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Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales Álgebra Lineal - p. 1/77

Álgebra LinealMa1010

Introducción a los sistemas de ecuaciones linealesDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionEcuacion LinealSELRepresentacionMatricialSolucionClasificacion SELEliminacionManipulacion deEcuacionesOperacionesElementalesOperaciones deRenglonEliminacionRevisadaComentario Finales


Introducción

En esta sección se introducen los conceptosbásicos referentes a los sistemas de ecuacioneslineales. Definiremos cuándo una ecuación es unaecuación lineal y cuándo se tiene un sistema deecuaciones lineales. La matriz aumentada delsistema se utilizará para representarconvenientemente el total de la información delsistema y se describirá cómo la manipulación deella equivale a la manipulación del sistema deecuaciones. Asimismo, se introducirá la idea de laestrategia de eliminación gaussiana para resolverun sistema de ecuaciones basado ciertasoperaciones llamadas operaciones elementales.



Ecuación lineal

Una ecuación lineal con n variables x1, x2, . . . , xn

es una igualdad matemática que puede escribirseen la forma:

a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn = b



Ecuación lineal



a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn = b

Los ai se conocen como los coeficientes de laecuación, y a b se le llama el término constante.



Ecuación lineal



a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn = b

Los ai se conocen como los coeficientes de laecuación, y a b se le llama el término constante.Las variables o incógnitas xi representancantidades desconocidas que se deseandeterminar.



Ecuación lineal



a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn = b

Los ai se conocen como los coeficientes de laecuación, y a b se le llama el término constante.Las variables o incógnitas xi representancantidades desconocidas que se deseandeterminar. Si el valor de b es cero, se dice que laecuación es una ecuación homogénea.



Dada la ecuación (1), a la nueva ecuación

a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn = 0

se le conoce como la ecuación homogéneaasociada.



Dada la ecuación (1), a la nueva ecuación

a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn = 0

se le conoce como la ecuación homogéneaasociada. Es común convenir en unordenamiento de las incógnitas xi; de acuerdo aese orden, a la primera de ellas que no tengacoeficente cero se le llamará variable delantera,mientras que las restantes se les llamaránvariables libres.



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen ecuacioneslineales:

1. −x− y = −4− 2 x− 3 y

2. x+√2 y = 2w + 4 z

3. 5 x y + 5 z = −1 + w

4. x+ 5 y + z = 5

x

5. −x− 4 y4 = z

6. 5 x+ y + 5 z = 1 + 5 y

7. cos (x) + 2 y − 3 z = 1

8. 5√x+ y + z = 1



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen ecuacioneslineales:

1. −x− y = −4− 2 x− 3 y

2. x+√2 y = 2w + 4 z

3. 5 x y + 5 z = −1 + w

4. x+ 5 y + z = 5

x

5. −x− 4 y4 = z

6. 5 x+ y + 5 z = 1 + 5 y

7. cos (x) + 2 y − 3 z = 1

8. 5√x+ y + z = 1

Soluci onSólamente las opciones 1, 2 y 6 contieneecuaciones lineales. Los términos resaltadosimpiden que pueda llevarse a la forma canónica �



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen ecuacioneslineales y homogéneas:

1. x+ y + z = 1− 4 y

2. x = w − 2 y2

3. −2 x− 3 y = 5− 4 x− 9 y

4. x+ y = w + z

5. −3− 4 x = −3− 3 x+ 5 y

6. x+ x y + z = 0



Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen ecuacioneslineales y homogéneas:

1. x+ y + z = 1− 4 y

2. x = w − 2 y2

3. −2 x− 3 y = 5− 4 x− 9 y

4. x+ y = w + z

5. −3− 4 x = −3− 3 x+ 5 y

6. x+ x y + z = 0

Soluci onSólamente las opciones 4 y 5 contiene ecuacioneslineales homogéneas. 2 y 6 no son lineales. 1 y 3son lineales pero no homogéneas �



Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones simultáneas, o tambiénllamado un sistema lineal, es un conjunto deecuaciones lineales.



Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones simultáneas, o tambiénllamado un sistema lineal, es un conjunto deecuaciones lineales.

a1 1 x1 + a1 2 x2 + · · · + a1n xn = b1

a2 1 x1 + a2 2 x2 + · · · + a2n xn = b2...

am 1 x1 + am 2 x2 + · · · + amn xn = bm



Representación matricial

La matriz aumentada de un sistema lineal es unamatriz que representa el total de la información delsistema. Para formar la matriz aumentada,primeramente se conviene en un ordenamientopara las incógnitas del sistema. Seguido de ello,cada ecuación es reescrita en la forma canónicade acuerdo a tal orden. Si el sistema tiene mecuaciones y n incógnitas la matriz aumentadatendrá dimensión m× (n+ 1), donde cada renglónde ella contendrá la información de la ecuacióncorrespondiente.



Cada una de las primeras n columnas de la matrizestarán asociadas a una incógnita y estarándispuestas en el orden acordado: la primeracolumna relacionada con la primera incógnita, lasegunda columna con la segunda incógnita,etcétera. La última columna estará asociada a lossegundos miembros de cada ecuación. Entérminos precisos, si a es el coeficiente en laecuación i de la variable j, entonces el elemento(i, j) en la matriz aumentada es a. Por otro lado, sib es el término constante en la ecuación i,entonces la matriz aumentada del sistema tendrá ben la posición (i, n+ 1).



Ejemplo

Construya la matriz aumentada para el sistemalineal:

3 x− 5 z = −1y + 2 x− z = 0

2 y − 4 z = 4



Ejemplo


3 x− 5 z = −1y + 2 x− z = 0

2 y − 4 z = 4

El sistema se puede reescribir como:

3 x +0 y −5 z = −12 x +1 y −1 z = 0

0 x +2 y −4 z = 4



Ejemplo


3 x− 5 z = −1y + 2 x− z = 0

2 y − 4 z = 4

Así, la matriz aumentada es:

3 0 −5 −12 1 −1 0

0 2 −4 4



Ejemplo


3 x− 5 z = −1y + 2 x− z = 0

2 y − 4 z = 4

3 0 −5 : −12 1 −1 : 0

0 2 −4 : 4

ó

3 0 −5 −12 1 −1 0

0 2 −4 4



Para el ejemplo anterior, la matriz de coeficientes yel vector de términos constantes sonrespectivamente:

3 0 −52 1 −10 2 −4

y

−10

4



Solución particular y general

Una solución a una ecuación es una asignaciónxi = ci a cada una de las incógnitas que alrealizarse hace que la ecuación se convierta enuna identidad. En general, distinguiremos dostipos de soluciones. Cuando en cada asignaciónxi = ci las ci tengan sólo constantes diremos quese tiene una solución particular. Mientras que si enalguna de ellas aparecen par ametros libres se diráque se tiene una solución. Por otro lado, lasolución general para una ecuación es una fórmulamatemática de donde pueden ser obtenidas todaslas soluciones a ella: usualmente estas fórmulascontienen variables o parámetros libres.



El concepto de solución a un sistema deecuaciones lineales es una extensión directa alconcepto de solución a una ecuación poniendo demanifiesto la simultaneidad del problema: Unaasignación del tipo x1 = r1, x2 = r2, . . . , xn = rnpara las incógnitas de un sistema, se dice solucióna un sistema lineal, si esta sustitución es unasolución a todas y cada una de las ecuaciones delsistema. Si un sistema tiene al menos unasolución se llama sistema consistente; en casocontrario, se dice sistema inconsistente.



Ejemplo

Verifique que x = 3, y = −1, z = 2 es solución a:

2 x+ y − 3 z = −1



Ejemplo

Verifique que x = 3, y = −1, z = 2 es solución a:

2 x+ y − 3 z = −1

Soluci onSustitiyendo los valores de cada incógnita en laecuación obtenemos:

2 (3) + (−1)− 3 (2) = −1−1 = −1

Como queda una identidad, x = 3, y = −1, z = 2es solución a la ecuación �



Ejemplo

Verifique que x = 3, y = −1, z = 2 es solución alsistema:

2 x + y − 3 z = −1x − y − 2 z = 0

x + 2 y + z = 2



Ejemplo

Verifique que x = 3, y = −1, z = 2 es solución alsistema:

2 x + y − 3 z = −1x − y − 2 z = 0

x + 2 y + z = 2

Soluci onSustitiyendo en cada ecuación tenemos:

2 (3) + (−1)− 3 (2) = −1 =1 −1(3)− (−1)− (2) = 0 =2 0

(3) + 2(−1) + (2) = 3 =3 2

Como la tercera de estas igualdades no secumple, x = 3, y = −1, z = 2 no es solución alsistema dado�



Ilustremos un poco la naturaleza de los sistemasde ecuaciones lineales. Los siguientes ejemploscontienen sistemas de ecuaciones y surepresentación gráfica. En dichos ejemplos, seilustra cómo son los posibles conjuntos solución:cuando la solución consta de un sólo punto,solución única, cuando el número de solucioneses infinito, y cuando no existe ninguna solución alsistema.



Ejemplo

Sistema con solución única:3 x+ 2 y = 6

x− y = 0

-

6

1 2 3 x

1

2

3

y

��

��

��

��

JJJJJJJJ

JJ

q

x − y = 0

3 x + 2 y = 6



Ejemplo

Sistema con infinitas soluciones:

3 x+ 2 y = 6

6 x+ 4 y = 12

-

6

1 2 3 x

1

2

3

yJJJJJJJJJJ

3 x + 2 y = 6

6 x + 4 y = 12



Ejemplo

Sistema inconsistente:

3 x+ 2 y = 6.3

3 x+ 3 y = 5.8

-

6

1 2 3 x

1

2

3

y

JJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJ

3 x + 2 y = 6.3

3 x + 2 y = 5.8



Ejemplo

Sistema con solución única:

x+ 3 y − z = 4

−2 x+ y + 3 z = 9

4 x+ 2 y + z = 110

100

1 2

1

x2

3

2

y3

4

3

4

z

4

5

6

�



Ejemplo

Sistema con infinitas soluciones:

x+ 2 y − z = 4

2 x+ 5 y + 2 z = 9

x+ 4 y + 7 z = 6

-4

-2y

0

2

4

-4

-2

0x

2

4 �



Ejemplo


y − 2 z = −52 x− y + z = −24 x− y = −4

-4

-4

-4

-2

-2-2

0z

00

2

xy

4

2244

�



Ejemplo


2 x− y + z = 2

2 x− y + z = −22 x− y + z = 0

-4

-2y

0

2

4

-4

-2

0x

2

4 �



Ejemplo


2 x− y + z = 2

2 x− y + z = −22 x− 2 y + 3 z = 0

-4

-2y

0

2

4

-4

-2

0x

2

4 �



Clasificación de los sistemas de ecuaciones

Podemos clasificar los sistemas de ecuacionesrespecto a sus conjuntos solución:■ sistema consistente

◆ con solución única◆ con infinitas soluciones

■ sistema inconsistente



Método de solución a un sistema lineal

2 x + 3 y − 2 z = 1

2 y + z = −23 z = −6



Estos sistemas se resuelven mediante sustituciónhacia atrás. En nuestro ejemplo:■ De la última ecuación: z = −2,■ Con el valor anterior la segunda ecuación queda

2 y + (−2) = −2

por consiguiente y = 0,■ Sustituyendo las incógnitas despejadas la

primera ecuación queda:

2 x+ 3 (0)− 2 (−2) = 1

■ Por consiguiente x = −3/2 �



Viendo lo sencillo de resolver los sistemastriangulares, el problema de resolver un sistemade ecuaciones lineales se convierte en elproblema de transformar un sistema dado en unsistema de forma triangular que sea un sistemaequivalente a él, es decir, un sistema nuevo cuyoconjunto solución es el mismo que el conjuntosolución al sistema original.



Manipulación de ecuaciones

Cuando uno manipula sin cuidado una ecuación para resolverlapuede ocurrir que se pierdan soluciones o inclusive que se ganensoluciones que no lo son.




Cuando uno manipula sin cuidado una ecuación para resolverlapuede ocurrir que se pierdan soluciones o inclusive que se ganensoluciones que no lo son. Si para resolver la ecuación

x (x+ 3) = x

cancelamos x en ambos lados de la ecuación, y resolvemosobtenemos que la única solución es x = −2, lo cual es incorrectopues en la cancelación perdimos la solución x = 0.




Cuando uno manipula sin cuidado una ecuación para resolverlapuede ocurrir que se pierdan soluciones o inclusive que se ganensoluciones que no lo son. Si para resolver la ecuación

x (x+ 3) = x

cancelamos x en ambos lados de la ecuación, y resolvemosobtenemos que la única solución es x = −2, lo cual es incorrectopues en la cancelación perdimos la solución x = 0. Si por otro,para resolver la ecuación

−√x+ 2− 1 = 2x+ 3

despejamos el radical y elevamos al cuadrado, obtenemos laecuación cuadrática:

x+ 2 = (2x+ 4)2

la cual tiene como raíces x = −2 y x = −7/4, de las cuales

x = −7/4 no es raíz de la ecuación inicial.



De estos ejemplos concluimos que lamanipulación a un sistema de ecuaciones linealesa resolver debe hacerse con cuidado de maneraque no se pierdan o ganen soluciones incorrectas.Dos sistemas de ecuaciones son sistemasequivalentes si ambos tienen el mismo conjuntosolución. Nuestra forma de proceder serámanipular el sistema de ecuaciones de maneraque en cada paso se tenga un sistema equivalenteal sistema del paso anterior.



Operaciones elementales

Las tres reglas siguientes ayudan a triangularizarun sistema y garantizan la obtención de sistemasde ecuaciones equivalentes: estas reglas seconocen como operaciones elementales entre lasecuaciones del sistema. Las operacioneselementales con ecuaciones son:



■ Operaci on de Intercambio:

Ei ↔ Ej



■ Operaci on de Intercambio:

Ei ↔ Ej

SELinicial :

E1

...

Ei−1

Ei

Ei+1

...

Ej−1

Ej

Ej+1

...

En

Ei ↔ Ej−−−−−−−→ SELnuevo :

E1

...

Ei−1

Ej

Ei+1

...

Ej−1

Ei

Ej+1

...

En



■ Operaci on de Escalamiento:

Ei ← cEi, c 6= 0



■ Operaci on de Escalamiento:

Ei ← cEi, c 6= 0

SELinicial :

E1

...

Ei−1

Ei

Ei+1

...

En

Ei ← c · Ei−−−−−−−−−→ SELnuevo :

E1

...

Ei−1

cEi

Ei+1

...

En



■ Operaci on de Eliminaci on:

Ej ← Ej + cEi



■ Operaci on de Eliminaci on:

Ej ← Ej + cEi

SELinicial :

E1

...

Ei−1

Ei

Ei+1

...

Ej−1

Ej

Ej+1

...

En

Ej ← Ej + cEi−−−−−−−−−−−−→ SELnuevo :

E1

...

Ei−1

Ei

Ei+1

...

Ej−1

Ej + c · Ei

Ej+1

...

En



Es sencillo justificar que la aplicación de alguna de las tres

operaciones elementales anteriores convierten el sistema en uno

equivalente. Para ello debe demostrarse que una sustitución es

solución al primer sistema si y sólo si es solución al sistema

resultante. Como las operaciones cambian una o dos ecuaciones

basta razonar sobre las ecuaciones transformadas. Esta

demostración es realmente un ejercicio de escritura. Para llevar a

cabo las demostraciones use la siguiente notación. Sea X = Xo

una sustitución de la forma x1 = a1, x2 = a2, . . . , xn = an donde

las xi representan las incógnitas del sistema y ai representan

números reales. Diremos que la ecuación E : IE = DE satisface

X = Xo si el valor obtenido de sustitituir X = Xo en el lado

izquierdo, representado por Sus(X = Xo, IE), es igual al valor

obtenido de sustituir X = Xo en el lado derecho, representado por

Sus(X = Xo, DE).



Operaciones elementales de renglón

Las operaciones elementales de renglón son:■ Intercambio:

Ri ↔ Rj

■ Escalamiento:

Ri ← cRi, c 6= 0

■ Eliminaci on:

Rj ← Rj + cRi



Ejemplo

Resuelva el sistema:

−x + y − z = 1

−2 x + y + 3 z = 10

3 x + y + 2 z = 3

El sistema y su matriz aumentada queda:

−x + y − z = 1

−2 x + y + 3 z = 10

3 x + y + 2 z = 3

y

−1 1 −1 1

−2 1 3 10

3 1 2 3



Después de E2 ← E2 + (−2)E1 y E3 ← E3 + 3E1 (ó R2 ← R2 + (−2)R1 y R3 ← R3 + 3R1)obtenemos:

−x + y − z = 1

− y + 5 z = 8

+ 4 y − z = 6

y

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 4 −1 6



Después de E2 ← E2 + (−2)E1 y E3 ← E3 + 3E1 (ó R2 ← R2 + (−2)R1 y R3 ← R3 + 3R1)obtenemos:

−x + y − z = 1

− y + 5 z = 8

+ 4 y − z = 6

y

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 4 −1 6

Después de E3 ← E3 + 4E2 ( ó R3 ← R3 + 4R2)obtenemos:



−x + y − z = 1

− y + 5 z = 8

+ 19 z = 38

y

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 19 38



−x + y − z = 1

− y + 5 z = 8

+ 19 z = 38

y

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 19 38

Después de E3 ← 1

19E3 (ó R3 ← 1

19R3)

obtenemos:



−x + y − z = 1

− y + 5 z = 8

+ z = 2

y

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 1 2



−x + y − z = 1

− y + 5 z = 8

+ z = 2

y

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 1 2

Después de E2 ← E2 + (−5)E3 y E1 ← E1 + E3 (ó R2 ← R2+(−5)R3 y R1 ← R1+R3) obtenemos:



−x + y = 3

− y = −2+ z = 2

y

−1 1 0 3

0 −1 0 −20 0 1 2



−x + y = 3

− y = −2+ z = 2

y

−1 1 0 3

0 −1 0 −20 0 1 2

Después de E1 ← E1 + E2 ( ó R1 ← R1 +R2):



−x = 1

− y = −2+ z = 2

y

−1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 1 2

Después de E1 ← (−1)E1 y E2 ← (−1)E2 ( óR1 ← (−1)R1 R2 ← (−1)R2):

x = −1y = 2

z = 2

y

1 0 0 −10 1 0 2

0 0 1 2

La solución es x = −1, y = 2, y z = 2.


−1 1 −1 1

−2 1 3 10

3 1 2 3


−1 1 −1 1

−2 1 3 10

3 1 2 3

R2 ← R2 + (−2)R1

R3 ← R3 + 3R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→


−1 1 −1 1

−2 1 3 10

3 1 2 3

R2 ← R2 + (−2)R1

R3 ← R3 + 3R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 4 −1 6


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 4 −1 6


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 4 −1 6

R3 ← R3 + 4R2−−−−−−−−−−−−→


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 4 −1 6

R3 ← R3 + 4R2−−−−−−−−−−−−→

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 19 38


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 19 38


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 19 38

R3 ←1

19R3

−−−−−−−−−→


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 19 38

R3 ←1

19R3

−−−−−−−−−→

−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 1 2


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 1 2


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 1 2

R2 ← R2 + (−5)R3

R1 ← R1 +R3

−−−−−−−−−−−−−−−−→


−1 1 −1 1

0 −1 5 8

0 0 1 2

R2 ← R2 + (−5)R3

R1 ← R1 +R3

−−−−−−−−−−−−−−−−→

−1 1 0 3

0 −1 0 −20 0 1 2


−1 1 0 3

0 −1 0 −20 0 1 2


−1 1 0 3

0 −1 0 −20 0 1 2

R1 ← R1 +R2−−−−−−−−−−−→


−1 1 0 3

0 −1 0 −20 0 1 2

R1 ← R1 +R2−−−−−−−−−−−→

−1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 1 2


−1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 1 2


−1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 1 2

R1 ← (−1)R1

R2 ← (−1)R2

−−−−−−−−−−−−→


−1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 1 2

R1 ← (−1)R1

R2 ← (−1)R2

−−−−−−−−−−−−→

1 0 0 −10 1 0 2

0 0 1 2


−1 0 0 1

0 −1 0 −20 0 1 2

R1 ← (−1)R1

R2 ← (−1)R2

−−−−−−−−−−−−→

1 0 0 −10 1 0 2

0 0 1 2

Por tanto, la solución es: x = −1, y = 2, y z = 2 �



Ejemplo

Resuelva el sistema

2 x + 3 y + 9 z = 4

−3 x − 3 y − 18 z = −4x + 2 y + 3 z = 1



Ejemplo

Resuelva el sistema

2 x + 3 y + 9 z = 4

−3 x − 3 y − 18 z = −4x + 2 y + 3 z = 1

Soluci onManteniendo el orden de las incógintas x primero,y segundo, y z tercero la matriz aumentada delsistema queda:



Ejemplo

Resuelva el sistema

2 x + 3 y + 9 z = 4

−3 x − 3 y − 18 z = −4x + 2 y + 3 z = 1


2 3 9 4

−3 −3 −18 −41 2 3 1



Observe que para eliminar la variable x de lasegunda ecuación utilizando la primera ecuacióndeberíamos multiplicar la primera ecuación por 3/2lo cual hace que debamos manejar fracciones.



Observe que para eliminar la variable x de lasegunda ecuación utilizando la primera ecuacióndeberíamos multiplicar la primera ecuación por 3/2lo cual hace que debamos manejar fracciones.Que además de la dificultad natural que presentanse incurre en errores del tipo númerico cuando esnecesario redondear números.



Observe que para eliminar la variable x de lasegunda ecuación utilizando la primera ecuacióndeberíamos multiplicar la primera ecuación por 3/2lo cual hace que debamos manejar fracciones.Que además de la dificultad natural que presentanse incurre en errores del tipo númerico cuando esnecesario redondear números. Por otro lado, sidividimos la ecuación 1 entre dos para que lasoperaciones se simplifiquen de nuevo aparecenfracciones.



Observe que para eliminar la variable x de lasegunda ecuación utilizando la primera ecuacióndeberíamos multiplicar la primera ecuación por 3/2lo cual hace que debamos manejar fracciones.Que además de la dificultad natural que presentanse incurre en errores del tipo númerico cuando esnecesario redondear números. Por otro lado, sidividimos la ecuación 1 entre dos para que lasoperaciones se simplifiquen de nuevo aparecenfracciones. Aprovecharemos mejor el uno queaparece en la ecuación 3 es conveniente primeroel intercambio de los renglones 1 y 3.


Intercambiando en la matriz los renglones 1 y 3:

2 3 9 4

−3 −3 −18 −41 2 3 1



2 3 9 4

−3 −3 −18 −41 2 3 1

R1 ↔ R3−−−−−−−−−−−→



2 3 9 4

−3 −3 −18 −41 2 3 1

R1 ↔ R3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1

−3 −3 −18 −42 3 9 4



2 3 9 4

−3 −3 −18 −41 2 3 1

R1 ↔ R3−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1

−3 −3 −18 −42 3 9 4

Uilizando la ecuación (el renglón) 1, que se llamará ecuación(renglón) pivote, debemos hacer que las ecuaciones(renglones) inferiores no tengan la variable x, es decir, quetengan como coeficiente de x cero.


Sumando al renglón 2 el renglón1 multiplicado por 3, y alrenglón 3 el renglón 1 multiplicado por -2 obtenemos:

1 2 3 1

−3 −3 −18 −42 3 9 4



1 2 3 1

−3 −3 −18 −42 3 9 4

R2 ← R2 + (3)R1

R3 ← R3 + (−2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→



1 2 3 1

−3 −3 −18 −42 3 9 4

R2 ← R2 + (3)R1

R3 ← R3 + (−2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2



1 2 3 1

−3 −3 −18 −42 3 9 4

R2 ← R2 + (3)R1

R3 ← R3 + (−2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2

Ahora procederemos a eliminar la y de la ecuación 3.



1 2 3 1

−3 −3 −18 −42 3 9 4

R2 ← R2 + (3)R1

R3 ← R3 + (−2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2

Ahora procederemos a eliminar la y de la ecuación 3. Comoen la discusión inicial, aprovecharemos que en el renglón 3aparece el coeficiente 1.


Intercambiando los renglones 2 y 3 obtenemos:

1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2



1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2

R2 ↔ R3−−−−−−−→



1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2

R2 ↔ R3−−−−−−−→

1 2 3 1

0 −1 3 2

0 3 −9 −1



1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2

R2 ↔ R3−−−−−−−→

1 2 3 1

0 −1 3 2

0 3 −9 −1

Sumando al renglón 3 el renglón 2 multiplicado por 3obtenemos:

1 2 3 1

0 −1 3 2

0 3 −9 −1

R3 ← R3 + (3)R2−−−−−−−−−−−−−→



1 2 3 1

0 3 −9 −10 −1 3 2

R2 ↔ R3−−−−−−−→

1 2 3 1

0 −1 3 2

0 3 −9 −1

Sumando al renglón 3 el renglón 2 multiplicado por 3obtenemos:

1 2 3 1

0 −1 3 2

0 3 −9 −1

R3 ← R3 + (3)R2−−−−−−−−−−−−−→

1 2 3 1

0 −1 3 2

0 0 0 5



El último renglón de esta matriz estárepresentando la ecuación:

0 x+ 0 y + 0 z = 5




0 x+ 0 y + 0 z = 5

Es decir,0 = 5




0 x+ 0 y + 0 z = 5

Es decir,0 = 5

Evidentemente esta relación nunca se puedesatisfacer.




0 x+ 0 y + 0 z = 5

Es decir,0 = 5

Evidentemente esta relación nunca se puedesatisfacer. Por tanto, el sistema es inconsistente:conjunto solución es el conjunto vacío �



Regla general para inconsistencia:

Si en cualquier paso de la eliminaciónaparece un renglón en la matriz aumentadacon ceros excepto el elementocorrespondiente a la constante, el sistemaserá inconsistente. (No se requiere terminarel proceso de eliminación.)



Ejemplo

Resuelva el sistema

2 x + y + 3 z = 2

−3 x − 3 y − 3 z = −24 x + 11 y − 3 z = −2



Ejemplo

Resuelva el sistema

2 x + y + 3 z = 2

−3 x − 3 y − 3 z = −24 x + 11 y − 3 z = −2


2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2



Note que ahora no tenemos la fortuna de tener un1 como primer coeficiente. Ni tampoco la divisióndel renglón primero por 2 es una buena opción.



Note que ahora no tenemos la fortuna de tener un1 como primer coeficiente. Ni tampoco la divisióndel renglón primero por 2 es una buena opción.En estos casos y cuando queramos mantener losnúmero de la matriz enteros, lo que conviene esuna estrategia como la desarrollada en el métodoMontante.



Note que ahora no tenemos la fortuna de tener un1 como primer coeficiente. Ni tampoco la divisióndel renglón primero por 2 es una buena opción.En estos casos y cuando queramos mantener losnúmero de la matriz enteros, lo que conviene esuna estrategia como la desarrollada en el métodoMontante. En este método se hace que losrenglones donde se eliminará una variable sehagan múltiplos en el coeficiente a eliminar delcoeficiente pivote.



En este caso en el renglón 3, el elemento a hacercero es un cuatro el cual ya es múltiplo delelemento pivote que es el 2.



En este caso en el renglón 3, el elemento a hacercero es un cuatro el cual ya es múltiplo delelemento pivote que es el 2. Pero en el renglóndos, el elemento a eliminar -3 no es múltiplo deelemento pivote 2.



En este caso en el renglón 3, el elemento a hacercero es un cuatro el cual ya es múltiplo delelemento pivote que es el 2. Pero en el renglóndos, el elemento a eliminar -3 no es múltiplo deelemento pivote 2. Por consiguiente, sólomultiplicaremos de momento el renglón 2 por 2 demanera que el elemento a eliminar sea -6 el cuales ya múltiplo del elemento pivote 2.


Multiplicamos el renglón 2 por 2:

2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2



2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2

R2 ← 2×R2−−−−−−−−−−→



2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2

R2 ← 2×R2−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2



2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2

R2 ← 2×R2−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2

Procedemos a eliminar la variable x de los renglonesinferiores.



2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2

R2 ← 2×R2−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2


2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2



2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2

R2 ← 2×R2−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2


2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2

R2 ← R2 + (3)R1

R3 ← R3 + (−2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→



2 1 3 2

−3 −3 −3 −24 11 −3 −2

R2 ← 2×R2−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2


2 1 3 2

−6 −6 −6 −44 11 −3 −2

R2 ← R2 + (3)R1

R3 ← R3 + (−2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

0 −3 3 2

0 9 −9 −6



Es importante observar que el renglón 1 ya nodebe ser empleado como pivote para eliminar lavariable y en los siguientes pasos;



Es importante observar que el renglón 1 ya nodebe ser empleado como pivote para eliminar lavariable y en los siguientes pasos; pues si sequisiera eliminar la y utilizando el renglón 1,volveríamos a reaparecer la variable x en losrenglones inferiores arruinando el trabajo deeliminarla que ya hemos hecho.


Pocedamos a eliminar la variable y de la tercera ecuaciónsumado al tercer renglón 2 el segundo multiplicado por 3:

2 1 3 2

0 −3 3 2

0 9 −9 −6



2 1 3 2

0 −3 3 2

0 9 −9 −6

R3 ← R3 + (3)R2−−−−−−−−−−−−−→



2 1 3 2

0 −3 3 2

0 9 −9 −6

R3 ← R3 + (3)R2−−−−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

0 −3 3 2

0 0 0 0



2 1 3 2

0 −3 3 2

0 9 −9 −6

R3 ← R3 + (3)R2−−−−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

0 −3 3 2

0 0 0 0

Procedemos a trabajar con la variable y:

2 1 3 2

0 −3 3 2

0 0 0 0



2 1 3 2

0 −3 3 2

0 9 −9 −6

R3 ← R3 + (3)R2−−−−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

0 −3 3 2

0 0 0 0


2 1 3 2

0 −3 3 2

0 0 0 0

R2 ← −1

3R2

−−−−−−−−−−→



2 1 3 2

0 −3 3 2

0 9 −9 −6

R3 ← R3 + (3)R2−−−−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

0 −3 3 2

0 0 0 0


2 1 3 2

0 −3 3 2

0 0 0 0

R2 ← −1

3R2

−−−−−−−−−−→

2 1 3 2

0 1 −1 −2/30 0 0 0


Procedemos a eliminar la variable y de la primera ecuación:

2 1 3 2

0 1 −1 −2/30 0 0 0



2 1 3 2

0 1 −1 −2/30 0 0 0

R1 ← R1 + (−1)R2−−−−−−−−−−−−−−→



2 1 3 2

0 1 −1 −2/30 0 0 0

R1 ← R1 + (−1)R2−−−−−−−−−−−−−−→

2 0 4 8/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0



2 1 3 2

0 1 −1 −2/30 0 0 0

R1 ← R1 + (−1)R2−−−−−−−−−−−−−−→

2 0 4 8/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0

Y ahora trabajando con la variable x:

2 0 4 8/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0



2 1 3 2

0 1 −1 −2/30 0 0 0

R1 ← R1 + (−1)R2−−−−−−−−−−−−−−→

2 0 4 8/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0


2 0 4 8/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0

R1 ←1

2R1

−−−−−−−−→



2 1 3 2

0 1 −1 −2/30 0 0 0

R1 ← R1 + (−1)R2−−−−−−−−−−−−−−→

2 0 4 8/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0


2 0 4 8/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0

R1 ←1

2R1

−−−−−−−−→

1 0 2 4/3

0 1 −1 −2/30 0 0 0



Para encontrar la solución regresamos cadarenglón a su forma de ecuación.




1 x + 0 y + 2 z = 4/3

0 x + 1 y − 1 z = −2/30 x + 0 y + 0 z = 0




1 x + 0 y + 2 z = 4/3

0 x + 1 y − 1 z = −2/30 x + 0 y + 0 z = 0

Despejando sólo x y y obtenemos

x = 4/3− 2 z

y = −2/3 + z




1 x + 0 y + 2 z = 4/3

0 x + 1 y − 1 z = −2/30 x + 0 y + 0 z = 0


x = 4/3− 2 z

y = −2/3 + z

De donde observamos que queda una variable (z)sin restricción.




1 x + 0 y + 2 z = 4/3

0 x + 1 y − 1 z = −2/30 x + 0 y + 0 z = 0


x = 4/3− 2 z

y = −2/3 + z

De donde observamos que queda una variable (z)sin restricción. Esta variable se llamará variablelibre y su existencia indica que hay solucionesinfinitas�



Ejemplo

Resuelva el sistema

x − 2 y + 3 z = 18

2 x − 4 y + 7 z = 41

−2 x + 4 y − 6 z = −36



Ejemplo

Resuelva el sistema

x − 2 y + 3 z = 18

2 x − 4 y + 7 z = 41

−2 x + 4 y − 6 z = −36


1 −2 3 18

2 −4 7 41

−2 4 −6 −36


Procedemos a eliminar x de las ecuaciones 2 y 3:

1 −2 3 18

2 −4 7 41

−2 4 −6 −36



1 −2 3 18

2 −4 7 41

−2 4 −6 −36

R2 ← R2 + (−2)R1

R3 ← R3 + (+2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→



1 −2 3 18

2 −4 7 41

−2 4 −6 −36

R2 ← R2 + (−2)R1

R3 ← R3 + (+2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 3 18

0 0 1 5

0 0 0 0



1 −2 3 18

2 −4 7 41

−2 4 −6 −36

R2 ← R2 + (−2)R1

R3 ← R3 + (+2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 3 18

0 0 1 5

0 0 0 0

Procedemos a eliminar z de la ecuación 1:

1 −2 3 18

0 0 1 5

0 0 0 0



1 −2 3 18

2 −4 7 41

−2 4 −6 −36

R2 ← R2 + (−2)R1

R3 ← R3 + (+2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 3 18

0 0 1 5

0 0 0 0


1 −2 3 18

0 0 1 5

0 0 0 0

R1 ← R1 + (−3)R2−−−−−−−−−−−−−−→



1 −2 3 18

2 −4 7 41

−2 4 −6 −36

R2 ← R2 + (−2)R1

R3 ← R3 + (+2)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 3 18

0 0 1 5

0 0 0 0


1 −2 3 18

0 0 1 5

0 0 0 0

R1 ← R1 + (−3)R2−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 0 3

0 0 1 5

0 0 0 0




1 x − 2 y + 0 z = 3

0 x + 0 y + 1 z = 5

0 x + 0 y + 0 z = 0




1 x − 2 y + 0 z = 3

0 x + 0 y + 1 z = 5

0 x + 0 y + 0 z = 0

Despejando sólo x y z obtenemos

x = 3 + 2 y

z = 5




1 x − 2 y + 0 z = 3

0 x + 0 y + 1 z = 5

0 x + 0 y + 0 z = 0


x = 3 + 2 y

z = 5

De donde observamos que queda una variablelibre (y).




1 x − 2 y + 0 z = 3

0 x + 0 y + 1 z = 5

0 x + 0 y + 0 z = 0


x = 3 + 2 y

z = 5

De donde observamos que queda una variablelibre (y). Lo que indica que hay infinitassoluciones�



Ejemplo

Resuelva el sistema

x − 2 y + 1 z = 1

3 x − 6 y + 3 z = 3

−3 x + 6 y − 3 z = −3



Ejemplo

Resuelva el sistema

x − 2 y + 1 z = 1

3 x − 6 y + 3 z = 3

−3 x + 6 y − 3 z = −3


1 −2 1 1

3 −6 3 3

−3 6 −3 −3



1 −2 1 1

3 6 3 3

−3 6 −3 −3



1 −2 1 1

3 6 3 3

−3 6 −3 −3

R2 ← R2 + (−3)R1

R3 ← R3 + (+3)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→



1 −2 1 1

3 6 3 3

−3 6 −3 −3

R2 ← R2 + (−3)R1

R3 ← R3 + (+3)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0



1 −2 1 1

3 6 3 3

−3 6 −3 −3

R2 ← R2 + (−3)R1

R3 ← R3 + (+3)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

Convirtiendo el primer renglón en ecuación y despejando xobtenemos:

x = 1 + 2 y − z



1 −2 1 1

3 6 3 3

−3 6 −3 −3

R2 ← R2 + (−3)R1

R3 ← R3 + (+3)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0


x = 1 + 2 y − z

Como la solución tiene dos variables libres (y y z) el sistematiene soluciones infinitas.



1 −2 1 1

3 6 3 3

−3 6 −3 −3

R2 ← R2 + (−3)R1

R3 ← R3 + (+3)R1

−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 −2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0


x = 1 + 2 y − z

Como la solución tiene dos variables libres (y y z) el sistematiene soluciones infinitas. (Bastaba tener al menos unavariable libre) �



Eliminación matricial contra algebraica

Un punto que deberá quedar claro es cuál es elefecto del paso de eliminación, cuando esadecuadamente empleado.



Para ilustrar esto, supongamos que estamos en elproceso de solución de un sistema de ecuacioneslineales y que hemos arribado al paso:

+ a11 x + a12 y = b1

+ a22 y = b2

Sabemos que lo que debemos hacer es sustituir elvalor de y obtenido en la segunda ecuación en laprimera:

+a11 x+ a12 (b2/a22) = b2

y posteriormente debemos despejar al término enx de la primera ecuación:

+a11 x = b1 −a12a22

b2



Representado el sistema en el estado que se tomocomo inicial tendríamos:

[

a11 a12 b1

0 a22 b2

]

De acuerdo con el proceso de eliminacióndebemos aplicar la operación:[

a11 a12 b1

0 a22 b2

]

R1←R1−a12a22

R2

−−−−−−−−−→[

a11 0 b1 − a12a22

b2

0 a22 b2

]



Observamos que al aplicar el paso de eliminación,el efecto obtenido es el mismo que el sustituir elvalor de una variable ya despejada en unaecuación donde aparece.



Note que mientras que lo que se hacíapreviamente involucraba cuestiones algebraicas,en el manejo de matrices sólo involucra cuestionesaritméticas. Y por consiguiente, este proceso esfácil de implementar en un programa decomputadora mientras que en el primer casorequería de un sistema computacional capaz demanejo simbólico al involucrar sustitución ydespeje, y por consiguiente requeriría un sistemamás complejo.



Es también importante observar que el número deoperaciones aritméticas que se realizan en el casodel manejo matricial es igual al que se hace en elcaso de la sustitución algebraica.



En general: el resultado de sustituir en la ecuacióni (Ei) la incógnita k despejada de la ecuación j(Ej) equivale a realizar la operación deeliminación:

Ei ← Ei −aikajk

Ej

donde aik es el coeficiente de la incógnita k en laecuación i y ajk es el coeficiente de la incógnita ken la ecuación j. Note que si ajk es cero entoncesla operación no puede hacerse y desde el puntode vista operativo significa que la incógnita k noaparece en la ecuacion j y por tanto no puededespejarse de ella.



Es importante señalar que el proceso deeliminación utilizando operaciones del tipoEi ← Ei − aik

ajkEj es:

■ valido , al obtenerse los mismos resultados quesiguiendo el proceso algebraico tradicional dedespeje y sustitución,

■ programable , al implementarsecomputacionalmente en forma sencilla, y

■ de igual de costo en términos del número deoperaciones aritméticas a realizar que el procesoalgebraico.



Comentario final

Se recomienda al estudiante que revise a detalleel método anterior para su comprensión: estemétodo está probado a ser el método máseficiente en general para resolver ecuaciones.Aunque se sabe que es difícil abandonar lo quetantas veces se practicó, se le pide que haga elesfuerzo por abandonar prácticas diferentes desolución.

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