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Teoría de la Dimensión en Espacios Vectoriales Álgebra Lineal - p. 1/39

Álgebra LinealMa1010

Teoría de la Dimensión en Espacios VectorialesDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionPrerrequisitosTma IntercambioTma FundamentalDimensionNumerologıaProcesosEjemplos TeorıaEjemplos Practicos


Introducción

Nuestra meta consiste en decir con precisión quecosas deben permanecer fijas en un espaciogenerado en un espacio vectorial.



Introducción

Nuestra meta consiste en decir con precisión quecosas deben permanecer fijas en un espaciogenerado en un espacio vectorial. El conceptoteórico importante es el de dimensión de unespacio vectorial.



Introducción

Nuestra meta consiste en decir con precisión quecosas deben permanecer fijas en un espaciogenerado en un espacio vectorial. El conceptoteórico importante es el de dimensión de unespacio vectorial. El resultado técnico másimportante es el teorema del intercambio:



Introducción

Nuestra meta consiste en decir con precisión quecosas deben permanecer fijas en un espaciogenerado en un espacio vectorial. El conceptoteórico importante es el de dimensión de unespacio vectorial. El resultado técnico másimportante es el teorema del intercambio: A partirde él, se deduce que cualquier dos bases a unmismo espacio vectorial deben tener el mismonúmero de elementos.



Introducción

Nuestra meta consiste en decir con precisión quecosas deben permanecer fijas en un espaciogenerado en un espacio vectorial. El conceptoteórico importante es el de dimensión de unespacio vectorial. El resultado técnico másimportante es el teorema del intercambio: A partirde él, se deduce que cualquier dos bases a unmismo espacio vectorial deben tener el mismonúmero de elementos. Esto permitirá definir ladimensión de un espacio vectorial.



Esta sesión termina con una serie de resultadosrelativos al número de elementos de un conjuntogenerador y de un conjunto linealmenteindependiente en su relación con la dimensión delespacio vectorial.



Resultados matemáticos necesarios

El resultado matemático importante es el teoremadel intercambio, pero para su demostración serequerien ciertos resultados matemáticos. En losiguiente V es un espacio vectorial.



El primer resultado dice que si un vector escombinación lineal de otros entonces el espaciogenerado con él y esos otros es igual al quegeneran esos otros vectores. Este resultado tienevarias interpretaciones. En la primera indica que siun vector es combinación lineal de los otros y seañade al conjunto generador, entonces no segenera más de lo que ya se generaba. En otrainterpretación dice que si tal vector se omite delconjunto generador, entonces no se genera menoslo que que ya se generaba:Lema 1

Si y ∈ Gen{x1, . . . ,xn}, entonces

Gen{x1, . . . ,xn,y} = Gen{x1, . . . ,xn}



El siguiente resultado requerido dice que si unvector del generado se añade al conjuntogenerador, el nuevo generador será linealmentedependiente:Lema 2

Si y ∈ Gen{x1, . . . ,xn}, entonces{x1, . . . ,xn,y} es linealmente dependiente.



Existen otros resultados básicos que se requiereny que son fáciles de deducir:Lema 3

Si el conjunto {v1, . . . ,vn} es linealmenteindependiente, entonces:■ ninguno de los vectores vi es el vector

cero.■ cualquier subconjunto de él es también

linealmente independiente.



El siguiente resultado da operatividad a lademostración del teorema del intercambio:Lema 4

Suponga que u1 6= 0. Si el conjunto{u1,u2, . . . ,un} es linealmente dependiente,entonces existe un vector ui que escombinación lineal de los vectores anterioresu1, . . . ,ui−1. (Así i > 1)



Un resultado teórico también útil es el siguiente:Lema 5

Suponga que y /∈ Gen(x1, . . . ,xn) y que elconjunto {x1, . . . ,xn} es linealmenteindependiente. Entonces {x1, . . . ,xn,y}también será linealmente independiente.



Teorema del intercambio

El siguiente teorema se conoce como el teoremadel intercambio y recibe su nombre por la formacomo es demostrado.




El siguiente teorema se conoce como el teoremadel intercambio y recibe su nombre por la formacomo es demostrado. La demostración se centraen la segunda afirmación:




El siguiente teorema se conoce como el teoremadel intercambio y recibe su nombre por la formacomo es demostrado. La demostración se centraen la segunda afirmación: Se prueba que todoconjunto linealmente independiente tiene a lo másm elementos, siendo m el número de elementosde un conjunto generador del espacio.




El siguiente teorema se conoce como el teoremadel intercambio y recibe su nombre por la formacomo es demostrado. La demostración se centraen la segunda afirmación: Se prueba que todoconjunto linealmente independiente tiene a lo másm elementos, siendo m el número de elementosde un conjunto generador del espacio. En lademostración, se toma un vector del conjuntolinealmente independiente y se introduce vector avector en un conjunto que genera.




El siguiente teorema se conoce como el teoremadel intercambio y recibe su nombre por la formacomo es demostrado. La demostración se centraen la segunda afirmación: Se prueba que todoconjunto linealmente independiente tiene a lo másm elementos, siendo m el número de elementosde un conjunto generador del espacio. En lademostración, se toma un vector del conjuntolinealmente independiente y se introduce vector avector en un conjunto que genera. Como elconjunto sigue generando y es dependiente, esposible sacar un elemento del conjunto inicial quegenera:




El siguiente teorema se conoce como el teoremadel intercambio y recibe su nombre por la formacomo es demostrado. La demostración se centraen la segunda afirmación: Se prueba que todoconjunto linealmente independiente tiene a lo másm elementos, siendo m el número de elementosde un conjunto generador del espacio. En lademostración, se toma un vector del conjuntolinealmente independiente y se introduce vector avector en un conjunto que genera. Como elconjunto sigue generando y es dependiente, esposible sacar un elemento del conjunto inicial quegenera: Es decir, se intercambia un elemento quegenera por uno del conjunto linealmenteindependiente.



Teorema

Si un espacio vectorial V es generado por mvectores.



Teorema

Si un espacio vectorial V es generado por mvectores. Entonces cualquier subconjuntoque contenga más de m vectores eslinealmente dependiente.



Teorema

Si un espacio vectorial V es generado por mvectores. Entonces cualquier subconjuntoque contenga más de m vectores eslinealmente dependiente. En otras palabras,todo subconjunto linealmente independientede V tiene cuando mucho m vectores.



Teorema

Si un espacio vectorial V es generado por mvectores. Entonces cualquier subconjuntoque contenga más de m vectores eslinealmente dependiente. En otras palabras,todo subconjunto linealmente independientede V tiene cuando mucho m vectores. Enotras palabras, si B1 es un conjunto devectores de V linealmente independiente yB2 es un conjunto de vectores que genera aV entonces

#(B1) ≤ #(B2)



Demostraci onSuponga que

B1 = {x1,x2, . . . ,xn}

es un conjunto linealmente independiente de V yque

B2 = {y1,y2, . . . ,ym}

genera a V . Defina C0 = B2. A partir de C0

defimos el conjunto

A1 = {x1,y1,y2, . . . ,ym}

(A1 es C0 donde de ha añadido x1 al frente delconjunto) Por el lema 1, V = Gen(A1). Por el lema2, A1 es linealmente dependiente. Por el lema 3, alser B1 linealmente independiente, ninguno de losvectores xi es igual al vector cero. Por el lema 4,existe un elemento de A1 que es combinaciónlineal de los anteriores, por tanto debe ser un el



Teorema fundamental de la dimensión

Habiendo probado el teorema del intercambio,probar que dos bases cualquiera tienen el mismonúmero de elementos es fácil:



Teorema

Si un espacio vectorial V tiene una base conn elementos, entonces cualquier otra basede V también tiene n elementos.



Teorema


Demostraci on

Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos yotra con m elementos, respectivamente.



Teorema


Demostraci on

Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos yotra con m elementos, respectivamente. Entoces utilizandoprimeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (alser base) es linealmente independiente en V se deduce porel teorema del intercambio que m ≤ n.



Teorema


Demostraci on

Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos yotra con m elementos, respectivamente. Entoces utilizandoprimeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (alser base) es linealmente independiente en V se deduce porel teorema del intercambio que m ≤ n. Por otro lado, siahora se usa que B2 genera a V y que B1 es linealmenteindependiente en V se deduce por el teorema delintercambio que n ≤ m.



Teorema


Demostraci on

Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos yotra con m elementos, respectivamente. Entoces utilizandoprimeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (alser base) es linealmente independiente en V se deduce porel teorema del intercambio que m ≤ n. Por otro lado, siahora se usa que B2 genera a V y que B1 es linealmenteindependiente en V se deduce por el teorema delintercambio que n ≤ m. Por tanto, m = n �



Definición de la dimensión

El anterior resultado afirma que cualquiera dosbases para un mismo espacio vectorial tienen elmismo número de elementos.




El anterior resultado afirma que cualquiera dosbases para un mismo espacio vectorial tienen elmismo número de elementos. Por consiguiente, lasiguiente definición es válida:




El anterior resultado afirma que cualquiera dosbases para un mismo espacio vectorial tienen elmismo número de elementos. Por consiguiente, lasiguiente definición es válida:Definici on

Si un espacio vectorial V tiene una base conn elementos,





Si un espacio vectorial V tiene una base conn elementos, se dice que V es dimensionalfinito ,





Si un espacio vectorial V tiene una base conn elementos, se dice que V es dimensionalfinito , y que n es la dimensión de V .





Si un espacio vectorial V tiene una base conn elementos, se dice que V es dimensionalfinito , y que n es la dimensión de V . Seexpresa:

dim(V ) = n



Numerología en Espacios Vectoriales

En un espacio vectorial y relativos a su dimensiónexisten cierto resultados sobre las cantidades deelementos de conjuntos generadores o conjuntoslinealmente dependientes o independientes.



El siguiente resultado define límites máximos ymínimos para el número de elementos deconjuntos que son linealmente independientes oque generan a un espacio.



El siguiente resultado define límites máximos ymínimos para el número de elementos deconjuntos que son linealmente independientes oque generan a un espacio.Teorema

Sea V un espacio vectorial de dimensión n, yS un subconjunto con m elementos.




Sea V un espacio vectorial de dimensión n, yS un subconjunto con m elementos.1. Si S es linealmente independiente,

entonces m ≤ n. Equivalentemente: sin < m, S es linealmente dependiente.




Sea V un espacio vectorial de dimensión n, yS un subconjunto con m elementos.1. Si S es linealmente independiente,

entonces m ≤ n. Equivalentemente: sin < m, S es linealmente dependiente.

2. Si S genera a V , entonces m ≥ n.Equivalentemente: si m < n, S no puedegenerar a V .



El siguiente resultado indica que si se haalcanzado un cierto número de elementos yrespecto al número de elementos de la base,entonces se tienen otras propiedades.Teorema

Sea V un espacio vectorial n dimensional, ysea S un conjunto con n elementos.




Sea V un espacio vectorial n dimensional, ysea S un conjunto con n elementos.1. Si S es linealmente independiente,

entonces S genera a V .





entonces S genera a V . Es decir, S esbase.






2. Si S genera a V , entonces S eslinealmente independiente.






2. Si S genera a V , entonces S eslinealmente independiente. Es decir, S esbase.



El siguiente resultado indica cuando se puedenextender conjuntos linealmente independientes oreducir conjuntos generadores para tener unabase de un espacio vectorial.Teorema

Sea V un espacio vectorial n dimensional, yS un conjunto con m elementos.




Sea V un espacio vectorial n dimensional, yS un conjunto con m elementos.■ Si S es linealmente independiente y m < n,

entonces S se puede ampliar a una base.




Sea V un espacio vectorial n dimensional, yS un conjunto con m elementos.■ Si S es linealmente independiente y m < n,

entonces S se puede ampliar a una base.■ Si S genera a V , entonces S contiene una

base.



El siguiente resultado indica cómo deben ser lasdimensiones de los subespacios respecto a ladimensión del espacio que los contiene.



El siguiente resultado indica cómo deben ser lasdimensiones de los subespacios respecto a ladimensión del espacio que los contiene.Teorema

Sea W un subespacio de un espaciovectorial V de dimensión n. Entonces




Sea W un subespacio de un espaciovectorial V de dimensión n. Entonces■ dim(W ) ≤ n.




Sea W un subespacio de un espaciovectorial V de dimensión n. Entonces■ dim(W ) ≤ n. Es decir, la dimensión de un

subespacio no puede exceder la dimensióndel espacio que lo contiene.






■ dim(W ) = n si y sólo si W = V






■ dim(W ) = n si y sólo si W = V Es decir, elsubespacio es el total del espacio cuandosu dimensión alcanza la dimensión delespacio que lo contiene.



Procesos de Cálculo

Nuestros principales procesos referentes a ladimensión de un espacio o subespacio vectorialson los sigueintes:■ En el caso de espacios generados :

El número de pivotes en la matriz reducida es ladimensión del espacio generado.

■ En el caso desistemas de ecuaciones lineales homog eneos :El número de variables libres es la dimensión delespacio lineal.

Note que en sistemas no homogéneos el conceptode dimensión no aplica pues el conjunto desoluciones no es un espacio vectorial.



Ejemplos sobre teoría

Veamos algunos ejemplos donde participadirectamente la teoría:



Ejemplo

Suponga que en un espacio vectorial V existe unconjunto linealmente independiente B1 con 4elementos, entonces la dimensión del espacioserá . . .

A mayor o igual que 4

B menor o igual que 4

C igual a 4

D menor que 4

E mayor que 4



Soluci on

La respuesta correcta es A : Sea B2 una basepara V , así dim(V ) = #(B2). Como B2 una basepara V , B2 genera a V . Siendo B1 linealmenteindependiente el teorema del intercambio afirmaque

4 = #(B1) ≤ #(B2) = dim(V ).

Por tanto, la dimensión de V es mayor o igual que4 �



Ejemplo

Suponga que en un espacio vectorial V condimensión 7 el subconjunto B tiene 7 elementosdiferentes, ¿se puede decir que B es base?

A Falso

B Cierto



Ejemplo

Suponga que en un espacio vectorial V condimensión 7 el subconjunto B tiene 7 elementosdiferentes, ¿se puede decir que B es base?

A Falso

B CiertoSoluci on

La respuesta correcta es A : hay mucha distanciaentre un conjunto con vectores diferentes entre siy un conjunto que es base. Por ejemplo, si v 6= 0,entonces son diferentes todos los vectores delconjunto {v, 2v, 3v, 4v, . . .} y éste es linealmentedependiente. �



Ejemplo

Suponga que en un espacio vectorial V existe unconjunto generador B1 con 8 elementos, entoncesla dimensión del espacio será . . .

A igual a 8

B mayor que 8

C menor o igual que 8

D mayor o igual que 8

E menor que 8



Soluci on

La respuesta correcta es C : Sea B2 una basepara V , así dim(V ) = #(B2). Como B2 una basepara V , B2 es linealmente independiente. SiendoB1 un conjunto generador para V , el teorema delintercambio afirma que

dim(V ) = #(B2) ≤ #(B1) = 8.

Por tanto, la dimensión de V es menor o igual que8 �



Ejemplo

Suponga que en un espacio vectorial V condimensión 8, un subespacio W tiene un conjuntolinealmente independiente con 8 elementos,entonces

A W ⊆ V (Contenido con la posibilidad de la igualdad)

B W = V

C W ⊂ V (Contenido pero sin la posibilidad de la igualdad)



Ejemplo

Suponga que en un espacio vectorial V condimensión 8, un subespacio W tiene un conjuntolinealmente independiente con 8 elementos,entonces

A W ⊆ V (Contenido con la posibilidad de la igualdad)

B W = V

C W ⊂ V (Contenido pero sin la posibilidad de la igualdad)Soluci onSe deduce que 8 ≤ dim(W ) ≤ dim(V ) = 8. Portanto, dim(W ) = dim(V ) y así W = V �



Ejemplos de cálculo

Veamos algunos ejemplos donde participadirectamente la teoría:



Ejemplo

Determine la dimensión del subespacio:

Gen

−6

5

1

1

,

−4

5

−2

2

,

−42

40

−1

11

,

16

−10

−8

0



Ejemplo


Gen

−6

5

1

1

,

−4

5

−2

2

,

−42

40

−1

11

,

16

−10

−8

0

Soluci onFormando la matriz aumentada y aplicandoGauss-Jordan tenemos:

−6 −4 −42 16

5 5 40 −10

1 −2 −1 −8

1 2 11 0

→



Ejemplo


Gen

−6

5

1

1

,

−4

5

−2

2

,

−42

40

−1

11

,

16

−10

−8

0

Soluci onFormando la matriz aumentada y aplicandoGauss-Jordan tenemos:

−6 −4 −42 16

5 5 40 −10

1 −2 −1 −8

1 2 11 0

→

1 0 5 −4

0 1 3 2

0 0 0 0

0 0 0 0



¿Qué significa el cálculo anterior?



¿Qué significa el cálculo anterior? Si hubieramospuesto armado la matriz aumentada con la partede coefiecientes hasta el segundo vectorquedaría:




−6 −4 −42 16

5 5 40 −10

1 −2 −1 −8

1 2 11 0

→

1 0 5 −4

0 1 3 2

0 0 0 0

0 0 0 0




−6 −4 −42 16

5 5 40 −10

1 −2 −1 −8

1 2 11 0

→

1 0 5 −4

0 1 3 2

0 0 0 0

0 0 0 0

Lo cual diría que los vectores 3 y 4 soncombinación lineal de los vectores 1 y 2.




−6 −4 −42 16

5 5 40 −10

1 −2 −1 −8

1 2 11 0

→

1 0 5 −4

0 1 3 2

0 0 0 0

0 0 0 0

Lo cual diría que los vectores 3 y 4 soncombinación lineal de los vectores 1 y 2. Por tanto,

Gen {v1, v2, v3, v4} = Gen {v1, v2}



El mismo cálculo indica que el conjunto formadopor los vectores 1 y 2 son linealmenteindependientes.



El mismo cálculo indica que el conjunto formadopor los vectores 1 y 2 son linealmenteindependientes. Por lo tanto, los vectores 1 y 2son una base para el espacio. Por tanto, ladimensión es 2 �



Ejemplo

Determine la dimensión del subespacio quegeneran las polinomios:

{−2−x−2 x2, 1+5 x+x2−2 x3, 2+x−x3, 3−3 x−3 x2−x3}



Ejemplo


{−2−x−2 x2, 1+5 x+x2−2 x3, 2+x−x3, 3−3 x−3 x2−x3}

Soluci onFormando la matriz aumentada de los polinomiosvectorizados y aplicando Gauss-Jordan tenemos:

−2 1 2 3

−1 5 1 −3

−2 1 0 −3

0 −2 −1 −1

→



Ejemplo


{−2−x−2 x2, 1+5 x+x2−2 x3, 2+x−x3, 3−3 x−3 x2−x3}

Soluci onFormando la matriz aumentada de los polinomiosvectorizados y aplicando Gauss-Jordan tenemos:

−2 1 2 3

−1 5 1 −3

−2 1 0 −3

0 −2 −1 −1

→

1 0 0 1

0 1 0 −1

0 0 1 3

0 0 0 0



Por la nota anterior, la dimensión es el número depivotes de la matriz reducida. Por tanto, ladimensión es 3 �



Ejemplo

Determine la dimensión del subespacio quegeneran las matrices:{[

2 −2

2 −1

]

,

[

1 −1

0 1

]

,

[

1 2

−2 1

]

,

[

−2 −1

1 −1

]}



Ejemplo


2 −2

2 −1

]

,

[

1 −1

0 1

]

,

[

1 2

−2 1

]

,

[

−2 −1

1 −1

]}

Soluci onFormando la matriz aumentada de las matricesvectorizadas y aplicando Gauss-Jordan tenemos:

2 1 1 −2

−2 −1 2 −1

−2 0 −2 1

−1 1 1 −1

→



Ejemplo


2 −2

2 −1

]

,

[

1 −1

0 1

]

,

[

1 2

−2 1

]

,

[

−2 −1

1 −1

]}

Soluci onFormando la matriz aumentada de las matricesvectorizadas y aplicando Gauss-Jordan tenemos:

2 1 1 −2

−2 −1 2 −1

−2 0 −2 1

−1 1 1 −1

→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



Por la nota anterior, la dimensión es el número depivotes de la matriz reducida. Por tanto, ladimensión es 4 �



Ejemplo

Determine la dimensión para el subespacio de R3

formado por las soluciones al sistema:

6 x− 5 y − 3 z = 0

−12 x+ 10 y + 6 z = 0

36 x− 30 y − 18 z = 0



Ejemplo



6 x− 5 y − 3 z = 0

−12 x+ 10 y + 6 z = 0

36 x− 30 y − 18 z = 0

SoluciónAl formar la aumentada y al aplicar Gauss-Jordan:



Ejemplo



6 x− 5 y − 3 z = 0

−12 x+ 10 y + 6 z = 0

36 x− 30 y − 18 z = 0

SoluciónAl formar la aumentada y al aplicar Gauss-Jordan:

6 −5 −3 0

−12 10 6 0

36 −30 −18 0

→

1 −5/2 −1/2 0

0 0 0 0

0 0 0 0



Por tanto,

x

y

z

= y

5/2

1

0

+ z

1/2

0

1



Por tanto,

x

y

z

= y

5/2

1

0

+ z

1/2

0

1

Por tanto, la dimensión del espacio lineal es 2 �



Ejemplo

Extienda el siguiente conjunto de vectores a unabase para R3:

B =

v1 =

1

1

−1

, v2 =

1

−1

1



Ejemplo

Extienda el siguiente conjunto de vectores a unabase para R3:

B =

v1 =

1

1

−1

, v2 =

1

−1

1

Soluci on

Para determinar adecuadamente la selección de vectoresformamos y reducimos la matriz:

[v1 v2|e1 e2 e3] →

1 0 1/2 0 −1/2

0 1 1/2 0 1/2

0 0 0 1 1

Por consiguiente una base que extiende a B es B ∪ {e2}.

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