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ECUACIÓN LINEAL
Introducción:Las ecuaciones son fundamentales en el álgebra. En este capítulo se estudiarán las ecuaciones como una estrategia para la resolución de problemas. Se definirán las ecuaciones, particularmente las ecuaciones de primer grado en una variable. Luego estudiarás métodos para hallar la solución de una ecuación de primer grado en una variable. Posteriormente estudiarás las proporciones como una igualdad de razones. Las proporciones ayudan a resolver muchas situaciones interesantes, una de ellas son los porcientos. Los porcientos son importantes en todas las áreas y juegan un papel fundamental en la matemática financiera. Finalmente, estudiarás ecuaciones polinómicas de diferente grado y más de una variable. Se prestará especial interés en la expresión de una variable en términos
QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación es una igualdad que solo se cumple para uno o determinados valores de las incógnitas.
Una ecuación es una igualdad entre cantidades conocidas, o números, y cantidades desconocidas, o incógnitas
•ECUACIONES EQUIVALENTES
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones
Para obtener ecuaciones equivalentes, se podrá transformar
la ecuación:
• Se transforma una ecuación en otra si:
1. A los dos miembros de una ecuación se les suma o resta
un número distinto de cero.
2. Multiplicamos o dividimos los dos miembros de una
ecuación por el mismo número, distinto de cero.
3. Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a
otro, cambiándolo de signo.
4. Una ecuación no varía si se suprime un factor común a
todos sus términos.
5. Se pueden elevar al cuadrado los dos términos de una
ecuación, resultando otra que tiene las mismas soluciones
que la propuesta.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DEPRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
Para dar solución a una ecuación de primer grado, debemos
tener en cuenta:
• Reducir términos semejantes
• Quitar denominadores
• Eliminar paréntesis
• Simplificar términos, si es posible
• Transponer términos
• Despejar la incógnita • Hallar el valor de la incógnita.
EJEMPLO 1:
Resolver la siguiente ecuación lineal:
3x 2 x 1-2 - = 3 +
4 3 6 2
SOLUCIÓN AL EJEMPLO 1
1. Para iniciar la solución, primero quitamos paréntesis,
realizando las multiplicaciones indicadas
2. El m.c.m. de 4, 3, 6 y 2 es 12, entonces multiplicamos los
dos miembros de la ecuación por el m.c.m. (mínimo común
múltiplo)
6x 4 3x 3
4 3 6 2
6x 4 3x 312 12
4 3 6 2
3. Dividimos el m.c.m. entre el denominador y lo
multiplicamos por el numerador de cada término.
–18X + 16 = 6X + 18
4. Transponemos términos: –18X – 6X = 18 – 16
5. Reducimos términos semejantes: – 24X = 2
6. Multiplicamos ambos miembros por (–1) para que la
incógnita no tenga signo negativo: (–24X) (–1) = 2 (–1)
24X = –2
7. Despejamos la incógnita: 2X
24
1,simplificando : X
12
Resolver la siguiente ecuación: 7x – (2x–6) = (x+1) – (3x+2)
EJEMPLO 2
SOLUCIÓN PARA EL EJEMPLO 2
1. Suprimimos signos de agrupación, aplicando la ley de los
signos
7X – 2X + 6 = X + 1 – 3X – 2
2. Reducimos términos semejantes en cada miembro:
5X+ 6 = –2X-1
3. Por transposición de términos: 5X + 2X = – 6 –1
4. Volvemos a reducir términos semejantes en cada miembro: y obtenemos: 7x = –7
5. Despejamos “x” Respuesta: , X = –1 7X
7
EJEMPLO 3
Resolver la siguiente ecuación:
2 1 1· x 2 · x 1
3 3 3
SOLUCIÓN PARA EL EJEMPLO 3
1. Para iniciar la solución para esta ecuación, primero
realizamos las multiplicaciones indicadas:
2. Ahora vamos a quitar denominadores: para ello se
determina el m.c.m. de los denominadores, que en este caso
es 9:
2 2 1X 2X 2
3 9 3
6 2 18X 18 3X 6X 2 18X 18 3
9 9 9 9 9
3. Ahora agrupamos los términos con semejantes. (Recuerda
que al pasar un término de un miembro a otro de la
ecuación cambia su signo)6X – 18X = 2 – 18 + 3
4. Realizando las operaciones entre los términos semejantes,
obtenemos: –12X = –13
5. Despejamos la X: 13
X12
Resuelve os siguientes ejercicios de ecuaciones con una
incógnita, ver el documento:
1. EJERCICIOS ECUACIÓN LINEAL CON UNA
INCÓGNITA
GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN LINEAL
Las gráficas son de gran utilidad en diferentes áreas, como
son la física, la química, mediante ellas se puede visualizar el
movimiento de una partícula, además, permiten presentar
informes nuevos y entendibles en los negocios, la universidad,
deportes, administración, etc.
Para realizar una gráfica la herramienta principal a utilizar es
el PLANO CARTESIANO, el cual es una región determinada
por dos rectas que se cortan en forma perpendicular.
A estas rectas les damos el nombre de eje horizontal o
ABSCISA y eje vertical u ordenada . El punto de corte de
esos ejes será el centro u origen del plano.
El eje de las abscisas se utiliza para representar el conjunto
de elementos correspondientes a la variable independiente y
la segunda componente se refiere a la variable dependiente.
La gráfica correspondiente a una ecuación de primer grado
es una línea recta, mientras que las gráficas para ecuaciones
de orden superior son curvas; por eso es aconsejable buscar
dos puntos para las primeras y seis o más para las demás.
Para elaborar una gráfica se sigue el siguiente proceso:
1.Despejar la variable dependiente, algebraicamente es la letra
“y”.
2.Debe confeccionar una tabla de valores (tabular), en el que
se asignan valores a la variable independiente; se remplazan
en la ecuación con el fin de obtener los respectivos valores
para la variable dependiente.
Si la ecuación es de primer grado, basta con localizar dos
puntos para determinar la gráfica.
3. Ubicar en el plano cartesiano los puntos que se han
obtenido en tabulación. Debemos recordar que el signo de los
valores de las componentes determina su ubicación
a la derecha o a la izquierda, arriba o abajo, según sean
positivas o negativas, respectivamente.
4. Unir los puntos ubicados, para obtener la representación
gráfica deseada.
EJEMPLO 1
Graficar la ecuación 3x – 2y = 5
Solución al ejemplo1
De acuerdo con el proceso que hemos descrito, procedemos
de la siguiente manera:
1. Se despeja la variable dependiente y:
-2y = 5 – 3x5 - 3x
y=-2
Como la ecuación es de primer grado, su gráfica es una línea
recta, la cual queda completamente determinada al conocer
dos puntos, por esta razón, la tabla siguiente solo contiene dos
parejas de valores.
5 3(1)Si x 1,entoces : y 1
25 3( 1)
Six 1,entobnces : y 42
Luego, la tabla de valores nos muestra el siguiente aspecto:
X 1 -1
y -1 -4
Localizando los puntos y uniéndolos, obtenemos la línea
recta de la siguiente figura:
Solución al ejemplo1
EJEMPLO 2
Graficar la ecuación y = 2x + 1
Solución al ejemplo1
Tabulando directamentex 0 2
y 1 5
SISTEMAS LINEALES
DEFINICIÓNUn sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:
ax + by = pcx + dy = q
donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes.
Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas puede ser: x + y = 10
x - y = 2
Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por
separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas
parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos
pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al
considerar juntas ambas ecuaciones para formar el
sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que
cumplan a la vez las dos.
Consideremos dos ecuaciones lineales con dos variables
cada una, por ejemplo
2x – y = 1
3x + 2y = 5
Estas dos ecuaciones constituyen un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas, su solución, si existe,
es un valor para x y otro valor para y. Estos dos valores
deben satisfacer simultáneamente a ambas ecuaciones, por
esto es que se les llama ecuaciones simultáneas.
VALORES QUE SATISFACEN UNA ECUACIÓN
1.Un sistema puede tener una pareja única de valores que la
satisfacen (dos rectas secantes en el plano).
2.Pueden tener un conjunto infinito de parejas que satisface al
sistema (dos rectas coincidentes),
3.No tener ninguna pareja de números que la satisfacen (dos
rectas distintas paralelas).
MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Existen varios métodos para resolver estos sistemas.
Algunos de ellos son el de REDUCCIÓN, IGUALACIÓN,
SUSTITUCIÓN, POR DETERMINANTES.
REDUCCIÓN IGUALACIÓNSUSTITUCIÓN
DETERMINANTES
REDUCCIÓN
Este método consiste en multiplicar una de las ecuaciones por
un número de modo que en ambas resulte que el coeficiente
de una de las variables sea opuesto al de la otra para que al
sumarla se reduzca.
Hallar la solución para el siguiente sistema:
EJEMPLO 1:
2x - y = 1
3x + 2y = 5
SOLUCIÓN EJEMPLO 1
Para dar solución a nuestro ejemplo1, multiplicaremos la
primera ecuación por 2:
SOLUCIÓN AL EJEMPLO 1
Para dar solución a nuestro ejemplo multiplicaremos la
primera ecuación por 2 y luego sumamos ambas ecuaciones,
para obtener:
Por lo tanto, si despejamos a X, obtenemos su valor:
Sustituimos ahora el valor obtenido de x en cualquiera de las
dos ecuaciones: 2(1) – y = 1 2 - 1= y y = 1
Luego la solución al sistema es x = 1, y = 1.
4x - 2y = 2
3x + 2y = 5
7x + 0 = 7
7x x 1
7
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por este método, se siguen los siguientes pasos:
1. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las
ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se
resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que
resulta de esta sustitución.
3. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en
la ecuación despejada obtenida en el primer paso.
NOTA IMPORTANTE
La incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser
cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad
de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de
ambas, incógnita y ecuación. Es decir que será más fácil
operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una
ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su
coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el
cálculo con fracciones
EJEMPLO
Resolver utilizando el método de sustitución el siguiente sistema:
Si: en la primera, entonces, sustituyamos este
valor en la segunda ecuación, , para obtener
los siguientes resultados:
Sumando los términos semejantes, y despejando,
obtenemos:
2x y 3 1
x 3y 5 2
y 3 2x
x 3(3 2x) 5
y 3 2x
x 3(3 2x) 5;
x 9 6x 5;
-14-7x = -14 x = = 2 y = 3 - 2 (2) = -1 .
-7
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Para dar solución a un sistema utilizando este método,
debemos seguir los siguientes pasos:
1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones obtenidas.
3. Se resuelve la ecuación lineal que resulta.
4. Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las
expresiones en las que aparecía despejada la otra
incógnita
EJEMPLO
Resolver utilizando el método de igualación el siguiente
sistema:
1. Despejando la variable y en ambas ecuaciones,
obtenemos:
2. Igualando las ecuaciones 3 y 4, obtenemos que:
2x y 3 1
x 3y 5 2
y 3 2x 3
5 xy 4
3
5 x3 2x
3
Al multiplicar en cruz por 3 del denominador, obtenemos que:
9 - 6x = -5 + x
Realizando transposición de términos: pasamos – 6x a la
derecha y – 5 a la izquierda, también aplicamos ley de
signos, obtenemos: -7x = -14
Ahora despejamos a X:
Entonces si x = 2 y = 3 - 2(2) y = - 1
14x 2
7
MÉTODO GRÁFICO
Igual que en los métodos anteriores, hay que seguir algunas
pautas, como son:
1. Se despeja la incógnita y en las dos ecuaciones.
2. Se representan en los mimos ejes de coordenadas las dos
rectas así obtenidas.
3. El punto (a, b) donde se cortan ambas rectas es la solución
del sistema: x = a, y = b.
2x y 3 1
x 3y 5 2
Despejando a y de la ecuación 1y 2, obtenemos:
Ahora graficamos las dos ecuaciones, recordemos que
debemos darle valores a la variable independiente, x, para
hallar el valor de y, por lo que vamos a construir nuestra
tabla de valores:
y 3 2x
5 xy
3
x -3 6
y 9 - 9
y 3 2x Tabla de valores para:
Tabla de valores para: 5 xy
3
x - 4 8
y - 3 1
La gráfica será la siguiente:
Gráfica para el sistema
2x y 3 1
x 3y 5 2
Mediante cualquiera de los métodos relacionados
anteriormente, se obtiene un sistema equivalente al dado y
que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el
primitivo y según el tipo de solución, el sistema puede
presentar:
una única solución, el sistema recibe el nombre de SISTEMA
COMPATIBLE.
Si tiene múltiples soluciones, recibe el nombre de
SISTEMA INDETERMINADO.
Si no tiene solución, recibe el nombre de INCOMPATIBLE
TALLER NÚMERO DOS: Sistema de dos ecuaciones lineales
SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES (O MÁS) INCÓGNITAS
DEFINICIÓN.
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si
tienen el mismo conjunto de soluciones.
El método general de resolver sistemas de ecuaciones
consiste en encontrar otro sistema equivalente de más fácil
resolución.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL
METODO DE GAUSS
El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales
se puede considerar como un generalización del de reducción
(para los sistemas con dos incógnitas). En esencia consiste en
hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas
transformaciones elementales a fin de obtener un sistema
escalonado, más fácil de resolver.
EJEMPLO
y 2x 3z 9 1
2y 4x 5z 7 2
5y 6x z 1 3
Resolvamos el sistema el sistema
SOLUCIÓN
Para iniciar la solución al sistema multiplicamos la 1ª ecuación
por 2 y se la restamos a la segunda:
y 2x 3z 9
-z 11
5y 6x z 1
Ahora debemos cambiar (Permutamos) las ecuaciones 2ª y 3ª:
y 2x 3z 9
-5y-6x-z 7
z 11
Ahora, multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a
la 2ª:
Ya se ha conseguido un sistema escalonado ahora para
resolverlo se procede (de abajo arriba):
z = -11, por lo tanto, 4x = - 46 -14(-11) → x =27,
a y la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la
ecuación 1ª ; y = -9 – 54 + 33, y = - 30.
y 2x 3z 9
4x 14z 46
z 11
SOLUCIÓN POR DETERMINANTE
Determinante se representa como A =
Este se calcula de la siguiente manera: det A = a·d – b·c
Si tenemos un sistema de ecuaciones como este:
a1x + b1y = c1 a2x + b2 y = c2
Para hallar los valores de x e y se procede de la siguiente forma:
a b
c d
1 1
2 2
1 1
2 2
c b
c bx =
a b
a b
1 1
2 2
1 1
2 2
a c
a cy
a b
a b
Para ilustrar este método resolvamos el sistema:
Resolvemos el determinante para x:
4x + 3y = 22
2x + 5y = 18
1 1
2 2
1 1
2 2
c b 22 3
c b 18 5 110 54 564
a b 4 3 20 6 14
a b 2 5
Ahora resolvemos el determinante para y:
El punto de intersección de las rectas dadas es (4, 2), que
corresponde a las solución del sistema
1 1
2 2
1 1
2 2
a c 4 22
a c 2 18 72 44 28y 2
a b 14 14 14
a b
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES
INTRODUCCIÓN
Estudiadas las ecuaciones lineales y los sistemas de
ecuaciones lineales, el objetivo que nos guía ahora es darle
aplicabilidad al planteamiento y solución a los sistemas de
ecuaciones lineales, en problemas de la vida real. Esta
adaptabilidad a situaciones típicas, permite darle un sentido
más práctico y objetivo al uso de los sistemas de ecuaciones
de primer grado.
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES SIMULTÁNEAS
ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN RECOMENDADAS
1. Leer cuidadosamente el problema, varias veces si es
necesario, hasta entenderlo perfectamente, de tal manera
que se identifiquen los datos y se establezca lo que se
pide.
2. Hacer un bosquejo, en la medida que sea posible, donde
se señalen los valores conocidos y desconocidos.
3. Buscar fórmulas o expresiones literales que correlacionen
las cantidades conocidas con las desconocidas, llamadas
también incógnitas.
4. Una vez planteado el sistema de ecuaciones, decidir el
método de solución a emplear
5. Comprobar la solución.
Como ayuda, presentamos, algunas pautas que pueden
ayudar a la solución de problemas verbales, según el
lenguaje de las matemáticas: ver el documento word,
PAUTAS PARA INTERPRETAR EL LENGUAJE DE LA
MATEMATICA.
Por presumir de certero
un tirador atrevido
se encontró comprometido
en el lance que os refiero:
Y fue, que ante una caseta
de la feria del lugar
presumió de no fallar
ni un tiro con la escopeta,
y el feriante alzando el gallo
un duro ofreció pagarle
por cada acierto y cobrarle
a tres pesetas el fallo.
Dieciséis veces tiró
el tirador afamado
al fin dijo, despechado
por los tiros que falló:
"Mala escopeta fue el cebo
y la causa de mi afrenta
pero ajustada la cuenta
ni me debes ni te debo".
Y todo el que atentamente
este relato siguió
podrá decir fácilmente
cuántos tiros acertó.Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES