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Colegio San Pedro Nolasco. Concepción. Dpto. Matemáticas.

Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos o más factores (o divisores). Ejemplo : Factoriza 20 en dos de sus divisores : 4 · 5, es decir 20 = 4 ⋅ 5 ¿ Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica ? Cuando realizamos las multiplicaciones:

i) 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x ii) (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. Existen varios casos de factorización: 1. FACTOR COMUN MONOMIO: Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio: Ejemplo N° 1: ¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z) Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10ac El factor común entre los coeficientes es “5” y entre los factores literales es “a” : por lo tanto 5a2 - 15ab - 10ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c ) Ejemplo N° 3 : ¿Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 El factor común es “ 6xy “ porque

6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) Realiza tú los siguientes ejercicios:

Nombre : __________________ Curso: 2o ___ ___/___/___

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Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios:

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =

7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =

9. b4- b3 = 10. 4a3bx - 4bx =

11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20. =− 22 xy98yx

43

21. =+−+ 24524332 ba161ba

81ba

41ba

21

22. =−+− ba2516ba

158ab

512ba

354 3322

2. FACTOR COMUN POLINOMIO : Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión: EJEMPLO N° 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) = = ( a + b )( x + y ) EJEMPLO N° 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b(m - 2n ) = = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b ) EJERCICIOS.

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

25. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

31. a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

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Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

3. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO. Se trata de extraer un doble factor común. EJEMPLO N°1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q ) EJERCICIOS :

33. a2 + ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =

35. ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 =

37. am - bm + an - bn = 38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

39. 3x2 - 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =

41. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 42. a3 + a2 + a + 1 =

43. ac - a - bc + b + c2 - c =

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

45. ax - ay - bx + by - cx + cy =

46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

48. =−++−− zxyzxyxzx 753

143

10421

415 2

49. =+−− bnbmanam5

1654

38

32

Factorización de BINOMIOS: 4. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:

EJEMPLO: Factorizar BINOMIO 9x2 - 16y2 = Recordemos: 22 )()())(( bababa −=−+ (suma por su diferencia) Factorizando ))(()()( 22 bababa −+=−

Luego se tiene: 22

22

)4()3()43)(43(169

yxyxyxyx

−

−+=−

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Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

EJERCICIOS:

50. 9a2 - 25b2 = 51. 16x2 - 100 =

52. 4x2 - 1 = 53. 9p2 - 400q2 =

54. 36m2n2 - 25 = 55. 49x2 - 64t2 =

56. 169m2 - 196 n2 = 57. 121 x2 - 144 k2 =

58. =− 22 b3649a

259 59. =− 44 y

169x

251

60. 3x2 - 12 = 61. 5 - 180f2 =

62. 8y2 - 18 = 63. 3x2 - 75y2 =

64. 45m3n - 20mn = 65. 2a5 - 162 a3 =

Factorización de TRINOMIOS: 5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 = Recordemos: 222 )()(2)()( bbaaba +⋅±=± (cuadrado de binomio) Factorizando 222 )()()(2)( babbaa ±=+⋅±

Luego se tiene: 22

22

)5()53(2)3()53(25309

+⋅⋅−

−=+−

xxxxx

EJERCICIOS: 66. b2 - 12b + 36 = 67. 25x2 + 70xy + 49y2 =

68. m2 - 2m + 1 = 69. x2 + 10x + 25 =

70. 16m2 - 40mn + 25n2 = 71. 49x2 - 14x + 1 =

72. 36x2 - 84xy + 49y2 = 73. 4a2 + 4a + 1 =

74. 1 + 6a + 9a2 = 75. 25m2 - 70mn + 49n2 =

76. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 77. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

78. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

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Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

6. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede factorizar en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso: EJEMPLO N° 1. Factorizar x2 + 6x + 5 = Recordemos: ))(()()())(( 2 cbacbacaba +⋅++=++ (binomio con término común) Factorizando ))(())(()()( 2 cabacbacba ++=+⋅++ Luego buscamos: 5))(( =cb y 6)( =+ cb “dos números multiplicados nos den 5 y sumados nos den 6 “, se tienen

5)1)(5( = y 6)15( =+ , por lo tanto, los números son “5” y “1”.

)1)(5()15()()1)(5(56

2

2

+⋅++

++=+⋅+

xxxxxx

EJEMPLO Nº 2 : Factorizar x2 + 4xy - 12y2 Recordemos 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2: x · x 2º Hallar los factores de 12y2 , éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y ó 4y · -3y ó -4y · 3y ó 12y · -y ó -12y · y pero la suma debe ser +4y , luego servirán 6y y -2y, es decir x2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y ) EJERCICIOS : Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:

79. x2 + 4x + 3 = 80. a2 + 7a + 10 =

81. b2 + 8b + 15 = 82. x2 - x - 2 =

83. r2 - 12r + 27 = 84. s2 - 14s + 33 =

85. h2 - 27h + 50 = 86. y2 - 3y - 4 =

87. x2 + 14xy + 24y2 = 88. m2 + 19m + 48 =

89. x2 + 5x + 4 = 90. x2 - 12x + 35 =

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Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX2+ BX + C EJEMPLO Factoriza 2x2 - 11x + 5 1º multiplicamos (2)(5) = 10. 2º Se buscan “dos números que multiplicados nos den 10 y sumados -11” Luego se tiene: (-10)(-1) = 10 y ( -10 -1 ) = -11 , esto sólo para escribir -11x como -11x = -10x – x. Ahora tenemos 2x2 - 11x + 5 = 2x2 -10x – x + 5

Factor común por agrupamiento= 2x( x – 5 ) – ( x – 5 )

Factor común polinomio = ( x – 5 )( 2x – 1 )

EJERCICIOS:

91. 5x2 + 11x + 2 = 92. 3a2 + 10ab + 7b2 =

93. 4x2 + 7x + 3 = 94. 4h2 + 5h + 1 =

95. 5 + 7b + 2b2 = 96. 7x2 - 15x + 2 =

97. 5c2 + 11cd + 2d2 = 98. 2x2 + 5x - 12 =

99. 6x2 + 7x - 5 = 100. 6a2 + 23ab - 4b2 =

101. 3m2 - 7m - 20 = 102. 8x2 - 14x + 3 =

103. 5x2 + 3xy - 2y2 = 104. 7p2 + 13p - 2 =

105. 6a2 - 5a - 21 = 106. 2x2 - 17xy + 15y2 =

107. 2a2 - 13a + 15 =

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS:

108. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 109. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

110. b2 - 3b - 28 = 111. a2 + 6a + 8 =

112. 5a + 25ab = 113. bx - ab + x2 - ax =

114. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 115. ax + ay + x + y =

116. 8x2 - 128 = 117. 4 - 12y + 9y2 =

118. x4 - y2 = 119. x2 + 2x + 1 - y2 =

120. (a + b )2 - ( c + d)2 = 121. a2 + 12ab + 36b2 =

122. 36m2 - 12mn + n2 = 123. x16 - y16 =

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Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

8. FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS. 1. DIFERENCIA DE CUBOS : (a)3 – (b)3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejemplo : 8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2) 2. SUMA DE CUBOS: (a)3 + (b)3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1) 124 64 – x3 = 125 8a3b3 + 27 =

126 27m3 + 8n6 = 127 x6 – y6 =

128 278

81 3 +x = 129

6413 −x =

9. UNA APLICACIÓN DE LA FACTORIZACIÓN:

SIMPLIFICACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. 1° Simplificación de monomios:

82

4ab2 5

32a b

ab=

2° Simplificación de polinomios: Ejemplo 1 ( )( )

( )( ) 5x2x

5x5x5x2x

25x10x7x

2

2

−+

=−+++

=−

++

Ejemplo 2 ( )( )( ) x2

4x4xx2

4x4xx8x2

16x2

2 −=

+−+

=+

−

EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN : 130. =

cba60ba1253

72 131. =− 222

32

yx2yx2yx

132. =−

−−

16a20aa

2

2 133. =−

+•

+−

yyxy3xy

9x31x

2

2

134. =++

++

12x7x8x6x

2

2 135. =

−−

−+⋅

++

−−⋅

−+

++

14x5x4x3x

20x9x21x4x

3x2x10x7x

2

2

2

2

2

2

136. ( )( )( )( ) =++

−−⋅

−

+−⋅

−

++6a5x65x65a

25x3630a11a

25a25x60x36

2

2

2

2

no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR....... LUEGO SIMPLIFICAR

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Unidad: Factores y productos.

10. ADICION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON IGUAL DENOMINADOR: SE PROCEDE DE IGUAL MANERA QUE CON LAS FRACCIONES ARITMETICAS, ES DECIR CONSERVANDO EL DENOMINADOR Y SUMANDO LOS NUMERADORES (CUIDADO CUANDO PRECEDE UN SIGNO NEGATIVO, es conveniente colocar paréntesis al numerador)

137. =−−

−+

−−

−

4a3a

5a2

4a3a

a922 138. =

+−−

−+ b5a2

b25ab20ab5a2

a5 222

139. =−−

++− 2a

8a1

2aa2

140. =+−

+−+

12x

92x3x

141. =−+

++

−+

−−

−+

−

3x2x

x27

3x2x

x3x

3x2x

4x2

2

2

2

2

CON DISTINTO DENOMINADOR: (calculamos m.c.m, de todos los denominadores, por lo que es conveniente factorizarlos, por lo que el m.c.m serán todos los factores distintos, si están en potencia será la mayor potencia, si se repite se pondrá una vez)

EJEMPLO 1 : abc

abacbcc1

b1

a1 ++

=++

142. =−

+−

−+

6b4a4

3ba

2b2a3

143. =−

+−

m51m3

m22m

144. =+

−+

x125x2

x86x

145. ( )=

−+

−−−

242yx

xyx

x

EJEMPLO 2 : =−+

−−

++

− 15x2x

1x5x

23x

12

=+−

−−−++)5x)(3x(

)1x()3x(2)5x(1

)5x)(3x(

x2)5x)(3x(

1x6x25x+−

=+−

+−−++

146. =++−

1a3a2

7 147. =−+x35

x27

x

62

148. =+−

−−−

−−

−−+

6x5x

16xx3x2x3

2x4x5

2

2

149. =−+

−−+

+

24p5p

2

12pp

1p22

150. =−

−ba

a1 151. ( )

=−

−−

+−

−+

9x

1x63x

x3x1x

2

152. =−+

−+

−+−

++ 12xx

5x4

18x3x

9

24x10x

2222

A entretenernos!!!!!!!

Revisa tu texto de clase y desarrolla los ejercicios de Multiplicación y división de expresiones algebraicas.

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Guía: Factorización (repaso)

Unidad: Factores y productos.

EJERCICIOS MIXTOS

153. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−÷⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

a1

aa

11

2 154. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−÷⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−1x3

21

1x32

x

155. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++ a

44a

4a1

4a1 156. =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

++⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−2

5a

5a4a

10a7a

2a3a

1a 2

2

2

2

2

157. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+÷⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

b3

a2

a3b2

b2a3 158. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛÷⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− xy

201

cxy107

bxy52

axy43

159. =

−−

+

+−

1a

a1a

a

11a

1

2

2

11. ECUACIONES ECUACIONES FRACCIONARIAS:

Para resolver las ecuaciones fraccionarias es conveniente aplicar la siguiente propiedad:

az

ay

ax

=+ ⇒ x + y = z

Ejemplo 1 : Resolver 2x5

21x

2x−=

+

El mínimo común múltiplo es: 2x⋅(x + 1) y éste es el denominador común que debemos formar, así :

1)(x1)(x

2x5

1)(x2x1)(x2x

22x2x

1x2x

++

⋅−+⋅+⋅

⋅=⋅+

así, resulta que: 4x2 = 4x⋅(x + 1) – 5(x + 1) entonces 4x2 = 4x2 + 4x – 5x – 5 es decir, x = -5

Ejemplo 2 : 16x4

9x3x21x3

=−+

−−− se factoriza el 2º

denominador

1)3x2(2

9x3x21x3

=−

+−

−− /·2(2x-3) m.c.m

2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3) 6x - 2 - x - 9 = 4x - 6 luego x = 5

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Unidad: Factores y productos.

EJERCICIOS

160. 3x2

73x

5+

=+

161. ( ) 43

1x25

85

1xx

++

=++

162. 5x4

3

25x16

5x65x4

22 +

=−

+−

− 163. 3

x21

x1

1=

+

164. 2a

bxb

ax=

−+

− 165. 2=−+

+−−

axbx

bxax

166. b6

b13a3a3

b3xb2ax −

=+

−− 167. b

ax

x =−

168. 14

1x3

1x2x

=+

−−

+ 169. ( )a

ab

bxba

abax 22

=+−

−−

170. 15x101x6

97

6x48x3

3x25

−−

−=−−

−−

171. ( )( )2x1x8

1x3

2x4

−+=

+−

−

172. ( )21

267

4332

1252 2 −=

+−

+−− xx

xxx

173. 21x3x

3x1x

=+−

+−−

174. 6472

94441

327

2 +−

−−

=−−+

xx

xxx

175. 25x51x4

4x42x3

3x33x2

2x2x5

=−+

−−+

+−+

−−

176. 0c6

axc11b3cxb5

a2bxa7

=−

−−

−− 177. 1=++

abcx

acbx

bcax

178.

x8

11

x3

11

x1

31

x1

31

−

+=

+

−

Revisa tu texto de clases y desarrolla las actividades de planteamiento de problemas.