ejercicios tema 9

Estadística Aplicada Tema IX

1) Un jurado de 7 expertos puntuó de acuerdo con el sabor (escala de 1 a 5) la calidad de dos marcas de cerveza A y B, que cataron en prueba ciega. Cada miembro del jurado probó las dos marcas y las puntuaciones fueron:

Experto 1 2 3 4 5 6 7

Marca A 3 2 3 2 4 4 3Marca B 1 2 2 1 4 3 1

A) Contrastar al nivel del 5% la hipótesis de igualdad de calidades frente a la alternativa bilateral, en un contraste de muestras apareadas.

B) Efectuar el contraste si suponemos que el jurado lo constituyeron 14 personas, de las cuales 7 probaron la marca A y otras 7 la marca B, siendo los resultados de la cata los de la tabla anterior. Considerar muestras independientes y el mismo nivel de significación.

SOLUCIÓN

A)

En este primer apartado del ejercicio se nos pide algo que resulta completamente lógico: puesto que cada experto cató una y otra ceveza, debemos trabajar con las diferencias de valoración de ambas cervezas, dadas por cada uno de los expertos (muestra apareadas).

Experto 1 2 3 4 5 6 7

Marca A 3 2 3 2 4 4 3

Marca B 1 2 2 1 4 3 1

Diferencia 2 0 1 1 0 1 2

Así pues, nuestra muestra empírica vendrá dada por esas diferencias.

En contraste bilateral:

H0 : d = 0 H1 : d 0 donde d representa la media de la población de esas diferencias.

Al ser desconocida la varianza de la población y manejar una muestra de tamaño pequeño, tendremos que, siendo cierta la hipótesis nula:

t n –1 donde n es el tamaño de la muestra, 7 en este caso.

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola I.N.E.A. (U. Valladolid) 1


Dado que = 0,05 para esos grados de libertad t / 2 = 2,45 al ser un contraste bilateral. Y las regiones del contraste quedarían:

RA = { -2,45 t´ 2,45 }

RC = { t´ -2,45 ó t´ 2,45 }

Ahora vamos a ver los resultados empíricos del contraste.

= 1

Y la cuasidesviación típica de la muestra la utilizaremos como estimación de la correspondiente desviación típica de la población.

= 0,82

Siendo el resultado del estadístico de control:

= 3,24 Por lo que se rechaza la hipótesis nula, es decir,

se concluye que la valoración de calidad de las dos cerveza no es similar.

B)

En esta segunda parte del ejercicio se nos dice que consideremos los resultados de la cata como dos muestras independientes: la de unos expertos que probaron la cerveza A y otros, distintos de los anteriores, que cataron la cerveza B.

Desde luego este planteamiento experimental, como luego se verá, es mucho menos potente que el anterior. No tendría sentido utilizarlo, más si se tiene en cuenta el pequeño tamaño muestral empleado. Pero servirá para ver como resolveríamos el contraste utilizando este modelo.

H0 : A B = 0 donde lo que se dice en la hipótesis nula es equivalente a H1 : A B 0 establecer que A = B

Hemos de fijarnos que no se conocen las desviaciones típicas de una y otra población (la de las valoraciones de todos los potenciales catadores de la cerveza A y de la cerveza B). Por otra parte, no cabe duda de que las muestra con las que trabajamos son pequeñas.

Así pues, se debe utilizar un modelo probabilístico basado en la t de Student. Si asumimos que las desconocidas varianzas de esas dos poblaciones son, no obstante, similares, tendremos que, siendo cierta la hipótesis nula:



Eso nos permite obtener la regla de decisión del contraste. Siendo bilateral, con los grados de libertad y el nivel de confianza que se indica en el enunciado, tendremos:

g.l. = nA + nB – 2 = 12 = 0,05 t / 2 = 2,18

RA = {-2,18 t´ 2,18 }

RC = { t´ -2,18 ó t´ 2,18 } donde t´ es la variable aleatoria en cuestión.

Una vez establecido lo anterior pasamos a contemplar los resultados empíricos (que ya no tienen nada de aleatorios), para ver si con ellos se puede rechazar la hipótesis nula.

= 3 y = 2 son las dos medias muestrales.

Para la estimación de la varianza común de ambas poblaciones ( ) utilizaremos un promedio de las estimaciones de las respectivas varianzas, estimaciones que, como sabemos, vendrán dadas por las correspondientes cuasivarianzas muestrales.

= 0,666 = 1,333

= 1

De esta manera: = = 1,87

En consecuencia aceptamos que las valoraciones de calidad de ambas cervezas son similares. Este resultado contradice el obtenido en el apartado A. Pero, obviamente, es consecuencia de un planteamiento experimental poco afortunado, que emplea un modelo menos potente que el anterior para detectar una hipótesis nula falsa.

Así pues, en ocasiones, la torpeza de un mal diseño estadístico puede impedir que se llegue a conclusiones de utilidad.

2) Para comparar la velocidad de dos ordenadores A y B, se mide el tiempo que invierten en realizar operaciones de cierta clase definida. Se toma una muestra de cinco operaciones de esta clase y cada operación fue realizada por ambos, obteniendo los resultados siguientes en milisegundos:



Prueba 1 2 3 4 5

Ordenador A 110 125 141 113 182Ordenador B 102 120 135 114 175

A) Estudia si hay diferencias teniendo en cuenta que los datos están apareados.

B) Analiza si hay diferencias considerando muestras independientes.

SOLUCIÓN

A)

En este primer apartado del ejercicio debemos trabajar con las diferencias de velocidad de ambos ordenadores. Se supone que las diferentes pruebas correspondían a la ejecución de distintas aplicaciones informáticas

Prueba 1 2 3 4 5

Ordenador A 110 125 141 113 182

Ordenador B 102 120 135 114 175

Diferencia 8 5 6 -1 7 En contraste bilateral:

H0 : d = 0 H1 : d 0 donde d representa la media de la población de esas diferencias.

Al ser desconocida la varianza de la población y manejar una muestra de tamaño muy pequeño, tendremos que, siendo cierta la hipótesis nula:


Dado que = 0,05 para unos grados de libertad de g.l.= 4 t / 2 = 2,78 al ser un contraste bilateral. Las regiones del contraste quedarían:

RA = { -2,78 t´ 2,78 }

RC = { t´ -2,78 ó t´ 2,78 }

En cuanto a los resultados empíricos del contraste.

= 5




= 3,536


= 3,162 Se rechaza la hipótesis nula, es decir,

se concluye que la velocidad de trabajo de las dos ordenadores no es similar.

B)

En esta segunda parte del ejercicio se nos dice que consideremos los resultados como dos muestras independientes.

Es un planteamiento experimental mucho menos potente que el anterior. Harían falta mayores diferencias, o tamaños muestrales más grandes, para poder permitirnos rechazar hipótesis nulas que fueran falsas.


No se conocen las desviaciones típicas de una y otra población (la de las velocidades de funcionamiento de uno y otro ordenador). Por otra parte, no cabe duda de que las muestras con las que trabajamos son pequeñas.

Así pues, se debe utilizar un modelo probabilístico basado en la t de Student. Si asumimos que las desconocidas varianzas de esas dos poblaciones son, no obstante, similares, tendremos que, siendo cierta la hipótesis nula:

Eso nos permite obtener la regla de decisión del contraste. Siendo bilateral, con los grados de libertad y el nivel de confianza que se indica en el enunciado, tendremos:

g.l. = nA + nB – 2 = 8 = 0,05 t / 2 = 2,31

RA = {-2,31 t´ 2,31 }

RC = { t´ -2,31 ó t´ 2,31 } donde t´ es la variable aleatoria utilizada.



Ahora vemos los resultados empíricos (que ya no son aleatorios), para ver si con ellos se puede rechazar la hipótesis nula.

= 134,20 y = 129,20 son las dos medias muestrales.

Para la estimación de la varianza común de ambas poblaciones ( ) utilizaremos un promedio de las estimaciones de las respectivas varianzas, estimaciones que, como sabemos, vienen dadas por las correspondientes cuasivarianzas muestrales.

= 862,70

= 796,70

= 829,70

De esta manera:

= = 0,274

Aceptamos que las velocidades de trabajo de ambos ordenadores son similares. No hemos podido rechazar la hipótesis nula. Aunque, evidentemente, es el resultado de un mal diseño experimental.

3) PROBLEMA EXTRAORDINARIO (incluye materia de temas anteriores).

La Consejería de Agricultura de una comunidad autónoma estudia el importe de las subvenciones recibidas por los agricultores de esa comunidad durante 1.998

Los datos de un sondeo inicial realizado sobre una muestra de 50 agricultores que habían recibido subvenciones, dieron una media de 980.000 ptas. de subvención por agricultor y una desviación típica de 260.000 ptas. (s)

A) Establecer un intervalo de confianza del 90% en la estimación de la media.

B) Determinar el tamaño necesario de muestra para, con iguales resultados muestrales, obtener una precisión de 20.000 ptas. en la estimación de la media, a un nivel de confianza del 95%.



El servicio de estudios de la Consejería estima que la media percibida por agricultor en la provincia A supera en más de 200.000 ptas. la subvención media percibida en la provincia B. Realizado el estudio definitivo se tienen los datos:

Provincia A Provincia B

Tamaño muestral 200 150Media muestral 1.235.000 940.000Desv. típica muestral 500.000 380.000

C) Someter a contraste unilateral, a nivel del 1%, la hipótesis de que esa diferencia es menor o igual a 200.000 ptas.

D) Obtener el nivel crítico de significación o p-valor correspondiente al resultado del contraste anterior.

SOLUCIÓN

A)

No se conoce pero el tamaño de la muestra (n = 50) es grande. Por tanto, la construcción del intervalo probabilístico puede basarse en el comportamiento de la normal. Supondremos un tamaño de población muy grande, tal que la muestra es mucho menor del 1% de la misma.

Para un nivel de confianza del 0,90 el coeficiente a utilizar es z / 2 = 1,645

Por tanto, el planteamiento probabilístico sería:

Ahora vamos a fijarnos en los estadísticos correspondientes a los resultados del muestreo.

= 980 miles de ptas. s = 260 miles de ptas. para n =50

Como no conocemos la desviación típica de la población ( ) debemos hacer una estimación de la misma ( ) a través de la muestra. Para ello utilizamos la cuasidesviación típica de la muestra.

sc = s = 262,64 miles de ptas.

Y, con esos datos muestrales, resulta el intervalo de confianza:

I.C. = (980 – 1,645 , 980 + 1,645 ) = (918,90 , 1.041,10)



miles de ptas.

B)

Teniendo en cuenta la expresión del intervalo probabilístico:

Se deduce que la anchura o longitud del intervalo establecido viene dada por la diferencia entre ambos límites, el superior menos el inferior.

para un nivel de confianza de 1 - .

En consecuencia y tras despejar, elevando al cuadrado, resulta

que es la expresión a utilizar.

En este caso, como L = 40 miles de ptas. ( 20.000 ptas.) y 1 - = 0,95

= 662,48 663 agricultores en la muestra.

C)

H0 : A B 200 H1 : A B 200

Es claro que trabajamos con muestras independientes de tamaño grande. Si la hipótesis nula es verdadera, sucederá que:

N(0, 1) lo que permite obtener las regiones del contraste

En efecto, siendo = 0,01 y recordando que se trata de un contraste unilateral hacia la derecha, tenemos

que z = 2,33

RA = { z´ 2,33 }



RC = { z´ 2,33 }

Ahora sólo queda ver los resultados empíricos obtenidos.

= 1.235 miles de ptas. sA = 500 miles de ptas. para una muestra nA = 200

= 940 miles de ptas. sB = 380 miles de ptas. para una muestra nB = 150

Necesitamos una estimación de las respectivas varianzas poblacionales. Para ello empleamos las correspondientes cuasivarianzas muestrales.

= 251.256

= 145.369

Y el valor del estadístico de control resulta:

= 2,01

por lo que, a ese nivel de significación ( = 0,01) debemos aceptar la hipótesis nula: la diferencia en las subvenciones recibidas es menor o igual a doscientas mil pesetas.

D)

El cálculo del p-valor es importante pues va a decirnos que tan cerca nos hemos quedado de poder rechazar la hipótesis nula. Recordemos que el p-valor nos indica la probabilidad “a priori” de obtener un resultado como el obtenido (o más raro aún), siendo cierta la hipótesis nula.

Teniendo en cuenta que se trata de un contraste unilateral, hacia la derecha:

p-valor = PH0 ( Z´ 2,01) = 1 – 0,9778 = 0,0222

Es decir un resultado, a priori, bastante poco probable. Sin embargo, como habíamos fijado un nivel de significación muy exigente ( = 0,01) no hemos podido rechazar la hipóteis nula. Si el nivel de significación hubiera sido algo menos exigente, es decir, más grande (por ejemplo = 0,05), se hubiera rechazado la hipótesis nula.

Desde un punto de vista formal, la norma es rechazar la hipótesis nula cuando el p-valor es más pequeño que el nivel de significación adoptado. Y aceptar, por el contrario, la hipótesis nula cuando el p-valor es más grande que el nivel de significación utilizado.



4) Un laboratorio de alimentación animal requiere comparar dos dietas. Sobre una población de animales de características homogéneas, a una muestra aleatoria de 25 de ellos se les suministró la dieta A y a otra muestra semejante de 28 animales, la dieta B.

Las ganancias de peso obtenidas en uno y otro grupo al cabo de una semana fueron:

DIETA A DIETA BMedia 4,3 kg 3,6 kgDesviación típica 1,4 kg 1,1 kgTamaño 25 28

Contrasta unilateralmente, mediante el planteamiento oportuno, la hipótesis de que una dieta es superior a la otra, a un nivel de significación de 0,05

SOLUCIÓN

Se trata de un contraste en el que se van a comparar las medias de dos poblaciones independientes. Dado que hay indicios en el sentido de que la dieta A proporciona una ganancia de peso mayor que la B, vamos a plantear un contraste unilateral hacia la derecha a fin de confirmar esos indicios.

H0 : A B 0 H1 : A B 0 Las muestras son de tamaño pequeño y no conocemos las

varianzas respectivas de una y otra población (aunque las suponemos iguales)

Si la hipótesis nula es verdadera entonces:

Eso nos permite obtener la regla de decisión del contraste. Siendo unilateral a la derecha, con los grados de libertad y el nivel de confianza que se indica en el enunciado, tendremos:

g.l. = nA + nB – 2 = 25 + 28 2 = 51 = 0,05 t = 1,67

RA = { t´ 1,67 }

RC = { t´ 1,67 }

Establecido lo anterior, se pasa a obtener los resultados empíricos del contraste.

= 1,625



La fórmula anterior es una variante de la utilizada en ocasiones anteriores. La diferencia es que en el numerador no se ponen las cuasivarianzas muestrales sino las varianzas. Por eso no multiplicamos por (n 1) sino por n. Pero el resultado es el mismo.

Se puede comprobar:

= 2,042 = 1,255

= 1,625

El valor empírico del estadístico de control:

= = 1,996

Por lo que se rechaza la hipótesis nula. La ganacia de peso lograda con la dieta A es mayor que la lograda con la dieta B.

5) Se dispone de dos tratamientos antigerminativos para la conservación de la patata. Aplicamos el primero de ellos a una muestra de laboratorio constituida por diez almacenamientos simulados y obtenemos los siguientes porcentajes de pérdida de patata:

8, 11, 1, 8, 3, 2, 7, 4, 4, 12

Aplicado el segundo tratamiento a otra muestra de doce almacenamientos, los resultados han sido:

4, 10, 6, 6, 7, 4, 2, 10, 1, 2, 8, 6

Contrasta la hipótesis de que el porcentaje de patata deteriorada es igual para los dos tratamientos.

SOLUCIÓN

Se tienen dos poblaciones independientes cuyas medias se trata de comparar.


Como el tamaño de las muestras es pequeño y se desconocen las varianzas de las poblaciones respectivas (aunque se suponen iguales), si es verdadera la hipótesis nula ocurrirá:



Así podemos obtener la regla de decisión del contraste. Siendo bilateral, con los grados de libertad del enunciado y el nivel de significación que se escoja, tendremos:

g.l. = nA + nB – 2 = 10 + 12 2 = 20

Para = 0,10 t/2 = 1,72 RA = {-1,72 t´ 1,72 }

RC = { t´ -1,72 ó t´ 1,72 }

Para = 0,05 t/2 = 2,09 RA = {-2,09 t´ 2,09 }

RC = { t´ -2,09 ó t´ 2,09 }

Para = 0,01 t/2 = 2,86 RA = {-2,86 t´ 2,86 }

RC = { t´ -2,86 ó t´ 2,86 }

Los resultados empíricos fueron:


= 12,80 y = 8,25 son las dos varianzas muestrales.

Luego:

= 11,35

Y el estadístico de control: = = 0,347

Se acepta la hipótesis nula. Los porcentajes de pérdida son iguales en ambos tratamientos.6) Al comparar dos métodos diferentes para determinar el oxígeno disuelto en agua (en miligramos por

litro) se obtuvieron los datos siguientes.

Muestra 1 2 3 4 5 6Método A (visual) 2,73 2,80 2,87 2,95 2,99 3,67Método B (amperimétrico) 2,62 2,65 2,79 2,83 2,91 3,57



1) A un nivel de significación del 0,01 contrasta la hipótesis de que las mediciones del método visual son iguales o inferiores a las del método amperimétrico.

2) Construye un intervalo de confianza del 0,99 para la diferencia de medición de los dos métodos.

SOLUCIÓN

A)

Cada muestra se ha analizado siguiendo los dos procedimientos. Es posible, por tanto, emparejar los resultados y trabajar con las diferencias.

Muestra 1 2 3 4 5 6Método A (visual) 2,73 2,80 2,87 2,95 2,99 3,67Método B (amperimétrico) 2,62 2,65 2,79 2,83 2,91 3,57Diferencias A B 0,11 0,15 0,08 0,12 0,08 0,10

Es decir, vamos a utilizar el modelo de muestras apareadas. Si la media de esas diferencias fuera igual a cero significaría que no hay ninguna diferencia de resultados entre ambos métodos.

Nos piden contrastar la hipótesis de que las mediciones del método visual son iguales o inferiores a las del método ampelimétrico. Ello equivale a contrastar que esas diferencias son cero o negativas. El tamaño de muestra es pequeño y se desconoce la desviación típica de esas diferencias en la población.

H0 : d 0 H1 : d 0 donde d representa la media de esas diferencias en la población.

Siendo verdadera la hipótesis nula:


Tratándose de un contraste unilateral hacia la derecha, con g.l.= 5 y = 0,01 encontramos en tablas

que t = 3,36

RA = { t´ 3,36 }

RC = { t´ 3,36 }

Los resultados empíricos del ensayo son:

= 0,107




=

= 0,027


= 9,829 Por lo que se rechaza la hipótesis nula.

Es decir, el método visual da mediciones más altas que el método ampelimétrico (las diferencias son positivas).

B)

Un intervalo de confianza para esas diferencias se basa en:

Como 1 = 0,99 y g.l.= 5 encontramos en tablas que t / 2 = 4,03

El intervalo de confianza que se nos pide será:

I.C. = (0,107 – 4,03 , 0,107 + 4,03 ) = (0,063 ; 0,151)

El hecho de que los dos límites de ese intervalo sean positivos indica que, (para ese nivel de confianza), los resultados del método visual son más altos que los del método ampelimétrico.

7) Para comparar la calidad de dos marcas de neumáticos de un fabricante, en una muestra de seis tractores se montó aleatoriamente una marca de ellas en el lado derecho y la otra en el izquierdo. A continuación se dan los resultados obtenidos en horas de empleo hasta alcanzar un determinado desgaste:

Tractor 1 2 3 4 5 6Marca A 137 140 148 147 143 140Marca B 142 136 158 145 150 148



A nivel de significación de 0,1 y 0,05 contrasta la hipótesis de que la duración es similar.

SOLUCIÓN

Es bastante obvio que el modelo estadistico de contraste es el de la media de muestras apareadas. Se trabajará con las diferencias de duración de los neumáticos.

Tractor 1 2 3 4 5 6Marca A 137 140 148 147 143 140Marca B 142 136 158 145 150 148Diferencias A B 5 4 10 2 7 8

H0 : d = 0 H1 : d 0 Si la hipótesis nula es verdadera sabemos que:

t n –1

En este caso tenemos 5 grados de libertad y el contraste es bilateral.

Para = 0,10 t/2 = 2,02 RA = {-2,02 t´ 2,02 }

RC = { t´ -2,02 ó t´ 2,02 }

Para = 0,05 t/2 = 2,57 RA = {-2,57 t´ 2,57 }

RC = { t´ -2,57 ó t´ 2,57 }

Los resultados de la experiencia son:

= 4 y la cuasidesviación típica de la muestra:

= 5,69

Con lo que el valor del estadístico de control resulta ser:

= 1,72 No se puede rechazar la hipótesis nula.



Como las diferencias observadas no resultan significativas al nivel de 0,05 y 0,10 se concluye que no hay diferencias en la duración de las marcas.

8) La biblioteca de una escuela universitaria sospecha que el número medio de libros prestados por estudiante es diferente según sea el curso. En una muestra de 23 estudiantes de primer curso el promedio fue de 3,4 libros y la desviación típica de 2,2 libros, mientras que en otra muestra de 25 estudiantes del último curso el promedio fue de 4,3 libros y la desviación típica de 1,5 libros.

A) En contraste bilateral y a un nivel de significación de 0,1 estudia la hipótesis de que los promedios sean iguales.

B) Estudia al mismo nivel de significación, pero en contraste unilateral, ese mismo asunto.

SOLUCIÓN

A)

Se deduce del enunciado que el modelo estadístico a emplear es el correspondiente a la comparación de medias de dos poblaciones independientes. Siendo bilateral el contraste:

H0 : A B = 0 H1 : A B 0

Las muestras son de tamaño pequeño y no conocemos las varianzas respectivas de una y otra población (aunque las supondremos iguales)


La regla de decisión se establece teniendo en cuenta:

g.l. = nA + nB – 2 = 23 + 25 2 = 46

Para = 0,10 t/2 = 1,68 RA = {-1,68 t´ 1,68 }

RC = { t´ -1,68 ó t´ 1,68 }

A continuación vemos los resultados empíricos obtenidos.




= 4,84 y = 2,25 son las dos varianzas muestrales.

Luego:

= 3,64

No se puede rechazar la hipótesis nula. En consecuencia, formalmente, aceptamos que el promedio de libros prestado a estudiantes de ambos cursos es el mismo.

Sin embargo poco ha faltado para rechazar la hipótesis nula. Veamos seguidamente lo que ocurre si utilizamos un contraste más potente.

B)Los indicios apuntan la sospecha de que los estudiantes de último curso piden en préstamo más libros que los de primero. En consecuencia, plantearemos el contraste:

H0 : A B 0 H1 : A B 0


La regla de decisión se establece teniendo en cuenta:

g.l. = nA + nB – 2 = 23 + 25 2 = 46

Para = 0,10 en contraste unilateral a la izquierda, como t = 1,30

Tenemos la siguiente regla de decisión: RA = { t´ 1,30 }

RC = { t´ 1,30 }

Los resultados empíricos del contraste son los mismos del apartado anterior (1,63). En consecuencia, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los estudiantes de primer curso piden menos libros en préstamo que los del último.



9) Con el fin de comparar el contenido medio de alquitrán por cigarrillo de dos marcas de tabaco se tomaron dos muestras de siete y ocho cigarrillos de cada una y se analizaron. Los contenidos expresados en mgrs fueron los siguientes:

MARCA A 20 24 23 22 22 20 23MARCA B 19 22 20 18 20 22 20 19

A) Contrasta la hipótesis de igualdad de medias a nivel de significación de 0,05

B) Establece un intervalo de confianza de 0,9 para la diferencia de medias.

SOLUCIÓN

A)

No hay posibilidad razonable de emparejar las muestras de una y otra marca, de modo que el modelo que se debe emplear es el de la comparación de medias de dos poblaciones independientes.

H0 : A B = 0 H1 : A B 0

Las muestras son pequeñas y no conocemos las varianzas respectivas de una y otra población (aunque las vamos a suponer iguales)

Si la hipótesis nula es verdadera sabemos que:

Para establecer la regla de decisión se tiene en cuenta los grados de libertad disponibles

g.l. = nA + nB – 2 = 7 + 8 2 = 13

Como el contraste es bilateral y para = 0,05 t/2 = 2,16 tenemos:

RA = {-2,16 t´ 2,16 }

RC = { t´ -2,16 ó t´ 2,16 }

En cuanto a los resultados empíricos de la prueba, hechos los cálculos correspondientes, resulta:

= 22 y = 20 son las dos medias muestrales.

= 2,33 y = 2,00 son las dos cuasivarianzas muestrales.

nA = 7 y nB = 8 son los tamaños muestrales.



Luego:

= 2,154

Por lo que se rechaza la hipótesis de igualdad de las medias. El contenido medio de alquitrán en las dos marcas de cigarrillos es diferente.

B)

Nos piden establecer un intervalo de confianza de 0,90 para la media de la diferencia de contenido de alquitrán entre las dos marcas.

De acuerdo con la teoría, dado que las muestras son pequeñas y no se conocen las desviaciones típicas de una y otra población (pero suponiéndolas iguales):

Como 1 = 0,90 y g.l.= 13 encontramos en tablas que t / 2 = 1,77

El intervalo de confianza que se nos pide será:

I.C. = (2 1,77 , 2 + 1,77 ) = (0,65 ; 3,35)

Esa diferencia entre las dos marcas estará comprendida entre 0,65 y 3,35 mgr de alquitrán. Es decir, el contenido de la marca A superará en todo caso el de la marca B.


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