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Acerca de los autores

Julio Ayala: Actualmente estudia Ingeniería en Ciencias de

la Computación y Tecnologías de la información en la

Universidad del Valle de Guatemala. En su tiempo libre

juega videojuegos en computadora y tiene un gusto por la

astrofísica.

Pablo Estrada: Estudiante de Ingeniería en Ciencias

de la Computación y Tecnologías de la Información

así como Licenciatura en Música en la Universidad

del Valle de Guatemala. Sus pasatiempos son tocar

guitarra y jugar videojuegos.

Ricardo Zepeda: Actualmente es un estudiante de Ingeniería

en Ciencias de la Computación y Tecnologías de la

Información en la Universidad del Valle de Guatemala. Le

gusta jugar baloncesto y videojuegos.

José P. Rodríguez: Estudiante de Ingeniería en

Ciencias de la Computación y Tecnologías de la

Información en la Universidad del Valle de

Guatemala. Le gusta jugar Ping-pong y hacer chistes.

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Índice

1. Vectores...................................................................................... 3

2. Operaciones con vectores............................................................4

3. Representación de vectores........................ …………………………..6

4. Planos.......................................................................................... 9

5.Tiempo de Pensar ……………………………………………..……………….12

6. Aritmética modular ………………………………………………............. 13

7. Sistema de ecuaciones y espacios generados………………………..18

7. Referencias Bibliográficas.......................................................... 19

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Vectores

En muchos campos de la matemática y la física, con frecuencia se hace referencia a los

vectores. Este concepto hace referencia a una cantidad que consta tanto de magnitud y

dirección, a veces es necesario utilizar más de una componente para enunciar la dirección

como es el caso de los planos en 3 dimensiones. Los vectores se caracterizan por tener un

punto inicial (origen) y un punto terminal (extremo) que muestran el desplazamiento que

se ha llevado a cabo (Fig.1)

Aprendiendo a expresar un vector:

Aunque muchos pueden pensar que escribir vectores es

algo complicado, en realidad es bastante simple. Existen

dos maneras básicas de expresar vectores, la primera es el

vector columna que básicamente muestra cada

componente del vector en una línea vertical, encerrada

entre corchetes. La otra manera de expresar vectores

usando vectores renglón, estos vectores también se

escriben entre corchetes, pero esta vez cada componente

se escribe en una línea horizontal. (Ver Fig.2)

(Figura.2)

Más curiosidades sobre vectores:

Aunque básicamente todos los vectores

poseen las mismas características,

existen algunos términos que se utilizan

para definir vectores especiales. ¿Qué

sucede si un vector no posee valores

todas sus componentes? Podría pensarse

que el vector no existe, pero esto es falso.

Este vector es conocido como el vector

cero, y se caracteriza precisamente

tener valor 0 en todas sus componentes.

Otros vectores especiales con los

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conocidos vectores en posición estándar, estos vectores son todos aquellos que tienen

su punto inicial en el origen, es decir la coordenada (0,0).

Operaciones con vectores:

Sumando Vectores:

Es muy común realizar operaciones algebraicas con vectores. Esto es muy útil cuando se

desea continuar un vector en el punto donde otro finalizó. Este proceso se facilita con la

suma de vectores. El proceso consiste en descomponer los vectores en sus componentes

y luego de esto se suman algebraicamente las componentes respectivas de cada vector,

dándonos como resultado un nuevo vector que representa el punto inicial del primer

vector sumado y el extremo del último vector sumado.

Para visualizar mejor este proceso recomiendo estudiar el siguiente video:

http://www.youtube.com/watch?v=GrHu2tuBP6Y

Al igual que los valores escalares también conocidos como números reales o constantes,

los vectores poseen las siguientes propiedades:

Conmutatividad:

Asociatividad:

( )+w = +w)

Distributividad:

c ( u + v ) = cu + cv

Reglas Importantes para sumar vectores:

Existen reglas que pueden ayudarnos mucho al momento de sumar vectores, una de estas

es la regla punta a origen. Esta regla nos dice que al momento de sumar dos vectoresA,

B, se traslada el vector B de modo que su origen quede en el mismo lugar que el punto

final del vector A. Con esto hecho se traza un nuevo vector A+B que va desde el origen de

A hasta el punto final de B. (Figura.3)

(Figura.3)

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Regla del Paralelogramo:

Esta regla surge también de la suma de vectores, sin embargo se debe recordar que solo se

puede utilizar cuando se suman 2 vectores exclusivamente. La regla dice que las suma dos

vectores en posición estándar representa la diagonal que

formarían estos dos vectores al ser reflejados y formar un

paralelogramo. (Figura.4)

(Figura.4)

Multiplicación escalar de Vectores:

Otra operación muy utilizada con vectores es la multiplicación escalar. Al tener un

vector a es posible multiplicarlo con un escalar c llamado el múltiplo escalar. Esto se

realiza multiplicando cada componente del vector por el múltiplo escalar. Una manera de

recordar fácilmente este proceso es tomar como base la propiedad distributiva mencionada

anteriormente.

Algunas características que se deben recordar

La multiplicación de un número k por un vector es otro vector:

El vector resultante posee igual dirección que el vector.

El vector resultante posee el mismo sentido que el vector si el escalar es positivo.

El vector resultante posee sentido contrario del vector si el escalar es negativo.

Otra operación de gran importancia entre vectores es el producto escalar, que consiste

en la suma de la multiplicación de cada una de las componentes de los vectores dados.

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Propiedades producto escalar:

Cuando se utiliza el múltiplo escalar (-1) v, este se escribe como –v y se puede utilizar para

la resta vectorial, esto nos dice lo siguiente:

Utilizando la multiplicación escalar para el análisis de dos vectores, se puede llegar a

definir los conceptos de vector paralelo y vector ortogonal. Cuando dos vectores son

paralelos entre sí se dice que ambos son múltiplos escalares, es decir, que podemos hacer

que ambos vectores sean iguales únicamente multiplicándolos por una constante. Los

vectores son ortogonales cuando el ángulo formado entre ellos dos es recto. La forma

adecuada de calcular el ángulo entre dos vectores es con la siguiente expresión que se

fundamenta en la ley de cosenos:

Representación de vectores:

Combinaciones Lineales:

Cuando se posee un vector que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se le

llama combinación lineal. Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector se

obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Para comprender mejor el concepto es recomendable ver el siguiente video, donde se

muestra la creación de una combinación lineal sencilla en tan solo 5 minutos:

http://www.youtube.com/watch?v=3oy-iMPq_jA

Vectores Binarios:

Los vectores binarios son vectores que se utilizan

muchísimo en computación. Estos vectores poseen

componentes con un 0 o un 1. Estos vectores son la

base de muchos códigos de programación. En este

caso se modifican un poco las reglas de aritmética y

se toman como base las reglas de paridad para la

realización de operaciones con este tipo de

vectores.

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Norma de un vector

La norma de un vector hace referencia al largo o la magnitud que un vector posee en el

espacio. Este concepto surge del teorema de Pitágoras y trabajando en esta

expresión podemos relacionarla con el producto escalar para llegar a la siguiente

definición:

Proyecciones de vectores:

La proyección de vectores surge en respuesta al problema de encontrar la distancia desde

un punto hasta una recta en el contexto de los vectores. Esta proyección se obtiene

trazando una perpendicular desde el punto final del vector que se proyectará hasta la parte

del vector donde se dará la proyección. (Ver figura.5)

Con esto en mente, se llega a la deducción de la siguiente

expresión para la proyección de un vector:

Figura.5

Normalizar Vector:

La normalización de un vector hace referencia al proceso de encontrar un vector unitario

en la misma dirección que el vector que se ha dado. Para hacer esto es necesario dividir el

vector dentro de su magnitud para convertirla en uno y finalmente multiplicarlo por su

dirección. El vector resultante siempre será de magnitud 1, la siguiente expresión puede

ayudar a normalizar un vector:

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Vector Normal y Director

Para lograr el análisis de rectas de manera analítica, se han definido vectores con

características especiales que cumplan con ciertas condiciones. Uno de estos es el vector

normal, este vector posee la característica de ser ortogonal a una recta, esto implica que el

producto punto con un vector alineado a la recta debe

de ser 0.(Figura.6)

Otro concepto que es importante al momento de

analizar rectas y planos es el vector director. Este

vector se caracteriza por indicar la dirección que posee

la recta en análisis.

Rectas

El análisis de rectas en el plano cartesiano es uno de los temas más comunes en geometría,

pero esta vez analizaremos un recta en R2 y R3 desde un punto de vista vectorial. La forma

en que una recta se expresa analíticamente es a través de de ecuaciones. Estas varían

dependiendo de la forma como sean expresadas y son útiles en distintas circunstancias.

Forma General de la Ecuación en R2

La forma general surge de la relación de puntos en un plano x,y, y se expresa de la

siguiente manera:

Note que la expresión (A/B) nos indicará la pendiente de la recta, un dato muy importante

para la construcción de ecuaciones.

Forma Normal de la Ecuación en R2

Esta ecuación se apoya en los conceptos de vector normal y vector director, y surge

de la obtención de un vector ortogonal y direccional a la recta bajo análisis. Por las

propiedades del producto punto se sabe que el producto punto entre vectores ortogonales

es creo. Por lo tanto la ecuación normal de la recta está dada por la expresión:

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Forma Vectorial de la Ecuación de la Recta:

Esta forma de la ecuación utiliza los vectores x, p y v siendo estos los vectores de posición

el vector de un punto conocido y el vector director.

Paramétrica

Esta ecuación surge de las componentes de la ecuación vectorial de la recta, dependiendo

de si la recta esta en R2 o R3 surgirán dos o tres ecuaciones respectivamente

Planos:

La ecuación de un plano surge al tratar de generalizar la ecuación de una recta en R2 a R3,

al intentar encontrar vectores x que sean ortogonales al vector n notamos que existe un

número infinito de vectores que cumplen con esta condición, lo cual nos proporciona una

familia de planos paralelos y ortogonales a n.

Las diferentes ecuaciones para planos son las

siguientes:

Ecuación General

𝒂𝒙 𝒃𝒚 𝒄𝒛 𝒅

Ecuación Normal

→

𝒙→

→

→

Ecuación Vectorial

𝒙 →

→

→

→

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Distancia de un punto a un Plano:

La distancia de un punto, P, a un plano , π, es la distancia menor desde el punto a los

puntos infinitos del plano.

Intersección entre una recta y un plano

Para saber la intersección entre una recta y el plano

, hay despejar y, x y z en la ecuación de la recta y después

sustituimos x, y y z en la ecuación del plano. Resolvemos para t, si la solución es única,

con este valor de t obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la

recta.

Tome en cuenta que la ecuación en t puede tener soluciones infinitas (cuando la

recta está en el plano) o también puede no tener solución (cuando no hay

intersección). (ver figura.1)

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Angulo entre una recta y un plano

El ángulo entre una recta y un plano se puede obtener con la ayuda del vector normal del

plano y el vector director de la recta, es importante tomar en cuenta que este ángulo es

agudo, por lo que siempre debe darse de manera que sea >90 grados. (Ver figura 2.)

Figura.2

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Tiempo de Pensar

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El reloj representa aritmética

en el módulo 12

Aritmética Modular

La aritmética modular o aritmética de reloj es un sistema en el cual

se hacen equivalencias para números enteros. En la aritmética

modular se crean ciclos de tamaño n que son llamados módulos, y

dependiendo del módulo así será la cantidad de enteros desde “0”

hasta “n-1”, al llegar al número n se empieza en cero nuevamente.

Para ilustrarlo mejor, puede observar un reloj: Este utiliza

aritmética de módulo 12 ya que va de 0 a 11 y al llegar al 12, se

empieza otro ciclo.

En la aritmética modular solo existen dos operaciones: suma y

multiplicación.

Para calcular el valor de un número en el módulo n, simplemente se

divide el número entero entre n y el residuo es el valor en ese módulo. Ejemplo:

Encontrar el valor de 34 en el módulo Z5.

Al dividir 34/5 , sin importar el cociente, se tiene que el residuo es 4, por lo que el valor de

34 en el módulo Z5 es 4.

Adición y multiplicación en aritmética modular

Para sumar en aritmética modular simplemente se suman los dos números y el resultado

se convierte al módulo Zn. Lo mismo ocurre con la multiplicación, luego de obtener el

resultado se convierte a Zn y se debe recordar que el valor del resultado debe estar entre 0

y (n-1).

Ejemplos de módulos:

Z2

El módulo 2 o Z2 en aritmética modular implica que n=2, por lo que está formado de esta

manera:

Z2 = { 0 , 1 }

La tabla de la suma para el módulo 2 está dada de la siguiente manera:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

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De forma parecida, la tabla de multiplicación:

* 0 1

0 0 0

1 0 1

Z3

El módulo 3 o Z3 en aritmética modular se da por n=3, los números que lo conforman son:

Z3 = { 0 , 1 , 2 }

Tabla de suma:

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

Tabla de multiplicación:

* 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

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Z4

El módulo 4 o Z4 se construye cuando n=4, los números que lo conforman son:

Z4 = { 0 , 1 , 2 , 3 }

Tabla de suma:

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Tabla de multiplicación:

* 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

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Resolución de ecuaciones en Zn

Para resolver ecuaciones en un módulo Zn se siguen pasos similares a los utilizados

regularmente. Primero se debe recordar que en aritmética modular solo existen dos

operaciones: suma y multiplicación. Luego de cada lado de la ecuación se suma lo

necesario para convertir en cero el número que se suma a la variable. Finalmente, se busca

un número dentro del módulo que al multiplicar la constante que multiplica la variable dé

como resultado uno, multiplicando de los dos lados de la ecuación. Ejemplo:

Resolver para x en Z5:

3x + 1 = 2

Se suma 4 de cada lado ya que 4 + 1 en Z5 = 0

3x + 1 + 4 = 2 + 4

3x = 1

Al multiplicar 3 * 2 en Z5 se obtiene 1

2*3x = 1*2

x = 2

Código Universal del producto (UPC)

Este código es el utilizado en casi todos los productos para identificarlos, es un código de

barras y se divide en varias partes:

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El código UPC puede tener n dígitos y para verificar que el código es válido, se debe tomar

en cuenta que:

en Z10

Donde

V= vector del código UPC separado por dígitos

C = vector verificador (nótese que siempre termina en 1) = [… 3 , 1 , 3 , … , 3 , 1 ]

Número internacional de libro (ISBN)

Es un código que, al igual que el UPC sirve

para identificar productos, pero en este caso

solo se limita a libros.

El ISBN, a contrario del UPC solo puede tener

10 ó 13 dígitos y el método de verificación es

similar:

En Z14 si V tiene 13 dígitos o en

Z11 si V tiene 10 dígitos

Donde

V = vector del código ISBN

C = [ 13 , 12 , 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ] Para Z14 ó

C = [ 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ] Para Z11

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones: Método de Gauss

La resolución de sistemas de ecuaciones para 3 variables se basa en el método desarrollado

por Gauss. En este método se crea una matriz asociada al sistema, en la cual

únicamente se colocan los coeficientes de cada una de las variables en el sistema de

ecuaciones lineales. Una vez hecho esto se busca llevar el sistema a la forma escalonada,

este sistema será equivalente al sistema original. El siguiente ejemplo mostrará los

procesos más a detalle, nótese que únicamente es posible utilizar la multiplicación y la

suma al trabajar con las filas de la matriz.

*En este link puede ver el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones lineales:

http://www.youtube.com/watch?v=61cHZrnSwLM

Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si hay una combinación lineal de los

vectores que es igual al vector cero sin que este sea el coeficiente de la combinación lineal.

Un conjunto de vectores linealmente independientes es el que un vector no se puede

escribir como una combinación lineal del resto de vectores en el conjunto.

Espacio generado y conjunto generador

El espacio generado por un conjunto de vectores es el conjunto de combinaciones lineales

de ese grupo de vectores.

El conjunto generador es el conjunto que genera todos los elementos de un vector al operar

a todos sus elementos.

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Referencias Bibliográficas:

Bartolí Jaume. Actividades sobre Vectores en Plano.En:

http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/index.html .Consultado el 1/8/2012

Vitutor. Vectores. En: http://www.vitutor.com/geo/vec/a_6.html .Consultado el

1/8/2012

Casanova, Juan. Vectores. En:

http://cbasefis2bt.wikispaces.com/Vectores+(Por+Juan+Casanova) . Consultado

el 9-1-2013

http://www.vitutor.com/geo/rec/d_1.html