ejercicios tema 1

Tema 1

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

1.1 Si q es falsa, entonces ( )p q es: a) Verdadera. b) Falsa. c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de p.

Solucin: La respuesta correcta es la a.

p q p q (p) q V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

V F V V

1.2 Si p es falsa, entonces ( )p q es a) Verdadera. b) Falsa. c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

Solucin: La respuesta correcta es la c.

p q p (p) q V V F F

V F V F

F F V V

F F V F

1.3 Si q es verdadera, entonces ( )p q es a) Verdadera. b) Falsa. c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de p.

Solucin: La respuesta correcta es la b.

p q q (p q) (p q) V V F F

V F V F

F V F V

V V F V

F F V F

1.4 Si p es verdadera, entonces ( ) ( )q p p q es a) Verdadera. b) Falsa. c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

Solucin: La respuesta correcta es la c.

p q p q (q p) (p q) (q p) (p q) V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

V F V V

V V F V

V F F V

1.5 La proposicin (pp) es: a) Verdadera. b) Falsa c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de p.

p p pp (pp) V F

F V

V V

F F

1.6 pq es falsa cuando:

a) p es falsa y q es falsa. b) p es verdadera y q es falsa. c) p es falsa y q es verdadera.

p q q pq V V F F

V F V F

F V F V

V V F V

1.7 Si p es verdadera, la proposicin (p) q es:

a) Verdadera. b) Falsa c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

p q p (p) q V V F F

V F V F

F F V V

V V V F

1.8 Si p es verdadera, la proposicin ( )p p q es


p q pq p (pq) V V F F

V F V F

V V V F

V V V V

1.9 Si p es falsa, la proposicin (pq) ( pq) es

a) Verdadera. b) Falsa. c) Verdadera o falsa, segn el valor de verdad de q.

Por lo tanto respuesta c, ya el valor de verdad depende de q.

p q pq pq (pq) ( pq) V V F F

V F V F

V V V F

V F F F

V F F V

1.10 Si p es verdadera, la proposicin ( )p q p es


p q p pq (pq) p V V F F

V F V F

F F V V

V V V F

F F V V

1.11 La proposicin p p es

a) Es verdadera si p es falsa. b) Es verdadera si p es verdadera. c) Es siempre falsa.

p p p p V F

F V

F V

1.12 La proposicin (pq) ( pq) es verdadera

a) Slo cuando p y q son verdaderas. b) Slo cuando p y q son falsas. c) Siempre.

p q pq pq (pq) ( pq) V V F F

V F V F

V F F F

V V V F

V V V V

1.13 Si p(qp) es una proposicin falsa, es que:

a) p y q son verdaderas. b) p es verdadera y q es falsa. c) p es falsa y q verdadera.

p q p (qp) p(qp) V V F F

V F V F

F F V V

V F V V

V F V V

1.14 Si p (qp) es una proposicin verdadera, entonces:

a) p y q son verdaderas. b) p es verdadera y q es falsa. c) p es verdadera.

p q (qp) p (qp) V V F F

V F V F

V V F V

V V F F

1.15 La proposicin p (qp) es una proposicin verdadera:

a) Slo si p y q son falsas. b) Slo si p es falsa y q verdadera. c) Cualquiera que sean p y q.

p q (qp) p (qp) V V F F

V F V F

V V F V

V V V V

1.16 El razonamiento:

pp

q

a) Es una falacia. b) Es lgicamente vlido. c) Es lgicamente vlido o falaz segn el valor de verdad de q.

Como no tenemos ningn valor que nos haga falso este razonamiento se deduce que es verdadero.

1.17 Si A y B son conjuntos tales que A B , es cierto que

a) Si x A , entonces x B . b) Si x B , entonces x A . c) Si x A , entonces x B .

1.18 Si M y N son conjuntos tales que N M , es cierto que

a) Si a M , entonces a N . b) Si a M , entonces a N . c) Si a N , entonces a M .

p q p p p q ( p p)q V V F F V V

V F F F F V

F V V F V V

F F V F F V

Premisas Conclusin

p q p p q

V V V F V

V F V F F

F V F V V

F F F V F

1.19 Para cualquier conjunto A se verifica a) A . b) A . c) A A .

1.20 Si un conjunto A tiene 6 elementos, el nmero de subconjuntos de A es a) 6. b) 16. c) 64.

Si el conjunto A tiene n elementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos.

1.21 Si A y B son dos conjuntos disjuntos, no es correcto afirmar que a) Si a A , entonces a B . b) Si a B , entonces Ca A . c) Si a A , entonces a B .

U

a

A

B

1.22 Dados dos conjuntos A y B, NO es correcto afirmar que: a) si x A B , entonces Cx A B o Cx A B . b) si x A B , entonces x A o x B . c) si x A B y x A , entonces x B .

I

1.23 Si dos conjuntos A y B verifican C CA B = , es que a) A B . b) A B U = . c) ( ) ( )C CA B A B U =

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos:

( )( )

C C

CC C

CC C C

A B

A B

A B

A B U

=

=

= =

{ }{ }{ }

1, 2

2,31,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3

1

C

C

A

B

=

=

{ } { }3 1C CA B =

= { } { }1,2 2,3

A B UU

=

=

U A

B

1.24 Si dos conjuntos A y B cumplen A B , entonces a) CA B U = . b) B A = . c) C CB A .

La respuesta correcta es la c, como se puede ver BC, que es la zona verde, est incluido dentro de AC que es la zona verde ms la zona amarilla.

La respuesta b no es correcta ya que B A no tiene porque ser necesariamente el conjunto vaco.

La respuesta a no es correcta porque CA B no es igual al universo ya que nos queda la zona amarilla sin incluir y puede darse el caso que hubiese al menos un elemento ah.

{ }{ }{ }

1,2

1,2,31,2,3,4,5

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3, 4,54,5

C

C

A

B

=

=

Se cumple NO se cumple NO se cumple

{ } { }4,5 3,4,5C CB A

{ } { } { }1,2 4,5 1,2, 4,5

CA B U = =

{ } { } { }1, 2,3 1, 2 3B A =

=

U

B

A

1.25 Si dos conjuntos A y B cumplen CA B , no es correcto afirmar que a) A B = . b) A B U = . c) CB A .

Si CA B o CB A quiere decir que son conjuntos disjuntos A B = , en el diagrama de Venn vemos que A, la zona roja est dentro de BC que es la zona roja ms la zona verde.

{ }{ }{ }

4

1,2

1,2,3,4,5

A

B

U

=

=

=

{ }{ }1,2,3,53, 4,5

C

C

A

B

=

=

Se cumple NO se cumple Se cumple

{ } { }1, 2 4A B =

= { } { } { }4 1,2 1, 2, 4A B U =

= { } { } { }1, 2 1, 2,3,5 3

CB A = =

U

3

5

4

A

1 2

B

1.26 Si A y B son dos conjuntos tales que A B B = , se cumple a) A B . b) B A A = . c) C CA B = .

Resultado 1.21, pgina 35 Si A B entonces A B B = , Si A es un subconjunto de B, todos los elementos de A estn en B, por esto la unin de los dos es B.

{ } { } { }1 1,2 1,2A B B =

=

{ }{ }{ }

1

1, 2

1,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }{ }2,3

3

C

C

A

B

=

=

Se cumple NO se cumple NO se cumple

{ } { }1 1, 2A B

{ } { } { }1,2 1 1,2

B A A = =

{ } { } { }2,3 3 3C CA B =

=

U

3

2

B

1

A

1.27 Si A y B son dos conjuntos, ( )CA B es igual a a) C CA B . b) CA B . c) B A .

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos:

( )( )

C

CC

C

A B

A B

A B

( )A B Es la zona roja. ( )CA B Es la zona amarilla ms la zona blanca ms la zona verde, que es igual a CA B .

CA Es la zona amarilla ms la zona verde. B Es la zona amarilla ms la zona blanca.

CA B Es la zona amarilla ms la zona blanca ms la zona verde, que es igual a ( )CA B

{ }{ }{ }

2,31,31,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }{ }1

2

C

C

A

B

=

=

( ) { }{ }

1,3

1,3

C

C

A B

A B

=

=

U A B

2

1

3

1.28 Si A y B son dos conjuntos que cumplen CA B B = entonces: a) A B U= = . b) CA B . c) CB A

Resultado 1.20, pgina 34. La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se unen:

El enunciado dice CA B B =

Por lo tanto tenemos que C CB A B y CA A B

Tenemos C CB A B B = y para que esta igualdad se cumpla CB = o bien B U= .

Resultado 1.22 UC = El complementario del conjunto vaco es el conjunto universal. Como el conjunto vaco no tiene elementos, ningn elemento del conjunto universal puede pertenecer al conjunto vaco. Resultado 1.23 CU = El complementario del conjunto universal es el conjunto vaco. Como todos los elementos pertenecen al conjunto universal, ningn elemento no pertenece al universal.

Si sustituimos en la igualdad C CB A B B = a CB = tenemos:

A BA BA U

= = =

Si sustituimos en la igualdad C CB A B B = a CB U= llegamos a una contradiccin, ya que el conjunto universal no puede ser igual al conjunto vaco.

U A UU AU U

= = =

{ }{ }{ }

1,2

1,2

1,2

A

B

U

=

=

=

C

C

AB

= = { } { }1,2 1,2

CA B B = =

1.29 Si A y B son dos conjuntos que cumplen ( )CA B B = entonces: a) A B = b) CB A c) CA B=

( )( )

C

C

C C

C

A B B

A B B

A B BB A

=

=

=

Resultado 1.13 pgina 33. Si CB A , entonces C CA B B = . Si BC es un subconjunto de A todos los elementos de BC y slo estos son comunes a A y BC.

Resultado 1.20, pgina 34. La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se unen:

A A B B A B

( )( )

C

CC

C

C C

C

A B B

A B B

A B BA B A BA B

=

=

=

=

{ }{ }{ }

1, 2

2,31,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }{ }

( ) { }

3

1

2,3

C

C

C

A

B

A B

=

=

=

( ){ } { }2,3 2,3

CA B B =

=

1.30 Si A y B son dos conjuntos tales que ( )CA B A = , se cumple a) B A . b) A U= . c) A = y B U= .

Resultado 1.13 pgina 33. La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan.

A B A A B B

( )CA B A = Aplicamos las leyes de Morgan: C CA B A =

Por lo tanto tenemos que C C CA B A y C C CA B B

Continuamos C C CA B A A =

Y como CA A necesariamente A =

{ }{ }1, 2,31,2,3

AB

U

= =

=

{ }1,2,3CC

A

B

=

= ( )CA B A = =

U

A

3 1 2

B

1.31 Si dos conjuntos A y B son dos conjuntos tales que ( )CA B B , se cumple a) A B U= = . b) B U= . c) A B = .

Resultado 1.13 pgina 33. La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan

A B A A B B

( )CA B B que es equivalente a: CB A B

C

C

B A B BB B

Y como CB B necesariamente CB =

{ }{ }{ }

1, 2,31, 2,3,41,2,3, 4

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3,4

4

C

C

A

B

=

=

( ){ }4

CA B B

B

U A B

4

1

2

3

1.32 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto ( )CC CA B es igual a

a) CA B . b) CA B . c) A B .

Tenemos la igualdad:

( )( )( )

( )

CC C

CCC C

CC

C

A B

A B

A B

A B

{ }{ }{ }

1, 2

1, 2,31,2,3, 4

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3,4

4

C

C

A

B

=

=

{ }( ) { }

{ }

3

1, 2, 4

1, 2, 4

C C

CC C

C

A B

A B

A B

=

=

=

U

4

A B

3

1

2

1.33 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto ( )CA B A es igual a

a) B A . b) A B . c) B .


( )( ) ( )( )( )

C

C

A B A

A B A A

A B

A B

{ }{ }{ }

1, 2,31, 2, 4

1,2,3, 4

A

B

U

=

=

=

{ }{ }4

3

C

C

A

B

=

=

( ) { }( ) { }

{ }

1,2, 4

1,2

1, 2

C

C

B A

A B A

A B

=

=

=

U

A B

3

4

1

2

1.34 Si A y B son dos conjuntos, el conjunto ( )C CA B A es igual a

a) CA B . b) A . c) A B .


( )( ) ( )

( )( )

C C

C C

C

C

A B A

A A B A

B A

B A

A B

Si partimos de la expresin ( )C CA B A tenemos que:

AC es la zona amarilla y la zona verde BC es la zona roja y la zona verde

Si ahora estas dos zonas hacemos la interseccin con A, el resultado ser A B.

U A B

A-B

1.35 Si A y B son dos conjuntos el conjunto ( )CA B A es igual a

a) A . b) CA B . c) A B .

Si partimos de la expresin ( )CA B A tenemos que:

A es la zona blanca y la zona roja BC es la zona roja y la zona verde

CB A es la zona roja, es decir A B

Si ahora estas dos zonas hacemos la unin con A, que es la zona blanca ms la zona roja, el resultado ser A.

{ }{ }{ }

1, 2

1, 2,31,2,3, 4

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3,4

4

C

C

A

B

=

=

( ) { } { } { }( ) { } { }{ }

{ }

) 1, 2 4 1, 2 1, 2 1, 2) 1,2,4) 1

C

C

a A B A A

b A Bc A B

= = = =

=

=

U

4

A B

3

1

2

1.36 Si A y B son dos conjuntos que cumplen B A B = entonces:

a) A = b) A B A = c) A B B =

Cuando tenemos B A B = o A B A = , quiere decir que son conjuntos disjuntos A B = .

Tenemos que utilizar el Resultado 1.14 pgina 33. Si B est contenido en A, entonces la interseccin de A y B es igual a B, Si B A entonces A B B = .

C

C

B A BB A BB A

=

=

CB A es lo mismo que CA B y es igual a CA B A = y resulta A B A =

La nica respuesta correcta es la que se deduce lgicamente del enunciado, es decir, aquella para la que se verifica que el enunciado implica dicha respuesta. Dicho de otra forma, la proposicin condicional enunciado respuesta es una tautologa.

{ }{ }{ }

3,41, 2

1,2,3, 4

A

B

U

=

=

=

{ }{ }1,2

3,4

C

C

A

B

=

=

NO se cumple Se cumple NO se cumple

{ }3,4A =

{ } { } { }3, 4 1, 2 3,4A B A =

=

{ } { } { }3,4 1, 2 1,2,3, 4A B B =

=

U

3 4

A

1 2

B

1.37 La propiedad de idempotencia de la interseccin de conjuntos significa que, para cualquier conjunto A, es

a) A = . b) A U A = . c) A A A = .

La propiedad de idempotencia de la interseccin es: A A A =

1.38 La propiedad de asociativa de la interseccin de conjuntos afirma que

a) A B B A = . b) ( ) ( )A B C A B C = . c) A B B .

La propiedad de asociativa de la interseccin es: ( ) ( )A B C A B C =

1.39 La propiedad de conmutativa de la unin de conjuntos garantiza que

a) A B B A = . b) ( ) ( )A B C A B C = . c) A A A = .

La propiedad de conmutativa de la unin es: A B B A = .

1.40 La propiedad de distributiva de la unin respecto de la interseccin expresa que

a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C = . b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C = . c) ( ) ( ) ( )A B C A B A C = .

La propiedad de distributiva de la unin respecto de la interseccin es: ( ) ( ) ( )A B C A B A C = .

1.41 Entre tres conjuntos A, B, C, si se cumple ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

a) A y B C son disjuntos. b) B C A B C . c) A B C y ( ) 0A B C = .

Resultado 1.13 pgina 33. La interseccin de dos conjuntos est contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersectan. A B A , A B B .

Resultado 1.20, pgina 34. La unin de dos conjuntos contiene a cualquiera de los dos conjuntos que se unen. A A B , B A B .

El enunciado dice que: ( ) ( ) ( )A BB CC AA =

Si miramos el lado derecho vemos que: ( ) ( ) ( )A B A C A B C = , de aqu deducimos que:

( ) ( )A BB CA C = de aqu deducimos segn el resultado 1.13 del libro que:

( )A B C A y como ( ) ( )A BB CA C = entonces ( )A B C A , por lo tanto ( )B C A

Por otro lado segn el resultado 1.13 del libro tambin tenemos que: ( ) ( )A B C B C y como ( ) ( )A BB CA C = de aqu deducimos que ( ) ( )A B C B C , segn el resultado 1.20

tenemos ( )A B C

1.42 Las leyes de Morgan no garantizan que

a) ( )C C CA B A B = . b) ( )C C CA B A B = . c) ( )C C CA B A B = .

Las leyes de Morgan no garantizan ( )C C CA B A B = .

1.43 Si dos conjuntos A y B verifican ( )C C CA B A B = se cumple

a) A B= . b) A B U = . c) A B U= = .


( ) ( )( ) ( )

C C C

C C C C

A B A B

A B A B

A B

=

=

=

{ }{ }{ }

1, 2

1, 2

1,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3

3

C

C

A

B

=

=

( ) ( ) { }( ) { } { } { }{ }

) 1, 2 3 3 3) 1, 2) ,

CC C Ca A B A B

b A B Uc A B U NO se cumple

= = =

=

= =

1.44 Si A y B son dos conjuntos se verifica

a) ( )CA A B A B = . b) ( )CA B B A = . c) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B A = .

La respuesta correcta es la c. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn

Tenemos la igualdad ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B B A = . ( )A B Es la zona de color amarillo ms la zona de color rojo ( )A B Es la zona de color rojo

La primera parte de la igualdad es: ( ) ( )A B A B lo nico que hemos hecho es restar la ( )A B a la ( )A B . A la parte que est pintada de color amarillo y rojo, ( )A B , le restamos la parte pintada de color rojo, ( )A B , que se corresponde a la primera parte de la igualdad, es decir ( ) ( )A B A B

Que es igual a la segunda parte de la igualdad ( ) ( )A B B A

U A B

U A B

A-B

B-A

1.45 Si dos conjuntos A y B verifican ( )CA A B A B = , se cumple a) CA B = . b) B A = . c) A B = .

La respuesta correcta es la b. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn Tenemos la igualdad:

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

C

CC

A A B A B

A A B A B

A A B A B

A B A BA B

=

=

=

=

=

A es la zona verde y la zona roja. ( )CA B Es la zona amarilla y la roja. Por lo tanto si hacemos ( )CA A B nos queda la zona verde que nos coincide con la interseccin ( )A B . Y teniendo en cuenta que si ( ) ( )A B A B = entonces A = B. Y de aqu deducimos que B A = .

No hay ninguna respuesta que sea A = B, pero cuando se cumple que A = B, quiere decir que tienen los mismos elementos y de aqu deducimos que B A = , haciendo un pequeo ejemplo sera:

{ }{ }{ }

1, 2

1, 2

1,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3

3

C

C

A

B

=

=

CA B UB AA B A

=

= =

Que coincide con la respuesta b.

U

3

A B

1

2

1.46 Si dos conjuntos A y B verifican ( )CA B B A = , se cumple a) CB A= . b) B A . c) A B .

La respuesta correcta es la a. Vamos a verla representada en un diagrama de Venn


( )( )

C

CC C

C C

C

A B B A

A B B A

A B B AA B

=

=

=

=

Tenemos como resultado que CA B= que es lo mismo que CB A= .

B que es la zona verde es igual a AC que es la zona verde ms la zona azul.

( )CB A Es la zona amarilla ms la zona azul

Para la igualdad del enunciado ( )CA B B A = vemos que se cumple. { }{ }{ }

1, 2

31,2,3

A

B

U

=

=

=

{ }{ }3

1,2

C

C

A

B

=

=

( ){ } { }{ } { }1, 2 31, 2 1,2

C

C

A B B A =

=

=

U

A-B

B-A

A B

1.47 En el conjunto de palabras A = {uno, dos, tres, cuatro, cinco} se define la aplicacin f que asigna a cada una su nmero de letras. Entonces

a) ( ) 1f uno = . b) ( ) 5f cinco = . c) ( ) 3f tres = .

1.48 Para ordenar por orden alfabtico las palabras del conjunto A = {uno, dos, tres, cuatro, cinco} se asigna a cada una el lugar que ocupa en dicho orden. Entonces

a) La imagen de tres es 4 y la preimagen de 2 es dos. b) La imagen de uno es 4 y la preimagen de 1 es cinco. c) La imagen de cuatro es 2 y la preimagen de 1 es cinco.

1.49 Se considera la abreviatura de cada palabra del diccionario, compuesta por sus dos primeras letras seguidas de un punto. Entonces

a) que. es la imagen de queso. b) fr es la imagen de fruta. c) ar. tiene como preimagen arma.

B

3 4 5 6

uno dos tres

cuatro cinco

f

A

B

1 2 3 4 5

cinco cuatro

dos tres uno

f

A

1.50 La abreviatura de las palabras del diccionario, definida por sus dos primeras letras seguidas de un punto, es una aplicacin bien definida en el conjunto de palabras del diccionario?

a) S. b) No, porque hay palabras distintas con las misma abreviatura. c) No, porque las palabras de una sola letra no tienen abreviatura.

Lo que nos estn preguntando es si cumplen con la propiedad de aplicacin una abreviatura definida de la siguiente manera: sus dos primeras letras seguidas de un punto en el conjunto de todas las palabras del diccionario.

La respuesta c dice que las palabras de una letra no tienen abreviatura, el enunciado nos pide dos letras y un punto. Por lo tanto habra palabras en el conjunto inicial sin imagen y ya no cumplira con la condicin de aplicacin.

Para que sea aplicacin, hay que aadir a la definicin que: Las palabras de una letra son su propia abreviatura. Tampoco es til abreviar las palabras de dos letras.

1.51 La abreviatura de las palabras del diccionario de ms de dos letras, definida por sus dos primeras letras seguidas de un punto, es una aplicacin inyectiva?

a) S. b) No, porque hay palabras distintas con las misma abreviatura. c) No, porque las abreviaturas r. o qt. no corresponden a ninguna palabra.

Al haber distintas palabras con la misma abreviatura ya no cumple con la condicin de aplicacin inyectiva, sera correcta la b. La c no sera correcta ya que no hay en el diccionario ninguna palabra cuyas dos primeras letras sean r. o qt.

B

li. ...

libro litro

f

A

1.52 Dado el conjunto { }1, 2,3,4,5B = , si :f A B es una aplicacin sobreyectiva, el cardinal de A debe cumplir.

a) ( )# 5A . b) ( )# 5A = . c) ( )# 5A .

Una funcin :f A B es, sobreyectiva cuando cada elemento de "B" es la imagen de como mnimo un elemento de "A".

Segn esto el #(A) 5

1.53 Dado el conjunto { }1,2,3,4A = , si :f A B es una aplicacin inyectiva, el cardinal de B debe cumplir.

a) ( )# 4B . b) ( )# 4B = . c) ( )# 4B .

Segn esto el #(B) 4

A B

a b c d e f

1 2 3 4 5

A B

1 2 3 4

a

b c

d e

1.54 Si :f A B es una aplicacin biyectiva, puede asegurarse.

a) ( ) ( )# #A B . b) ( ) ( )# #A B= . c) ( ) ( )# #A B .

Una funcin :f A B es, biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Segn esto el #(A) = #(B)

A B

1 2 3 4

a

b c

d

1.55 Si A y B son dos conjuntos tales que sus cardinales verifican ( ) ( ) ( )# # #A B A B+ = , entonces: a) CA B . b) CA B . c) C CA B = .

Resultado 1.32. Si ( )A B = , entonces ( ) ( ) ( )## # BA B A = + .

Tenemos que recurrir a la frmula general: ( ) ( ) ( ) ( )BABABA += #### , si la comparamos con la del enunciado,

( ) ( ) ( ) ( )# ### BB AA A B+= ( ) ( ) ( )## # AB BAA B= ( ) ( ) ( )## # AB BAA B= ( )# 0A B =

De esto podemos deducir que ( )# 0A B = ya que el enunciado no aporta ningn dato sobre el cardinal de la interseccin.

Si ( )# 0A B = quiere decir que ( )A B = y llegamos a la conclusin que CA B y CB A .

U

ABC

A

BAC

B

1.56 Si A y B son dos conjuntos tales que B A B = , se cumple: a) ( ) ( ) ( )# # #B A B = . b) ( ) ( ) ( )# # #B A A B = . c) ( ) ( ) ( )# # #A B A B+ = .

Resultado 1.32. Si ( )A B = , entonces ( ) ( ) ( )# # #A B A B = + .

Si B A B = quiere decir que ( )A B = , es decir son disjuntos y esto implica que ( )# 0A B = y si miramos en la frmula general tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )BABABA += #### ( ) ( ) ( )# # # 0A B A B = +

Por lo tanto respuesta correcta c.

{ }{ }{ }

3,41, 2

1,2,3, 4

A

B

U

=

=

=

{ }{ }1,2

3,4

C

C

A

B

=

=

Se cumple Se cumple

{ } { } { }3, 4 1, 2 3,4A B A =

=

{ } { } { }1,2 3,4 1, 2B A B =

=

U

3 4

A

1 2

B

1.57 Si ( )# U n= y A es un subconjunto de U, entonces: a) ( ) ( )# #CA A= b) ( ) ( )# #CA n A= c) ( ) ( )# # 0CA A =

La respuesta correcta es la b, ( ) ( )# #CA n A=

El enunciado dice que el cardinal del conjunto universal es n, es decir que tiene n elementos, y que A es un subconjunto de U, lo que dice la respuesta b es que el cardinal del complementario de A es igual a n, que es el total de elementos del universo, menos el cardinal de A. Visto de otra forma si despejamos la n quedara:

( ) ( )# #Cn A A= +

Habamos dicho que n era el total de elementos por lo tanto n son todos los elemento que hay en A y lo que no hay en A, es decir AC y su suma tiene que ser n.

Si por ejemplo tenemos un universo con 10 elementos y el conjunto A tiene 3 elementos, AC tiene que tener 7 elementos.

Dibujndolo sera: El Universo tiene 10 elementos, el conjunto A en rojo tiene 3 elementos y el conjunto AC en azul tiene que tener forzosamente 7 para completar los elementos del universo.

U x x A x x

x x x Ac

x x x

1.58 Si A y B son dos conjuntos tales que cumplen ( )# 6A = y ( )# 2A B = entonces ( )# A B es igual a a) 2. b) 4. c) 6.

Si aplicamos la frmula tenemos que:

( ) ( )( )

( )

# # #

6 2 #4 #

A A B A B

A B

A B

= +

= +

=

Por lo tanto respuesta correcta b.

1.59 Si A y B son dos conjuntos tales que ( )# 14B = y ( )# 8A B = , entonces: a) ( )# 22A B = . b) ( )# 6A B = . c) ( )# 6B A = .


( ) ( )( )

( )( )

# # #

14 # 814 8 #6 #

B B A A B

B A

B A

B A

= +

= +

=

=

Por lo tanto respuesta correcta c.

U

X

X

X

X

X

X

A B

U

X X

X X

X X

X X

X X

X X

X X

A B

1.60 Si A y B son dos conjuntos tales que ( )# 16A B = , ( )# 10A = y ( )# 9B = entonces ( )# A B es igual a:

a) 1. b) 3. c) 9.


( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

# # # #

16 10 9 #3 #

3 #

A B A B A B

A B

A B

A B

= +

= +

=

=

1.61 Si A y B son dos conjuntos tales que ( )# A B siempre es mayor o igual que: a) ( ) ( )# #A B+ . b) ( ) ( )# #A A B+ . c) ( ) ( )# #A B B A + .

Partimos de la frmula: ( ) ( ) ( ) ( )# ### A BA ABA B B = + + Como se puede ver en el diagrama de Venn el cardinal de la unin es igual al cardinal de A-B ms el cardinal de B-A ms el cardinal de la interseccin de A y B.

La respuesta correcta sera la c ya que ( )# A B siempre va a ser mayor o igual que ( ) ( )# # BA AB + a falta de conocer el valor del cardinal de la interseccin.

U

X X

X X

X X

X

X X

X X

X X

X

X

X

A B

U A

A-B

B

B-A

AB

1.62 Si A y B son dos conjuntos ( ) ( )# #A B A B es igual a: a) ( ) ( )# #A B+ . b) ( ) ( )# #A B B A + . c) ( ) ( )# #A B .

Si analizamos la frmula ( ) ( ) ( ) ( )# # # #A B A B B A A B = + + vemos que:

( ) ( ) ( ) ( )# # # #A B A B A B B A = +

A B es la zona roja. B A es la zona amarilla.

A B es la zona roja ms la zona azul ms amarilla. A B es la zona azul.

U

A-B

B-A

AB

A B

1.63 Si A y B son dos conjuntos que verifican ( ) ( ) ( )# # #B A A B= + y ( )# 12A B = , se cumple a) ( )# 6A = . b) ( )# 9B = . c) ( )# 3A B = .

Si analizamos la igualdad vemos que utilizando la frmula general:

( ) ( ) ( )## # AB A B+ = ( )# 12A B =

( ) ( ) ( ) ( )BABABA += #### ( ) ( ) ( ) ( )# #12 # #A AA AB B= + +

( )12 2 # A= ( )12 2 # A=

( )# 6A =

1.64 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A B) = #(A) + #(A B) y #(B) = 16 , se verifica: a) #(A) = 12 . b) #(A B) = 20 . c) #(A B) = 8 .

Frmula general: ( ) ( ) ( ) ( )# # # #A B A B A B = +

Enunciado:

( ) ( ) ( )# ## A AA B B = + y ( ) 16# =B

#(AB) = #(A) + #(B) #(AB)

#(A) + #(AB) = #(A) + 16 #(AB)

#(AB) + #(AB)= #(A) #(A) + 16

2#(AB) = 16

#(AB) = 8

U A B

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

XX

1.65 Si A y B son dos conjuntos tales que #(A B) = 9 , ( )# 6B A = y #(A B) = 27 , se verifica: a) #(A B) = 9 . b) #(A) = 21. c) #(B) = 15 .

( ) ( ) ( ) ( )# # # #A B A B B A A B = + + ( )27 9 6 # A B= + +

( )# 12A B =

( ) ( )# # #A A B A B= + # 9 12 21A = + =

( ) ( )# # #B B A A B= + # 6 12 18B = + =

A B es la zona roja. B A es la zona amarilla.

A B es la zona blanca.

U A B

XXX

XXX

XXX

XX

XX

XX

XXX

XXX

XXX

ejercicios tema 1

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