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ANÁLISIS REAL
RESUMEN Y EJERCICIOS
RESUELTOS
1. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS
REALES
PROYECTO CLAVEMAT
4 (1)
Fascículos de Matemática
del Proyecto CLAVEMAT
FASCÍCULOS DE MATEMÁTICA
DEL PROYECTO CLAVEMAT
PROYECTO CLAVEMAT
ANÁLISIS REAL
RESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS
1. Sucesiones y series de números reales
Fascículo de Matemática No. 4 (1)
ANÁLISIS REAL: RESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS
1. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES
PROYECTO CLAVEMAT
Escrito por: Edison Tamayo, Ronny Tonato, Farhad Ghadiri
Responsable de la Edición: Andrés Merino
Revisión Académica: el texto aún no cuenta con revisión académica de pares
Registro de derecho autoral No.ISBN: 978-0000-000-00
Publicado por el proyecto CLAVEMAT de la Escuela Politécnica Nacional, Ladrón deGuevara E11-253, Quito, Ecuador.
Primera edición: 2016Primera impresión: 2016
c© Proyecto CLAVEMAT 2016
ÍNDICE GENERAL
1. Sucesiones y Series de Números Reales 1
1.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III
FASCÍCULO 1
SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS
REALES
1.1. Resumen
DEFINICIÓN 1.1 (Conjunto acotado superiormente). Sea A ⊆ R, se diceque A es acotado superiormente si
(∃a ∈ R)(∀x ∈ A)(x ≤ a),
es decir, si existe a ∈ R tal que x ≤ a para todo x ∈ A. Al número a se lollama una cota superior de A.
DEFINICIÓN 1.2 (Conjunto acotado inferiormente). Sea A ⊆ R, se diceque A es acotado superiormente si
(∃a ∈ R)(∀x ∈ A)(a ≤ x),
es decir, si existe a ∈ R tal que a ≤ x para todo x ∈ A. Al número a se lollama una cota inferior de A.
DEFINICIÓN 1.3 (Conjunto acotado). Sea A ⊆ R, se dice que A es acotado
si es acotado superiormente e inferiormente.
PROPOSICIÓN 1.1. Sea A ⊆ R, se tiene que A es acotada si y solo si
(∃M ∈ R)(∀x ∈ A)(|x| ≤ M),
es decir, si y solo si existe M ∈ R tal que |x| ≤ M para todo x ∈ A.
1
2 Sucesiones y Series de Números Reales
DEFINICIÓN 1.4 (Supremo). Sean A ⊆ R y a ∈ R, a se dice que es elsupremo de A si es la menor de las cotas superiores; de manera equivalente,si cumple que
i) (∀x ∈ A)(x ≤ a)
ii) (∀x ∈ A)(x ≤ c) =⇒ a ≤ c.
Es decir, si cumple que x ≤ a para todo x ∈ A y que si x ≤ c para todox ∈ A, entonces a ≤ c. Se representa por sup(A) = a.
DEFINICIÓN 1.5 (Ínfimo). Sean A ⊆ R y a ∈ R, a se dice que es el supre-
mo de A si es la mayor de las cotas inferiores; de manera equivalente, sicumple que
i) (∀x ∈ A)(a ≤ x)
ii) (∀x ∈ A)(c ≤ x) =⇒ c ≤ a.
Es decir, si cumple que a ≤ x para todo x ∈ A y que si c ≤ x para todox ∈ A, entonces c ≤ a. Se representa por ınf(A) = a.
PROPOSICIÓN 1.2. Sean A ⊆ R y a ∈ R, se tiene que a = sup(A) sí y solo sí
i) (∀x ∈ A)(x ≤ a)
ii) (∀ε > 0)(∃z ∈ A)(a − ε < z).
Es decir, si y solo si a es cota superior de A y para todo ε > 0, existe z ∈ A talque a − ε < z.
PROPOSICIÓN 1.3. Sean A ⊆ R y a ∈ R, se tiene que a = ınf(A) sí y solo sí
i) (∀x ∈ A)(a ≤ x)
ii) (∀ε > 0)(∃z ∈ A)(z < a + ε).
Es decir, si y solo si a es cota inferior de A y para todo ε > 0, existe z ∈ A talque z < a + ε.
PROPOSICIÓN 1.4. Si A ⊆ B ⊆ R, entonces
sup(A) ≤ sup(B) y ınf(B) ≤ ınf(A).
1.1 Resumen 3
PROPOSICIÓN 1.5. Sea A ⊆ R, definimos al inverso de un conjunto como:
−A = {x ∈ R : −x ∈ A} = {−x ∈ R : x ∈ A}.
Entonces:
ınf(−A) = − sup(A) y sup(−A) = − ınf(A).
AXIOMA 1 (Axioma del Supremo). Todo subconjunto de los números reales,acotado superiormente y no vacío, tiene supremo.
TEOREMA 1.6 (Propiedad Arquimediana). Para todo x ∈ R, existe n ∈ N
tal que x < n.
COROLARIO 1.7. Para todo x > 0, existe n ∈ N tal que: n ≤ x < n + 1.
TEOREMA 1.8 (Densidad). Sean x, y ∈ R arbitrarios, si x < y, entonces
• existe q ∈ Q tal que x < q < y; y
• existe r ∈ R r Q tal que x < r < y.
1.1.1. Intervalos
DEFINICIÓN 1.6. A un conjunto I ⊆ R se lo llama intervalo, si para todox, y ∈ I, con x < y; y para todo z ∈ R se tiene que si x < z < y, entoncesz ∈ I.
DEFINICIÓN 1.7. Sean a, b ∈ R, con a < b, se definen los conjuntos:
i) (a, b) = {x ∈ R : a < x < b},
ii) [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
iii) (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},
iv) [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},
v) [b,+∞) = {x ∈ R : x ≥ b},
vi) (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a},
vii) (b,+∞) = {x ∈ R : x > b}; y
viii) (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
Se clasifican en:
4 Sucesiones y Series de Números Reales
• intervalos abiertos: i), vii) y viii);
• intervalos cerrados: ii), v) y vi);
• intervalos acotados: i), ii), iii) y iv); y
• intervalos no acotados: v), vi), vii) y viii).
TEOREMA 1.9 (Intervalos encajados de Cantor). Sea {In}n∈N una familiade intervalos, cerrados, acotados, no vacíos y encajados, es decir
In+1 ⊆ In
para todo n ∈ N, entonces tienen intersección no vacía:
⋂
n∈N
In 6= ∅.
1.1.2. Sucesión
DEFINICIÓN 1.8 (Sucesión). Una función x : N → R se la llama una su-
cesión de números reales. Para cada n ∈ N, se denota xn = x(n) y a lasucesión se la denota x = (xn)n∈N
DEFINICIÓN 1.9 (Límite de una sucesión). Sean (xn)n∈N una sucesión yL ∈ R, se dice que L es el límite de (xn)n∈N cuando n tiende al infinito, oque (xn)n∈N converge a L; y se escribe
L = lımn→+∞
xn, o xn → L, cuando n → +∞,
si(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n > N =⇒ |xn − L| < ǫ).
PROPOSICIÓN 1.10. El límite de una sucesión convergente es único.
PROPOSICIÓN 1.11. Dada una sucesión (xn)n∈N:
• |xn − L| → 0, cuando n → ∞, si y solo si xn → L, cuando n → ∞.
• (xn)n∈N es de Cauchy, si y solo si, |xn − xm| → 0, cuando n, m → ∞.
1.1 Resumen 5
DEFINICIÓN 1.10. El conjunto
RN = {(xn)n∈N : (xn)n∈N es una sucesión en R}
es un espacio vectorial.
DEFINICIÓN 1.11. Se define el conjunto
c = {(xn) : (xn) converge} ⊆ RN.
PROPOSICIÓN 1.12. Se tiene que c es un subespacio vectorial de RN.
PROPOSICIÓN 1.13. La función
lımn→ +∞
: c −→ R
(xn) 7−→ lımn→+∞
xn
es una aplicación lineal.
DEFINICIÓN 1.12 (Sucesión acotada). Sea (xn)n∈N una sucesión de núme-ros reales. Se dice que (xn)n∈N es acotada si {xn : n ∈ N} es un conjuntoacotado, es decir, existe M ∈ R tal que
|xn| ≤ M,
para todo n ∈ N.
PROPOSICIÓN 1.14. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N dos sucesiones. Si xn → L y yn →M, cuando n → +∞, entonces
i) xn · yn → L · M, cuando n → +∞; y
ii) si xn 6= 0, para todo n ∈ N y L 6= 0, entonces1xn
→ 1L
.
PROPOSICIÓN 1.15. Sea (xn)n∈N una sucesión convergente, entonces es acota-da.
PROPOSICIÓN 1.16. Sean (xn)n∈N una sucesión convergente y L ∈ N su lími-te. Si xn > 0, para todo n ∈ N, entonces L ≥ 0.
COROLARIO 1.17. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N sucesiones convergentes y L, M ∈R sus límites respectivamente, si xn > yn ,para todo n ∈ N, entonces L ≥ M.
6 Sucesiones y Series de Números Reales
TEOREMA 1.18 (Sánduche). Sean (xn)n∈N , (yn)n∈N , (zn)n∈N sucesionesy L ∈ R tales que
• xn → L, zn → L; y
• xn ≤ yn ≤ zn , para todo n ∈ N;
entonces yn → L.
PROPOSICIÓN 1.19. Sea (xn)n∈N una sucesión y L ∈ R tal que xn → L, enton-ces |xn| → |L|.
PROPOSICIÓN 1.20. Sea (xn)n∈N una sucesión, entonces xn → 0, cuando n →+∞ si y solo si |xn| → 0, cuando n → +∞.
PROPOSICIÓN 1.21. Si xn → L , cuando n → +∞, xn > 0, entonces√
xn →√L, cuando n → +∞.
TEOREMA 1.22 (Axioma de Elección). Sea {Ai}i∈N una familia de conjun-tos no vacíos, entonces existe
f : N →⋃
i∈N
Ai,
tal que f (i) ∈ Ai, para todo i ∈ N. En otras palabras, existe una sucesión,(xn)n∈N ∈ A, con A =
⋃
i∈N Ai, tal que, para todo n ∈ N
xn ∈ An ⊆ A.
PROPOSICIÓN 1.23. Sea (xn)n∈N una sucesión. Si (xn)n∈N es monótona y aco-tada, entonces converge.
DEFINICIÓN 1.13 (Subsucesión). Sean x = (xn)n∈N una sucesión y φ : N →N una función estrictamente creciente. A la aplicación
x ◦ φ : N → R,
se le llama subsucesión de (xn)n∈N y se la nota por (xφ(n))n∈N.
PROPOSICIÓN 1.24. Sea (xn)n∈N una sucesión convergente, entonces toda sub-sucesión de ésta sucesión también converge.
1.1 Resumen 7
DEFINICIÓN 1.14. Sean (xn)n∈N una sucesión y x ∈ R. A x ∈ R se lo lla-ma punto de acumulación de (xn)n∈N si existe una subsucesión (xφ(n))n∈N
que converge a x.
PROPOSICIÓN 1.25. Toda sucesión acotada posee una subsucesión monótona.
TEOREMA 1.26 (Bolzano Weierstrass). Toda sucesión acotada posee unasubsucesión convergente.
1.1.3. Sucesiones de Cauchy
DEFINICIÓN 1.15 (Sucesión de Cauchy). Sea (xn)n∈N una sucesión, se di-ce de Cauchy si,
(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N ⇒ |xn − xm| < ǫ).
PROPOSICIÓN 1.27. Toda sucesión convergente es de Cauchy.
PROPOSICIÓN 1.28. Toda sucesión de Cauchy es acotada.
PROPOSICIÓN 1.29. Si una sucesión de Cauchy posee una subsucesión conver-gente entonces converge.
TEOREMA 1.30. Si (xn)n∈N es de Cauchy, entonces es convergente.
1.1.4. Series
DEFINICIÓN 1.16. Sea (xn)n∈N una sucesión, se define:
s0 = x0; y
sn = sn−1 + xn n > 1,
para todo n ∈ N \ {0}. A la sucesión (sn)n∈N se la llama la serie de tér-mino general xn y se la representa por:
+∞
∑n=0
xn o ∑n∈N
xn.
8 Sucesiones y Series de Números Reales
Si (sn)n∈N converge a L. Se dice que la serie es convergente y se nota:
+∞
∑n=0
xn = L.
OBSERVACIÓN. Si+∞
∑n=0
xn converge, entonces:
lımn→ +∞
sn = lımn→ +∞
n
∑m=0
xm =+∞
∑n=0
xn.
PROPOSICIÓN 1.31. Sean+∞
∑n=0
an y+∞
∑n=0
bn series de términos positivos; si ambas
convergen hacia a y b respectivamente, y α ∈ R, entonces
•+∞
∑n=0
(an + bn) converge, además
+∞
∑n=0
(an + bn) =+∞
∑n=0
an ++∞
∑n=0
bn = a + b; y
•+∞
∑n=0
α · xn converge, además
+∞
∑n=0
α · xn = α ·+∞
∑n=0
xn.
PROPOSICIÓN 1.32. La serie+∞
∑n=0
1np converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.
PROPOSICIÓN 1.33. La serie+∞
∑n=0
rn converge si |r| < 1, y además, su límite es
+∞
∑n=0
rn =1
1 − r.
PROPOSICIÓN 1.34 (Criterio del límite del término general). Si+∞
∑n=0
an conver-
ge, entonces lımn→ +∞
an = 0.
PROPOSICIÓN 1.35 (Criterio de comparación). Sean+∞
∑n=0
an y+∞
∑n=0
bn series de
1.1 Resumen 9
términos positivos. Si existen c ∈ R y N ∈ N tales que
an < c · bn,
para todo n > N, entonces
• si+∞
∑n=0
bn converge, entonces+∞
∑n=0
an también converge; y
• si+∞
∑n=0
bn no converge, entonces+∞
∑n=0
an tampoco converge.
DEFINICIÓN 1.17 (Convergencia absoluta). Dada+∞
∑n=0
an, se dice que con-
verge absolutamente, si la serie+∞
∑n=0
|an| converge. Si+∞
∑n=0
an converge pero
+∞
∑n=0
|an| no converge, entonces se dice que la serie+∞
∑n=0
an converge condi-
cionalmente.
PROPOSICIÓN 1.36 (Series alternantes). Sea (an)n∈N una sucesión decrecientey convergente a cero, entonces la serie
+∞
∑n=0
(−1n) · an,
es convergente.
PROPOSICIÓN 1.37. Sea+∞
∑n=0
an absolutamente convergente, entonces+∞
∑n=0
an con-
verge.
PROPOSICIÓN 1.38 (Criterio de d’Alambert). Sea (an)n∈N una sucesión de tér-
minos distintos de cero. Si lımn→ +∞
|an+1||an|
= L, entonces
• si L < 1, entonces+∞
∑n=0
an es absolutamente convergente.
• si L > 1, entonces+∞
∑n=0
an no es absolutamente convergente.
10 Sucesiones y Series de Números Reales
DEFINICIÓN 1.18. Sean+∞
∑n=0
an una serie y φ : N → N una función biyec-
tiva. Una reordenación de la serie es la serie
+∞
∑n=0
aφ(n).
PROPOSICIÓN 1.39. Si+∞
∑n=0
an converge absolutamente, toda reordenación con-
verge al mismo límite.
PROPOSICIÓN 1.40. Sea+∞
∑n=0
an una serie condicionalmente convergente. Para
todo c ∈ R existe un reordenamiento tal que:
+∞
∑n=0
aφ(n) = c.
1.2 Ejercicios resueltos 11
1.2. Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1.1. Sea A = {x ∈ R : 0 ≤ x}. Demuestre que A tiene cotainferior pero no superior.
Demostración. Primero demostremos que A tiene cota inferior, es decir, demos-tremos que:
(∃a ∈ R)(∀x ∈ A)(a ≤ x).
Sea x ∈ A, por lo tanto, se tiene que 0 ≤ x. Así, se tiene que 0 es una cotainferior de A.
Ahora, demostremos que A no es acotada superiormente, por reducción alabsurdo, supongamos que existe b ∈ R tal que
(∀x ∈ A)(x ≤ b).
Como 0 ∈ A, se tiene que 0 ≤ b. Por otro lado, b < b+ 1, por lo tanto, 0 ≤ b+ 1,de donde, se obtiene que b + 1 ∈ A. Así, se tiene que b + 1 ≤ b, lo cual escontradictorio, por lo tanto, A no es acotado superiormente.
EJERCICIO 1.2. Halle el supremo e ínfimo del conjunto (0, 1].
Solución. Definamos A = (0, 1] = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1}. Demostraremos quesup(A) = 1.
• Sea x ∈ A, por definición de A
x ≤ 1.
• Supongamos que c ∈ R es tal que
(∀x ∈ A)(x ≤ c),
como 1 ∈ A, se tiene que 1 ≤ c.
Así, se tiene que en efecto sup(A) = 1.
Ahora, demostraremos que ınf(A) = 0.
• Sea x ∈ A, por definición de A se tiene que 0 < x, de donde,
0 ≤ x.
12 Sucesiones y Series de Números Reales
• Supongamos que c ∈ R es tal que
(∀x ∈ A)(c ≤ x),
queremos demostrar que c ≤ 0. Por reducción al absurdo, supongamosque c > 0, tomando x = mın{1, c/2}, se tiene que x ∈ A, por lo tantox ≤ c, de donde
c ≤ c
2,
es decir 1 ≤ 12 , lo cual es contradictorio, por lo tanto, c ≤ 0.
Así, se tiene que en efecto ınf(A) = 0.
EJERCICIO 1.3. Demuestre que ınf({
1n : n ∈ N∗
})
= 0.
Demostración. Para esta demostración, utilizaremos la Proposición 1.2.
• Sea n ∈ N∗, entonces n > 0, por lo tanto, 1n > 0.
• Ahora, debemos demostrar que cumple
(∀ǫ > 0)(∃n ∈ N∗)(
1n < 0 + ǫ
)
.
Sea ǫ > 0, gracias a la Propiedad Arquimediana, existe n ∈ N tal que1ǫ < n, así,
1n< ǫ.
Por lo tanto, gracias a la Proposición 1.2, se tiene que ınf({
1n : n ∈ N∗
})
=
0.
EJERCICIO 1.4. Halle el supremo de A ={
1 − 12n+1 : n ∈ N
}
.
Solución. Demostraremos que sup(A) = 1. Es decir, demostraremos que
• (∀n ∈ N)(
1 − 12n+1 ≤ 1
)
; y
• si (∀n ∈ N)(
1 − 12n+1 ≤ c
)
, entonces 1 ≤ c.
1.2 Ejercicios resueltos 13
Sea n ∈ N, se tiene que
2n + 1 > 0 =⇒ 12n + 1
> 0
=⇒ − 12n + 1
< 0
=⇒ 1 − 12n + 1
< 1,
es decir, 1 es una cota superior del conjunto.
Ahora, supongamos que c ∈ R es tal que
(∀n ∈ N)(
1 − 12n+1 ≤ c
)
,
debemos demostrar que 1 ≤ c. Por reducción al absurdo, supongamos quec < 1, gracias a la Propiedad Arquimediana, existe n ∈ N tal que
11 − c
< n,
lo cual equivale a
c < 1 − 12n + 1
.
Pero, dado que c es una cota superior del conjunto, se tiene que
1 − 12n + 1
≤ c,
lo cual es contradictorio, por lo tanto, 1 ≤ c. Es decir, en efecto, sup(A) = 1.
EJERCICIO 1.5. Sea A ⊆ R un conjunto acotado. Demuestre que
sup(−A) = − ınf(A).
Demostración. Sea α = ınf(A), por la Proposición 1.2, se tiene que
i) (∀x ∈ A)(α ≤ x); y
ii) (∀ǫ > 0)(∃y ∈ A)(y < α + ǫ).
Demostraremos que −α = sup(−A) utilizando la Proposición 1.2, es decir,demostraremos que
• (∀x ∈ −A)(x ≤ −α); y
14 Sucesiones y Series de Números Reales
• (∀ǫ > 0)(∃z ∈ −A)(−α − ǫ < z).
Sea x ∈ −A, se tiene que −x ∈ A. Por i), tenemos que α ≤ −x es decir
x ≤ −α.
Ahora, sea ǫ > 0. Por b), existe y ∈ A tal que
y < α + ǫ,
por lo tanto,−α − ǫ < −y,
pero −y es elemento de −A, de donde, tomando z = −y se tienen que z ∈ −A
y que−α − ǫ < z,
por lo tanto, −α = sup(−A).
EJERCICIO 1.6. Sean A ⊆ R y λ ∈ R. Se define el conjunto
λA = {λx ∈ R : x ∈ A},
demostrar que
a) si λ > 0, entonces sup(λA) = λ · sup(A); y
b) si λ < 0, entonces sup(λA) = λ · ınf(A).
Demostración. Sean α = sup(λA), β = sup(A) y γ = ınf(A).
a) Supongamos que λ > 0, debemos demostrar que α = λ · β. Por la defini-ción de supremos se tiene que
i) (∀x ∈ A)(λx ≤ α);
ii) si (∀x ∈ A)(λx ≤ c), entonces α ≤ c;
iii) (∀x ∈ A)(x ≤ β); y
iv) si (∀x ∈ A)(x ≤ d), entonces β ≤ d.
Empecemos demostrando que λβ ≤ α. Sea x ∈ A, por i), se tiene queλx ≤ α, es decir
x ≤ α
λ.
1.2 Ejercicios resueltos 15
Con esto, por iv), obtenemos que β ≤ α
λ, de donde
λβ ≤ α.
Ahora demostremos que α ≤ λβ. Sea x ∈ A, por iii), se tiene que x ≤ β,por lo tanto
λx ≤ λβ.
Con esto, por ii) se obtiene que α ≤ λβ. Por lo tanto, se obtiene que α = λβ,es decir,
sup(λA) = λ · sup(A).
b) Supongamos que λ < 0, debemos demostrar que α = λ · γ. Así, se tienenlas siguientes propiedades:
i) (∀x ∈ A)(λx ≤ α);
ii) si (∀x ∈ A)(λx ≤ c), entonces α ≤ c;
iii) (∀y ∈ A)(γ ≤ y); y
iv) si (∀y ∈ A)(d ≤ y), entonces d ≤ γ.
Empecemos demostrando que α ≥ λγ. Sea x ∈ A, por i), se tiene queλx ≤ α, es decir
x ≥ α
λ.
Con esto, por iv), obtenemosα
λ≤ γ, de donde
α ≥ λγ.
Ahora demostremos que α ≤ λγ. Sea x ∈ A, por iii), se tiene que x ≥ γ,por lo tanto
λx ≤ λγ,
Con esto, por ii) se obtiene que α ≤ λγ. Por lo tanto, se obtiene que α = λγ,es decir,
sup(λA) = λ · ınf(A).
EJERCICIO 1.7. Sean a, b ∈ R tales que a < b. Demuestre que existe unacantidad infinita de números racionales en el intervalo (a, b).
Demostración. Definamos el conjunto
Q = {q ∈ Q : a < q < b}.
16 Sucesiones y Series de Números Reales
Supongamos, por reducción al absurdo, que Q es finito, por lo tanto existemax(Q), llamémoslo r. Se tiene que r ∈ Q, además, a < r < b. Por densidaden R, existe q ∈ Q tal que
a < r < q < b,
entonces q ∈ Q. Al ser r el máximo se tiene que q ≤ r, lo cual es contradictorio.Por lo tanto, Q es infinito, es decir, existe una cantidad infinita de númerosracionales en el intervalo (a, b).
EJERCICIO 1.8. Sean a, b ∈ R. Demuestre que∣
∣|a| − |b|∣
∣ ≤ |a − b|.
Demostración. Usando la desigualdad triangular tenemos que
|a| = |a − b + b| ≤ |a − b|+ |b| y |b| = |b − a + a| ≤ |b − a|+ |a|.
Así, tenemos que
|a| − |b| ≤ |a − b| y |b| − |a| ≤ |a − b|,
por lo tanto−|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|,
de donde, se concluye que∣
∣|a| − |b|∣
∣ ≤ |a − b|.
EJERCICIO 1.9. Sea (xn)n∈N una sucesión. Demuestre que si xn → a cuan-do n → ∞, entonces |xn| → |a| cuando n → ∞
Demostración. Supongamos que xn → a cuando n → ∞, es decir, supongamosque
(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n > N =⇒ |xn − a| < ǫ).
Queremos demostrar que |xn| → |a| cuando n → ∞,es decir,
(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n > N =⇒∣
∣|xn| − |a|∣
∣ < ǫ).
Sea ǫ > 0, por hipótesis, para n ∈ N, se tiene que
∣
∣|xn| − |a|∣
∣ < |xn − a|.
Así, para ǫ > 0, existe N ∈ N tal que si n > N, entonces
∣
∣|xn| − |a|∣
∣ < |xn − a| < ǫ.
1.2 Ejercicios resueltos 17
Es decir, |xn| → |a|, cuando n → +∞.
EJERCICIO 1.10. Demuestre quecos(
√n)
n2 → 0 cuando n → ∞
Demostración. Sabemos que, para todo n ∈ N∗,
−1n2 ≤ cos(
√n)
n2 ≤ 1n2 .
Ahora, dado que−1n2 → 0 y
1n2 → 0
cuando n → +∞, entonces, por el Teorema del Sánduche, se concluye que
cos(√
n)
n2 → 0
cuando n → +∞.
EJERCICIO 1.11. Demuestre que la sucesión (xn)n∈N definida por
xn =2n
∑k=n+1
1k
para n ∈ N∗ es convergente.
Demostración. En primer lugar, notemos que, para n ∈ N,
xn =2n
∑k=n+1
1k=
1n + 1
+1
n + 2+
1n + 3
+1
n + 4+ · · ·+ 1
2n
≤ 1n + 1
+1
n + 1+
1n + 1
+1
n + 1+ · · ·+ 1
n + 1
=1
n + 1· (2n − n − 1 + 1)
=n
n + 1< 1.
de lo cual se sigue que (xn)n∈N está acotada. Por otro lado, tenemos que
xn − xn+1 =2n
∑k=n+1
1k−
2n+2
∑k=n+2
1k
18 Sucesiones y Series de Números Reales
=1
n + 1−
2n+2
∑k=2n+1
1k
=1
n + 1− 1
2n + 1− 1
2n + 2
=− 12(n + 1)(2n + 1)
< 0,
de lo cual se sigue quexn < xn+1
para todo n ∈ N; es decir, (xn)n∈N es monótona. Así por la Proposición 1.23 seconcluye que (xn)n∈N converge.
EJERCICIO 1.12. Demostrar, si xn → x, yn → y, cuando n → +∞, entonces|xn − yn| → |x − y|, cuando n → +∞.
Demostración. Sea ǫ > 0, para n ∈ N, se tiene que
∣
∣|xn − yn| − |x − y|∣
∣ ≤ |(xn − yn)− (x − y)|≤ |(xn − x)− (yn − y)|≤ |xn − x|+ |yn − y|.
Para ǫ2 > 0, existen N1, N2 ∈ N tal que
n ≥ N1 =⇒ |xn − x| < ǫ
2y n ≥ N2 =⇒ |yn − y| < ǫ
2.
Con esto, tomando N = max{N1, N2}, se sigue que
n ≥ N =⇒∣
∣|xn − yn| − |x − y|∣
∣ <ǫ
2+
ǫ
2= ǫ.
EJERCICIO 1.13. Sean A ⊆ R, y s = sup A. Demostrar que existe unasucesión (xn)n∈N de elementos de A tal que xn → s cuando n → ∞
Demostración. Si s ∈ A, podemos tomar la sucesión dado por xn = s, para todon ∈ N, asi (xn)n∈N es la sucesión constante y converge a s.
Por otro lado, supongamos que s 6∈ A, como s es el supremo de A, se cum-ple que
i) (∀x ∈ A)(x ≤ s); y
1.2 Ejercicios resueltos 19
ii) (∀ǫ > 0)(∃y ∈ A)(s − ǫ < y).
Para n ∈ N, 1n+1 > 0. Por ii), existe y ∈ A tal que
s − 1n + 1
< y,
es decir
An =
{
y ∈ A : s − 1n< y
}
6= ∅.
Así, {An}n∈N es una familia de conjuntos no vacíos. Por el Axioma de Elección,existe (xn)n∈N una sucesión de elementos de A tal que
xn ∈ An ⊆ A,
para todo n ∈ N, además, como s es el supremo de A y xn ∈ An ⊆ A, paratodo n ∈ N, se obtiene
s − 1n + 1
< xn ≤ s,
para todo n ∈ N. Aplicando el Teorema del Sanduche, se tiene
xn → s,
cuando n → +∞.
EJERCICIO 1.14. Sea (xn)n∈N una sucesión acotada de números reales. Sedefinen las sucesiones (sn)n∈N y (in)n∈N por
sn = sup{xk : k ≥ n} y in = ınf{xk : k ≥ n},
para todo n ∈ N. Demostrar que estas sucesiones convergen y especi-ficar su valor. A estos se los conoce como límite superior y límite inferior,respectivamente, notándolos por
lım supn→∞
xn y lım infn→∞
xn.
Demostrar finalmente que lım supn→∞
xn ≤ lım infn→∞
xn.
Demostración. Definamos, para n ∈ N, el conjunto Sn = {xk : k ≥ n}, se tieneque sn = sup(Sn). Por otro lado, para n ∈ N, se tiene que
Sn+1 = {xn+1, xn+2, xn+3, . . .} ⊆ {xn, xn+1, xn+2, xn+3, . . .} = Sn,
20 Sucesiones y Series de Números Reales
por lo tanto,sn+1 = sup(Sn+1) ≤ sup(Sn) = sn
para n ∈ N, es decir, la sucesión (sn)n∈N es decreciente. Además, como (xn)n∈N
es acotada, se tiene que (sn)n∈N es acotada, pues
ınf(S0) ≤ sn ≤ sup S0
para todo n ∈ N. Ahora, como (sn)n∈N es monótona y acotada, por la Propo-sición 1.23, se tiene que es convergente, además, se tiene que
lımn→∞
sn = ınfn∈N
sn.
Procediendo de manera análoga, se tiene que (in)n∈N es creciente y acota-da, por lo tanto, también es convergente. Además,
lımn→∞
in = supn∈N
sn.
Finalmente, dado que, para n ∈ N, se tiene que
in ≤ xn ≤ sn,
entonceslım inf
n→∞xn = lım
n→∞in ≤ lım
n→∞sn = lım sup
n→∞
xn.
EJERCICIO 1.15. Demostrar, por la definición, que la sucesión(
n2+nn2+3
)
n∈N
es de Cauchy.
Demostración. Sea ǫ > 0, para n, m ∈ N se tiene que
∣
∣
∣
∣
n2 + n
n2 + 3− m2 + m
m2 + 3
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
n2 + n
n2 + 3− m2 + m
m2 + 3
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
1 +n2 + n
n2 + 3− 1 − m2 + m
m2 + 3
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
n − 3n2 + 3
− m − 3m2 + 3
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
n − 3n2 + 3
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
m − 3m2 + 3
∣
∣
∣
∣
1.2 Ejercicios resueltos 21
Para n, m > 3, se tiene que
∣
∣
∣
∣
n2 + n
n2 + 3− m2 + m
m2 + 3
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
n − 3n2 + 3
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
m − 3m2 + 3
∣
∣
∣
∣
=n − 3n2 + 3
+m − 3m2 + 3
≤ n
n2 +m
m2
=1n+
1m
.
Utilizando la Propiedad Arquimediana para 2ǫ , existe M ∈ N tal que
2ǫ< M,
Tomando N = max{3, M}, se cumple, pues si n, m > N, entonces
2ǫ< m y
2ǫ< n,
por lo tanto∣
∣
∣
∣
n2 + n
n2 + 3− m2 + m
m2 + 3
∣
∣
∣
∣
≤ 1n+
1m
<ǫ
2+
ǫ
2= ǫ.
EJERCICIO 1.16. Toda sucesión de Cauchy es acotada.
Demostración. Sea (xn)n∈N debemos demostrar que es acotada, es decir queexiste un M > 0 tal que |xn| < M para todo n ∈ N. Como (xn)n∈N es unasucesión de Cauchy, entonces
(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N =⇒ |xn − xm| < ǫ)
Para ǫ = 1, existe N ∈ N tal que
n, m > N =⇒ |xn − xm| < 1
Ahora, se tiene que, si n > N, entonces
|xn| − |xN+1| ≤ |xn − xN+1| < 1,
por lo tanto,|xn| < 1 + |xN+1|.
22 Sucesiones y Series de Números Reales
Así, tomando M = max{|x0|, |x1|, . . . , |xN |, 1 + |xN+1|}, se tiene que
|xn| ≤ M
para todo n ∈ N.
EJERCICIO 1.17. Sean (xn)n∈N, y (yn)n∈N sucesiones de Cauchy.
a) Demuestre que la sucesión (xn + yn)n∈N también es de Cauchy.
b) Demuestre que la sucesión (xn · yn)n∈N también es de Cauchy.
Demostración.
a) Empecemos demostrando que
(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N ⇒ |(xn + yn)− (xm + ym)| < ǫ).
Sea ǫ > 0; para n, m ∈ N, se tiene que
|(xn + yn)− (xm + ym)| = |(xn − xm) + (yn − ym)|≤ |xn − xm|+ |yn − ym|.
Ahora, como (xn)n∈N y (yn)n∈N son sucesiones de Cauchy, se tiene quepara ǫ
2 > 0, existen N1, N2 ∈ N tal que
n, m > N1 =⇒ |xn − xm| <ǫ
2y n, m > N2 =⇒ |yn − ym| <
ǫ
2.
Tomando N = max(N1, N2), para n, m > N se sigue que:
|(xn + yn)− (xm + ym)| ≤ |xn − xm|+ |yn − ym|
<ǫ
2+
ǫ
2= ǫ.
De lo cual, se concluye que (xn + yn)n∈N es una sucesión de Cauchy.
b) Ahora demostremos que
(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N ⇒ |xnyn − xmym| < ǫ).
Sea ǫ > 0; para n, m ∈ N, se tiene que
|xnyn − xmym| = |xnyn + xnym − xnym + xmym)|
1.2 Ejercicios resueltos 23
= |(xnyn − xnym) + (xnym − xm − ym)|≤ |xnyn − xnym|+ |xnym − xm − ym|= |xn||yn − ym|+ |ym||xn − xm|.
Luego, como (xn)n∈N,(yn)n∈N son sucesiones de Cauchy, entonces estánacotadas, es decir, existen M, L > 0 tal que
|xk| ≤ L y |yk| ≤ M
para todo k ∈ N. Por lo tanto se tiene que
|xnyn − xmym| ≤ L|yn − ym|+ M|xn − xm|.
Paraǫ
2M> 0 y
ǫ
2L> 0, existen N3, N4 ∈ N tal que
n, m > N3 =⇒ |xn − xm| <ǫ
2My n, m > N4 =⇒ |yn − ym| <
ǫ
2L.
Finalmente, tomando N = max(N3, N4), para n, m > N, se sigue que
|xnyn − xmym| ≤ L|yn − ym|+ M|xn − xm|
< M( ǫ
2M
)
+ L( ǫ
2L
)
=ǫ
2+
ǫ
2= ǫ.
Así, (xn · yn)n∈N es una sucesión de Cauchy.
EJERCICIO 1.18. Sea+∞
∑n=0
an una serie de términos no negativos. Demuestre
que la convergencia de+∞
∑n=0
an implica la convergencia de la serie
+∞
∑n=1
√an
n.
Demostración. Como(√
an −1n
)2
≥ 0, para todo n ∈ N r {0}, se sigue que
√an
n≤ 1
2
(
an +1n2
)
. (1.1)
Luego, por hipótesis se conoce que+∞
∑n=0
an converge y además, por la Proposi-
24 Sucesiones y Series de Números Reales
ción 1.32 se tiene que+∞
∑n=0
1n2 también converge. Así, por el criterio de compa-
ración aplicado en (1.1), se sigue que+∞
∑n=0
√an
nconverge.
EJERCICIO 1.19. Sea+∞
∑n=0
an una serie convergente tal que an ≥ 0 para todo
n ∈ N. Demuestre que la serie+∞
∑n=0
a2n converge.
Demostración. Como+∞
∑n=0
an converge, entonces para un n suficientemente gran-
de se tiene que an < 1, por lo tanto
a2n < an.
Luego, por el criterio de comparación se sigue que+∞
∑n=0
a2n converge.
EJERCICIO 1.20. Sean+∞
∑n=0
an una serie y+∞
∑n=0
bn, la serie en la cual los tér-
minos son los mismos y en el mismo orden que en ∑+∞n=0 an, excepto que
los términos para los cuales an = 0 han sido omitidos. Pruebe que ∑+∞n=0 an
converge a L si y sólo si ∑+∞n=0 bn converge a L.
Demostración. Dado que los términos para los que an = 0 han sido omitidos, la
sucesión de sumas iniciales,
(
k
∑n=0
bn
)
k∈N
, es una subsucesión de
(
k
∑n=0
an
)
k∈N
.
Por lo tanto si+∞
∑n=0
an converge a L, entonces+∞
∑n=0
bn converge a L.
Recíprocamente, si+∞
∑n=0
bn converge a L, se tiene que:
(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)
(
n > N ⇒∣
∣
∣
∣
∣
n
∑k=0
bk − L
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ
)
.
1.2 Ejercicios resueltos 25
Sea ǫ > 0, entonces existe N1 ∈ N tal que si n > N1 se tiene que:∣
∣
∣
∣
∣
n
∑k=0
bk − L
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
De acuerdo a la definición de los términos de la serie+∞
∑n=0
bn se tiene que existe
N2 ∈ N tal que∣
∣
∣
∣
∣
N1
∑k=0
bk
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
N2
∑k=0
ak
∣
∣
∣
∣
∣
Tomando N = N2 se tiene que si n > N, entonces existe un n′ ∈ N, tal que∣
∣
∣
∣
∣
n
∑k=0
ak − L
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
n′
∑k=0
bk − L
∣
∣
∣
∣
∣
,
además n′> N1, por lo tanto
∣
∣
∣
∣
∣
n
∑k=0
ak − L
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
n′
∑k=0
bk − L
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ,
de lo cual se sigue que+∞
∑n=0
an converge a L.
EJERCICIO 1.21. ¿Puede existir un ejemplo de una serie convergente+∞
∑n=0
xn,
y una serie divergente+∞
∑n=0
yn tal que+∞
∑n=0
(xn + yn) sea convergente? Expli-
que.
Demostración. Supongamos que+∞
∑n=0
xn, y+∞
∑n=0
(xn + yn) convergen pero+∞
∑n=0
yn
no converge, entonces por la Proposición 1.31 se sigue que
+∞
∑n=0
yn =+∞
∑n=0
(xn + yn)−+∞
∑n=0
xn
es convergente, lo que contradice el supuesto de que+∞
∑n=0
yn no converge. Así
no existen una serie convergente+∞
∑n=0
xn, y una serie divergente+∞
∑n=0
yn tal que
26 Sucesiones y Series de Números Reales
+∞
∑n=0
(xn + yn) sea convergente.
El presente fascículo recolecta las principales definiciones, proposiciones yteoremas sobre Sucesiones y series de números reales, vistos en el curso deAnálisis Real, dictado en la carrera de Matemática de la Escuela PolitécnicaNacional. Además, presenta un compendio de ejercicios resueltos referentesa este tema, los cuales han sido desarrollados por Edison Tamayo, Ronny To-nato y Farhad Ghadiri estudiantes de la Facultad de Ciencias, bajo la super-visión de Andrés Merino, profesor del Departamento de Matemática, quienha dictado dicha asignatura.Cualquier corrección, propuesta de cambio o mejora del presente trabajo sela puede realizar al correo: [email protected] .
9 780000 000002
ISBN 978-0000-000-00-2
Proyecto CLAVEMAT
Análisis Real