fatla teoría de vectores [modo de compatibilidad]
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Elaborado por: Ing. Inés Cedeño EN ÉL, CUALQUIER PUNTO ESTÁ REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (X,Y,Z) OTRO SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO ES EL DE COORDENADAS POLARES PLANAS AQUÍ, UN PUNTO ES REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (r,θ) EN ESTE SISTEMA ENCONTRAMOS TRES EJES COORDENADOS, EL EJE X, EL EJE YY EL EJE Z ) , , ( z y x r Elaborado por: Ing. Inés Cedeño x y zTRANSCRIPT
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
SISTEMAS DE COORDENADAS
NOS PERMITEN RELACIONAR ALGUNOS ASPECTOS DE LA FÍSICA CON POSICIONES EN EL ESPACIO
EXISTEN VARIOS SISTEMAS DE COORDENADAS, EL QUE MÁS UTILIZAREMOS ES EL SISTEMA DE
COORDENADAS CARTESIANAS
EN ESTE SISTEMA ENCONTRAMOS TRES EJES COORDENADOS, EL EJE X, EL EJE Y Y EL EJE Z
OTRO SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO ES EL DE COORDENADAS POLARES PLANAS
EN ÉL, CUALQUIER PUNTO ESTÁ REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (X,Y,Z)
AQUÍ, UN PUNTO ES REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (r,θ)
ALGEBRA VECTORIAL
),( θr
θr
),,( zyx
x
y
z
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
1) CANTIDAD ESCALAR
ESTÁ ESPECIFICADA POR UN VALOR CON LA UNIDAD APROPIADA
EJEMPLOS: TEMPERATURA (T) – VOLUMEN (V) –MASA (m O M) – TIEMPO (t)
ESTE TIPO DE CANTIDADES PUEDEN TENER UN VALOR POSITIVO, UN VALOR NEGATIVO O PUEDEN SER CERO
SUS OPERACIONES MATEMÁTICAS SE REALIZAN UTILIZANDO LAS REGLAS DE LA ARITMÉTICA
ALGEBRA VECTORIAL
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
LA TEMPERATURA PUEDE SER POSITIVA (30 ºC), PUEDE SER NEGATIVA (-5 ºC) Y PUEDE SER CERO (0 ºC)
MIENTRAS QUE EL TIEMPO, PUEDE SER CERO O POSITIVO (3 min)
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
2) CANTIDAD VECTORIAL
ES AQUELLA QUE POSEE TANTO MAGNITUD COMO DIRECCIÓN Y SENTIDO. ES DECIR, ES UN VECTOR
EJEMPLOS: VELOCIDAD (v) – DESPLAZAMIENTO (∆r) – FUERZA (F)
(AQUÍ DENOTAREMOS A LOS VECTORES CON UNA LETRA EN AMARILLO O CON UNA LETRA Y UNA FLECHA ARRIBA)
ESTE TIPO DE CANTIDAD SE REPRESENTA CON UNA FLECHA
EJEMPLO:
Ar
ORIGEN
EXTREMO O PUNTA
ALGEBRA VECTORIAL
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
a) MAGNITUD O MODULO: REPRESENTA EL TAMAÑO DEL VECTOR Y SIEMPRE ES UN VALOR POSITIVO
SE DENOTA CON LA LETRA DE LA MAGNITUD FÍSICA SIN LA FLECHA O CON LA NOTACIÓN DEL VECTOR, ENTRE BARRAS
DE VALOR ABSOLUTO
EJEMPLO:
Fr
VECTOR:
MAGNITUD O MODULO: F O Fr
ALGEBRA VECTORIAL
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Fr
F
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
b) DIRECCIÓN: PUEDE SER HORIZONTAL, VERTICAL O INCLINADA
c) SENTIDO: PUEDE SER HACIA LA DERECHA, HACIA LA IZQUIERDA, HACIA ARRIBA, HACIA ABAJO, SALIENDO DE LA HOJA, ENTRANDO A
LA HOJA, ENTRE OTROS
GENERALMENTE, TANTO LA DIRECCIÓN COMO EL SENTIDO DEL VECTOR, SE ENGLOBAN EN UN SOLO TÉRMINO DENOMINADO DIRECCIÓN, Y ES REPRESENTADO POR UN ÁNGULO
ALGEBRA VECTORIAL
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR:
X
SIMBOLO QUE INDICA QUE UNVECTOR ESTÁ SALIENDO DE LA HOJA
SIMBOLO QUE INDICA QUE UNVECTOR ESTÁ ENTRANDO A LA HOJA
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
¿DE QUÉ MANERAS PODEMOS REPRESENTAR A UN VECTOR?
EN ESTE CURSO, LO REPRESENTAREMOS DE 2 FORMAS:
1) CON SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN (ÁNGULO)
EJEMPLO:MAGNITUD: 3 NDIRECCIÓN: 65º EN SENTIDO ANTIHORARIO
A PARTIR DE +X
2) CON SUS COMPONENTES
ESTA REPRESENTACIÓN LA EXPLICAREMOS A CONTINUACIÓN
ALGEBRA VECTORIAL
COMPONENTES DE UN VECTOR
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
SI UN VECTOR ESTÁ REPRESENTADO A TRAVÉS DE SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN, ES POSIBLE REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE
COORDENADAS CARTESIANO DE LA SIGUIENTE MANERA:
AX Y AY SON LAS COMPONENTES DEL VECTOR A
LA FIGURA MUESTRA QUE AL TRAZAR LAS LÍNEAS PARA OBTENER LAS PROYECCIONES DEL VECTOR (LÍNEAS SEGMENTADAS), SE FORMAN
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CON CUALQUIERA DE LOS TRIÁNGULOS, ES POSIBLE DETERMINAR EL VALOR DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR.
A ESTE PROCEDIMIENTO LO LLAMAMOS “DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR”
EN ESTE CASO EL VECTOR ESTÁ EN EL PLANO, PERO PUEDE ESTAR EN EL ESPACIO, MÁS
ADELANTE EXPONDREMOS ESTA SITUACIÓN
Ar
xAr
YAr
x
y
θ
ALGEBRA VECTORIAL
COMPONENTES DE UN VECTOR
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
EN BASE AL TRIÁNGULO FORMADO POR A, AX Y LA LÍNEA SEGMENTADA VERTICAL, CALCULAREMOS LAS MAGNITUDES DE
LAS COMPONENTES DEL VECTOR A
ESTAS ECUACIONES DEPENDEN DEL ÁNGULO QUE SE CONOZCA, POR LO QUE ES MUY IMPORTANTE APRENDER A DEDUCIR DICHAS ECUACIONES, ANTES DE MEMORIZARLAS
A
A
h
OCSen Y==
..θ
A
A
h
ACCos X==
..θ
ALGEBRA VECTORIAL
COMPONENTES DE UN VECTOR
Ar
xAr
YAr
x
y
θ
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
COMPONENTES DE UN VECTOR
EL PROCEDIMIENTO QUE REALIZAMOS EN LA PARTE ANTERIOR NO ES MÁS QUE LA TRANSFORMACIÓN DE UN TIPO DE
REPRESENTACIÓN DEL VECTOR (MAGNITUD-DIRECCIÓN), A LA REPRESENTACIÓN DEL VECTOR A TRAVÉS DE SUS COMPONENTES
ALGEBRA VECTORIAL
TAMBIÉN ES POSIBLE REALIZAR EL PROCESO INVERSO; PASAR DE LAS COMPONENTES A LA MAGNITUD-DIRECCIÓN
LAS COMPONENTES DEL VECTOR AX Y AY, REPRESENTAN LOS CÁTETOS DEL TRIÁNGULO,
APLICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS:
Ar
xAr
YAr
x
y
θ
MAGNITUD:
DIRECCIÓN:
22 CACOh +=
X
Y
A
A
CA
COTg ==θ
22
YX AAA +=r
⇒
⇒
= −
X
Y
A
ATg 1θ
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
LAS CANTIDADES VECTORIALES SUELEN REPRESENTARSE EN TÉRMINOS DE VECTORES UNITARIOS
UN VECTOR UNITARIO ES AQUEL QUE TIENE UNA MAGNITUD IGUAL A UNO, Y NO TIENE DIMENSIONES (ES ADIMENSIONAL)
ESTOS VECTORES SON UTILIZADOS PARA ESPECIFICAR UNA DIRECCIÓN DETERMINADA
EXISTEN TRES VECTORES UNITARIOS QUE SE ENCUENTRAN DIRIGIDOS HACIA LA PARTE POSITIVA DE LOS EJES
COORDENADOS X, Y, Z.
UN VECTOR REPRESENTADO CON SUS COMPONENTES, USA ESTOS VECTORES UNITARIOS, DE LA SIGUIENTE MANERA:
ALGEBRA VECTORIAL
VECTORES UNITARIOS
ir
x
y
z
jr
kr
SON DENOTADOS COMO ,COMO SE MUESTRAkjirrr
,,
kAjAiAA ZYX
rrrr++=
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
POR OTRA PARTE, A CUALQUIER VECTOR LE PODEMOS DETERMINAR SU VECTOR UNITARIO
ES DECIR, AQUEL VECTOR CON MAGNITUD UNO Y QUE APUNTARÁ HACIA DONDE APUNTE EL VECTOR DE DONDE SE OBTUVO ESTE VECTOR UNITARIO
EL VECTOR UNITARIO DE CUALQUIER VECTOR SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE MANERA:
DADO EL VECTOR:
, DONDE
ALGEBRA VECTORIAL
VECTORES UNITARIOS
kBjBiBB ZYX
rrrr++=
(VECTOR UNITARIO DEL VECTOR B), SE DETERMINA ASÍ:,Bur
B
BuB r
rr=
222
ZYX BBBB ++=r
222
ZYX
ZYXB
BBB
kBjBiBu
++
++=
rrrr
⇒
Aur
Ar
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
REPRESENTAN LOS COSENOS DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR UN VECTOR QUE SE ENCUENTRA EN EL ESPACIO
(TRIDIMENSIONAL), Y CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS
ESTOS COSENOS DIRECTORES ESTÁN RELACIONADOS DE LA SIGUIENTE MANERA:
RECUERDA QUE:
ALGEBRA VECTORIAL
COSENOS DIRECTORES
222
ZYX CCCC ++=r
1222 =++ γβα CosCosCos
C
CCos X
r=αC
CCos Y
r=β
C
CCos Z
r=γβ
x
y
z
α
γ Cr
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
DOS VECTORES SON IGUALES SI Y SÓLO SI TIENEN:
LA MISMA MAGNITUD, LA MISMA DIRECCIÓN Y EL MISMO SENTIDO
DEL GRUPO DE VECTORES QUE SE MUESTRAN, ¿CUÁLES SON IGUALES ENTRE SI?
ALGEBRA VECTORIAL
IGUALDAD DE DOS VECTORES
Ar
Br
Cr
Dr
Er
Fr
Gr
A = C, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO
D Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD
B Y F SÓLO TIENEN IGUAL LA DIRECCIÓN
D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO
G Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño
EL VECTOR OPUESTO DE OTRO VECTOR, ES AQUEL QUE TIENE LA MISMA MAGNITUD Y LA MISMA DIRECCIÓN, PERO SENTIDOS CONTRARIOS
ALGEBRA VECTORIAL
VECTOR OPUESTO
A Y C, SON VECTORES OPUESTOS
B Y F TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO
Ar
Br
Cr
Dr
Er
Fr
Gr
D Y E TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
E Y G TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD
Elaborado por: Ing. Inés Cedeño