Unidad V ECUACIONES

FUNDAMENTALES

Mecánica de Fluidos Dr. Hugo Valdés R.

Rapidez  de  flujo  

• Caudal  o  flujo  volumétrico  

• Flujo  másico.  

Ecuación  de  Con<nuidad  

Ejemplo  •  Un  estanque  cilíndrico  de  agua  con  4  B  de  alto  y  3  B  de   diámetro   cuya   parte   superior   está   abierta   a   la  atmósfera  está  al  principio  lleno  con  agua.  Ahora,  se  quita  el  tapón  de  descarga  que  está  cerca  del  fondo  del  estanque  cuyo  diámetro  es  de  0,5  in  y  un  chorro  de   agua   se   vierte   hacia   fuera.   La   velocidad  promedio   del   chorro   se   da   por   la   ecuación   de  Torricelli.   Determine   el   <empo   que   transcurrirá  para  que  el  nivel  del  agua  descienda  hasta  2  B.  

.dmdt

=me −ms

Resolver  con:  

Recordar  

•  Diferencia  entre  flujo  estacionario  y  no  estacionario.  

•  Flujo  incompresible.  

Conservación  de  energía  

•  Cons<tuye   el   primer   principio   de   la  termodinámica   y   afirma  que   la   can<dad  total   de   energía   en   cualquier   sistema  Rsico  aislado   (sin   interacción  con  ningún  otro   sistema),  permanece   invariable   con  el   <empo,   aunque   dicha   energía   puede  transformarse  en  otra  forma  de  energía.  

Conservación  de  energía  mecánica  

•  Los   elementos   que   se   mueven   en   un  conducto  cerrado  poseen  tres  formas  de  energías:  

Conservación  de  energía  mecánica  

¿Qué  ocurre  si  no  se  agrega  ni  quita  energía?  

EF =Pγ

EK =v2

2g EP = z

Ejemplo  •  Se  usará  el  agua  de  un  lago  para  generar  electricidad   por   medio   de   la   instalación  de   un   turbogenerador   hidráulico   en   un  lugar   donde   la   profundidad   del   agua   es  de  50  m.  El  agua  se  alimenta  a   razón  de  5000  kg/s.  La  potencia  eléctrica  generada  es   de   1862   kW.   Determine   la   eficiencia  total  del  turbogenerador.  

Ecuación  de  Bernoulli  •  Relación   aproximada   entre   la   presión,   la  velocidad  y  la  elevación,  y  es  válida  en  regiones  de  flujo  estacionario  e  incompresible  en  donde  las  fuerzas  netas  de  fricción  son  despreciables.  

Fuerzas  viscosas  despreciables  

( )dsdvmvWsendAdPPPdA =−+− θ

dsdvdAdsv

dsdzgdAdsdPdA ρρ =−−

dsdvdsv

dsdzgdsdP ρρ =−−

vdvgdzdP ρρ =−−

2

21 dvgdzdP ρρ =−−

021 2 =−−− dvgdzdP ρρ

021 2 =++ dvgdzdP ρρ

021 2 =++ dvgdzdP ρρ

Integrando  

021 2 =++ dvgdzdP

ρ

constante21 2 =++ vgzP

ρ

ECUACIÓN  DE  BERNOULLI  

Ecuación  de  Bernoulli  •  Entre  dos  puntos  resulta:  

222

2211

1

21

21 vgzPvgzP

++=++ρρ

La  suma  de  la  energía  ciné<ca,  la  potencial  y  la  de  flujo   de   una   parbcula   de   fluido   es   constante   a   lo  largo  de  una  línea  de  corriente  en  el  transcurso  del  flujo   estacionario,   cuando   los   efectos   de   la  compresibilidad  y  de  la  fricción  son  despreciables.  

Ecuación  de  Bernoulli  •  Restricciones  del  uso  de  la  ecuación:  

Flujo  estacionario  

Efectos  viscosos  

despreciables  

Sin  aparatos  mecánicos  

Flujo  incompresible  

Transferencia  de  calor  

despreciable  

Flujo  a  lo  largo  de  una  línea  de  corriente  

LGH  y  LE  

LGH  y  LE  

H21 2 =++ vg

zgPρ

Carga  de  Presión  

Carga  de  Elevación  

Carga  de  velocidad  

Importante  

En  estos  ejercicios  olvidarse  de  la  palabra  

SIEMPRE  

Ejemplo  •  Un   estanque   grande   está   abierto   a   la  atmósfera   y   lleno   con   agua   hasta   5   m,  medido  desde  una  toma  cercana  al  fondo  del  estanque.   Ahora   se   abre   la   toma,   y   el   agua  fluye   hacia   fuera   por   el   orificio   de   la   salida  lisa   y   redondeada.   Determine   la   velocidad  máxima  posible  del  agua  en  la  salida.  

Agua  

•  Entre  dos  puntos  resulta:  

222

2211

1

21

21 v

gz

gPv

gz

gP

++=++ρρ

Ecuación  de  Torricelli  

Ejemplo  •  En  un  viaje  a  la  playa,  a  un  automóvil  se  le  acaba  la   gasolina   y   es   necesario   extraer   gasolina   por  acción   de   un   sifón   del   automóvil   de   otra  persona.  El  sifón  es  una  manguera  con  diámetro  pequeño   y   para   iniciar   la   acción   es   necesario  introducir   uno   de   los   extremos   en   el   estanque  lleno   de   gasolina,   llenar   la   manguera   de   está  mediante   succión   y   en   seguida,   poner   el   otro  extremo  en  una  lata  que  está  colocada  abajo  del  nivel  del  estanque.  

Ejemplo  •  La  diferencia  en  la  presión  entre  el  punto  1  y  el  punto   3   hace   que   el   líquido   fluya   de   la  menor  elevación  hacia  la  mayor.  En  este  caso,  el  punto  2  está  ubicado  0,75  m  abajo  del  punto  1  y  el  3  está  2  m  arriba  del  1.  El  diámetro  del  sifón  es  de  5   mm   y   deben   descartarse   las   pérdidas   por  fricción   en   él.   Determine   el   <empo   para  trasladar  4  L  y  la  presión  en  el  punto  3.    

•  Densidad  gasolina:  750  kg/m3  

•  Entre  dos  puntos  resulta:  

222

2211

1

21

21 v

gz

gPv

gz

gP

++=++ρρ

Ecuación  de  energía  total  

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sistema el por

producidotrabajo

de neta Velocidad

sistema al calorde adición

de neta Velocidad

Cinéticay Interna

Potencial,:energía de

salida de Velocidad

Cinéticay Interna

Potencial,:energía de

entrada de Velocidad

Cinéticay Interna

Potencial,:energía denacumulació de Velocidad

Ecuación  de  energía  total  

QEWv21zgP

v2 ±−−=Δ+Δ+

ρΔ

Ojo  con  la  ecuación  escrita  en  la  pizarra  

Ejemplo  Un  motor  eléctrico  suministra  potencia   a   una  bomba  de  un  sistema   de   distribución   de  agua.     Los   diámetros   de   los  tubos  de  admisión  y  descarga  son   iguales   y   la  diferencia  de  elevación   de   uno   a   otro   lado  es  despreciable.  Determine  la  eficiencia   mecánica   de   la  bomba.  

Pérdidas  por  Fricción  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=2v

DLf4E

2

v

Factor  de  Fanning   Largo  

Diámetro  

Velocidad  

f4*f =Factor  de  Darcy  

Pérdidas  por  Fricción  

Re16f = Re  <  4000  

Pérdidas  por  Fricción  Para  tuberías  lisas  (4000  <  Re  <  100.000  ):  

Pérdidas  por  Fricción  Para  tuberías  lisas  (100.000  <  Re  <  10.000.000  ):  

Pérdidas  por  Fricción  Para  tuberías  rugosas  (Régimen  turbulento):  

Moody  

Pérdidas  por  Fricción  Tabla  de  Factor  de  Fricción  de  Darcy  

Pérdidas  por  Fricción  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=2vKE2

v

Accesorios  

a)  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=2v

DLf4E

2

accesoriov

b)  

Coeficiente  de  Resistencia  

Longitud  Equivalente  

K=0.78   K=0.23  K=0.50   K=0.04  

K=1.0   K=1.0  K=1.0  

¿Cómo  determinar  el  diámetro  de  tubería?    

Ejemplo  

        Una  población  ob<ene  agua  desde  un   río   cercano,  debiendo   ser   tratada   y   purificada   en   estanques  abiertos,  para  su  posterior  distribución  a   los  servicios  de  la  planta.  El  sistema  de  transporte  está  construido  con   tubería   de   cobre   de   6   in   <po   L.   El   tramo   de  succión  mide  10  m,  mientras  que  el  tramo  de  descarga  mide  310  m.  Además,  en  el  sistema  hay  tres  codos  de  90°  (radio  largo).  Si  el  caudal  es  0,16  m3/s,  determine  la  potencia  de  la  bomba  en  hp  que  necesitan  comprar  en  la  población.  

Ejemplo