ejercicios resueltos tema 1

Jeefferson Vasquez C.I:16.402.362

SAIA A Estructura Discretas II

1- Dado el siguiente grafo, encontrar:

a) Matriz de adyacencia

b) Matriz de incidencia

c) Es conexo?. Justifique su respuesta

d) Es simple?. Justifique su respuesta

e) Es regular?. Justifique su respuesta

f) Es completo? Justifique su respuesta

g) Una cadena simple no elemental de grado 6

h) Un ciclo no simple de grado

5 i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor

j) Subgrafo parcial

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury

l) Demostrar si es hamiltoniano

SOLUCION:

a) Matriz de adyacencia

Ma = A

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

V1 0 1 1 1 0 6 1 1

V2 1 0 1 0 1 1 0 1

V3 1 1 0 1 1 1 1 0

V4 1 0 1 0 1 0 1 0

V5 0 1 1 1 0 1 1 1

V6 0 1 1 0 1 0 0 1

V7 1 0 1 1 1 0 0 1

V8 1 1 0 0 1 1 1 0



b) Matriz de incidencia

Mi = A

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

A1 1 1 0 0 0 0 0 0

A2 1 0 1 0 0 0 0 0

A3 0 1 1 0 0 0 0 0

A4 1 0 0 1 0 0 0 0

A5 1 0 0 0 1 0 0 0

A6 1 0 0 0 0 0 1 0

A7 0 0 1 0 0 0 0 1

A8 0 1 0 0 0 1 0 0

A9 0 1 0 0 0 0 1 0

A10 0 1 0 0 0 0 0 1

A11 0 0 1 1 0 0 0 0

A12 0 0 1 0 1 0 0 0

A13 0 0 1 0 0 1 0 0

A14 0 0 0 1 0 1 0 0

A15 0 0 0 1 1 0 0 0

A16 0 0 0 0 0 1 0 1

A17 0 0 0 0 1 1 0 0

A18 0 0 0 0 1 0 1 0

A19 0 0 0 0 0 1 1 0

A20 0 0 0 0 0 0 1 1

c) Es conexo? Justifique su respuesta

Si es Conexo, esto se debe a que la definición nos dice que para cualquier par de vértices a y b en

(A) existe al menos una trayectoria de (a) a (b) donde hay un camino que los une, por lo tanto el

cumple con dicha definición.

d) Es simple? Justifique su respuesta

Si es simple, debido a que no posee lazos en ninguno de sus vértices.

e) Es regular? Justifique su respuesta

No es Regular, debido a que para ser regular sus vértices deben poseer los mismos grados y en

este caso no los posee, se ve evidenciado que no todos sus vértices tienen los mismos grados

como por ejemplo V1=5 , V3=6, V4=4…

f) Es completo? Justifique su respuesta

No cumple con la definición de una Arista, por lo tanto no es Completo, la definición dice que

todos sus vértices poseen Aristas que los conectan y en este caso V1 y V6 no posee dicha Arista



g) Una cadena simple no elemental de grado 6

C= [V1 a1 V2 a10 V6 a16 V5 a14 V4 a11 V3 a3 V2] Nos indica que no es elemental, ya que repite el

Vértice [V2].

h) Un ciclo no simple de grado 5

C= [V5 a19 V8 a18 V7 a17 V5 a19 V7 a9 V2] Nos indica que no es simple, porque repite la arista [a19].

i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor

Elegimos S1=V1 Haciendo H1=[V1] Elegimos la arista A4 que conecta a V1 con V4 haciendo H2=[v1,v4]

Elegimos la arista a15 que conecta a V4 con V7 haciendo H3=[v1 v4 v7]

Elegimos la arista a17 que conecta a V7 con V5 haciendo H4[v1 v4 v5]

Elegiremos la arista A19 que conecta a V5 con V8 haciendo H5=[v1 v4 v8]

V1

V4

A4

V1

V4

A4

V7 A15

V1

V4

V7

V5 A4

A15

A17



Elegiremos la arista A20 que conecta V8 con V6 haciendo H6=[V1 v4 v7 v5 v8 v6]

Elegiremos la arista A10 que conecta a V6 con V2 haciendo H7=[v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2]

V1

V4

V7

V5

V8

A4

A15

A17

A19

V6

A20 A19

V8

V5

A17

V7

A15

V4

A4

V1

V6

V8

V5

V7

V4

V1

A4

A15

A17

A19

A20

V5

A10



Elegiremos la arista A3 que conecta a v2 con v3 haciendo H8=[v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2 v3]

Árbol Generador

j) Subgrafo parcial

V3 A3



k) Demostrar si es Euleriano aplicando el algoritmo de Fleury

Seleccionamos a1

Seleccionamos a3

Seleccionamos a2 Seleccionamos a4





El Grafo no es Euleriano, debido a que los vértices no tienen grado par, por lo cual no es

posible construir un ciclo Euleriano.

l) Demostrar si es Hamiltoniano

Como el número de vértices de A en 8, Ar (v1) ≥ 8/2 = 4 (i= 1, 2, 8), por lo tanto podríamos

decir que es Hamiltoniano.

Seleccionamos a16



2- Dado el siguiente dígrafo

a) Encontrar matriz de conexión

b) Es simple? Justifique su respuesta

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

d) Encontrar un ciclo simple

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra

SOLUCION

a) Encontrar matriz de conexión

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14

V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0



b) Es simple? Justifique su respuesta

En este Dígrafo no existen arcos paralelos que puedan partir de un vértice a otro, tampoco

tiene ningún lazo, por lo tanto se puede concluir que si es Simple.

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

A= [v1 a6 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 a13 v6]

d) Encontrar un ciclo simple

A= [v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5]



e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

Ma(D) = M2(D)=

M3(D)= M4(D)=

M5(D)= Acc (D) = Bin

Componentes iguales a cero (0) permanecerán como cero (0).

Componentes diferentes a cero (0) se convertirá en uno (1).

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 1 1 0 1 0

V2 0 0 1 1 0 1

V3 0 0 0 1 1 0

V4 1 0 0 0 0 1

V5 0 1 0 1 0 1

V6 0 0 0 0 1 0

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 0 0 1 1 1 1

V2 1 0 0 1 1 1

V3 1 1 0 1 0 1

V4 0 1 1 0 1 0

V5 1 0 1 1 1 1

V6 0 1 0 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 0 1 1 1 1

V3 0 1 1 1 1 1

V4 1 1 0 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 0 1 1

V4 0 1 1 1 1 1

V5 0 1 1 1 1 1

V6 1 0 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 1 1 1

V4 1 1 1 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 0 1

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 3 4 5 4 5 4

V2 4 2 5 5 5 5

V3 3 4 3 4 4 4

V4 4 4 3 5 4 4

V5 3 4 4 5 4 5

V6 3 3 3 4 1 4



Acc (D) = Bin

DIGRAFO FUERTEMENTE CONEXO

f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra

V1 V2 V3 V4 V5 V6

V1 1 1 1 1 1 1

V2 1 1 1 1 1 1

V3 1 1 1 1 1 1

V4 1 1 1 1 1 1

V5 1 1 1 1 1 1

V6 1 1 1 1 1 1

Dv2 a v1 : 2

Dv2 a v3 : 3

Dv2 a v5 : 3

Dv2 a v4 : 4

Dv2 a v6 : 3

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