física 2º bachillerato vectores, campos, magnitudes vectoriales apuntes

Física. 2. Cálculo vectorial. Campos. 1

2. CÁLCULO VECTORIAL. CAMPOS.

Definiciones.

• Vector libre.– Segmento orientado en el espacio que queda determinado mediante un módulo, una dirección y un sentido. Vector deslizante.– Segmento orientado en el espacio que queda determinado mediante un módulo, una dirección, un sentido y una recta de aplicación. Vector fijo.– Segmento orientado en el espacio que queda determinado mediante un módu-lo, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

• Módulo de un vector.– Es la distancia entre su origen y su extremo, expresada en las unidades correspondientes a la magnitud representada por el vector. El módulo de un vec-tor a suele notarse

rar

ó a.

Vector unitario.– Aquél cuyo módulo es la unidad.

• Producto de un vector por un escalar.– ar

⋅λ es un vector de igual dirección que ar

y de módulo a⋅λ . Si λ > 0, su sentido es el mismo que el de a

r, y si λ < 0, su sentido es

contrario al de . ar

rDado un vector a , siempre es posible encontrar un vector unitario en la dirección y sentido de a , al que notaremos u , del siguiente modo:

rr

a

aa1ua

rr⋅=

• Suma de vectores libres.– La suma a brr

+ puede realizarse gráficamente mediante la regla del paralelogramo, que consiste en colocar el origen de b

r sobre el extremo de a

r y la

suma corresponde al vector que va desde el origen de ar

al extremo de r

: b

barr

+br

ar

El vector suele denominarse resultante de los vectores abarr

+r

y br

.

La resta a puede efectuarse realizando la suma brr

− ( )barr

−+ .

• Suma de vectores fijos paralelos.– Dados dos vectores fijos, F1

r y F2

r, paralelos y de

igual sentido, su resultante es un vector Rr

tal que:

– Su módulo es 21 FFrr

+ .

– Su dirección es la misma de F1

r y F2

r.

– Su sentido es el de 1Fr

y 2Fr

.


– Su punto de aplicación está situado en el segmento que une los puntos de apli-cación de 1F

r y 2F

r, y lo divide en dos partes inversamente proporcionales a sus mó-

dulos. Gráficamente, puede efectuarse como sigue:

A partir del origen de 2Fr

se dibuja el

vector AB , de igual módulo y dirección que 1F

r y de sentido opuesto a él.

A partir del origen de 1Fr

se dibuja el vec-

tor BA ′′ , de igual módulo, dirección y sentido que 2F

r.

Se dibuja el segmento . El punto de corte de los segmentos

BB ′AA ′ y es el

punto de aplicación de la resultante. BB ′

Si ambos vectores tienen sentidos contrarios, y llamamos 1Fr

al de mayor módulo y 2Fr

al de mayor, su resultante es un vector R

r tal que:

– Su módulo es 21 FFrr

− .

– Su dirección es la misma de 1Fr

y 2Fr

.

– Su sentido es el de 1Fr

. – Su punto de aplicación está situado en el segmento que une los puntos de apli-cación de 1F

r y 2F

r, y lo divide en dos partes inversamente proporcionales a sus mó-

dulos. Gráficamente, se efectúa de modo similar al caso anterior.

• Componentes de un vector.– Son las proyecciones del vector sobre los ejes de co-ordenadas. Dada una base de vectores unitarios ortonormales } , ,{ kji

rrr, que son los vectores

unitarios en el sentido positivo de los ejes X, Y, Z de un sistema de coordenadas cartesia-no, las componentes de un vector a

r suelen notarse xa

r, yar

, zar

.

Todo vector ar

puede expresarse como kajaiaaaaa zyxzyx

rr rr rr r. ⋅+⋅+⋅=++=

Nótese que ax, ay, az no representan los módulos de xar

, yar

, zar

, ya que pueden ser núme-ros negativos. A menudo, ax, ay, az también se denominan “componentes de a

r”.

Se cumple que:

( ) ( ) ( ) kajaiaa zyx

rrrr⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ=⋅λ

( ) ( ) ( ) kbajbaibaba zzyyxx

rrrrr⋅++⋅++⋅+=+


• Cosenos directores de un vector.– Son los cosenos de los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes de coordenadas.

Producto escalar.

• Se define como:

θ⋅⋅=⋅ cosbabarr

, siendo: θ ≡ ángulo formado por a

r y b .

• Se cumple que:

– zzyyxx babababa ⋅+⋅+⋅=⋅rr

– bub

ba rrr

⋅⋅ es la proyección de a

r sobre b

r, siendo bu

r un vector unitario con la di-

rección y sentido de b . r

– Si, y sólo si, ar

y b son perpendiculares se cumple que r

barr

⋅ = 0.

• El producto vectorial permite demostrar las siguientes propiedades:

– 2z

2y

2x aaaa ++=

– ⎪⎩

⎪⎨⎧

γ⋅=β⋅=α⋅=

cosaacosaacosaa

z

y

x

, siendo:

α ≡ ángulo formado por ar

y el eje X; β ≡ ángulo formado por a

r y el eje Y;

γ ≡ ángulo formado por ar

y el eje Z.

– 1coscoscos 222 =γ+β+α

– θ⋅⋅⋅++=+ cosba2baba 22rr

Producto vectorial.

• El producto vectorial se define como: barr

∧

kbbaa

jbbaa

ibbaa

bayx

yx

xz

xz

zy

zy rrrrr⋅+⋅+⋅=∧

• Se cumple que:

– ( )abbarrrr

∧−=∧

– es un vector perpendicular a barr

∧ ar

y br

, cuyo sentido viene dado por la regla del destornillador y cuyo módulo es θ⋅⋅=∧ senbaba

rr, siendo θ ≡ ángulo formado

por ar

y . br


– barr

∧ es el área del paralelogramo determinado por ar

y br

.

– Si y 0arr

≠ 0brr

≠ , si, y sólo si, a0barrr

=∧r

y br

son paralelos.

– ( ) ( ) ( )bababarrrrrr

⋅λ∧=∧⋅λ=∧⋅λ .

– ( ) ( ) ( )cabacbarrrrrrr

∧+∧=+∧ .

• Sistema de referencia orientado positivamente.– Aquél en el que se cumple que kjirrr

=∧ , ikjrrr

=∧ , jikrrr

=∧ . Los siguientes sistemas de referencia están orientados positivamente:

Z Y X

YX X Z Y Z

Las leyes físicas se refieren siempre a sistemas de referencia orientados positivamente.

Momento de un vector.

• Momento de un vector fijo ar

respecto de un punto P.– Se define como:

arMrrr

∧= , siendo: rr

≡ vector cuyo origen es P y cuyo extremo es el punto de aplicación de ar

. rr

se denomina vector de posición de ar

respecto de P.

• Teorema de Varignon.– El momento de la resultante de un conjunto de vectores fijos , , ..., , con un origen común, respecto de un punto P es igual a la suma de los

momentos de cada vector respecto de dicho punto: 1ar r r

2a na

∑ ∑= =

=∧n

1i

n

1iii Mar

rrr , siendo:

rr

≡ vector de posición de los vectores a1

r, a2

r, ..., an

r respecto de P;

ii arMrrr

∧= ≡ momento de cada vector ai

r respecto de P.

• Momento de un vector fijo respecto de una recta.– Se define como la proyección sobre dicha recta del momento del vector respecto de un punto cualquiera de la recta.

Par de vectores.

• Par de vectores.– Conjunto formado por dos vectores de igual módulo y dirección, sentidos opuestos y distintas rectas de aplicación:


• La resultante de un par de vectores es siempre nula.

• La suma del momento de cada vector respecto de un cierto punto se denomina momen-to del par de vectores. El momento del par de vectores es independiente del punto respecto del cual se calcule. Siempre daM ⋅=

Producto mixto.

• Producto mixto de tres vectores cbarrr

, , .– Se define como:

[ ] ( )cbacbarrrrrr

∧⋅= , , .

• Se cumple que [ ]cbar rr

, , es el volumen del paralelepípedo determinado por ar

, y br

cr

.

Derivadas parciales.

• Función real de n variables.– Se define como una aplicación , siendo S un subconjunto de .

ℜ→S:f nℜ

Ej: es una función real de 3 variables. ( ) senzxyxz,y,xf 2 ++=

• La derivada parcial de una función real de varias variables con respecto a la variable i es la derivada de esa función considerando que la única variable es i, y que las demás son constantes. Ej: Sea la función de 3 variables ( ) senzxyxz,y,xf 2 ++= .

– Derivada parcial de f respecto de x: 2y1xf

+=∂∂

– Derivada parcial de f respecto de y: xy2yf

=∂∂

– Derivada parcial de f respecto de z: zcoszf

=∂∂

• De forma análoga se pueden definir las derivadas parciales segunda, tercera, etc.

• El diferencial de una función de varias variables se define como la suma de todas sus derivadas parciales, multiplicadas cada una por el diferencial de la correspondiente varia-ble. Ej: Sea la función de 3 variables ( ) senzxyxz,y,xf 2 ++= .


El diferencial de f es:

( ) dzzcosdyxy2dxy1dzzfdy

yfdx

xfdf 2 ⋅+⋅+⋅+=⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

Derivación e integración de vectores.

• Derivada de un vector ar

respecto de un escalar λ.– Se define como:

ka

ja

iaa zyx

rrrr

⋅λ∂

∂+⋅

λ∂

∂+⋅

λ∂∂

=λ∂

∂

• Integral de un vector ar

según un escalar λ.– Se define como:

( ) ( ) ( ) kdajdaidada zyx

rrrr⋅λ⋅+⋅λ⋅+⋅λ⋅=λ⋅ ∫∫∫∫

Integrales de línea, de superficie y de volumen.

• En Física suelen emplearse integrales del tipo ∫ ⋅2

1

P

Prdarr

ó ∫ ∧2

1

P

Prdarr

, siendo ar

un

vector, kdzjdyidxrdrrrr

⋅+⋅+⋅= y P1 y P2 dos puntos del espacio. Estas integrales suelen descomponerse en tres para su resolución. Ej:

( ) ( )( )

( )

] ] .

,,

,,

9027729z3yx

dzz2dyydxx2kdzjdyidxkz2jyix2

63

26

0

303

2

6

3

6

0

20

3

660

303

2

=++−=+⎥⎦

⎤+=

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ∫∫∫∫rrrrrr

• Para poder calcular integrales de este tipo, a veces es necesario conocer el camino se-guido entre los puntos P1 y P2. En este caso, la integral se denomina de línea y se nota

( )∫ ⋅Γ2

1

P

Prdarr

, donde Γ representa a dicho camino, que viene definido por una ecuación.

Si los puntos P1 y P2 son el mismo, se dice que Γ es una línea cerrada, y la integral ante-rior se nota ( )∫ ⋅Γ rda

rr.

Para calcular integrales de línea, se expresan todas las variables en función de una de ellas o de un parámetro. Ejemplo:

( ) (( )

( )∫ ⋅⋅+⋅+⋅Γ

660

303

2 rdkz2jxixy2,,

,, ) rrrr

, siendo Γ la recta 3z2y

13x

−==−− .

De las ecuaciones de la recta se obtiene:

⎩⎨⎧

−=⇒+−=⋅−=⇒+−=

dxdz6xzdx2dy6x2y

Entonces:


( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )] .

,,

,,

27x12x3x2x6

3x4

dx12x2dxx2dxx12x4

dx6x2dx2xdx6x2x2

dzz2dyxdxxy2rdkz2jxixy2

03

20

3

30

3

23

0

3

0

3

20

3

2

0

3

0

3

20

3

6

3

6

0

20

3

660

303

2

=−+⎥⎦

⎤−+⎥

⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

=⋅−+⋅−+⋅+−=

=−⋅+−⋅+⋅−⋅+⋅+−⋅=

=⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅+⋅

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫ Γ

rrrr

También podrían haberse empleado las ecuaciones paramétricas de la recta:

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=⇒λ+=λ⋅=⇒λ=λ−=⇒λ−=

≡Γddz3zd2dy2yddx3x

P1(3,0,3) se obtiene cuando λ = 0; P2(0,6,6) se obtiene cuando λ = 3. Entonces:

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )] .

,,

,,

2724112

d24226d32d23d232

dzz2dyxdxxy2rdkz2jxixy2

30

23

3

0

23

0

3

0

23

0

6

3

6

0

20

3

660

303

2

=λ+λ−λ=

=λ⋅+λ−λ=λ⋅λ+⋅+λ⋅⋅λ−+λ−⋅λ⋅λ−⋅=

=⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅+⋅

∫∫∫∫

∫∫∫∫ Γ

rrrr

• También se emplean a veces integrales de superficie, que son integrales dobles en las que los límites de integración especifican entre qué valores varían las coordenadas que describen a la superficie.

Ej.– Calcular la integral de la función f(x) = x2 a través de la superficie limitada por el eje X, el eje Y, y la recta de ecuación x + y = 3.

La superficie es:

(0,3)(3,0)

La x varía entre 0 y 3. Para cada valor de x, la y varía entre 0 y –x+3. Entonces:

( ) ( )] ( )

4273x

4x

dx3xxdxyxdxdyxdSxf

3

0

34

3

0

23

0

3x0

23

0

3x

0

2

S

=⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

=⋅+−⋅=⋅⋅=⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅=⋅ ∫∫∫ ∫∫ +−+−

La integral coincide con el área de la superficie S. ∫S

dS

• De forma análoga se resuelven las integrales de volumen, que son integrales triples. La integral coincide con el volumen del cuerpo considerado. ∫

V

dV


Coordenadas cilíndricas y esféricas.

• Para especificar la posición de un punto en el espacio pueden usarse otras coordenadas además de las cartesianas (x, y, z).

Coordenadas cilíndricas.

• Son: ρ ≡ módulo de la proyección del vector de posición del punto sobre el plano XY; ϕ ≡ ángulo que dicha proyección forma con el eje X; z ≡ coordenada cartesiana z.

Z El vector que va desde el origen hasta un punto cualquiera viene dado por:

zuzurrrr

⋅+⋅ρ= ρ .

• Las coordenadas cartesianas y cilíndricas están relacionadas mediante las siguientes ecuaciones:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ϕ⋅ρ=ϕ⋅ρ=

zzsenycosx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=ϕ

+=ρ

zzxyarctg

yx 22

• Los vectores unitarios asociados a las coordenadas cilíndricas son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⋅ϕ+⋅ϕ−=

⋅ϕ+⋅ϕ=

ϕ

ρ

cos

cos

ku

jisenu

jseniu

z

rr

rrr

rrr

Los vectores ϕρ uurr

y dependen del punto considerado.

• A veces, es más fácil calcular integrales de superficie o de volumen empleando co-ordenadas cilíndricas. Al emplear en una integral los diferenciales de las coordenadas cilíndricas es necesario introducir unos factores de escala: El factor de escala asociado a dρ es 1.

z

P

r

Y

ϕ ρ

X


El factor de escala asociado a dϕ es ρ. El factor de escala asociado a dz es 1.

Ej.– Calcular mediante integración el área de la circunferencia . 1yx 22 =+

La circunferencia tiene radio 1 y está centrada en el origen. Entonces, se puede obtener haciendo variar ρ entre 0 y 1 y ϕ entre 0 y 2π. Por tanto, su área es:

( )] ] π=ρ⋅π=ρ⋅π=ρ⋅ϕ⋅ρ=ρ⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ϕ⋅ρ== ∫∫∫ ∫∫ ππ 1

021

0

1

0

20

1

0

2

0s

2ddddSS .

Coordenadas esféricas.

• Son: r ≡ módulo del vector de posición del punto; θ ≡ ángulo formado por el vector de posición con el eje ; ϕ ≡ ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano XY forma con el eje X.

rθ

El vector que va desde el origen hasta un punto cualquiera viene dado por: . rurr

rr⋅=

• Las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas mediante las siguientes ecuaciones:

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ⋅=ϕ⋅θ⋅=ϕ⋅θ⋅=

cosrzsensenrycossenrx

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=ϕ

+=θ

++=

xyarctg

zyx

arctg

zyxr22

222

• Los vectores unitarios asociados a las coordenadas esféricas son:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅ϕ+⋅ϕ−=

⋅θ−⋅ϕ⋅θ+⋅ϕ⋅θ=

⋅θ+⋅ϕ⋅θ+⋅ϕ⋅θ=

ϕ

θ

jisenu

ksenjseniu

kjsensenisenur

rrr

rrrr

rrrr

cos

coscoscos

coscos

Los vectores ϕθ uuur

rrry , dependen del punto considerado.


• Para emplear los diferenciales de las coordenadas esféricas en el cálculo integral se emplean los siguientes factores de escala: El factor de escala asociado a dr es 1. El factor de escala asociado a dθ es r. El factor de escala asociado a dϕ es θ⋅ senr .

Ej.– Calcular mediante el uso de integrales el volumen de una esfera de radio R. La consideraremos centrada en el origen. Entonces, la esfera puede obtenerse haciendo variar r entre 0 y R, θ entre 0 y π y ϕ entre 0 y 2π. Por tanto, su volu-men es:

( )]

( )]

3

R

0

3R

0

2R

0 02R

0 0

2

R

0 0

20

2R

0 0

2

0

2

V

R34

r34drr4drcosr2drdsenr2

drdsenrdrddsenrdVV

⋅π=

=⎥⎦⎤⋅π=⋅π=⋅θ−⋅⋅π=⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ θ⋅θ⋅⋅π=

=⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ θ⋅ϕ⋅θ⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ϕ⋅θ⋅==

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ππ

π ππ π

Campos escalares y vectoriales.

• Campo.– Magnitud física, definida en una determinada región, cuyo valor depende de la posición y del tiempo. Si sólo depende de la posición y no del tiempo, se dice que el campo es estacionario. Los campos pueden ser escalares o vectoriales, según sea la magnitud física a la que se refieren. Dado un campo escalar, se denomina superficie equiescalar a toda superficie en cuyos puntos la magnitud toma un mismo valor.

• Gradiente de un campo escalar.– Dado un campo escalar definido por la función f(x, y, z), se define su gradiente como:

kzfj

yfi

xff

rrrr⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=∇

La dirección del gradiente es aquélla en la que la variación de la función es máxima, y su sentido es el de crecimiento de la función. El gradiente es perpendicular en cada punto a las superficies equiescalares. Cuando un campo vectorial a

r puede ser expresado como el menos gradiente de un

campo escalar f, es decir, cuando fa ∇−=rr

, se dice que ar

deriva de f.

• Flujo de un campo vectorial a través de una superficie.– Dados un campo vec-torial y una superficie S, se define el flujo de ( zyxa ,, )r

ar

a través de S como la integral de superficie de la componente de a

r perpendicular a S:

∫ ⋅=ΦS

a Sdarr

, siendo:


ndSSdrr

⋅= , donde es un vector unitario perpendicular a la superficie. Si S es una superficie abierta, el sentido de puede ser el que queramos; si es una superficie cerra-da, el sentido de n

r debe tomarse hacia fuera de ella.

nr

nr

• Divergencia de un campo vectorial.– Dado un campo vectorial , se de-fine su divergencia como:

( zyxa ,, )r

za

ya

xa

a zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇rr

• Circulación de un campo vectorial entre dos puntos a lo largo de una línea.– Dados el campo vectorial a

r, los puntos P1 y P2 y la línea Γ, que une ambos puntos, se

define la circulación de ar

entre P1 y P2 a lo largo de la línea Γ como la siguiente inte-gral de línea:

( ) rdaC 2

1

P

P

rr∫ ⋅= Γ

• Campo conservativo.– Dado un campo vectorial, se dice que es conservativo cuando su circulación entre dos puntos no depende de la línea a lo largo de la cual se calcule. Es decir, ( ) ( )21 PfPfC −= cualquiera que sea la línea que une ambos puntos. Se cumple que:


deriva de un campo escalar, entonces es conservativo. Dicho campo escalar es f.


es un campo conservativo, entonces 0rda =⋅∫rr

. Es decir, que la circulación de un campo conservativo a lo largo de cualquier línea cerrada es ce-ro.

• Rotacional de un campo vectorial.– Dado un campo vectorial , se defi-ne su rotacional como:

( zyxa ,, )r

ky

ax

aj

xa

za

iz

ay

aa xyzxyz

rrrrr⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=∧∇

• Laplaciana de un campo escalar.– Dado un campo escalar definido por la fun-ción f(x, y, z), se define su laplaciana como la divergencia de su gradiente:

( ) 2

2

2

2

2

2

zf

yf

xfff

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇∇=Δrr

física 2º bachillerato vectores, campos, magnitudes vectoriales apuntes

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