tipos de factorizaci+ôn 2 (2)

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

    1/17

    ISC.Vctor Andree Castillo Castaeda

    Realizar transformaciones

    Algebraicas 2

  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    Factorizacin 2

    Tipos de Factorizacin

    28/11/20112

    VACC_Centro de Bachillerato Tecnolgico

    Industrialy de Servicios No 9

  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    La factorizacin es un proceso que

    consiste en, dada una expresin

    algebraica(producto), encontrar los factores

    que la producen.Hemos explorado algunas formas de

    factorizacin; a continuacin se expondrn

    otros casos de este tipo de transformacin

    algebraica.

    28/11/20113

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    Factorizacin de un Trinomio

    de la forma ax2 + bx + c,

    cuando a=1 Consideremos el producto de dos binomios

    (x+m)(x+n);

    (x+m)(x+n) =

    x2+mx+nx+mn=

    x2+(m+n)x+mn;

    Hasta aqu, tenemos el producto de losbinomios; ahora podemos sustituir la literales dela siguiente forma:

    b = m + n c = mn (x + m)(x + n)=

    x2

    +bx+c

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    En seguida veremos lo explicado de manera

    inversa; podemos decir que es posible

    factorizar un trinomio de la forma

    x2+bx+c, de la siguiente manerax2+bx+c= (x + m)(x + n);

    siempre y cuando:

    b= m + n

    c = mn

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    Ejemplo 1Factorizar x2-x-42 , de donde se puedeconsiderar que c = -42 y b = -1.

    Ahora, debemos encontrar dos nmeros que

    multiplicados den como producto -42; los cualespueden ser:

    -6 y 7

    6 y -7

    14 y -3 -14 y 3

    21 y -2

    -21 y 2

    42 y -1 -42 y 1

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    Ejemplo 1Factorizar x2-x-42 , de donde se puedeconsiderar que c = -42 y b = -1.

    Ahora bien, de todas estas posibilidades, el nico

    par de nmero que sumados resultan -1, son 6 y-7

    Entonces: x2-x-42= (x+6)(x-7)

    Comprobacin:

    Para comprobar el resultado, es necesario que

    multipliquemos los factores. Si hemos

    factorizado correctamente la expresin, el

    producto deber ser el trinomio inicial:(x+6)(x-7)= x2 +6x-7x-42

    =x2 -x-42

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    Ejemplo 2Factorizar x2+12x+35 , de donde sepuede considerar que c = 35 y b = 12.

    Debemos encontrar los nmeros que,

    multiplicados, den 35; stos pueden ser: 1 y 35

    -1 y -35

    7 y 5

    -7 y -5

    En caso de ser nmeros enteros, todos los

    anteriores multiplicados dan 35, pero en este

    caso sumados deben dar 12. De esta manera:

    (1)+(35)=36; (-1)+(-35)=-36;(7)+(5)=12;

    (-7)+(-5)=-12Luego, los nmeros son 7 y 5

    Entonces x2+12x-35=(x+7)(x+5)

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    Factorizacin de un Trinomio

    de la forma ax2 + bx + c,

    cuando a1

    Para factorizar ax2 + bx + c, consideraremos

    una expresin distinta de ella; para facilitar

    el proceso, multiplicaremos por a para

    obtener:a(ax2 + bx + c)= a2x2 + abx + ac;

    La expresin que ahora tenemos es a

    veces mayor que el polinomio que vamos afactorizar. Podemos representar el producto

    que acabamos de obtener de la siguiente

    forma:

    (ax)2+b(ax)+ac= (ax)2+b(ax)+q

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    Observa que el polinomio que tenemos es de

    la forma del polinomio que factorizamos en

    el apartado anterior, por lo que es posible

    factorizarlo de manera semejante:

    En el apartado anterior:

    x2 + bx + c=(x+m)(x+n);

    b=x+m ;

    c=mc ;

    En este tipo de factorizacin:

    (ax)

    2

    +b(ax)+q=(ax+m)(ax+n);b=m+n ;

    c=mn ;

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    La factorizacin que hemos obtenido es

    vlida, excepto porque se obtuvo a partir de

    un polinomio a veces mayor al polinomio

    que intentamos factorizar. Para obtener lafactorizacin que buscamos debemos dividir

    la factorizacin entre a.

    En el Polinomio mayor:

    (ax)2+b(ax)+ac = (ax)2+b(ax)+q == (ax+m)(ax+n),

    Donde q= ac;

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

    12/17

    En el polinomio que factorizamos:

    ax2+bx+c = (a2x2+abx+ac)/a

    = ((ax) 2+b(ax)+ac)/a

    = ((ax) 2+b(ax)+q)/a

    = ((ax+m)(ax+n))/a

    Por lo tanto:

    ax2+bx+c = ((ax+m)(ax+n))/a

    Siempre y cuando:

    b=m+n y q=ac=mn

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    Ejemplo 1 Factorizar 5x2-11x+6

    Multiplicamos 5 por el polinomio

    original, por lo que obtenemos:

    25x2-11(5x)+30=(5x)2-11(5x)+30

    Buscamos dos nmeros que al mismo

    tiempo sumen -11 y su producto sea 30

    (-6)+(-5)= -11 y (-6)(-5)=30

    De donde (5x)2-11(5x)+30=(5x-5)(5x-6)

    Pero el polinomio es cinco vecesmayor al polinomio que pretendemos

    factorizar. Por ello:

    5x2-11x+6=(5x-5)(5x-6)=(5)(x-1)(5x-6)

    5 5 28/11/201113VACC_Centro de Bachillerato Tecnolgico

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  • 7/27/2019 TIPOS DE FACTORIZACI+N 2 (2)

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    Ejemplo 1 Entonces:

    5x2-11x+6=(5x-5)(5x-6)=(5)(x-1)(5x-6)

    5x2-11x+6=(x-1)(5x-6);

    5 5

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    Ejemplo 2 Factorizar 6x2+7x-3

    Multiplicando por 6 el polinomio

    original tenemos:36x2+7(6x)-18=(6x)2+7(6x)-18

    Ahora, buscando dos nmeros que almismo tiempo sumen 7 y que su productosea 18.

    De las 6 posibilidades que existen, slo 9y -2 satisfacen las dos condicionessimultaneamente, pues:

    (+9)+(-2)=7 y (+9)(-2)=-18;

    Entonces, (6x)2+7(6x)-18=(6x+9)(6x-2),pero el polinomio que hemos factorizadoes 6 veces mayor que el polinomio quepretendiamos factorizar. Por ello:

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    Ejemplo 236x2+7(6x)-18=

    (6x+9)(6x-2)=(3)(2x+3)(2)(3x-1) =>

    (6x+9)(6x-2)=(2x+3)(3x-1)6

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    Factoriza las siguientes expresiones:

    1. x2+7x+10=

    2. a2+6a+9=

    3. a2-a-30=

    4. y-11y+18=

    5. n2

    -n-2=6. b2-20b+100=

    7. a2-15a+56=

    8. y2-5y-24=

    9. b2-3b-24=

    10. 12-8x+x2=

    1. y2-9y+20=

    2. a2+a-2=

    3. x2-x-6

    4. x2-7a-18

    5. x2

    -5x-366. 20x2+x-1

    7. 21a2+11a-2

    8. 6x2-11ax-10a2

    9. -1-5a2-6a4

    28/11/201117

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