guÍa de matlab – sistema de ecuaciones y Álgebra …

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GUÍA DE MATLAB – SISTEMA DE ECUACIONES Y ÁLGEBRA DE MATRICES - 2019 | Margarita Patiño Jaramillo

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

Por: Margarita Patiño Jaramillo

GUÍA DE MATLAB – SISTEMA DE ECUACIONES Y ÁLGEBRA DE

MATRICES - 2019

1


1 GUÍA DE MATLAB

1.1 PRESENTACIÓN

Esta guía está dirigida a los estudiantes de los cursos de álgebra lineal en el ITM,

en el que se desarrollan los temas de operaciones con matrices: solución de

sistemas de ecuaciones lineales, suma, multiplicación por un escalar, multiplicación

entre matrices, cálculo del determinante de una matriz, e inversa de una matriz, así

mismo, se incluye el tema de factorización LU

QUÉ ES MATLAB

Antes de iniciarla solución de ecuaciones lineales con MATLAB veamos qué

es el MATLAB.

MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un

programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso

particular puede también trabajar con números escalares −tanto reales como

complejos−, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más

complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia

variedad de gráficos

Una de las librerías de MATLAB es La MATLAB C Math Library proporciona

una amplia gama de funciones clásicas del programa MATLAB, proporcionadas

como librería as objeto, incluyendo básicamente las siguientes categorías de

funciones presentes en MATLAB y ficheros M compilados, algunos de ellos son:

Álgebra lineal.

Funciones matemáticas elementales y especializadas.

Operadores lógicos y aritméticos.

2


Matrices elementales y manipulación de vectores.

Los algoritmos utilizados en la MATLAB C Math Library han sido

desarrollados por un grupo de renombrados expertos en programación algorítmica

de funciones de tipo matemático (álgebra lineal y cálculo numérico). Las funciones

de álgebra lineal han sido obtenidas de las librerias mundialmente reconocidas

LINPACK y EISPACK. La MATLAB C Math Library contiene más de 300 funciones

numéricas, lógicas y de utilidad. Todas estas funciones le permitirán operar en datos

de tipo escalar, vectorial o matricial con la misma facilidad sintáctica (Casado

Fernández, s.f).

La lista defunciones a utilizar más usuales en álgebra lineal son:

Álgebra lineal exacta: Inversas, determinantes, auto valores y formas

canónicas de matrices simbólicas.

Funciones generales de evaluación de matrices.

Funciones generales de evaluación de matrices.

Matrices inversas y factorización de matrices.

Álgebra lineal exacta: Inversas, Matriz traspuesta

Valores propios y descomposición de matrices.

Determinantes, normas, rangos, etc.

Matriz exponencial, logarítmica y raíces cuadradas.

1.2 ¿CÓMO USAR LOS COMANDOS?

1.2.1 INICIO DE MATLAB

Después de ejecutar el programa MatLab desde el sistema operativo

empleado, por ejemplo, haciendo doble click sobre el icono de MatLab en ambientes

3


Windows, aparece el indicador de comandos el cual está listo para recibir

instrucciones en lenguaje Matlab. Este indicador es de la siguiente forma:

Figura 2. Pantalla inicial de MatLab

Al iniciar el uso de MatLab están disponibles dos comandos de ayuda y

demostración. Para ejecutarlos se escribe el comando en la línea de comandos

después del símbolo >> y se presiona la tecla Enter. Por ejemplo:

>>help

Permite obtener una ayuda sobre los diferentes comandos de MatLab.

>>demo

Hace una demostración de las diferentes aplicaciones de MatLab.

Para cerrar o finalizar el uso de MatLab se usa el comando quit.

>>quit

Para borrar lo que hay en la pantalla del MatLab, digite clc:

>>clc

4


Nota: Tenga en cuenta que Matlab diferencia entre letras mayúsculas y

minúsculas.

Para tener en cuenta:

La primera forma de interactuar con MatLab es a través de la línea de comandos.

Puede ejecutarse un comando si este está escrito después del símbolo >> y se

presiona la tecla Enter.

MATLAB trabaja esencialmente con matrices numéricas rectangulares. La manera

más fácil de entrar matrices pequeñas es enumerando los elementos de ésta de tal

manera que:

los elementos estén separados por espacios en blanco o por coma (,).

Los elementos estén cerrados entre corchetes, [ ].

Muestre el final de cada fila con: (punto y coma).

Por ejemplo, se va a trabajar con el sistema de ecuaciones dedos variables del

ejemplo que anteriormente se ha resuelto algebraicamente.

2x - 3y = 2 (1)

3x - 2y = 8 (2)

Se entran las dos ecuaciones después del símbolo, >>, que aparece en la plantilla

de Matlab:

>> A = [2,-3;3,-2]; enter ( sin espacios)

>> B = [2;8]; enter

5


El punto y coma (;) que se coloca al final de cada corchete es con el objetivo de

que el programa almacene la matriz pero no la muestre en la pantalla (Arboleda

Quintero, Dairon; Álvarez Jiménez, Rafael, 2006)

La solución que se obtiene es:

X = A\B enter

4.0000

2.0000

Significa que X = 4 e Y = 2

En MatLab se entran las dos ecuaciones después del símbolo, >>, que aparece en

la plantilla de Matlab:

Los elementos dentro de un renglón de la matriz pueden ser separados por comas

como también por espacios en blanco.

* Los elementos de una matriz son definidos dentro de los corchetes;

* Una matriz es definida en el orden de los renglones [ie todos los del primer

renglón, entonces todos los del segundo renglón, etc];

* Los renglones son separados por punto y coma [o por una nueva línea],y los

elementos del renglón pueden estar separados ya sea por una coma o por un

espacio. [Precaución: ¡Cuidado con los espacios extras!]

Así se observa en la pantalla de MatLab:

6


Figura 3. Entrando un sistema de dos ecuaciones lineales al área de trabajo de MatLab

1.3 PARA UN SISTEMA DE LINEAL DE TRES ECUACIONES, PROCESDA

DE LA SIGUIENTE FORMA:

Para dar solución a un sistema de tres ecuaciones lineales se procede de igual

manera que para el sistema con dos ecuaciones.

El sistema de ecuaciones a resolver es el mismo de la página 9:

X – 2Y + 3Z = 4

2X + Y - 4Z = 3

- 3X + 4Y - Z = - 2

Observe que cada ecuación se separa con punto y coma y luego los valores

después de la igualdad forman otro vector al que se le debe dar un nombre y

deben estar separados con punto y coma.

Solución para X, Y, Z usando Matlab:

7


Solución: x = 4, y = 3, z = 2

1.4 OPERACIONES CON MATRICES

Las siguientes operaciones con matrices están disponibles en MATLAB: Operador Descripción Operador Descripción

=============================================

+ adición ' traspuesta - substracción \ división izquierda * multiplicación / división derecha ^ potencia =============================================

Estas operaciones se aplican, por supuesto, para escalares (matrices de 1-por-1)

Si los tamaños de las matrices no son compatibles para las operaciones de

matrices, un mensaje de error será el resultado, con la excepción en el caso de

operaciones con matrices escalares (para adición, substracción, y división como

8


también para la multiplicación) en cada caso cada entrada es operado como un

escalar.

1.4.1 MATRIZ TRASPUESTA O TRANSPUESTA

La traspuesta de una matriz es el resultado de intercambiar los renglones y las

columnas. MATLAB denota la transpuesta con un apóstrofe. Por ejemplo: A’

Sea la Matriz: T

2 1 4 2 1 4

A = 1 0 3 su traspuesta es : A = 1 0 1

4 1 2 4 3 2

Veamos cómo serán los comandos en MatLab:

9


1.4.2 ADICIÓN y SUSTRACCIÓN DE MATRICES

Sea "A" una matriz que tiene m renglones y n columnas, y "B" una matriz que tiene

p renglones y q columnas. La matriz suma "A + B" está definida solamente cuando

m es igual a p y n = q, es decir, que ambas matrices tienen igual número de filas y

columnas. El resultado es una matriz de igual dimensión que las matrices que

intervienen en la operación de suma o resta.

Sumar la matriz A con la matriz B: A + B

2 1 0 2 1 5

Sean lasmatrices :A = 3 1 4 , B= 2 0 3

2 6 5 4 3 1

2+2 1+1 0+5 4 2 5

A + B= 3+2 1+0 4+3 = 5 1 7

2+4 6+3 5+1 6 9 6

2-2 1-1 0-5 0 0 -5

A - B= 3-2 1-0 4-3 = 1 1 1

2-4 6-3 5-1 -2 3 4

10


ADICIÓN Y SUBTRACCIÓN EN MATLAB

1.4.3 PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL (UN ESCALAR)

Es una operación de las llamadas externas, pues combina elementos de naturaleza

distinta, es decir, números reales (escalares) y matrices.

Si t y A = ija es decir A es una matriz, definimos ijt A t a .

Así,

a b c

td e f

=

ta tb tc

td te tf

11


Las propiedades más interesantes de este producto son

t × A +B = t × A + t ×B Distributiva

t × h× A = th × A

t +h × A = t × A +h× A

EJEMPLO1: 3 :Sit ysedefinelamatrizAcomo

A =

1 4 2 5

2 3 7 4,t * A,secalculacomosigue :

5 2 4 2

3 0 3 5

3x1 3x4 3x2 3x5 3 12 6 15

3x2 3x3 3x7 3x4 6 9 21 12t * A = =

3x5 3x2 3x4 3x2 15 6 12 6

3x3 3x0 3x3 3x5 9 0 9 15

EJEMPLO2: Multiplicar la matriz 2 3

B =4 5

por 3:

2 3 6 93 =

4 5 12 15

Realizando el producto anterior, usando Matlab:

12


PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL

1.4.4 PRODUCTO DE MATRICES

El producto de la matriz A =(aij) por B= (bij) de dimensiones m x n y n x p

respectivamente es otra matriz P de dimensión m x p tal que cada elemento pij se

obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de

la segunda matriz.

Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la

primera sea igual que el número de filas de la segunda.

13


Si,i j m x n

A = a = y

i j n x p

B = b

11 12 13 1p

21 22 23 2p

31 32 33 3p

n1 n2 n3 np

b b b ..... b

b b b ..... b

b b b ..... b=

' ' ' ..... '

' ' ' ..... '

b b b ..... b

, Entonces la matriz

i j m xpC = A × B = c =

11 12 13 1p

21 22 23 2p

31 32 33 3p

m1 m2 m3 mp

c c c ..... c

c c c ..... c

c c c ..... c

' ' ' ..... '

' ' ' ..... '

c c c ..... c

,

por lo que los términos de A B que corresponden a los de la matriz c, se describen

a continuación, mediante la multiplicación de los términos de a11b11, y así

sucesivamente con cata uno de los términos de las matrices A y B:

11 12 13 1n

21 22 23 2n

31 32 33 3n

m1 m2 m3 mn

a a a ..... a

a a a ..... a

a a a ..... a

' ' ' ..... '

' ' ' ..... '

a a a ..... a

14


11 11 11 12 21 13 31 1n n1

12 11 12 12 22 13 32 1n n2

13 11 13 12 23 13 33 1n n3

1p 11 1p 12 2p 13 3p 1n np

21 21 11 22 21 23 31 2n n1

22 21 12

c a b a b a b ..... a b

c a b a b a b ..... a b

c a b a b a b ..... a b

...c a b a b a b ..... a b

c a b a b a b ..... a b

c a b a

22 22 23 32 2n n2

23 21 13 22 23 23 33 2n n3

2p 21 1p 22 2p 23 3p 2n np

31 31 11 32 21 33 31 3n n1

3 2 31 12 32 22 33 32 3n n2

33 31 13 32 23 33 33

b a b .... a b

c a b a b a b ..... a b

...c a b a b a b ..... a b

c a b a b a b ..... a b

c a b a b a b ..... a b

c a b a b a b 3n n3..... a b

EJEMPLO1; multiplicar la matriz A =

a b c

d e f por la matriz B =

g h i

j k l

m n o

:

a b c

d e f x

g h i

j k l

m n o

=

ag+bj+cm ah+bk +cm ai+bl+co

dg+ej+ fm dh+ek + fn di+el+ fo

EJEMPLO1: Multiplicar la matriz A por la matriz B

4. Si A = 2x2

2 1

0 -2

y B = 2x3

1 - 2 3

0 4 -5 la matriz producto A B es

A B =

2×1+1×0 2× -2 +1×4 2×3+1× -5

0×1+ -2 ×0 0× -2 +-2×4 0×3+ -2 × -5 =

=

2+0 - 4+ 4 6 -5

0+0 0 -8 0+10 =

2 0 1

0 -8 10

15


EJEMPLO2: Observe el siguiente producto:

2 3 6 33x =

4 5 7 59

, se ha obtenido del siguiente modo:

(2x6) + (3x7) = 33 y por otro lado (4x6)+ (5x7) = 59.

2 3 0 1 3 14x =

5 0 1 4 0 5

1 32 3 4

A ; B 4 51 0 2

6 7

1 32 3 4 38 49

A B 4 51 0 2 13 17

6 7

EJEMPLO1; multiplicar la matriz A =

a b c

d e f por la matriz B =

g h i

j k l

m n o

:

a b c

d e f x

g h i

j k l

m n o

=

ag+bj+cm ah+bk +cm ai+bl+co

dg+ej+ fm dh+ek + fn di+el+ fo

EJEMPLO2: Multiplicar la matriz A por la matriz B

4. Si A = 2x2

2 1

0 -2

y B = 2x3

1 - 2 3

0 4 -5 la matriz producto A B es

A B =

2×1+1×0 2× -2 +1×4 2×3+1× -5

0×1+ -2 ×0 0× -2 +-2×4 0×3+ -2 × -5 =

16


=

2+0 - 4+ 4 6 -5

0+0 0 -8 0+10 =

2 0 1

0 -8 10

EJEMPLO3: Observe el siguiente producto:

2 3 6 33x =

4 5 7 59

, se ha obtenido del siguiente modo:

(2x6) + (3x7) = 33 y por otro lado (4 x 6) + (5 x 7) = 59.

2 3 0 1 3 14x =

5 0 1 4 0 5

1 32 3 4

A ; B 4 51 0 2

6 7

1 32 3 4 38 49

A B 4 51 0 2 13 17

6 7

17


REALIZANDO LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES A B, USANDO MATLAB

18


1.4.6 INVERSA DE UNA MATRIZ

Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que

AB = In = BA, es decir, A . A-1 = I

entonces B se llama inversa de A y se denota con 1A . (Se lee “A inversa”)

Si A es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si

A no es una matriz cuadrada no es posible invertirla.

19


Calcular la inversa de la matriz A con MatLab:

-1

3 4 1-26 13 392 4 22 1 1

A = 4 1 1 , su A = -13 13 13

0 6 -34 2 7

- -13 13 39

20


1.4.7 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un escalar (un número real), obtenido a partir de

los elementos de una matriz por operaciones especificadas, y que es característico

de la matriz. Los determinantes están definidos solamente para matrices cuadradas

(Moore, 2014).

El determinante de una matriz 2×2 .

11 12

21 22

a aA =

a a

está dado por

det 11 22 12 21A = A =a a -a a

21


EJEMPLO

Si 3 -6

A =4 1

entonces 3 -6

A = = 3 - -24 = 274 1

Si -1 -0

A =6 10

entonces -1 0

A = = -10 -0 = -106 10

Análogamente, el determinante de una matriz 3 3 ,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A = a a a

a a a

está dado por

11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31 23 32 11 33 21 12A =a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a

Para la matriz 3 x 3, su determinante es:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

a a a

A = a a a =

a a a

A = a a a -a a -a a a -a a +a a a -a a

a a a a a a= a -a +a

a a a a a a

Observamos que cada determinante en la suma es el determinante de una

submatriz de A que se obtiene omitiendo una fila y una columna particulares de

A. Estos determinantes se llaman menores.

DEFINICIÓN: Sea

Mi j la matriz n-1 × n -1 obtenida al omitir la i-ésima

fila y la j-ésima columna de

Ann .

22


El determinante

M i j es un menor de la matriz A. El escalar

Ci j 1 i j

Mi j

se denomina cofactor del elemento

ai j de la matriz A. La matriz n x n

Ci j se

denomina adjunta de A y se representa por adj A.

Como se señaló antes, el determinante de una matriz se puede obtener por un

procedimiento conocido como desarrollo por cofactores. El determinante de A

puede desarrollarse en términos de la fila i por la fórmula:

A ai j Ci j

j1

n

para cualquier fila i = 1, 2, …, n,

y en términos de la columna j por la fórmula:

n

i j i j

i=1

A = a C para cualquier columna j = 1, 2, …, n

Por tanto el determinante de

A33 expresado antes como

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

a a a a a aA = a - a + a

a a a a a a

se puede escribir

3

11 11 12 12 13 13 1j 1j

j=1

A = a C + a C + a C = a C

LEY DE SARRUS:

Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se repiten las dos primeras

columnas (o filas) a continuación de la tercera, se multiplican los números que hay

23


en las diagonales principales y luego se suman los resultados de las

multiplicaciones. Repetimos, el mismo proceso con las diagonales secundarias y

después hacemos la diferencia entre el resultado obtenido con las diagonales

principales y el total obtenido con las diagonales secundarias; este resultado es el

determinante de la matriz ijA

Si tenemos:

11 12 13 11 12 13 11 12

21 22 23 ij 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 33 31 32

a a a a a a a a

A a a a entonces A a a a a a ,porlo tanto,

a a a a a a a a

ij 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12A = a a a +a a a +a a a - a a a +a a a +a a a

REGLA DE CARMER:

Este método de solución se puede utilizar en un sistema lineal de ecuaciones de

orden 2 como en uno de orden superior. De la siguiente manera:

a. DE ORDEN 2.

Consideremos el sistema de ecuaciones 11 12 1

21 22 2

a x + a y = b

a x + a y = b

con dos

incógnitas x e y

El denominador de x y de y, en la solución, es el determinante formado con los

coeficientes de la x y de la y, en forma ordenada. Este determinante se llama el

determinante principal del sistema.

El numerador de x, en la solución, se obtiene al sustituir, en el determinante

principal, la primera columna por la columna de términos independientes:

24


Determinante principal Numerador de x

11 12

21 22

a a

a a

1 12

2 22

b a

b a

De forma similar, El numerador de y, en la solución, se obtiene al sustituir, en el

determinante principal, la segunda columna por la columna de términos

independientes:

Determinante principal Numerador de y

11 12

21 22

a a

a a

11 1

21 2

a b

a b

Por lo que:

1 12 11 1

11 122 22 21 2

11 12 11 12 21 22

21 22 21 22

b a a b

a ab a a bx = y ,con 0

a a a a a a

a a a a

Cómo calcular el determinante de una matriz con MatLab

Sea:

1 3A =

-2 -1

Para calcular su determinante se procede así:

A=[1,3;-2,-1]; enter

Det(A) enter

Ans = 5

25


1 3 5

B = 2 1 0 = -15

1 1 4

Bibliografía

Arboleda Quintero, Dairon; Álvarez Jiménez, Rafael. (2006). Aplicaciones

Matemáticas del programa Matlab. Medellin: Universidad de Medellín.

Casado Fernández, M. C. (s.f). Manual básico de MaTLab. Obtenido de

http://webs.ucm.es/centros/cont/descargas/documento11541.pdf

Moore, H. (2014). Matlab Para Ingenieros. México: Pearson-prentice Hall.

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