ejercicios tema 12

Estadística Aplicada Tema XII

1) En un estudio sobre los niveles de contaminación de las aguas de un río, se tomaron muestras en tres puntos diferentes del cauce (A, B y C) en cinco fechas distintas (repeticiones), siendo el número de partículas contaminantes halladas en los análisis (en p.p.m.):

A 10 9 10 8 8B 7 5 8 4 6C 6 7 6 3 3

A) Contrastar mediante análisis de varianza de un factor, a un nivel de significación de 0´05, la hipótesis de igualdad de los niveles de contaminación en A, B y C.

B) Obtener los residuos del modelo y representar su diagrama de caja.

SOLUCIÓN

A)

H0 : A = B = C =

H1 : al menos alguna j (j = A, B, C)

Para la obtención de la tabla del análisis de la varianza necesitamos calcular las medias muestrales obtenidas en cada uno de los tres puntos del cauce, así como la media general:

9 6 5 6,667

Con estas medias podemos obtener la descomposición de la suma de cuadrados:

SCT = 10 6,6672 + 9 6,6672 + ....... + 3 6,6672 = 71,33

SCA = 59 6,6672 + 56 6,6672 + 55 6,6672 = 43,33

SCE = 10 92 + 9 92 + .... + 7 62 + .... + 6 52 + .... +

+ 3 52 = 28

Ahora ya podemos escribir la tabla del análisis de varianza. Los grados de libertad resultan del número de tratamientos (tres puntos del cauce) y de las repeticiones (cinco por cada punto).

Fuente de variaciónSuma de

cuadradosGrados de

libertadCuadrado

medio Valor F

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola I.N.E.A. (U. Valladolid)1


Entre tratamientos 43,33 2 21,67 9,29Residual 28,00 12 2,33

Total 71,33 14

Al nivel de significación de 0,05 podemos establecer las regiones del contraste, que en este tipo de pruebas son siempre unilaterales y hacia la derecha.

Luego, como bajo H0 :

tendremos: RA = { F 3,89 }RC = { F 3,89 }

A la vista del resultado empírico (9,29) decidimos rechazar la hipótesis nula: los niveles de contaminación no son iguales en los tres puntos del cauce.

B)Se llaman residuos del modelo a los valores que resultan, para cada dato, de obtener Esto es, de restarle a cada uno de ellos la media de su respectivo tratamiento.

Estos residuos, puestos en el mismo orden de presentación de la tabla del enunciado, serían:

1 0 1 -1 -11 -1 2 -2 01 2 1 -2 -2

Para construir el diagrama de caja hemos de calcular la mediana y los cuartiles. Por tanto empezaremos por ordenar esos valores.

(-2, -2, -2, -1, -1, -1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2)

Con ello se obtienen los cuartiles.

Q1 = -1 Me = Q2 = 0 Q3 = 1

Y, a partir de ellos, los límites para los valores atípicos.

Ls = 1 + 1,5 (1 – (-1)) = 4 Li = -1 - 1,5 (1 – (-1)) = - 4

Con lo que no hay valores atípicos. Sólo queda dibujar el diagrama de caja.


I I I I I II

0-2 -1 1 2-3 3


2) La tabla muestra las tasas de resistencia aparecidas en poblaciones de pulgón como consecuencia de la aplicación de tres clases distintas de insecticidas (A, B y C) en cuatro repeticiones sobre plantaciones de manzano.

TRATAMIENTO A 5 4 6 3TRATAMIENTO B 3 4 2 3TRATAMIENTO C 5 7 4 4

Determinar si hay diferencias significativas al 0,05 . Razonar cuál sería aproximadamente el nivel de significación crítico (p-valor) y la decisión, una vez conocido ese valor.

SOLUCIÓN

H0 : A = B = C =


Para la obtención de la tabla del análisis de la varianza necesitamos calcular las medias muestrales de cada una de los insecticidas ensayados, así como la media general:

4,50 3 5 4,17


SCT = 5 4,172 + 4 4,172 + ....... + 4 4,172 = 21,67

SCA = 44,5 4,172 + 43 4,172 + 45 4,172 = 8,67

SCE = 5 4,52 + 4 4,52 + .... + 3 32 + .... + 5 52 + .... +

+ 4 52 = 13

Ahora ya se puede escribir la tabla del análisis de varianza. Los grados de libertad resultan del número de tratamientos (tres) y de las repeticiones (cuatro por tratamiento).




cuadradosGrados de

libertadCuadrado

medio Valor FEntre tratamientos 8,67 2 4,34 3,01Residual 13,00 9 1,44

Total 21,67 11

Al nivel de significación de 0,05 las regiones del contraste quedan delimitadas así:

bajo H0 : luego tendremos: RA = { F 4,26 }

RC = { F 4,26 }

A la vista del resultado empírico (3,01) decidimos aceptar la hipótesis nula: no hay diferencias significativas en las tasas de resistencia aparecidas con los tres insecticidas.

Con todo no se debe olvidar que, a veces, la imposibilidad de rechazar la hipótesis nula se debe a la potencia insuficiente de la prueba. Por ejemplo, en este caso, haber tomado cinco o seis repeticiones en lugar de cuatro hubiera mejorado ese aspecto.

Aún así no hemos quedado muy lejos de poder rechazar la hipótesis nula. El p-valor obtenido es una información valiosa.

p-valor = PH0 (F 3,01) = 0,0778

Este resultado del p-valor se da a título informativo. Las tablas de la distribución F que se manejan en esta asignatura no son recurso suficiente para obtenerlo. De hecho, se obtuvo de la salida de un programa estadístico para ordenador. Sin embargo si es indispensable ser capaz de interpretarlo.

Al nivel de significación al que trabajábamos ( = 0,05) no se podría rechazar la hipótesis nula pues el p-valor es más grande. Sin embargo a un nivel de significación mayor, o lo que es lo mismo menos riguroso (como por ejemplo para = 0,10) si se hubiera podido hacerlo.

Recuerda:

Si p-valor : Aceptamos la hipótesis nula

p-valor : Rechazamos la hipótesis nula

Y, en todo caso, el p-valor nos informa de las probabilidades que a priori existían de obtener un resultado como el alcanzado (o más raro aún) siendo cierta la hipótesis nula.

3) En un estudio sobre la eficacia de cinco piensos diferentes en la alimentación de broilers, se obtuvieron los siguientes resultados en cuanto a ganancias medias diarias de peso por lote en las diferentes repeticiones:

Pienso A Pienso B Pienso C Pienso D Pienso E 26 28 28 27 30



25 28 25 32 24 29 31 28 31 29 24 33 27 30 25

A) Efectuar un análisis de varianza con un factor para contrastar si la diferencias entre los piensos se pueden atribuir al azar, a un nivel de significación del 5%.

B) Recurrir al emparejamiento de muestras para contrastar la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre los piensos B y A, en primer lugar y entre los piensos C y A, en segundo lugar,. Utilizar la prueba “t” para las diferencias en muestras apareadas, a un nivel de significación del 5% en contraste unilateral.

SOLUCIÓN

A)

H0 : A = B = C = D = E =

H1 : al menos alguna j (j = A, B, C, D, E)

Las medias muestrales de la ganacia de peso obtenida con cada uno de los piensos ensayados, así como la media general:

26 30 27 30 27 28


SCT = 26 282 + 28 282 + (27 – 28)2 +....... + 25 282 = 134

SCA = 4 [26 282 + 30 282 + 27 282 + 30 282 + 27 282 ] =

= 56

SCE = 26 262 + 28 302 + .... + 25 262 + .... + 29 262 + ....+

+ 24 262 + .... + 25 272 = 78

Ahora ya se puede escribir la tabla del análisis de varianza. Los grados de libertad resultan del número de tratamientos (cinco) y de las repeticiones (cuatro por tratamiento).


cuadradosGrados de

libertadCuadrado

medio Valor FEntre tratamientos 56 4 14 2,69Residual 78 15 5,2

Total 134 19





RC = { F 3,06 }

A la vista del resultado empírico (2,69) decidimos aceptar (no rechazar) la hipótesis nula, a ese nivel de significación de 0,05: no hay diferencias significativas en las ganancias diarias de peso logradas con esos cinco piensos.

B)

En este apartado se nos pide que recurramos al modelo de comparación de medias en muestras apareadas que vimos en el tema IX.

Empezaremos comparando los resultados del pienso B con los del pienso A.

Repetición 1 2 3 4

Pienso B 28 28 31 33

Pienso A 26 25 29 24

Diferencia 2 3 2 9

Desde luego para que ese emparejamiento resulte razonable es preciso que se hayan dado unas circunstancias que lo justifiquen: los resultados de cada repetición, en uno y otro pienso, debieran haberse dado en presencia de elementos o circunstancias comunes, tales como tipo de manejo, explotación, instalaciones, etc., y sin embargo distintas de una repetición a otra.

En contraste bilateral:

H0 : d = 0 H1 : d 0 donde d representa la media de la población de esas diferencias.

Al ser desconocida la varianza de la población de diferencias y manejar una muestra de tamaño pequeño, siendo cierta la hipótesis nula:

t n –1 donde n es el tamaño de la muestra, 4 en este caso.

Como = 0,05 para 3 grados de libertad ( n - 1) t / 2 = 3,18 al ser un contraste bilateral. Y las regiones del contraste quedarían:

RA = { -3,18 t´ 3,18 }



RC = { t´ -3,18 ó t´ 3,18 }

Los resultados empíricos del contraste.

= 4

Y la cuasidesviación típica de la muestra la utilizamos como estimación de la correspondiente desviación típica de la población.

= 3,3665

Siendo el resultado del estadístico de control:

= 2,376 Por lo que no se rechaza la hipótesis

nula; es decir, se concluye que no hay diferencias significativas entre los dos piensos..

Si en lugar de plantear el contraste bilateral se hubiera hecho el unilateral hacia la derecha:

H0 : d 0 H1 : d 0 Entonces las regiones del contraste serían diferentes.

RA = { t´ 2,35 }

RC = { t´ 2,35 }

Y en este caso, por muy poco, se habria rechazado la hipótesis nula y aceptado que el pienso B daba lugar a una ganancia media diaria de peso mayor.

Ahora se van a comparar los resultados de los piensos C y A.

Repetición 1 2 3 4

Pienso C 28 25 28 27

Pienso A 26 25 29 24

Diferencia 2 0 -1 3

Es dudoso, dados los resultados de la comparación anterior, que se puedan obtener resultados significativos. Por lo que plantearemos el cuadro de hipótesis de la forma que da lugar a una prueba más potente. Es decir, unilateralmente y hacia la derecha.



H0 : d 0 H1 : d 0 Para iguales niveles de significación y grados de libertad

RA = { t´ 2,35 }

RC = { t´ 2,35 }

=1 como media de esas diferencias en la muestra

= 1,8257

Y el resultado del estadístico utilizado para el control de la prueba de contraste:

= 1,095 no permite que rechacemos la hipótesis nula.

Las diferencias de resultados entre los piensos C y A no resultan estadísticamente significativas, a ese nivel de 0,05

4) Para comprobar la eficacia de dos fertilizantes, A y B, se dispuso un ensayo con tres tratamientos (los dos fertilizantes y un grupo de control) en cuatro fincas diferentes. Los resultados del ensayo fueron los siguientes:

Tratamiento Finca 1 Finca 2 Finca 3 Finca 4A 72 74 78 68B 69 75 70 66C (control) 60 64 65 55

A) Emplear un análisis de varianza con un factor para ver si hay diferencias significativas entre los tratamientos a un nivel del 5%.

B) Aplicar la prueba “t” para muestras apareadas, al objeto de comprobar si hay diferencias significativas entre el fertilizante A y el B, al nivel del 5% en contraste unilateral.

C) Emplear un análisis de varianza con dos factores (tratamientos y fincas) para comprobar si hay diferencias significativas a un nivel del 5%.

SOLUCIÓN



A)

H0 : A = B = C =


Las medias muestrales obtenidas con cada uno de los tratamientos, así como la media general:

73 70 61 68


SCT = 72 682 + 74 682 + (78 – 68)2 +....... + 55 682 = 468

SCA = 4 73 682 + 4 70 682 + 4 61 682 = 312

SCE = 72 732 + 74 732 + .... + 69 702 + .... + 60 612 + ....+

+ 55 612 = 156

Los grados de libertad vienen dados por el número de tratamientos (tres) y de las repeticiones (cuatro por tratamiento).


cuadradosGrados de

libertadCuadrado


Total 468 11



RC = { F 4,26 }

A la vista del resultado empírico (9,00) se debe rechazar la hipótesis nula, a ese nivel de significación de 0,05: existen diferencias significativas en los resultados de esos tratamientos.

B)

En este apartado se nos pide que recurramos al modelo de comparación de medias en muestras apareadas, que vimos en el tema IX, para comprobar si son significativas las diferencias obtenidas entre los fertilizantes A y B.



Empezaremos comparando los resultados del tratamiento A y el B.

Finca 1 2 3 4

Fertilizante A 72 74 78 68

Fertilizante B 69 75 70 66

Diferencia 3 -1 8 2

En este caso el emparejamiento es bastante razonable, dado que cabe suponer una mayor homogeneidad de las condiciones ambientales de los tratamientos en cada finca (repetición) que no entre una finca y otra.

Si debe plantearse un contraste unilateral, lo lógico es hacerlo hacia la derecha.

H0 : d 0 H1 : d 0 donde d representa la media de la población de esas diferencias.

Al ser desconocida la varianza de la población de diferencias y manejar una muestra de tamaño pequeño, siendo cierta la hipótesis nula:

t n –1 donde n es el tamaño de la muestra, 4 en este caso.

Como = 0,05 para 3 grados de libertad ( n - 1) t = 2,35 al ser un contraste unilateral. Y las regiones del contraste quedan:

RA = { t´ 2,35 }

RC = { t´ 2,35 }

Los resultados empíricos del contraste han sido:

= 3

Utilizamos la cuasidesviación típica de la muestra como estimación de la correspondiente desviación típica de la población.

= 3,7417

Siendo el resultado del estadístico de control:



= 1,604

Por lo que no se puede rechazar la hipótesis nula. Es decir, se concluye que no hay diferencias significativas entre los dos fertilizantes. Este resultado no es contradictorio con el obtenido en el apartado anterior. Recuerda que el hecho de que algún tratamiento dé resultados diferentes no significa que todos, necesariamente, lo den.

C)

Vamos a emplear el modelo de dos factores (tratamiento y bloque) para realizar la comparación. En realidad este modelo es mucho más lógico que el empleado en el apartado A del ejercicio, por las razones ya indicadas al comienzo del apartado B.

Como siempre, empezamos por establecer el cuadro de las hipótesis.

H0 : A = B = C = 0 = = = = 0

H1 : al menos algún 0 (j = A, B, C) donde:

al menos algún 0 (k = 1, 2, 3, 4)

j representa el efecto del tratamiento y se obtiene por diferencia entre la media del tratamiento y la media general. representa el efecto del bloque y se obtiene por diferencia entre la media del bloque y la media general.

Del apartado A tenemos las medias muestrales de los tratamientos. Ahora, además, necesitamos obtener las medias correspondientes a los resultados de cada bloque.

= 67 = 71 = 71 = 63

Las sumas de cuadrados las obtenemos tal como se ve a continuación:

SCT = 72 682 + 74 682 + (78 – 68)2 +....... + 55 682 = 468

SCA = 4 73 682 + 4 70 682 + 4 61 682 = 312

SCB = 3 67 68 2 + 3 71 68 2 + 3 71 68 2 + 3 63 68 2 =

= 132

SCE = 72 73 67 + 68 2 + ....... + 55 61 63 + 68 2 = 24



Con ello escribimos la tabla del análisis de varianza. Téngase en cuenta los grados de libertad de los tratamientos (a – 1), de los bloques (b – 1) y de los resíduos (a – 1) (b – 1)


cuadradosGrados de

libertadCuadrado

medio Valor FEntre tratamientos 312 2 156 39Entre bloques 132 3 44 11Residual 24 6 4

Total 468 11

Habida cuenta que, siendo cierta la hipótesis nula en lo relativo a los tratamientos y en lo relativo a los bloques:

para los tratamientos: RA = { F 5,14 }

RC = { F 5,14 }

para los bloques: RA = { F 4,76 }

RC = { F 4,76 }

Para el nivel de significación adoptado de 0,05 se rechaza la hipótesis nula, tanto respecto a los tratamientos como respecto a los bloques. Alguno de los tratamientos presenta resultados significativamente distintos y, asimismo, alguna de las fincas también.

5) Se diseña una experimento agrícola para estudiar los rendimientos de cuatro variedades de maiz en tres localidades distintas. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla siguiente.

Localidad Var A Var B Var C Var D1 25 27 18 232 32 31 20 333 15 20 22 19

Mediante un modelo de análisis de varianza de bloques aleatorios contrasta si hay diferencias significativas entre las variedades y las localidades, para un nivel de significación de 0,05SOLUCIÓN

H0 : A = B = C = D = 0 = = = 0

H1 : al menos algún 0 (j = A, B, C, D) donde:

al menos algún 0 (k = 1, 2, 3)

j es el efecto del tratamiento (en este caso la variedad de maiz) y se obtiene por diferencia entre la media del tratamiento y la media general. es el efecto del bloque (la localidad del ensayo) y se obtiene por diferencia entre la media del bloque y la media general.



Obtenemos las diferentes medias de los tratamientos y los bloque, para calcular a continuación las sumas de cuadrados.

= 24 = 26 = 20 = 2523,75

= 23,25 = 29 = 19

SCT = = 25 23,752 + 27 23,752 + ....... + 19 23,752 = 382,25

SCA = = 324 23,752 + 326 23,752 + 320 23,752 +

+ 425 23,752 = 62,25

SCB = = 423,25 23,75 2 + 429 23,75 2 + 419 23,75 2 = 201,50

SCE = = 25 24 23,25 + 23,75 2 + 27 26 23,25 + 23,75 2 +

+ ....... + 19 25 19 + 23,75 2 = 118,50

Así la tabla del análisis de la varianza queda:


cuadradosGrados de

libertadCuadrado

medio Valor FEntre tratamientos 62,25 3 20,75 1,05Entre bloques 201,50 2 100,75 5,10Residual 118,5 6 19,75

Total 382,25 11

Siendo cierta la hipótesis nula, el comportamiento del estadístico F vendría dado por:

para los tratamientos: RA = { F 4,76 }

RC = { F 4,76 }

para los bloques: RA = { F 5,14 }

RC = { F 5,14 }



En consecuencia, para un nivel de significación de 0,05 se acepta la hipótesis nula respecto a los tratamientos y también respecto a los bloques. No hay diferencias significativas entre las variedades de maiz, ni entre las localidades del ensayo.

Una observación atenta de resultados permite descubrir debilidades. En el conjunto de la prueba la variedad C tuvo una media de rendimientos inferior a los de las otras tres. No obstante, esa diferencia no resultó estadísticamente significativa. Por otro lado, sus rendimientos en la localidad 3 fueron superiores.

¿No existe una clara posibilidad de que variedad y localidad del ensayo interaccionen en los resultados? Obviamente la respuesta es afirmativa. Sabemos que las variedades más productivas suelen ser más exigentes mientras que otras, de inferior potencial productivo, son a veces más rústicas y pueden superar a las anteriores en entornos poco favorables. Esto último tal vez ocurre con la variedad C.

La reflexión anterior sirve para destacar la importancia que tiene la elección del modelo estadístico adecuado. Un análisis de varianza de dos factores (variedad y localidad) con interacción, hubiera sido en este caso lo correcto. Este modelo no se estudia en el temario de la asignatura; pero eso no significa que, llegado el caso, no fuera indispensable utilizarlo.

6) Los datos de una experiencia diseñada para estudiar los efectos del sistema de laboreo en la

productividad, realizados en cuatro fincas de una misma comarca, fueron los siguientes en kg de producción por parcela elemental:

Finca A Finca B Finca C Finca DLaboreo tradicional 82 89 72 93Mínimo laboreo 91 87 73 93Siembra directa 82 79 80 87

A) Utilizando el modelo de análisis de varianza de bloques aleatorios, contrasta si hay diferencias entre los sistemas de laboreo y entre las fincas ( = 0,05)

B) Repite el contraste relativo a los sistemas de laboreo utilizando el modelo de análisis de varianza para un diseño completamente aleatorio ( = 0,05)

SOLUCIÓN

A)

El sistema de laboreo es el factor principal y son tres los tratamientos. Las fincas constituyen los bloques.

H0 : 1 = 2 = 3 = 0 = = = = 0

H1 : al menos algún 0 (j =1, 2, 3) donde:

al menos algún 0 (k = A, B, C, D)



j es el efecto del tratamiento (sistema de laboreo) y es el efecto del bloque (finca).

Se procede a obtener las diferentes medias y sumas de cuadrados.

= 84 = 86 = 82 = 84

= 85 = 85 = 75 = 91

SCT = = 82 842 + 89 842 + ....... + 87 842 = 568

SCA = = 484 842 + 486 842 + 482 842 = 32

SCB = = 385 842 + 385 842 + 375 842 + 3(91 – 84)2 = 396

SCE = = 82 84 85 + 84 2 + 89 84 85 + 84 2 + ....... +

+ 87 82 91 + 84 2 = 140


cuadradosGrados de

libertadCuadrado

medio Valor FEntre tratamientos 32 2 16 0,69Entre bloques 396 3 132 5,66Residual 140 6 23,3

Total 568 11

Siendo cierta la hipótesis nula tenemos que:

y

Luego, para un nivel de significación = 0,05 la regla de decisión se establece como sigue.

Para los tratamientos: RA = { F 5,14 }RC = { F 5,14 }

Para los bloques: RA = { F 4,76 }



RC = { F 4,76 }

Se acepta la hipótesis nula en lo que se refiere a los tratamientos y se rechaza en cuanto a los bloques. No hay diferencias entre los sistemas de laboreo pero si las hay entre las fincas.

B)

Repetir el análisis considerando un modelo completamente aleatorio supone prescindir de la suma de cuadrados entre bloques, que ahora quedará incluida dentro de la suma de cuadrados del error. Lo vamos a comprobar calculando la suma del cuadrado del error de este modelo. El resto de las sumas de cuadrados ya las tenemos.

SCE = 82 842 + 89 842 + .... + 87 822 = 536

Este resultado es la suma de la SCB y la SCE de la tabla del modelo anterior. La tabla de análisis de varianza queda:


cuadradosGrados de

libertadCuadrado


Total 568 11

La regla de decisión, teniendo en cuenta el nivel de significación (0,05) utilizado:

RA = { F 4,26 }RC = { F 4,26 }

Y la decisión, lógicamente, es la misma que la que se obtuvo con el anterior modelo: no hay diferencias significativas entre los rendimientos alcanzados con los tres sistemas de laboreo.

Un diseño en bloques aleatorios, cuando los bloques están justificados, es más potente que otro completamente aleatorio.

7) Para estudiar la actividad de tres detergentes (tratamientos) a tres temperaturas distintas del agua, se obtuvieron las siguientes lecturas de “blancura” con un equipo especial.

Detergente A Detergente B Detergente C

Agua fría 57 53 67Agua tibia 48 52 68Agua caliente 54 45 57

En un análisis de varianza con factor y bloque, determina si hay diferencias significativas entre los detergentes a un nivel de significación de 0,05



SOLUCIÓN

Las tres clases de detergente son los tratamientos del factor, mientras que las temperaturas del agua constituyen los bloques.

H0 : A = B = C = 0 = = = 0

H1 : al menos algún 0 (j = A, B, C)

al menos algún 0 (k = 1, 2, 3)

= 53 = 50 = 64= 55,67

= 59 = 56 = 52

SCT = = 57 55,672 + 53 55,672 + ....... + 57 55,672 = 480

SCA = = 353 55,672 + 350 55,672 + 364 55,672 = 326

SCB = = 359 55,672 + 356 55,672 + 352 55,672 = 74

SCE = = 57 53 59 + 55,67 2 + 53 50 59 + 55,67 2 +

+ ....... + 57 64 52 + 55,67 2 = 80

La tabla de la varianza queda:


cuadradosGrados de

libertadCuadrado

medio Valor FEntre tratamientos 326 2 163 8,15Entre bloques 74 2 37 1,85Residual 80 4 20

Total 480 8

Siendo cierta la hipótesis nula tenemos que:

y



Luego para un nivel de significación de 0,05 tenemos la siguiente regla común de decisión para tratamientos y bloques:

RA = { F 2,94 }RC = { F 2,94 }

En consecuencia, se rechaza la hipótesis nula en lo relativo a los tratamientos y se acepta en cuanto a los bloques. Alguno de los detergentes presenta una efectividad significativamente distinta. Sin embargo no hay diferencias significativas debidas a la temperatura del agua.


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