El producto vectorial o producto cruz

El producto vectorial   ( por eso también llamado producto cruz) está

definido únicamente para vectores de   . El resultado será también un vector de 

Definición: Sean   y  . El producto cruz de los vectores   y   se define como:

 

Nota: una manera sencilla de obtener el producto es: coloque el que va primero en el orden del

producto encima del que va de segundo ( por eso el vector   está encima y el vector   debajo).

Para calcular la primera componente, se calculará un determinante por cofactores. Se omite la

primera componente tanto del vector   como del vector  .Se calcula el

determinante 

De la misma manera para la segunda se omiten   y  Se calcula el

determinante 

y así para la tercera calculando el determinante 

De esta manera se puede usar la notación:

Lo que se puede observar inmediatamente, por propiedades de los determinantes es

que 

pero que 

Para la dirección de   y de   se aplica lo que se aplica en un sistema de mano derecha

Ejemplo 1: Siendo   y   calcular el vector 

 

Teorema: Sean   ,   y   vectores de     (escalar)

1)   y   (El vector   es ortogonal tanto a   como a  )

2)   es paralelo a   si y sólo si 

3) 

4)   ( identidad de Lagrange)

5)   siendo   el ángulo entre los vectores   y 

6) 

7) 

Las demostraciones de cada uno de los numerales son básicamente comprobaciones por esa razón no se harán sino 1) y 2) para ilustrar. 

1) 

 

2)   Si  , se tiene que existe   tal que   . Por lo tanto 

 Si  , es porque se ha producido un determinante con dos iguales ó múltiplos, por

lo tanto 

Para la propiedad 4) lo más sencillo es calcular cada uno de los lados de la igualdad por separado

y luego comprobar que ellos son iguales .

La propiedad 5) es consecuencia de la 4) utilizando que 

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO TRIPLE

ESCALAR 

Considerando el paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores   y  , el área es:

base por altura =   . Pero  . Remplazando

Area del paralelogramo= 

 Area del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores   

y 

Ejemplo 2: Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos 

 

Formamos los vectores   y   ( podrían ser cualquiera dos formados con estos puntos)

 sería el área del paralelogramo

 es entonces el área del triángulo

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA  

Sean   tres vectores de   que conforman los lados de un paralelepípedo o caja.

El volumen de un paralelepípedo es área de la base por altura. El área de la base es   

que es el área del paralelogramo. Al proyectar   sobre   y tomar la magnitud de la

proyección se encontrará la altura. altura  proy   entonces

Volumen   Si se tomara como base la cara conformada por

los vectores   y   el volumen es   Y si se toma como base la cara conformada por

los vectores   y   el volumen es   Pero para evitar el problema que podría surgir de que de una cantidad negativa dependiendo de que producto vectorial se haga se toma el valor absoluto y la combinación puede ser entonces cualquiera. Volumen de un paralelepípedo de lados conformados por los

vectores Ejemplo 3:Encontrar el volumen del paralelepípedo cuyos lados están conformados por los

vectores   El producto triple escalar en valor absoluto,en cualquier combinación nos dará el volumen 

 Volu

men   

Utilizando desarrollo de determinantes por cofactores de la primera fila es fácil ver que: con los

vectores