Álgebra lineal - poole 3ed

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Álgebra lineal Una introducción moderna Tercera edición David Poole

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  1. 1. lgebra lineal Una introduccin moderna Tercera edicin David PoolePoolelgebralinealUnaintroduccinmoderna Tercera edicin La innovadora obra de David Poole destaca vectores e intuicin geomtrica desde el principio y prepara mejor al estudiante para hacer la transicin de los aspectos computacionales del curso a los tericos. Diseado para un curso de introduc- cin de uno o dos semestres y escrito de manera sencilla, "el matemtico ingls" Poole centra su enfoque sobre la visualizacin que benecia al estudiante y su conexin con el material. Ofrece ejemplos concretos para introducir al estudiante antes de presentar la abstraccin y sigue inmediata- mente una discusin terica con ejemplos adicionales y una matriz de aplica- ciones a una gran variedad de disciplinas. Estudiantes de una diversidad de fondos y estilos de aprendizaje se benecian de enfoque prctico de Poole, que cubre vectores y geometra vectorial desde el inicio con el n de permitir que los estudiantes visualicen las matemticas mientras estn realizando operaciones matricia- les. Con una comprensin concreta de la geometra de vectores, los estudiantes son capaces de visualizar y comprender el signicado de los clculos que se encuentran y desarrollar la madurez matemtica para pensar en forma abstracta. Caractersticas Exploraciones (1 por captulo) proporcionan guas ms profundas para el descu- brimiento basadas sobre los conceptos claves, diseados para trabajo individual o de grupo. Ms de 400 ejemplos, generalmente trabajados con mayor detalle y ms nfasis en la legibilidad que la mayora de los libros. Los ms de 2000 ejercicios y problemas aplicados a partir de una amplia varie- dad de disciplinas de ingeniera, ciencias fsicas, ciencias biolgicas y empresa- riales. Notas al margen sensibles al contexto para ayuda adicional y referencias cruza- das. Vietas destacando aplicaciones del mundo real en los negocios, la ciencia y la sociedad con debate ampliado de los conceptos detrs de las aplicaciones.
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  5. 5. Traduccin: Vctor Campos Olgun Traductor profesional Revisin tcnica: Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologa Avanzadas Instituto Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico Nacional lgebra lineal Una introduccin moderna Tercera edicin David Poole Trent University Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn Mxico Reino Unido Singapur 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina iii
  6. 6. lgebra lineal, Una introduccin moderna Tercera Edicin David Poole Director de producto y desarrollo Latinoamrica: Daniel Oti Yvonnet Director editorial y de produccin Latinoamrica: Ral D. Zendejas Espejel Editor: Sergio R. Cervantes Gonzlez Coordinadora de produccin editorial: Abril Vega Orozco Editor de produccin: Timoteo Eliosa Garca Coordinador de produccin: Rafael Prez Gonzlez Diseo de portada: Rogelio Raymundo Reyna Reynoso Imagen de portada: Dreamstime Composicin tipogrca: Rogelio Raymundo Reyna Reynoso D.R. 2011 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe nm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea grco, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin, grabacin en audio, distribucin en Internet, distribucin en redes de informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemas de informacin a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Linear Algebra, A Modern Introduction 3rd ed. David Poole Publicado en ingls por Brooks&Cole/Cengage Learning, 2011 ISBN-13: 978-0-538-73545-2 ISBN-10: 0-538-73545-7 Datos para catalogacin bibliogrca: Poole, David lgebra lineal, Una introduccin moderna Tercera Edicin ISBN-13: 978-607-481-748-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 6 7 14 13 12 11 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina iv ISBN - - -0-1 07 481 7480: 6
  7. 7. Para mis profesores y mis alumnos: He aprendido mucho de cada uno de ustedes. 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina v
  8. 8. Prefacio ix Para el profesor xix Para el alumno xxv Vectores 1 1.0 Introduccin: el juego de la pista de carreras 1 1.1 Geometra y lgebra de vectores 3 1.2 Longitud y ngulo: el producto punto 18 Exploracin: Vectores y geometra 32 1.3 Rectas y planos 34 Exploracin: El producto cruz 48 1.4 Aplicaciones 50 Vectores fuerza 50 Vectores cdigo 53 El sistema Codabar 60 Repaso del captulo 61 Sistemas de ecuaciones lineales 63 2.0 Introduccin: trivialidad 63 2.1 Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales 64 2.2 Mtodos directos para resolver sistemas lineales 70 Exploracin: Mentiras que me dice mi computadora 89 Pivoteo parcial 90 Operaciones de conteo: introduccin al anlisis de algoritmos 91 2.3 Conjuntos generadores e independencia lineal 94 2.4 Aplicaciones 105 Asignacin de recursos 105 Balanceo de ecuaciones qumicas 107 Anlisis de redes 108 Redes elctricas 110 Modelos econmicos lineales 113 Juegos lineales nitos 115 El sistema de posicionamiento global 127 2.5 Mtodos iterativos para resolver sistemas linjeales 130 Repaso del captulo 140 Captulo 1 Captulo 2 vi 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina vi
  9. 9. Matrices 142 3.0 Introduccin: matrices en accin 142 3.1 Operaciones con matrices 144 3.2 lgebra matricial 160 3.3 La inversa de una matriz 169 3.4 La factorizacin LU 186 3.5 Subespacios, bases, dimensin y rank 197 3.6 Introduccin a las transformaciones lineales 217 Robtica 232 3.7 Aplicaciones 236 Cadenas de Markov 236 Modelos econmicos lineales 241 Crecimiento poblacional 245 Grafos y digrafos 247 Cdigos de correccin de error 251 Repaso del captulo 262 Eigenvalores y eigenvectores 264 4.0 Introduccin: un sistema dinmico de grafos 264 4.1 Introduccin a eigenvalores y eigenvectores 265 4.2 Determinantes 274 Mtodo de condensacin de Lewis Carroll 295 Exploracin: Aplicaciones geomtricas de los determinantes 297 4.3 Eigenvalores y eigenvectores de matrices n n 303 4.4 Semejanza y diagonalizacin 312 4.5 Mtodos iterativos para calcular eigenvalores 322 4.6 Aplicaciones y el teorema de Perron-Frobenius 336 Cadenas de Markov 336 Crecimiento poblacional 341 El Teorema de Perron-Frobenius 343 Relaciones de recurrencia lineal 346 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 351 Sistemas dinmicos lineales discretos 359 Clasicacin de equipos deportivos y bsqueda en Internet 367 Repaso del captulo 375 Ortogonalidad 377 5.0 Introduccin: sombras en la pared 377 5.1 Ortogonalidad en n 379 5.2 Complementos y proyecciones ortogonales 389 5.3 El proceso de Gram-Schmidt y la factorizacin QR 399 Exploracin: La factorizacin QR modicada 407 Cmo aproximar eigenvalores con el algoritmo QR 409 5.4 Diagonalizacin ortogonal de matrices simtricas 411 5.5 Aplicaciones 419 Cdigos duales 419 Contenido vii Captulo 3 Captulo 4 Captulo 5 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina vii
  10. 10. Formas cuadrticas 425 Gracacin de ecuaciones cuadrticas 432 Repaso del captulo 443 Espacios vectoriales 445 6.0 Introduccin: Fibonacci en el espacio (vectorial) 445 6.1 Espacios y subespacios vectoriales 447 6.2 Independencia lineal, bases y dimensin 461 Exploracin: Cuadrados mgicos 478 6.3 Cambio de base 481 6.4 Transformaciones lineales 490 6.5 El kernel y el rango de una transformacin lineal 499 6.6 La matriz de una transformacin lineal 515 Exploracin: Mosaicos, retculas y la restriccin cristalogrca 533 6.7 Aplicaciones 536 Ecuaciones diferenciales lineales homogneas 536 Cdigos lineales 543 Repaso del captulo 550 Distancia y aproximacin 552 7.0 Introduccin: geometra de taxi 552 7.1 Espacios con producto interno 554 Exoploracin: Vectores y matrices con entradas complejas 566 Desigualdades geomtricas y problemas de optimizacin 570 7.2 Normas y funciones de distancia 575 7.3 Aproximacin por mnimos cuadrados 591 7.4 La descomposicin de valor singular 613 Compresin de imgenes digitales 630 7.5 Aplicaciones 633 Aproximacin de funciones 633 Cdigos de correccin de error 640 Repaso del captulo 645 APNDICE A Notacin matemtica y mtodos de demostracin 648 APNDICE B Induccin matemtica 657 APNDICE C Nmeros complejos 664 APNDICE D Polinomios 675 APNDICE E Technology Bytes Online-only Respuestas a ejercicios impares seleccionados 685 ndice 720 viii Contenido Captulo 6 Captulo 7 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:41 Pgina viii
  11. 11. Vea The College Mathematics Journal 24 (1993), 41-46. Lo ltimo que uno sabe cuando escribe un libro, es qu poner primero. Blaise Pascal Penses, 1670 La tercera edicin de lgebra lineal: una introduccin moderna conserva el enfoque y ca- ractersticas que los usuarios encontraron como fortalezas de la edicin anterior. Sin em- bargo, agregu nuevo material para hacer el libro til para una audiencia ms amplia y tambin refresqu los ejercicios. Quiero que los alumnos vean al lgebra lineal como una materia excitante y que apre- cien su tremenda utilidad. Al mismo tiempo, quiero ayudarles a dominar los conceptos y tcnicas bsicas del lgebra lineal que necesitarn en otros cursos, tanto en matemticas como en otras disciplinas. Tambin quiero que los alumnos aprecien la interaccin de las matemticas tericas, aplicadas y numricas que impregna la materia. Este libro est diseado para usarse en un curso introductorio de lgebra lineal en uno o dos semestres. Primero, y ms importante, est dirigido a los alumnos, e hice mi mejor esfuerzo para escribir el libro de modo que ellos no slo lo encuentren legible, sino tam- bin que quieran leerlo. Como en la primera y segunda ediciones, tom en cuenta la reali- dad de que los alumnos que cursan lgebra lineal introductoria probablemente provengan de varias disciplinas.Adems de las especialidades en matemticas,es adecuado para los es- pecializados en ingeniera, fsica, qumica, ciencias de la computacin, biologa, ciencias ambientales, geografa, economa, psicologa, negocios y educacin, as como otros alum- nos que toman el curso como una materia optativa o para cumplir los requisitos del grado. En concordancia, el libro equilibra teora y aplicaciones, est escrito en un estilo conversa- cional aunque es completamente riguroso, y combina una presentacin tradicional con la preocupacin por el aprendizaje centrado en el alumno. No existe como un mejor estilo de aprendizaje nico. En cualquier grupo habr algu- nos alumnos que trabajen bien de manera independiente y otros que trabajen mejor en grupos; algunos que preeran el aprendizaje basado en conferencias y otros que prosperen en un escenario de talleres, realizando exploraciones; algunos que gocen con las manipula- ciones algebraicas, algunos que sean fanticos del clculo numrico (con y sin compu- tadora) y algunos que muestren fuerte intuicin geomtrica. En este libro contino la pre- sentacin del material en varias formas (algebraica, geomtrica, numrica y verbal) de modo que todos los tipos de aprendices puedan encontrar una ruta a seguir. Tambin trat de presentar los temas terico, de clculo y aplicacin en una forma exible, aunque inte- grada. Al hacerlo, espero que todos los alumnos estarn expuestos a los muchos lados del lgebra lineal. Este libro es compatible con las recomendaciones del Lineal Algebra Curriculum Study Group. Desde un punto de vista pedaggico, no hay duda de que, para la mayora de los ix 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina ix
  12. 12. alumnos,los ejemplos concretos deben anteceder a la abstraccin.Aqu tom este enfoque. Tambin creo rmemente que el lgebra lineal trata esencialmente de vectores y que los alumnos deben ver primero vectores (en un escenario concreto) con la nalidad de obte- ner cierta comprensin geomtrica. Ms an, la introduccin temprana de los vectores permite a los alumnos ver cmo los sistemas de ecuaciones lineales surgen de manera na- tural de problemas geomtricos. Luego las matrices surgen igualmente de manera natural como matrices de coecientes de sistemas lineales y como agentes de cambio (transforma- ciones lineales). Esto prepara el escenario para los eigenvectores y las proyecciones ortogo- nales, los cuales se entienden mejor geomtricamente. Los dardos que aparecen en la cu- bierta de este libro simbolizan vectores y reejan mi conviccin de que la comprensin geomtrica debe anteceder a las tcnicas de clculo. Trat de limitar el nmero de teoremas en el texto. En su mayor parte, los resultados marcados como teoremas se usarn ms tarde en el texto o resumen el trabajo prece- dente. Los resultados interesantes que no son el tema central del libro se incluyeron como ejercicios o exploraciones. Por ejemplo, el producto cruz de vectores se estudia slo en exploraciones (en los captulos 1 y 4). A diferencia de la mayora de los libros de lgebra lineal, el que tiene en sus manos no tiene un captulo acerca de determinantes. Los resultados esenciales estn todos en la seccin 4.2, con otro material interesante con- tenido en una exploracin. Sin embargo, el libro es muy completo para ser un texto in- troductorio. Siempre que fue posible, inclu pruebas elementales y accesibles a los teore- mas, con la nalidad de evitar el tener que decir: la prueba de este resultado est ms all del mbito de este texto. El resultado es, espero, una obra completa en s misma. No fui tacao con las aplicaciones: existen muchas ms en el libro de las que se pue- den abarcar en un solo curso. Sin embargo, es importante que los alumnos vean la im- presionante gama de problemas a la que puede aplicarse el lgebra lineal. Inclu algn material moderno acera de teora de codicacin que por lo general no se encuentra en un texto introductorio de lgebra lineal. Tambin hay impresionantes aplicaciones del lgebra lineal en el mundo real, y un tema de inters histrico, si no prctico, que se pre- senta como vietas independientes. Espero que los profesores disfruten la enseanza a partir de este libro. Ms importante: espero que los alumnos que usen el libro terminen el curso apreciando la belleza, el poder y la tremenda utilidad del lgebra lineal y que tengan diversin a lo largo del camino. Qu hay de nuevo en la tercera edicin La estructura global y el estilo de lgebra lineal: una introduccin moderna siguen siendo los mismos que en la tercera edicin. He aqu un resumen del material nuevo: El captulo 1 se reorganiz de manera extensa. La introduccin a la aritmtica modular y al lgebra lineal nita se movieron a la seccin 1.1. La seccin 1.4 ahora slo contiene aplicaciones: vectores cdigo y una nueva subseccin acerca de vectores fuerza, como aparecen en fsica e ingeniera. Los modelos econmicos lineales, un tema de importancia en negocios y economa, se agregaron como aplicacin en los captulos 2 y 3. Una nueva vieta acerca del mtodo de condensacin de Lewis Carroll para evaluar determinantes se agreg al captulo 4. Hay ms de 400 ejercicios nuevos o revisados. Realic numerosos cambios pequeos de redaccin para mejorar la claridad o precisin de la exposicin. Las asignaciones de tareas en lnea ahora pueden realizarse usando Enhanced WebAssign, que contiene ejercicios relacionados con el libro. x Prefacio Vea las pginas 13, 50 Vea las pginas 113, 241 Vea la pgina 295 Vea la pgina xvi 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina x
  13. 13. Ejercicios, con soluciones, ahora estn disponibles para los Apndices en el sitio web para el libro a disposicin del profesor. Esto facilitar el uso del libro para aquellos profesores que incluyan material de los apndices en sus cursos. Todos los auxiliares existentes se actualizaron y muchos se colocaron en el sitio web de la empresa. Caractersticas Estilo de escritura claro El texto est escrito en un estilo simple, directo y conversacional. Tanto como fue posi- ble, usidioma matemticoen lugar de apoyarme de manera excesiva en notacin ma- temtica. Sin embargo, todas las pruebas dadas son totalmente rigurosas y el Apndice A contiene una introduccin a la notacin matemtica para quienes deseen simplicar su propia escritura. Ejemplos concretos casi siempre preceden a los teoremas, a los que luego siguen ms ejemplos y aplicaciones. Este ujo, de lo especco a lo general y de re- greso, es consistente a lo largo del libro. Conceptos clave introducidos al inicio Muchos alumnos encuentran dicultad en el lgebra lineal cuando el curso avanza de la realizacin de clculos (resolver sistemas de ecuaciones lineales, manipulacin de vecto- res y matrices) a lo terico (espacios generadores, independencia lineal, subespacios, bases y dimensin). Este libro introduce todos los conceptos clave del lgebra lineal muy temprano, en un escenario concreto, antes de volver a visitarlos con total generalidad. Los conceptos vectoriales como producto punto, longitud, ortogonalidad y proyeccin se estudian primero en el captulo 1, en el escenario concreto de 2 y 3 antes de que las nociones ms generales de producto interior, norma y proyeccin ortogonal aparezcan en los captulos 5 y 7. De igual modo, a los espacios generadores y la independencia li- neal se les da un tratamiento concreto en el captulo 2, antes de su generalizacin a es- pacios vectoriales en el captulo 6. Los conceptos fundamentales de subespacio, base y dimensin aparecen primero en el captulo 3, cuando se introducen los espacios ren- gln, columna y nulo de una matriz; no es sino hasta el captulo 6 cuando a estas ideas se les da un tratamiento general. En el captulo 4 se introducen los eigenvalores y los ei- genvectores, y se exploran para matrices de 2 2 antes de que aparezcan sus contrapar- tes de n n.Al comenzar el captulo 4, todos los conceptos clave del lgebra lineal se han introducido, con ejemplos de clculo concretos para apoyarlos. Cuando dichas ideas aparecen con plena generalidad ms tarde en el libro, los alumnos han tenido tiempo de acostumbrarse a ellos y, por tanto, no se sienten intimidados. nfasis en vectores y geometra Al conservar la losofa de que el lgebra lineal trata principalmente con vectores, este libro subraya la intuicin geomtrica. En concordancia, el primer captulo es acerca de vectores y desarrolla muchos conceptos que aparecern de manera repetida a lo largo del texto. Conceptos como ortogonalidad, proyeccin y combinacin lineal se encuentran todos en el captulo 1, as como un tratamiento amplio de lneas y planos en 3 que ofrece comprensin esencial a la solucin de sistemas de ecuaciones lineales. Este nfasis en vectores, geometra y visualizacin se encuentra a lo largo del texto. Las transforma- ciones lineales se introducen como transformaciones de matrices en el captulo 3, con muchos ejemplos geomtricos, antes de incluir las transformaciones lineales generales en el captulo 6. En el captulo 4 se introducen los eigenvalores con eigenimgenes Prefacio xi Vea la pgina xv 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xi
  14. 14. como auxiliar visual. La prueba del Teorema de Perron se proporciona primero heurs- ticamente y luego formalmente, en ambos casos usando un argumento geomtrico. La geometra de los sistemas dinmicos lineales refuerza y resume el material acerca de ei- genvalores y eigenvectores. En el captulo 5, las proyecciones ortogonales, los comple- mentos ortogonales de subespacios y el proceso Gram-Schmidt se presentan todos en el escenario concreto de 3 antes de generalizarse a n y, en el captulo 7, a espacios de pro- ducto interior. La naturaleza de la descomposicin del valor singular tambin se explica de manera informal en el captulo 7 va un argumento geomtrico. De las ms de 300 - guras en el texto, ms de 200 se dedican a fomentar una comprensin geomtrica del l- gebra lineal. Exploraciones La introduccin a cada captulo es una exploracin guiada (seccin 0) en la que se invita a los alumnos a descubrir, individualmente o en grupos, algn aspecto del captulo veni- dero. Por ejemplo, El juego de la pista de carreras introduce los vectores, Matrices en accin introduce la multiplicacin de matrices y las transformaciones lineales, Fibo- nacci en el espacio (vectorial) toca conceptos de espacio vectorial yGeometra de taxi establece normas generalizadas y funciones de distancia. Las exploraciones adicionales que se encuentran a lo largo del libro incluyen aplicaciones de vectores y determinantes a la geometra, una investigacin de los cuadrados mgicos de 3 3, un estudio de la si- metra basado en los mosaicos de M. C. Escher, una introduccin al lgebra lineal com- pleja y problemas de optimizacin usando desigualdades geomtricas. Tambin existen exploraciones que introducen importantes consideraciones numricas y el anlisis de al- goritmos. Hacer que los alumnos realicen algunas de estas exploraciones es una forma de alentarlos a convertirse en aprendices activos y de darles dominio sobre una pequea parte del curso. Aplicaciones El libro contiene una abundante seleccin de aplicaciones elegidas de una amplia gama de disciplinas, incluidas matemticas, ciencias de la computacin, fsica, qumica, inge- niera, biologa, negocios, economa, psicologa, geografa y sociologa. Digno de aten- cin entre stas es un fuerte tratamiento de la teora de codicacin, desde los cdigos de deteccin de error (como el International Standard Book Numbers) hasta sosticados cdigos de correccin de error (como el cdigo Reed-Muller, que se us para transmitir fotografas satelitales desde el espacio). Adicionalmente, existen cinco vietas que pre- sentan brevemente algunas aplicaciones muy modernas del lgebra lineal: el sistema Co- dabar, el sistema de posicionamiento global (GPS), robtica, motores de bsqueda en Internet y la compresin de imgenes digitales. Ejemplos y ejercicios Existen ms de 400 ejemplos en este libro, la mayora resueltos con mayor detalle de lo acostumbrado en un libro de texto introductorio al lgebra lineal. Este nivel de detalle es consecuente con la losofa de que los alumnos querrn (y podrn) leer un libro de texto. En concordancia, no se tiene la intencin de que todos los ejemplos se estudien en clase; muchos pueden asignarse para estudio individual o grupal, posiblemente como parte de un proyecto. La mayora de los ejemplos tienen al menos un ejercicio contra- parte, de modo que los alumnos pueden practicar las habilidades incluidas en el ejemplo antes de explorar las generalizaciones. Hay ms de 2000 ejercicios, ms que en la mayora de los libros de texto de nivel si- milar. La respuesta a la mayora de los ejercicios de clculo con nmero impar puede en- xii Prefacio Vea las pginas 1, 142, 445, 552 Vea las pginas 89, 90, 91, 407, 409 Vea las pginas 57, 545 Vea las pginas 60, 127, 232, 367, 630 Vea las pginas 32, 297, 478, 533, 566, 570 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xii
  15. 15. contrarse en la parte nal del libro. Los profesores descubrirn una riqueza de ejercicios de dnde elegir para asignaciones de tarea en casa. (En la Gua del Instructor en lnea se brindan algunas sugerencias.) Los ejercicios en cada seccin estn graduados y avanzan de lo rutinario a lo desaante. Los ejercicios varan desde los que tienen la intencin del clculo mental a los que requieren el uso de una calculadora o un sistema algebraico de cmputo, y de los ejercicios tericos y numricos a los ejercicios conceptuales. Muchos de los ejemplos y ejercicios usan datos reales recopilados de situaciones del mundo real. Por ejemplo, existen problemas acerca de modelado del crecimiento de poblaciones de caribes y focas, datacin con radiocarbono del monumento de Stonehenge y predic- cin de salarios de jugadores de las grandes ligas de beisbol. Trabajar tales problemas re- fuerza el hecho de que el lgebra lineal es una valiosa herramienta para el modelado de problemas de la vida real. Ejercicios adicionales aparecen en forma de repaso al nal de cada captulo. En cada conjunto hay 10 preguntas verdadero/falso diseadas para poner a prueba la compren- sin conceptual, seguidas por 19 ejercicios de clculo y tericos que resumen los princi- pales conceptos y tcnicas de cada captulo. Bosquejos biogrficos y notas etimolgicas Es importante que los alumnos aprendan algo acerca de la historia de las matemticas y lleguen a verla como un esfuerzo social y cultural, as como cientco. En concordancia, el texto contiene breves bosquejos biogrcos acerca de muchos de los matemticos que contribuyeron al desarrollo del lgebra lineal. Espero que estos bosquejos ayuden a poner un rostro humano a la materia y que proporcionen a los alumnos otra forma de relacionarse con el material. La Gua del Instructor en lnea sugiere formas para ampliar algunas de tales notas biogrcas en proyectos de ensayo. Descubr que muchos alumnos se sienten alejados de las matemticas porque la ter- minologa no tiene sentido para ellos: se trata simplemente de una coleccin de palabras por aprender. Para ayudar a superar este problema, inclu breves notas etimolgicas que ofrecen los orgenes de muchos de los trminos que se usan en lgebra lineal. (Por ejem- plo, por qu se usa la palabra normal para referirse a un vector que es perpendicular a un plano?) Iconos marginales Los mrgenes del libro contienen muchos iconos cuyo propsito es alertar al lector en varias formas. El clculo no es un prerrequisito para este libro, pero el lgebra lineal tiene muchas aplicaciones interesantes e importantes para el clculo. El icono denota un ejemplo o ejercicio que requiere clculo. (Este material puede omitirse si nadie en el grupo ha cursado al menos un semestre de clculo. Alternativamente, pueden asignarse como proyectos.) El icono denota un ejemplo o ejercicio que involucra nmeros complejos. (Para los alumnos no familiarizados con los nmeros complejos, el Apn- dice C contiene todo el material de antecedentes que se necesita.) El icono indica que se requiere, o al menos es muy til, un sistema algebraico de cmputo (como Maple, Mathematica o MATLAB) o una calculadora con capacidades para matrices (como la TI-89, TI-Nspire, HP-48gII, HP-50g, Casio 9850GC+ o Sharp EL-9200C) para resolver el ejemplo o ejercicio. Con la intencin de ayudar a los alumnos a aprender cmo leer y usar este libro de texto de manera ms efectiva, anot varios lugares donde se aconseja al lector detenerse por un momento. Se trata de lugares donde se necesita un clculo, debe suministrarse parte de una prueba, debe vericarse una armacin o se requiere algo de pensamiento adicional. El icono aparece en el margen de tales lugares; el mensaje es: Detn- gase. Saque su lpiz. Piense en esto. IIIIIIIIII CAS a + bi dy dx Prefacio xiii Vea las pginas 257, 370, 547, 611 Vea la pgina 34 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xiii
  16. 16. Tecnologa Este libro puede usarse exitosamente ya sea que los alumnos tengan o no acceso a la tec- nologa. Sin embargo, las calculadoras con capacidades para matrices y los sistemas alge- braicos de cmputo son ahora comunes y, utilizados de manera adecuada, pueden enri- quecer la experiencia de aprendizaje as como ayudar con los clculos tediosos. En este texto se toma el punto de vista de que los alumnos necesitan dominar todas las tcnicas bsicas del lgebra lineal al resolver ejemplos a mano que no son demasiado difciles para realizar clculos. Entonces la tecnologa puede usarse (en todo o en parte) para re- solver ejemplos y aplicaciones posteriores, y para aplicar tcnicas que se apoyen en los primeros. Por ejemplo, cuando se introducen por primera vez sistemas de ecuaciones li- neales, se proporcionan soluciones detalladas; ms tarde, simplemente se presentan las soluciones, y se espera que el lector las compruebe. Este es un buen lugar para usar al- guna forma de tecnologa. Del mismo modo, cuando las aplicaciones usen datos que hagan imprcticos los clculos a mano, use tecnologa. Todos los mtodos numricos que se estudian dependen del uso de tecnologa. Con la ayuda de tecnologa, los alumnos pueden explorar el lgebra lineal en ciertas formas excitantes y descubrir mucho por ellos mismos. Por ejemplo, si uno de los coe- cientes de un sistema lineal se sustituye por un parmetro, cunta variabilidad hay en las soluciones? Cmo cambiar una sola entrada de una matriz afecta sus eigenvalores? Este libro no es un curso acerca de tecnologa, y en los lugares donde sta puede usarse, no se especica un tipo particular de tecnologa. El sitio web para el alumno que acom- paa a este libro ofrece un apndice en lnea llamado Technology Bytes que ofrece ins- trucciones para resolver una seleccin de ejemplos de cada captulo usando Maple, Mathematica y MATLAB. Al imitar dichos ejemplos, los alumnos pueden realizar ms clculos y exploraciones usando cualquier CAS (siglas en ingls de sistema algebraico de cmputo), MATLAB que tengan y explotar el poder de dichos sistemas para auxiliarse con los ejercicios a lo largo del libro, en particular con los marcados con el icono . El sitio web tambin contiene conjuntos de datos y cdigo de cmputo en formatos Maple, Mathematica y MATLAB relacionados con muchos ejercicios y ejemplos en el texto. Alumnos y profesores pueden importarlos directamente en su CAS para conservar la es- critura y eliminar errores. lgebra lineal finita y numrica El texto abarca dos aspectos del lgebra lineal que escasamente se mencionan juntos: l- gebra lineal nita y lgebra lineal numrica. Al introducir pronto aritmtica modular, es posible hacer del lgebra lineal nita (ms correctamente, lgebra lineal sobre campos nitos, aunque yo no uso dicha frase) un tema recurrente a lo largo del libro. Este enfo- que brinda acceso al material acerca de teora de codicacin en las secciones 1.4, 3.7, 5.5, 6.7 y 7.5. Tambin hay una aplicacin a juegos lineales nitos en la seccin 2.4 que los alumnos realmente gozarn. Adems de estar expuestos a las aplicaciones de lgebra lineal nita, quienes se especialicen en matemticas se beneciarn de ver el material acerca de campos nitos, porque probablemente los encontrarn en cursos como mate- mticas discretas, lgebra abstracta y teora de nmeros. Todos los alumnos deben tener en cuenta que, en la prctica, en el lgebra lineal es imposible llegar a soluciones exactas de problemas de gran escala. La exposicin a algu- nas de las tcnicas del lgebra lineal numrica brindar un indicio de cmo obtener so- luciones aproximadas enormemente precisas. Algunos de los temas numricos incluidos en el libro son: errores de redondeo y pivoteo parcial, mtodos iterativos para resolver sistemas lineales y eigenvalores de computacin, las factorizaciones LU y QR, las normas matriciales y nmeros de condicin, aproximacin por mnimos cuadrados y el valor singular de descomposicin. La inclusin del lgebra lineal numrica tambin plantea algunos problemas interesantes e importantes que estn ausentes por completo de la teo- CAS xiv Prefacio Vea las pginas 53, 111, 251, 419, 543, 640 Vea las pginas 89, 90, 130, 322, 392, 403, 584, 591, 613 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xiv
  17. 17. ra del lgebra lineal, como las estrategias de pivoteo, la condicin de un sistema lineal y la convergencia de los mtodos iterativos. Este libro no slo plantea dichas cuestiones, sino tambin muestra cmo puede abordarlos. Los discos de Gerschgorin, las normas matriciales y los valores singulares de una matriz, que se estudian en los captulos 4 y 7, son tiles a este respecto. Apndices El Apndice A contiene un panorama de la notacin matemtica y mtodos de prueba, y el Apndice B discute la induccin matemtica. Todos los alumnos se beneciarn de dichas secciones, pero quienes estn orientados a una especialidad en matemticas acaso deban poner particular atencin en ellos. Algunos de los ejemplos en dichos apndices son raros (por ejemplo, el ejemplo B.6 del Apndice B) y subrayan el poder de los mto- dos. El Apndice C es una introduccin a los nmeros complejos. Para alumnos familia- rizados con dichos resultados, este apndice puede servir como una til referencia; para otros, esta seccin contiene todo lo que necesitan conocer para aquellas partes del texto que usan nmeros complejos. El Apndice D es acerca de polinomios. Descubr que mu- chos alumnos requieren repasar estos temas. La mayora de los alumnos no est familia- rizado con la regla de los signos de Descartes; se usa en el captulo 4 para explicar el com- portamiento de los eigenvalores de las matrices de Leslie. Los ejercicios que acompaan los cuatro apndices pueden encontrarse en el sitio web del libro. Al nal del libro se proporcionan respuestas cortas a la mayora de los ejercicios de clculo con nmero impar. Los conjuntos de ejercicios para acompaar los Apndices A, B, C y D estn disponibles en el sitio web acompaante, junto con sus respuestas de n- mero impar. Auxiliares Los siguientes complementos estn todos disponibles de manera gratuita para los profe- sores que adopten lgebra lineal: una introduccin moderna (tercera edicin). Los alum- nos pueden comprar el Manual de Soluciones y Gua de Estudio del Alumno, por separado o adjunto con el libro. El sitio web tiene secciones protegidas con contrasea para alum- nos y profesores. Manual de Soluciones y Gua de Estudio del Alumno ISBN-10: 0-538-73771-9; ISBN-13: 978-0-538-73771-5 Incluye soluciones detalladas de todos los ejercicios con nmero impar y de ejercicios se- leccionados con nmero par; resmenes de seccin y captulo de smbolos, deniciones y teoremas; y consejos y sugerencias de estudio. Los ejercicios complejos se exploran me- diante un formato pregunta/respuesta diseado para profundizar en el conocimiento. Tambin se incluyen problemas desaantes y de entretenimiento que exploran an ms ejercicios seleccionados. Solution Builder www.cengage.com/solutionbuilder Ofrece al profesor soluciones completas de todos los ejercicios del texto, incluidos los que se encuentran en las exploraciones y repasos de captulo, en conveniente formato en lnea. Solution Builder permite a los profesores crear impresiones personalizadas segu- ras de soluciones en PDF que coinciden exactamente con los ejercicios asignados al grupo. Disponible para quienes adopten el libro al rmar en la direccin web mencio- nada anteriormente. Prefacio xv Vea las pginas 330, 586, 623 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xv
  18. 18. Gua del Instructor www.cengage.com/math/poole, sitio web para el profesor Esta gua en lnea, escrita por Douglas Shaw y Michael Prophet, aumenta el texto con va- liosos recursos pedaggicos como proyectos de trabajo grupal, consejos pedaggicos, in- teresantes preguntas de examen, ejemplos y material adicional para clases, y otros tems diseados para reducir el tiempo de preparacin del profesor y hacer que las clases de l- gebra lineal sean una experiencia atractiva e interactiva. Para cada seccin del texto, la Gua del Instructor incluye tiempo y nfasis sugeridos, puntos a resaltar, preguntas para discusin, materiales y ejemplos de clase, consejos tecnolgicos, proyectos estudiantiles, trabajo grupal con soluciones, ejemplos de tareas y sugerencias de preguntas para exa- men. ExamView banco de exmenes electrnico ISBN-10: 0-538-73770-0; ISBN-13: 978-0-538-73770-8 El software para exmenes ExamView permite a los profesores crear, entregar y persona- lizar rpidamente exmenes para sus grupos en formatos impresos y en lnea, y caracte- rsticas de calicacin automtica. Incluye ms de 500 preguntas verdadero/falso, opcin mltiple y respuesta libre con base en el texto. Todos los tems de examen tambin se proporcionan en formatos PDF y Microsoft Word para los profesores que opten por no usar el componente de software. Enhanced WebAssign Un sistema de enseanza/aprendizaje fcil de usar en lnea que ofrece tareas para casa asignables, calicacin automtica, asistencia interactiva para estudiantes y control de gestin de curso para profesores. Con cientos de ejercicios acordes al texto, los alumnos obtienen prctica para resolver problemas que clarican el lgebra lineal, construyen ha- bilidades e impulsan la comprensin conceptual. La interfase simple y amigable con el usuario de Enhanced WebAssign permite a los profesores crear rpidamente un curso, inscribir alumnos, seleccionar problemas para una tarea y controlar el nmero de inten- tos de respuesta que se permitan a los alumnos. Una boleta de calicaciones rica en ca- ractersticas ayuda a administrar las calicaciones del grupo, establecer curvas de cali- cacin, asignar fechas lmite y exportar resultados a una hoja de clculo fuera de lnea. Para ms informacin, visite www.webassign.net/brookscole. Sitio web para lgebra lineal: Una introduccin moderna www.cengage.com/math/poole Contiene materiales adicionales en lnea para acompaar el texto dirigidos a alumnos y profesores. Aqu pueden encontrarse ejercicios para acompaar los apndices del libro, junto con respuestas seleccionadas. El apndice Technology Bytes ofrece instrucciones CAS para Maple, Mathematica y MATLAB para resolver ejemplos de cada captulo. Con- juntos de datos CAS descargables en formatos Maple, Mathematica y MATLAB ofrecen cdigo directo de computadora para trabajar ejercicios y ejemplos del texto en un CAS. La Gua del Instructor, versiones estticas de los tems de examen ExamView y otros re- cursos tiles tambin son accesibles aqu slo para los profesores. Reconocimientos Los revisores de cada edicin de este texto aportaron valiosos y con frecuencia perspica- ces comentarios acerca del libro. Estoy agradecido por el tiempo que cada uno de ellos tom para hacer esto. Su juicio y tiles sugerencias contribuyeron enormemente al desa- rrollo y xito de este libro, y quiero agradecerles personalmente: Mark Brittenham, University of Nebraska; Marek Elzanowski, Portland State Univer- sity; J. Douglas Faires, Youngstown State University; Yuval Flicker, The Ohio State Uni- versity; Justin Travis Gray, Simon Fraser University; William Hager, University of xvi Prefacio 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xvi
  19. 19. Florida; Sasho Kalajdzievski, University of Manitoba; Israel Koltracht, University of Connecticut; Dr. En-Bing Lin, University of Toledo; Dr. Asamoah Nkwanta, Morgan State University; Gleb Novitchkov, Penn State University; Arthur Robinson, George Washington University; Roman Smirnov, Dalhousie University; Ron Solomon, Ohio State University; Mo Tavakoli, Chaffey College; Bruno Welfert, Arizona State Univer- sity. Estoy en deuda con mucha gente que, a lo largo de los aos, inuy en mis percep- ciones acerca del lgebra lineal y la enseanza de las matemticas en general. Primero, quiero agradecer de manera colectiva a los participantes en las sesiones de educacin y lgebra lineal especial en reuniones de la Mathematical Association of America y la Ca- nadian Mathematical Society. Tambin aprend mucho de la participacin en la Cana- dian Mathematics Education Study Group y el Canadian Mathematics Education Forum. Quiero agradecer especialmente a Ed Barbeau, Bill Higginson, Richard Hoshino, John Grant McLoughlin, Eric Muller, Morris Orzech, Bill Ralph, Pat Rogers, Peter Taylor y Walter Whiteley, cuyos consejos e inspiracin contribuyeron enormemente con la lo- sofa y el estilo de este libro. Mi gratitud tambin para Robert Rogers, quien desarroll las soluciones para alumnos y profesores, as como el excelente contenido de la gua de estudio. Un agradecimiento especial para Jim Stewart por su apoyo y consejos conti- nuos. Joe Rotman y su adorable libro A First Course in Abstract Algebra inspir las notas etimolgicas en este libro, y me apoy bastante en el The Words of Mathematics de Steven Schwartzman cuando compil dichas notas. Agradezco a Art Benjamin por introdu- cirme en el sisetma Codabar. Mis colegas Marcus Pivato y Reem Yassawi ofrecieron in- formacin til acerca de los sistemas dinmicos. Como siempre, estoy agradecido con mis alumnos por plantear buenas preguntas y proporcionarme la realimentacin nece- saria para convertirme en un mejor profesor. Sinceramente agradezco a todas las personas que estuvieron involucradas en la pro- duccin de este libro. Gunjan Chandola y su equipo en MPS Limited realizaron una sor- prendente labor al producir la tercera edicin con un calendario muy apretado. Agra- dezco a Roger Lipsett por realizar una excelente labor al vericar la precisin de esta edicin y a Richard Camp por hacer una concienzuda correccin del libro. Ha sido una experiencia deliciosa trabajar con los autores de los auxiliares, quienes estuvieron en la misma longitud de onda que yo desde el principio. Doug Shaw y Mike Prophet escribie- ron una excelente Gua del Instructor; Richard Pappas expandi y mejor el contenido del banco de exmenes disponible en ExamView. Sobre todo, ha sido una delicia traba- jar con todos los equipos editoriales, de marketing y de produccin en Cengage Lear- ning: Molly Taylor, editora sponsor; Dan Seibert, editor asociado; Shaylin Walsh, asis- tente editorial; Susan Miscio, gerente de proyecto de contenido; Andrew Coppola, editor de medios; y Jennifer Jones, gerente de marketing. Ellos ofrecieron atinados consejos acerca de cambios y adiciones, ofrecieron ayuda cuando la necesitaba, pero me permi- tieron escribir el libro que quera. Soy afortunado por haber trabajado con ellos, as como con el personal de las ediciones primera y segunda. Como siempre, agradezco a mi familia por su amor, apoyo y comprensin. Sin ellos, este libro no habra sido posible. David Poole [email protected] Prefacio xvii 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xvii
  20. 20. 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xviii
  21. 21. Me diras, por favor, hacia dnde debo ir desde aqu? Eso depende bastante de hacia dnde quieras ir, dijo el Gato. Lewis Carroll Alices Adventures in Wonderland, 1865 Este texto se escribi con exibilidad en mente. Tiene la intencin de usarse en un curso de uno o dos semestres con 36 clases por semestre. La gama de temas y aplicaciones lo hace adecuado para varias audiencias y tipos de cursos. Sin embargo, hay ms material en el libro del que puede estudiarse en clase, incluso en un curso de dos semestres. Des- pus del siguiente panorama del texto hay algunas breves sugerencias acerca de formas de usar el libro. La Gua del Instructor en lnea tiene sugerencias ms detalladas, incluidas notas pedaggicas, ejercicios recomendados, actividades y proyectos para el saln de clase, y temas adicionales Panorama del texto Captulo 1: Vectores El juego de la pista de carreras en la seccin 1.0 sirve para introducir los vectores de ma- nera informal. (Tambin es muy divertido para jugar!) Luego los vectores se introducen formalmente tanto desde un punto de vista algebraico como de uno geomtrico. Las operaciones de suma y multiplicacin escalar y sus propiedades se desarrollan primero en los escenarios concretos de 2 y 3 antes de generalizarse a n . Tambin se introdu- cen la aritmtica modular y el lgebra lineal nita. La seccin 1.2 dene el producto punto de vectores y las nociones relacionadas de longitud, ngulo y ortogonalidad. El concepto muy importante de proyeccin (ortogonal) se desarrolla aqu; reaparecer en los captulos 5 y 7. La exploracin Vectores y geometra muestra cmo pueden usarse mtodos vectoriales para probar ciertos resultados en la geometra euclideana. La sec- cin 1.3 es una introduccin bsica, aunque amplia, a las lneas y los planos en 2 y 3 . Esta seccin es crucial para comprender el signicado geomtrico de la solucin de los sistemas lineales del captulo 2. Note que el producto cruz de vectores en 3 se deja como exploracin. El captulo concluye con dos aplicaciones: vectores fuerza y vectores cdigo. La mayora de los alumnos disfrutarn la aplicacin al Universal Product Code (UPC) y al International Standard Book Number (ISBN). La vieta acerca del sistema Codabar que se usa en tarjetas de crdito y bancarias es una excelente presentacin para clase que incluso puede usarse para introducir la seccin 1.4 xix Vea la pgina 1 Vea la pgina 32 Vea la pgina 48 Vea las pginas 56, 57, 60 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xix
  22. 22. Captulo 2: Sistemas de ecuaciones lineales La introduccin a este captulo sirve para ilustrar que existe ms de una forma de en- contrar una solucin para un sistema de ecuaciones lineales. Las secciones 2.1 y 2.2 de- sarrollan la principal herramienta de evaluacin para resolver sistemas lineales: reduc- cin de matrices (eliminacin gaussiana y de Gauss-Jordan). Casi todos los mtodos de evaluacin posteriores en el libro dependen de esto. El teorema del rango aparece aqu por primera vez; se muestra de nuevo, con ms generalidad, en los captulos 3, 5, y 6. La seccin 2.3 es muy importante: ah se introducen las nociones fundamentales de genera- dores y de independencia lineal de vectores. No se apresure con este material. La seccin 2.4 contiene seis aplicaciones que pueden elegir los profesores, dependiendo del tiempo disponible y de los intereses del grupo. La vieta acerca del Sistema de Posicionamiento Global ofrece otra aplicacin que disfrutarn los alumnos. Los mtodos iterativos de la seccin 2.5 sern opcionales para muchos cursos, pero son esenciales para un curso con un enfoque aplicado/numrico. Las tres exploraciones de este captulo se relacionan en que todos tratan con aspectos del uso de las computadoras para resolver sistemas linea- les. Todos los alumnos deben al menos estar al tanto de estos temas. Captulo 3: Matrices Este captulo contiene algunas de las ideas ms importantes en el libro. Es un captulo largo, pero el material inicial puede estudiarse muy rpidamente, con tiempo adicional reservado para el material crucial de la seccin 3.5. La seccin 3.0 es una exploracin que introduce la nocin de transformacin lineal: la idea de que las matrices no slo son ob- jetos estticos sino ms bien un tipo de funcin que transforma vectores en otros vecto- res. Todos los hechos bsicos acerca de las matrices, las operaciones matriciales y sus pro- piedades se encuentran en las primeras dos secciones. El material acerca de matrices particionadas y las representaciones mltiples del producto matricial valen la pena des- tacarse, porque se usan repetidamente en secciones posteriores. El teorema fundamental de las matrices invertibles de la seccin 3.3 es muy importante y aparecer muchas veces ms conforme se presenten nuevas caracterizaciones de invertibilidad. La seccin 3.4 discute la muy importante factorizacin LU de una matriz. Si este tema no se estudia en clase, vale la pena asignarlo como proyecto o discutirlo en un taller. El punto de la sec- cin 3.5 es presentar muchos de los conceptos clave del lgebra lineal (subespacio, base, dimensin y rango) en el escenario concreto de matrices antes de que los alumnos los vean con plena generalidad. Aunque los ejemplos de esta seccin son todos familiares, es importante que los alumnos se acostumbren a la nueva terminologa y, en particular, en- tiendan qu signica la nocin de base. El tratamiento geomtrico de las transformacio- nes lineales de la seccin 3.6 tiene la intencin de suavizar la transicin hacia las trans- formaciones lineales generales del captulo 6. El ejemplo de una proyeccin es particularmente importante porque reaparecer en el captulo 5. La vieta acerca de bra- zos robticos es una demostracin concreta de la composicin de transformaciones li- neales (y anes). Existen cinco aplicaciones de las cuales elegir en la seccin 3.7. Deben estudiarse ya sean las cadenas de Markov o el modelo de Leslie de crecimiento poblacio- nal, de modo que puedan usarse nuevamente en el captulo 4, donde se explicar su comportamiento. Captulo 4: Eigenvalores y eigenvectores La introduccin a la seccin 4.0 presenta un interesante sistema dinmico que involucra grcas. Esta exploracin introduce la nocin de un eigenvector y anuncia el mtodo de potencias en la seccin 4.5. Para conservar el nfasis geomtrico del libro, la seccin 4.1 contiene la novedosa caracterstica deeigenimgenescomo una forma de visualizar los eigenvectores de matrices de 2 2. Los determinantes aparecen en la seccin 4.2, moti- xx Para el profesor Vea la pgina 63 Vea las pginas 78, 211, 397, 504 Vea la pgina 127 Vea las pginas 89, 90, 91 Vea la pgina 142 Vea las pginas 178, 212, 307, 530, 628 Vea la pgina 232 Vea la pgina 264 Vea las pginas 236, 245 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xx
  23. 23. vados por su uso en el descubrimiento de los polinomios caractersticos de matrices pe- queas. Este curso intensivo de determinantes contiene todo el material esencial que necesitan los alumnos, incluida una prueba opcional pero elemental del teorema de ex- pansin de Laplace. La vieta Mtodo de condensacin de Lewis Carroll presenta un mtodo alternativo, con inters histrico, para calcular determinantes que los alumnos encontrarn muy atractivo. La exploracin Aplicaciones geomtricas de los determi- nantes constituye un buen proyecto que contiene muchos resultados interesantes y ti- les. (Alternativamente, los profesores que deseen poner ms atencin en los determi- nantes pueden elegir exponer parte de esta exploracin en clase.) La teora bsica de los eigenvalores y los eigenvectores se encuentra en la seccin 4.3, y la seccin 4.4 trata el im- portante tema de la diagonalizacin. El ejemplo 4.29 acerca de potencias de matrices vale la pena estudiarlo en clase. El mtodo de potencias y sus variantes, que se estudian en la seccin 4.5, son opcionales, pero todos los alumnos deben estar al tanto del mtodo, y un curso aplicado debe analizarlo con detalle. El teorema del disco de Gerschgorin puede estudiarse independientemente del resto de la seccin 4.6. Aunque la prueba del Teo- rema de Perron es opcional, el teorema en s (como el ms fuerte teorema de Perron-Fro- benius) debe al menos mencionarse, porque explica por qu debemos esperar un eigen- valor positivo nico con un correspondiente eigenvector positivo en dichas aplicaciones. Las aplicaciones acerca de relaciones de recurrencia y ecuaciones diferenciales conectan el lgebra lineal con las matemticas discretas y el clculo, respectivamente. La exponen- cial de matrices puede exponerse si su grupo tiene un buen antecedente de clculo. El tema nal de los sistemas dinmicos lineales discretos vuelve a revisar y resume muchas de las ideas del captulo 4, y las observa bajo una nueva luz geomtrica. Los alumnos go- zarn leyendo cmo pueden usarse los eigenvectores para ayudar a clasicar equipos de- portivos y sitios web. Esta vieta puede ampliarse fcilmente a un proyecto o actividad enriquecedora. Captulo 5: Ortogonalidad La exploracin introductoria, Sombras en la pared, es la mejor matemtica: toma un concepto conocido (proyeccin de un vector sobre otro vector) y lo generaliza en una forma til (proyeccin de un vector sobre un subespacio: un plano), mientras descubre algunas propiedades anteriormente no observadas. La seccin 5.1 contiene los resulta- dos bsicos acerca de conjuntos de vectores ortogonales y ortonormales que se usarn repetidamente de aqu en adelante. En particular, deben destacarse las matrices ortogo- nales. En la seccin 5.2 se generalizan dos conceptos del captulo 1: el complemento or- togonal de un subespacio y la proyeccin ortogonal de un vector sobre un subespacio. El teorema de descomposicin ortogonal es importanteaqu y ayuda a congurar el pro- ceso Gram-Schmidt. Note tambin la rpida prueba del teorema del rango. El proceso Gram-Schmidt se detalla en la seccin 5.3, junto con la extremadamente importante fac- torizacin QR. Las dos exploraciones que siguen subrayan cmo se calcula en la prctica la factorizacin QR y cmo puede usarse para aproximar eigenvalores. La seccin 5.4 acerca de diagonalizacin ortogonal de matrices simtricas (reales) es necesaria para las aplicaciones que continan. Tambin contiene el teorema espectral, uno de los puntos destacados de la teora del lgebra lineal. Las aplicaciones de la seccin 5.5 incluyen c- digos duales, formas cuadrticas y gracacin de ecuaciones cuadrticas. Yo siempre in- cluyo al menos la ltima de stas en mi curso, porque ampla lo que ya conocen los alum- nos acerca de las secciones cnicas. Captulo 6: Espacios vectoriales La secuencia de Fibonacci reaparece en la seccin 6.0, aunque no es importante que los alumnos la hayan visto antes (seccin 4.6). El propsito de esta exploracin es mostrar que los conceptos familiares de espacio vectorial (seccin 3.5) pueden usarse fructfera- Para el profesor xxi Vea la pgina 297 Vea la pgina 295 Vea las pginas 336, 341 Vea la pgina 367 Vea la pgina 377 Vea las pginas 407, 409 Vea las pginas 419, 425, 432 Vea la pgina 445 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxi
  24. 24. mente en un nuevo escenario. Puesto que todas las ideas principales de los espacios vec- toriales ya se introdujeron en los captulos 1-3, los alumnos encontrarn las secciones 6.1 y 6.2 bastante familiares. El nfasis aqu debe ser sobre el uso de los axiomas de espacio vectorial para probar propiedades en lugar de apoyarse en tcnicas para calcular. Cuando se discute el cambio de base en la seccin 6.3, es til mostrar a los alumnos cmo usar la notacin para recordar cmo funciona la construccin. A nal de cuentas, el mtodo Gauss-Jordan es el ms eciente aqu. Son importantes las secciones 6.4 y 6.5 acerca de transformaciones lineales. Los ejemplos se relacionan con resultados anterio- res acerca de matrices (y de transformaciones matriciales). En particular, es importante subrayar que el kernel y el rango de una transformacin lineal generalizan el espacio nulo y el espacio de columna de una matriz. La seccin 6.6 profundiza en la nocin de que (casi) todas las transformaciones lineales son en esencia transformaciones matricia- les. Esto se apoya en la informacin de la seccin 3.6, de modo que los alumnos no deben encontrarla terriblemente sorprendente. Sin embargo, los ejemplos deben resolverse cuidadosamente. La conexin entre cambio de base y similitud de matrices es digna de atencin. La exploracin Mosaicos, retculas y la restriccin cristalogrca es una im- presionante aplicacin del cambio de base. La conexin con la obra de M. C. Escher la hace todava ms interesante. Las aplicaciones de la seccin 6.7 se apoyan en las anterio- res y pueden incluirse segn lo permitan el tiempo y el inters. Captulo 7: Distancia y aproximacin La seccin 7.0 abre con la entretenida exploracin Geometra de taxi. Su propsito es establecer el material acerca de las funciones norma y distancia generalizadas (mtricas) que se presentan despus. Los espacios de producto interior se estudian en la seccin 7.1; el nfasis aqu debe estar en los ejemplos y usar los axiomas. La exploracin Vectores y matrices con entradas complejas muestra cmo pueden extenderse los conceptos de producto punto, matriz simtrica, matriz ortogonal y diagonalizacin ortogonal, desde los espacios vectoriales reales hasta los complejos. La siguiente exploracin, Desigual- dades geomtricas y problemas de optimizacin, es una que usualmente disfrutan los alumnos. (Se divertirn al ver cuntos problemas declculopueden resolverse sin usar clculo!) La seccin 7.2 incluye normas vectoriales y matriciales generalizadas y muestra cmo el nmero condicional de una matriz se relaciona con la nocin de sistemas linea- les mal condicionados que se explor en el captulo 2. La aproximacin de mnimos cua- drados (seccin 7.3) es una importante aplicacin del lgebra lineal en muchas otras dis- ciplinas. El teorema de mejor aproximacin y el teorema de mnimos cuadrados son importantes, pero sus pruebas son intuitivamente claras. Dedique algo de tiempo a los ejemplos, algunos sern sucientes. La seccin 7.4 presenta la descomposicin en valor singular, una de las aplicaciones ms importantes del lgebra lineal. Si su curso llega hasta aqu, ser ampliamente recompensado. La SVD no slo vincula muchas nociones discutidas anteriormente; tambin ofrece algunas aplicaciones novedosas (y bastante poderosas). Si est disponible un CAS, la vieta acerca de compresin de imagen digital vale la pena de presentar; es un impresionante despliegue visual del poder del lgebra li- neal y una culminacin que ajusta bien con el curso. Las posteriores aplicaciones de la seccin 7.5 pueden elegirse de acuerdo con el tiempo disponible y el inters del grupo. Cmo usar el libro Los alumnos encontrarn el libro muy fcil de leer, por lo que yo generalmente les dejo leer una seccin antes de exponer el material en clase. De esa forma puedo emplear el tiempo de clase destacando los conceptos ms importantes y lidiar con los temas que a los alumnos les parecen difciles, para trabajar ejemplos y para discutir aplicaciones. No xxii Para el profesor Vea la pgina 533 Vea la pgina 552 Vea la pgina 566 Vea la pgina 570 Vea la pgina 624 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxii
  25. 25. trato de abarcar todo el material de la lectura asignada en clase. Este enfoque me permite mantener el ritmo del curso bastante vivaz y freno un poco para aquellas secciones que usualmente a los alumnos les resultan desaantes. En un curso de dos semestres es posible revisar todo el libro, incluida una razonable seleccin de aplicaciones. Para exibilidad adicional, puede omitir algunos de los temas (por ejemplo, ofrecer slo un breve tratamiento del lgebra lineal numrica), de ese modo libero tiempo para un anlisis ms a profundidad de los temas restantes, ms apli- caciones o alguna de las exploraciones. En un curso de matemticas decente que enfatice las pruebas, gran parte del material en los captulos 1-3 puede estudiarse rpidamente. Entonces el captulo 6 puede exponerse en conjuncin con las secciones 3.5 y 3.6, y el ca- ptulo 7 puede integrarse en el captulo 5. Yo me asegurara de asignar las exploraciones de los captulos 1, 4, 6 y 7 para tales clases. Para un curso de un semestre, la naturaleza del curso y la audiencia determinarn cules temas incluir. A continuacin se describen tres posibles cursos. El curso bsico, descrito primero, tiene menos de 36 horas sugeridas, lo que permite tiempo para temas adicionales, revisin en clase y exmenes. Los otros dos cursos se apoyan en el curso b- sico, pero todava son bastante exibles. Un curso bsico A continuacin se bosqueja un curso diseado para especialidades en matemticas y alumnos de otras disciplinas. Este curso no menciona espacios vectoriales generales en absoluto (todos los conceptos se tratan en un escenario concreto) y es muy ligero en las pruebas. Sin embargo, es una introduccin completa al lgebra lineal. Para el profesor xxiii Seccin Nmero de clases 1.1 1 1.2 11.5 1.3 11.5 2.1 0.51 2.2 12 2.3 12 3.1 12 3.2 1 3.3 2 3.5 2 Seccin Nmero de clases 3.6 12 4.1 1 4.2 2 4.3 1 4.4 12 5.1 11.5 5.2 11.5 5.3 0.5 5.4 1 7.3 2 Total: 2330 clases Dado que los alumnos en un curso como este representan una amplia variedad de disciplinas, yo sugerira el uso de gran parte del tiempo de clase restante para aplicacio- nes. En mi curso lo hago con los vectores de cdigo de la seccin 1.4, lo que realmente parece agradar a los alumnos, y al menos una aplicacin de cada uno de los captulos 2-5. Otras aplicaciones pueden asignarse como proyectos, junto con tantas de las explo- raciones como se desee. Tambin existe suciente tiempo de clase disponible para estu- diar parte de la teora con detalle. 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxiii
  26. 26. Un curso con nfasis en la realizacin de clculos Para un curso con nfasis en la realizacin de clculos, el curso bsico que se present en la pgina anterior puede complementarse con las secciones del texto que tratan con el l- gebra lineal numrica. En tal caso, yo expondra en parte o completas las secciones 2.5, 3.4, 4.5, 5.3, 7.2 y 7.4, para terminar con la descomposicin en valores singulares. Las ex- ploraciones de los captulos 2 y 5 son particularmente adecuadas para tal curso, como lo son casi cualquiera de las aplicaciones. Un curso para alumnos que ya estudiaron algo de lgebra lineal Algunos cursos estarn dirigidos a alumnos que ya encontraron los principios bsicos del lgebra lineal en otros cursos. Por ejemplo, un curso de lgebra universitaria con fre- cuencia incluir una introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales, matrices y deter- minantes; un curso de clculo en muchas variables casi seguramente contendr material acerca de vectores, lneas y planos. Para los alumnos que ya han visto tales temas, puede omitirse gran parte del material inicial y sustituirlo con un repaso rpido. Dependiendo de los antecedentes del grupo, puede ser posible revisar rpidamente el material en el curso bsico hasta la seccin 3.3 aproximadamente en seis clases. Si el grupo tiene un n- mero signicativo de especialistas en matemticas (y especialmente si este es el nico curso de lgebra lineal que tendrn), yo me asegurara de exponer las secciones 1.4, 6.1- 6.5, 7.1 y 7.4 y tantas aplicaciones como permita el tiempo. Si el curso tiene especialistas en ciencia (mas no especialistas en matemticas), abarcara las secciones 1.4, 6.1 y 7.1 y una seleccin ms amplia de aplicaciones, para estar seguro de incluir el material acerca de ecuaciones diferenciales y aproximacin de funciones. Si estn ms representados los alumnos de ciencias de la computacin o ingenieros, tratara de exponer tanto material como pudiera acerca de cdigos y lgebra lineal numrica. Existen muchos otros tipos de cursos que pueden usar con xito este libro. Espero que usted lo encuentre til para su curso y que se divierta al usarlo. xxiv Para el profesor 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxiv
  27. 27. Por dnde debo comenzar, por favor, su majestad?, pregunt. Comience por el principio, dijo el rey, con gravedad, y contine hasta que llegue al nal: entonces detngase. Lewis Carroll Alices Adventures in Wonderland, 1865 El lgebra lineal es una materia excitante. Est llena de resultados interesantes, aplicacio- nes para otras disciplinas y conexiones hacia otras reas de las matemticas. El Manual de soluciones y gua de estudio del estudiante contiene consejos detallados acerca de cmo usar mejor este libro; a continuacin se ofrecen algunas sugerencias generales. El lgebra lineal tiene varios lados: existen tcnicas para realizar clculos, conceptos y aplicaciones. Una de las metas de este libro es ayudarlo a dominar todas estas facetas de la materia y a ver la interaccin entre ellas. En consecuencia, es importante que lea y comprenda cada seccin del texto antes de abordar los ejercicios en dicha seccin. Si slo lee los ejemplos que se relacionan con los ejercicios que se asignaron como tarea para casa, perder mucho. Asegrese de entender las deniciones de trminos y el signicado de los teoremas. No se preocupe si tiene que leer algo ms de una vez antes de compren- derlo. Tenga a mano lpiz y calculadora mientras lee. Detngase para trabajar los ejem- plos por usted mismo o para completar los clculos faltantes. El icono en el mar- gen indica un lugar donde debe detenerse y pensar en lo que ha ledo hasta el momento. Las respuestas a la mayora de los ejercicios con nmero impar para realizar clculos estn al nal del libro. Resista a la tentacin de mirar la respuesta antes de haber com- pletado una pregunta.Y recuerde que, incluso si su respuesta diere de la del libro, toda- va puede estar correcto; hay ms de una forma correcta de expresar algunas de las solu- ciones. Por ejemplo, un valor de tambin puede expresarse como y el conjunto de todos los mltiplos escalares del vector es el mismo que el conjunto de todos los mltiplos escalares de . Conforme encuentre nuevos conceptos, trate de relacionarlos con los ejemplos que conozca. Escriba las pruebas y soluciones a los ejercicios en una forma lgica y conec- tada, y use oraciones completas. Lea de nuevo lo que escribi para ver si tiene sentido. Mejor an: si puede, haga que un amigo del grupo lea lo que usted escribi. Si no tiene sentido para otra persona, hay posibilidades de que no tenga sentido, punto. Descubrir que son tiles o una calculadora con capacidades para matrices o un sis- tema algebraico de cmputo. Dichas herramientas pueden ayudarle a vericar sus pro- c 6 1 d c 3 1>2 d 12>2,1>12 IIIIIIIIII xxv 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxv
  28. 28. pios clculos a mano y son indispensables para algunos problemas que involucran clculos tediosos. La tecnologa tambin le permite explorar aspectos del lgebra lineal por cuenta propia. Puede jugar juegos de y si?: y si cambio uno de los elementos en este vector? Y si esta matriz es de un tamao diferente? Puedo forzar la solucin para que sea lo que quiero que sea al cambiar algo? Para sealar los lugares en el texto o los ejercicios donde se recomienda el uso de tecnologa, coloqu el icono en el mar- gen. El sitio web que acompaa a esta obra contiene ejercicios seleccionados del libro, re- sueltos con cdigo de computadora usando Maple, Mathematica y MATLAB, as como Technology Bytes, un apndice que proporciona mltiples consejos adicionales acerca del uso de la tecnologa en el lgebra lineal. Est a punto de embarcarse en un viaje a travs del lgebra lineal. Piense en este libro como en su gua de viaje. Est listo? Adelante! CAS xxvi Para el alumno 00-Preliminares.qxd 2/6/11 08:42 Pgina xxvi
  29. 29. Vectores 1Aqu vienen, surgiendo de la tristeza. Pequeas echas para m y para ti. Albert Hammond y Mike Hazelwood Little Arrows Dutchess Music/BMI, 1968 1.0 Introduccin: el juego de la pista de carreras Muchas cantidades mensurables, como la longitud, el rea, el volumen, la masa y la tem- peratura, pueden describirse completamente al especicar su magnitud. Otras cantida- des, como la velocidad, la fuerza y la aceleracin, requieren tanto una magnitud como una direccin para su descripcin. Estas cantidades son vectores. Por ejemplo, la veloci- dad del viento es un vector que consta de rapidez del viento y su direccin, como 10 km/h suroeste. Geomtricamente, los vectores se representan con frecuencia como e- chas o segmentos de recta dirigidos. Aunque la idea de vector se introdujo en el siglo XIX, su utilidad prctica, particu- larmente en las ciencias fsicas, no se conoci sino hasta el siglo XX. Ms recientemente, los vectores encontraron aplicaciones en ciencias de la computacin, estadstica, econo- ma y las ciencias de la vida y sociales. A lo largo de este libro se considerarn algunas de estas muchas aplicaciones. Este captulo introduce los vectores y comienza por considerar algunas de sus pro- piedades geomtricas y algebraicas. Tambin se considerarn aplicaciones no geomtri- cas en las que son tiles los vectores. Sin embargo, se comienza con un juego simple que presenta algunas de las ideas clave. [Incluso quiz quiera jugarlo con un amigo durante los momentos aburridos (muy raros!) en las clases de lgebra lineal.] El juego se juega en papel grco. Sobre ste se dibuja una pista, con una lnea de partida y una lnea de meta. La pista puede ser de cualquier longitud y forma, en tanto sea sucientemente ancha para alojar a todos los jugadores. Para este ejemplo, se tendrn dos jugadores (llmelos Ann y Bert), que usan plumas de diferentes colores para repre- sentar sus carros o bicicletas o cualquier cosa que empleen para correr alrededor de la pista. (Piense en Ann y Bert como ciclistas.) Ann y Bert comienzan cada uno por dibujar un punto en la lnea de partida en un lugar de la cuadrcula sobre el papel grco. Toman turnos para moverse hacia un nuevo punto de la cuadrcula, sujetos a las siguientes reglas: 1. Cada nuevo punto en la cuadrcula y el segmento de recta que lo conecta con el punto anterior en la cuadrcula debe encontrarse completamente dentro de la pista. 2. Dos jugadores no pueden ocupar el mismo punto en la cuadrcula en el mismo turno. (Esta es la regla de no colisin.) 3. Cada nuevo movimiento se relaciona con el movimiento anterior del modo si- guiente: si un jugador se mueve a unidades horizontalmente y b unidades vertical- 1 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:21 Pgina 1
  30. 30. 2 Captulo 1 Vectores mente en un movimiento, entonces en el siguiente movimiento debe moverse entre a 1 y a + 1 unidades horizontalmente, y entre b 1 y b + 1 unidades verticalmente. En otras palabras, si el segundo movimiento es c unidades horizontalmente y d uni- dades verticalmente, entonces a c 1 y b d 1. (Esta es la regla acelera- cin/desaceleracin.) Note que esta regla fuerza al primer movimiento a ser 1 uni- dad verticalmente y/o 1 unidad horizontalmente. Un jugador que choque con otro o deje la pista, es eliminado. El ganador es el primer jugador en cruzar la lnea de meta. Si ms de un jugador cruza la lnea de meta en el mismo turno, quien las sobrepase ms es el ganador. En el juego de muestra que se presenta en la gura 1.1,Ann fue la ganadora. Bert ace- ler muy rpidamente y tuvo dicultades para tomar la curva en la parte superior de la pista. Para comprender la regla 3, considere el tercer y cuarto movimientos de Ann. En su tercer movimiento, avanz 1 unidad horizontalmente y 3 unidades verticalmente. En su cuarto movimiento, sus opciones eran moverse de 0 a 2 unidades horizontalmente y de 2 a 4 unidades verticalmente. (Note que algunas de dichas combinaciones la habran dejado fuera de la pista.) Eligi moverse 2 unidades en cada direccin. Inicio Meta A B Figura 1.1 Un ejemplo del juego de pista de carrera Problema 1 Juegue algunos juegos de la pista de carreras. Problema 2 Es posible que Bert gane esta carrera si elige una secuencia diferente de movimientos? Problema 3 Use la notacin [a, b] para denotar un movimiento que sea a unidades horizontalmente y b unidades verticalmente. (Tanto a o b o ambos pueden ser negati- vos.) Si acaba de realizar el movimiento [3, 4], dibuje en el papel grco todos los pun- tos de la cuadrcula que posiblemente podra alcanzar en el siguiente movimiento. Problema 4 Cul es el efecto neto de dos movimientos sucesivos? En otras palabras, si se mueve [a, b] y luego [c, d], cun lejos, horizontal y verticalmente, se habr movido? El matemtico irlands William Rowan Hamilton (18051865) us conceptos vectoriales en su estudio de los nmeros complejos y su generalizacin, los cuaterniones. 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:21 Pgina 2
  31. 31. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 3 Problema 5 Escriba la secuencia de movimientos de Ann con la notacin [a, b]. Su- ponga que ella comienza en el origen (0, 0) en los ejes coordenados. Explique cmo puede encontrar las coordenadas del punto de cuadrcula correspondiente a cada uno de sus movimientos sin mirar el papel grco. Si los ejes se dibujan de manera dife- rente, de modo que el punto de partida de Ann no est en el origen sino en el punto (2, 3), cules seran las coordenadas de su punto nal? Aunque simple, este juego introduce muchas ideas que sern tiles en el estudio de los vectores. Las siguientes tres secciones consideran a los vectores desde los puntos de vista geomtrico y algebraico, comenzando, como en el juego de la pista de carreras, en el plano. Geometra y lgebra de vectores Vectores en el plano Comience por considerar el plano cartesiano con los familiares ejes x y y. Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B; vea la gura 1.2. El vector de A a B se denota mediante ; el punto A se conoce como su punto ini- cial u origen, y el punto B se conoce como su punto terminal o punta. Con frecuencia, un vector simplemente se denota mediante una sola letra minscula negrita, como v. El conjunto de todos los puntos en el plano corresponden al conjunto de todos los vectores cuyos orgenes estn en el origen O. A cada punto A, le corresponde el vector a = a cada vector a con origen en O, le corresponde su punta A. (Los vectores de esta forma en ocasiones se conocen como vectores de posicin.) Es natural representar dichos vectores usando coordenadas. Por ejemplo, en la gura 1.3, A (3, 2) y el vector se escribe a [3, 2] con corchetes. De igual modo, los otros vectores en la gura 1.3 son Las coordenadas individuales (3 y 2 en el caso de a) se llaman los componentes del vec- tor. En ocasiones, se dice que un vector es un par ordenado de nmeros reales. El orden es importante pues, por ejemplo, [3, 2] [2, 3]. En general, dos vectores son iguales si y slo si sus componentes correspondientes son iguales. Por tanto, [x, y] [1, 5] implica que x = 1 y y = 5. Con frecuencia es conveniente usar vectores columna en lugar de (o adems de) vec- tores rengln. Otra representacin de [3, 2] es (El punto importante es que losc 3 2 d . b 31, 34 and c 32, 14 OA ! OA ! ; AB ! y A B x Figura 1.2 y B A C x c a b O Figura 1.3 La palabra vector proviene de la raz latina que signica transpor- tar. Un vector se forma cuando un punto se desplaza, o transporta, una distancia dada en una direc- cin dada. Visto de otra forma, los vectores transportan dos piezas de informacin: su longitud y su direccin. Cuando los vectores se escriben a mano, es difcil indicar las negri- tas. Algunas personas preeren es- cribir para el vector denotado en impreso por v, pero en la mayora de los casos est bien usar una mi- nscula ordinaria v. Por lo general ser claro desde el contexto cuando la letra denota un vector. v ! La palabra componente se deriva de las palabras latinas co, que signica junto con, y ponere, que signica poner. Por tanto, un vector es poner juntos sus componentes. El plano cartesiano recibe su nom- bre en honor del lsofo y mate- mtico francs Ren Descartes (15961650), cuya introduccin de las coordenadas permiti que los problemas geomtricos se maneja- ran con el uso de tcnicas algebrai- cas. y 1.11.1 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:21 Pgina 3
  32. 32. 4 Captulo 1 Vectores Ejemplo 1.1 componentes estn ordenados.) En captulos posteriores ver que los vectores columna son un tanto mejores desde el punto de vista computacional; por ahora, trate de acos- tumbrarse a ambas representaciones. Puede ocurrir que en realidad no pueda dibujar el vector [0, 0] desde el ori- gen hacia s mismo. No obstante. Es un vector perfectamente bueno y tiene un nombre especial: el vector cero. El vector cero se denota 0. El conjunto de todos los vectores con dos componentes se denota 2 (donde de- nota el conjunto de nmeros reales de donde se eligen los componentes de los vectores en 2 ). Por tanto, [1, 3.5], y estn todos en 2 . Piense de nuevo en el juego de la pista de carreras y trate de conectar todas estas ideas con los vectores cuyos orgenes no estn en el origen. El origen etimolgico de la palabra vector en el verbo transportar ofrece una pista. El vector [3, 2] puede interpretarse del modo siguiente: a partir del origen O, viaje 3 unidades a la derecha, luego 2 unidades arriba y termine en P. El mismo desplazamiento puede aplicarse con otros puntos inicia- les. La gura 1.4 muestra dos desplazamientos equivalentes, representados por los vecto- res y .CD ! AB ! 35 3, 443 12, p4 OO ! y C D P A B O x Figura 1.4 Dos vectores se denen como iguales si tienen la misma longitud y la misma direc- cin. Por tanto, en la gura 1.4. (Aun cuando tengan diferentes puntos inicial y nal, representan el mismo desplazamiento.) Geomtricamente, dos vectores son igua- les si uno puede obtenerse al deslizar (o trasladar) el otro paralelo a s mismo hasta que los dos vectores coincidan. En trminos de componentes, en la gura 1.4 se tiene A (3, 1) y B (6, 3). Note que el vector [3, 2] que registra el desplazamiento slo es la di- ferencia de los componentes respectivos: De igual modo, y por tanto como se esperaba. Se dice que un vector como con su punto inicial en el origen est en posicin es- tndar. La discusin anterior muestra que todo vector puede dibujarse como un vector en posicin estndar. Por otro lado, un vector en posicin estndar puede redibujarse (por traslacin) de modo que su origen est en cualquier punto en el plano. Si A (1, 2) y B (3, 4), encuentre y vuelva a dibujarlo (a) en posicin estndar y (b) con su origen en el punto C (2, 1). Solucin Calcule [3 (1), 4 2] [4, 2]. Si entonces se traslada hacia donde C (2, 1), entonces se debe tener D (2 4, 1 2) (6, 1). (Vea la gura 1.5.) AB ! AB ! AB ! OP !AB ! CD ! , CD ! 31 142, 1 112 4 33, 24 AB ! 33, 24 36 3, 3 14 CD ! AB ! Cuando se hace referencia a los vectores mediante coordenadas, se les considera analticamente. 2 se pronuncia r dos. CD ! , 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 4
  33. 33. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 5 Nuevos vectores a partir de otros anteriores Como en el juego de la pista de carreras, con frecuencia se quiere seguir un vector a partir de otro. Esto conduce a la nocin de suma de vectores, la primera operacin vec- torial bsica. Si se sigue u por v, se puede visualizar el desplazamiento total como un tercer vector, denotado mediante u + v. En la gura 1.6, u [1, 2] y v [2, 2], de modo que el efecto neto de seguir u por v es [1 2, 2 2] [3, 4] lo que produce u + v. En general, si u [u1, u2] y v [v1, v2], entonces su suma u + v es el vector u v [u1 v1, u2 v2] Es til visualizar u v geomtricamente. La siguiente regla es la versin geomtrica de la discusin anterior. x y A(1, 2) B(3, 4) [4, 2] D(6, 1) C(2, 1) Figura 1.5 x y 1 2 2 2 u v u v 3 4 u v Figura 1.6 Suma de vectores 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 5
  34. 34. 6 Captulo 1 Vectores Figura 1.8 El paralelogramo determinado por u y v La regla del paralelogramo Dados los vectores u y v en 2 (en posicin estndar), su suma u v es el vector en posicin estndar a lo largo de la diagonal del paralelogramo determinado por u y v. (Vea la gura 1.9.) v vu u u v x y Figura 1.9 La regla del paralelogramo Si u [3, 1] y v [1, 4], calcule y dibuje u v. Solucin Calcule u v [3 1, 1 4] [4, 3]. Este vector se dibuja mediante la regla punta a origen en la gura 1.10(a) y mediante la regla del paralelogramo en la gura 1.10(b). Ejemplo 1.2 Al trasladar u y v paralelos a ellos mismos, se obtiene un paralelogramo, como se mues- tra en la gura 1.8. Este paralelogramo se llama paralelogramo determinado por u y v. Ello conduce a una versin equivalente de la regla punta a origen para vectores en posicin estndar. La regla punta a origen Dados los vectores u y v en 2 , traslade v de modo que su origen coincida con la punta de u. La suma u + v de u y v es el vector desde el origen de u hasta la punta de v. (Vea la gura 1.7.) v vu u v Figura 1.7 La regla punta a origen v vu u 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 6
  35. 35. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 7 2v 2v v v1 2 y x Figura 1.11 x y v v u u v (a) x y v u u v (b) Figura 1.10 Ejemplo 1.3 La segunda operacin vectorial bsica es la multiplicacin escalar. Dado un vector v y un nmero real c, el mltiplo escalar cv es el vector que se obtiene al multiplicar cada componente de v por c. Por ejemplo, 3[2, 4] [6, 12]. En general, cv c [v1, v2] [cv1, cv2] Geomtricamente, cv es una versin a escala de v. Si v [2, 4], calcule y dibuje 2v, v, y 2v. Solucin Calcule del modo siguiente: Estos vectores se muestran en la gura 1.11. 2v 32122, 2142 4 34, 84 1 2 v 31 2 122, 1 2 142 4 31, 24 2v 32122, 2142 4 34, 84 1 2 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 7
  36. 36. 8 Captulo 1 Vectores 2v 2v v v1 2 Figura 1.12 x y A B a b b a Figura 1.14 v v u u (v) v u u v Figura 1.13 Resta de vectores El trmino escalar proviene de la palabra latina scala, que signica escalera. Los peldaos igual- mente espaciados en una escalera sugieren una escala y, en aritmtica vectorial, la multiplicacin por una constante slo cambia la es- cala (o longitud) de un vector. Por ende, las constantes llegaron a co- nocerse como escalares. Observe que cv tiene la misma direccin que v si c 0 y la direccin opuesta si c < 0. Tambin observe que cv es c veces ms largo que v. Por esta razn, en el contexto de los vectores, las constantes (esto es: nmeros reales) se conocen como escalares. Como muestra la gura 1.12, cuando se toma en cuenta la traslacin de vectores, dos vectores son mltiplos escalares mutuos si y slo si son paralelos. Un caso especial de un mltiplo escalar es (1)v, que se escribe v y se llama nega- tivo de v. Puede usrsele para denir la resta vectorial: la diferencia de u y v es el vector u v denido por u v u (v) La gura 1.13 muestra que u v corresponde a laotradiagonal del paralelogramo de- terminado por u y v. Si u [1, 2] y v [3, 1], entonces u v [1 (3), 2 1] [4, 1]. La denicin de resta en el ejemplo 1.4 tambin est de acuerdo con la forma en que se calcula un vector como . Si los puntos A y B corresponden a los vectores a y b en posicin estndar, entonces b a, como se muestra en la gura 1.14. [Observe que la regla de punta a origen aplicada a este diagrama produce la ecuacin a (b a) b. Si accidentalmente dibujara b a con su punta en A en lugar de en B, el dia- grama se leera b (b a) a, que claramente est equivocado! Ms adelante, en esta seccin, se hablar ms acerca de las expresiones algebraicas que involucran vectores.] Vectores en 3 Todo lo que se ha hecho se extiende con facilidad a tres dimensiones. El conjunto de todas las ternes ordenadas de nmeros reales se denota mediante 3 . Puntos y vectores se localizan usando tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares que se renen en el origen O. Un punto como A (1, 2, 3) puede localizarse del modo siguiente: primero recorra 1 unidad a lo largo del eje x, luego avance 2 unidades paralelas al eje y y nal- mente mueva 3 unidades paralelas al eje z. El vector correspondiente a [1, 2, 3] es en- tonces como se muestra en la gura 1.15. Otra forma de visualizar el vector a en 3 es construir una caja cuyos seis lados estn determinados por los tres planos coordenados (los planos xy, xz y yz) y por tres planos a travs del punto (1, 2, 3) paralelos a los planos coordenados. El vector [1, 2, 3] corres- ponde entonces a la diagonal que va del origen a la esquina opuesta de la caja (vea la - gura 1.16). AB ! AB ! Ejemplo 1.4 IIIIIIIIII OA ! , 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 8
  37. 37. Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 9 Las deniciones en componentes de la suma de vectores y la multiplicacin escalar se extienden a 3 en una forma obvia. Vectores en n En general, n se dene como el conjunto de todas las n-adas ordenadas de nmeros reales escritos como vectores rengln o columna. Por ende, un vector v en n es de la forma Las entradas individuales de v son sus componentes; vi se llama el componente i-simo. Las deniciones de suma vectorial y multiplicacin escalar se extienden a n en la forma obvia: si u [u1, u2, . . . , un] y v [v1, v2, . . . , vn], el componente i-simo de u v es ui vi y el componente i-simo de cv slo es cvi. Dado que en n ya no se pueden dibujar vectores, es importante poder calcularlos. Debe tener cuidado de no suponer que la aritmtica vectorial ser similar a la aritmtica de nmeros reales. Con frecuencia lo es, y los clculos algebraicos que se hacen con vec- tores son similares a los que se haran con escalares. Pero, en secciones posteriores se en- contrarn situaciones donde el lgebra vectorial es muy diferente a la experiencia previa con nmeros reales. Por ello es importante vericar cualquier propiedad algebraica antes de intentar usarla. Una de tales propiedades es la conmutatividad de la adicin: u v v u para los vectores u y v. Esto ciertamente es verdadero en 2 . Geomtricamente, la regla punta a origen muestra que tanto u v como v u son las diagonales principales del paralelo- gramo determinado por u y v. (La regla del paralelogramo tambin reeja esta simetra; vea la gura 1.17.) Note que la gura 1.17 es simplemente una ilustracin de la propiedad u v v u. No es una demostracin, pues no abarca todo caso posible. Por ejemplo, tambin deben incluirse los casos donde u v, u v y u 0. (Cmo seran los diagramas para estos casos?) Por esta razn, es necesaria una demostracin algebraica. Sin embargo, es tan fcil dar una demostracin que sea vlida en n , como dar una que sea vlida en 2 . El siguiente teorema resume las propiedades algebraicas de la suma vectorial y la multiplicacin escalar en n . Las demostraciones se obtienen de las propiedades corres- pondientes de los nmeros reales. 3v1, v2, . . . , vn 4 or v1 v2 o vn z A(1, 2, 3) 3 a 2 1 yx Figura 1.15 z x y Figura 1.16 u v u v u v v u u u v v Figura 1.17 u v v u IIIIIIIIII o 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 9
  38. 38. 10 Captulo 1 Vectores Teorema 1.1 Propiedades algebraicas de los vectores en n Sean u, v y w vectores en n y sean c y d escalares. Entonces a. u v v u Commutatividad b. (u v) w u (v w) Asociatividad c. u 0 u d. u (u) 0 e. c(u v) cu cv Distributividad f. (c d)u cu du Distributividad g. c(du) (cd)u h. 1u u Comentarios Las propiedades (c) y (d), junto con la propiedad de conmutatividad (a) impli- can tambin que 0 u u y u u 0. Si las propiedades distributivas (e) y (f) se leen de derecha a izquierda, dicen que es posible factorizar un escalar comn o un vector comn a partir de una suma. Demostracin Se demuestran las propiedades (a) y (b) y las demostraciones de las pro- piedades restantes se dejan como ejercicios. Sea u [u1, u2, . . . , un], v [v1, v2, . . . , vn] y w [w1, w2, . . . , wn]. (a) u v [u1, u2, . . . , un] [v1, v2, . . . , vn] [u1 v1, u2 v2, . . . , un vn] [v1 u1, v2 u2, . . . , vn un] [v1, v2, . . . , vn] [u1, u2, . . . , un] v u La segunda y cuarta igualdades son por la denicin de suma vectorial, y la tercera igual- dad es por la conmutatividad de la suma de nmeros reales. (b) La gura 1.18 ilustra la asociatividad en 2 . Algebraicamente, se tiene La cuarta igualdad es por la asociatividad de la suma de nmeros reales. Note el uso cui- dadoso de los parntesis. u 1v w2 3u1, u2, . . . , un 4 13v1, v2, . . . , vn 4 3w1, w2, . . . , wn 4 2 3u1, u2, . . . , un 4 3v1 w1, v2 w2, . . . , vn wn 4 3u1 1v1 w1 2, u2 1v2 w2 2, . . . , un 1vn wn 2 4 31u1 v1 2 w1, 1u2 v2 2 w2, . . . , 1un vn 2 wn 4 3u1 v1, u2 v2, . . . , un vn 4 3w1, w2, . . . , wn 4 1u v2 w 13u1, u2, . . . , un 4 3v1, v2, . . . , vn 4 2 3w1, w2, . . . , wn 4 La palabra teorema se deriva de la palabra griega theorema, que a su vez proviene de una palabra que signica mirar a. Por ende, un teorema se basa en la compren- sin que se adquiere cuando se observan los ejemplos y de ellos se extraen propiedades cuya aplica- cin en general se intenta demos- trar. De igual modo, cuando se comprende algo en matemticas, por ejemplo, la demostracin de un teorema, con frecuencia se dice ya veo. (u v) w u (v w) v w w v u v u Figura 1.18 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 10
  39. 39. Por la propiedad (b) del Teorema 1.1, puede escribirse sin ambigedades u v w sin parntesis, pues los sumandos pueden agruparse en cualquier forma que se quiera. Por (a), tambin se pueden reordenar los sumandos si se quiere, por ejemplo, como w u v. Del mismo modo, las sumas de cuatro o ms vectores pueden calcularse sin im- portar el orden o agrupamiento. En general, si v1, v2, . . . , vk son vectores en n , tales sumas se escribirn sin parntesis: El siguiente ejemplo ilustra el uso del Teorema 1.1 en la realizacin de clculos alge- braicos con vectores. Sean a, b y x vectores en n . (a) Simplique 3a (5b 2a) 2(b a). (b) Si 5x a 2(a 2x), despeje x en trminos de a. Solucin Ambas soluciones se darn con detalle, haciendo con referencia a todas las propiedades en el Teorema 1.1 que se utilicen. Es buena prctica justicar todos los pasos las primeras veces que haga este tipo de clculos. Sin embargo, una vez se sienta cmodo con las propiedades vectoriales, es aceptable dejar fuera algunos de los pasos intermedios para ahorrar tiempo y espacio. (a) Comience por insertar parntesis. (a), (e) (b) (f) (b), (h) (b) (f) (a) (b) (f), (h) Puede ver por qu estar de acuerdo en omitir algunos de estos pasos! En la prctica es aceptable simplicar esta secuencia de pasos como o incluso hacer la mayora de los clculos mentalmente. a 7b 13a 2a 2a2 15b 2b2 3a 15b 2a2 21b a2 3a 5b 2a 2b 2a 7b a 7b 112a 7b 11 22a 7b 1a 2a2 17b a2 2a 1a 15 22b2 2a 1a 15b 2b2 2 2a 11a 5b2 2b2 2a 11a 5b2 12b 2a2 113 122 2a 5b2 12b 2a2 113a 12a2 2 5b2 12b 2a2 13a 12a 5b2 2 12b 2a2 3a 15b 2a2 21b a2 13a 15b 2a2 2 21b a2 v1 v2 # # # vk Seccin 1.1 Geometra y lgebra de vectores 11 Ejemplo 1.5 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 11
  40. 40. 12 Captulo 1 Vectores (b) En detalle, se tiene (e) (g) (a), (b) (b), (d) (f), (c) (h) (b), (f) (d) (c) De nuevo, usualmente se omitirn la mayora de estos pasos. Combinaciones lineales y coordenadas Se dice que un vector que sea una suma de mltiplos escalares de otros vectores es una combinacin lineal de dichos vectores. A continuacin se presenta la denicin formal. Definicin Un vector v es una combinacin lineal de vectores v1, v2, . . . , vk si existen escalares c1, c2, . . . , ck tales que v c1v1 c2v2 ckvk. Los escalares c1, c2, . . . , ck se llaman coecientes de la combinacin lineal. El vector es una combinacin lineal de y pues Comentario Determinar si un vector dado es una combinacin lineal de otros vec- tores es un problema que se abordar en el captulo 2. En 2 , es posible bosquejar combinaciones lineales de dos vectores (no paralelos) de manera muy conveniente. Sean u y v Puede usar u y v para ubicar un nuevo conjunto de ejes (en la misma forma que e1 y e2 ubican los ejes coordenados estndar). Puede usarc 0 1 dc 1 0 d c 1 2 d.c 3 1 d 3 1 0 1 2 2 3 1 5 4 0 2 2 1 5 4 0 , 2 3 1 1 0 1 , 2 2 1 x 3a 0 x 3a 1a 1a2 2 x 11 22a a 1a x2 a 2a a 112x 2a a 15 42x 2a a 15x 4x2 2a 0 1a 5x2 4x 2a 14x 4x2 15x a2 4x 12a 4x2 4x 5x a 2a 4x 5x a 2a 12 # 22x 5x a 2a 212x2 5x a 21a 2x2 Ejemplo 1.6 Ejemplo 1.7 01-poole_ch01a_V4.qxd 31/5/11 01:22 Pgina 12
  41. 41. estos nuevos