apuntes de álgebra y ecuaciones de primer grado
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Apuntes de álgebra
Apuntes de álgebra y ecuaciones de primer gradoEl álgebra es una parte de las matemáticas que nos permite realizar operaciones con cantidades desconocidas, para poder hacer:
1. Generalizaciones.2. Hallar los valores de las cantidades desconocidas para que se cumplan
ciertas condiciones. Esto se llama resolver ecuaciones.
Definiciones
Variable:
Se llama variable a cualquier símbolo, generalmente una letra (x, y, ...), con la que representamos un número cualquiera.
Expresión algebraica:
Se llama expresión algebraica a una combinación de números y potencias de variables mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, etc.
Por ejemplo 3 ∙ x1, 2 ∙ x ∙ y2 ,xy
Ejemplo:
En el mercado tenemos las naranjas a 1€ el kilo, y las manzanas a 0,80€ el kilo. Escribir la expresión algebraica que nos da el precio de la compra en función del peso de cada fruta.Solución:
El peso de cada fruta puede ser cualquiera, luego son variables, con lo que al peso de naranjas le llamaremos x y al de las manzanas y.Si compramos 1 kilo de naranjas el precio será de 1€·1=1€. Si lo que compramos son 3 kilos, entonces el precio será 1€·3=3€. Extendiendo este razonamiento, si compramos x kilos el precio será 1€·x.Con el mismo razonamiento para las manzanas, el precio de y kilos de manzanas será 0,80€·y.Y lógicamente el precio de la compra será 1€·x+0,80€·y. Ésta es la expresión que buscábamos, nos da el precio total simplemente con sustituir x e y por el número de kilos que queramos y operar. Por ejemplo si llevamos5 kilos de naranjas y 3 de manzanas, sustituimos y nos queda 1€·5+0,80€·3=7,40€.
Evaluación de una expresión algebraica
Consiste en sustituir las variables por números y realizar la operación completa
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para dar un resultado.
Ejemplo:
Evaluar la expresión2x2 y3+ y
en x=1 e y=2.
Lo que tenemos que hacer es cambiar las x por unos y las y por doses, teniendo en cuenta que entre las variables y los números hay siempre un signo de
multiplicación, con lo que queda2·12·23+2
que operando siguiendo las prioridades
de las operaciones nos da45.
Ejercicios de expresiones algebraicas
1. Escribe las expresiones algebraicas que corresponden a los siguientes enunciados:
a. El cuadrado de un número.
b. El doble del cuadrado de un número.
c. El cuadrado del doble de un número.
d. El 70% de una cantidad x.
e. El y% de una cantidad.
f. La mitad del sucesor de un número.
g. El sucesor de la mitad de un número.
h. Un número par.
i. Un número impar.
j. El producto de dos pares consecutivos.
k. El producto de dos impares consecutivos.
l. La suma del cuadrado de dos números.
m. El cuadrado de dos números.
n. La raíz de la suma de dos números.
o. La suma de las raíces de dos números.
p. El opuesto de un número.
q. El inverso de un número.
2. En una tienda venden un producto al peso al precio de x €/kg. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes a los siguientes enunciados:
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a. El precio de y kg.
b. El precio de 12 cajas de 7 kg
c. El precio de y cajas de z kg.
d. El precio por kilo si nos hacen un 20% de descuento.
e. El precio de y kg si nos hacen un z% de descuento.
f. El beneficio por kg si el tendero lo compró a y €/kg.
g. El beneficio de z kg con los datos del enunciado anterior.
h. El beneficio por kg si compró 20 kg por 50€
i. El beneficio por kg si compró y kg por z €.
3. Escribe en los dibujos correspondientes (tienes que hacerlos tú) los elementos que se indican:
a. Los ángulos de un triángulo escaleno.
b. Los ángulos de un triángulo isosceles.
c. Los ángulos de un triángulo equilátero.
d. Los lados de un cuadrado.
e. Los lados de un rectangulo cuya base es el doble que la altura.
f. La diagonal de un cuadrado en función de sus lados.
g. El apotema de un hexágono en función del lado y del rádio.
h. La medida del angulo central de un polígono de n lados.
4. Escribe las siguientes igualdades en lenguaje algebraico (antes de escribir la igualdad tienes que indicar qué es cada variable)
a. La suma de dos impares consecutivos es 7
b. El producto de dos pares consecutivos es y.
c. La edad de María es un año menos que la edad de Laura.
d. La edad de Pedro dentro de cuatro años será el doble de la edad actual de Luis.
e. La edad de Pedro dentro de 7 años será el doble de la edad de Juan dentro de 7 años.
f. La edad de Javier es la mitad de la suma de la que tenian Jaime y Mario hace 5 años.
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5. Evalua las siguientes expresiones para los valores de las variables que se indican:
a. 2 · x3 para x=7 b. 2 ·x3 para x=7c. x2y para x=1 e y=3 d. x2z para x=0,5 y z=2
e. x2
x1para x=1 f. x2 y2 para x=3 e y=4
g. x · y
y2−2para x=0,5 e y=1 h. 2x−3x para x=4
Monomios
Definición
Un monomio es una maltiplicación de un número y potencias naturales de variables. Por ejemplo 3 ∙ x 2 , 2 ∙ x ∙ y , −3∙ yEn un monomio se diferencian dos partes:
● Coeficiente: es el número que multiplica, con el signo incluido. Si no hay coeficiente, el coeficiente vale 1.
● Parte literal: es lo que nos queda del monomio si le quitamos el coeficiente, incluidos los exponentes de las variables.
Tienes que tener en cuenta que un número solo también es un monomio, es decir -3 es un monomio que no tiene parte literal.
Ejemplos:
En 3 ∙ x 2 el coeficiente es 3, y la parte literal, que es lo que nos queda si quitamos el 3, es x2 (observar que la parte literal no solo es la variable, sino la variable con su potencia)En 2 ∙ x ∙ y el coeficiente es 2, y la parte literal x·yEn -3·y el coeficiente es -3, y la parte literal y
Si en un monomio no aparece el coeficiente entonces el coeficiente es 1. Si solo aparece signo entonces es -1.
En x·y el coeficiente es 1, y la parte literal x·yEn −x2 el coeficiente es -1, y la parte literal x2
Grado de un monomio:
Se define el grado de un monomio como la suma de las potencias a las que están elevadas la variables. Si solo hay una variable y no está elevada a ningún número,el monomio es de grado 1, si es un número solo el grado es 0. Ejemplos:
3∙ x5 tiene grado 5 x2 y4 tiene grado 6 x tiene grado 1 -7 tiene grado 0−4 xy tiene grado 2
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Operaciones con monomios
Suma:
No todos los monomios se pueden sumar. Para poder sumar dos monomios, ambos han de tener la misma parte literal, incluidos los exponentes, aunque las variables estén en diferente orden. Por ejemplo 3·x+2·y no se puede hacer, porque no tienen la misma parte literal, 3 ∙ x 5
2 ∙ x 2 tampoco, por la misma razón.En caso de que no se puedan sumar se deja la expresión como está.Si ambos monomios tienen la misma parte literal entonces se pueden sumar, y se procede de la siguiente manera: se suman los coeficientes, y como parte literal se pone la parte literal común a los dos monomios.
Ejemplos:
3 ∙ x2 ∙ x=32∙ x=5 ∙ x 2 ∙ x2x 2
=21 ∙ x2
−5∙ x32 ∙ x3
=−52 ∙ x3=−3∙ x3 4 ∙ x−2 ∙ x=4−2∙ x=2 ∙ x
Resta:
Tiene la misma restricción que la suma, y el mecanismo es similar pero aplicando las reglas de la resta de enteros.
Multiplicación de un número por un monomio:
Para multiplicar un número por un monomio se multiplica el número por el coeficiente, y la parte literal se deja como está.
Ejemplos:
2 ∙ 3∙ x =6 ∙ x 4 ∙ x 2 ∙−2=−2 ∙4∙ x 2=−8 ∙ x2
Multiplicación de dos monomios:
Para multiplicar dos monomios tenemos que multiplicar por separado los coeficientes y las partes literales. En la multiplicación de las partes literalestenemos que utilizar las propiedades de las potencias, en concreto la del producto de potencias de la misma base. El resultado de la operación es un monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.
Ejemplos:
2x ·3x2=2·3 x · x2
=6x12=6x3
3x2 y ·−4 x2 y 3=−4 ·3 x2 · x2 · y · y3
=−12 x4 y 4
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División de un monomio entre un número:
Para dividir un monomio por un número se divide el coeficiente entre el número, y la parte literal se deja como está. Si el resultado de la división no es un entero exacto se suele dejar en forma de fracción.
Ejemplos:
12 ∙ x 2
3=4 ∙ x2 −10 ∙ x
5=−2 ∙ x
5∙ x3
=53
∙ x
División de monomios
La división de monomios es la operación más compleja que se puede hacer con monomios. Su mecanismo es similar al de la multiplicación, es decir dividimos por un lado los coeficientes y por otro las partes literales. En la división delas partes literales tenemos que aplicar la propiedad del cociente de potencias de la misma base, con lo que tienes que agrupar las variables que son iguales en la parte literal. El resultado de la división de monomios nos siempre es un monomio, ya que al aplicar la propiedad del cociente de potencias de la misma base pueden aparecer exponentes negativos.
Ejemplos:
4x4
2x=
42
·x4
x=2x 4−1
=2x3 12 x2 y
4 x y2 =124
·x2
x·
y
y2=3 x y−1
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Ejercicios de monomios
1. Copia y completa la siguiente tabla:
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
4 x 4 x 1
−2x3 -2 x2 2
-5 -5 No hay 0
4 x2 y 3 x2 y3 5
-2 No hay
−7 xy4 xy4 5
3x2
32
−x3
xy2
12
-5 x4 y2
34
x3
2. Identifica cueles de los siguientes monomios tienen la misma parte literal:
a) 3x
b) 2x2
c) −5x2 y
d) −xy2 z
i) −9x2
ii) −x
iii) 2y2 zx
3
iv) 3 x2 y
3. Realiza las siguientes sumas y restas de monomios cuando sea posible, y si no escribe la operación tal y como está.
a) 3x4x b) −2x2x2 c) 2 y4y d) 7 z−12 z e) −4 x5
−2 x5
f) 5x−3x2 g) 9 xy−4 yx
h) 7 x2 y−9x y2
i) 13 xy2
5 y2 x j)
x2
2x3
k) 0,5 x3
−3 x3 l) 4 x2−22 x m)
25
x− x n) 34
xy12
xyz o) 5 xy2 z2
−9 x z2 y 2
4. Reduce las siguientes sumas y restas combinadas monomios operando solo los
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que tengan igual parte literal. Empieza siempre por el mayor grado, como en elejemplo, y recuerda que todo lo que no utilices lo tienes que copiar igual:
a) 3x−5−2x b) 2−3x4x7−x
c) −5x2−34x−3x9−x d) x2−4x2−4x−32 x2
−3 x2
e) 4x2−2x3x−57 x f) 2x3−3 x24 x23 x3−x
g) −52x−3x4x1 h) 2x23x2
4x−6x3−5
5. Simplifica las siguientes sumas y restas de monomios con paréntesis. Intenta hacer todas las operaciones posibles antes de quitar los paréntesis, y cuando no puedas hacer más recuerda que si tienen un menos delante tienes que cambiar todo lo de dentro de signo al quitarlos.
a) 3x−2x5x b) 2x−35x−2
c) 3x2−2x5 x2
−3x29 d) x−2x23x2
−2x−x24x
e) −3 x2−2xx2
3x−2x23x2 f) −x2
3x−2x25x−3− x7 x2
−3x−9−12
g) 2x2−2x−22x2−2 h) 3x2−5x3−2x3
3x2−x3
2x −x3
6. Realiza las siguientes sumas y restas de monomios con coeficientes fraccionarios. Recuerda que para sumar y restar fracciones tienes que hacer denominador común. Puedes hacerlo solo de los coeficientes de los monomios con la misma parte literar o de todos los coeficientes (en algunos casos será más fácil lo primero y en otros lo segundo, presta atención a todos los denominadores) Recuerda que en el resultado final solo pueden aparecer fracciones simplificadas. Recuerda también que si la parte literal está en el
numerador es lo mismo que si esta al lado 3xy2
2≡
32
xy2 a)
23
x−x2
b) x25−
x31
c) 14
x2−
25
x3−x2
2x2
5 d)
12
x−x23−x2−x3
13
x28
3x 2x2 5x −4 −7x 4x2 = 6x2 3x 5x −4 −7x = 6x2 x −4
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e) x3−
x2
2
3x3
4−2x
x3−
23
x2 f) 23 x−14 x2
−x − x2
3
2x3
−4−23
x2 g)
14
x−23
x2
17
x−25
x2
h) 1325
x2−
49
x12
710
x2
x6−
74
7. Realiza los siguientes productos de monomios.
a) 2x ·3x b) −3 x2·5x c) −4 x3
·−5x2 d) −3xyz ·−2zyx2
e) −5x ·3x4 f) 2xy2·
13
x2y g) 2xy ·4xy2
h) 3x ·−2x2·−5x2
i) 1,25 x2·x2
j) 0,25 x ·1,3 x4 k) 2x3
·5 x2 ·4x2
5 l) 4xy 4 ·3 x2 y z2
m) 2x3·5 x2 n) 52 x2 y o) 5x2 y3 z 2 y2 z2 p) −2x3·−5x · −3 x2
q) −3x2 y2· 2x r)
3x2
·5x2
3 s)
5x4
2·
−3y4
t) 5· −x y
8. Realiza los siguientes cocientes de monomios. Si el cociente de los coeficientes
no es exacto dejalo como fracción simplificada. Recuerda queab≡a: b
a) 6x3x
b) −3 x2: 5x c)
12x3
4x d)
8xy2
2y e)
−3x2 y2
2x
f) x4
3x2 g) 13 x2: 2x h) 2x2 y3
4xy2 i) 25xyzt5yt
j) 12x3
5·8x2
3
k) 10x2
5x l)
8xy6x
m) 6xy4x
n) −4 x y2 z3
10 x2 y z o)
10x3 y4 z3
3 x2 y2 z2
p) 12x2
4x q)
−4 x y2 z3
10 x2 y z
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Polinomios
Definición
Se define un polinomio como una suma de monomios, generalmente con distinta parte literal. Por ejemplo: −3∙ x2
2 ∙ x1
Para indicar un polinomio y escribir menos, se le suele nombrar con una letra mayuscula que a veces va seguida de las variables del polinomio entre paréntesis: así A=−3x22x1 o así A x=−3x22x1Da tal manera que donde ponga A o A x sabemos que a la hora de realizar operaciones lo tenemos que sustituir por el polinomio correspondiente.
Grado de un polinomio:
Se define el grado de un polinomio como el mayor grado de los polinomios que lo forman. Por ejemplo: −3∙ x2
2 ∙ x1 tiene grado 2, porque el monomio de mayor grado tiene grado 2. Otro ejemplo: 5·x+3 es de grado 1.
Raíz de un polinomio
Dado un polinomio P(x) se dice que un número a es raíz del polinomio si al evaluarlo en ese número el resultado es 0, es decir si P(a)=0
Ejemplo:
2 es raíz de P(x)=x3−2 x2+x−2 porque P(2) = 23−2 ·22+2−2 = 8−2 ·4+2−2 = 0pero
-1 no es raíz de P(x)=x3−2 x2+x−2 porqueP(2) = (−1)3−2·(−1)2+(−1)−2 = −1−2 ·1−1−2 = −6 que es distinto de 0.
Operaciones con polinomios
Excepto en el caso de la reducción, en el que solo interviene un polinomio, para indicar las operaciones se pone el nombre del polinomio AB o los polinomios encerrados entre paréntesis 3 x2
−x1−2 x25x−2 Si no aparecen los paréntesis
la operación es entre monomios, y es otra cosa completamente distinta.
Reducción de un polinomio
Reducir un polinomio consiste en sumar todos los monomios que tengan la mismaparte literal y reescribir el polinomio ordenando los monomios de mayor a menor grado.
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Ejemplos:
x3−3x2
2−3x25x−2=x3
−6x25x 4−x3
2x−3x25x4
=5x4−x3
−3x22x4
Suma de polinomios
Consiste en juntar todos los monomios y reducir.
Ejemplo:
−x23 ∙ x1x−3=−x 2
3∙ x1 x−3=−x 24 ∙ x−2
Resta de polinomios
Consiste en sumar el que está a la izquierda del menos con el que está a la derecha del menos cambiandolo de signo.
Ejemplo:
−x23 ∙ x1−x−3=−x 2
3∙ x1− x3=−x 22 ∙ x4
Producto de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio hay que multiplicar el monomio portodos los monomios del polinomio. Es decir, aplicamos la propiedad distributiba del producto respecto de la suma.
Ejemplos:
2x · 3x25x4=2x ·3x2
2x ·5x2x ·4=6x310 x2
8x
4x23x2· −x=4x2 ·−x 3x · −x 2· −x=−4x3
−3x2−2x
Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios tenemos que multiplicar cada monomio del primero por el segundo polinomio. Es decir, tenemos que multiplicar todos los monomios del primero por todos los monomios del segundo. Después de hacer esto se reduce el polinomio resultante.
Ejemplos
2x1· x3 =2x · x3 1· x3 =2x26x x3=2x2
7x3
x−2x2−3x−1= x ·x2
−3x−1−2 ·x2−3x−1= x3
−3 x2−x−2x2
6x2=x3−5x2
5x2
División de polinomios
La división de polinomios es la más larga y complicada de las cuatro operaciones básicas, y la mejor manera de explicarla es con un ejemplo. El requisito que deben cumplir los polinomios es que el grado del dividendo sea mayor o igual que
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el del divisor, en otro caso la división no se puede hacer y se dejará indicada.
2x1
x2 No se puede hacer, ya que el grado del dividendo es 1 y el del divisor es
2.
2x3−4 x2
x−1: x22 Sí se puede hacer porque el grado del dividendo es 3 y el
del divisor 2. Esta es la que vamos a hacer de ejemplo por pasos:
1. Colocamos los polinomios como una división normal, con sus cajitas, y sin poner los signos + del dividendo:
2x3−4x2 x −1 x2
2
2. Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de
mayor grado del divisor:2x3
x2 =2x
3. Lo ponemos en el cociente:
2x3−4x2 x −1 x22
2x
4. Lo multiplicamos por cada uno de los monomios del divisor, el el resultado de cada producto lo colocamos en la columna del dividendo correspondientea su grado: 2x · x2
=2x3 va en la columna de los cubos, y 2x ·2=4x en la columna de grado 1.
2x3−4x2 x −1 x2
2
2x3 4x 2x
5. Restamos, si no hay nada que restar escribimos lo mismo que había2x3
−4x2 x −1 x22
2x3 4x 2x0 −4x2 −3x −1
6. Comprobamos que el grado del resto es mayor o igual que el del divisor. Si no lo es hemos terminado con la división. En este caso es mayor o igual, conlo que continuamos repitiendo desde el paso 2. En este caso hay que hacer
−4x2
x2 =−4
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2x3−4x2 x −1 x2
2
2x3 4x 2x−40 −4x2 −3x −1
7. Repetimos los pasos 4 y 5:
2x3−4x2 x −1 x22
2x3 4x 2x−40 −4x2 −3x −1
−4x2 −80 −3x 7
8. En este caso el grado del resto es menor que el del divisor, con lo que hemos terminado la división. Y nos ha quedado:a. Dividendo: 2x3−4x2x−1b. Divisor: x2
2c. Cociente: 2x−4d. Resto: −3x7
Este resultado se puede escribir de dos maneras, dependiendo de para qué lo tengamos que utilizar:
• 2x3−4x2
x−1=x22·2x−4 −3x7 (dividendo igual a divisor por cociente
más resto)
•2x3
−4x2x−1
x22
=2x−4−3x7
x22
Extracción de factor común
Consiste en aplicar la propiedad distributiva al revés. Es decir, la propiedad distributiva dice que a ·(b+c)=a ·b+a · c y normalmente la aplicamos de izquierda a derecha. Sacar factor común consiste en aplicarla de derecha a izquierda, partiendo de una expresión de la forma a ·b+a ·c tenemos que escribir una expresión equivalente de la forma a ·(b+c)
Para extraer factor común de un polinomio tenemos que dar dos pasos:
1. Buscar todos los máximos divisores comunes a todos los monomios del polinomio. Para los coeficientes es fácil, y para las variables tenemos que ver si una variable está en todos los monomios y si es así la cogemos con el menor exponente. Todos estos máximos divisores juntos forman el factor común.
2. Escribimos el polinomio como el producto del factor común por el polinomio resultante de dividir cada monomio entre el factor común.
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Vamos a ver un par de ejemplos:
Sacar factor común de 4x2+2 x+6
Se ve que todos los coeficientes son divisibles entre 2, y para las variables no hay ninguna común, puesto que el 6 no tiene variable. Entonces el factor común es 2, y el resultado es el siguiente:
4x2+2 x+6=2 ·(2x2+x+3) Donde cada monomio del paréntesis es el resultado de dividir los monomios originales entre el factor común. Es obligatorio escribir el paréntesis.
Sacar factor común de 24 x2 y2+6x2 y−12 x3
Aquí vemos que el máximo común divisor de los coeficientes es 6, que todos los monomios tienen x y que su menor exponente es 2. Entonces el factor común es6x2 y el resultado:
24 x2 y2+6x2 y−12 x3=6x2 ·(4y 2+ y−2x)
Identidades notables
Existen algunas multiplicaciones con polinomios que aparecen mucho en matemáticas, así como en física, química, tecnología, y muchas otras disciplinas. Como aparecen a menudo y se tarda en hacerlas lo que se hace es memorizar la forma del resultado y luego sustituir por los valores que correspondan.
Suma al cuadrado
Es un polinomio de dos monomios positivos elevado al cuadrado, y lo desarrollamos multiplicandolo por si mismo:
ab 2=ab ·ab=a2
abbab2=a2
b22ab
Y lo que queremos memorizar es la forma del resultado, luego lo que hay que memorizar es:
ab2=a2
b22ab
O bien la frase: la suma al cuadrado es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo.
Para aplicarlo directamente:
x12= x2
122· x ·1=x2
2x1 ; 3x42=3x
242
2 ·3x ·4=9x224x16
Diferencia al cuadrado
Es un polinomio de dos monomios, el primero positivo y el segundo negativo, elevado al cuadrado, y lo desarrollamos multiplicandolo por si mismo:
a−b 2=a−b ·a−b=a2−ab−bab2=a2b2−2ab
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Y lo que queremos memorizar es la forma del resultado, luego lo que hay que memorizar es:
a−b2=a2b2−2ab
O bien la frase: la diferencia al cuadrado es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo.
Para aplicarlo directamente:
x−12= x2
12−2· x ·1=x2
−2x1 ; 3x−42=3x
242
−2 ·3x ·4=9x2−24x16
Suma por diferencia
Es el producto de dos polinomios de dos monomios, que solo se diferencian en el signo de uno de los monomios. Desarrollandolo:
ab ·a−b=a2−abba−b2=a2−b2
Y lo que queremos memorizar es la forma del resultado, luego lo que hay que memorizar es:
ab · a−b=a2−b2
O bien la frase: suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Para aplicarlo directamente:
x1x−1=x2−12=x2−1 ; 3x43x−4 =3x 2−42=9x2−16
Regla de Ruffini
Es un método muy rápido para realizar divisiones de polinomios en las que el divisor tiene la forma x±a y el mecanismo se entiende muy bien con un ejemplo.
Vamos a dividir el polinomio x3+2x2−6x−4 entre x−2 paso a paso:
1. Colocamos los coeficientes del dividendo y el opuesto del término independiente del divisor de la siguiente manera:
2. Bajamos el primer coeficiente del dividendo, es decir el 1.
15
1 2 -6 4
2
Coeficientes del dividendo
Opuesto del termino independiente del divisor
Apuntes de álgebra
1 2 -6 -42
1
3. Multiplicamos el opuesto del término independiente del divisor por el número que hemos bajado: 2·1 = 2, y ponemos este resultado debajo del siguiente coeficiente.
1 2 -6 -42 2
1
4. Sumamos:1 2 -6 -4
2 21 4
5. Repetimos el paso 3 con el número que hemos obtenido, 2·4 = 8, y lo situamos debajo del siguiente:
1 2 -6 -42 2 8
1 4
6. Sumamos:1 2 -6 -4
2 2 81 4 2
7. Volvemos a repetir los pasos 3 y 4:
1 2 -6 -42 2 8 4
1 4 2 0
Y como ya no quedan más números se ha terminado la división por Ruffini, ahora tenemos que interpretar lo que nos ha salido.
1 2 -6 -42 2 8 4
1 4 2 0
El último número (que está encuadrado con línea discontinua) es el resto de la división, que en este caso es exacta.
16
Apuntes de álgebra
El resto de los números son los coeficientes del cociente. Cuando dividimos con Ruffini el cociente siempre es de un grado menos que el dividendo. En este caso el dividendo es de grado 3, con lo que el cociente es de grado 2 y tiene de coeficientes 1, 4 y 2.Con lo cual tenemos que (x3+2x2−6x−4) :( x−2)=x2+ 4x+2 , o en la forma “dividendo es igual a divisor por cociente más resto”:x3+2 x2−6x−4=( x−2) ·( x2+4x+2)+0
Otro ejemplo:(x4−2x3+x2− x−1) :(x+1)
1 -2 1 -1 -1-1 -1 3 -4 5
1 -3 4 -5 4
Que en la forma “dividendo es igual a divisor por cociente más resto” queda:x4−2 x3+ x2−x−1=( x+1) ·( x3−3x2+4x−5)+ 4
Divisibilidad de polinomios
Hemos visto que, al igual que con los números, con los polinomios tenemos la operación de división. Con lo cual es lógico que con los polinomios también haya múltiplos y divisores.
Se dice que el polinomio Q(x) es divisor del polinomio P(x) si existe un
polinomio C (x ) tal que P(x)=Q(x) ·C (x) , es decir la divisiónP(x)Q(x )
tiene de resto
0.
Se dice que el polinomio P(x) es múltiplo del polinomio Q(x) si existe un
polinomio C (x ) tal que P(x)=Q(x) ·C (x) , es decir la divisiónP(x)Q(x )
tiene de resto
0.
En cualquiera de los dos casos se dice que P(x) es divisible entre Q(x) .
Si un polinomio no tiene divisores se dice que es un polinomio irreductible. Todos los polinomios de grado 1 y 0 (los polinomios de grado 0 son los números) son irreductibles.
(Un polinomio irreductible es el equivalente a un número primo)
Grados en la división de polinomios
Grados del dividendo, divisor, cociente y resto
Tenemos un polinomio P(x) que tiene grado n, y otro polinomio Q(x) que tiene grado m (n > m, para que podamos hacer la división)
17
Apuntes de álgebra
El cociente de la divisiónP(x)Q(x )
siempre tiene grado n-m, y el resto tiene grado
menor que m.
Ejemplo:
Si el dividendo tiene grado 7 y el divisor grado 3, el cociente tiene grado 4 y el resto tiene grado menor que 3 (puede ser 2, 1 o 0)
Si el dividendo tiene grado 3 y el divisor grado 1, el cociente tiene grado 2 y el resto grado 0 (es decir es un número)
Grados de los divisores
Si un polinomio es producto de otros dos, o más, polinomios el grado del polinomio resultante es igual a la suma de los grados de los polinomios del producto.
Teorema del resto
Si un polinomio P(x) tiene como raíz al número a entonces P(x) es divisible entre x−a
Demostración
Si dividimos P(x) entre x−a obtendremos un cociente C (x ) y un resto R , que al ser el divisor de grado 1 solo puede tener grado 0. Es decir el resto es un número.
Sabemos que la división se puede escribir como “dividendo igual a divisor por cociente más resto”, con lo cual tenemos que P(x)=(x−a)·C (x )+R
Si evaluamos esta expresión en a nos quedaP(a)= (a−a)·C (a)+R = 0·C (a)+R = R
Como a es raíz del polinomio sabemos que P(a)=0 . Luego tiene que ocurrir queR=0 y si R es 0 es porque la división es exacta.
Aplicación del teorema del resto
El teorema del resto nos sirve para encontrar divisores de un polinomio resolviendo una ecuación.
Ejemplo:
Encontrar los divisores del polinomio P(x)=x2−5x−6
El teorema del resto nos dice que si un valor a hace que el polinomio valga 0, entonces x−a es divisor. Luego solo tenemos que encontrar los valores de x que verifiquen x2−5x−6=0 Es decir tenemos que resolver la ecuación de segundo grado, y aplicando la formula obtenemos:
18
Apuntes de álgebra
5±√25−4 ·1· (−6)2
=5±72
={x1 = −1x2 = 6
Es decir, los valores -1 y 6 hacen que el polinomio sea 0, y según el teorema del resto el polinomio es divisible entre x−6 y x+1
Es decir, x−6 y x+1 son divisores del polinomio, y como entre los grados de los dos suman el grado del polinomio podemos escribir
P (x)= x2−5x−6 = (x+1)( x−6)
Consecuencia
Si la ecuación correspondiente a un polinomio de segundo grado no tiene soluciónentonces el polinomios es irreductible.
Relación entre términos independientes de múltiplos y divisores
Si un polinomio es divisible entre x±a y el número a es entero, entonces a es divisor del término independiente del polinomio.
Descomposición factorial de polinomios
Hemos visto que los polinomios tienen la operación de división, al igual que los números, que hay polinomios divisibles y polinomios irreductibles, al igual que números compuestos y primos, luego es lógico que los polinomios se puedan descomponer igual que los números.
Descomponer un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios irreductibles. En los casos que vamos a estudiar los polinomios irreductibles serán de grados 0, 1 ó como mucho 2. Nunca van a tener un grado mayor.
El mecanismo para descomponer un polinomio tiene los siguientes pasos, y se deben dar en este orden, si se cambia el resultado puede no ser correcto.
1. Extraemos factor común del polinomio, si es posible.
2. Si el polinomio resultante es de grado 2 pasamos al paso 5.
3. Buscamos, por Ruffini un divisor de la forma x±a . Para esto tanteamos con divisores del termino independiente del polinomio.
4. Si el cociente de la división anterior es de grado mayor que dos repetimos elpaso 3 con este cociente. Cada vez que repetimos el paso 3 obtenemos un divisor de la forma x±a . (el número a se puede repetir varias veces)
5. Tenemos un polinomio de la forma P(x)=ax2+bx+c , resolvemos la ecuaciónax2+bx+c=0
6. Dependiendo de el número de soluciones que nos dé tenemos varios casos.
19
Apuntes de álgebra
6.1. Si hay dos soluciones x1 y x2 el producto de factores que nos queda es a ·(x−x1) ·(x−x2)
6.2. Si solo hay una solución x1 el producto de factores que nos queda esa ·(x−x1)
2
6.3. Si no hay solución el polinomio P(x)=ax2+bx+c es irreductible.
Vamos a verlo con un ejemplo:
Descomponer 2x4−2x3−10x2−6x
1. Extraemos factor común. Se ve que todos los coeficientes son divisibles entre 2; y que todos los monomios tienen la variable x, cuyo menor exponente es 1. Con lo cual el factor común es 2x y nos queda
2x4−2x3−10x2−6x=2x ·x3−x2−5x−3
2. El polinomio del paréntesis es de tercer grado, luego tenemos que intentar dividirlo por Ruffini. El término independiente es -6, con lo que tendremos que intentarlo con ±1, ±2, ±3 y ±6 , hasta que con uno de ellos salga 0. Probamos con -1:
1 -1 -5 -3-1 -1 2 3
1 -2 -3 0Como el resto es 0 la división es exacta, y ya tenemos otro factor x1(recuerda que con Ruffini hay que cambiar el número de signo)
3. El polinomio que nos queda x2−2x−3 es de segundo grado, con lo que resolvamos la ecuación. Identificamos los coeficientes que sona=1, b=−2, c=−3 y aplicamos la formula
2± 4−4 ·1 ·−32
=2±42
={x1=−1x2=3
Entonces los factores que nos faltan son 1· x1·x−3
4. Y recopilando todos los factores 2x , x1 , 1· x1· x−3 tenemos que ladescomposición del polinomio es (organizandolo un poco):
2x4−2x3−10x2−6x = 2x · x1 ·1· x1· x−3 = 2x · x12 · x−3
Ejercicios de polinomios
1. Reduce al máximo posible las siguientes expresiones:
a. x2−3x−7−3 x24 x2 b. 3 x2−x2x3−3 x5 x3−3 x212c. 2x2− x5−−2x23x−2 d. 5 x3−2x24x3− xx3−2 x29
2. Realiza los siguientes productos de polinomios
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Apuntes de álgebra
a. x22 x3x3− x2−2x1 b. 2x4 x2−32x2−2x3c. 3x2−5 x 2x34 x2−x2 d. x4−2 x22x2−2x3
3. Dados los polinómios A=3x27 x−5 B=x3 C=4−2 x calcula:
(Recuerda que a la hora de sustituir el nombre de un polinomio por su expresión tienes que ponerla entre paréntesis, excepto si está sumando)
a. AB−C b. A−B ·C c. AB2
4. Dados los polinómios A=2x1 B=x2− x3 C=1−2 x calcula (3 puntos):
a. AB− x ·C b. A−B ·C c. C2−B
5. Opera y reduce lo máximo posible:
a. 1−2x3
−26x2−3 x
12−x b. 2 x2−3 x2· x3−4
c. x2 x3−3 x5− x ·2 x4x3−3 x25 x d. −26
x2−
1−2x3
5 x32−2 x
e. x22 x−5·x2
−31 f. 2 x2 −2 x3−x2
5 x5 −x · x4−2x3
3 x25 x
6. Faltan divisiones (coger de 4º)
7. Extrae factor común en los siguientes polinomios.
a. 5 x315x2 b. 4 x3−2x25 x c. 8 x3 y4−4 x2 y d. 2a2b3−a2b3
e. 5 x315x2 f. 4 x3−2 x25 x g. 8 x3 y4−4 x2 y h. 2a2b3−a2b3
8. Desarrolla las siguientes identidades notables.
a. x22 b. 3x−12 c. x22x2 d. x2x−2
e. 2x22 f. 5x− y 2 g. 3x22x 2 h. x12x−
12
i. 6x2x26x−2x2 j. x2 y5 y32 k. 3xy2−2x2 y 2 l. 23 x− 1
6y2 2
1.
21
Apuntes de álgebra
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios, y al igual que las fracciones numéricas se puede operar con ellas, e incluso se pueden simplificar.
Simplificación de fracciones algeraicas
Para simplificar fracciones algebraicas tenemos que descomponer numerador y denominador, y dividimos los factores comunes (recuerda que los factores están
multiplicando, enx3x
no se pueden simplificar las x)
Ejemplo:
Simplificar la fracciónx3−x
x22x1
Descomponemos en factores el numerador y el denominador, y sale:
• x3−x = x · x1·x−1
• x22x1 = x12
Es decir la fracción esx ·x1· x−1
x12y tiene de factores comunes x1 con lo
que quedax · x1· x−1
x12=x · x−1x1
Suma (y resta) de fracciones algebraicas
Sucede lo mismo que con las fracciones numéricas, que solo podemos sumar fracciones con el mismo denominador, con lo que si no tienen el mismo denominador hay que hacer demoninador común, y se hace exactamente igual que con los números, descomponiendo los denominadores y cogiendo factores comunes y no comunes con el mayor exponente; es decir hacemos el mínimo común múltiplo.
Ejemplo:
Realiza la siguiente suma:x
x2−1
2x
x22x1
1. Descomponemos los denominadores:
• x2−1 = x1·x−1
• x22x1 = x12
2. El mínimo común multiplo es x12·x−1
22
Apuntes de álgebra
3. Rescribimos la suma de fracciones con el denominador común (si escribes las fracciones originales con el denominador descompuesto es más fácil escribir las fracciones con el denominador común)
xx1· x−1
2x
x12=
x ·x1
x12 ·x−1
2x ·x−1
x12 · x−1
4. Resolvemos los numeradores y sumamos
x · x1
x12 ·x−1
2x ·x−1
x12 ·x−1=
x2 x
x12 ·x−1
2x2−2x
x12 ·x−1=
3x2− x
x12 ·x−1
5. Simplificamos, si es posible
3x2−x
x12 ·x−1=
x ·3x−1
x12·x−1
En este caso se ve que el numerador y el denominador no tienen factores comúnes, con lo que no es posible simplificar.
Producto de fraciones algebraicas
Es igual que con las fraciones numéricas, multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador, y simplificamos. Lo mejor es no hacer las multiplicaciones completas, porque luego hay que descomponer para simplificar y sería hacer el doble de trabajo.
Ejemplo:
Realiza 2xx1
·x2xx−2
Multiplicamos las fracciones 2xx1
·x2xx−2
=2x ·x2x
x1x−2, descomponemos el
resultado 2x · x2 xx1x−2
=2x2x1
x1x−2y simplificamos 2x2x1
x1x−2=
2x2
x−2
Entonces el resultado de la multiplicación es 2xx1
·x2xx−2
=2x2
x−2
División de fracciones algebraicas
Al igual que en el caso de la multiplicación, la división de fracciones algebraicas es igual que la división de fracciones numéricas: multiplicamos en cruz y simplificamos. Como en el caso de la multiplicación lo mejor es no hacer las multiplicaciones completas, porque luego hay que descomponer para simplificar ysería hacer el doble de trabajo.
23
Apuntes de álgebra
Ecuaciones de primer gradoLo mejor es empezar por definir lo que es una ecuación: una ecuación es una expresión algebraica que tiene que cumplir una condición, que viene expresada por un igual. Ejemplos:
5 ∙ x2=3 3 ∙ x−5=2 ∙ x+1
xy=4
Una ecuación de primer grado es una ecuación en la que solo participan polinomios de grado 1. En los ejemplos del párrafo anterior solo sería una ecuación de primer grado la segunda, ya que en la primera hay un polinomio de grado 2 y en la tercera aparece una expresión que no es un polinomio.
Se llaman miembros de una ecuación a cada una de las expresiones que están a los lados del igual. En 3 ∙ x−5=2 ∙ x+1 el miembro izquierdo (o primer miembro) es 3·x-5, y el miembro derecho (o segundo miembro) es 2·x+1.Se llama término de una ecuación a cada uno de los monomios que aparecen en ella. En el ejemplo anterior los miembros son 3·x, -5, 2·x, y 1. 3·x y -5 son lostérminos del primer miembro y 2·x y 1 los términos del segundo miembro.
Soluciones una ecuación consiste en encontrar los valores de las variables que hacer que se cumpla la condición. A los valores de las variables que hacen que se cumpla la igualdad se les llama soluciones de la ecuación. Por ejemplo: la soluciónde 3·x+1=10 es x=9, ya que si sustituimos la x por 9 nos queda: 3·3+1=10, con lo cual la igualdad se cumple.
Ecuaciones equivalentes: se llaman ecuaciones equivalentes a las que tienen las misma soluciones. Por ejemplo: x=1 y 2·x=2 tienen la misma solución.
Regla 1 para obtener ecuaciones equivalentes: si a una ecuación le sumamos, o restamos, el mismo término a ambos miembros, obtenemos una ecuación equivalente. Por ejemplo, 3·x+1=5·x, si sumamos 7 a ambos miembrosnos queda la ecuación 3·x+8=5·x+7, que tiene la misma solución, es decir es una ecuación equivalente a la primera. Si a 3·x+1=5·x le restamos 5·x a ambos miembros nos queda la ecuación equivalente 3·x+1-5·x=5·x-5·x, que aplicando las operaciones con monomios se convierte en -2·x+1=0, y tiene la misma solución que 3·x+1=5·x.Consecuencia: si en una ecuación cambiamos un término de miembro tenemos que cambiarle de signo para que la ecuación sea equivalente: en 2·x=1+x podemos cambiar la x del segundo miembro al primero cambiándola de signo, y nos quedaría 2·x-x=1, y tras sumar los monomios x=1Regla 2 para obtener ecuaciones equivalentes: si en una ecuación multiplicamos, o dividimos, ambos miembros por un número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente. Ejemplo: 3·x=9, si multiplicamos ambos miembros por 2 obtenemos la ecuación equivalente 6·x=18. Si 3·x=9 dividimos ambos miembros por 3 nos queda x=3, que es equivalente.
24
Apuntes de álgebra
Método para resolver ecuaciones de primer grado SIN fracciones: esto se va a ver con un ejemplo, 3·x+1=5·x-1.
1. Se ponen en un miembro todos los términos que tengan x y en el otro los que no la tengan, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro tiene que cambiar de signo. En el ejemplo que tenemos nos llevaremos el 5·x de la derecha a la izquierda y el 1 de la izquierda a la derecha, y teniendo en cuenta el cambio de signo nos queda: 3·x-5·x=-1-1.
2. Se suman todos los monomios que se puedan sumar, con lo que en el ejemplo nos quedará -2·x=-2.
3. Finalmente se dividen ambos miembros de la ecuación por el coeficiente del monomio que tiene la x, y el valor que nos quede en el miembro en el que no está la x es la solución. En el ejemplo el coeficiente de -2·x es -2,
con lo que dividimos ambos miembros por -2:−2 ∙ x−2
=−2−2
, y tras hacer las
divisiones nos queda x=1, que es la solución de la ecuación 3·x+1=5·x-1.Podemos comprobarlo sustituyendo x por el valor de la solución: 3·1+1=5·1-1, y operando nos da 4=4, es decir se cumple la condición si x=1.
Método para resolver ecuaciones de primer grado CON fracciones: si en laecuación hay algún término en el que aparezcan fracciones se hará lo siguiente:
1. Se ponen todos los términos enteros en forma de fracción, es decir con denominador 1.
2. Se reducen todas las fracciones a denominador común.3. Nos quedamos con los numeradores y procedemos como en el caso de sin
fracciones.
Ejemplo:23
∙ x+14=x+3 . Lo reescribimos con todos los términos en forma de
fracción2 ∙ x3
+14=
x1+
31
, y hacemos denominador común. El mínimo común
múltiplo de 1, 3 y 4 es 12, con lo que el nuevo denominador será 12:8 ∙ x12
+312
=12 ∙ x
12+
3612
, y nos quedamos solo con los numeradores, con lo que la
ecuación nos queda 8·x+3=12·x+36. Aplicando los pasos del punto anterior sale:
paso1: 8·x-12·x=36-3, paso 2: -4·x=33, paso 3: x=33−4
=−334
. Con lo que la
solución de la ecuación es x=−334
Método para hacer ecuaciones en las que aparecen paréntesis: si en la ecuación aparecen términos entre paréntesis debemos hacer lo siguiente:
25
Apuntes de álgebra
1. Operar dentro del paréntesis todo lo que sea posible, ya que habrá monomios que no podamos sumar.
2. Quitar el paréntesis, haciendo la operación que se indique según estas reglas:1. Si delante del paréntesis hay un signo “+” se quita el paréntesis sin
hacer nada más: 3+(x-2)=3+x-2.2. Si hay un signo menos se quita el paréntesis cambiando de signo a
cada uno de los términos que hay dentro del paréntesis: 2-(2·x-5)=2-2·x+5; 4-(-3·x+2)=4+3·x-2
3. Si lo que hay es un número multiplicando, entonces se multiplica el número (incluido el signo) por todos y cada uno de los términos que hay dentro del paréntesis: 5·(3-x)=15-5·x; 2-3·(2·x+1)=2-6·x-3; 1-5·(-x-2)=1+5·x+10
3. Se procede como en los casos anteriores, dependiendo de si hay o no fracciones.
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