resumen de contenidos y ejercicios del libro: tema 12 ......1 1.-resumen de contenidos y ejercicios...
TRANSCRIPT
1
1.- Resumen de contenidos y ejercicios del libro:
TEMA 12 : DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL
CONTENIDOS TAREAS
OS P
ASARÉ L
AS S
OLUCIONES
1.- Variable aleatoria
- Parámetros
- Clasificación
32 Da v.a. hallar y dibujar las funciones de probabilidad y de distribución
33 Funciones de probabilidad Hallar función de distribución
35, 36 , 37 , 38 Da tabla para hallar pro- babildades
2.- Distribución discreta
- Binomial
- Cálculo de probabilidades en B(n,p)
43 y 46 Aplicar teoría 45 Completar tabla y hallar parámetros 9 Aplicar fórmula 10, 49, 50, 95 Problema
3.- Distribución continua
- Normal
- Tipificación
- Cálculo de probabilidades en N(0,1)
70 Hallar función de distribución y prob. 66 Usar N(0,1) 17 Tipificar y usar tabla 74, 75 , 76 Hallar “k” 77 Hallar “k” en problema 18 , 82 , 83 , 84 , 94 Problema
4.- Aproximar la B(n,p) a Normal
19, 20 Problemas
Bloque 4 Código CRITERIO DE EVALUACIÓN PESO
Estadística
y
probabilidad
CE5.2
Identificar los fenómenos que pueden modelizarse mediante las
distribuciones de probabilidad binomial y normal calculando sus
parámetros y determinando la probabilidad de diferentes sucesos
asociados.
12
CE5.3
Utilizar el vocabulario adecuado para la descripción de situaciones
relacionadas con el azar y la estadística, analizando un conjunto de
datos o interpretando de forma crítica informaciones estadísticas
presentes en los medios de comunicación, en especial los
relacionados con las ciencias y otros ámbitos, detectando posibles
errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos
como de las conclusiones.
2.- Tema resumido.
- De las páginas 2 a 7 hacer lectura y diferenciar variable aleatoria
discreta de continua. Ver ejemplos.
- De la distribución de probabilidad discreta (binomial),la fórmula de Cn,k
y el triángulo de Tartaglia (pág.9) no la aprendáis, vuestra calculadora la
halla (identificar teclas). Practica con los ejemplos resueltos.
2
- De la distribución continua (normal,páginas 17-18) debéis aprender muy
bien cómo “manejaros“ con la tabla de la normal (libro,pág 367).
- Para calcular probabilidades debes identificar cada suceso con un dibujo
de los que aparecen en la pág. 21.Practica con los ejemplos resueltos
- La aproximación de la binomial a la normal No estudiar
TEMA 12 : VARIABLE ALEATORIA.DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La estadística es una rama de las matemáticas muy cercana. La utilizamos continuamente insertada en
nuestro propio lenguaje sin a veces darnos cuenta.
¿Para qué sirve la estadística?
o La Ciencia se ocupa en general de fenómenos observables.
o La Ciencia se desarrolla observando hechos, formulando leyes que los explican y realizando
experimentos para validar o rechazar dichas leyes.
o Los modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o aleatorio(estocástico)
o La Estadística se utiliza como tecnología al servicio de las ciencias donde la variabilidad y la
incertidumbre forman parte de su naturaleza.
Es un hecho notorio que una gran parte de las investigaciones en las Ciencias Experimentales depende, en
gran medida, de métodos estadísticos. La demanda de la Estadística viene motivada por distintas causas, según
la especialidad en cuestión. En el caso de las Ciencias de la Salud, el problema estriba en la enorme variabilidad
con que se presentan los fenómenos estudiados, variabilidad que, lejos de reducirse, se incrementa con
frecuencia a medida que se profundiza en la investigación. Ello impide la formulación de leyes deterministas,
propias de otras disciplinas, en favor de una descripción, lo más amplia y exhaustiva posible, de los distintos
caracteres a estudiar. Hemos de hacer hincapié en la trascendencia que tienen la recogida y tratamiento de
datos, con la idea de extraer la mayor información posible acerca del fenómeno a estudiar.
La Estadística es la Ciencia de la
• Sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos referentes a un fenómeno
que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con objeto de
(descriptiva)
• deducir las leyes que rigen esos fenómenos, (probabilidad)
• y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener
conclusiones (inferencia)
Algunos ejemplos de estadística en la vida diaria son:
Tasa de mortalidad (por ejemplo por accidentes de tránsito, mortalidad infantil, cáncer etc.)
Cálculo en las elecciones : candidatos, intención de voto . . .
El pronóstico del tiempo, diagnóstico médico, estudio de la posibilidad de hacerse un seguro de vida o
efectuar una inversión, evaluación de un estudiante . . .
Las compañías de seguros de coches ven tu edad y tu historial como conductor. Si ven que has tenido
varios accidentes, lo más probable es que puedas tener otro. En ese caso, sus tarifas serán más altas que
las de un conductor seguro.
En las ciencias médicas permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades y los
enfermos, los índices de mortalidad asociados a infecciones o virus, el grado de eficacia de un
medicamento, entre otros.
3
En las ciencias naturales se emplea en la descripción de modelos termodinámicos, en la física cuántica, en
la mecánica de fluidos y en la teoría cinética de los gases.
Si te dicen que necesitas una cirugía, querrás conocer la tasa de éxito de la operación. Con base en las
estadísticas, puedes tomar una decisión: si es o no es una buena opción para ti.
Puedes decidir si deseas o no iniciar un tratamiento de medicamentos, con base en los resultados
positivos de otros pacientes o efectos secundarios.
La teoría de la probabilidad se considera con autonomía respecto a la Estadística. De hecho, los inicios y
motivaciones de ambas materias fueron absolutamente dispares: mientras que la primera surge del estudio de
los juegos de azar, la segunda emana de la necesidad de clasificación e interpretación de datos referentes a
poblaciones. La fusión de ambas especialidades se produce avanzado el siglo XIX, como consecuencia de diversos
estudios acerca de la evolución de las especies.
Siempre se ha asociado el nombre de la estadística con los estudios demográficos, económicos, políticos,
sociales y científicos. Tiene como uno de sus objetivos el conocimiento cuantitativo de una determinada parcela
de la realidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad que permita explicar el
comportamiento de la población sujeto a estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre más complejo
y multiforme que cualquier modelo que se pueda construir. Es así como el campo de la tecnología, la medicina y la
economía basan su desarrollo en estudios estadísticos.
Los modelos teóricos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a (o incluyen en su
formulación) funciones de probabilidad.
La teoría de la probabilidad tiene su origen en el estudio de los juegos de azar, que impulsaron los
primeros estudios sobre cálculo de probabilidades en el siglo XVI, aunque no es hasta el siglo XVIII cuando se
aborda la probabilidad desde una perspectiva matemática con la demostración de la “ley débil de los grandes
números” según la cual, al aumentar el número de pruebas, la frecuencia de un suceso tiende a aproximarse a un
número fijo denominado probabilidad. Este enfoque, denominado enfoque frecuentista, se modela
matemáticamente en el siglo XX cuando el matemático ruso Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) formula
la teoría axiomática de la probabilidad. Dicha teoría define la probabilidad como una función que asigna a cada
posible resultado de un experimento aleatorio un valor no negativo, de forma que se cumpla la propiedad aditiva.
La definición axiomática establece las reglas que deben cumplir las probabilidades, aunque no asigna valores
concretos.
En la práctica, el estudio de un determinado fenómeno aleatorio no consiste en la descripción exhaustiva
de los sucesos elementales derivados del mismo, sino en el análisis de uno o varios caracteres cuantitativos
considerados.
Uno de los conceptos más importantes de la teoría de probabilidades es el de variable aleatoria que,
intuitivamente, puede definirse como cualquier característica medible que toma diferentes valores con
probabilidades determinadas; es decir, una característica observable que varía entre los diferentes individuos
de una población.
Por lo tanto, si nuestro estudio se centra en un determinado carácter lo que nos importa realmente es
determinar su distribución de probabilidad, lo cual significa conocer qué valores puede tomar la variable y con
que probabilidad en cada caso.
Se define un Modelo de probabilidad como un marco teórico formado por : un conjunto de posibilidades y
una función de probabilidad sobre el mismo.
La función que asigna a cada posible valor su probabilidad se denomina función de probabilidad
y caracteriza la distribución de la variable.
4
Toda variable aleatoria posee una distribución de probabilidad que describe su comportamiento:
Si la variable es discreta, es decir, si toma valores aislados dentro de un intervalo, su distribución de
probabilidad especifica todos los valores posibles de la variable junto con la probabilidad de que cada uno
ocurra.
En el caso continuo, es decir, cuando la variable puede tomar cualquier valor de un intervalo, la
distribución de probabilidad permite determinar las probabilidades correspondientes a subintervalos de
valores.
La distinción puede ser en muchos casos meramente teórica pues nuestra percepción de la realidad es
siempre discreta. De hecho, en la Estadística Descriptiva, las variables discretas y continuas se distinguirán
atendiendo únicamente a criterios de carácter gráfico y, por lo tanto, estético.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es un modelo teórico que describe la forma en que
varían los resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles
resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Se llama función de densidad, en el caso de variables continuas y función de masa de probabilidad, en el
caso de variables discretas; en tanto que lo que se conoce como función de distribución representa las
probabilidades acumuladas.
Ejemplo
Consideramos el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire tres veces y anotamos el resultado.
Se define la variable aleatoria X =” número de caras aparecidas en los tres lanzamientos”.
Asociado a esa variable aleatoria aparecen:
a) El espacio muestral E = {(C,X,X),(X,C,X),(X,X,C),(C,C,X),(C,X,C),(X,C,C),(C,C,C),(X,X,X)}
b) Valores de dicha variable aleatoria: X = 0,1,2,3.
X = 0 , si es (X,X,X)
X = 1 , si es (C,X,X),(X,C,X),(X,X,C)
X = 2, si es (C,C,X),(C,X,C),(X,C,C)
X = 3, si es (C,C,C)
c) Las probabilidades asociadas a cada valor de la variable aleatoria
P(X = 0) = 1/8 = 0,125
P(X = 1) = 3/8 = 0,375
P(X = 2) = 3/8 = 0,375
P(X = 3) = 1/8 = 0,125
d) Tabla y gráfico asociados a la variable aleatoria:
X P(X=xi) P(X≤xi)
0,375
0,25
0,125
DIAGRAMA DE BARRAS
0 0,125 0,125
1 0,375 0,5
2 0,375 0,875
3 0,125 1 TOTAL 1
0 1 2 3
e) Parámetros estadísticos:
Media 𝜇 = ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖 = 𝑝1 · 𝑥1 + 𝑝2 · 𝑥2 + 𝑝3 · 𝑥3 =3𝑖=1 0 + 0,375 + 2 · 0,375 + 3 · 0,125 = 0,65625
Varianza 𝜎2 = ∑ 𝑝𝑖 · (𝑥𝑖 − 𝜇)2 = ∑ 𝑝𝑖 · 𝑥𝑖23
𝑖=13𝑖=1 − 𝜇2 = 3 − 0,43066 = 2,56933
Desviación típica 𝜎 = √𝜎2 = 1,6029
5
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Sea X una variable aleatoria discreta que toma “n” posibles valores: x1, x2, . . ., xn. Se define la
función de densidad discreta de X como la función :
f: R [0,1]
xi P(X = xi) = pi
tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad.
En este caso se interpreta como la probabilidad de que la variable tome ese valor; f(x) = P(X = x),
de ahí que también se llame función de probabilidad de la variable aleatoria discreta.
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor.
Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función
F: R [0,1]
x P(X ≤ x) = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖<𝑥
La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada
hasta ese valor.
Recibe este nombre porque, a pesar de resultar menos intuitiva que la función de probabilidad y
al contrario de ésta, puede definirse para cualquier tipo de variable, ya sea discreta y continua,
por lo que es ideal para caracterizar cualquier distribución.
La relación entre esta función y el diagrama de barras para frecuencias relativas acumuladas es
idéntica a la que se da entre la función de probabilidad y el diagrama de frecuencias relativas.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Sea X una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como f(x) a una
función no negativa definida sobre la recta real y no se interpreta como una probabilidad. No está
acotada por 1 y puede tomar cualquier valor positivo. Es más, en una variable continua se cumple que
las probabilidades definidas sobre puntos concretos siempre son nulas: P(X = x) = 0 para todo x real.
¿Cómo se interpreta, entonces, la función de densidad continua?
Las probabilidades son las áreas bajo la función de densidad. El área bajo la función de densidad
entre dos puntos a y b se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores
comprendidos entre a y b.
∀ [a,b] P(a≤X≤b) =∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
Por tanto, siempre se cumple lo siguiente:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 1+∞
−∞
La función de densidad se expresa a través de una expresión matemática.
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), se define la función de
distribución, F(x), como:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑥
−∞
6
Ejemplos
La función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
x pi La representación de una función de distribución de probabilidad es una
gráfica escalonada.
x < 1 0
1 ≤ x < 2 1/6
2 ≤ x < 3 2/6
3 ≤ x < 4 3/6
4 ≤ x < 5 4/6
5 ≤ x < 6 5/6
x ≤ 6 1
Una de las preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos de distribuciones de probabilidad
que pudieran representar el comportamiento teórico de diferentes fenómenos aleatorios que aparecían en el
mundo real.
La pretensión de modelar lo observable ha constituido siempre una necesidad básica para el científico
empírico, dado que a través de esas construcciones teóricas, los modelos, podía experimentar sobre aquello que
la realidad no le permitía. Por otra parte, un modelo resulta extremadamente útil, siempre que se corresponda
con la realidad que pretende representar o predecir, de manera que ponga de relieve las propiedades más
importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la simplificación que implica todo modelo.
En la práctica hay unas cuantas leyes de probabilidad teóricas, como son, por ejemplo, la ley binomial o la
de Poisson para variables discretas o la ley normal para variables continuas, que sirven de modelo para
representar las distribuciones empíricas más frecuentes.
Ejemplos
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la conocer probabilidad de que el número tres
salga 20 veces. En este caso tenemos la variable aleatoria "número de veces que sale el tres", que es
discreta, se distribuirá como una Binomial de parámetros n = 50 y p = 1/6.
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la
han leído. Un grupo de cuatro amigos son aficionados a la lectura. ¿Cuál es la probabilidad de que en el
grupo hayan leído la novela dos personas?
La variable “talla de un recién nacido” es una variable aleatoria continua, que puede tener valores entre
47 cm y 53 cm, pero no todos los valores tienen la misma probabilidad, porque las más frecuentes son las
tallas próximas a los 50 cm. En este caso la ley normal se adapta satisfactoriamente a la distribución de
probabilidad empírica, que se obtendría con una muestra grande de casos.
7
La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ = 10 mm y desviación típica 𝜎 = 1
mm. Esta variable sigue una distribución normal. Calcula la probabilidad de que en una muestra de tamaño
n = 25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20,5 mm.
Entre las ciudades de Estados Unidos con una población superior a 250.000 habitantes, la media del tiempo de
viaje de ida al trabajo es de 24,3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York,
donde el tiempo medio es de 38,3 minutos. La distribución de “los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva
York” sigue una distribución de probabilidad normal y la desviación típica es de 7,5 min.
- ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York se realizan en menos de 30 minutos?
- ¿Qué porcentaje de viajes se realizan entre 30 y 40 minutos?
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud.
Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es
2/3. Halla la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a) Las cinco personas. b) Al menos tres personas. c) Exactamente dos personas
Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad
de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos
en una ocasión?
En 2004 y 2005 el coste medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de
$20.082. La distribución de los costes anuales sigue una distribución de probabilidad normal con
desviación típica de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿qué
cantidad?
8
TEMA 12 : DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNUILLI
La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que aparece en muchas aplicaciones
bioestadísticas: “La bioestadística enseña y ayuda a investigar en todas las áreas de las Ciencias de la Vida
donde la variablidad no es la excepción sino la regla”
Esta distribución fue obtenida por Jakob Bernoulli (1654-1705) y publicada en su obra póstuma Ars
Conjectandi en 1713.
Aparece de forma natural al estudiar el número de éxitos al realizar “n” experimentos independientes
entre sí, con una probabilidad fija, p, de ocurrencia del éxito entre esos ensayos; este experimento recibe el
nombre de experimento de Bernoulli.
Sea un experimento aleatorio en el que sólo puedan darse dos posibilidades, (experimento aleatorio
dicotómico):
que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o
que no ocurra dicho suceso, o sea, que ocurra su complementario, �̅�, que llamaremos fracaso
Se conoce la probabilidad de que ocurra el suceso A P(A) = p , y por lo tanto la de su complementario
P(�̅�)= q = 1-p
Se repite el experimento “n” veces en las mismas condiciones (independencia)
Se define la variable aleatoria Binomial :
X ≡ “nº de veces que ocurre el suceso A (número de éxitos) en
“n” realizaciones independientes, del experimento”
Por lo tanto, X : 0, 1, 2 , 3 . . . n
Se escribe : X ≡ B(n,p)
Ejemplos
Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta
distribución de probabilidad.
a) El hábito de fumar (sí/no)
b) Si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infección
c) Si un artículo de un lote es o no defectuoso.
d) Número de caras al lanzar 20 veces una moneda
e) Número de aprobados si se presentan 80 alumnos a un examen
f) Número de familias con un solo hijo en una población de 120 familias
g) Número de reacciones negativas ante un fármaco aplicado a 40 pacientes
h) Número de accidentes de tráfico si han circulado 1200 vehículos
i) Número de semillas que germinan de las 20 semillas que se han plantado en suelos de idéntica
composición
j) El número de pacientes con cáncer de pulmón ingresados en una unidad hospitalaria.
Utilizamos la distribución binomial en todos los experimentos donde solamente hay dos resultados, por
ejemplo, la definición del sexo de un bebé; el que nuestro equipo favorito gane o pierda algún partido; el que pase
o repruebe un examen . . . Ahí, sin darnos cuenta, estamos haciendo uso de este concepto. Un caso particular se
tiene cuando n = 1, que da lugar a la distribución de Bernoulli.
Por lo tanto, una variable aleatoria se considera que sigue una distribución binomial, si cumple las siguientes
propiedades:
1. El experimento está constituido por un número finito, n, de pruebas idénticas.
2. En cada prueba sólo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
3. La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra “p”. La probabilidad
de fracaso ha de ser también constate. Ésta se representa mediante la letra “q” = “1-p”.
4. El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto lo que ocurra en
cada experimento no afecta a los siguientes.
9
5. Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.
6. Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los dos ha de ocurrir.
Por medio de la distribución binomial tratamos de encontrar un número dado de éxitos en un número igual o
mayor de pruebas.
La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~ B(n,p) o X≡B(n,p)
“n” representa el número de ensayos o experimentos y “p” la probabilidad de éxito.
Fórmula de la distribución binomial o de Bernuilli
La fórmula para calcular la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X ≡ B(n,p) es:
𝐏(𝐗 = 𝐤) = (𝐧𝐤
) 𝐩𝐤𝐪𝐧−𝐤 con k = 0,1,2. . .n
Donde:
n = número de ensayos/experimentos
k = número esperado de éxitos
p = probabilidad de éxito
q = probabilidad de fracaso, que se
obtiene haciendo 1 – p.
Es importante resaltar que la expresión entre paréntesis no es una expresión matricial, sino que es un
resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula:
𝐂𝐧,𝐤 = (𝐧𝐤
) =𝐧!
𝐤!(𝐧−𝐤)!
El signo “ ! ” en la expresión anterior, representa el símbolo de factorial.
NOTA : El triángulo de Tartaglia o Pascal es un triángulo de números naturales, infinito y simétrico
Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que
cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del
triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos.
Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.
PARÁMETROS
La esperanza matemática de una variable aleatoria se obtiene multiplicando la probabilidad de éxito por
el número total de individuos E(X) = p · n
La varianza es Var(X) = 𝜎𝑥2 = n · p · q y la desviación típica 𝝈𝒙 = √𝒏 · 𝒑 · 𝒒
10
Ejemplo
Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la tuberculosis, entran en contacto con un portador de la
enfermedad. La probabilidad de que la enfermedad se contagie del portador a un sujeto cualquiera es de 0,1.
¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad?
Como X ≡ B (10 ; 0,1) E(X) = 10 · 0,1 = 1
Sólo se espera que contraiga la enfermedad un individuo.
Ejemplos
1.- Un jugador encesta con probabilidad 0,55. Calcula la probabilidad de que al tirar seis veces, enceste:
a) 4 veces. b) todas las veces c) ninguna vez
Llamando A = “Encestar la canasta”, p = P(A) = 0,55 , n = 6 y siendo X =”número de canastas encestadas”
X ≡ B(6; 0,55) Usando la fórmula:
a) P(X = 4) = 0,2779 b) P(X = 6) = 0,02768 c) P(X = 0) = 0,0083
2.- Un jugador marca el 85% de los penaltis que intenta. Si lanza ocho penaltis calcular la probabilidad de
a) Marque más de 6 penaltis b) Marque al menos 6 penaltis
Llamando A = “Marcar el penalti”, p = P(A) = 0,85 , n = 8 y siendo X =”número de penaltis marcados”
X ≡ B(8; 0,85) Usando la fórmula:
a) P(X > 6) = P(X = 7) + P(X = 8) = 0,3847 + 0,2725 = 0,6572
b) P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) = 0,2376 + 0,6572 = 0,8948
3.- La probabilidad de que un tirador acierte en el blanco es de 0,25. Si tira cinco veces calcular la probabilidad
de:
a) Que acierte como máximo 2 veces b) Que acierte alguna vez
Llamando A = “Acertar en el blanco”, p = P(A) = 0,25 , n = 5 y siendo X =”número de aciertos en el blanco”
X ≡ B(5; 0,25) Usando la fórmula:
a) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,2373 + 0,3955 + 0,2657 = 0,8965
b) P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,2376 = 0,7627
4.- La probabilidad de que cierto antibiótico presente una reacción negativa al administrarse a un ave rapaz
en recuperación es de 0,15. Si se les ha administrado dicho antibiótico a diez aves, calcúlense las
probabilidades de que haya reacción negativa:
a) En dos aves b) En ningún ave c) En menos de 4 aves
d) En más de 3 aves e) Entre 2 y 5 aves
Llamando A = “un ave presenta reacción negativa", p = P(A) = 0,15 , n = 10 y siendo X =”número de aves con
reacción negativa” X ≡ B(10; 0,15) Usando la fórmula:
a) P(X = 2) = 0,2759 b) P(X = 0) = 0,1969
c) P(X < 4) = P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,1969 + 0,3474 + 0,2759 + 0,1298 =
0,95
d) P(X > 3) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 1 – 0,95 = 0,05
e) P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,2759 + 0,1298 + 0,0401 + 0,0085 = 0,4543
11
5.-Un hombre y una mujer, cada uno con un gen recesivo (Azul) y uno dominante (Marrón) para el color de los
ojos, son padres de tres hijos.¿Cuál es la distribución de probabilidades para X, número de hijos con ojos
azules?
Llamando A = “Tener ojos Azules” para calcular p = P(A) se elabora el espacio muestral
E = {(AA), (AM), (MA), (MM)} P(A) = p =1/4 = 0,25 , n = 3 y siendo
X = Nº de hijos con ojos azules de 3 hijos X ≡ B(n, p) X ≡ B(3; 0,25)
La distribución de probabilidad es: P(X = r) = (nr
) prqn−r r = 0,1,2,3
P(X = 0) = 0,4219 P(X = 1) = 0,4219 P(X = 2) = 0,1406 P(X = 3) = 0,0156
6.- Imaginemos que un 80% de personas en el mundo han visto el partido de la final del último mundial de
fútbol. Tras el evento, cuatro amigos se reúnen a conversar, ¿cuál es la probabilidad de que tres de ellos la
haya visto?
Llamando A = “Haber visto la final", p = P(A) = 0,80 , n = 4 y siendo X =”número de amigos que han visto la
final” X ≡ B(4; 0,80) Usando la fórmula:
Sustituimos en la fórmula para calcular P(X = 3) = (43
) 0,83 · 0,24−3= 4·3·2·1
3·2·1· 0,512 · 0,2 = 0,4096
Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que tres de los cuatro amigos hayan
visto el partido de la final del mundial.
7.- El 80 % de un universo potencial ha visto un exitoso programa de televisión. Al juntarse cuatro amigas
aficionadas al tema:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos amigas del grupo hayan visto el programa?
b) ¿Y cuál es la posibilidad de que, como máximo, lo hayan visto dos amigas?
Llamando A = “Ver el programa”, p = P(A) = 0,8 , n = 4 y siendo X = “Número de amigas que han visto el
programa” X ≡ B(4; 0,80) Usando la fórmula:
a) P(X = 2) = 0,1536 b) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 = 0,1808
8.- La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es de 0,12.
Si se revisan cinco aparatos. Calcula:
a) la probabilidad de que 2 sean defectuosos
b) la probabilidad de que menos de 3 sean defectuosos
c) la probabilidad de que al menos 3 sean defectuosos
d) la probabilidad de que ninguno sea defectuoso
e) la probabilidad de que alguno sea defectuoso
Veamos los datos que tenemos:
A = “Ser defectuoso” , p = P(A) = 0,12 (probabilidad de que uno sea defectuoso), q = 1 - 0,12
q = 0,88 (probabilidad de que uno no sea defectuoso) n = 5 (total de tv que se revisan)
Siendo X = “Número de televisores defectuosos” X ≡ B(5; 0,12)
Usamos la fórmula:
a) P(X = 2) = 0,098131
b) P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,5277 + 0,3598 + 0,0981 = 0,9856
c) P(X ≥ 3) = 1 – P(X <3) = 1 – 0,9856 = 0,0144
d) P(X = 0) = 0,5277
e) P(X ≥ 0) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0, 5277 = 0,4723
12
9.- En un examen formado por veinte preguntas, cada una de las cuales se responde “verdadero” o “falso”, el
alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide
responder al examen tirando dos monedas: pone “falso” si ambas monedas muestran una cara y
“verdadero” si al menos hay una cruz. Se desea saber cuál es la probabilidad de que tenga más de catorce
aciertos.
En este caso A = “ser verdadero”, p = P(A) = 0,75 , n = 20 y siendo X = “Número de respuestas acertadas”
cumple las característica para “seguir” una distribución de probabilidad binomial de parámetros 20 y 0,75
X ≡ B(20; 0,75)
Nos piden P(X > 14) = P(X = 15) + . . . + P(X = 20) = 0,6172
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos es de 0,6172, es decir del 61,72%
10.- Se sabe que el 7% de los útiles quirúrgicos en un lote de cien no cumplen ciertas especificaciones de
calidad. Tomada una muestra al azar de diez unidades sin reemplazo, interesa conocer la probabilidad de
que no más de dos sean defectuosas.
Definiendo A = “Ser defectuoso” , p = P(A) = 0,07, n = 10 y siendo X =”Número de útiles defectuosos”
X ≡ B(10; 0,07) Nos piden P(X≤ 2) = 0,9716 . La probabilidad es aproximadamente de 0,97.
11.- Supongamos que el color de ojos (distinguimos únicamente entre claros y oscuros) depende únicamente de
una gen cuyo alelo dominante A determina un “color oscuro” y cuyo alelo recesivo a determina un “color
claro”.
Consideremos una pareja donde ambos individuos son hererocigóticos Aa.
El color de los ojos de un descendiente depende de qué alelos se combinen, con lo que el número de
posibilidades es 4: E = {AA,Aa,aA,aa}
Si asumimos la simetría en lo que respecta a este gen tanto en el proceso de meiosis como en el de la
fecundación, podemos suponer que todas la posibilidades son equiprobables y que el color de ojos de un
descendiente no condiciona el que pueda tener otro. La probabilidad de que un descendiente tenga ojos claros es
pues 1/4.
Supongamos que la pareja tiene 5 descendientes, lo cual nos conduce a un complicado espacio muestral.
No obstante, sólo estamos interesados en este caso en conocer cuántos descendientes poseerán ojos claros.
Así pues, la variable aleatoria considerada X es el número de descendientes con ojos claros, que puede
tomarlos valores 0,1,2,3,4 o 5. Basta conocer la función de probabilidad para caracterizar la distribución de esta
variable.
o Nos preguntamos, por ejemplo, cuál es la probabilidad de tener exactamente 2 descendientes con los
ojos claros. Ese suceso puede verificarse de muchas formas, por ejemplo si tenemos la secuencia o
muestra aleatoria CCOOO. La probabilidad de dicha combinación puede obtenerse de dos maneras
diferentes:
dividiendo el número de casos favorables en el espacio muestral entre el número total de
casos posibles, en este caso 27/1024;
más fácil es calcularla multiplicando las probabilidades de ir obteniendo cada suceso de la
secuencia, es decir, 1/4 · 1/4 · 3/4 · 3/4 · 3/4 = 27/1024. Pero hemos de tener en cuenta
que no es ésta la única combinación que aporta dos descendientes con ojos claros, pues
cualquier alteración del orden da lugar a otra igualmente válida e igualmente probable,
por la conmutatividad del producto: COCOO, OCOOC, etc. La pregunta es: ¿cuántas
13
combinaciones con 2C entre 5 posibilidades pueden darse? La respuesta es clara si
tenemos nociones básicas de combinatoria: (52
), es decir,
P(X = 2) = (52
)·27/ 1024 = 0,26
Si este modelo matemático explica el fenómeno considerado, ¿qué debería suceder en la práctica? Pues
que, dada una gran cantidad de parejas en esas condiciones y con 5 descendientes, aproximadamente el 26 % de
las mismas debe tener dos descendientes con ojos claros.
Generalizando los cálculos podemos decir que:
𝐏(𝐗 = 𝐣) = (𝟓𝐣
) (𝟏
𝟒)
𝐣
(𝟑
𝟒)
𝟓−𝐣
𝐣 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓
Hemos construido la distribución de probabilidad. Podemos generalizar aún más los cálculos de la
siguiente forma: si una variable X contabiliza el número de veces que se verifica cierto suceso, que ocurre con
una probabilidad p, tras n repeticiones independientes del experimento, la probabilidad de que X tome un valor
j = 0, 1, . . . , n es la siguiente:
𝐏(𝐗 = 𝐣) = (𝐧𝐣 ) 𝐩𝐣(𝟏 − 𝐩)𝐧−𝐣 𝐣 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, . . . , 𝐧
En ese caso, se dice que la variable X sigue un tipo o modelo de distribución Binomial de parámetros n y p,
denotándose X ∼ B(n, p) o X ≡ B(n, p)
14
TEMA 12 : DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es sin duda la más importante de las distribuciones continuas tanto en la teoría
como en la práctica estadística. Puede decirse que en este universo, la mayoría de los fenómenos naturales se
comporta básicamente de forma “normal”.
A la hora de formalizar este tipo de situaciones nos encontramos pues con los problemas inherentes a las
mediciones sobre un continuo, por lo que se precisa una cierta familiaridad con las técnicas de integración y el
lenguaje infinitesimal.
Aunque fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754), posteriormente,
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y la estudió en relación con la distribución
de los errores en medidas astronómicas. Por este motivo se usa a veces el término 'campana de Gauss' para
referirnos a la función de densidad. La distribución de una variable normal está completamente determinada por
el conocimiento de dos parámetros: la media (𝝁) y la desviación típica (𝝈). La notación será X ≡ N(μ, σ)
No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común,
diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución
normal estándar, que corresponde a una distribución de 𝝁 = 0 y 𝝈 = 1. La expresión que define su función
densidad es : 𝑓(𝑥) =1
𝜎√2𝜋𝑒−
1
2 (
𝑥−𝜇
𝜎)
2
𝑐𝑜𝑛 𝑥 ∈ 𝑅
La función de densidad de una distribución normal ( que tiene forma de campana) es simétrica en torno a
la media y el área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. (como
corresponde a una función de densidad).
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0,5 a la izquierda y otra igual a
0,5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
La densidad está concentrada en torno a la media y se hace muy pequeña conforme nos alejamos del
centro por la derecha o la izquierda (las “colas” de la distribución). Cuanto más alejado es el valor del centro de
la función de densidad menos probable es observar ese valor. La media de la distribución determina el centro de
la gráfica de la función de densidad.
Si cambiamos la media, la forma de la gráfica
no cambia, simplemente se traslada a derecha
o izquierda.
Aumentando la desviación típica (si no
modificamos la media, el centro de la gráfica no cambia) la
forma de la curva cambia. La curva se hace más ancha y
menos alta, es decir, la dispersión aumenta. Cuanto mayor es
15
la desviación estándar mayor es la dispersión de la variable.
Entonces, para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso, entre -∞ y a, sólo hay que
calcular
P(X < a) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑎
−∞
Esto representa el área debajo de la campana de Gauss para los valores menores que a.
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y
para calcularla utilizaremos una tabla de N(0,1)
Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución normal, se puede
obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, N(0,1), sin más que efectuar la
transformación que llamamos estandarización o tipificación de la variable.
Si X ≡ N(μ, σ) Z = X−μ
σ y Z ≡ N(0,1)
Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribución existen
tablas publicadas a partir de las que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato
menor o igual a un cierto valor “z”, y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del
comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal.
Ejemplos
1.- La estatura de todos los adultos masculinos que residen en el estado de Pennsylvania siguen
aproximadamente una distribución normal.
2.- Consideremos el siguiente problema: supongamos que se sabe que el peso de los individuos de una
determinada población sigue una distribución normal, con una media de 80 Kg y una desviación típica de 10 Kg.
¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?
Llamando X a la variable que representa el peso de los individuos en esa población, ésta sigue una
distribución normal de parámetros 𝜇 = 80 y 𝜎 = 10 ; es decir X ≡ N(80,10).
Si su distribución fuese la de una normal estándar, N(0,1), podríamos utilizar la “Tabla” para
calcular la probabilidad que nos interesa. Como éste no es el caso, debemos tipificarla y obtener la
variable: Z = X−μ
σ Z ≡ N(0,1)
Debemos calcular P(X > 100) = P(z > 100−80
10 ) = P(Z > 2) , P(Z > 2) se mira en la tabla.
16
PROPIEDAD DE LA “CAMPANA DE GAUSS”
- El 68% de los datos se encuentra a menos de
una desviación estándar de la media; es decir,
la probabilidad de que la variable esté en el
intervalo (µ − σ, µ + σ) es 0,68
- El 95% de los datos se encuentra a menos de
2 desviaciones estándar de la media, es decir,
la probabilidad de que la variable esté en el
intervalo (µ − 2σ, µ + 2σ) es 0,95
Ejemplo
En una ciudad la temperatura máxima en el mes de Agosto sigue una distribución normal de media 23º y
desviación típica 5º
En el 68% de los Agostos la temperatura máxima oscilará entre
23 - 5 = 18ºC y 23 + 5 = 28ºC
En el 95% de los Agostos la temperatura máxima oscilará entre
23 - 2·5 = 13ºC y 23 + 2·5 = 33ºC
USO DE LA TABLA NORMAL, N(0,1)
Unidad y décima Centésima
P(X<0,35) = 0,6368
¿Qué área queda “por debajo de” 0,35? P(Z≤0,35)
17
Cuando se use la tabla debemos asegurarnos de tener una variable N(0,1) y querer calcular la
probabilidad de X < a o X≤ a para valores de “a” positivos. En este caso:
1. Se localiza en la primera columna el par de números : UNIDAD-DÉCIMA del valor de “a”
2. Se localiza en la primera fila un número : la CENTÉSIMA del valor de “a”
3. Si el valor de “a” tuviera más de dos decimales, se aproxima a las centésimas.
4.
CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA TABLA DE LA N(0,1)
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla
utilizaremos una tabla.
Para poder utilizar la tabla tenemos que tipificar la variable X, que sigue una distribución N(μ, σ), en otra
variable Z que siga una distribución N(0, 1).
P(Z ≤ a)
Tie
ne e
l m
ism
o ár
ea,
ent
once
s la
prob
abilid
ad e
s la
mis
ma P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
18
APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL POR LA NORMAL
Si X ≡ B(n,p) con n · p ≥ 5 y n · q ≥ 5, cuando se tiene un número de pruebas “grande” la
distribución binomial se aproxima a una distribución normal de media n·p y varianza n·p·q
N (np,√𝒏𝒑𝒒 )
B(n,p)
Z = 𝑿−𝒏𝒑
√𝒏𝒑𝒒 ≡ N(0,1)
Representaciones gráficas:
Valores de tensión arterial sistólica en una
muestra de 1000 pacientes isquémicos ingresados en UCI.
Valores de tensión arterial sistólica de una muestra de 5000
pacientes ingresados en UCI.
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )
P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]
19
La distribución binomial se puede aproximar mediante una distribución normal:
Ejemplos
1.- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con
media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas
entre 21° y 27°.
Siendo X = “temperatura máxima” X ≡ N(23,5)
Nos pide calcular P(21 < X > 27) = 0,4425 Se esperan 30 · 0,4425 = 13
2.- La media de los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.
Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
Siendo X = “peso” X ≡ N(70,3)
a) Entre 60 kg y 75 kg Calcular P(60 < X < 75) = 0,9521 500 · 0,9521 = 476
b) Más de 90 kg Calcular P(X > 90) = 0 500 · 0 = 0
c) 64 kg P(X= 64) = 0 500 · 0 = 0
d) 64 kg o menos Calcular P(X≤ 64 ) = P(X < 64) = 0,022 500 · 0,022 = 11
3.- Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica
36. Se pide:
Siendo X = “calificación en examen” X ≡ N(78,36)
¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación
superior a 72? Calculamos P(X > 72) = 0,5636
4.- Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una
distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de
cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población,
un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un
20
grupo al otro?
Calculamos:
P(Z < z1) = 0,2 . . .
P(z1 < Z < z2) = 0,65 . . .
P(Z > z2 ) = 0,15 . . .
Baja cultura hasta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.
5.- Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y
desviación típica 15.
a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
P( 95 < X < 100) = 0,3779 37,79 %
b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al
50% de la población?
El intervalo es (90,100).
c) En una población de 2500 individuos ¿cuántos
individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
P(X > 125) = 0,0475 2500 · 0,0475 = 119
3.- Esta es la prueba de clase: Os mandaré soluciones.
21
PRUEBA DE CLASE TEMA 12 : DISTRIBUCI0NES
BINOMIAL Y NORMAL 2º BTO
ALUMNO/A : ……………………………………………………………………………………………..………… NOTA :
1.-Se lanza un dado cúbico equilibrado. Se define la variable aleatoria X = “el doble del número que
aparece”.
a) Encuentra la función de probabilidad de X.
b) La media (µx), la varianza y la desviación típica (σx).
2.-Encuentra la media µx = E(X), la varianza σx2 = Var(X) y la desviación típica σ = σx de la distribución:
3.-En una asociación juvenil el 60% de los socios juegan al balonmano. En un momento dado se trata de
reunir gente para formar un equipo, por lo que se pregunta a un grupo de 20 socios si practican dicho
deporte.
a) Describe la variable aleatoria que representa el número de individuos del grupo que lo
practican.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo haya tres o más personas que jueguen al
balonmano?
c) ¿Cuántos socios del grupo se espera que lo practiquen?
4.-Una empresa dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, que ofrece a sus habituales
clientes dos formas de pago: “pago al contado” o “pagado aplazado”, sabe que el 30% de las unidades
adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de “pago al contado”. Si en un período de tiempo
determinado se adquirieron 6 unidades, determinar la probabilidad de que:
a) Dos unidades o más hayan sido “al contado”.
b) Dos unidades o menos, hayan sido con “pago aplazado”.
5.- A una reunión fueron convocadas 8 personas. Cada persona puede acudir o no, con independencia de
lo que hagan las demás. Si la probabilidad de que acuda cada una de ellas es 0,85, calcular la
probabilidad de que:
a) Asistan todas. b) Asistan más de 6. c) Asista por lo menos la mitad.
6.- Sabiendo que Z ≡ N(0, 1), calcula las siguientes probabilidades:
a) P(Z ≤ 2,35) b) P(Z ≤ -1,37) c) P(Z ≥ 1,77) d) P(Z ≤ -1,86)
e) P(1,35 ≤ Z ≤ 3,25) f) P(-1,53 ≤ Z ≤ -0,67) g) P(-0,87 ≤ Z ≤ 1,24)
h) P(-1,35 ≤ Z ≤ 1,35)
Bloque 2 Código CRITERIO DE EVALUACIÓN PESO
Estadística
y
probabilidad
CE5.2
Identificar los fenómenos que pueden modelizarse mediante las distribuciones de
probabilidad binomial y normal calculando sus parámetros y determinando la
probabilidad de diferentes sucesos asociados.
12
xi 1 3 5 7
pi 0,3 0,1 0,4 0,2
22
7.-Calcula el valor de “K” en cada caso, con Z ≡ N(0, 1).
a) P(Z ≤ k) = 0,7611 b) P(Z ≤ k) = 0,0859 c) P(Z ≤ k) = 0,0359
d) P(Z ≥ K) = 0,2236 e) P(Z ≥ K) = 0,5793 f) P(-K ≤ Z ≤ K) = 0,8714
g) P(-K ≤ Z ≤ K) = 0,9850
8.-El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución N(10, 2) .
Se pide la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:
a) Menos de 7 horas
b) Entre 8 y 13 horas
9.-Un técnico realiza un test de cien ítems a unos doscientos opositores. Suponiendo que las
puntuaciones X obtenidas por los opositores siguen una distribución normal de media 60 puntos y
desviación típica 10 puntos. Se pide obtener:
a) P(X ≥70) b) P(X ≤80) c) P(X≤ 30) d) P(X≥ 46)
e) P(39 ≤X≤ 80) f) P(80 ≤X≤ 82,5) g) P(30≤ X ≤40)
h) P(│X- 60│≤ 20) i) P(│X- 60│≥ 20)
j) Número de opositores que obtuvieron 70 puntos o más.
10.- Un operador elige al azar entre “n” chips de una caja. La probabilidad de que sea defectuoso es 0,2.
a) Si n = 7, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 chips sean defectuosos?
b) Si n = 50, ¿cuál es la probabilidad de tener entre 9 y 12 chips defectuosos?
c) ¿Cuántos chips hay en la caja si la varianza es 32?
El pensamiento estadístico será algún día tan necesario para el ciudadano competente como la habilidad de leer y escribir.
H.G. Wells
“El 99% de todas las estadísticas sólo cuentan el 49% de la historia” Ron DeLegge.
“La naturaleza está escrita en lenguaje matemático” Galileo Galilei.
¡ ÁNIMO !, PRONTO NOS VEMOS.