apunte Álgebra lineal

1

ÁÁLLGGEEBBRRAA IIII

Indice

Revisión de Matrices............................................................................................................. 2

Práctica 1: Espacios Vectoriales ........................................................................................... 3

Práctica 2: Producto Interno ................................................................................................. 4

Práctica 3: Proyecciones y Matrices de Proyección ............................................................. 5

Práctica 4: Transformaciones Lineales ................................................................................. 8

Práctica 5: Autovalores y Autovectores .............................................................................. 10

Práctica 6: Diagonalización de matrices hermíticas, formas cuadráticas, DVS .................. 12

Ecuaciones Diferenciales .................................................................................................... 15

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales ................................................................. 18

2

con

Revisión de Matrices

1) Propiedades de las matrices

a.

b.

c.

d.

e.

2) Propiedades de los determinantes

Sean :

a) ,

b) ,

c) Si una fila de A se suma a k.(otra fila) para producir una matriz B, ,

d) Si dos filas de A se intercambian de lugar para producir B, ,

e) Si una fila de A se multiplica por k para producir B, ,

f) Si toda la matriz A se multiplica por k para producir B, ,

g) Si es una matriz triangular, .

3) Espacios fila, nulo y columna de matrices

Sea :

Sean y , entonces:

a) (son iguales si )

b) (son iguales si

c) Si

d) Si

e)

4) Matrices equivalentes y semejantes

Matrices equivalentes: dos matrices A y B son equivalentes si existen otras dos matrices E y F

regulares tal que . Dos matrices equivalentes pueden pensarse como dos descripciones

de una misma TL, pero con respecto a bases distintas.

Matrices semejantes: dos matrices cuadradas A y B son semejantes (notamos si y solo

si existe una matriz P invertible tal que ó . Dos matrices semejantes pueden

es inversible es inversible

3

pensarse como dos descripciones de un mismo operador lineal, pero con respecto a bases

distintas. Estas dos matrices cumplen que:

a)

b)

c)

d)

Práctica 1: Espacios Vectoriales

1) Propiedades de los subespacios

es un subespacio vectorial del espacio

2) Independencia lineal

es una combinación lineal de si y no

son todos nulos.

es LI si y

Dos vectores son LD si son proporcionales.

Un subconjunto de un conjunto LI sigue siendo LI.

3) Operaciones con subespacios

Sean subespacios de .

a) Intersección:

.

b) Suma:

, donde es base

de .

c) Unión: es un subespacio cuando

ó .

d) Suma directa: están en suma directa la unión de sus bases es

base de .

Dos subespacios son suplementarios cuando están en suma directa y su suma es todo el

espacio.

4) Bases

Si , es base de

5) Coordenadas de un vector en una base

Si y , entonces

Dado un vector y una base, las coordenadas de ese vector en esa base son únicas.

y

es LI es LI para cualquier base B.

dim n

dim n

dim 2n

dim

dim n+1

dim

4

6) Matriz de pasaje

Sean y bases del espacio .

Además: si y son bases ortonormales, entonces es una matriz ortogonal.

7) Teorema de la dimensión

Práctica 2: Producto Interno

1) Axiomas

Sea

a. y

b.

c. , y

d. , y

e. ,

f. , (si entonces )

2) Productos internos canónicos (PIC)

3) Definiciones

a. Ortogonalidad: .

b. Norma de un vector: . La norma depende del PI.

Propiedades:

i.

En :

En :

En :

En :

En :

En :

En :

En :

5

ii. ( )

iii.

iv. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: , . Son iguales si .

v. Desigualdad triangular: .

vi. Teorema de Pitágoras: si entonces . La recíproca sólo

vale para

vii. Identidad del paralelogramo: , .

c. Ángulo entre 2 vectores:

con , EPI real.

d. Complemento ortogonal de un conjunto en un EPI: Sea .

. Para el cálculo del complemento ortogonal a un subespacio de dimensión finita,

alcanza con exigir la ortogonalidad a un sistema de generadores.

e. Función distancia:

4) Matriz asociada a un PI

Sea base de . Entonces es la matriz del

producto interno.

a)

b) .

c) es definida positiva.

d)

5) Expresión matricial de un PI

Si B es base de y G es la matriz del PI en esa base, entonces

Propiedades:

La matriz de un PI en una BOG es una matriz diagonal.

La matriz de un PI en una BON es la matriz identidad.

6) La mejor aproximación es EPIs

Sea un espacio vectorial de funciones, y un subespacio de . Si se quiere aproximar

con una función , la mejor aproximación será la proyección ortogonal de sobre el

subespacio .

Práctica 3: Proyecciones y Matrices de Proyección

Sea y su complemento ortogonal:

1) Propiedades de la proyección

a) es el vector de S más próximo a .

6

b) y además .

c) Por Pitágoras:

.

d) (si entonces )

e)

2) Expresión de la proyección y la reflexión

Sea un subespacio de , y una BOG de . Entonces:

.

3) Proyecciones y TLs

Sea una transformación lineal tal que

Sea

una base de , entonces la matriz de la TL es:

(tantos 1 como la dimensión del espacio sobre el cual

proyecto, y tantos 0 como la dimensión del complemento ortogonal)

Nota: la matriz de un operador proyección en una BON es una matriz de proyección. En

cualquier otra base, no lo es.

4) Reflexiones y TLs

Sea una TL tal que

Sea

una base de , entonces la matriz de la TL es:

(tantos 1 como la dimensión del espacio sobre el cual

reflejo, y tantos -1 como la dimensión del complemento ortogonal)

5) Matriz de Householder

La matriz de reflexión sobre un subespacio de que es ortogonal a un vector en

un espacio de se puede obtener mediante la expresión:

Propiedades:

a) Es involutiva: .

7

b) Es simétrica: .

c) Es inversible: y

d) Es ortogonal: .

6) Rotaciones en

Sea una BON de y sea T la rotación de grados alrededor del eje .

7) Proceso Gram-Schmidt

Dada una base para un subespacio de , defina

Entonces es una BOG para .

8) Matrices de Proyección

Trabajamos con el producto interno canónico y sobre , o .

es una matriz de proyección

Propiedades:

i. .

ii. .

iii. Si es matriz de proyección sobre y es matriz de proyección sobre ,

entonces .

iv. Las columnas de P son una base del espacio sobre el cual proyectan.

v. .

vi.

vii. Si y son matrices de proyección, y , entonces es

matriz de proyección y .

Obtención de la matriz de proyección:

i. Sea Q una matriz cuyas columnas son una BON de . Entonces la única matriz de

proyección sobre es . La matriz de proyección sobre es

ii. Sea una base de , y A la matriz que tiene por columnas a

Entonces la única matriz de proyección sobre se obtiene mediante

9) Inversas y pseudoinversas

Pseudoinversa: Sea tal que . La matriz pseudoinversa de A es:

Propiedades:

8

a) Si es cuadrada e invertible,

b)

c)

d)

e)

10) Cuadrados mínimos

Sea , , . Si tiene una solución exacta, entonces . Si

, intentamos hallar una solución (la solución por cuadrados mínimos) tal que:

a) ,

b) ,

c) (son iguales si ),

d) Ecuaciones normales de cuadrados mínimos:

e)

Observaciones:

Si . La recíproca solo es cierta si es inversible.

Si las columnas de son LI, la solución por cuadrados mínimos es única y se obtiene

mediante . Si las columnas de son LD, el sistema tiene

infinitas soluciones, y éstas son de la forma

.

Si , entonces toda solución de es una solución exacta y por

cuadrados mínimos.

El error es igual a .

11) Regresión lineal

Sean los puntos con . La recta que mejor aproxima a los puntos es

y se obtiene resolviendo el sistema

por cuadrados mínimos.

12) Solución por cuadrados mínimos de norma mínima

La solución por cuadrados mínimos de norma mínima pertenece al espacio y se

obtiene como , siendo la pseudoinversa de Moore-Penrose de .

Práctica 4: Transformaciones Lineales

Sea y con base de y base de la matriz de

1) Condiciones de TLs

a. con .

b. con y .

c.

9

2) Núcleo e imagen

a. . Es un subespacio.

b. . Es un subespacio.

La imagen de una TL puede obtenerse como lo que generan los transformados de una base

del espacio de partida.

Teorema de la dimensión: Sea y sea (finita). Entonces:

3) Clasificación de TLs

a. Inyectividad (monomorfismo):

Una TL es inyectiva si verifica: .

Una TL es inyectiva

Una TL inyectiva transforma conjuntos LI a conjuntos LI. La recíproca también es cierta: si A

es un conjunto LI y es transformado en otro conjunto LI, la TL es inyectiva. Es decir: si T es

inyectiva y A es LI, es LI.

Las matrices asociadas a TLs inyectivas tienen sus columnas LI.

Si , T no puede ser inyectiva.

b. Sobreyectividad (epimorfismo):

Una TL es sobreyectiva .

Las matrices asociadas a TLs sobreyectivas tienen sus filas LI.

Si , T no puede ser sobreyectiva.

c. Biyectividad (isomorfismo):

Si , y , T es biyectiva.

T es biyectiva si es base de , entonces es base de .

La matriz asociada a una TL biyectiva tiene sus filas y columnas LI, o sea que es una matriz

inversible, o sea que existe la TL inversa:

Si , entonces o bien T es inyectiva y sobreyectiva, o bien no es ninguna.

4) Matriz asociada a una TL

Sea , sea base de y base de .

Entonces T se puede escribir como , con tal que

Propiedades:

f)

g)

h)

i)

Teorema: sean y -espacios vectoriales ( ). Sea . Si y son

bases ordenadas de , y y son bases ordenadas de , entonces

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5) Teorema Fundamental de las TLs

Sea base de y vectores de Entonces, existe y es única

la TL que verifica que , . Además, dada una TL y un par de

bases, existe una única matriz asociada. La recíproca también es verdadera: dada una matriz y un

par de bases, existe una única TL asociada.

6) Composición de TLs

y

Propiedades:

a)

b) )

7) Operadores lineales

Un operador lineal es una TL que va de un espacio en sí mismo. Se escribe como .

Propiedades:

a) Si y , entonces .

b) Si ,

Práctica 5: Autovalores y Autovectores

1) Autovalores y autovectores de una matriz cuadrada

Autovector: Sea . Un vector es autovector de A

Autoespacio: El autoespacio de asociado a un autovalor es .

Polinomio característico: . El polinomio característico de una matriz

tiene grado . Si , el polinomio tiene a lo sumo raíces. Si , tiene

exactamente raíces.

Autovalores: Los autovalores de una matriz son las raíces de su polinomio característico.

Espectro de una matriz: es autovalor de

2) Multiplicidad geométrica y algebraica de un autovalor

número de veces que aparece como raíz del polinomio característico.

Siempre se verifica que: .

3) Propiedades

Sea

I. es singular es un autovalor de .

II. Dos autovectores asociados a autovalores distintos son LI.

III. Si , entonces .

IV. Si todas las filas o columnas de suman entonces .

11

V. Sea . Si es autovalor de , Entonces se

cumple que es autovalor de , y para cada autovalor de existe un

autovalor de tal que .

VI. Si es autovalor de …

i. es autovalor de ,

ii. es autovalor de y ,

iii. es autovalor de ,

iv. es autovalor de ,

v. es autovalor de .

4) Autovalores y autovectores de operadores lineales

Un vector es autovector de T con autovalor de .

.

Si es base de y es la matriz de en esa base, entonces:

base de

es autovector de es autovector de

5) Propiedades

1. .

2. Si es autovalor de , es autovalor de .

3. Si es un polinomio en y , entonces

4. es regular

6) Diagonalización

es diagonalizable existe una base de compuesta por autovectores

de tiene autovectores LI inversible y diagonal tal

que:

7) Propiedades de la diagonalización de matrices

1) Matrices trivialmente diagonalizables:

a. nula: autovalor 0, autovectores: cualquier vector no nulo.

b. identidad: autovalor: 1, autovectores: cualquier vector no nulo.

c. diagonales (

: autovalores: , autovectores: los que tienen

sus componentes nulas excepto la n-ésima.

d. escalares (

): autovalor: , autovectores: cualquier vector no

nulo.

e. de proyección ( : autovalor 1 con , autovalor

0 con

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f. de reflexión: autovalor 1 con , autovalor -1 con

2) Si es diagonalizable es diagonalizable ( y ). La

recíproca es falsa.

3) Si tiene autovalores distintos es diagonalizable. La recíproca es falsa.

4)

5)

8) Autovalores complejos de una matriz real

Supongamos que con , es un autovalor de . Entonces

también es autovalor de y es autovector de asociado a si y sólo si es

autovector de A asociado a . En particular, si es base de entonces es base

de .

9) Diagonalización de TLs

, con , es diagonalizable base de tal que es diagonal

base de formada por autovectores de tiene autovectores LI. Esa base es y

. Si , cualquier base, entonces es diagonalizable si y sólo si es

diagonalizable.

Práctica 6: Diagonalización de matrices hermíticas, formas cuadráticas, DVS

1) Diagonalización de matrices simétricas y hermíticas

Matriz antisimétrica: Si es antisimétrica entonces:

Los autovalores de son imaginarios puros o nulos,

Los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales,

es diagonalizable unitariamente.

Matriz simétrica (hermítica): es simétrica ( es hermítica) si y solo si:

es diagonalizable ortogonalmente: ( es diagonalizable unitariamente

con real: )

Propiedades:

tiene autovalores reales.

Los elementos de la diagonal de son reales,

,

,


Matriz ortogonal (unitaria): es ortogonal ( es unitaria) si y solo si:

( ),

( ),

Las columnas de son BON de ( ).

Propiedades:

. Si , es la matriz de una rotación,

Los autovalores tienen módulo 1, y pueden ser reales o complejos,

Son matrices unitariamente diagonalizables,

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Preservan los productos internos y las normas )

Si es unitaria, y son unitarias.

2) Descomposición espectral de matrices simétricas

Si , las columnas de P son autovectores ortonormales de A y

los autovalores correspondiendes están en la matriz diagonal . Entonces:

3) Subespacios invariantes por una matriz o por una TL

es invariante por

es invariante por

Propiedades:

Si es autovalor de , entonces es un subespacio invariante por , puesto

que .

No todo subespacio invariante es un autoespacio de , pero sí los subespacios

invariantes de dimensión 1.

4) Formas cuadráticas

Una forma cuadrática en es una función tal que , donde es una

matriz simétrica de .

Teorema de los ejes principales: sea una matriz simétrica de . Entonces existe un

cambio ortogonal de variable, , donde es una matriz ortogonal tal que e es

un nuevo vector, que transforma la forma cuadrática a una forma cuadrática sin

términos de producto cruzado:

Perspectiva geométrica de los ejes principales: sea la forma cuadrática , con

. El conjunto de todas las es una elipse, una hipérbola, dos rectas, un

punto o ningún punto. Si es diagonal, la gráfica está en posición estándar. Si no es diagonal, la

gráfica está girada hasta salirse de la posición estándar. Los “ejes principales” son los autovectores

de y son el nuevo sistema de coordenadas para los cuales la gráfica está en posición estándar.

5) Clasificación de formas cuadráticas

Una forma cuadrática es:

Definición Criterio I Criterio II

Definida positiva y

los autovalores de A son

positivos

Semi definida

positiva


positivos o cero

Definida negativa y


negativos

Semi definida

negativa

. los autovalores de A son

negativos o cero

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Indefinida

los autovalores de A son tanto

positivos como negativos

6) Optimización restringida

Teorema de Rayleigh: sea la forma cuadrática , con simétrica. Se verifica:

Sea extremar una forma cuadrática , ( simétrica), sujeto a la

restricción . El máximo de es y se alcanza en .

El mínimo de es y se alcanza en .

Sea extremar una forma cuadrática , ( simétrica), sujeto a la

restricción , y sea definida positiva tal que . Mediante un cambio de

variable (

), esto es equivalente a extremar

sujeto a la restricción . Entonces: , y

. Los en donde se alcanza ese extremo se hallan realizando la cuenta

.

7) DVS

Valores singulares: .

Sea una matriz de con rango . Entonces existe una matriz , y existen una matriz

U ortogonal de y una matriz V ortogonal de tales que , donde:

es tal que

, y las entradas diagonales de D son los primeros

valores singulares de A, ordenados en forma descendente: .

es una matriz cuyas columnas son una BON de autovectores

asociados a los autovalores de .

es una matriz cuyas primeras columnas son los vectores

. Las

otras columnas se obtienen completando una BON para . Las columnas de U son autovectores

de .

8) Aplicaciones de las DVS

Sea

. Si entonces:

es BON de ,

es BON de ,

es BON de ,

es BON de .

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9) Propiedades de las DVS

es inversible tiene VS positivos

Si

Si es cuadrada y definida positiva,

Si , entonces

Si es ortogonal, , y tienen los mismos valores singulares

Si es cuadrada y simétrica, entonces

Si tiene filas BON, los VS no nulos de son 1. Si tiene columnas BON, los VS de

son 1

La matriz (matriz de Gram de ) es siempre simétrica y semi definida positiva, con

lo cual nunca habrá valores singulares negativos. Será definida positiva cuando

tenga columnas LI

Sea una transformación lineal tal que . Sea la forma cuadrática

. Entonces:

o El máximo de sujeto a es . Entonces el máximo de

es y se alcanza en .

o El mínimo de sujeto a es . Entonces el mínimo de

es y se alcanza en .

10) DVS reducida con matrices de proyección y pseudoinversa

DVS reducida: Sea . Si , y , entonces una DVS reducida de A

es siendo , ,

.

Pseudoinversa de Moore-Penrose de A:

Propiedades:

Sea

cuando

Ecuaciones Diferenciales

1) Independencia lineal y Wronskiano

Sea funciones definidas en un intervalo , a valores en , con derivada

hasta el orden continua en . La matriz de wronski de es, para cada :

.

El wronskiano es

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Propiedades:

a. Si existe un tal que , entonces las funciones son LI.

b. Si un conjunto es LD en un , su wronskiano es la función nula. La recíproca es

falsa; es verdadera solo si las funciones que componen el wronskiano son

soluciones de una ED lineal de orden superior.

c. La derivada del wronskiano es el determinante obtenido derivando la última fila. La

derivada del wronskiano es la suma de “q” determinantes.

2) Identidad de Abel

Sea la ecuacion diferencial

en un

intervalo , sea el conjunto de las soluciones de ED, y sea el wronskiano

de este conjunto. Entonces se verifica que:

3) Ecuaciones diferenciales lineales

1. Condicion de existencia y unicidad de un PVI:

Sea el problema

La condición de existencia y unicidad de la solución del PVI es:

a) ED normal en : .

b) .

2. Variables separables:

con .

Separamos la ecuación en e integrando ambos miembres se tiene

.

3. Homogéneas: con

Hacemos un cambio de variable:

(donde ). Entonces, .

4. Lineales de 1er orden:

Obtenemos primero la solución general de la homogénea ( ) y luego una particular de la no

homogénea ( ). La solución buscada es .

a) Solución de la ecuación homogénea asociada ( ): es de variables

separables. Una solución es .

b) Solución de la no homogénea: una solucion se obtiene multiplicando toda la

ecuación por el factor integrante de Lagrange: . Entonces, la ecuación a resolver

será

5. Diferencial exacta:

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Es diferencial exacta si existe tal que , es decir si

y

. En ese caso, la solución general es . Se cumple que la ecuación

anterior es diferencial exacta si y solo si

.

Se dice además que es un factor integrante de la ecuación

si al multiplicar la ecuación por la ecuación resultante es diferencial exacta.

6. Lineales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes:

(I)

Polinomio característico de (I):

Espectro de (I)

es una solución de la ED si , multiplicidad “ ”, .

Si la ED es de coeficientes constantes reales, las raíces del polinomio característico

aparecerán conjugadas. Esto es, . Luego, e

. Entonces, .

7. Lineales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes:

La solución general es de la forma , donde:

a) se obtiene como antes.

b) Método de variación de parámetros: aplicable en cualquier caso.

, siendo las soluciones de , y las funciones que

satisfacen

c) Método de coeficientes indeterminados: aplicable cuando es exponencial, polinomio,

seno y coseno.

Siendo

con

.

.

a. Si no es solución de la EDO homogénea asociada (i.e. no es raíz de

), es un polinomio del grado de .

b. Si si es solución de la EDO homogénea asociada (i.e. si es raíz de

), es un polinomio de un grado mayor que con coeficientes

a determinar.

c. Una vez armada la se reemplaza en la ED original, e igualando los términos

semejantes se hallan los coeficientes indeterminados.

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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

1) Sistemas homogéneos con diagonalizable

La solución de ( ), con autovalor de y autovector de asociado a

, es:

2) Sistemas no homogéneos con diagonalizable

Sea el sistema . La solución es con:

siendo tal que

3) Sistemas homogéneos con no diagonalizable

Sea el sistema , proponemos una factorización de la forma , donde

es la matriz de Jordan de A que tiene la siguiente estructura en bloques:

donde cada bloque es una matriz de la forma

para algún autovalor de . (Dado un autovalor , su multiplicidad geométrica es el número de

bloques de Jordan correspondientes a , y su multiplicidad algebraica es la suma de los tamaños

de los bloques correspondientes a ese autovalor.)

Luego: . Resolvemos este sistema y la solucion

general del problema se expresará como

Caso

necesariamente posee un autovalor doble de multiplicidad geométrica 1, con lo cual

la matriz posee un solo bloque correspondiente a :

Respecto de la matriz deber ser inversible y La matriz P se obtiene

hallando un par de vectores y LI que satisfagan las condiciones y

. Observamos que es autovector de asociado a .

Caso

1) tiene un autovalor triple de multiplicidad geométrica 1. En este caso:

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Respecto de , deben ser LI y satisfacer las condiciones

Observamos que es autovector

de asociado a .

2) tiene un autovalor triple de multiplicidad geométrica 2. En este caso:


Observamos que y son

autovectores de asociados a .

3) tiene un autovalor doble de multiplicidad geométrica 1 y un autovalor

simple. En este caso debe tener dos bloques de Jordan:


Observamos que y son

autovectores de asociados a y respectivamente.

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