nòmeros · factorizaci n de trinomios cuadr ticos 59 ejercicios propuestos 61 ejercicios 62 4....

Matemáticas

TOMO I

NÚMEROS

CUARTO MEDIO B

Profesor José Salazar Pérez

2020

6

Prefacio 4Agradecimientos 51. Aritmética Básica 8

¡Bienvenido a PreuGauss! 92. Conjuntos Numéricos 11

Conjuntos numéricos y su relación 12Números Naturales y Enteros 14Ejercicios Propuestos 18Ejercicios 21Números Racionales 31Números Decimales 33Aproximación de números racionales 37Números Irracionales 38Números Reales 40Sucesiones (opcional) 40Ejercicios Propuestos 41Ejercicios 42

3. Productos Notables 54Productos Notables 55 Factorización 56 Factorización de trinomios cuadráticos 59Ejercicios Propuestos 61Ejercicios 62

4. Potencias y Raíces 73Potencias 74Raíces 74Orden 75 Racionalización 76Ejercicios Propuestos 77Ejercicios 78

ÍNDICE GENERAL

TOMO I NÚMEROS

7

5. Números Complejos 89Potencias de la unidad imaginaria 90Igualdad de números complejos 92Conjugado y módulo de un número complejo 93Notación 93Plano complejo 94Geometría en el plano complejo 95 Ejercicios Propuestos 97Ejercicios 98

A. Razones y Proporciones 108 Razones 109 Proporciones 109 Proporción Áurea 112 Ejercicios Propuestos 113 Ejercicios 115B. Porcentajes e Interés 126 Porcentajes 127 Operatoria con porcentajes 128 Interés 129 Ejercicios propuestos 131 Ejercicios 133C. Sumatorias 144 Definición 145 Propiedades de las sumatorias 145 Ejercicios 146Solucionario 147Nomenclatura 156Hoja de Respuestas 158

ARITMÉTICA BÁSICACAPÍTULO 1

10

• ProblemasCuando hablamos de un problema matemático no nos referimos a que te pidieron lavar la loza, perdiste el tiempo en Facebook, tu madre llegó y estás en problemas. No. Hablamos de una situación que podemos representar con lenguaje matemático, donde generalmente buscaremos descubrir los valores de una entidad desconocida. A esta la llamaremos la Incógnita o Variable, y el proceso para encontrarla gene-ralmente tiene cuatro pasos:

• Primer pasoLeer cuidadosamente el enunciado.

• Segundo pasoLeer cuidadosamente el enunciado. Lo ponemos dos veces porque es así de importan-te. La mayor cantidad de errores durante la PSU ocurren por falta de atención al leer el enunciado, tómate tu tiempo para entender el ejercicio antes de contestarlo.

• Tercer pasoDeterminar cuáles son las incógnitas del problema (por ejemplo: cantidades desco-nocidas, edades, etc). Una vez que las tengas completamente identificadas es reco-mendable hacer una lista, dibujo o esquema si el problema es más complejo. Estas incógnitas o variables deben ser identificadas asi que las identificamos con una le-tra, y para evitar confusiones es ideal que esta letra esté relacionada con lo que la incógnita representa. (por ejemplo: si las variables son las edades de Ana, Jorge y Pedro, entonces las variables que deberíamos usar son A, J y P).

• Cuarto pasoTranscribir el problema del enunciado a un lenguaje matemático identificando las re-laciones entre tus bautizadas Variables, de tal forma que puedas resolver el ejercicio.

CAPÍTULO 1 / ARITMÉTICA BÁSICA

CONJUNTOS NUMÉRICOSCAPÍTULO 2

12

Comenzaremos estudiando los conjuntos numéricos más conocidos y utilizados durante la enseñanza media. A continuación presentamos dichos conjuntos, junto a una breve descripción de cada uno de ellos, especificando los elementos que los componen y cómo reconocerlos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SU RELACIÓN

Partiremos por dar una lista con los conjuntos numéricos más conocidos y usados en la enseñanza media, los números naturales, los números cardinales, los números en-teros, los números racionales, los números irracionales, los números reales y finalmente los números complejos. A continuación presentamos una breve descripción de cada uno de ellos, especificando los elementos de los cuales se compone cada conjunto y como reconocerlos.

• Números Naturales (N)Se definen como aquellos que nos permiten contar elementos que conforman conjuntos no vacíos. Por ejemplo, 12 es un número natural, pues puede haber 12 lápices en un estuche, 12 huevos en una caja o 12 patos en una laguna. Mientras que 2,5 no lo es, pues una familia no puede tener dos hijos y medio.

• Números Cardinales (N0)Es el resultado de añadir el 0 al conjunto de los números naturales. Notemos que el cero no es un número natural, pues a pesar de que puede haber 0 lápices en un estuche, eso implicaría que el estuche estaría vacío (Y los naturales exigen que el conjunto no sea vacío).

• Números Enteros (Z)Consiste en el conjunto formado por los números naturales (N), unidos con sus inversos aditivos (N_) y el cero

}

}

}

N= {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}! = "− ∪ 0{ }∪"

TOMO I NÚMEROS

13

}

}

}

}

• Números Racionales (Q)Consiste en el conjunto de todos los núme-ros que se pueden escribir como una fracción de la forma a

b donde a,b∈! y b ≠ 0 .

• Números Irracionales (I)Consiste en el conjunto de todos los núme-ros cuya expansión decimal es infinita no periódica

• Números Reales (R)Consiste en el conjunto formado por los números racionales y los números irraciona-les

• Números complejos (C)Es el conjunto formado por todos los nú-meros que se pueden escribir como la suma entre un número real y el producto de un nú-

mero real por la unidad imaginaria i.

π = 3,1415...2 = 1,4142...

Símbolos matemáticos

Durante tu estudio, te encontrarás a menudo

con símbolos que relacionan conjuntos.

Aprender a interpretarlos y dominar su uso es

clave para tener éxito en la PSU. A continua-

ción te presentamos algunos de ellos:

∈: indica que el elemento pertenece al con-

junto. Ejemplo 2∈! se lee como “2 perte-

nece a “ e indica que el número 2 pertenece

al conjunto de los números racionales.

∪ : Unión de conjuntos. Cuando escribimos

A∪ B nos referimos al conjunto que incluye

tanto a los elementos de A como a los ele-

mentos de B.

∩ : Intersección de conjuntos. Cuando

escribimos A∩ B nos referimos al conjunto

que incluye a los elementos que pertenecen

simultáneamente a los conjuntos A y B.

Ejemplo: Si A es el conjunto formado por los

números 1, 2 y 4, mientras que B es el conjun-

to formado por los números 1, 2 y 3, entonces

será A∩ B el conjunto que contiene a los

números 1 y 2, mientras que A∪ B conten-

drá a los números y 1, 2, 3 y 4.

Un conjunto puede ser definido por extensión

(indicando todos sus elementos) o por com-

prensión (Indicando las propiedades que ca-

racterizan a sus elementos). Por ejemplo, el

conjunto de los números naturales menores

que 5 puede ser definido por extensión como

{1, 2, 3, 4}, mientras que se puede definir por

comprensión mediante los símbolos

x ∈! x < 5{ } (este grupo de símbolos

se lee “el conjunto de todos los elementos x

pertenecientes al conjunto tales que x es

menor que 5).

! = ab

a∈",b∈" \ 0{ }⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

! = a + bi a,b∈"{ }

R = Q∪ I

14

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

Profundizando en los conjuntos que acabamos de nombrar, partiremos con el conjunto de los Números Naturales. Intuitivamente, estos son los números que se usan en la vida diaria para contar cantidades concretas, y son los más simples que conocemos, pero el que sean simples no significa que no podamos encontrar estructuras interesantes en ellos, por ejemplo, Paridad y Primalidad.

• Paridad• Números pares: Son los números que se pueden escribir de la forma 2n. Hayinfinitos de ellos, y se escriben en la serie: 0, 2, 4, 6, ... , 2n, ... .

• Números impares: Son los números que se pueden escribir de la forma 2n + 1Tambien hay infinitos de ellos, y se pueden escribir en la serie: 1, 3, 5, 7, ... , 2n - 1, ... .

• Primalidad• Números Primos: Son aquellos que tienen exactamente dos divisores distintos.Ellos son: 2, 3, 5, 7, ...

• Números Compuestos: Son aquellos con más de dos divisores.

Teorema #1 Descomposición Única• El teorema fundamental de la aritmética, que con un nombre tan impresionante debe ser algo destacable, dice: “Todo número natural compuesto mayor que 2, se puede escribir como un único producto de números primos”

Esto significa que los números primos vienen a ser nuestros “ladrillos”; son los blo-ques básicos con los que construimos todos los números que conocemos, y en con-secuencia, la matemática que usaremos, entonces este teorema es el que garantiza la existencia de los números como los conocemos. Podemos darnos cuenta también que ciertos números se pueden escribir usando potencias.

Por ejemplo 8 = 2 · 2 · 2 = 23. Estas potencias siguen siendo una descomposición única, no existe otra forma de escribir el número 8 usando sólo números primos, excepto por el orden. Esa única forma de escribir cada número compuesto como multiplicación de números primos se llama la Descomposición Prima del número.Los números primos que componen esta descomposición, se llaman los Factores primos del número.

Esquema gráfico de los conjuntos

numéricos y su relación

CAPÍTULO 2 / CONJUNTOS NUMÉRICOS

CRIQ

ZN N{0}

0

TOMO I NÚMEROS

15

• Divisibilidad.Una vez entendido lo anterior, es fácil entender por qué algunos números se pue-den separar en otros. Por ejemplo, el número 6 = 3 · 2 está compuesto por el 3 y el 2, y por lo tanto se puede dividir por cualquiera de ellos. Esta propiedad se llama Divisibilidad, indica que un número se puede dividir exactamente por otro. Formalizando lo que acabamos de decir diremos que:

Un número b es divisible por a si y sólo si b es un múltiplo de a, es decir, b = k · a, donde k ∈! .

Identificar estos pares de números es un problema cuando no los podemos descom-poner, ya sea porque son muy grandes o porque es poco práctico, en ese caso existen criterios llamados Reglas de divisibilidad (vea los tips a la derecha).

• Algoritmo de la divisiónSi tras leer, y ojalá ejercitar, algunos ejemplos de los temas anteriores notaste que no todos los números son divisibles te preguntarás cómo los divides en ese caso. No te preocupes, para ello existe el Algoritmo de la División o Algoritmo de Euclides:

Si a,b∈! son dos números naturales, existen números cardinales r y p tales quea = pb + r y r < b . En este contexto, diremos que a es el dividendo, b es el divi-sor, p es el cociente y r el resto.

Como esta muralla de simbología es útil pero engorrosa, nosotros representamos este algoritmo con una notación más familiar:

¿Cómo saber si un número es divisi-

ble por algún número entre 2 y 10?

UN NÚMERO ES DIVISIBLE POR / SI

2 /3 /

4 /

5 /6 /

8 /

9 /

10 /

Termina en 0 o un número par

La suma de sus dígitos es

divisible por 3

Sus últimos 2 dígitos forman un

número divisible por 4

Termina en 5 o en 0

Es divisible por 2 y 3 a la vez

-

Sus útimos 3 dígitos forman un

número divisible por 8

La suma de sus dígitos es

divisible por 9

Termina en 0

Observación

Observamos que para el número 7 no te-

nemos una regla, esto no es porque no

exista si no porque la regla es más com-

plicada que las otras y es más conve-

niente ver directamente si puedo dividir

o no por 7 haciendo la división.

Ejemplo / Ejemplo: la descomposición prima del número 48 se encuentra de la siguiente forma:48 = 24 · 2 = (12 · 2) · 2 = (6 · 2) · 2 · 2 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 24

Observación

Todo número es divisible por cualquier

producto formado por sus factores pri-

mos.

14 : 3 = 4 2

Dividendo Resto Divisor Cuociente

16

• Mínimo Común Múltiplo (MCM)Tal como el nombre lo dice, el Mínimo común múltiplo (MCM) nos permite encontrar un número que cumple la propiedad de ser el menor múltiplo que tienen en común un conjunto de varios números naturales, esto es lo mismo que decir que el MCM es el menor número divisible por todos los números del conjunto.

¿Cómo lo encontramos?Usando la descomposición prima de todos los números del conjunto, el MCM es el número que contiene en su descomposición a todos los factores primos de todos los números del conjunto.

Ejemplo / Encontremos el MCM entre 6, 9 y 24Escribimos los números en su descomposición prima:6 = 2 · 3, 9 = 32, 24 = 23 · 3

Ahora incluímos en la descomposición de nuestro posible MCM todos los factores primos (los repetidos en el mismo número cuentan, pero entre números distintos no)3 · 3 · 2 · 2 · 2 = 72

Notamos que la mayor cantidad de veces que se repite el 2 es en 24, que contiene al factor 23, mientras que la mayor cantidad de veces que aparece el 3 es en 9, que contiene al factor 32. Hay que incluir todos esos números. Por otro lado, como 6 se escribe 2 · 3, sus factores ya están contenidos en los otros, de modo que, no se necesita incluir ninguno como factor adicional. Ocurre lo mismo con el 3 perteneciente a la descomposición del 24.

Así,el mínimo común múltiplo buscado es 72.


TOMO I NÚMEROS

17

Ejemplo / El MCD entre 6, 12 y 30Escribimos los números en su descomposición prima:6 = 2 · 3, 12 = 22 · 3, 30 = 2 · 3 · 5

Luego tomamos todos los factores que se encuentran en todas las descomposiciones, en este caso el 2 y el 3luego MCD entre 6, 12 y 30 es 2 · 3 = 6.

(+) + (+) = (+)(−) + (−) = (−)(+) + (−) = (+) Si (+) > (−)(+) + (−) = (−) Si (+) < (−)

(+) · (+) = (+)(−) · (−) = (+)(−) · (+) = (−)(+) · (−) = (−)

Adición Multiplicación

• Máximo Común Divisor (MCD)Es mucho más sencillo encontrar el máximo común divisor, pues simplemente se busca el número que divida a todos los números del conjunto, para ello se busca aquel que su descomposición prima contenga sólo a los factores que todos los nú-meros del conjunto tengan en común.

TIPS

Para abreviar, el MCM entre a y b se

escribe como MCM(a,b), y se utiliza

la misma notación para el MCD.

• Números enteros.

Habrás notado que en lo que va del capítulo hemos hablado casi únicamente de los números naturales. Estos no son los únicos que existen, puesto que de la misma for-ma que la división falla en los naturales, la resta también. En los números naturales no podemos encontrar la respuesta de la operación 2 - 6 = ?. Por lo tanto definimos los Números Negativos, los cuales contienen a los inversos aditivos de los nú-meros naturales, es decir, todos los números que anulan (llevan al 0) a algún natural cuando son sumados.

Estos se forman incluyendo una copia de los números naturales en la recta nu-mérica, pero al otro lado del cero, y por lo tanto su magnitud crece en la dirección opuesta a la de los naturales.

Naturalmente, como una copia de los naturales, estos funcionan con las mismas operaciones que los números naturales, con una pequeña distinción: El signo (Pue-de ser positivo, negativo o neutro)

El signo nos indica a qué lado del cero nos encontramos, y hacia qué lado aumenta la magnitud de los números, el cual funciona como se ve en la siguiente tabla.

18

Si al triple de 3 se le suma 2 y luego se multiplica por 2, obtenemos

Solución Primero debemos traducir lo que nos dice el enunciado a

lenguaje matemático, esto es, la primera parte dice ”si al

triple de 3 se le suma 2”, por lo tanto tendremos que su

traducción a matemática sería 3 × 3 + 2. Además el enun-

ciado dice ”y luego se multiplica por 2”, lo que nos dice que

necesariamente debemos multiplicar todo lo anterior por

dos, es decir,

(3 × 3 + 2) × 2 = (9 + 2) × 2 = 11 × 2 = 22.

Si al cuádruple de 2 se le suma 5 y luego se multiplica por 3 ¿Qué resulta?

Si al doble de 5 se le suma 2 y luego se divide por 2 ¿Qué resulta?

Si al triple de 7 se le resta 9 y luego se divide por 3 ¿Qué resulta?

Juan tiene el doble de la edad de Pedro y Andrés tiene dos años más que Juan. Además, la suma de sus edades es 37, entonces la edad de Andrés es

Solución Primero debemos identificar las variables, en este caso

son las edades de Pedro, Juan y Andrés, a los que deno-

taremos para facilitar las cosas por su inicial, es decir,

P, J y A. Luego debemos traducir el enunciado a lenguaje

matemático, para ello tenemos primero que “Juan tiene el

doble de la edad de Pedro” lo cual se traduce claramente por

J = 2P. Por otro lado, “Andrés tiene dos años más que Juan”

por lo que tendremos que A = J + 2, pero J = 2P. Por lo tanto,

concluimos que A = 2P + 2.

Luego como A + J + P = 37, reemplazamos por lo obtenido

en el paso anterior, es decir, A = 2P + 2 y J = 2P obteniendo

que 2P + 2 + 2P + P = 37, es decir, 5P = 35 de lo que obte-

nemos que P = 7.

Ahora la tentación sería poner que la respuesta es 7 años,

pero si leemos bien el enunciado no se nos pregunta por

la edad de Pedro, si no que por la edad de Andrés y como

antes obtuvimos que A = 2P + 2 entonces obtendremos fi-

nalmente que la edad de Andrés es 16 años.

Juan tiene el triple de la edad de Pedro y Andrés tiene cuatro años más que Juan. Además la suma de sus edades es 39 ¿Cuál es la edad de Andrés?

María tiene tres años más que Nanci y Camilo tiene dos años menos que Nanci. Además la suma de sus edades es 37 ¿Cuál es la edad de Camilo?

Felipe tiene tres veces la edad de Bastian y Mauricio tiene la misma edad que Bastian. Además la suma de sus edades es 135 ¿Cuál es la edad de Felipe?

EJERCICIOS PROPUESTOS


1.

2.

TOMO I NÚMEROS

19

Si la suma de 3 números pares consecutivos es 42, entonces el número del medio es

Solución. Observemos que la primera parte del enunciado es “Si

la suma de 3 números pares consecutivos”, por lo tanto

como vimos, siempre un número par puede ser escrito de

la forma 2n. Bien, ahora como sabemos que si un número

par es 2n entonces el siguiente número par será 2n + 2 y

el siguiente a ese 2n + 4. Luego tendremos que la segunda

parte del enunciado nos dice que dichos números suman

42, por lo tanto tendremos que

2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 42 ⇔ 6n + 6 = 42 ⇔ 6n = 36

por lo tanto podemos concluir que n = 6.

Un error clásico en este tipo de problemas es olvidarse del

problema y pensar que n = 6 es el primero de los números

pares y en dicho caso uno diría que los números son 6, 8 y

10, concluyendo que el número central es 8.

Por ello es súper importante que uno tenga muy claro cual

es el problema y que es lo que esta buscando, para nues-

tro caso teníamos que los números pares consecutivos son

2n, 2n + 2 y 2n + 4, y además obtuvimos que n = 6, por lo

tanto es fácil entonces concluir que los números buscados

son 12, 14 y 16. Como buscamos el número medio, la res-

puesta es 14

Si la suma de 3 números impares consecutivos es 45, entonces el número del medio es

Si la suma de 3 números consecutivos es 45, enton-ces el número mayor es

Si la suma de 4 números pares consecutivos es 28, entonces la suma de los medios es

¿Qué número debe colocarse en ∆ para que el nú-mero 63.84∆.756 sea divisible por 9?

Solución. Este es un problema bastante sencillo siempre y cuando

uno tenga en mente las reglas de división que vimos en

una de las tablas del capítulo anterior.

Refrescando la memoria, tenemos que un número es di-

visible por 9 si y sólo si la suma de sus cifras resulta un

número divisible por 9, y para nuestro caso tendremos que

la suma de las cifras es 6 + 3 + 8 + 4 + ∆ + 7 + 5 + 6 = 39 + ∆,

por lo tanto es sencillo notar que el único número que hace

que 39 + ∆ sea divisible por 9 es 6.

¿Qué número(s) puede(n) colocarse en ∆ para que el número 23.∆32 sea divisible por 2?

¿Qué número(s) puede(n) colocarse en ∆ para que el número 43.∆52 sea divisible por 3?

¿Qué número(s) puede(n) colocarse en ∆ para que el número 123.∆56.789 sea divisible por 9?

3.

4.

20

Solución. Recordemos que para obtener tanto el MCD como MCM,

debemos simplemente escribir cada uno de los números

en su descomposición como producto de números pri-

mos, esto es,

36 = 62 = 22 · 32, 66 = 6 · 11 = 2 · 3 · 11 y 102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17

Luego nuestro método nos dice que debemos tomar to-

dos los factores que tengan en común, con el menor ex-

ponente y debemos multiplicarlos, es decir, para este caso

tendremos que los factores comunes son 2 y 3 con el expo-

nente 1, por lo que el MCD en este caso será simplemente

2 · 3 = 6.

Encuentre el máximo común divisor entre los nú-meros 36, 66 y 102.

Encuentre el mínimo común múltiplo entre los números 36, 66 y 102.

Encuentre el máximo común divisor entre los números 12, 48 y 69.

Encuentre el mínimo común múltiplo entre los números 12, 15 y 23.


5.

Para practicar, realiza los siguientes ejercicios

TOMO I NÚMEROS

31

NÚMEROS RACIONALES

Como se dijo anteriormente, la sustracción y división en los números naturales no siempre entregan números naturales. Para poder restar sin restricciones se constru-yó el conjunto de los números enteros. Aún está pendiente el problema de la divi-sión. Para ilustrar la importancia de poder dividir sin restricciones, consideremos la siguiente situación:

Tenemos dos litros de bebida. Si queremos repartir la bebida entre dos personas en par-tes iguales calculamos 2 : 2 y obtenemos que a cada persona le corresponde un litro. Sin embargo, al agregar una tercera persona a esta repartición, dividiremos 2 entre 3 y obten-dremos como resultado 0 y resto 2, es decir, a nadie le corresponde tomar bebida y sobran dos litros. Las personas más perspicaces se dan cuenta que 2 litros de bebida se pueden repartir entre dos personas si a cada persona se le entrega menos de un litro de bebida. Lamentablemente, como no conocemos los números racionales, la mayor cantidad de be-bida que podemos repartir sin llegar a un litro es cero litros. En consecuencia, a menos que aprendamos a trabajar con decimales y fracciones, nunca podremos resolver problemas como este.

El conjunto numérico que necesitamos introducir para resolver este problema es el de los Números Racionales. En esta sección estudiaremos cómo son, cómo se opera con ellos y algunas de sus propiedades básicas. Estos son todos aquellos que se pueden expresar en la forma a

bdonde a y b son enteros y b distinto de 0. Este

conjunto se representa por la letra

Q = ab

a,b∈!,b ≠ 0⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

Al escribir un número racional como a/b, el número a es llamado numerador, mientras que b recibe el nombre de denominador. En términos simples, un núme-ro racional es aquel que se puede escribir como fracción de enteros con denominador distinto de cero.

Clasificamos las fracciones en dos tipos:

• Fracción propia: Es aquella cuyo numerador es menor que el denominador.Ej: 2

3, 15, 310

• Fracción impropia: Es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador.Ej: 9

4, 72,117

Suma

El inverso aditivo (u opuesto) de ab es

− ab= −ab

= a−b

32

Multiplicación

El inverso multiplicativo

(o recíproco) de ab

es

Con a y b distintos de 0.

Observaciones

Para comparar números raciona-

les, también se pueden utilizar los

siguientes procedimientos,

Igualar numeradores y luego analizar

los denominadores: a menor denomi-

nador mayor el valor de la fracción.

Igualar denominadores y luego anali-

zar los numeradores: a mayor nume-

rador mayor el valor de la fracción.

Entre dos números racionales

cualesquiera hay infinitos números

racionales.

Como toda fracción impropia tiene numerador mayor a su denominador, representa una cantidad mayor que 1. Esto significa que podemos escribirla como una suma entre un número entero y lo que falte para completarla. Por ejemplo, 94 puede escri-birse como 8 +1

4. Esto se puede interpretar como que se reparten ocho elementos

y un elemento adicional entre 4 individuos, de modo que cada individuo recibe 2 elementos (la cuarta parte de 8) y la cuarta parte del elemento sobrante. En símbo-los, esto se expresa como 9

4= 2 + 1

4. Para abreviar la suma, esta fracción se escribirá

simplemente como 2 14

. Una fracción impropia expresada de esta manera recibe el nombre de Número mixto.

La transformación entre fracciones impropias y números mixtos está dada por

Por otro lado, dos expresiones fraccionarias diferentes pueden representar al mismo número racional. Por ejemplo, 12 =

24 , pues al repartir una barra de chocolate entre

dos personas, cada persona obtiene la misma cantidad de chocolate que al repartir dos barras entre cuatro personas (media barra). En base a ello, tenemos el siguiente teorema que nos ayuda a distinguir cuando dos números racionales son equivalen-tes o representan lo mismo.

Teorema #2 : Equivalencia entre Números Racionales• Sean

ab, cd∈Q , entonces

ab= cd⇔ a ⋅d = b ⋅c

Una consecuencia importante de este teorema es que al multiplicar por un número positivo el numerador y el denominador, se obtiene una fracción equivalente a la original, este proceso es llamado amplificación. Por ejemplo, al amplificar por 2 la fracción 12 , se obtiene 2

4.

Si hacemos el proceso inverso de la amplificación, es decir, dividimos simultánea-mente por el mismo número el numerador y el denominador de una fracción, se ob-tiene una fracción equivalente a la original. Este proceso es llamado simplificación. Por ejemplo, al simplificar por 3 la fracción 1827 se obtiene 6

9.

Cuando el máximo común divisor entre el numerador y el denominador de una frac-ción es 1, decimos que la fracción es irreducible. En este caso, no existe manera de simplificar la fracción. Ejemplos de fracciones irreducibles son 25

42, 89

y 25

.

Una manera de obtener una fracción irreducible es simplificar por el máximo común divisor entre el numerador y el denominador. Por ejemplo, si se tiene la fracción 18

27,

como el máximo común divisor entre 18 y 27 es 9, al simplificar por 9 se obtiene una

ab

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

− ba

/

/


A ab= A ⋅b + a

b

TOMO I NÚMEROS

33

fracción irreducible. En efecto, al hacer esto se obtiene 23

, que no puede simplificarsenuevamente.

Veamos ahora cómo se puede operar con estos números, los cuales poseen las mis-mas operaciones que los números naturales y enteros, es decir, adición, sustracción, multiplicación y división. Sin embargo, la forma de operar en el conjunto de los nú-meros racionales es diferente.

• Adición/sustracción

• Multiplicación

• División

Al igual que en los números enteros, los números racionales gozan de una propiedad llamada orden total. Esto quiere decir que dados dos números racionales, siempre uno de ellos será mayor al otro, a menos que sean iguales. En otras palabras, todas las fracciones pueden ser comparadas. Para simplificar esta tarea, presentamos la siguiente propiedad.

Teorema #3 : Orden en los Números Racionales• Sean

ab, cd∈Q con b, d enteros positivos, entonces

ab≥ cd⇔ ad ≥ bc

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son otra manera de expresar cantidades no enteras. Por ejemplo, el número 0,1 representa la décima parte de una unidad, el número 0,01 representa la centésima parte de una unidad, y así sucesivamente. Al igual que al representar cantidades enteras, cada dígito tiene un valor 10 veces menor que si se hubiese escrito en la cifra anterior. A modo de ejemplo 2,81= 2 + 8

10+ 1100

.

} ab+ cd= adbd

+ bcbd

= ad + bcbd

Si ab, cd∈Q , entonces la suma o resta

de estas dos fracciones esta dada por la regla de la derecha. Es decir, los nume-radores de dos fracciones pueden ser su-mados o restados cuando estas poseen el mismo denominador.

} ab⋅ cd= acbd

Si ab, cd∈Q entonces, el producto o

multiplicación será

} ab: cd= ab⋅ dc= adbc

,c ≠ 0Si ab, cd∈Q entonces, su división o co-

ciente será

34

Como se puede observar, este número es una suma de números racionales, por lo tanto, ha de ser un número racional. Si eres un estudiante perspicaz, entonces recordarás que los números racionales son los que puedes escribir como fracción de enteros. La pregunta que surge de manera natural es cuándo y cómo se puede escribir un decimal como fracción de enteros. Para lograr este objetivo clasificamos los decimales en cuatro grupos que detallamos a continuación:

• Decimales finitosSon aquellos que tienen una cantidad finita de cifras decimales no nulas (esto signi-fica que no son cero). Algunas de estas fracciones son 2,1; 3,192; 1,974.

Para entender la transformación decimales finitos en fracción de enteros, veremos el siguiente ejemplo:

Sea x = 3,192 el decimal que intentamos escribir como fracción. Multiplicando por 1000 se obtiene: 1000x = 3192

Al dividir por 1000 en cada lado de la ecuación, resulta x =31921000

De esto sigue que: 3,192 = 31921000

Luego de hacer este proceso con varios decimales finitos notarás la siguiente pro-piedad: Al escribir un número decimal finito como fracción, el numerador estará formado por las mismas cifras, sin la coma. Mientras que en el denominador se tendrá un número formado por un uno, seguido de tantas cifras cero como dígitos haya después de la coma.

• Decimales infinitos periódicosSon aquellos cuyas cifras decimales se repiten infinitas veces. Por ejemplo 2,33333333..., 0,718718718718718.... Como resulta engorroso escribir tantas ci-fras, adoptamos una notación más abreviada y los números que se repiten infinita-mente se escribirán con una barra encima. Así, los números anteriores se escribirían como 2,3 y 0,718 respectivamente. El conjunto de cifras que se repiten recibe el nombre de período.

Ejemplo /

Si tenemos el número 3,1415,

podemos transformarlo en

fracción de la siguiente manera} 3,1415 = 31.415

10.000= 31.415

104


TOMO I NÚMEROS

35

Al igual que con los decimales finitos, mostraremos como transformar los números decimales infinitos periódicos a fracción. Considere el decimal x = 1,718 .

Desarrollando un poco su expansión decimal se tiene: x = 1,718718

Multiplicando por 1000, se obtiene: 1000x = 1718,718

Restando x = 1,718 resulta: 1000x − x = 1718,718 −1,718Es decir, 999x = 1718 -1

Al dividir por 999, resulta: x = 1718 −1999

Es decir, la expresión fraccionaria que resulta de 1,718 es 1717999

En general, para transformar de decimal infinito periódico a fracción, se toma el número sin la coma, se resta su parte entera y luego se divide por tantas cifras nueve como dígitos tenga el período.

Observación

Para el paso de fracción a decimal,

simplemente se divide el numerador

por el denominador.

/

}Ejemplo /

Si consideramos 3,14

entonces su escritura en

fracción será

3,14 − 314 − 399

− 31199

Un caso muy importante de estas transformaciones es 0,9 . Al escribirlo como frac-ción, te darás cuenta que se escribe como 9

9= 1 , es decir, los números 0,9 y 1 son

equivalentes.

• Decimales infinitos semiperiódicosEstos números están formados por un número finito de cifras que no se repiten, seguido de un período que se repite infinitas veces. Por ejemplo, un decimal in-finito semiperiódico es x = 3,293 . En este caso, el número 3 también es llamadoperíodo. Los dígitos que están después de la coma y antes del período reciben el nombre de anteperíodo.

Intentemos ahora escribir este número como fracción: x = 3,293Multiplicamos por 100 para que el anteperíodo pase al lado izquierdo de la coma100x = 329,3

36

Por otro lado, simultáneamente multiplicamos por 1000 para que un período y el anteperíodo pasen al lado izquierdo de la coma: 1000x = 3293,3

Restamos ambas igualdades para eliminar los decimales 1000x - 100x = 3293 - 329, obteniendo: 900x = 3293 - 329Finalmente despejamos x = −3293 329

900

Así, 3,293 = −3293 329

900

• Decimal infinito no periódicoEs aquel con infinitas cifras decimales, pero sin repetir un grupo de cifras una canti-dad infinita de veces. Ejemplos de este tipo de decimales son π = 3,141592652589...y 2 = 1,4142135623... . Este tipo de números no puede escribirse como fracción de enteros, de modo que no son números racionales.

Cuando los números decimales son finitos, se puede operar con ellos sin necesidad de pasar de número decimal a fracción, de la siguiente manera:

Adición o Sustracción• Para sumar o restar números en desarrollo decimal se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas y los decimales bajo los decimales (si no tienen la misma cantidad de decimales, se pueden agregar ceros a la derecha al que tenga menor cantidad de decimales hasta igualarlos), luego se realiza la suma o resta según corresponda de derecha a izquierda.

Ejemplo /

Sumemos los números 0,25 y 2,125. Para ello, notamos que el

primero de ellos tiene dos decimales mientras el segundo tiene

3, por ello igualamos agregando un cero a la derecha del prime-

ro, es decir, 0,250. Luego sumamos como se explica antes

0,2502,1252,375

++

Ejemplo /

Si consideramos el número

3,1415, entonces su escritura

en fracción será} 3,1415 = 31.415 − 314

9.900= 31.1019.900


Para pasar un decimal semiperiódico a fracción, se debe tomar el número completo sin la coma, restar todo lo que está antes del período y dividir por un número for-mado de tantos nueves como dígitos tenga el período y ceros como dígitos tenga el anteperíodo.

TOMO I NÚMEROS

37

Multiplicación• Para multiplicar números decimales, lo haremos tomando los nú-meros como si fueran enteros (ejemplo 3,14 lo tomamos como 314), los multiplica-mos de manera usual y en el resultado colocamos la coma de modo que el numero resultante tenga tantos decimales como los números en conjunto.

Ejemplo /

Para los mismos números anteriores 0,25 y 2,125, si les elimi-

namos la coma obtenemos 25 y 2.125, y si los multiplicamos de

manera usual se obtiene 53.125. Luego observamos que en los

números iniciales el primero tiene dos decimales mientras que

el segundo tres, por lo que en conjunto poseen 5 decimales y

por ende, el resultado final tendrá dicha cantidad de decimales,

es decir, el resultado será 0,53125.

Ejemplo /

Para dividir 2,125:0,25, podemos amplificar por 100 de modo que

obtenemos 212,5:25 (ahora nuestro divisor es entero). Como 21

no cabe en 25, dividimos 212 en 25. Cabe 8 veces y sobran 12:

Ahora corresponde bajar la cifra siguiente, el 5. Como aparece la coma, ponemos una coma en nuestro resultado

Como 125 cabe de manera exacta en 25 (5 veces), anotamos un 5 y la división concluye.

División• Para dividir, se multiplicará ambos números por 10 hasta que el divi-sor quede como un número entero. Luego dividiremos de forma usual, poniendo la coma en el cociente cuando esta aparezca.

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Muchas veces nos interesa calcular cantidades con muchas cifras decimales, pero solo nos interesa obtener un valor cercano al número decimal. Por ejemplo, si se reparten 2000 pesos entre tres personas, al calcular cuánto dinero le corresponde a cada uno, se obtiene como resultado 666,6. Como no es posible entregar una canti-dad decimal de dinero, aproximamos este número a 666 pesos por persona. Este es un caso particular de aproximación que llamamos truncamiento al entero.

21212, 5 :25 = 8

21212, 5 :25 = 8,↓5

21212, 5 :25 = 8,550

38

Para aproximar números racionales existen dos criterios:

• Aproximación por truncamientoConsiste en eliminar las cifras que no interesan. Por ejemplo, si nos interesa aproxi-mar el número 2,394831 a la milésima por truncamiento, consideramos únicamen-te las cifras que se ubican desde la milésima hacia la izquierda, es decir, 2,394.

• Aproximación por redondeoEste tipo de aproximación es más minuciosa, pues busca la cantidad más cercana al número que se aproxima. Por ejemplo, si se tiene el decimal 2,309 y se desea aproxi-mar por redondeo a la centésima, se sabe que el valor buscado se ubica entre 2,30 y 2,31. Como la cifra siguiente (9) está más cerca de 10 que de 0, el número 2,309 se acerca más a 2,31 que a 2,30. De modo que la aproximación por redondeo sería 2,31.Si en lugar de 2,309 se quisiera aproximar el número 2,301, entonces la aproxima-ción por redondeo coincidiría con el truncamiento, pues la cifra 1 se acerca más a 0 que a 10. Así, la aproximación por redondeo a la centésima de 2,301 es 2,30.

A modo de regla general, incrementaremos la última cifra aproximada si el primer dígito eliminado está entre 5 y 9. Mientras que mantendremos la última cifra cuan-do el primer dígito eliminado sea un número entre 0 y 4.

NÚMEROS IRRACIONALES

Ya que conocemos los números racionales, estudiaremos el resto de los números.

Comenzaremos con un caso particular: 2

Si 2 fuera un número racional, significa que existe una fracción irreducible tal que

=pq

2 ,con p, q ∈ Z.

Por la definición de la raiz, queda =pq

22

2 , es decir, 2q2 = p2.

Como 2q2 es par, se puede dividir por 2 y por lo tanto, ocurre lo mismo con p2, con-cluyendo que p también se puede dividir por 2.

Luego, como p se puede dividir por 2 es un número par y puede ser escrito de la for-ma p = 2k con k un número entero, por lo que reemplazando obtenemos que2q2 = (2k)2 = 4k2 ⇒ q2 = 2k2


TOMO I NÚMEROS

39

Con el mismo razonamiento, podemos ver que ocurre exactamente lo mismo con q. Luego, como tanto p como q son divisibles por dos, entonces podemos simplificar la fracción por 2.

El problema yace en que la base de nuestro razonamiento estaba en la suposición que =

pq

era irreducible, pero acabamos de mostrar que no lo es pues se simplifica por2, y esto es una contradicción.

Por lo tanto, 2 no se puede escribir como una fracción irreducible de números enteros, entonces 2 no es racional.

Este resultado nos lleva a todo un nuevo conjunto de números, los Irracionales, que se definen como los números que tienen una expansión decimal infinita no periódica, e incluyen no sólo a 2 sino que a todas las raíces que no provienen de un cuadrado perfecto, como 3, 5, 6... etc, y además algunos números como πy e , que a pesar de no ser raíces tienen importancia fundamental en muchas áreas de la matemática.

Hay que notar que los números irracionales siguen siendo números, sólo que como a nadie le gusta escribir infinitos decimales, su forma más simple de escribirlos está en los símbolos que acabamos de ver. Por lo tanto, operarlos para simplificarlos a un único símbolo es difícil, por ejemplo la mejor forma de escribir la suma de 2 y

3 es por medio de la expresión 2 + 3 , pero las reglas para tratar estos casos las veremos en el capítulo 4 de este tomo.

Al igual que los números racionales, los números irracionales tienen sus propios criterios de aproximación. Estos son la aproximación por defecto y la aproxima-ción por exceso.

• Aproximación por defectoConsiste en tomar el número menor entre los que se ubica el número que se desea aproximar. Por ejemplo, la expansión decimal de 10 es 3,16227766... Si queremos aproximar por defecto a la décima, notamos que se ubica entre 3,1 y 3,2. Como de-seamos tomar el número menor, escogemos la aproximación 3,1.

• Aproximación por excesoAl contrario que la aproximación por defecto, se toma el número mayor entre los que se ubica el número que se desea aproximar. Por ejemplo, al aproximar por exce-so a la centésima el número 10 resulta 3,2.

TIP PSU

Estas son algunas de las aproxima-

ciones de las raíces que aparecen

con frecuencia en la PSU:

2

3

5

7

10

= 1,414...

= 1,732...

= 2,236...

= 2,645...

= 3,162...

40

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los raciona-les ( ) y los irracionales ( ), conjunto el cual se representa por , es decir, = ∪ .

Las operaciones dentro de este conjunto son las mismas que antes y al contener a los números irracionales heredan sus problemas frente a ellas, por ello es importante tener las siguientes reglas en mente al momento de operarlos:

• La operación entre números racionales, da siempre otro número racional.

• La operación entre números irracionales, no da siempre un irracional. Por ejemplo,si consideramos los números 1 + 2 y 2 , su resta es 1, que no es un irracional.

• La operación entre un racional y un irracional, siempre obtiene como resultado unirracional (exceptuando la multiplicación por 0).


TOMO I NÚMEROS

41

1. La expresión −+

43

135

es igual a

Solución En problemas de este estilo, siempre se recomienda em-

pezar por resolver “desde dentro hacia afuera”. Esto es, uno

debe empezar a resolver las cosas para dejar finalmente una

suma (o resta o producto o división según corresponda) de

expresiones conocidas, en este caso tenemos 4 menos una

fracción cuyo denominador es la suma de 1 con otra frac-

ción, entonces debemos partir por desarrollar ese denomi-

nador, por lo tanto recordando la regla de suma de fraccio-

nes obtenemos

+ = ⋅ + ⋅ =135

1 5 3 15

85

por lo que la expresión inicial quedaría como

− ⋅4385

Ahora, como sabemos que una fracción es equivalente a

una división, entonces la expresión

=385

31

:85

lo que por regla del producto es

= ⋅ =31

:85

31

58

158

Finalmente hemos llegado a una expresión que es resta de

cosas conocidas, por lo que podemos finalmente utilizar la

regla de la resta para finalizar el problema, es decir,

− = ⋅ − ⋅ = − =4158

4 8 15 18

32 158

178

.


La expresión 4 3

2 23

−+

es igual a

La expresión +−

1 2

3 27

es igual a

La expresión −+

5 1

2 38

es igual a

La familia Chiong celebra el cumpleaños de su hijo Mau-

ricio y para la ocasión compra una torta. El día de la cele-

bración, entre los invitados se comen 14

de la torta, al día

siguiente la familia Chiong se come 16

de lo restante en el

desayuno y finalmente Mauricio se come 15

de lo restante

a escondidas de su mamá. ¿Cuánto sobró de la torta?

Solución Primero leyendo el enunciado sabemos que sólo contamos

con una torta, a la cual la denominaremos T. El día de ce-

lebración, los invitados se comieron 14

de la torta, es decir,14

T , por lo tanto lo restante es

− =T T T14

34


2.

42

Luego, la familia Chiong decidió comer torta al desayuno

comiendo 16

de lo restante, es decir, 16

·34

T, por lo que ob-

tenemos que lo restante de la torta luego del desayuno es

− ⋅ = − =T T T T T34

16

34

34

18

58

Finalmente, Mauricio comió 15 de lo restante, es decir,

15

· 58

T , por lo que tendremos que lo que sobra finalmente de la torta es

− ⋅ = − = =T T T T T T

58

15

58

58

18

48

12

La familia Galasso celebra la graduación de magís-ter de su hijo Bastián y para la ocasión compra un pie de limón. El día de la celebración, entre los invi-tados se comen 1

3del pie, al día siguiente la familia

Galasso se come 16

de lo restante en el desayuno y finalmente Bastián se come 1

2de lo restante a

escondidas de su esposa. ¿Cuánto sobró del pie?

Tres hermanos reciben una herencia por la muerte de su padre. Si el hermano mayor recibe 2

3 de ella

y el menor 13

de lo restante. ¿Cuánto recibe el her-mano del medio?

Entre 5 amigos compran 2 pizzas para comer mien-tras estudian para una prueba. Si cuatro de ellos comen 1

5 del total de pizzas y el quinto come sólo 1

8de lo que quedó, ¿Cuánta pizza sobró?


PRODUCTOS NOTABLESCAPÍTULO 3

TOMO I NÚMEROS

55

PRODUCTOS NOTABLES

En álgebra nos encontramos con resultados de productos que se repiten permanen-temente, por lo que es importante manejarlos a cabalidad para simplificar expresio-nes algebraicas. Estos productos son los que se denominan notables y pasamos a mencionar y describir cada uno de ellos.

El primer producto notable es el cuadrado de binomio, que es el cuadrado de una suma de dos elementos, es decir, (a + b)2. Este producto es sumamente conocido y útil, por ello presentamos a continuación su expresión desarrollada

± = ± +a b a ab b( ) 22 2 2

Otro producto importante que involucra binomios, pero esta vez uno es suma de dos elementos y el otro la resta de los mismos, toma el nombre de suma por su diferencia y su expresión esta dada por

+ − = −a b a b a b( )( ) 2 2

El tercer producto que veremos responde a la pregunta natural cuando uno aprende el cuadrado de binomio, el cual es conocido como cubo de binomio, es decir, un binomio elevado a tres, cuya expresión esta dada por

± = ± + ±a b a a b ab b( ) 3 33 3 2 2 3

Estos resultados se pueden extender a un binomio (a + b) elevado a n veces, simple-mente multiplicando (a + b)(a + b) · . . . · (a + b) n veces en forma iterativa.

Si bien esta operación no es compleja, toma mucho tiempo. La forma más rápida de obtener los resultados es utilizando el triángulo de Pascal (Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique). Ya sabemos que un binomio (a + b) elevado a cero es uno, con a + b ≠ 0, es decir,(a + b)0 = 1

El mismo binomio elevado a 1 es(a + b)1 = 1 · a + 1 · b

Elevado a 2(a + b)2 = 1 · a2 + 2 · ab + 1 · b2

Elevado a 3(a + b)3 = 1 · a3 + 3 · a2b + 3 · ab2 + 1 · b3

56

CAPÍTULO 3 / PRODUCTOS NOTABLES

1

1

1

1

1

1

3

6

10

1

2

3

4

5

1

4

10

1

15

1

(a + b)0

(a + b)2

(a + b)4

(a + b)1

(a + b)3

(a + b)5

(a + b)4 = (a + b)(a + b)3 = (a + b)(a3+3a2b+3ab2+b3) = a4+3a3b+3a2b2+ab3+a3b+3a2b2+3ab3+b4

Si tomamos solamente los números que acompañan a los factores, vemos que se puede formar un triángulo con una secuencia lógica

¿Cuáles serán entonces las constantes asociadas a (a+b)4? Efectivamente son 1, 4, 6, 4 y 1. Veamos por qué

es decir (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

¿Y si quisiéramos obtener (a + b)5? Sabemos que las constantes serían 1, 5, 10, 10, 5 y 1, pero ¿Cómo armamos el resultado?. El resultado será el primer término elevado a 5 por el segundo término elevado a 0 por la constante correspondiente. El segundo será el primer término elevado a 4 por el segundo elevado a 1 por la constante y así sucesivamente hasta terminar con los términos elevados a 0 y 5 respectivamente.

(a + b)5 = a5 a4 a3 a2 a1 a0 / Las a= a5b0 a4b1 a3b2 a2b3 a1b4 a0b5 / Las b= 1a5b0 5a4b1 10a3b2 10a2b3 5a1b4 1a0b5 / Las constantes

¿Los sumo o los resto? Si es (a + b) sumo todo, si es (a − b) la resta va intercalada,

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a − b)5 = a5 − 5a4b + 10a3b2 − 10a2b3 + 5ab4 − b5

FACTORIZACIÓN

Factorizar significa tomar un resultado y llevarlo a factores, donde estos pueden ser monomios, binomios, trinomios, etc. La factorización se puede interpretar como la operación inversa que desarrollar productos notables, es decir,

TOMO I NÚMEROS

57

3(x + 2y) = 3x + 6y

Uno de los ejemplos más clásicos es encontrarnos con expresiones algebraicas de la forma a2 + 2ab + b2, que ya sabemos que no es más que un cuadrado de binomio y sabemos que lo podemos factorizar por (a + b)2.

Ahora bien, uno puede preguntarse ¿Para qué me sirve poder factorizar? La res-puesta es sencilla, el factorizar simplifica algunos problemas que parecen en extre-mo complicados pero que en realidad son muy sencillos, como lo mostramos en el siguiente ejemplo.

Factorización

Producto Notable

Ejemplo /

Suponga que x≠y, y considere la expresión

Independiente de la pregunta que me estén haciendo -que po-

dría ser, por ejemplo, calcule lo anterior para x = 1.568.745 e

y = 87.236.458.763- factorizando se puede simplificar mucho el

problema, así que si factorizamos el numerador y denominador

de la expresión anterior obtendremos lo siguiente

es decir, si el problema fuese calcule lo anterior para x = 1.568.745

e y = 87.236.458.763, entonces sabemos de inmediato que la res-

puesta es 1 y no perdemos un montón de tiempo en reemplazar

estos valores.

Para poder factorizar con cierta facilidad y rapidez, es necesario tener siempre pre-sente los productos notables y de esa manera será mucho más fácil reconocer los factores. A modo de conocer más productos notables, consideraremos como uno de las básicos -junto a todos los anteriores- el siguiente

∓± = ± +x y x y x xy y( )( )3 3 2 2

x5 + 5x4y +10x3y2 +10x2y3 + 5xy4 + y5

(x2 + 2xy + y2 )(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)

x5 + 5x4y +10x3y2 +10x2y3 + 5xy4 + y5

(x2 + 2xy + y2 )(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)= (x + y)5

(x + y)2 (x + y)3= (x + y)

5

(x + y)5= 1

58


Otras factorizaciones que es necesario dominar a cabalidad son la factorización por factor común y la factorización de trinomios cuadráticos. A continuación mostra-mos como trabajar con ellas.

• Factor comúnSe basa en el producto notable más simple. Como sabemos que a(b + c) se desarrolla como ab + ac, cuando tenemos sumas (o restas) de términos algebraicos donde se re-pita alguno de los factores (el que tomará el rol de a), podemos factorizarlas dejando los términos repetidos como factor de la suma de los términos que no se repiten.

Ejemplo /

Factoricemos la expresión 24x2yz − 16xyz2.

Notamos que los coeficientes numéricos son 24 y 16. Aunque

en principio parezcan no tener nada en común, al calcular su

máximo común divisor notamos que ambos números son múlti-

plos de 8. Si escribimos 24 = 3 ⋅ 8 y 16 = 2 ⋅ 8, notamos que en los

términos numéricos se encuentra el factor común 8.

x aparece en los dos términos, en el primero aparece dos veces

(x2), mientras que en el segundo solo una vez. Los términos solo

tienen una x en común.

La letra y aparece una vez en cada término, de modo que y tam-

bién es factor común.

La letra z aparece tres veces en el primer término, y dos en el

segundo. Así, z puede extraerse dos veces como factor común,

obteniendo el factor z2. En este caso, la expresión factorizada

será 8xyz2(3xz - 2).

TOMO I NÚMEROS

59

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRÁTICOS

Este tipo de factorizaciones será la más importante cuando estudiemos ecuaciones cuadráticas. Para entenderlas mejor, comencemos con un ejemplo. Al desarrollar el producto (x + 3) (x − 2), se obtiene x2 + x − 6. Notemos que el término x va acompa-ñado del coeficiente numérico 1 y el término libre es -6. Al sumar los números 3 y -2, se obtiene 1 (precisamente el coeficiente de x), y al multiplicar 3 y -2 aparece el término libre -6. De esto se sigue que la factorización de x2 + x − 6 es (x + 3)(x − 2). La generalización de este hecho se puede establecer de la siguiente manera:

Para factorizar una expresión de la forma x2 + bx + c, se deben hallar dos números, m y n cuya suma sea b y su producto sea c. Así x2 + bx + c = (x + m)(x + n).

Ejemplo /

Factoricemos la expresión x2 − 2x − 63. De acuerdo a lo estu-

diado, debemos buscar dos números cuya suma sea -2 y su

producto -63.

Como el producto es negativo, los números deben tener signos

distintos. De modo que al sumarlos, sus valores absolutos se

restarán. Entonces buscamos dos números cuya resta sea 2 y

su producto 63. Luego de encontrarlos (9 y 7), como deben tener

signos distintos y la suma debe ser negativa, entonces el signo -

queda en el número mayor. En conclusión, los números busca-

dos son -9 y 7. Así, la factorización es (x − 9)(x + 7).

A veces es necesario factorizar expresiones de la forma ax2 + bx + c . En estos ca-sos, debemos trabajar de manera metódica y descomponer el problema de la factori-zación en varias partes más sencillas.

60


Ejemplo /

Factoricemos la expresión 2x2 + 7x − 4

Notamos que el primer término no es un cuadrado perfecto (pues

no se puede obtener 2 como cuadrado de un número racional).

Para solucionar este problema, nos aprovecharemos de que al

multiplicar por 1, la expresión no cambia. Como nos interesa que

aparezca un cuadrado perfecto, multiplicaremos por 1, pero es-

cribiremos 1 como 22

.

Así 2x2 + 7x − 4 = 22⋅(2x2 + 7x − 4) = 4x

2 + 7 ⋅2x − 82

Ahora que el primer término es un cuadrado perfecto (pues es el

cuadrado de 2x), podemos resolverlo como el problema anterior.

Para que no nos estorbe el 4 que acompaña a x2, definimos la va-

riable auxiliar = 2x. Así, nuestra expresión puede transformarse

en 4x2 + 7 ⋅2x − 8

2= µ2 + 7µ − 8

2

Factorizar el numerador de esta fracción se puede hacer de

manera similar al ejemplo anterior; buscamos dos núme-

ros que multiplicados resulten -8 y cuya suma sea 7. Dichos

números son 8 y -1. Así, nuestra expresión se convierte en µ2 + 7µ − 8

2= (µ + 8)(µ −1)

2

Como la pregunta se hace en términos de x, no podemos res-

ponder utilizando la variable . Al deshacer el cambio de variable

(esto significa reemplazar por el valor que le dimos al principio),

se obtiene: (µ + 8)(µ −1)2

= (2x + 8)(2x −1)2

El próximo desafío que se nos presenta es simplificar esta

expresión fraccionaria. Para ello factorizamos (2x + 8)mediante factor común, obteniendo 2 ⋅(x + 4) . Así(2x + 8)(2x −1)

2= 2 ⋅(x + 4)(2x −1)

2

Al simplificar, se obtiene x + 4( ) 2x −1( ) .

En conclusión, la factorización de 2x2 + 7x − 4 es x + 4( ) 2x −1( )

TOMO I NÚMEROS

61

1. Considere la expresión + +−

a ab ba b2 2

2 2

Si a=−5 y b=7, entonces el valor de la expresión anterior es

SoluciónPrimero notemos que tanto como el numerador como

el denominador de la expresión anterior, son productos

notables que vimos en la reciente sección, por lo tanto

tendremos que

a2 + 2ab + b2

a2 − b2= (a + b)2

(a + b)(a − b)= a + ba − b

Luego si reemplazamos a=−5 y b=7, obtendremos que

a + ba − b

= 2−12

= − 16


Considere la expresión a2 + 2ab + b2

a2 − b2

Si a = 5 y b = −3, entonces el valor de la expresión anterior es

Considere la expresión a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

a2 − b2

Si a = 1 y b = 2, entonces el valor de la expresión anterior es

Considere la expresión a2 − b2

(a − b)3

Si a = 0 y b = 3, entonces el valor de la expresión anterior es

2. Factorice la expresión xy + zy − xz − x2

SoluciónNotemos que los dos primeros términos tienen como

factor común a y y los dos últimos términos tienen como

factor común a x, por lo tanto mediante estos factores la

expresión anterior puede ser escrita por y(x + z) − x(z + x)

Ahora, en la expresión anterior nuevamente se tiene que

posee un factor común que es (x + z) y por lo tanto si facto-

rizamos por dicho factor se obtiene finalmente quexy + yz − xz − x2 = y(x + z) − x(x + z) = (y − x)(x + z)

Factorice la expresión x3 − 3x2y + 3xy2 − y3

Factorice la expresión xyz − yz + xy − y

Factorice la expresión 2x2 + 2xy + xz + yz



POTENCIAS Y RAÍCESCAPÍTULO 4

74

CAPÍTULO 4 / POTENCIAS Y RAÍCES

POTENCIAS

Las potencias son un objeto matemático creado para simplificar la notación de mul-tiplicar un número una cantidad finita de veces por sí mismo y usamos la siguiente notación a · a ·. . . · a = an

donde diremos que a es la base y n el exponente. En otras palabras, una potencia es un número a llamado base multiplicado por sí mismo tantas veces como indique el exponente.

Para poder trabajar con ellas y manipularlas algebraicamente, es necesario tener en cuenta la siguiente lista de propiedades

• Potencia de exponente 1a1 = a

• Potencia de exponente 0a0 = 1 para todo a ≠ 0

• Potencia de exponente y base 0 es indefinida00 es indefinido

• Potencia de exponente Negativoa−n = a

1n

• Multiplicación de potencias de igual base

!"# $# !"# $#! "### $###

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

+

+a a a a a a a a a... ...n m

n veces m veces

n m veces

m n

• División de potencias de igual base

= ⋅ =− −aa

a a an

mn m n m

• Potencia de una potencia

! "# $# !"# $# !"# $#! "### $###

!"# $#= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =a a a a a a a a a a a a a a( ) ... ... ... ... ...n m n n n

m veces n veces n veces

m veces

nm veces

mn

• Asociatividad

!"# $# !"# $# ! "## $##= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =a b a a a b b b ab ab ab ab... ... ( ) ( ) ... ( ) ( )n n

n veces n veces n veces

n

Las propiedades anteriores son de suma importancia al momento de afrontar pro-blemas que conlleven potencias, ya sea para simplificarlos o simplemente resolverlos.

}

n veces

TOMO I NÚMEROS

75

RAÍCES

Observamos que las potencias las definimos para exponentes enteros, ya que por su definición se necesita contar cuantas veces se debe multiplicar la base. Sin embargo, si cambiamos el exponente por el recíproco de un número entero también tiene una definición y se denota de la siguiente manera

=a an n1 lo que se denomina la raíz n-ésima de a donde

a es la base y n es el índice.

Como la raíz no es más que una potencia de exponente no entero, es natural pensar que las propiedades que describimos anteriormente para las potencias se manten-gan, guardando cuidado que ahora las sumas de exponentes no es suma de números enteros. En la siguiente lista se encontrarán los análogos a las propiedades exhibidas para las potencias

1.• =1 1 5.• = −a a a:yx zw yw xzxw

2.• =a a1 6.• =a anm mn

3.• =− aa

1mn

mn 7.• ⋅ =a b abn n n

4.• ayx ⋅ azw = ayx ⋅a

zw = a

yx+ zw = a

yw+xzxw = ayw+xzxw

Si bien el ideal sería aprender todas las propiedades anteriores, se recomienda sólo manejar a cabalidad aquellas que son más útiles en algún sentido (como lo son la 1, 2, 3, 6 y 7) y las restantes -en caso de ser necesario- se pueden deducir de las propie-dades de las potencias.

ORDEN

La función x : #+0 #

+0 es estrictamente creciente (no nos preocuparemos de

sus características como función aún), lo que matemáticamente quiere decir que

a, b #+0 : a ≥ b a ≥ b

es decir, a mayor argumento mayor el valor de la raíz. Esta propiedad nos ayuda a ordenar raíces -siempre y cuando las raíces a comparar posean el mismo índice- sólo viendo sus argumentos.

}

Observación

Es importante destacar que esta técnica

permite comparar exclusivamente raíces

que poseen el mismo índice, ya que si

poseen distinto índice pueden pasar dis-

tintas cosas, por ejemplo <2 83 pero

también <2 23

76

CAPÍTULO 4 / POTENCIAS Y RAÍCES

RACIONALIZACIÓN

Debido a que existen fracciones equivalentes, hay muchas formas de escribir cada número, entonces para que no existan confusiones, usamos las fracciones irredu-cibles como la forma estándar de referirse a un número, existe un proceso similar con los números irracionales llamado Racionalización, que usamos cuando apare-cen raíces en el denominador de una fracción, y nos permite encontrar una fracción equivalente cuyo denominador sea un número entero positivo. En esta sección mos-traremos como racionalizar diferentes expresiones fraccionarias.

• Expresiones con raíces cuadradas en el denominadorCuando aparecen expresiones de la forma a

b, basta amplificar por b .

Por ejemplo:

• Expresiones con raíces de potencias en el denominadorCuando se desea racionalizar expresiones de la forma a

bcn, basta amplificar por

−bn cn . Por ejemplo:

• Expresiones con sumas o diferencias de raíces cuadradasen el denominador.Cuando se desea racionalizar expresiones de la forma ±

ab c , se puede amplificar

por ∓b c (así se consigue una suma por diferencia). Por ejemplo:

= = =63

63

·33

6 33

2 3

10535

= 10535

⋅ 55−35

55−35= 10 ⋅ 525

555= 10 ⋅ 525

5= 2 525

+=

+−−

= −−

= −22 5

22 5

·2 52 5

2 2 2 52 5

2 2 2 53

TOMO I NÚMEROS

77

1. Ordene de manera creciente los siguientes números= = =p q r2 5, 5 2, 4 3

SoluciónNotemos que así tal como se nos plantea el problema no

tenemos como dar ningún tipo de solución, por lo tanto

si usamos las propiedades de las raíces podemos obtener

lo siguiente

p q r2 5 20, 5 2 50, 4 3 48= = = = = =

Y ahora sí podemos usar el orden que aprendimos sobre las raíces obteniendo que de manera creciente se tendrá que p < r < q, es decir, el menor es p luego le sigue r y elmayor es q.


Ordene de manera creciente los siguientes números = = =p q r4 3, 3 2, 2 5

Ordene de manera decreciente los siguientes números = = =p q r3 3, 2 5, 5 2

Ordene de manera creciente los siguientes números = = =p q r2 7, 7 2, 5 3

2. Calcule + + +2 2 2 24

3 3 3 3

2

SoluciónNotemos que el numerador está sumando 4 veces el mis-

mo término que es 23, por lo tanto puede ser escrito por 4

· 23 y a su vez, 4 = 22, por lo tanto la combinación de esto

con las propiedades de las potencias obtenemos que el nu-

merador es igual a 4 · 23 = 22 · 23 = 25.

Ahora por otro lado tenemos que el denominador que es

42, se puede escribir como 24 ya que 4 = 22 y eso combinado

con las propiedades de las potencias da que 42 = 24.

luego reemplazando dicho valor en la expresión inicial y

combinados nuevamente con las propiedades obtenemos

+ + + = =2 2 2 24

22

23 3 3 3

2

5

4

Calcule + + +3 3 3 39

7 7 7 7

2

Calcule + + +2 2 4 44 4 2 2

Calcule + + +4 4 4 44

3 3 3 3

2



NÚMEROS COMPLEJOSCAPÍTULO 5

90

APÉNDICE A: RAZONES Y PROPORCIONES

El último conjunto numérico que veremos es uno muy especial, suficientemente especial como para merecer su propio capítulo, y es el de los números complejos. Para encontrarlos, hay que retroceder un poquito y ver qué hemos hecho con los conjuntos anteriores:

Partimos en los números naturales, pero al ver que ecuacionescomo 2 - 3 = x, no tenían solución natural, creamos los números enteros.

En los enteros, ecuaciones como 2 = 3x, no tienen solución entera,por lo que creamos los números racionales.

En los números racionales, ecuaciones como x2 = 2, no tienen solución, por lo que creamos los números reales.

Uno pensaría “¿y qué más queremos?”. Los reales son un conjunto muy bueno, en el cual podemos encontrar la respuesta de casi todos los problemas de la vida diaria, entonces ¿Para qué necesitamos algo más?

x2 = -1

Este es nuestro problema. Esta ecuación no se puede resolver con un número real, así que probemos qué ocurre si inventamos un nuevo conjunto donde sí tenga solución.

Imaginemos que existe una solución numérica para esa ecuación, y para no compli-carnos pongámosle nombre. La igualdad nos dice que esta solución es parecida a 1, con un signo poco ortodoxo, por lo que parece una Unidad, pero esta vive en nues-tra imaginación. Gracias a esto, recibe el nombre de Unidad Imaginaria. Como di-cho nombre resulta muy largo de utilizar, abreviamos esta solución representándolapor la letra i

Resulta que: i2 = -1

Claramente i no es un número Real, pues sabemos que ningún número real al cua-drado es negativo. Veamos entonces cómo se comporta.

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA

• DefiniciónLlamaremos potencias canónicas de la unidad imaginaria a las primeras cuatro potencias de i con exponente natural, es decir, i1, i2,i3 e i4.

•

•

•

TOMO I NÚMEROS

91

Notemos que es posible describir todas las potencias de i como una delas cuatro potencias canónicas:

i1 = i i2 = - 1

i3 = i2 · i = -1 · i = -i i4 = i2 · i2 = -1 · -1 = 1

Para los demás números enteros, los valores de las potencias se repitenen periodos de 4, por ejemplo:

i5 = i4 · i = 1 · i = i = i1

i6 = i4 · i2 = 1 · -1 = -1 = i2

i7 = i4 · i3 = 1 · -i = -i = i3

i8 = i4 · i4 = 1 · 1 = 1

Este hecho se puede generalizar en la siguiente propiedad:

Propiedad: Si es k un número entero y r ∈{0, 1, 2,3} entonces:

i 4k + r = i r

Veamos otros casos, porque si sólo sabemos multiplicar por este“uno raro” no nos es muy útil, ¿habrán más números parecidos a i?

Por ejemplo, resolvamos la siguiente ecuación: x2 + 16 = 0.

Solución: Restando 16 en cada lado de la igualdad se obtiene x2 = -16. = ± − = ± − = ±x i16 4 1 4 .

Claramente hay más números no-reales, derivados de la unidad imaginaria. Por lo tanto, llamaremos al conjunto de números que proviene de esta unidad imaginaria como el conjunto de los Imaginarios Puros. Estos surgen al ser todos multiplica-ciones de i por números reales no nulos, de la misma forma que todos los números que conocemos son multiplicaciones de 1, la unidad base de los números reales.

Ahora, ¿qué podemos hacer con nuestros números imaginarios? Lo primero, es mez-clarlos con los reales que ya sabemos usar, entonces tomaremos un número real deri-vado del 1, llamado a = 1 · a y un número imaginario, llamado bi = b · i, y los juntaremos:

CAPÍTULO 5 NÚMEROS COMPLEJOS

92


1a + bi = a + bi

Brillante, ahora pongámosle un nombre a nuestro nuevo número. Ya que está for-mado por dos partes simples, una parte real a y una parte imaginaria b, las cua-les acompañan a su unidad correspondiente, será bautizado como Número Com-plejo. Como hay muchos números reales y muchos números imaginarios, se deduce que existen muchos números complejos, así que llamaremos a su conjunto el de los Números complejos y, como todo conjunto con un nombre destacado, tiene su letra elegante para abreviarlo: .

• DefiniciónSea z = a + ib ∈ , donde a, b ∈ . Entonces:

• El número real a es llamado parte real de z y se anota Re (z) = a.• El número real b es llamado parte imaginaria de z y se anota = Im (z) = b.

De los números complejos podemos deducir muchas propiedades. Las que estudia-remos son: ¿cómo se comparan?, y ¿cómo se operan? Veremos estos problemas a continuación.

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

Decimos que dos números complejos z1, z2 ∈! son iguales cuando tanto su partereal como su parte imaginaria son iguales, es decir:

z1 = z2 ⇔ Re (z1) = Re(z2) e Im (z1) = Im (z2)

Formalmente, escribimos esta definición como: Si a, b, c, d ∈ :

a + bi = c + di ⇔ a = c y b = d

Observación

Todo número real x, puede escribirse como x + 0i, luego .

TOMO I NÚMEROS

93

OPERATORIA CON NÚMEROS COMPLEJOS

• Adición y sustracciónPara sumar o restar complejos basta sumar (o restar) las partes -real e imaginaria- de cada número involucrado en la operación:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Por ejemplo: (2 + 5i) + (4 - i) = (2 + 4) + (5 - 1)i = 6 + 4i

• MultiplicaciónLa multiplicación se efectúa de la siguiente manera:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

= ac + (ad + bc)i - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i

En resumen: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

NOTACIÓN

A pesar de que ciertamente i2 = -1, no podemos sacar la raíz cuadrada de esta ecua-ción para llegar a la expresión de arriba, pues esta esta notación indica la raíz real y positiva del número. Como ni i ni -i son positivos, no hay una manera de escoger un valor único para −1 . Así, si tratamos a i como una raíz real, llegamos a una enorme cantidad de contradicciones, por ejemplo:

− = = − − = − − = =i i1 · 1 · 1 1 · 1 1 1

Esto se debe a que el siguiente paso es un error:

− = = − − = − − = =i i1 · 1 · 1 1 · 1 1 1

Pues la raíz de -1 no es una raíz real, y no podemos utilizar las propiedades de raíces que conocemos para operarla.

Entonces, si bien −1 ≠ i , podemos interpretar la notación −1 = i como −1 i y así por ejemplo −9 i

Observación

El conjugado de un número complejo es el que resulta de hacer una reflexión de él respecto del eje real.

Ejemplo El conjugado de 5 + 2i es 5 - 2i.


−1 ≠ i

94


PLANO COMPLEJO

Para introducir la siguiente sección, recordemos que los números reales se ubican en una recta que conocemos como recta numérica. Si queremos interpretar geomé-tricamente los números complejos, es necesario hacer una construcción similar a la recta numérica, pero que incluya a todos los números complejos. Para ello, cons-truiremos otra recta donde se ubiquen los números imaginarios y el cero. Esta recta recibe el nombre de eje imaginario, se ubica de forma perpendicular a la recta nu-mérica real, y la intersección entre ambos ejes es el número 0. En este contexto, la recta numérica real recibe el nombre de eje real.

El plano complejo, conocido como también como plano de Argand por aquellos interesados en la historia de las matemáticas, es el plano que se forma al establecer la recta real, formada por las multiplicaciones de la unidad, y la recta imaginaria, forma-da por las multiplicaciones de la unidad imaginaria, ortogonales (perpendiculares) entre sí, formando una especie de plano cartesiano en que el eje de las ordenadas es en realidad la recta imaginaria. Este plano tiene entonces dos dimensiones distintas, ya que es imposible formar un número complejo usando sólo números reales.

En este plano, la primera propiedad extremadamente útil que surge es representar los números complejos como coordenadas, por ejemplo el número 2 + 5i se identifica con el punto (2,5) del plano complejo.

La segunda cosa importante que ocurre en el plano complejo es que perdemos el orden que teníamos de la recta numérica, ya que es imposible decidir cuál número es más grande que otro. Lo que sí podemos decidir es cuál número está mas lejos del origen del plano complejo, pues esto nos permite asignarles una distancia a cada nú-mero complejo. Estamos relacionando cada número complejo con un número real, que sí sabemos ordenar.

• Definición: Si z = a + bi , con a, b , el módulo o valor absoluto de z es elnúmero real |z|= +a b2 2 .

En el plano complejo tenemos a los números negativos, que son una reflexión de la recta real positiva respecto al eje imaginario. También destacamos las reflexiones respecto al eje real, y las llamaremos el conjugado de un complejo.

• Definición: Si z = a + bi , definimos el complejo conjugado de z como elcomplejo z = a - bi.

TOMO I NÚMEROS

95

GEOMETRÍA EN EL PLANO COMPLEJO

La gran ventaja del plano complejo respecto al cartesiano, es que varias transfor-maciones (operaciones) geométricas se traducen a operaciones aritméticas. Vea-mos ejemplos:

• Suma: Al sumar (a, b) + (c, d) se hace una traslación* del punto (a, b) de acuerdoal vector traslación (c, d) en el plano complejo.

• Multiplicación por un número real: Al multiplicar un número complejoa + bi por un número real r estamos modificando su tamaño y sentido, sin cambiar su dirección, esto es equivalente a una homotecia*.

• Multiplicación por i: Al multiplicar por i estamos realizando una rotación* en90º respecto al punto original, esto lo vemos de mejor manera en la siguiente gráfica:

Entonces podemos deducir que una multiplicación por un número complejo resulta en ambos, un cambio de tamaño y de orientación.


1 2 i

-2 i

· i

· i ii

R2 + i = 2 − i

2 + i

-i-i

211

Observación

El módulo de un complejo representa su dis-tancia al punto (0,0) en el plano de Argand.

Estos conceptos geométricos se revisa-

rán con más detalle en el tomo III.

*

R2 + i = 2 − i

2 + i

Podemos observar que el conjugado de 2+i forma un reflejo respecto al eje real del número original

96


Este hecho nos permite entender la división de números complejos como la opera-ción que deshace el cambio hecho en el plano por la multiplicación.

De la misma forma de que la división en los reales no es más que la multiplicación por el inverso multiplicativo, en los números complejos extenderemos esta noción. Debido a esto, la siguiente propiedad resulta muy útil para entender la división:

• Propiedad: El inverso multiplicativo de un complejo eszz 2

Luego, la división de complejos se puede ver como:wz= w ⋅ z−1 = w ⋅ z

z 2Nota

Si z = a + bi ≠ 0, el inverso multiplicativo de a + bi es −

+a bia b2 2 .

TOMO I NÚMEROS

97

1. Determine el valor de i192837457.

3. Si z . ¿Es cierto que z = z?

2. Si x, y , y además (x + y) + (x - y)i = 4 + 2i. ¿Cuántovalen x e y respectivamente?

Solución. Los últimos dos dígitos de 192837457 no forman un nú-

mero divisible por 4, pero al dividir 57 en 4, el resto es 1,

de modo que 192837457 = 4k + 1 para algún valor de k .

Así, resulta i192837457 = i1 = i.

Solución.Si z , entonces existen a, b tales que z = (a, b).Bajo este supuesto, z = (a, -b) y así z = (a, -(-b)) = (a, b) = z.Por lo tanto, la afirmación es cierta.

Solución. Igualando las partes reales resulta: x + y = 4

Igualando las partes imaginarias se obtiene: x - y = 2

Al sumar ambas ecuaciones se sigue 2x = 6

Al dividir por 2 resulta x = 3

Como x + y = 4 y x = 3, se obtiene 3 + y = 4

de donde y = 1. Así, x = 3 e y = 1.

EJERCICIOS RESUELTOS


RAZONES Y PROPORCIONESAPÉNDICE A

TOMO I NÚMEROS

109

RAZONES

Cuando queremos comparar dos cantidades usualmente usamos frases como “Juan tiene el doble de la edad de Pedro” o “el pan cuesta la mitad en la panadería A que en la B”. Estas comparaciones se expresan matemáticamente como a : b o a

b y se leen

“a es a b”.

a : b = ab

antecedente consecuente

Esta forma de comparar es lo que se denomina razón entre a y b. Este objeto mate-mático es de suma importancia y de mucha utilidad en la vida cotidiana, como por ejemplo, en la escala de un mapa.

PROPORCIONES

Una proporción es una igualdad entre dos razones, sin embargo la simpleza de su definición es diametralmente opuesta a la dificultad que puede llegar a tener un pro-blema de este tipo. En una proporción, el signo “=” ya no se lee como tal si no que se traduce a la palabra “como”, es decir,

donde a y d se dirán los extremos, y b y c los medios.

El siguiente teorema es una consecuencia directa del teorema de equivalencia de números racionales y nos ayuda a decidir cuando dos fracciones forman o no una proporción.

Teorema Fundamental de las Proporciones•En una proporción el producto de los = ⋅ = ⋅a

bcd

a d b cmedios es igual al producto de los extremos

Las proporciones se pueden clasificar en dos tipos: Directa e Inversa.

“a es b como c es a d”

=

=

ab

cd

a b c d: :

} ⇔

110


• Propocionalidad Directa Se dice que dos variables son directamente propor-cionales si y sólo si el cociente entre ellas es constante. Para reconocer si dos varia-bles son directamente proporcionales debemos verificar que cada vez que una de las variables aumente, la otra también lo haga en la misma razón.

Ejemplo /

Podemos considerar que ”a es el doble de b” lo que se escribe

como a = 2b, siendo entonces para este caso K = 2 la constante

de proporcionalidad. Si reemplazamos distintos valores de b,

obtendremos la siguiente tabla y un gráfico similar a este

a b

2 1

4 2

6 3

. .

. .

. .

2n n

Ejemplo /

Si 24 trabajadores tardan 2 días en completar una obra, 12

trabajadores tardarán 4 días. Si reemplazamos distintos valores

tendremos la siguiente tabla

1 2 3 4 5 6

123456

trabajadores días k (constante)

6 8 6 · 8 = 48

12 4 12 · 4 = 48

24 2 24 · 2 = 48

48 1 48 · 1 = 48

a

b

• Proporcionalidad Inversa Se dice que dos variables son inversamente propor-cionales si y sólo si el producto de ellas es constante. Para reconocer si dos variables son inversamente proporcionales debemos verificar que cada vez que una de las va-riables aumente, la otra disminuya en la misma razón.

TOMO I NÚMEROS

111

La constante mencionada en las definiciones anteriores, recibe el nombre de cons-tante de proporcionalidad y es de suma importancia a la hora de resolver ejercicios.

Otro concepto interesante de abordar es la proporción multiple, que como se infiere directo del nombre es una serie de razones (recordar que una proporción es sólo la igualdad entre dos razones y no más). Este tipo de proporciones se define por

a : b : c = x : z : w ó = =ax

bz

cw

Y el último de los conceptos es la proporcionalidad compuesta, que es una combina-ción en una proporción múltiple de proporcionalidad directa y proporcionalidad in-versa. Para resolver este tipo de problemas, existe un método de tres pasos, el cual nos permitirá resolver este tipo de problemas de manera muy sencilla, y que revisa-remos con el siguiente ejemplo

ProporcionalidadProporcionalidad

Directa

Inversa

Proporcionalidad

Proporcionalidad

MultiplicaciónCruzada

MultiplicaciónHorizontal

Ambas suben o ambas bajan

Mientras una sube la otra baja

Esquema resumen

Ejemplo /

Supongamos que en una fábrica, hay 8 trabajadores que pro-

ducen 2.400 zapatos en 10 días, ¿Cuántos zapatos producen 4

trabajadores en 6 días?

El problema es claramente un problema de proporcionalidad

compuesta ya que si aumento la cantidad de trabajadores y

mantengo la cantidad de días, entonces evidentemente produzco

más zapatos, por lo que tendremos proporcionalidad directa. En

cambio si aumento la cantidad de trabajadores pero la produc-

ción es la misma, significa que entonces la cantidad de días que

demorarán en hacerlo será menor, por lo que tendremos propor-

cionalidad inversa.

y gráficamente lo veremos como

112


PROPORCIÓN ÁUREA

El número áureo o razón áurea, es un número irracional que se representa por la letra en honor al escultor griego Fidias, el cual representa la cantidad:

= +1 52

Bien, para resolver este tipo de problemas se utiliza el siguien-

te método:

Paso 1 Primero ordenamos los datos en una tabla

Trabajadores Zapatos Dias

8 2.400 10

4 x 6

Ahora, sabemos que si dos variables son inversamente propor-

cionales la multiplicación es constante y si son directamente

proporcionales el cociente es constante. Esto nos lleva a la

siguiente regla

Paso 2 Multiplicar cruzado si son d.p. y derecho si son i.p.

Trabajadores Zapatos Dias

8 2.400 10

4 x 6

Paso 3 Igualar y resolver

8 · x · 10 = 4 · 2.400 · 6

80x = 57.600

x = 720

a + b

a b

El número áureo surge de la división en dos

de un segmento guardando las siguientes

proporciones: La longitud total a + b es al

segmento más largo a, como a es al

segmento más corto b

La razón ab

es la denominada razón

áurea, es decir, ab

=

TOMO I NÚMEROS

113

1. Suponga que x : 4 = 3 : 2 y que 2 : y = 8 : 4, entonces x + 2yes igual a

Solución. Tomando la primera de la primera de las proporciones da-

das, obtenemos que

= =x x4

32

6

Por otro lado, con la segunda proporción obtenemos que

= =y y2 8

42 2

es decir, y=1. Luego necesitamos saber el valor de la expre-sión x+2y, por lo que sólo resta reemplazar los valores ob-tenidos en la expresión para concluir que el resultado debe ser 8.


Suponga que 2 : y = 3 : 2 y que 3 : 8 = z : 4, entonces 2z + 3y es igual a

Suponga que x : 8 = 7 : 4 y que 3 : y = 8 : 4, entonces x + 2y es igual a

Suponga que 3 : 4 = 3x : 2 y que 5 : y = 8 : 4, entonces 2x + 2y es igual a

2. Suponga que en una construcción, 10 obreros construyenun edificio en 9 meses. ¿Cuánto demorarán 12 obreros en construir dos edificios?

SoluciónSiguiendo los pasos aprendidos en este capítulo, primero

debemos ordenar los datos

Obreros Edificios Tiempo (meses)

10 1 9

12 2 x

Ahora debemos preguntarnos si las variables son direc-

ta o inversamente proporcionales, para ello realizamos la

pregunta ¿Si aumento la cantidad de obreros, construyen

más o menos edificios en el mismo tiempo? Claramente

construyen más edificios, por lo tanto son directamente

proporcionales, luego


10 1 9

12 2 x

Ahora realizamos lo mismo para las siguientes dos, es decir, ¿Si aumento el número de edificios utilizando la misma cantidad de obreros, demoraran más o menos en construirlos? Nuevamente es claro que de demoran más, por lo que son directamente proporcionales, por lo tanto tendremos


10 1 9

12 2 x

Y finalmente aplicando el paso 3, obtenemos que la ecua-

ción a resolver es 12 · 1 · x = 10 · 2 · 9

⇔

⇔

114


por lo tanto tendremos que el tiempo que demorarán en

construir dos edificios con 12 obreros es de 15 meses.

Suponga que en una construcción, 12 obrerosconstruyen un edificio en 8 meses. ¿Cuánto demora-rán 10 obreros en construir dos edifcios?

Suponga que en una zapatería, un zapatero repara 7 zapatos por día. ¿Cuánto demorán 2 zapateros en en reparar 20 zapatos?

Suponga que en una panadería, 4 panaderos hor-nean 17 kilos de marraquetas por día. ¿Cuántos panaderos se necesitan para hornear 34 kilos de marraquetas en un día?

PORCENTAJES E INTERÉSAPÉNDICE B

TOMO I NÚMEROS

127

PORCENTAJES

El porcentaje es un objeto matemático que nos permite hacer comparaciones sobre cantidades bajo una unidad común. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos ciudades A y B donde la ciudad A tiene 1 millón de habitantes y la ciudad B tiene 100 mil habitantes, y en ambas ciudades existe cierta enfermedad. Si suponemos que en ambas ciudades hay 10 mil infectados con la enfermedad, entonces uno podría decir que en ambas ciudades existe la misma cantidad de enfermos y estaría bien, pero también un factor a considerar es el volumen de la población de cada ciudad, ya que si tenemos 10 mil enfermos en la ciudad A podemos decir entonces que por cada 100 habitantes tendremos 1 enfermo, en cambio en la ciudad B por cada 10 habitantes tendremos un enfermo, lo que equivale a decir que por cada 100 habi-tantes hay 10 enfermos.

Con esta forma de ver las cosas, es muy claro que la cantidad -en términos de densi-dad- de enfermos en la ciudad B es mucho mayor o tenemos más probabilidades de encontrar un enfermo que en la ciudad A. Esta es una de las principales razones por las cuales son útiles los porcentajes, el poder comparar cantidades de una manera más significativa.

La principal controversia que puede existir en este objeto matemático es la arbitra-riedad en la elección de le la cantidad elegida, ya que cuando hablamos de porcen-tajes nos referimos específicamente a cuantos de cada 100 ¿Por qué no puede ser cuantos de cada 10, de cada 1.000 o de cada 12? Esa arbitrariedad no tiene gran ex-plicación por lo que simplemente aceptaremos que es una buena medida referirnos a cuantos de cada 100.

Supongamos que queremos sacar el Q por ciento de P, entonces la forma de hacer el planteo es entender que la frase “el Q por ciento” quiere decir que debemos dividir Q por 100 y “de P” multiplicar lo anterior por P, obteniendo lo siguiente

El Q por ciento de P

Lenguaje literal Lenguaje Matemático

Cuando nos referimos al Q por ciento de P, lo denotaremos simplemente: Q% de P.

} } ⋅Q

P100

⇔

Para que el uso de los porcentajes

se te haga más fácil es recomendable

aprenderse sus equivalencias con las

fracciones y con su expresión decimal.

Los más importantes te los mostramos

a continuación:

1% de A = 1100 · A = 0,01 · A

10% de A = 10100 · A = 0,1 · A

12, 5% de A = 18

· A = 0,125 · A

25% de A = 14 · A = 0,25 · A

50% de A = 12 · A = 0,5 · A

75% de A = 34 · A = 0,75 · A

125% de A = 54

· A = 1,25 · A

128

APÉNDICE B: PORCENTAJES E INTERÉS

}

OPERATORIA CON PORCENTAJES

La operatoria con porcentajes es herencia directa de la utilizada en el conjunto de los números racionales ( ), debido a que los porcentajes pueden ser expresados como fracciones y por lo tanto el operar con ellos será como hacerlo con fracciones. Vere-mos esencialmente sólo dos de las operaciones que conocemos, estas serán la suma y la multiplicación. La primera que veremos es la suma (o resta) de porcentajes, la cual se basa en la siguiente regla

± = ±a de C b de C a b de C% % ( )%

Lo anterior se justifica de la siguiente manera

( )± = ± = ±Cb

Ca b

C a b C1

100 100 100 1001

100

La multiplicación de porcentajes, se verá de la siguiente manera

= ⋅ ⋅a del b de Ca b

C% %100 100

donde la justicación de ello, viene dado por

=a bC

a bC

100 100 100 100

Otro aspecto importante de mencionar respecto a los porcentajes, es cuando uno habla de aumento o disminución en tanto por ciento, ya que es una práctica muy habitual en nuestra vida cotidiana y el ejemplo más común es el impuesto al valor agregado o I.V.A. (este corresponde al 19% del precio original del artículo). Para cal-cular esto, se sigue fácilmente de la siguiente manera:

Si yo aumento o disminuyo a en su b por ciento

Queda Factorizando ± ⋅a

ba

100

Ejemplo /

Supongamos que un artículo cuesta $2,000 más I.V.A., entonces

su valor con I.V.A. incluido es

⋅ + = ⋅ =$2.000 1 19100

$2.000 1,19 $2.380

} ⋅ ±ab

1100

TOMO I NÚMEROS

129

INTERÉS

El término interés es muy conocido en el día de hoy, ya que todo préstamo, convenio o cosas similares donde alguien nos presta algo pero quiere obtener ganancias deello, se vale de este concepto. El interés es un índice utilizado para medir rentabili-dad (usualmente dado como un porcentaje), por lo que es importante saber como se calcula tanto como para la PSU como para la vida en general.

El cálculo se clasifica en dos tipos:

• Interés Simple Consiste en aplicar el interés siempre sobre el capital inicial in-dependiente de los periodos de nuestra inversión, y para calcularlo tiene una fórmu-la explícita que presentamos a continuación

= +c cni

1100n 0

donde c0 es el capital inicial, cn el capital final, i la tasa de interés y n la cantidad de períodos. Observamos que la fórmula de interés simple está dada por varios puntos dentro de una recta, que parte en el período 0 con el capital inicial, como se muestra en la imagen

• Interés Compuesto A diferencia del interés simple el capital al cual se le aplica elinterés compuesto se modifica cada período, donde dicha modificación consiste sim-plemente en agregarle las ganancias de los períodos anteriores. Al igual que antes, el interés compuesto tiene una fórmula explícita la cual mostramos a continuación

= +c ci

1100n

n

0

1 2 3

C0

C1

C2

C4

Capital

Períodos

130


donde cn, c0, i y n tienen el mismo significado anterior. Notemos que el interés com-puesto esta dado por puntos sobre una función exponencial que inicia en el período 0 con el capital inicial, como muestra la figura:

1 2 3

C0

C1

C2

C4

Capital

Períodos

TOMO I NÚMEROS

131

2. Si un inversionista, invierte en fondos mutuos un capitalde US$C a una tasa de interés mensual del 5%. ¿Cuánto es el tiempo mínimo (medido en meses) que el inversionista debe mantener la inversión de modo que el capital final sea al me-nos el doble, sabiendo que nunca hace retiro de las ganancias mensuales?

SoluciónNotamos primero que por lo que dice el enunciado, el in-

versionista nunca retira sus ganancias y por ende, tendre-

mos que el interés que se esta aplicando sobre su inver-

sión es compuesto. Bien, pero sabemos que para interés

compuesto el capital total finalizado n períodos (en este

1. Si una tienda, por cambio de temporada baja todos sus pre-cios por el día lunes en un 20%, pero el día martes realizan un aumento del 20% sobre los precios del día lunes en todos sus productos. ¿Cuál será el precio de un producto de valor inicial a el día martes?

SoluciónNotemos que dado que el precio del producto es a, enton-

ces el precio del día lunes será con una rebaja del 20%, es

decir, el producto quedará en un 80% de su precio origi-

nal, por lo tanto tendremos que el precio del producto el

día lunes es

= =a a a80100

810

45

Luego para el día martes, los precios suben un 20% res-

pecto al día lunes por lo que precio del producto el día

martes será el precio del día lunes más el 20% del mismo,

es decir,

Precio del día Martes:

+ = + =a a a a a45

20100

45

45

425

2425

Notar que el precio aún es más bajo que antes de la reba-

ja de precios, ya que si bien bajo de precio y luego subió

en el mismo porcentaje, este último fue aplicado sobre

un precio menor que el inicial, por lo que dicha alza será

menor que la rebaja. El error típico en estos problemas es

pensar que si primero baja un porcentaje y luego sube el

mismo, el precio queda como se inició, pero esto no ocu-

rre siempre por lo que es importante leer bien el enuncia-

do del problema.


Si una tienda, por cambio de temporada bajan todos sus precios por el día lunes en un 30%, pero el día martes realizan un aumento del 40% sobre los precios del día lunes en todos sus productos. ¿Cuál será el precio de un producto de valor inicial a el día martes?

Si a un valor a lo disminuimos en su 30%, luego en su 20% y finalmente lo aumentamos en su 60%, el valor final es

Juan tiene 1.000 pesos y regala el 20% a su mejor amigo. A fin de mes y en forma de agradecimiento, su amigo le regala 300 pesos, entonces en relación a la cantidad inicial ¿Con cuánto quedó porcentual-mente hablando?

132


caso medido en meses) está dado por la fórmula

= +C C i1100n

n

0

donde para el caso i = 5. Luego lo anterior aplicado al caso

= + = =c c C C1 5100

105100

2120n

n n n

entonces, lo que nos está pidiendo el problema es clara-

mente que encontremos n de modo que 2120

n

sea al menos

2. Bien un número que claramente sirve es n = 20, ya que

en el caso de interés simple con 20 meses se duplica el ca-

pital y como el interés compuesto es mayor que el simple,

entonces con n = 20 basta. Ahora si probamos (evidente-

mente para el caso se debe hacer con calculadora ya que los

números son muy grandes, pero en general en los proble-

mas PSU serán casos donde es posible calcularlos a mano)

distintos números con una calculadora, obtenemos que en

realidad el número buscado es n = 15. Esto muestra que de

verdad el interés compuesto crece mucho más rápido que

el interés simple.

Si un inversionista, invierte en un deposito a plazo un capital de US$100.000 a una tasa de interés men-sual simple del 10%. ¿Cuánto es el tiempo mínimo (en meses) que el inversionista debe mantener la inversión de modo que el capital final sea al menos el doble?

Si una persona junta dinero en una cuenta de aho-rro, con un capital inicial de US$100.000 a una tasa de interés anual compuesta del 10%. ¿Cuánto es el

tiempo mínimo (meses) que el inversionista debe mantener la inversión de modo que el capital final sea al menos el triple?

Si una persona junta dinero en una cuenta de ahorro, con un capital inicial de US$100.000 a una tasa de interés anual compuesta del i%. ¿Cuál debería ser la tasa de interés de modo que al cabo de 5 años este duplique su capital?

SUMATORIASAPÉNDICE C

TOMO I NÚMEROS

145

DEFINICIÓN

Las sumatorias son una forma de escribir sumas muy extensas de una manera más sencilla y corta. Por ejemplo si queremos preguntar sobre la suma de los primeros 100 números naturales, sería bastante complicado si los escribimos matemática-mente ya que 100 números son muchos, para ello introducimos las sumatorias de la siguiente manera

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = ∑=

kk 1

100

El símbolo anterior quiere decir que el término general que en la expresión anterior se denota por k, varía desde 1 hasta 100. En otras palabras, la sucesión que tenemos en el término general se va reemplazando por los números del 1 al 100 y se van sumando entre ellos. La forma más general de una sumatoria es dada una sucesión (an)n de números reales, entonces ∑

=ak

k

n

1

es la suma de los primeros n términos de la sucesión (an)n.

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

Las sumatorias cumplen algunas propiedades que son importantes de conocer y nos ayudan mucho cuando necesitamos manipularlas de manera algebraica, estas son algunas de ellas

1. ∑ ∑⋅ == =

c a c akk

n

kk

n

1 1, para c una constante

2. ∑ ∑ ∑+ = += = =

a b a b( )kk

n

k kk

n

kk

n

1 1 1

3. ∑ ∑== +

+=

−

a akk N

M

k Nk

M N

1 1

4. Si 1<N<M, entonces ∑ ∑ ∑= += = = +

a a akk

M

kk

N

kk N

M

1 1 1

Además existen sumatorias que tienen fórmulas conocidas, como las siguientes

1. ∑ = +=

kn n( 1)

2k

n

1

2. ∑ = + +=

kn n n( 1)(2 1)

6k

n2

1

3. ∑ = +=

kn n( 1)

2k

n3

1

2

4. ∑ = −−=

+

aa a

a1k

k

n n

1

1

, si a ≠ 1

APÉNDICE C: SUMATORIAS

146

APÉNDICE C: SUMATORIA

EJERCICIOS

1. Escriba usando el signo de sumatoria

A) 12 + 32 + 52 + 72 + . . . + 312 + 332 + 352

B) 4 + 8 + 12 + 16 + . . . (n términos)C) 32 + 72 + 112 + 152 + 192 + . . . (2n términos)

2. Calcule las siguientes sumatorias

A)∑ +=

(6k 1)k 1

100

B)∑ +=

(k n)2

k 1

n

C)∑ − + +=

(2k k 7k 2)3 2

k 1

2013

147

TOMO I NÚMEROS

SOLUCIONARIO

Problema 2.2.2 Al resolver 2

3− 56+ 112

se obtiene como resultado:

Solución: Como queremos sumar/restar fracciones con denominadores diferentes, debemos amplificarlas primero para poder trabajar con denominadores iguales. Como el mínimo común múltiplo entre los denominadores 3,6 y 12 es 12, amplificamos cada fracción para obtener denominador 12:

23− 56+ 112

= 2 ⋅412

− 5 ⋅212

+ 1⋅112

= 812

− 1012

+ 112

Ahora que tenemos igual denominador, podemos conservarlo y hacer las operaciones con los numeradores:

8 −10 +112

= − 112

De este cálculo, se sigue que la alternativa correcta es la C.

Problema 2.2.4 La expresión 3−

14

5 − 13

es igual a:

Solución: Calculemos primero la diferencia entre 5 y 13

amplificando para obtener igual denominador

5 − 13= 51− 13= 5 ⋅33

− 13= 153− 13= 15 −1

3= 143

De este cálculo, podemos ver que

3−14

5 − 13

= 3− 14143

Al hacer la división entre 14 y 143 notamos

14143

= 14 :143= 141:143= 141⋅ 314

= 141

⋅ 314

= 3

Así, la expresión es equivalente a 3 - 3 = 0. Luego la alternativa correcta es la E.

Problema 2.2.6La expansión decimal del número

36699 es:

Solución: Este problema se puede resolver dividiendo 366 en 99, pero presentamos aquí otra manera de resolverlo mediante tanteo: Como el denominador es 99, sabemos que viene de una expansión decimal periódica, con dos dígitos decimales. Además, 366 debe ser el resultado de restar la parte entera al número completo sin la coma. Como el primer dígito es 3, seguramente la parte entera es 3. Si se le restó 3, la cifra original debió ser 369, de modo que el número es 3,69 .

148

Problema 2.2.7 Resuelva 1

2− 13+ 113

+1

Solución: Primero buscamos mínimo común denominador. En este caso, como todos los denominadores son números primos diferentes(salvo el 1), el mínimo común múltiplo entre ellos será el producto de todos. En este caso es 2 ⋅3⋅13= 78 . Así, al amplificar resulta

12− 13+ 113

+1= 3978

− 2678

+ 678

+ 7878

Ahora, operando los numeradores resulta

12− 13+ 113

+1= 39 − 26 + 6 + 7878

= 9778

La alternativa correcta es A.

Problema 2.2.10 Se ha vendido 15 , 12 y

110 de una rifa de la cual

quedan 4 números por vender. ¿Cuál es la cantidad de números vendidos de la rifa?

Solución: Anotemos por T a la cantidad total de números de la rifa. Sabemos que se han vendido 15 , 12 y 110 . Así, la fracción de números vendidos es

15+ 12+ 110

= 210

+ 510

+ 110

= 2 + 5 +110

= 810

= 45

Como se han vendido 45 de la rifa, queda 15por vender. Como un quinto corresponde a 4 números, los números vendidos(que son cuatro quintos) deben ser cuatro veces dicha cantidad: 4 ⋅4 = 16 .

Alternativa B.

Problema 2.2.17 Un jarro de un litro de capacidad se llena hasta el tope con aceite y agua de modo que el aceite ocupa tres cuartas partes del volumen. Si se trasvasija a una botella de dos litros de capacidad y se agregan agua y aceite en partes iguales hasta llenar la botella, ¿Cuál es la razón entre el volumen de agua y el volumen de aceite?

Solución: El jarro original tiene 34 de litro en

aceite. Como el resto es agua y tiene capacidad de 1 litro, el agua presente, en litros es

1− 34= 44− 34= 14

Luego de trasvasijar, se agrega otro litro en partes iguales de cada líquido, es decir 12 litro de agua y 12 litro de aceite. Así, al dividir los volúmenes de agua y aceite tenemos:

agua + agua agregadaaceite inicial + aceite agregado

=

14+ 12

34+ 12

=

14+ 24

34+ 24

=

3454

= 34: 54= 34⋅ 45= 35= 3 :5

Alternativa D.

Problema 2.2.28: El resultado de 2,4 + 3,6 es igual a

Solución: para operar con números periódicos, lo más conveniente suele ser transformarlos a fracción y trabajarlos como fracciones: en este

149

TOMO I NÚMEROS

caso queda 2,4 = 24 − 29

= 229

y 3,6 = 36 − 39

= 339

.

Finalmente, la suma de ambas expresiones es 229

+ 339

= 559

Como las alternativas están expresadas como decimal, hacemos la división:

55 :9 = 61

Al llegar a la última cifra, colocamos la coma en el cociente y bajamos uno de los ceros que están implícitos en el dividendo:

55,0 :9 = 6,1101

Al bajar el siguiente cero, notamos que se repite el paso anterior, formando así un ciclo infinito donde cada nuevo dígito será 1

55,0 :9 = 6,11010

Así, el resultado es 6,1 y, consecuentemente, la alternativa correcta es E.

Problema 2.2.30 Una piscina está con agua hasta un cuarto de su capacidad. Si se sacan 8 litros, entonces queda sólo hasta la octava parte de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad de la piscina?

Solución: Anotemos como x = 64 la capacidad total de la piscina, en litros. Sabemos que antes de quitar los 8 litros, la piscina estaba con

agua hasta un cuarto de su capacidad.De esta información podemos decir que el volumen de agua, en litros de la piscina, antes de quitar 8 litros era x4 . Una vez que removemos 8 litros, se tiene un octavo de la capacidad. En lenguaje algebraico, esto se traduce a

x4− 8 = x

8

Al sumar 8 −x8 a cada miembro de la ecuación

se obtienex4− x8= 8

Igualando denominadores en el lado izquierdo resulta

2x8

− x8= 8

Luego2x − x8

= 8

Así,x8= 8

Al multiplicar por 8 resulta

x = 64

De donde la alternativa correcta es E.

150

Problema 2.2.34: La expresión 1+ 1

1+ 1

1+ 13

es equivalente a

Solución: Notamos que 1+13= 33+ 13= 3+1

3= 43 así,

nuestra expresión se reescribe de la siguiente manera:

1+ 1

1+ 1

1+ 13

= 1+ 1

1+ 14 / 3

Al dividir 14 / 3 resulta:

1: 43= 1⋅ 3

4= 34

Luego

1+ 1

1+ 14 / 3

= 1+ 1

1+ 34

Hacemos la adición 1+ 34 :

1+ 34= 44+ 34= 4 + 3

4= 74

Así

1+ 1

1+ 34

= 1+ 17 / 4

Por otro lado:

17 / 4

= 1: 74= 1⋅ 4

7= 47

Así

1+174

= 1+1: 47= 77+ 47= 117

La alternativa correcta es A.

Problema 2.2.35 La expresión fraccionaria de 0,051 equivale a

Solución: Para transformar números decimales semiperiódicos a fracción se debe colocar el número completo sin considerar coma (0051=51), restar todo lo que no forme parte del período (005=5) y dividir por un número formado por tantos nueves como dígitos tenga el período (un nueve) seguidos de tantos ceros como dígitos tenga el anteperíodo (dos ceros). Bajo esta regla, tenemos:

0,051= 51− 5990

= 46990

Alternativa correcta: D.

Problema 3.1 Un par de valores de x e y que cumplen que

x + y( )3 x3 − y3( )x + y( ) x3 − y3( )x2 + y2 + 2xy( ) x − y( ) x2 + xy + y2( ) = 1

SonA) x = 1 e y = 1B) x = 0 e y = 0C) x = 1 e y = 2D) x = 0 e y = 2E) x = 1 e y = 0

Solución: Una manera(a veces muy lenta) de resolver el problema es reemplazar uno a uno los velores que indican las alternativas. Otra forma es simplificar un poco la expresión de la izquierda, factorizando algunas expresiones

151

TOMO I NÚMEROS

conocidas:La expresión x3 − y3 es una diferencia de cubos. Su factorización es x − y( ) x2 + xy + y2( )La expresión x2 + y2 + 2xy( ) se puede reordenarcomo x2 + 2xy + y2( ) formando un trinomiocuadrado perfecto, cuya factorización es el cuadrado de binomio x + y( )2 .La fracción algebraica se puede reescribir entonces como x + y( )3 x − y( ) x2 + xy + y2( )

x + y( )2 x − y( ) x2 + xy + y2( ).

Al simplificarla resulta x + y( )Con esto en mente, todo lo que debemos verificar es que x + y = 1la única alternativa que cumple este criterio es la alternativa E.

Problema 3.4x2 + 6x + 5 =

Solución: Como se tiene un trinomio ordenado, vemos que viene del producto de dos binomios con un término común x . El número 6 es resultado de la suma de los términos libres y 5 es el producto de ellos. Así, debemos buscar dos números que multiplicados den 5, y que su suma sea 6. Como 5 es un número primo, la única manera de obtenerlo como producto de naturales es 5 ⋅1 . Como 5+1=6, sabemos que 5 y 1 son los números buscados.

La factorización entonces es x + 5( ) x +1( ) . Alternativa A.

Problema 3.5 La mejor factorización para x5 − x es:

Solución: Primero notamos que la expresión algebraica tiene a x como factor de cada uno de sus términos. Así, podemos factorizarla por el factor común x , obteniendo

x5 − x = x x4 −1( )

Si bien esta es una factorización, el factor x4 −1 puede ser factorizado también si notamos que x4 es el cuadrado de x2 y 1 es el cuadrado de 1. Luego x4 −1 es una diferencia de cuadrados, que se puede factorizar como suma por diferencia x2 +1( ) x2 −1( ) . Así

x5 −1= x x2 +1( ) x2 −1( )

Nuevamente podemos factorizar x2 −1 como diferencia de cuadrados obteniendo

x5 −1= x x2 +1( ) x +1( ) x −1( )

Así, la alternativa correcta es la D.

Problema 3.72p − 4( ) 2p + 4( )− 4 p − 2( )2 =

Solución: El producto 2p − 4( ) 2p + 4( )corresponde a suma por diferencia, de modo que el resultado es 2p( )2 − 42 = 4 p2 −16

La potencia 4 p − 2( )2 es un cuadrado

152

de binomio. Luego su resultado es4 p( )2 − 2 ⋅4 p ⋅2 + 22 = 16p2 −16p + 4 .

Con esto en mente, tenemos

2p − 4( ) 2p + 4( )− 4 p − 2( )2 = 4 p2 −16( )− 16p2 −16p + 4( )

Al quitar paréntesis, todos los términos del segundo paréntesis cambian de signo:

2p − 4( ) 2p + 4( )− 4 p − 2( )2 = 4 p2 −16 −16p2 +16p − 4

Al operar términos semejantes obtenemos

2p − 4( ) 2p + 4( )− 4 p − 2( )2 = −12p2 +16p − 20

Este resultado es equivalente al presentado en la alternativa A.

Problema 4.2:62 + 62 + 62 + 62 + 62 + 62 =

Solución: Un error común de los estudiantes es creer que existe una propiedad que permita sumar potencias e inventar alguna durante la prueba. Una opción es calcular cada cuadrado por separado y sumar 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 = 6 ⋅36 = 216 = 63 .También puede tomarse 62 como factor común, obteniendo 62 1+1+1+1+1+1( ) = 62 ⋅6 = 62+1 = 63En cada caso la alternativa correcta es la C.

Problema 4.8:Calcule de manera exacta32( )2 ⋅ 23( )2 ⋅3⋅22 ⋅372 ⋅32( )5 35 ⋅22( )2 ⋅27 ⋅33

Solución: En el numerador utilizamos la propiedad de potencia de una potencia y en el denominador separamos las potencias de los paréntesis:

32( )2 ⋅ 23( )2 ⋅3⋅22 ⋅372 ⋅32( )5 35 ⋅22( )2 ⋅27 ⋅33

= 34 ⋅26 ⋅3⋅22 ⋅37

25 ⋅ 32( )5 ⋅ 35( )2 ⋅ 22( )2 ⋅27 ⋅33Aplicando la propiedad de potencia de una potencia en el denominador resulta

34 ⋅26 ⋅3⋅22 ⋅37

25 ⋅310 ⋅310 ⋅24 ⋅27 ⋅33

Podemos sumar exponentes al multiplicar bases iguales. Así, la fracción queda como

34+1+7 ⋅26+2

25+4+7 ⋅310+10+3= 3

12 ⋅28

216 ⋅323= 312 ⋅28

28+8 ⋅312+11= 312 ⋅28

28 ⋅28 ⋅312 ⋅311= 128 ⋅311

En virtud de esto, la alternativa correcta es E

Problema 4.11 La simplificación de

333

es:

Solución: Aplicando propiedades de raíces, resulta

333= 3

33= 3

36= 336

36= 33

36 = 326 = 3

26 = 3

13 = 33

Alternativa C

153

TOMO I NÚMEROS

Problema 4.12 El valor de 273 ⋅ 93 es:

Solución: Cuando se multiplican raíces de igual índice, puede mantenerse el índice multiplicando las cantidades subrdicales.

273 ⋅ 93273 ⋅ 92 = 27 ⋅93 = 33 ⋅323 = 33+23 = 353

La alternativa correcta es B.

Problema 4.17:Si a = 3 , b = 5 y c = 7 , entonces

ab2

c es

igual a:

Solución:

ab2

c=

3 5( )27

= 3 ⋅ 52

7= 3⋅52

7= 75

7

Alternativa E.

Problema 4.18:35 ⋅85( )2 =

Solución: 35 ⋅85( )2 = 35( )2 ⋅ 85( )2 = 35⋅2 ⋅85⋅2 = 310 ⋅810 = 3⋅8( )10

Alternativa D.

Problema 4.21:¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I.114 ⋅115 = 119

II.511 + 55 = 516III. 411 ⋅511 = 2011

Solución:I es verdadera, pues al multiplicar dos potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

II es falsa, pues 511 + 55 = 55 ⋅ 56 +1( ) y 516 = 55 ⋅511

. Si II fuera cierta, tendríamos 56 +1= 511 (es decir, 511 sería el sucesor de 56 ). Eso es falso. Luego II también.

III es verdadera, pues al multiplicar potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases, manteniendo el exponente.

Son verdaderas I y III (Alternativa D).

Problema 4.23:34m−2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−3

Solución: Aplicamos la definición de potencia con exponente negativo:

m−2 = 1m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 1m2

Así,

34m−2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−3

= 34⋅ 1m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−3

= 34m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−3

= 4m2

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

=43 m2( )333

= 64m6

27

154

De donde se sigue que la alternativa correcta es E.

Problema 4.25:

12 + 48 + 75 + 108( ) : 3

Solución: Apuntando a simplificar, descomponemos:

12 = 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3

48 = 16 ⋅ 3 = 4 3

75 = 25 ⋅ 3 = 5 3

108 = 36 ⋅ 3 = 6 3Luego:

12 + 48 + 75 + 1083

= 2 3 + 4 3 + 5 3 + 6 33

= 17 33

= 17

Clave: D

Problema 4.33: La expresión 24 + 24 + 24 + 24

24 + 24 + 24 + 246

es igual a:

Solución:

24 + 24 + 24 + 24

24 + 24 + 24 + 246=

24 ⋅ 1+1+1+1( )24 1+1+1+1( )6

= 24 ⋅424 ⋅46

= 24 ⋅22

24 ⋅26= 24+2

24+26= 26

266= 2

62

2= 2

3

2= 22 = 4

24 + 24 + 24 + 24

24 + 24 + 24 + 246=

24 ⋅ 1+1+1+1( )24 1+1+1+1( )6

= 24 ⋅424 ⋅46

= 24 ⋅22

24 ⋅26= 24+2

24+26= 26

266= 2

62

2= 2

3

2= 22 = 4

Alternativa B.

Problema 5.8: Si z = −2 + 3i entonces 1+ z + z

2 =

Solución:

1+ z + z2 = 1+ −2 + 3i( )+ −2 + 3i( )2 = 1− 2 + 3i + −2 + 3i( ) −2 + 3i( )

= −1+ 3i + 4 −12i + 9i2( )= −1+ 3i + 4 −12i − 9= −6 − 9i

La alternativa correcta es B.

Problema 5.13:22

+ 22i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4

=

Solución: Primero notemos que22

+ 22i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

= 22

+ 22i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟22

+ 22i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 2

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

+ 22

⋅ 22i + 2

2i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

2 ⋅ 22

⋅ 22i + 2

2i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

= 24+ 4i4+ 24i2

24+ i − 2

4= i

Luego

22

+ 22i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4

= 22

+ 22i

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2

= i2 = −1

Luego la alternativa correcta es B.

Problema 5.16: i + i2 + i3 + i4 =

Solución: i + i2 + i3 + i4 = i −1− i +1= 0Alternativa A.

155

TOMO I NÚMEROS

Problema 5.17:Si zw = 1+ 3i entonces −i zw − zw( )

Solución: Sabemos quezw − zw = 2i Im zw( ) = 2i ⋅3= 6i . Así−i zw − zw( ) = −i ⋅6i = −6i2 = −6 ⋅−1= 6 .

Clave: C

Problema 5.22: Al realizar la operación 3− 7i( ) 5 + 2i( ) se obtiene:

Solución:3− 7i( ) 5 + 2i( ) = 3⋅ 5 + 2i( )− 7i 5 + 2i( ) = 15 + 6i − 35i −14i2

= 15 + 6i − 35i +1429 − 29i

Clave: C

Apéndice CPágina 147

∑

∑

∑

a) 2k−1

b) 4k

c) (4 −k 1)

=k 1

18

=k 1

n

2

=k 1

2n

100+ =

+

− + +2·2013 8.=

a)6·100·1012

30.400

b) n(n 1)(2n+ +1)6

n

c)2· 2013·20142

2013·2014 · 40276

7·2013·20142

2

2

2013 8.+ = 215.489.006.406

1

2

156

NOMENCLATURA

Para todo Existe

{a, b, c . . .} Conjunto formado por los elementos a, b, c . . . Pertenece No pertenece Subconjunto Unión Intersección

Ac Complemento de A Conjunto vacío

R2 Plano cartesianoR3 Espacio Euclidiano(a, b) Par ordenado(a, b, c) Trío ordenadoA × B Producto cartesiano entre A y BN Números naturalesN0 Números cardinalesZ Números enterosQ Números racionalesI Números irracionalesR Números realesC Números complejos

Igualdad Equivalencia

Semejantes Congruentes

Mayor que

Menor que Mayor o igual que Menor o igual que

z Conjugado de zf(x) Función con variable independiente xf−1(x) Función inversa de f(x)

Suma o resta Resta o sumaln Logaritmo natural o logaritmo en base e

Sumatoria[a, b] Intervalo cerrado desde a hasta b(a, b) o ]a, b[ Intervalo abierto desde a hasta b(a, b] o ]a, b] Intervalo semi-abierto desde a hasta b

Combinación de n sobre kC(n, k) V (n, k) fi x Me Mo

2

PQ / /

AB sin( ) cos( ) tan( )

Variación de n sobre k Frecuencia Media aritmética o promedio Mediana Moda Desviación estándar Varianza Segmento desde el punto P hasta Q Paralelos Perpendicular Arco desde A hasta B Seno de Coseno de Tangente de

nòmeros · factorizaci n de trinomios cuadr ticos 59 ejercicios propuestos 61 ejercicios 62 4....

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