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UNI DAD 5
ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
Objetivos
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Geometría analítica
221
Introducción
coordenadas polares
5.1. Ecuaciones cartesianas de curvas planas
Ecuaciones cartesianas de las cónicas fundamentales
Ecuación cartesiana de una circunferencia. La ecuación x2 + y2 = r2 representa una circunferencia con centro en el origen y radio r. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera del plano, la ecuación es:
Ecuación cartesiana de una elipse. Las ecuaciones y
representan una elipse con centro en el origen. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera y sus ejes son paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje Y o al eje X, la ecuación es:
Ecuación cartesiana de una parábola. La ecuación y2 = 4px representa una parábola con vértice en el origen y concavidad hacia la derecha si p > 0 y de
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concavidad hacia la izquierda si p < 0. Análogamente, x2 = 4py representa una parábola de concavidad hacia arriba si p > 0 y de concavidad hacia abajo si p < 0. Por tanto, si el vértice es V(h, k), la ecuación es:
Ecuación cartesiana de una hipérbola. La ecuación representa
una hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje de las X.
Asimismo, representa una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje
de las Y. Por lo tanto, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera, la ecuación de la hiperbola con eje focal paralelo al eje X es:
La ecuación de la hiperbola con eje paralelo al eje Y es:
5.2. Ecuaciones paramétricas de curvas planasx y
parámetro, ecuación paramétrica
.
Definición de ecuación paramétrica. Para trazar una curva dada su ecuación, se comienza por expresar una de las variables en función de la otra y se obtienen los puntos P(x, y) que la satisfacen en coordenadas cartesianas. Asimismo, las coordenadas de los puntos P(x, y) de una curva se pueden expresar en función de una tercera variable que usualmente se denota con una letra. Esa tercera variable se llama parámetro y las ecuaciones que conectan las coordenadas con el parámetro se denominan ecuaciones paramétricas.
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Geometría analítica
223
Ecuaciones paramétricas de la circunferencia. O a. M(x, y) NOM
x = a y = a
M
Nx
Y
XO
y
C(h,k)a ON = x – h = a NM = y – k = a
x = h+ a , y = k + a
x
Y
X
O
ya
k
h
M
N
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224
Ecuaciones paramétricas de la elipse.
ecuación paramétrica de la elipse
a > b
Ecuaciones paramétricas de la hipérbola.
a > 0 b >
Ejemplo 1
Solución
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Geometría analítica
225
Ecuaciones paramétricas de la cicloide. cicloide
OX C r,M T
OX
M T . M T A,
r,OT TM = r , .
.
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acortada alargada trocoides.
x y
Ejemplo 2
Solución x, yr y,
x = r (
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Geometría analítica
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Ecuaciones paramétricas de la hipocicloide. hipocicloide
O X
a b
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Ecuaciones paramétricas de la astroide. a b
A, astroide
Ejemplo 3
4
Solución
b4
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Geometría analítica
229
O
Y
A
Ecuaciones paramétricas de la epicicloide. epicicloide
.
a b
O
Y
X
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230
Ejercicio 1
xy
xy
5.3. Ecuaciones de curvas planas en coordenadas polares
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Geometría analítica
231
De la relación que existe entre las coordenadas cartesianas y polares se tiene que:
x y
Ecuación polar de la circunferencia. 2 2 2
x yr
r 2 2rr
r
simetría x,y
x,yx,–y
Ecuación polar de la parábola. x y
p
p
Ecuación polar de la elipse. 2 2 2 2 2 2
x y,
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232
a2 2
2 2 2 2
22
Ecuación polar de la hipérbola. 2 2 2 2 2 2
Ejemplo 4
Solución
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Geometría analítica
233
‘ ‘ ‘ ‘
= C C’
caracol de Pascal OX r
O, OPa < 2r M M’caracol de Pascal
OXO
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234
a < 2r, a = 2r
cardioide , a > 2r
rosa de las cuatro ramas. OX, OY
POX Q OY O PQ
M rosa de las cuatro ramas.
OX O
a
a
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Geometría analítica
235
Ejemplo 5
a
Solución
2 22 2
2 x2 + y2
Y
X
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bruja a, AN
OS AN N SM NMM
bruja
x, yM OQS OAN,
a =QS = OQ = QA 2
y
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Geometría analítica
237
, x –x
x
y = 0, y = 2a.
ON
M M(ON
2 2
a
cisoide a C(a, OA, AT
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OS, OM = NSM cisoide
OPM y NBS OPM y OQN.
y2
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Geometría analítica
239
y –yx x = 2a
x = 2a
M( OS
T
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240
= OM = NS = OS –ON = OS –ONOS = OA OA = 2a OS = 2a
ON =OA ON = 2a
= OS –ON = 2a a = 2a = 2a
a
Ejercicio 2
x2 = 4y
x2 y2
r
r
r
Ejercicios resueltos
Solución t t = yt
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Geometría analítica
241
Solución
t t t t
Solución r r
r r r
r , x y
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242
Solución y = rx
x
x 0x r,
y = rx
5. r
Solución
r
r a =
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Geometría analítica
243
OX
Solución
a P(r, ) M P
r 2
Solución
r2
r2
r
2
=
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244
lemniscata
Solución
= c c
Solución:
c
0 2
0 0.26 0.52 0.79 1.04 1.3 1.57 1.8 2.1 2.37 2.6 2.86 3.14
Puntos
23
26
76
43 2
53
1136 3 2
espiral de Arquímedes
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Geometría analítica
245
Observaciones. . ,
2, 2 2 = + 2 ,
2 = c( + 2 ; 2 =c + 2c .
c 2
c c
Solución
c a,p = a a
– ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ...
0 ... 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 ...
Puntos ... ...
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espiral logarítmica,
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Geometría analítica
247
Autoevaluación
xy
2 2 2
2 2 22
2 2 y
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248
?
y = x x
r
r
r
r
r
r
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Geometría analítica
249
10.
r
r
r
r
Ejercicios opcionales
r
x y
x y
r
r r
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Geometría analítica
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Respuestas a los ejercicios
2 2 2
r r
Respuestas a la autoevaluación
1
2
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Respuestas a los ejercicios opcionales
y
yx =