringulos son congruentes?

I) II) III)

A) Slo en IB) Slo en IIC) Slo en IIID) Slo en II y IIIE) En ninguna de ellas

11. Los tringulos de la figura 8, son congruentes segn el criterio

A) LALB) LLAC) ALAD) LLLE) AAA

12. Los tringulos PQR y STU de la figura 9, son congruentes en ese orden. SiPQ = QR = 5 cm, VU = 3 cm y TV es transversal de gravedad, cunto mide PR ?

A) 2 cmB) 3 cmC) 4 cmD) 5 cmE) 6 cm

58

PQ

R

fig. 7F

H E D

4

3

fig. 8707

70

60 50

fig. 9

P Q

R

V

S T

U

15

13. En la figura 10, si el ABC es rectngulo en C y CD es altura, cules de las afirmacionessiguientes nos permiten asegurar que los tringulos ADC y BDC son congruentes en eseorden?

I) ABC issceles. II) AD DCIII) D punto medio de AB .

A) Slo I y IIB) Slo I y IIIC) Slo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas

14. En el tringulo ABC de la figura 11, rectngulo en C,CD es transversal de gravedad. SiCAD = 60, entonces el ngulo BCD mide

A) 40B) 30C) 25D) 20E) 5

15. Los tringulos de la figura 12, son congruentes por el(los) criterio(s)

I) LAL II) ALAIII) LLL

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) Slo II y III

A BD

Cfig. 11

C

A D B

fig. 10

fig. 12

16 10

15140

16

3015

140

16

16. En la figura 13, AD // BC y DC // AB . Cul(es) de las siguientes congruencias es (son)siempre verdadera(s)?

I) DEA BEC II) DEC DEAIII) DBC CAB

A) Slo IB) Slo IIC) Slo IIID) Slo I y IIE) Slo II y III

17. En qu tringulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos tringulos congruentes?

A) Rectngulo isscelesB) Issceles acutnguloC) Rectngulo escalenoD) EquilteroE) En ninguno

18. En el ABC de la figura 14, ED y FE son medianas de los lados AC y ABrespectivamente, entonces es falso

A) FEC DBEB) ADF FECC) CFE DEFD) DAE BDEE) FDE ECF

19. En el ABC de la figura 15, BC AD y CD DE , entonces 3 =

A) 75B) 60C) 45D) 30E) 15

A

D

Efig. 13

C

B

A B

C

D

EFfig. 14

B

C

A

115

E

D

fig. 15

17

fig. 1580

C

A

60

80B

F

E

D80

40

20. En cul de las alternativas se encuentra el dato que falta para afirmar que los tringulosABC y DEF de la figura 15, son congruentes en ese orden?

A) AB DEB) C FC) AC // DFD) B EE) No se requiere dato adicional

21. El ABC de la figura 16, es equiltero. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)siempre verdadera(s)?

I) EPD = 120 II) Si P punto medio de AB , entonces APE BPD.III) Si CE CD , entonces P es punto medio de AB .

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

22. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) Dos tringulos rectngulos que tienen un cateto respectivamente congruente, soncongruentes.

B) Si dos tringulos rectngulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.C) Si dos tringulos rectngulos tienen dos ngulos correspondientes congruentes, son

congruentes.D) Si dos tringulos rectngulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son

congruentes.E) Si dos tringulos rectngulos tienen un ngulo, respectivamente congruentes, son

congruentes.

23. Los tringulos ABD y ACD de la figura 17, son congruentes en ese orden por el criterio

A) LLLB) ALAC) LALD) LLAE) AAL

C

A B

D

fig. 16

E

P

DA

C

B

7

7

10

10

E

fig. 17

18

24. El PQR de la figura 18, es issceles de base PQ . Si el PRQ = 80, PS bisectriz delQPR y TQ es altura, entonces el valor de x es

A) 160B) 125C) 115D) 90E) 40

25. En la figura 19, PTR y SVQ son congruentes en ese orden. Cul(es) de las siguientesafirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) TR // VQ II) PR // SQIII) PT SV

A) Slo IB) Slo IIC) Slo I y IID) Slo I y IIIE) I, II y III

26. En el PQR de la figura 20, RS es altura y PS SQ . El PQR es equiltero si :

(1) PSR QSR(2) SPR = 60

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

27. En el MNP de la figura 21, se puede afirmar que los tringulos RON y ROP soncongruentes en ese orden si :

(1) R punto medio de NP .(2) MOP equiltero.A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

R

P Q

fig. 20

S

M NO

P fig. 21

R

fig. 19Q

S

V

P

T R

R

P Q

S

fig. 18T

x

19

28. En el tringulo PQR de la figura 22, S es punto medio de PQ . Se puede determinar queel PQR es issceles si :

(1) RS PQ(2)

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

29. Los tringulos ABC y BAD son congruentes en ese orden (fig. 23). Se puede determinar lamedida del BEA si :

(1) DAB = 40(2) CE EB DE EA

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

30. ADC BEC (fig. 24). El DEC es equiltero si :

(1) CAD = 30(2) ADC = 120

A) (1) por s solaB) (2) por s solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por s sola, (1) (2)E) Se requiere informacin adicional

fig. 23

A B

E

C D

fig. 24

A D E B

C

R

55P

QS

fig. 22

20

RESPUESTAS

EJERCICIOS PG. 12

DMONMA14

Puedes complementar los contenidos de esta gua visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

EjemplosPgs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 A E B B D D C3 y 4 B A D C C E5 C C6 B D7 D E8 B C9 B C

10 y 11 C E B E C A

1. E 11. C 21. E2. E 12. E 22. D3. A 13. D 23. A4. D 14. B 24. C5. C 15. C 25. E6. D 16. A 26. B7. D 17. D 27. D8. D 18. D 28. D9. E 19. C 29. A10. C 20. A 30. B

geometria 2

Documents