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  • tercera edicion

    MURRAY R SPIEGEL

  • ecuacronesdiferenciales,

    aplzcadasMURRAY R. SPIEGEL

    Consultor matemtico yex-profesor y jefe,

    Departamento de MatemticasRensselaer Polytechnic Institute

    Hartford Graduate Center

    Traduccin:

    HENRY RIVERA GARCIAM. Sc., Ingeniera Industrial, University of Pittsburgh

    PRENTICE-HALL IHISPANOAMERICANA, S.A.

    M6xlco n Englewood Cllffs n Londres m Sydney l Toronto nNueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro

  • ecuaczonesdrjcerenciales~

    aplicadasMURRAY R. SPIEGEL

    Consultor matemtico yex-profesor y jefe,

    Departamento de MatemticasRensselaer Polytechnic Institute

    Hartford Graduate Center

    Traduccin:

    HENRY RIVERA GARCIAM. Sc., Ingeniera Industrial, University of Pittsburgh

    PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.

    Mbxico n Englewood Cliffs n Londres l Sydney H Toronto HNueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro

  • ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS

    Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio o rn&odo, sin autorizacin escrita del editor.

    DERECHOS RESERVADOSOWS3, respecto a la primera edicin en espafiol por:PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.

    Enrique Jacob No. 20, Col. El Conde C.P. 53500NauCalPan de Juarez . Edo. de Mxico.

    Miembro de la- Camara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Nm. 1524

    Traducido de la tercera edicin en ingl6s deAPPLIED DIFFERENTIAL EQUATIONS

    Copyright @ MCMLXXXI by Prentice-Hall Inc.

    ISBN O-13-234997-3

    3456789012 E.C.-BE 86123457gO

    Impreso en Mxico Printed in Mexico

    uoc1

    PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A.Calz. de Chabacano 65 Local ACol. Asturias Del. Cuauhtkmoc

    looo 1 9 9 4q 0

    L

  • A

    mi madre

  • contenido

    PREFACIO. .

    XIII

    parte Z

    1.

    1.11.2

    1.3

    1 .4

    + 2.2.1

    2 . 2

    ecuaciones diferenciales ordinarias 1

    CAPITULO UNOECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL

    Conceptos de ecuaciones diferenciales

    Algunas definiciones y observacionesEjemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera

    Soluciones generales y particulares

    Soluciones singularesObservaciones adicionales relacionadas con las soluciones

    Observaciones sobre existencia y unicidad

    Campo de direcciones y el mtodo de las isoclinas

    CAPITULO DOSECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS

    SIMPLES DE ALTO ORDEN 3 4

    1 . El m6todo de separacin de variables 3 52. El mtodo de latransformacin de variables 3 82 . 1 L a e c u a c i n homog6nea 3 82.2 Otras t ransformaciones especia les 3 9

    3. La idea intuitiva de exactitud 4 14. Ecuaciones diferenciales exactas 4 35. Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado 4 8

    5.1 Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucran una variable 4 9

    vii

    2

    3

    37

    1 5

    2 02 3

    2 3

    2 8

  • 5.25 . 36.6.1

    6 . 2

    + 7 .8.

    1.1.1

    1.2

    2.

    2.12 . 2

    2 . 3

    3.4.5.

    6.

    7.

    8.9.

    10.

    l l .12.

    13.13.1

    13.2

    1 3 . 314.

    14.1

    14.2

    1 .2.3.3.1

    3 . 23 . 3

    3 . 44.

    4.1

    4 . 2

    4 . 34 . 4

    VIII

    La ecuacin de primer orden lineal

    El mtodo de inspeccinEcuaciones de orden superior al primero que se resuelven fcilmente

    Ecuaciones inmediatamente integrablesEcuaciones con una variable ausente

    La ecuacin de Clairaut

    Revisin de mtodos importantes

    5356

    5758

    58

    6 06 4

    CAPITULO TRESAPLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

    Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR 70

    Aplicaciones a la mecnica

    IntroduccinLas leyes del movimiento de Newton

    Aplicaciones a los circuitqs elctricas

    Introduccin

    UnidadesLa ley de Kirchhoff

    Trayectorias ortogonales y sus aplicacionesAplicaciones a la qumica y a las mezclas qumicas

    Aplicaciones a flujo de calor de estado estacionarioAplicaciones a problemas miscelneas de crecimiento y decaimiento

    El cable colgante

    Un viaje a la LunaAplicaciones acohetes

    Problemas de fsica que involucran geometria

    Problemas miscelneas en geometra

    La defleccin de vigas

    Aplicaciones a biologaCrecimiento biolgico

    Un problema en epidemiologa

    Absorcin de drogas en rganos o clulasAplicaciones a la economa

    Oferta y demanda

    Inventarios

    7171

    7 1

    82

    828 4

    8 4

    8 99 5

    1011 0 6

    1 ll

    116120123132137148148153156159159162

    CAPITULO CUATROECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1 6 6

    La ecuacin diferencial Ilneal general de orden nExistencia y unicidad de soluciones de ecuaciones lineales

    iCmo obtener -Ia solucin complementaria?La ecuacin auxiliar

    El caso de races repetidasEl caso de races imaginarias

    Independencia lineal y wronskianosiCmo obtener una solucin particular?

    Mtodo de IOS coeficientes indeterminadosJuswicacin al mtodo de coeficientes indeterminados. El mtodo AniquiladorExcepciones en el mtodo de los coeficientes

    Casos donde funciones ms complicadas aparecen en el lado derecho

    167171173173175178181192

    192194196199

    \

  • 4.5 El m&odo de var iac in de parmetros

    4.6 Mtodos abreviados involucrando operadores -

    5. Observaciones relacionadas con ecuaciones con coefici.entes variables .

    las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales con coeficientesconstantes: La ecuacin de Euler

    6. Repaso de mtodos importantes

    2 0 2

    2 0 7

    2 1 52 1 8

    CAPITULO CINCOAPLICACIONES DE ECUACIONES D IFERENCIALES LINEALES 2 2 3

    1.1.1

    1.2

    1.3

    1 . 42 .

    3.

    3.1

    3 . 2

    3 . 33 . 4

    1 .

    1.1

    1.2

    1.31.41 . 5

    1.6

    2.

    3.3.1

    3 . 23 . 3

    4 .

    4.14 . 2

    4 . 34 . 4

    4 . 5

    Movimiento vibratorio de sistemas mecnicos

    El resorte vibrante. Movimiento armnico simple

    El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimiento sobre amortiguado

    y crticamente amortiguadoEl resorte con fuerzas externas

    El fenmeno de resonancia mecnica

    Problemas de circuitos elctricos 1Problemas miscelneas

    El pndulo simple

    Oscilaciones verticales de una caja flotando en un lquido

    Un problema en cardiografaAplicacin a la economa

    2 2 42 2 4

    2 3 2

    2 4 0

    2 4 32 4 6

    2 5 0

    2 5 0

    2 5 2

    2 5 32 5 5

    CAPITULO SEISS O L U C I O N D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P O R

    TRANSFORMADAS DE LAPLACE 2 6 0

    Introduccin al mtodo de las transformadas de Laplace

    Motivacin para las transformadas de Laplace

    Definicin y ejemplos de la transformada de Laplace

    Propiedades adicionales de las transformadas de LaplaceLa funcin GammaObservaciones concernientes a la existencia de las transformadas de LaplaceLa funcin salto unidad de Heaviside

    Funciones impulso y la funcin delta de Dirac

    Aplicacin de las transformadas de Laplace a ecuaciones diferencialesSolucin de ecuaciones diferenciales sencillas. Transformadas inversasd e Laplace

    Algunos mtodos para hallar transformadas inversas de LaplaceObservaciones concernientes a la existencia y unicidad de las transformadasinversas de Laplace

    Aplicaciones a problemas fsicos y biolgicos

    Aplicaciones a circuitos elctricosUna aplicacin a la biologa

    El problema tautcrono-Apl icacin de una ecuacin integral en mecnica

    Aplicaciones involucrando la funcin deltaUna apl icacin a la teora de control automtico y servorr,ecanismos

    2 6 1

    2 6 1

    2 6 2

    2 6 52 6 6

    2 6 7

    2 6 92 7 3

    2 7 8

    2 7 8

    2 7 9

    2 8 7

    290

    2 9 0

    2 9 3

    2 9 4

    2 9 8

    2 9 9

    CAPITULO SIETES O L U C I O N D E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S U S A N D O S E R I E S 3 0 4

    1 . Introduccin al uso de serles 3 0 51.1 Motivacin para soluciones con series 3 0 5

    iX

  • 1.2 Uso de la notacibn sumatoria 3 0 71.3 Algunas preguntas de rigor 3 1 11.4 El m6todo de la serie de Taylor 3 1 71.5 M t o d o d e iteracih d e Picard 3 1 92 . El m&odo de Frobenius 3 2 22.1 Motivacin para el mtodo de Frobenius 3 2 22.2 Ejemplos usando el mkodo de Frobenius 3 2 63 . Soluciones con series de algunas ecuaciones diferenciales importantes 3383.1 La ecuacin diferencial de Bessel 3 3 83 . 2 Ecuacin diferencial de Legendre 3 4 83 . 3 Otras funciones especiales 3 5 0

    +

    CAPITULO OCHOFUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE

    - 1.1 .l

    - 1.2- 1.3- 2.- 2 . 1

    2 . 23 .3.13 . 23.34 .4.14.24.34.44.55 .5.15 . 2

    1 .1 . 11.21.31.41.52 .

    Funciones ortogonalesFunciones como vectoresOrtogonalidadLongitud o norma de un vector. OrtonormalidadProblemas de Sturm-LiouvilleMotivacin para los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores yEigenfuncionesUna aplicacin al pandeo de vigasOrtogonalidad de las funciones de Bessel y LegendreOrtogonalidad de las funciones de BesselOrtogonalidad de las funciones de LegendreFunciones ortogonales miscelneasSeries ortogonalesIntroduccinSeries de FourierSeries de BesselSeries de LegendreSeries ortogonales miscelneasAlgunos tpicos especialesEcuaciones diferenciales as mismo adjuntasEl m&odo de ortonormalizacin de Gram-Schmidt

    3 5 43 5 43563 5 7361

    3613683 7 13 7 13763 7 83803803 8 54034084 1 14144144 1 7

    CAPITULO NUEVELA SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 4 2 0

    Solucibn numrica de y=f(x. y)El mtodo de pendiente constante o mtodo de EulerEl mtodo de pendiente promedio o mtodo modificado de EulerDiagramas de computadorAnBlisis de erroresAlgunas guas prcticas para la solucin numricaEl mtodo de Runge-Kutta

    4214 2 24 2 54 2 74284 3 14 3 3

    3 5 3

  • parte II

    sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

    CAPITULO DIEZSISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES

    1. Sistemas de ecuaciones diferenciales1.1 Motivacin para los sistemas de ecuaciones diferenciales1.2 Mtodo de eliminacin para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales1.3 El uso de operadores en la eliminacin de incgnitas1.4 Mtodos abreviados de operador2 . Soluciones de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias3 . Ecuaciones diferenciales expresadas como sistema de primer orden4 . Aolicaciones a la mecnica4.1 El vuelo de un proyectil4.2 Una aplicacin a astronoma4.3 El movimiento de satlites y msiles4.4 El problema de las masas vibrantes5 . Aplicaciones a las redes ekctricas6. Aplicaciones a la biologa6.1 Concentracin de una droga en un sistema de dos compartimientos6.2 El problema de epidemia con cuarentena7. El problema depredador-presa: Un problema en ecologa7.1 Formulacin matemtica7.2 Investigacin de una solucin7.3 Algunas aplicaciones adicionales8. Solucin de sistemas lineales por transformadas de Laplace9 . Mtodo de las soluciones complementaria y particular9.1 iCmo encontramos la solucin complementaria?9 . 2 iCmo encontramos una solucin particular?9 . 3 R e s u m e n d e l p r o c e d i m i e n t o

    \

    438

    439439441

    443446448449452452461465470476481481484488489490497498500502506507

    +

    CAPITULO ONCEMETODOS DE EIGENVALORES DE MATRICES PARA SISTEMAS

    DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 51Q

    1. El concepto de una matriz 5 1 11 . 1 Introduccin 5111.2 Algunas ideas simples 5111 .3 Vectores fila y columna 5 121 .4 Operaciones con matrices 5142 . Ecuaciones diferenciales matriciales 5213. La solucin complementaria 5 2 23.1 Eigenvalores y egenvectores 5233.2 El caso de eigenvalores reales distintos 5243.3 El caso de eigenvalores repetidos 5263.4 El caso de eigenvalores imaginarios 5273.5 Un problema algo ms complicado 529

    Ki

  • 3 . 6 Independencia lineal y wronskianos

    4 . La solucin particular5. Resumen del procedimiento

    6. Aplicaciones usando matrices

    7. Algunos tpicos especiales

    7.1 Ortogonalidad

    7.2 Longitud de un vector

    7 . 3 Eigenvalores y eigenvectores de matrices reales simtricas

    5 3 2

    5 3 3

    5 3 4

    5 3 5

    5 3 95 3 9541

    5 4 2

    \

    ecuaciones dijkrenciales parciales

    1.1.1

    1.2

    1.3

    1.4

    2.

    3.

    3.1 Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerda vibrante

    3 . 2 Problemas que involucran conduccin o difusin de calor.

    3 . 3 Problemas que involucran potencia l elbctrico o gravitacional

    3 . 4 Observaciones sobre la deduccin de ecuaciones diferenciales parciales

    1.1.1

    , 1.2

    1.31.42.

    2.1

    2 . 2

    2 . 3

    3.4.

    4.1

    4.2

    C A P I T U L O D O C EE C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S PAFWALES E N G E N E R A L

    El concepto de una ecuacin diferencial parcialIntroduccin

    Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillasSignificado geomtrico de las soluciones general y particular

    Ecuaciones diferenciales parciales que surgen de la eliminacin de

    funciones arbitrarias

    El mtodo de separacin de variablesAlgunas ecuaciones diferenciales parciales importantes que surgen de

    problemas fsicos

    CAPITULO TRECES O L U C I O N E S D E P R O B L E M A S D E V A L O R D E F R O N T E R A

    U S A N D O S E R I E S D E F O U R I E R

    Problemas de valor de frontera que involucran conduccin de calor

    El problema de Four ier

    Problemas que involucran fronteras aisladas

    Temperatura de estado estac ionar io en una p laca semi-infinitaInterpretacin de difusin de la conduccin de calor

    Problemas de valor de frontera que involucran movimiento vibratorio

    El problema de la cuerda vibrante

    La cuerda vibrante con amortiguamientoVibraciones de una viga

    Problemas de valor de f rontera que involucran la ecuacin de LaplaceProblemas miscelneas

    La cuerda vibrante bajo la gravedadConduccin-de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos

    5 5 0

    551

    551

    5 5 1

    554

    5 5 5

    560

    5 6 95 6 9

    5 7 3

    5 7 7

    5 7 8

    5 8 1

    582

    5 8 2

    5 8 85 9 0

    59359?5 9 7

    6oF6 0 3

    6 0 76 1 5

    6 1 56 1 7

    X i i

  • 4.34.4

    La cuerda vibrante con velocidad inicial no ceroVibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema que involucra

    series dobles de Fourier

    4.5 Conduccin de calor con radiacin

    4

    CAPITULO CA TORCESOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA

    USANDO FUNCIONES DE BESSEL Y DE LEGENDRE

    1.

    2 .Y-2.1- 2.2- 2.3- 2.4

    3.- 3.1- 3.2- 3.3

    4 .4.14.24.3

    IntroduccinProblemas de valor de frontera que conducen a funciones de Bessel

    El Laplaciano en coordenadas cilndricas

    Conduccin de calor en un cilindro circular

    Conduccin de calor en un ci l indro radianteVibraciones de una piel de tambor circular

    Problemas de va lor de f rontera que conducen a func iones de LegendreEl Laplaciano en coordenadas esfricas

    Conduccin de calor en una esfera

    Potencial elctrico o gravitacional debido a una esfera

    Problemas miscelneasEl problema de la cadena vibrante

    Potencial ektrico debido a un a lambre c i rcular uni formemente cargado

    El problema de la bomba atmica

    APENDICEDETERMINANTES

    RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

    TABLAS: DE TRASFORMADAS. .; DE INTEGRALES.

    BIBLIOGRAFIA

    MATEMATICOS QUE HICIERON APORTES. .

    INDICE

    619

    620625

    .

    6 3 2

    6 3 3633633634637638646646648651655655659662

    A - l

    A - 7

    T - l

    B - l

    M - l

    I-1

    X,II

  • pre fado

    El propsito de este libro es el de proporcionar una introduccin a las ecua-ciones diferenciales y sus aplicaciones para los estudiantes de ingeniera,ciencias y matemticas. Para alcanzar este propsito, el libro ha sido escritocon los siguientes objetivos:

    1. Demostrar cmo las ecuaciones diferenciales pueden ser tiles en lasolucin de variados tipos de problemas-en particular, mostrar al estudiantecmo (a) traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, estoes, establecer la formulacin matemtica de problemas; (b) resolver la ecua-cin diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y (c) interpretar lassoluciones obtenidas. Problemas elementales de muchos campos diferentes eimportantes se explican en relacin a su formulacin matemtica, solucin, einterpretacin. Las aplicaciones estn ordenadas de modo tal que los tpicosde mayor inters a los estudiantes o al profesor pueden escogerse sin dificultad.

    2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento delos tpicos y se desarrolle un inters. Esto se hace por medio de ayudas comoejemplos, preguntas y problemas para discusin.

    3. Proporcionar relativamente pocos mtodos de resolver ecuaciones dife-renciales que pueden aplicarse a un grupo grande de problemas. Se ha enfa-tizado en un nmero mnimo de mtodos bsicos que el estudiante encuentranormalmente en la prctica; otros mtodos menos utilizados que sin embargoson de inters se pueden encontrar en los ejercicios.

    4. Proporcionar al estudiante que desee investigar mtodos e ideas msavanzados, o problemas y tcnicas ms complicados una oportunidad para quelo haga. Esto se hace al ofrecer cerca de 2.2K1 ejercicios ordenados en dificul-tad. Los ejercicios tipo A son en su mayora fciles, requieren poca originali-dad y estn diseados para propsitos de prctica. Los ejercicios tipo B en-vuelven computaciones algebraicas ms complicadas o mayor originalidad que

    x v

  • la del grupo A. Los ejercicios tipo C estn dirigidos principalmente a comple-mentar el material del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad y cono-cimiento, diseados para desafiar al estudiante.

    5. Unificar la presentacin a travs de un enfoque ordenado y lgico, ha-ciendo nfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detalles aislados.Por ejemplo, despus de introducir el muy simple mtodo de separacin de va-riables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, se introducenlos conceptos de transformacin de variables y los de hacer una ecuacin exac-ta al multiplicar por un factor integrante apropiado. Estos conceptos se usanluego en la solucin de otros tipos de ecuaciones.

    6. Separar la teora de las ecuaciones diferenciales de sus aplicacionespara dar amplia atencin a cada una. Esto se consigue presentando la teoray aplicaciones en captulos separados, particularmente en los primeros cap-tulos del libro. Esto se hace por dos razones. Primero, desde un punto de vistapedaggco, parece no aconsejable mezclar teora y aplicaciones en las etapasiniciales puesto que el principiante generalmente encuentra difcil la formu-lacin matemtica de problemas aplicados; cuando l se ve forzado a hacerlo,adems de aprender tcnicas de solucin, generalmente ningn tema se do-mina. Al tratar teora sin aplicaciones y luego ampliar gradualmente a las apli-caciones (al mismo tiempo que se revisa la teora), el estudiante puede apren-der mejor ambos tpicos puesto que la atencin as se concentra en slo unaspecto a la vez. Una segunda razn para separar teora y aplicaciones es lade facultar a los profesores que deseen presentar un mnimo de aplicacionesde hacerlo tan fcilmente sin tener que estar en la difcil posicin de tenerque saltar captulos.

    El libro est dividido en tres partes principales. Parte 1 trata de las OXU-ciones diferenciales ordinarias, Parte II con sistemas de ecuaciones diferen-ciales ordinarias y Parte III con ecuaciones diferenciales parciales. ES tildiscutir los captulos en cada parte.

    Parte 1, ecuaciones diferenciales ordinarias. El Captulo uno da una pre-sentacin general a las ecuaciones diferenciales incluyendo la motivacin porproblemas de valor inicial y de frontera junto con tpicos relacionados. En elCaptulo dos se discuten mtodos para resolver algunas ecuaciones de primerorden y simples de alto orden. Estos mtodos se aplican en el Captulo tres acampos tales como fsica (incluyendo mecnica, electricidad, flujo de calor,etc.), qumica, biologa y economa. El Captulo cuatro discute mtodos basi-COS para resolver ecuaciones diferenciales lineales mientras que el Capt,ulocinco usa estos mtodos en problemas aplicados.

    En el Captulo seis se presenta la transformada de Laplace y se hacenaplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales. Entre los tpicos consi-derados estn la funcin gamma, funciones de impulso y la funcin delta deDirac, el problema tautcrono y servomecanismos,

    El Captulo ocho, el cual es opcional, introduce la idea de funciones orto-gonales y problemas de Sturm-Liouville usando generalizaciones a partir devectores en dos y tres dimensiones. Algunos tpicos tratados en este captuloson eigenvalores y eigenfunciones, y series ortogonales incluyendo series deFourier y de Bessel.

    En el captulo final de la Parte 1, Captulo nueve, se presenta una intro-duccin a varios mtodos numricos para resolver ecuaciones diferenciales.

    xvi

  • En este captulo se incluye una discusin de diagramas de computador y ele-mentos de anlisis de errores.

    Parte II, sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. ESta parte con-siste de dos captulos. El primero de estos, el Capitulo diez, tiene e] propsitode servir de introduccin general y de ofrecer varios mtodos pars resolverecuaciones diferenciales simultneas junto con aplicaciones tales como el mo-vimiento planetario y de satlites, vibraciones, electricidad y biologa. Inclu-dos en este captulo estn los principios elementales del anlisis del plano defase y estabilidad motivados por el problema del depredador-presa en ecologa.

    El segundo captulo, Captulo once, el cual es otro captulo opcional, dis-cute mtodos matriciales para resolver sistemas lineales. Este captulo mues-tra cmo conceptos tericos importantes tales como eigenvalores y ortogonali-dad surgen de manera natural en el proceso de solucin.

    Parte III, ecuaciones diferenciales parciales. Esta parte est compuestade tres captulos. El primero de estosel Captulo doce, intenta servir de unaintroduccin general a algunas de las ideas concernientes a las ecuacionesdiferenciales parciales. Estas incluyen deducciones de ecuaciones importan-tes que surgen en varios campos tales como conduccin de calor, vibracin yteora de potencial. El segundo captulo, Captulo trece, presenta mtodos deseries de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Finalmen-te, el Captulo catorce, el cual es opcional explora mtodos para resolver ecua-ciones diferenciales parciales usando funciones de Bessel y de Legendre. Unaspecto importante de este captulo es el problema de la bomba atmica el cualse trata junto con otros tipos de problemas ms convencionales y relat,ivamen-te inofensivos dados en los Captulos doce y trece.

    Los captulos han sido escritos y ordenados para proporcionar un mximode flexibilidad. Por ejemplo, los Captulos seis y once se pueden omitir sin nin-guna prdida de continuidad si ell profesor decide no cubrir las transformadasde Laplace o mtodos matriciales. Similarmente, en el Captulo diez el mtodode la solucin complementaria-particular para resolver sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales se ilustra sin el uso de matrices mientras que en el Ca-ptulo once se trata con matrices. As, el profesor puede usar uno u otro o am-bos para demostrar sus relaciones. Como otro ejemplo, en el Captulo trece, elcual presenta mtodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferen-ciales parciales, las series de Fourier se introducen en una manera histrica,esto es, como Fourier pudo haberlas descubierto. Como resultado, est,e captu-lo es esencialmente independiente del Captulo ocho, el cual trata con funcio-nes y series ortogonales, proporcionndole al profesor la opcibn de omitir ente-ramente el Captulo ocho. En casos donde pudiera existir alguna duda, loscaptulos y secciones de captulos han sido marcados con un diamante paraindicar que son opcionales. Sin embargo, los captulos y secciones que han si-do marcados como opcionales (tales como los concernientes a las transforma- .das de Laplace, mtodos numricos y aplicaciones particulares), no han sidomarcados como tales debido a que el cubrimiento u omisin de los tpicos in-cluidos generalmente dependern de la clase de curso que se ofrezca, Ios t.pi-cos a considerar, etc.

    Debido al alto grado de flexibilidad, el libro se puede usar en una varie-dad de cursos empezando desde un curso de uno a dos semestres e incluyen-do slo ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales ordina-rias y parciales. El diagrama en la pagina xvi, el cual indica secuencias

    XVII

  • posibles de captulos, puede ser til al profesor en la planeacin de un curso.Por ejemplo, en un curso semestral que cubra ecuaciones diferenciales ordi-narias y parciales, una posible secuencia de captulos es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10,12, 13. Una doble flecha indica que los captulos se pueden intercambiar. As,por ejemplo, el Captulo siete si se desea podra preceder al Captulo seis.

    El autor desea aprovechar esta oportunidad para expresar sus agradeci-mientos a Esther y Meyer Scher por su continuado inters y estmulo; al gru-po asesor de la Prentice Hall, especialmente a Leslie Nade11 y E3ob Sickles,por su excelente cooperacin; y a los siguientes profesores de matemticasquienes revisaron el manuscrito y proporcionaron muchas sugerencias tiles:Ebon E. Betz, United States Naval Academy; E. E. Burniston, North CarolinaState University; John Burns, Virginia Polytechnic Institute and State Uni-versity; Ronald Hirschorn, Queens University; James Hurley, University ofConnecticut; R. N. Kesarwani, University of Ottawa; Anthony L. Peressini,University of Illinois; William L. Perry, Texas A & M University; Daniel Sweet,University of Maryland; Henry Zatzkis, New Jersey Institute of Technology.

    * * *

    Fue un gran placer enterarme de la traduccin al idioma Espaol de milibro Ecuaciones diferenciales aplicadas, tercera edicin. Espero que esto daruna oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de las ecuaciones dife-renciales y sus numerosas aplicaciones.

    Murray R. Spiegel

    XVIII

    h te--.- ^-

  • POSIBLES SECUENCIAS DE CAPITULOS

    1. Ecuscionssdiferencialessn general

    2. Ecuacionesdiferenciales deprimer orden yamples de altoorden

    1

    3. Aphcacioner deecacio** Dife-

    c rencmlesde primerorden y emplesdeorden supermr

    9. La soluci6n U-l 6. Funcionesorto-

    m6rics de .cu.cio- 4 cgonalss y probls-

    -nes diferenciala masde Sturm-L,Oi,k

    l 11. MOtodosdee,gwwaloresdematrices para Yrmrnas de ecuacic-nerdifsrencialsslineales

    13. Sotuciones deproblemas de valorde frontera. uwdoseries de Fourier

    LI

    l

    lt

    Il 14. Solucionesds

    problemas de valorde frontera umdofunaoneds hs-d Y Legendra

    xix

  • diferencialesordinarias

  • unoecuaciones

    diferencialesen general

    1. CONCEPTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

    1.1 Algunas definiciones y observaciones

    1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial

    y de frontera

    1.3 Soluciones generales y particulares

    1.4 Soluciones singulares

    + 2. OBSERVACIONES ADICIONALES EN RELACION A LAS

    SOLUCIONES

    2.1 Observaciones sobre existencia y unicidad

    2.2 Campo de d i recciones y e l mtodo de las isoclinas

    2 .

  • Conceptos de ecuaciones diferenciales

    1.1 ALGUNAS DEFINICIONES Y OBSERVACIONES

    El descubrimiento independiente del clculo por Newton y Leibniz en elsiglo 17 proporcion el mpetu para los grandes avances que siguieron en lasmatemticas, ciencias, e ingeniera. Una de las ms importantes y fascinan-tes ramas de las matemticas que proporcion el medio para las formulacio-nes matemticas y soluciones de variados problemas en estas reas se llamaecuaciones diferenciales, las cuales estudiaremos en este libro. Con el obje-to de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones.

    Definicin 1. Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra de-rivadas de una funcin desconocida de una o ms variables. Si la funcindesconocida depende slo de una variable (de tal modo que las derivadasson derivadas ordinarias) la ecuacin se llama una ecuacin diferencial or-dinaria. Sin embargo, si la funcin desconocida depende de ms de una va-riable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuacin sellama una ecuacin diferencial parciul.*

    Ejemplo 1. La ecuacin L1.v-=2x+> 0dx

    y =2x + y (1)

    en la cual y es una funcin desconocida de una sola variable x es una ecua-cin diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y = f(x) y llamamos ax la variable independiente, y y, la cual depende de x, la variable dependien-te. Por brevedad podemos denotar el valor de y en x por y(x), y sus derivadassucesivaspory(x), y ( x ) , , osimplementey,y,.

    Ejemplo 2.d2XL a e c u a c i n --2$--15x=0dt2

    (2)

    en la cual x es una funcin desconocida en una sola variable t es una ecua-cin diferencial ordinaria. Podemos escribir x = g(t), donde t es la variableindependiente y x la variable dependiente. Por brevedad podemos denotarel valor de x en t por x(t), y tambin podemos denotar las derivadas por x(t),x( t ) , ., 0 s i m p l e m e n t e x , x ,

    2 2

    Ejemplo 3. La ecuacin g+2+ (3)

    en la cual V es una funcin desconocida en dos variables x y y es una ecua-cin diferencial parcial. Podemos escribir V= F(x, y), donde x y y son va-riables independientes y V es la variable dependiente. Por brevedad podemosdenotar el valor de V en x y y por V(x, y).

    \

    *Excluimos de la clase de ecuaciones diferenciales aquellas que son identidades tales co1110

    Ecuaciones diferenciales en genarel 3

  • Definicin 2. El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la deri-vada ms alta que aparece en la ecljacin.

    Ejemplo 4. La derivada ms alta que aparece en la ecuacin (1) es dy/dx, la cual es de primer orden, esto as, de orden 1. Por tanto, la ecuacin di-ferencial es una ecuacin de orden 1, o una ecuacin diferencial ordinariade primer orden.

    Ejemplo 5. La der ivada ms a l ta que aparece en ecuacin (2) es dLx/ dtz, la cual es de segundo orden, esto es, orden 2. La ecuacin diferenciales por tanto de orden 2, o una ecuacin diferencial ordinaria de segundo or-den.

    Ejemplo 6. La derivada ms alta que aparece en ecuacin (3) es i2V/Ox20 i2Vliy2, ambas son de segundo orden. Por tanto, la ecuacin diferenciales una ecuacin diferencial parcial de segundo orden.

    O~semmh 1. Una ecuacin diferencial ordinaria de orden 11 puedeexpresarse como

    g(x, y, y,, J, . . , 2 . ) = 0 (4)

    Si podemos resolver esta ecuacin por la derivada ms alta, obtenemos unao ms ecuaciones de orden n tomanalo la siguiente forma:

    \ p) = F-(x, j, y, . > 4 - l)) (5)

    Ejemplo 7. La ecuacin de primer orden (y) + xy -y = 0

    es equivalente a las sigientes dos ecuaciones de primer orden

    (6)

    y = &p-Tq - XI), 2 = -&/TT-q + s) (7)

    Observacin 2. Adicionalmente a su orden, es til clasificar una ecua-cin diferencial ordinaria como una (ecuacin diferencial lineal o no-lineal deacuerdo a la siguiente.

    Definicin 3. Una ecuacin diferencial ordinaria lineal es una ecuacinque puede ser escrita -en la forma

    a,(x)y~ + a,(x)J- l + . . + an-,(X)J + U,(X)J~ = F(s) (8)

    donde F(x) y los coeficientes a, (x ) , a, (x),. , a, (x ) son funciones dadasde x y a,(x) no es idntica a cero.* Una ecuacin diferencial que no puedeescribirse en la forma (8) se llama una ecuacin diferencial no-lineal.

    Ejemplo 8. Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordina-rias lineales.

    Ejemplo 9. La ecuacin (6) o las dos ecuaciones equivalentes (7) son no-lineales.

    *En lgebra OU + IL donde a y b no dependen de u o de LJ frecuentemente se llama una fun-cin lineal de u y U. La terminologa linevzl cen la Definicin 3 est inspirada en una generaliza-cin de esta idea debido a que el lado izquierdo de (8) es una funcin lineal de J, y , , J ().

    14 Captula uno

  • Las ideas presentadas en las Observaciones 1 y 2 tambin se pueden ex-tender a las ecuaciones diferenciales parciales. Como tendremos ocasin deobservar a lo largo de este libro, las ecuaciones diferenciales lineales son engeneral ms fciles de manejar que las ecuaciones no lineales.

    Definicin 4. Una solucin de una ecuacin diferencial es cualquier fun-cin que satisface la ecuacin, esto es, la reduce a una identidad.Ejemplo 10. Las funciones definidas por X= eS 1 y x = e-3 f son dos so-luciones de la ecuacin (21, puesto que la sustitucin de stas conducen res-pectivamente a

    25P - 2(5P) - 15f? = 0, ge-31 - 2(-3r-3) - 15p-3 = 0

    las cuales son identidades. Otra solucin es x = 0, y pueden existir otras. IDehecho x=c,e+~,e-~ d o n d e cl y cp son constantes arbitrarias es unasolucin.Ejemplo ll. La funcin definida por V= exsen 231 es unn solucin de ((3)puesto que

    dV F v 3lJd.\- = 38 sen 2y, a\-2 = 9~ sen 2y, F = 2e3- cos s,

    p ,,p = - 4e.j 1 sen 2y

    de modo que al sustituir encontramos lasen2y) = e3xsen?4..

    identidad 9e3sen2y + 2( -4e3

    Observacin 3. En los Ejemplos 10 y Il las soluciones se dieron sinrestricciones sobre los valores-que asumen las variables independientes. Al-gunas veces, sin embargo, debemos restringir tales valores, como por ejemplocuando queremos que los valores de la funcin sean reales o tengan otraspropiedades. Por ejemplo, si f(x) = V9 - ~2, entonces para que f(x) sea realdebemos tener - 3 5 x 5 3. Tales valores constituyen lo que se llama el do-minio de la funcin. Cuando no se especifica el dominio, como muchas ve-ces ocurre, asumimos que el dominio es el conjunto de todos los valores paralos cuales las operaciones indicadas producen resultados con sentido. As,por ejemplo, si una funcin se define por f(x) = 1/(x - 3), entonces el domi-nio es el conjunto de todos los valores de x excepto 3, esto es x.+ 3, puestoque la divisin por cero carece de sentido.

    Ejemplo 12. La funcin definida por y = fl- es una solucin de

    y= -5.Y

    puesto que (10)

    y al sustituir en la ecuacin diferencial (9) se obtiene una identidad

    Sin embargo, es claro que si deseamos que la funcin sea real y la derivada(10) exista debemos restringir x al dominio -3< x

  • (9) sobre el intervalo - 3 < x < 3. Otros dominios podran tambin tomarse.Por ejemplo, las funciones definidas por y = m, 0 3 x < 3, o y = m,l< x: < 2 son tambin soluciones de (9).

    Observaciones similares pueden hacerse para funciones de dos o msvariables. Por ejemplo, si V= V9 - (x2 + yz ), entonces para que V y sus deri-vadas parciales con respecto a x y y existan y sean reales, se debe restringirz JJ y de modo que ~2 +yz < 9, dominio que geomtricamente representa el in-terio,r de un crculo de radio 3 en el plano xy y con centro en el origen.

    Bbseruacin 4. En todos los ejemplos anteriores tratamos con solucio-nes 8-n las cuales la variable dependiente fue resuelta explicitamente en tr-minos de las variables independientes, y por esta razn nos referimos a lasfunciones como funciones explcitas. Corno se aprendi en clculo, sin em-bargo, podemos tener funciones definidas implcitamente por ecuaciones queinvolucran las variables dependientes e independientes, en cuyo caso ellasse refieren como funciones implcitas.

    Ejemplo 13. Dada la relacin xs +y j = 9 entre x y y, podemos considerara y alefinida implcitamente como una funcin de X. De hecho, notando quela relacin es equivalente a y = t \/9 - ~2, podemos ver que una de stases la misma que aparece en la relacin del Ejemplo 12. Esta situacin nos in-dica el hecho de que al tratar con funciones implcitas se puede requerir in-vestigacin adicional para determinar la funcin especificada que se desea,puesto que se pueden incluir muchas funciones. Note que si diferenciamosxi + yZ = 9 implcitamente, considerando a y como una funcin de X, obte-nemos:

    2x + 2yy = 0 0 y= -2 (111Y

    la cual concuerda con (9). El hecho de que debemos ser cuidadosos sobre loque cestamos haciendo puede ilustrarse al notar que x2 +y = -9 tambinsatisface formalmente a (ll), pero ella ni siquiera define a y como una fun-cin real de X.

    Ejemplo 14. Asuma que y3 - 3s + 3y = 5 (12)defin.e a y (implcitamente) como una funcin de X. Entonces esta funcinsera una solucin de

    y zzz -$( y)

    puesto que al diferenciar (12) con respecto a x encontramos

    (13)

    y= -2Yy

    y =(y + ll

    (14)

    de m.odo que la sustitucin de las derivadas dadas por (14) en (13) producela identidad

    ?Y 3- -(y2 + ,) = -2)

    I

    (>-m(151

    La pregunta de si (12) realmente s define a y como una funcin de x requie-re mayor investigacin, pero hasta que tal decisin se obtenga ella se puedereferiir como a una solucin formal.. .

    6 Captulo uno

  • 1.2 EJEMPLOS SENCILLOS DE PROBLEMAS DE VALORINICIAL Y DE FRONTERA

    Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecua-cin diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la funcindesconocida debe satisfacer. Como un ejemplo sencillo, considere el siguiente

    PROBLEMA PARA DISCUSION

    Una partcula P se mueve a lo largo del eje x (Figura 1.1) de tal manera quesu aceleracin en cualquier tiempo t 2 0 est dado por a = 16- 24t. (a) En-cuentre la posicin x de la partcula medida del origen 0 a cualquier tiempot > 0, asumiendo que inicialmente (t = 0) est localizada en x = 2 y est via-jando a una velocidad u = - 5. (b) Trabaje parte (a) si solamente se sabe quela partcula est localizada inicialmente en x = 2, y en x = 7 cuando t = 1

    +X0 P

    Figura 1.1

    Para formular matemticamente este problema, recordemos primero delclculo que la velocidad y aceleracin de una partcula que s mueve a lo lar-go del eje x estn dadas respectivamente por

    dx d*xv=z Y a=Jp

    Entonces de la primera frase del enunciado del problema se tiene

    d*x_ = 16 - 24tdt*

    la cual es la ecuacin diferencial requerida para el movimiento.(17)

    Solucin a la Parte (a) Las condiciones sobre la funcin x dadas en parte(a) son

    x = 2, v = -5 en t = 0 esto es, x(O) = 2, x(0) = - 5 (18)

    Se debera notar que el significado del signo menos en u = - 5 es de que lapartcula est viajando inicialmente hacia la izquierda. Si integramos (17)una vez, encontramos

    dx- = 16t - 12t2 + c1d t

    (19)

    donde c1 es una constante arbitraria. Esta constante puede determinarsede la segunda condicin en (18) con t = 0 en (19). Encontramos - 5 = 0 + cr ,esto es, c1 = - 5, de modo que

    dx- = 16t - 12t* - 5dt (20)

    La integracin de (20) da x = 8t2 - 4t3 - 5t + c2 (21)donde c2 es otra constante arbitraria que puede determinarse de la primeracondicin en (18) con t = 0 en (21). Encontramos 2 = Cl + c:, o cO = 2. As

    x = Sr2 -- 4t3 - 5t + 2 (2.2)

    Ecuaciones diferenciales en general 7

  • la cual es la ley requerida de movimiento permitindonos determinar la po-sicin en cualquier tiempo r > 0; por ejemplo, al tiempo t = 1, x = 1, al tiem-po t = 2, x = -8, etc.

    Solucin a la Parte (b) En esta parte todava tenemos la misma ecuacin di-ferencial (17) para el movimiento, pero las condiciones han cambiado a

    s=2ent=O, x=7ent= 1 0 x(0) = 2, x(l) = 7 (23)

    En este caso integramos (17) como antes para obtener (19). Sin embargo,puesto que no tenemos una condicin para dx/dt, no podemos todava de-terminar c , , y por tanto debemos integrar (19) para obtener

    x = 8t2 - 4t3 + c,t + c2 (24)Podemos ahora usar las dos condiciones en (23) para hallar las dos constan-tes arbitrarias en (24). Esto conduce a 2 = 0 + c2, 7 = B(l)2 - 4(l) + c, + c20 c, =l, cz =2de modo que x = 8r2 - 4t3 + t + 2 (25)

    Las formulaciones matemticas de las partes (a) y (b) en el problemaanterior son, respectivamente,

    (al $= 16-24t, X(0) = 2, s(0) = - 5

    (b)(F-Cdtz= 16-24t, x(0)=2,x(l)= 7

    Una diferencia importante entre ellas es que en (a) las condiciones sobre lafuncin desconocida x y sus derivadas x o dx/dt estn especificadas en unualor de la variable independiente (en este caso t = 0), mientras que en (b)las condiciones sobre la funcin desconocida x se especifican en dos valoresde la variable independiente (en este caso t = 0 y t = 1). Los dos tipos de pro-blemas presentados en (a) y (b), respectivamente, se llaman problemas devalor inicial y problemas de valor de frontera. Debemos as hacer las siguien-tes- definiciones.

    Definicin 5. Un problema de valor inicial es un problema que busca deter-minar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones sobre lafuncin desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la varia-ble independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

    Definicin 6. Un problema de valor de frontera es un problema que buscadeterminar una solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones so-bre la funcin desconocida especificadas en dos o ms valores de la variableindependiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

    Considere el siguiente ejemplo ilustrando las observaciones anteriores,

    E J E M P L O I L U S T R A T I V O 1

    Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en cual-quier punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuacin de la curva si stapasa por el punto (2,5).

    8 Captulo uno

    L

  • Figura 1.2

    Solucin Puesto que la pendiente de una curva en cualquier punto (x, y)de ella est dada por dy/dx, del enunciado del problema se tiene

    (28)

    una ecuacin diferencial de primer orden. Puesto que la curva debe pasarpor el punto (2, 5), y=5 cuando x=2 estoes, y(Z)=5 (29)

    El problema de resolver (28) sujeta a (29) es un problema de valor inicial.

    La integracin de (28) da y = x2 + c (30)

    donde c es una constante arbitraria. Usando la condicin (29) en (30) se ob-tiene 5 = (2)2 + c de modo que c = 1. As la curva requerida est dada pory=x+l (31)

    Grficamente, (30) representa una familia de euruas en el plano zy, cadamiembro de ella est asociado con un valor particular de c. En la Figura 1.2 semuestran algunos de estos miembros para c = 0, - 1, 1, 2. Puesto que c pue-de variar, frecuentemente se llama un parmetro para distinguirlo de las va-riables principales x y y. La ecuacin diferencial (28) que es satisfecha portodos los miembros de la familia frecuentemente se llama la ecuacin. dife-rencial de la familia.

    Observacin 5. La misma terminologa usada en este ejemplo puedetambin usarse en el problema de la pgina 7. As, (24) representa una fami-lia de curvas en el plano tx, cada miembro de la cual est asociado con valo-res particulares de los dos parmetros c 1 y cq , mientras que (17) es la ecua-cin diferencial de la familia. Para especificar el nmero de parmetrosinvolucrados, algunas veces hablamos de una familia de curvas de un par--metro, una familia de curvas de dos parmetros, etc. Las soluciones cerres-

    Ecuaciones diferenciales en general 9

  • pondientes a las ecuaciones diferenciales pueden entonces referirse comola solucin con un parmetro (o la familia de soluciones con un parmetro),la solucin con dos parmetros (o lla familia de soluciones con dos parme-tros), etc. Tambin podemos referirnos a estas curvas como curvas solucin.

    En el proceso de la formulacin matemtica de problemas aplicados, pue-den surgir muchas clases de ecuaciones diferenciales, como veremos en fu-

    l

    turos captulos. En la siguiente lista vemos una pequea muestra de ellas.

    d2x-= -kxdt2 (32)

    d2y dyxlix+~+xy=o

    d vVfM-=v2

    dM

    Ely = w(x)

    sen 20t

    y = ; JW

    a2v d2V a2vJjp+&-T+s=

    g=k[$-$+$;

    (33)

    (34)

    (35)

    (36)

    (37)

    (38)

    (39)

    S2Y a2Y-= al-..-it2 2x2

    ( 4 )

    a4cp aq5r:x4+2- + * = F(x, y)sx2cy2 cy (41)

    La ecuacin (32) es famosa en el campo de la mecnica en conexin conel movimiento armnico simple, como en las oscilaciones pequeas de un pn-dulo simple. Elia podra, sin embargo surgir en muchas otras conexiones.

    La ecuacin (33) surge en mecnica, calor, electricidad, aerodinmica,anlisis de esfuerzos y en muchos otros campos.

    La ecuacin (34) surgi en un problema de vuelo de cohete.La ecuacin (35) es una ecuacin impcrtante en ingeniera civil en la teo-

    ra de deflexin o doblamiento de vigas.La ecuacin (36) puede surgir en la determinacin de la corriente I como

    una funcin del tiempo t en un circuito de corriente alterna, pero tambin po-dra surgir en mecnica, biologa, y economa.

    La ecuacin (37) surge en conexin con un problema de suspensin decables.

    La ecuacin (38) podra-surgir en problemas de electricidad, calor, aero-dinmica, teora de potenciales, y n muchos otros campos.

    1 0 Cbptulo uno

  • La ecuacin (39) surge en la teora de conduccin de calor, como tambinen la difusin de neutrones en una pila atmica para la produccin de ener-ga nuclear. Tambin surge en la teora de movimiento browniano.

    La ecuacin (40) surge en conexin con la vibracin de cuerdas, comotambin en la propagacin de seales elctricas.

    La ecuacin (41) es famosa en la teora de anlisis de esfuerzos.Estas son solo una pequea parte de las muchas ecuaciones que podran

    surgir en algunos de los campos de los cuales estn tomadas. Exmenes deecuaciones tales como stas por matemticos puros, matemticos aplicados,fsicos tericos y aplicados, qumicos, ingenieros, y otros cientficos a travsde los aos han conducido a la conclusin de que existen ciertos mtodos de-finidos por medio de los cuales muchas de estas ecuaciones pueden resolver-se. Tales ecuaciones y mtodos junto con los nombres de las personas asocia-das con ellas se darn a lo largo del libro.* A pesar de todo lo que se conoce,sin embargo, muchas ecuaciones permanecen sin solucin, algunas de ellasde gran importancia. Gigantescas mquinas modernas de clculo actualmen-te estn siendo ocupadas en determinar soluciones a tales ecuaciones vita-les para la investigacin relacionada con seguridad nacional, planeacin eco-nmica, e ingeniera aeroespacial as como tambin en muchos otros campos.

    Uno de los objetivos de este libro es ofrecer una introduccin a algunosde los problemas importantes que surgen en la ciencia y la ingeniera con loscuales la mayora de cientficos deberan estar familiarizados. Para conse-guir este objetivo, ser necesario demostrar cmo uno resuelve las ecuacio-nes que surgen como resultado de las formulaciones matemticas de estosproblemas. El estudiante debiera siempre recordar que hay tres etapas enla solucin terica de problemas cientficos.

    1. Formulacin rrktemtica del problema cientfico. Las leyescientficas, que por supuesto estn basadas en experimentos u observacio-nes, estn traducidas en ecuaciones matemticas. En muchos casos un mo-delo matentico se usa para aproximarse a la realidad fsica. As, per ejem-plo, al tratar con el movimiento de un planeta, tal como la tierra, alrededordel Sol, podemos considerar a la Tierra y al Sol como partculas (o puntos demasa). Sin embargo, en un estudio de la rotacin de la tierra sobre sus ejes,tal modelo es claramente inapropiado, de tal modo que podemos considerara la tierra como una esfera o an ms precisamente como un esferoide ova-lado.

    2. Solucin de las ecuaciones. Las ecuaciones formuladas en Etapa1 necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, pa-ra determinar la incgnita, o incgnitas, involucradas. Los procedimientos -usados pueden producir una solucin exacta o, en casos donde solucionesexactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente,para elaborar los clculos numricos se recurre al uso de calculadoras. Elproceso de obtener soluciones frecuentemente conduce a preguntas de natu-raleza puramente matemtica que algunas veces tienen mayor inters queel problema cientfico original. De hecho, muchos de los avances en las ma-temticas fueron obtenidos como un resultado de los intentos de resolverproblemas en la ciencia y la ingeniera.

    *En la contraportada del frente del texto se da una lista de referencias de algunos de loscontribuidores importantes a la teora y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

    Ecuaciones diferenciales en general 11

  • 3. Interpretacin cientfica de la solucin. Con el uso de las solucio-nes conocidas, el cientfico puede ser capaz de interpretar lo que est suce-diendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer grficas o tablas ycomparar Ia teora con los experimentos. Puede incluso basar investigacinposterior en tales interpretaciones. Por supuesto que, si encuentra que losexperimentos u observaciones no estn de acuerdo con la teora, debe revi-sar el modelo matemtico y su formulacin matemtica hasta que se consi-ga un acuerdo razonable.

    Cada una de estas etapas es importante en la solucin final de un pro-blema aplicado y, por esta razn, enfatizaremos todas las tres etapas en es-te libro.

    Puesto que, como uno podra esperar, las ecuaciones diferenciales par-ciales son mucho ms complicadas que las ecuaciones diferenciales ordina-rias, la mayor parte de este libro, esto es, los once captulos en las Partes Iy II, se dedican a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuacionesdiferenciales parciales se tratan en los tres captulos de la Parte III. As, amenos que se diga lo contrario, cuando nos refiramos a una ecuacin dife-rencial implicaremos una ecuacin diferencial ordinaria.

    EJERCICIOS A1. Complete la siguiente tabla.

    (W y - 4y - 5y = e3x

    (4au a2u au-=4=+ay

    ( d ) (+$;+&$-3t

    te)

    d2x

    p-3x = sen y

    (h) ( 2 x + y ) d x + ( x - 3 y ) d y = 0

    6) y + xy = sen y

    (3a27- d2T

  • 2. Haga una tabla similar a la anterior para las ecuaciones diferenciales (32)-(41) dela pgina 10 y complete la tabla.

    3. iCules de las ecuaciones diferenciales ordinarias en la tabla del Ejercicio 1 sonlineales y cules son no-lineales?

    4. Trabaje el Ejercicio 3 para la tabla construida en el Ejercicio 2.

    5. Muestre que cada una de las funciones definidas en la Columna 1, con una ex-cepcin, es una solucin de la correspondiente ecuacin diferencial en la Colum-na II, sujeta a las condiciones dadas, si hay alguna.

    1 II

    (a) J = e-* + x - 1. J + J = X; J(0) = 0.(,,, I = Ae + Be-z _ $-l ! - 3J, - 10~. = 61,.

    cl.,( c ) s = 8 cos 3t + hsen3t. -=-9s:r=X.~j:=lXaf=O.

    dt2

    (d) 8~ - 27~,~ = 0. (?.)3 = J; y(O) = 0.

    te) Y(i, t) = 4sen(2x - 3t).(?y -2 /

    9 T = 4 ;;; : Y(rr, 0 ) = 0(Y

    (f) J = c,em2x + c# + (.++

    (g) J = As3 + Bsm4 - f.

    (h) 1 + i2y + 4~ = 0.(i) .Y? - y3 = c.

    J ~ 2~ - 5J + 6J, = 0

    S2J + 2s) ~~ 12! = 2-Y.

    J = 2x( Jy: y(0) = 0. J (0) = $J tlc + (2s - 3J.)d\. = 0 .

    6. Una partcula se mueve a lo largo del eje x de modo que su velocidad instantneaest dada como una funcin del tiempo t por u = 12 - 3tL Al tiempo t = 1, estlocalizada en x = - 5. (a) Establezca un problema de valor inicial que describa elmovimiento. (b) Resuelva el problema en (a). (c) Determine dnde estar la par-tcula en los tiempos t = 2 y t = 3. (d) Determine los tiempos cuando la partculaest en el origen. Al hacer esto , iqu supuestos se estn haciendo? (e) Describael movimiento de la partcula usando un grfico u otro medio.

    7. Una partcula se mueve a lo largo del eje x de modo tal que su aceleracin instan-tnea est dada como una funcin del tiempo t por a = 10 - 12t. En los tiempost = 2 y t = 3, la partcula est localizada en x = 0, y x = - 40 respectivamente. (a)Establezca la ecuacin diferencial y condiciones asociadas que describen el mo-vimiento. iE problema es de valor inicial o de frontera? (b) Solucione el proble-ma en (a). (c) Determine la posicin de la partcula en t = 1. (d) Dibuje aproxi-madamente el grfico de x contra t y selo para describir el movimiento de lapartcula.

    8. Trabaje el Ejercicio 7 si la partcula est inicialmente en x = 3 y tiene una veloci-dad v= -6.

    9. La pe,ndiente de una familia de curvas en cualquier punto (x, y) del plano xy estdada por 4- 2x. (a) Establezca la ecuacin diferencial de la familia. (b) Determi-ne una ecuacin para aquel miembro particular de la familia que pasa por el pun-to (0, 0). (c) Dibuje varios miembros de la familia incluyendo al hallado en (b).

    10. Trabaje el Ejercicio 9 si la pendiente est dada por 4e-2.

    Ecuaciones diferenciales en general 13

  • 11. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial o de frontera. Encada caso d una interpretacin fsica o geomtrica posible.

    (a) 2 = 3 sen x, y(n) = - 1. (b) ; = 4e- - 2, x = 3cuando t=O

    (c) $ = 8 - 4t + t2,dx

    x = l,z = -3 cuando t=O.

    (d)$=gJ, s(4) = 16. (e) y = 12x(4 - x), Y(0) = 7, y(1) = 0.

    12. En cada uno de los aparies siguientes se da una ecuacin diferencial para unafamilia de curvas. Obtenga las curvas solucin para cada familia y d el nmerode parmetros involucrados. Halle los miembros particulares de cada familia quesatisfagan las condiciones dadas.

    (a) y = -4/x*, y(1) = 2. (b) y = 1 - cos x, y(0) = 0, y(0) = 2.(c) yf = JGTi, y(0) = 5, y(4) = -3.

    EJERCICIOS B

    1. Una partcula se mueve a lo largo del eje x de modo que su velocidad en cualquiertiempo t 10 est dada por u = l/(t + 1). Asumiendo que inicialmente se encuen-tra en el origen, muestre que la partcula nunca pasar a n = if/2.

    2. iPara qu valores de la constante m la funcin y = emx ser una solucin a ca-da una de las siguientes ecuaciones diferenciales? (a) y - 2y = 0. (b) JI + 3~ -4y = 0. (c)y - 6Y + lly - 6y = 0.

    3. &El mtodo del Ejercicio 2 podra funcionar para hallar soluciones a xuy - xy +y = O? Explique. De sus conclusiones, ipuede usted sugerir una clase de ecuacio-nes diferenciales que sikmpre tengan soluciones de la forma y =emx?

    4. (a) Si y = Y, (le) y y = Y, (x) son dos soluciones dey + 3y - 4y = 0 muestre que y =c 1 Y, (x) +c, Yz (x) es tambin una solucin, donde c, y c2 son constantes ar-bitrarias. (b) Use el resultado de(a) para hallar una solucin de la ecuacin di-ferencial que satisfaga las condiciones y (0) = 3, y (0) = 0.

    5. Si y = Y1 (x) y y = Y2 (x) son soluciones de y +y = 0, y = Y, (x) + Yz (x), jestambin una solucin? Compare con el Ejercicio 4 .y discuta. iPuede usted carac-terizar el tipo de ecuacin diferencial que tenga la propiedad descrita en el Ejer-cicio 4?

    6. Muestre que una solucin de y = 1+ 2ny sujeto a y(l) = 0 es y = 8 JT e-* dt.

    7. Es 1~2 +yz - 6x + 1Oy + 34 = 0 una solucin a la ecuacin diferencial g = 3-x ?Yf5

    8. La ecuacin diferencial de una familia de curvas en el plano xy est dada porns

    1

    f = -24~0s~.

    (a) Halle una ecuacin para la familia y d el nmero de parmetros involucra-dos. (b) Halle un miembro de esta familia que pase por los puntos (0, - 4), (1, 0),y que tenga una pendiente de 6 en el punto donde x = 1.

    9. iEs posible que la ecuacin diferencial de ima familia con tres parmetros seade orden 4? Explique.

    EJERCICIOS C

    1. En la ecuacin dy/& + &/dy = 1I, icul es la variable independiente? Cul esla variable independiente en la ecuacin

    Captulo uno

  • 2. Muestre que la ecuacin de primer orden xy(y )s - (x2 +yi )y + xy = 0 es equiva-lente a dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Muestre que y = cx y x2 -yz E c, donde G es cualquier constante, son soluciones de la ecuacin.

    3. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones e interprete geomtricamente:

    ta) $ =Y, Y (0) = 1; (b) g = ey, y(l) =O; (c) g = secy, y(O) = 0. (Sugerencia: ES-

    criba cada ecuacin diferencial en trminos de dr/dy en vez de dy/dx.)

    4 . ( a ) M u e s t r e q u e d2L. = _ _d2x dx 3

    dx2 dy2 dyi( >es una identidad. (Sugerencia: Derive am-

    bos lados de dy/dx = l/dx/dy con respecto a x.) (b) Use el resultado en (a) pa-ra transformar la ecuacin diferencial

    con variable independiente y, en una con variable independiente n. iPuede ustedobtener la solucin de esta ecuacin?

    5. Muestre que x = a(s -seno), y= u(l- cos 8), donde a es cualquier constantedistinta de cero, es una solucin de 1+ (y ) + 2yy = 0.

    1.3 SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES

    En pginas 8-9 consideramos una ecuacin diferencial la cual tena unasolucin que involucraba una constante arbitraria (o parmetro) la cual sepoda determinar a partir de una condicin dada. En forma similar, en laspginas 7-8 consideramos una ecuacin diferencial de segundo orden la cualtena una solucin que involucraba dos constantes arbitrarias (parmetros)las cuales se podan determinar a partir de dos condiciones dadas.

    Suponga ahora que nos dan un problema de valor inicial o de fronteraque busca determinar la solucin de una ecuacin diferencial de orden n sa-tisfaciendo n condiciones especificadas. Para conseguir esto sera bueno sipudiramos hallar una solucin de la ecuacin diferencial que contuviera nconstantes arbitrarias, para luego usar las n condiciones y encontrar las nconstantes, y as obtener la solucin requerida. Como una ilustracin, con-sideremos el siguiente

    PROBLEMA PARA DISCUSION

    Resuelva el problema de valor inicial 2 + y =0, y(O)=3, y(O) = - 4. (42)

    Para satisfacer las dos condiciones inicialesen (421, es natural para no-sotros busca: una solucin a la ecuacin diferencial en (42), que esperamostenga dos constantes arbitrarias, y luego usar las dos condiciones para de-terminar estas constantes. Hasta el momento, por supuesto, no sabemos c-mo determinar tal solucin, y los mtodos para hacerlo deben dejarse paraun captulo posterior. Suponga, sin embargo, que por algn medio (tales comopor conocimiento previo o usando error y ensayo) lleguemos a

    y=Acosx+Bsenx (43)

    Ecuaciones diferenciales en general 15

  • la cual tiene las dos constantes arbitrarias A y B que se necesitan y que pue-de verificarse como una solucin. Usando la primera condicin de (42) en (43),esto es, y(O) = 3, o y = 3 cuando x = 0, encontramos A = 3, de modo que (43)se convierte en:

    y = 3 cos x + B senx

    Para hallar B primero tomamos la derivada en (44) para obtener

    (44)

    y= -3senx+Bcosx (45)

    Luego usando la segunda condicin de (42) en (45), esto es, y (0) = - 4 o y ti - 4cuando x = 0, encontramos B = - 4. La solucin requerida est as dada por

    y = 3 cos x - 4 senx (46)

    Ahora en general una ecuacin de orden n tendr una solucin que involu-cra n constantes arbitrarias, y debido a su especial importancia para noso-tros le damos el nombre especial de solucin general.* Una solucin parti-cular obtenida de esta solucin general al seleccionar los valores particularesde las constantes arbitrarias (por ejemplo para satisfacer condiciones dadas)se llama entonces una solucin particular.

    Ejemplo 15. En el problema (42) de la pgina 15, y =A cos x + B sen x esla solucin general, mientras que y = 3 sen x - 4 sen x es una solucin parti-cular.

    Ejemplo 16. En el Ejemplo ilustrativo 1, pginas 8-9, y = ~2 + c es la solu-cin general dey = 2x, mientras que y = ~2 + 1 y y = ~2 - 3 son soluciones par-ticulares.

    Ejemplo 17. Para la ecuacin diferencial g = 3~~ (47)

    y = (x + c)~ es la solucin general, y y = (X - 2)3 es una solucin particular.

    Ejemplo 18. Para la ecuacin diferencial y = 4y (48)

    y =AeB+zX no es la solucin general puesto que la podemos escribir comoy = (AeB)e*x o y = cezx, la cual es una solucin pero tiene slo urzaconstante, mientras que la ecuacin diferencial es de orden 2.* Sin embargo,el estudiante puede mostrar fcilmente por sustitucin directa que y=cle2x + c2e-2x con las dos constantes c,, c2 es una solucin de (48) y espor tanto su solucin general.

    La solucin general de una ecuacin diferencial puede ocurrir en formaimplcita. Para examinar esta situacin consideremos el siguiente

    PROBLEMA PARA DISCUSION

    R e s u e l v a dyz-- &, Y(l) = 2.na justificacin terica para usar el trmino de solucin general est dada en la referen-

    cia [13] de la Bibliografia. De ahora en adelante nmeros en corchetes cuadrados se referirna la Bibliografa.

    *Si una relacin involucra un conjunto de constantes que no pueden remplazarse por unconjunto menor, las constantes algunas veces se dice que son esenciales.

    16 Captulo uno

  • Una solucin es y2 - xy = c (50)

    tal como puede verificarse por diferenciacin implcita de (50). Puesto que(50) involucra una constante arbitraria, nos referimos a ella como la solucingeneral. Para obtener la solucin particular que satisfaga y(l) = 2, sustitui-m o s x51, y = 2 en (50) y encontramos c = 2. As

    y2 - XJ = 2 (51)

    La solucin requerida al problema de valor inicial est en (51). Para mos-trar explcitamente esto solucionemos (51) para y en trminos de x por la fr-_ I.mula cuadrtica para obtener

    Y=X+JFT%

    2(52)

    Probando la condicin y = 2 cuando X= 1 en (52) muestra que debemos ex-cluir el signo menos en (52). La solucin requerida es por tanto

    y = gx + Jrn> (53)

    Es de inters interpretar el resultado grficamente. Las curvas descritaspor (52) se muestran en la Figura 1.3. Aunque ambas curvas representan cur-vas solucin a la ecuacin diferencial (49), slo una de ellas satisface la con-dicin y(1) = 2, esto es, pasa por el punto (1, 2). Es tambin de inters notarque para puntos en la recta y = x/2 que separa las dos curvas, el denomi-nador a la derecha de la ecuacin diferencial en (49) es cero.

    Los comentarios anteriores sugieren lo siguiente. Dado el problema devalor inicial

    Y = FC.% Y), Y(Xo) = Yo (54)

    Y

    Figura 1.3

    Ecuaciones diferenciales en general 17

  • que involucra una ecuacin diferencial de primer orden, tratamos de hallaruna solucin que contiene una constante arbitraria llamada la solucin ge-neral. Esto puede ocurrir en cualquiera de. las formas

    y = f(x, 4 U(x, Y) = c, G(x, y, c) = 0 (55)la primera representando a una funcin explcita, y las dos ltimas a funco-nes implcitas. La constante c se determina entonces de modo que se satis-faga la condicin dada en (54). Las extensiones a ecuaciones de alto ordense hacen fcilmente.

    El problema de hallar soluciones generales de ecuaciones diferencialesser tratado en captulos posteriores. Un problema ms simple es el proble-ma inverso de hallar la ecuacin diferencial a partir del conocimiento de susolucin general, esto es, dada la respuesta, hallar el problema. Para moti-var el procedimiento, consideremos el siguiente

    PROBLEMA PARA DISCUSION

    Encuentre una ecuacin diferencial que tenga como solucin general

    y = ce -2x + 3x - 4 (56)

    Diferenciando (56) se obtiene y = -2ce- + 3 (57)

    Eliminemos ahora c entre las ecuaciones (56) y (57). Podemos hacer esto yasea resolviendo c en una ecuacin y sustituir en la otra, o ms fcil en estecaso multiplicar la ecuacin (56) por 2 y sumar la ecuacin (57). El resultado es

    y + 2y = 6x - 5 (58)

    Como chequeo podemos sstituir (56) en (58) para hallar la identidad

    y + 2y = -2ce-2 + 3 + 2(cep2 + 3x - 4) = 6x - 5As, (58) es la ecuacin diferencial de primer orden requerida teniendo a (56)como su solucin general. De acuerdo a la pgina 9, podemos imerpretar (56)como una familia de curvas de un parmetro, y llamar (58) la ecuacin dife-rencial de la familia.

    La misma idea se puede usar con soluciones generales que contienenms de una constante arbitraria, simplemente diferenciando tantas vecescomo existan constantes arbitrarias y luego usar estos resultados para elimi-nar todas las constantes arbitrarias. Ilustremos el procedimiento con algunosejemplos.

    EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

    Encuentre una ecuacin diferencial cuya solucin sea y = c, x + c2 x3.

    Solucin. Puesto que hay dos const.antes arbitrarias c r y c2, tenemos quediferenciar dos veces, obteniendo

    y = c,x + c2x3, y = CI + 3c2x2, y = 6czx (59)

    Ahora eiiminemos las constantes arbitrarias. Para esto, resolvamos cL en

    la ltima ecuacin de (59). Encontramos c2 = g. (60)

    18 Captulo uno

  • Usando esto en la segunda ecuacin de (59) da y = c , + xy /2, de modo que

    c 1 = y ~ $l (61)

    Finalmente, usando (60) y (61) en la primera ecuacin de (59), tenemos

    y+4)x+(x~)(~), (62)

    la cual al simplificarla se reduce a la ecuacin diferencial de segundo ordenrequerida.

    X2$ - 3xy + 3 y = 0 (63)

    Chequeo. x2y - 3xy + 3y = x2(6c2x) - 3x(r, + 3~~x7 + 3(c,x + c2x3) = 0Note que y=c,x+c,x3 representa grficamente a una familia de curuasde dos parmetros en el plano xy, y (63) es la ecuacin diferencia1 de esta fa-milia.

    Observacin 6. Si nos dan una solucin que contiene n constantes ar-bitrarias, frecuentemente es fcil obtener una ecuacin diferencial de ordenmayor a n que tenga esta solucin. As, en el Ejemplo ilustrativo 2, y = c, x +c2x3 sera una solucin de la ecuacin de cuarto grado y(r)= 0. Por supues-to que sta no es la solucin general de esta ecuacin. Cuando buscamos laecuacin diferencial que tenga una solucin general dada (por ejemplo y =c r x + ~~3~3 ) buscamos aquella del menor orden, esto es, de orden igual alnmero de constantes arbitrarias (en este caso dos).

    - EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

    Encontrar una ecuacin diferencial para la familia de crculos con radio1 y centro en cualquier punto del plano xy.

    Solucin. La ecuacin de un crculo con centro en (A, B) y radio 1 es

    (x - A)Z + (y - B)2 = 1 (64)

    Aqu tenemos dos parmetros o constantes arbitrarias A y B. Lo quebuscamos es la ecuacin diferencial cuya solucin general est dada por (64),para lo cual podemos usar el mismo procedimiento dado anteriormente. Di-ferenciando (64) con respecto a x,

    Z(c - A) + 2(v - B)y = 0 (65)4

    Resolviendo para (X -A) y sustituyendo en (64), tenemos

    (y - Q2(Jq2 + (y - B)Z = 1 (66)donde hemos tenido xito en eliminar a A. Para eliminar a B, resolvamos pa-

    ra (y -B) para obtener y - B = +[1 + (y)y2

    Diferenciando y simplificando esta ltima ecuacin se obtiene(67)

    Ecuaciones diferenciales en general 1 g

  • la cual es la ecuacin diferencial de segundo orden requerida. El estudiantepuede recordar que el lado izquierdo de (68) es la curvatura de un plano cur-vo. As, (68) establece que la curvatura de un cierto plano curvo en cualquierpunto de l es igual a 1 en valor absoluto. Solamente los crculos de radio 1tienen esta propiedad.

    1.4 SOLUCIONES SINGULARES

    Cada vez que se formule un problema de valor inicial o de frontera, haytres preguntas en relacin a ste que podran y deberan hacerse.

    1. Pregunta de existencia. iExiste una solucin de la ecuacin dife-rencial que satisfaga las condiciones dadas?

    2. Pregunta de unicidad. Si existe una solucin que satisface las con-diciones dadas, ipuede haber una solucin diferente que tambin satisfagalas condiciones?

    3. Pregunta de determinacin. iCmo encontrar las soluciones quesatisfagan las condiciones dadas?

    Una tendencia natural es proceder directamente a la tercera pregunta e ig-norar las dos primeras. Sin embargo, supngase que llegamos a una formula-cin matemtica de algn problema aplicado y pudiramos probar que no tie-ne solucin. Entonces claramente no vale la pena gastar tiempo en tratar deencontrar una solucin. De nuevo, an si tuvieramos xito en encontrar unasolucin, respondiendo as afirmativamente a la Pregunta 1, est todava lapregunta de unicidad. Si se pueden encontrar dos o ms soluciones, esto vio-lara el principio cientfico fundamental de que un sistema no puede compor-tarse en varias formas diferentes bajo las mismas condiciones. En tal casose pondra en sospecha la validez de la formulacin matemtica.

    Para mostrar que hay alguna base para hacer las preguntas anteriores,supongamos que se nos ha dado el problema de valor inicial

    dy- = $Jl3,dx Yc3 = 0

    Del Ejemplo 17, pgina 16, la ecuacin diferencial (69) tiene la solucin ge-neral y= (X+c)3. De la condicin en (69) se tiene (2 + c)3 = 0 de modo quec = - 2. As, obtendramos una solucin que satisface (69) dada por

    y = (x - 2)3 (70)Sin embargo otra solucin de (69) est dada por y = 0. An una tercera selu-cin est dada por x-2-

    X

  • Observacin 7. Algunos autores emplean la terminologa de solucingeneral para referirse a todas las soluciones de una ecuacin diferencial (es-to es, incluyendo todas aquellas que hemos llamado soluciones singulares).Nosotros no hemos hecho esto porque, como ya se .ha indicado, tenemos unpunto de vista prctico que generalmente no se interesa en todas las solucio-nes, sino en aquella solucin de una ecuacin diferencial de orden n que con-tiene n constantes arbitrarias las cuales pueden afortunadamente determi-narse a partir de n condiciones asociadas.*

    Debido a situaciones tales como las anteriores, los matemticos han Ile-gado a estar interesados en teoremas, llamados teoremas de existencia y uni-cidad, que sirven para decirnos dnde se puede garantizar la existencia yunicidad de las soluciones en vez de confiar en el azar.+ Presentaremos unejemplo de uno de estos teoremas en la prxima seccin. Presentaremos tam-bin un procedimiento grfico conocido como el mtodo de campo de direccio-nes que con frecuencia permite visualizar dentro de las clases de solucionesque pueden ocurrir y sus relaciones. Sin embargo, puesto queprincipalmenteestamos interesados en este libro con problemas aplicados que pueden serresueltos exactamente y para los cuales existen soluciones y son nicas, he-mos marcado la prxima seccin como opcional, indicando que el-estudiantepuede omitir la seccin y pasar directamente al Captulo dos sin perturbarde ninguna manera la continuidad de la presentacin.

    EJERCICIOS A

    1. Muestre que cada ecuacin diferencial en-la Columna 1 tiene por solucin la corres-pondiente relacin en la Columna II. Obtenga las soluciones particulares que satis-fagan las condiciones e la Columna III.

    1 II III

    (a) y + y tan x = 0~~~ -(b) y - y = 4x.

    y = A cos x.

    y = c,e f c,e- - 4x.

    (c) y = (y + x)/( 4 - x).

    (d) y = 0.

    (e) x(y) + 2yY + xyy = 0. XY2 = Ax + B.

    2. Encuentre una ecuacin diferencial correspondiente a cada relacin, con las cons-tantes arbitrarias indicadas. Verifique en cada caso que la ecuacin diferencialtiene la relacin como su solucin general

    (a) y = 3x2 + te-2X: c. (b) .p = Y + c senx: c.(c) x* - ay2 = 1:a. (d) .yIn x = hx:h.

    *La terminologa de solucin completa se usa algunas veces para denotar todas las solu-ciones, esto es, la solucin general junto con las soluciones singulares, si hay alguna.

    El autor conoce al menos el caso de un cientfico quien, desesperado por resolver trna ecua-cin diferencial sujeta a condiciones dadas, someti el problema a un computador (a un gran cos-to), pero an no encontr solucin. Finalmente, se le indic que mediante el uso de un avanzadoteorema de existencia se poda haber mostrado que el problema no tena solucin.

    Ecuaciones diferenciales en general 21

  • (e) y = cI sen4x + c2 cos 4x + x:cI, c2. (f) 1 = ate- + Be- + 2 sen3t: (Y, 0.(g) x* + i2 - cx = 0:c. (h) y = ax3 + bx* + cx:a, b, c.(i) y = Ae-3X + Be + Ce4: A, B, C. (j) r=aIn4+/$+c:a,b,c.

    3. Encuentre una ecuacin diferencial para cada una de las siguientes familias decurvas en el plano xy: (a) Todos los crculos en el origen y con cualquier radio. (b)Todas las parbolas que pasan por el origen con el eje x como su eje comn. (c) To-dos los crculos con centros en y = x y tangentes al eje y. (d) Todas las elipses concentro en el origen y ejes en los ejes coordenados.

    EJERCICIOS B

    1. Encuentre una ecuacin diferencial de tercer orden que tenga como solucin y=ar sen x + bx cos x, donde a y b son constantes arbitrarias. iClasificara usted estasolucin como una solucin general o particular de la ecuacin de tercer orden?

    2. (a) iCuntas constantes arbitrarias tiene y=cle5x+co +,c3e5x? (b) Encuentreuna ecuacin diferencial que tenga sto como solucin general.

    3. Muestre que la solucin general de y + y = e-I esy = A cos x + B senx + sen x

    s* e- cos t dt - cos x

    sx e-sen t dt

    Encuentre la .solucin particular que zatisfaga y (0) = y (0) 2 0.

    4. (a) Escribiendo la ecuacin diferencial del Ejemplo 17, pgina 16, en la forma 2 =1 dy

    __3y23 y luego integrando directamente, verifique la solucin general all obtenida.

    (b) De la forma de la ecuacin diferencial en (a), ipuede usted sugerir cmo la so-lucin singular y = 0 de la ecuacin original pudo haber sido descubierta? (ver p-gina 20).

    5. Encuentre la solucin general de dy/dx =y3. iEs y = 0 una solucin singular?Explique.

    6. (a) Muestre que y=yp, donde p es una constante tal quk O

  • 2

    El determinante W se llama el Wronskiano de u,(x) y u2 (x).

    2. (a) Haga uso de los ejercicios anteriores para obtener la ecuacin diferencial quetenga como solucin general y = c 1 e3X + c2 e- f*. cb) G e n e r a l i c e e l m t o d o d e lEjercicio 1 y, as, obtenga una ecuacin diferencial que tenga como solucin gene-raly=c,x+c,senx+c, cosx.

    3. Discuta las posibles soluciones de (y - 2x) (y - 3x2 ) = 0.

    4. Muestre que (a) 1 y 1 + 1 = 0 no tiene solucin. (b) (y )2 + 1= 0 tiene solucin perono solucin real. (c) 1 yl + Iy 1 =0 t iene una solcin pero ninguna involucra unaconstante arbitraria.

    5. (a) Encuentre una ecuacin diferencial para la familia de tangentes a ~2 +y = 1.(Sugerencia: Haga (cos c, sen c) cualquier punto en el crculo.) (b) Muestre que lasolucin general de la ecuacin diferencial en (a) est definida por la familia de I-neas tangentes. (c) Muestre que x2 +y2 = 1 es una solucin de la ecuacin dife-rencial de (a). iQu clase de solucin es sta?

    6. (a) Use el Ejercicio 6B para resolver el problema de valor inicial y =yp, y (0) = 1.(b) Determine el lmite de la solucin en (a) a medida que p-+1. (c) La funcinobtenida en (b) es una solucin de y=y, y(O)? Discuta.

    7. (a) Halle la ecuacin diferencial de la familia y =( >

    1 + 2 donde n # 0 es el pa-n

    rmetro. (b) Muestre que y = e* es una solucin de la ecuacin encontrada en(a) y explique por qu esto no es tan sorprendente.

    Observaciones adicionales relacionadas con las soluciones

    2.1 OBSERVACIONES SOBRE EXISTENCIA Y UNICIDAD

    Digamos desde un pricipio que, para la mayora de las ecuaciones dife-renciales que trataremos, hay soluciones nicas que satisfacen ciertas con-diciones especificadas. Sin embargo, por temor a que el ingeniero o el cient-fico lleguen a ser demasiado confidentes con sus conocimientos, mostramospor medio de un ejemplo, qu tan importante es estar prevenido sobre los pro-blemas de existencia y unicidad. El estudiante que piense que estar prote-gido por el 99 por ciento de los casos est probablemente en lo correcto, peroel autor conoce unos pocos que estuvieran atrapados en la categora del 1por ciento restante.

    Consideremos la ~ ecuacin diferencial xy - 3y = 0 (1)la cual surgi el! un cierto problema aplicado, cuyos detalles omitimos. Es su-ficiente decir que una curva experimental obtenida aparece en la Figura 1.4.De esta curva aparece que y = 0 para x I 0 y que y aumenta (de alguna ma-nera) para x 20. Mediante mtodos sencillos que discutiremos ms adelante,el cientfico dedujo que la solucin general de (1) es y = c2c3, donde c es unac o n s t a n t e a r b i t r a r i a . C o n s i d e r a c i o n e s t e r i c a s p r o p o r c i o n l a c o n d i c i n y = 1donde x = 1 fa cual estuvo de acuerdo con el experimento. Por tanto, el cien-tfico decidi que la solucin requerida estaba dada por y = x3, cuyo grficoaparece en la Figura 1.5. Los grficos experimentales y tericos estuvieron deacuerdo para x 10 pero no lo estuvieron para x < 0. El cientfico decidi quelas matemticas deben estar equivocadas. Sin embargo, result que el mane-jo de las matemticas estuvo equivocado. El cientfico errneamente ha asu-mido, como siempre lo haba hecho antes, que exista una solucin nica. Noes difcil mostrar que

    Ecuaciones diferenciales en general 23

  • Figura 1.4

    .--I (2,8)r

    donde A y B son constantes, es tambin una solucin. Escogiendo A = 1 pa-ra satisfacer y = 1 donde x = 1 y escogiendo B= 0 en la solucin (2), obte-nemos

    (3)

    estando completamente de acuerdo con el experimento.Este ejemplo muestra la necesidad de conocer cundo una solucin ni-

    ca realmente existe . Aunque no podemos adentrarnos en los detal les de laprueba, no debemos esconder nuestras cabezas de la realidad como el aves-truz del probervio sino que, en vez, satisfaceremos nuestra conciencia con lasiguiente cita

    Teorema de existencia-unicidad. Dada la ecuacin diferencial de pri-mer orden y = F(r, y), si F(x, y) satisface las siguientes condiciones:*

    1. F(x, y) es real, finita, simple valorada, y continua en todos los puntosde una regin R del plano xy (que puede contener todos los puntos).

    2 iF(x, y)*--&--- es real, finita, simple valorada y continua en R.

    Entonces existe una y slo una solucin y = g(x)en R, tal que y =yO cuan-do x=x0, esto es, y (x0) = yo .**

    Observacin. Este teorema da las condiciones suficientes para la exis-tencia y unicidad de una solucin, esto es, si las condiciones se cumplen, la

    *AlguAas de las condiciones dadas en el teprema estn implicadas por otras y se enuncianmeramente por nfasis.

    **Se puede concluir ms precisamente que ~(1) existe y es continua en algn intervaloxg -h ( x 5 x0 + h; esto es, 1 x ~ x0 1 3 h dbnde h es algn nmero positivo que depende deF(x, v).

    2 4 Captulo uno

  • existencia y unicidad estn aseguradas. Sin embargo, las condiciones no soncondiciones necesarias; esto es, si no se satisfacen todas las condiciones,puede que an baya una solucin nica. Se debera notar que e] teorema nonos dice cmo obtener esta solucin. Correspondientes teoremas para ecus-ciones de alto orden tambin existen.*

    Una interpretacin grfica de este teorema es que, si R es la regin (par-te sombreada en la Figura 1.6) en la cual las condiciones especificadas secumplen, entonces por cualquier punto (x0 yo) en R pasar una y slo unacurva C cuya pendiente en cualquier punto de R est dada por y = F(r, y).La solucin y = g(x) representa la ecuacin de esta curva en R. El teoremaequivale a establecer que existe una solucin nica a y = F(x, y) en R, lacual puede describirse por cualquiera de las ecuaciones dadas en (55), pgi-na 18, donde c se determina al conocer el punto (zO,y,,), esto es, y (x0) =yo. Esto sirve para soportar el uso de la terminologa de solucin general,puesto que si se satisfacen las condiciones del teorema no existen otras so-luciones en R. Pueden surgir complicaciones si tratamos de extender la solu-cin ms all de la regin R. De hecho las soluciones singulares, si hay algu-na, tienden a ocurrir en la frontera de la regin.

    Y

    Figura 1.6

    En un cierto sentido el teorema de existencia-unicidad puede ser ms;significativo desde el, punto de vista prctico donde las condiciones no secumplen que cuando ellas s se cumplen. Esto es debido a que cuando ellas Yno se cumplen ni la existencia ni la unicidad de la solucin pueden garanti-zarse y esta falta de garanta debera servir como una alarma de eomplicacio-nes potenciales. Por ejemplo, en el caso de la ecuacin diferencial (1) del cien-tfico, pgina 23, las condiciones no se cumplen en una regin rect,angular talcomo se muestra en la Figura 1.7 la cual contiene puntos donde x 5 0. As elcientfico pudo no haberse sentido tan confidente y tal vez incluso podra ha-ber obtenido la solucin terica correcta (3) estando de acuerdo con el expe-rimento.

    Consideremos algunos ejemplos adicionales que ilustren el uso del teo-remo de existencia-unicidad.

    *Un teorema de estos se considera en el Ejercicio 2C, pgina 33 y en el Capth cuatro, Pa-ra las pruebas de los teoremas incluyendo el dado anteriormente vea [ 131.

    Ecuaciones diferenciales en general 26

  • Figura 1.7

    EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

    Determine si existe una solucin nica para el problema de valor inicial

    &dx = J9 - (x2 + y2), L(1) = 2 (4)

    Solucin Tenemos F(x, J.) = ,/9 - (x2 + y2),l?F -y- =dY J9 - (x2 + y2)

    (5)

    y vemos que una complicacin potencial surge para los puntos (x, y) para los lcuales x2 + yz = 9. Supongamos que estamos alejados de tales puntos al es-coger por ejemplo una regin R dentro del crculo ~2 +yz = 8 (ver Figura 1.8),

    Y9

    Figura 1.8

    2 6 Captulo uno

  • la cual incluye al punto (1,2) descrito por la condicin inicial. Entonces,puesto que se cumplen las condiciones del teorema, podemos concluir que sexiste una solucin nica al problema de valor inicial. En otras palabras,existe una nica curva solucin C contenida en la regin R que pasa por elpunto (1,2) como se indica en la Figura 1.8.

    EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 .

    Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una so-lucin nica para el problema de valor inicial

    4z = 3y23, y(2) = 06)

    Solucin Tenemos?

    F-(x, y) = 393; g = --$

    As esperamos tener complicaciones en regiones que incluyan puntos dondey = 0. Del teorema de existencia-unicidad no podemos garantizar la existen-cia o unicidad de una solucin en tale? regiones. Probando y = 0 vemos quees una solucin lo cual muestra que al menos una solucin existe, pero no sa-bemos si es nica. Realmente como se vi en la pgina 20, sta no es nica.

    EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

    Dada la ecuacin diferencial lineal de primer orden

    2 + JWY = Q(x)

    donde P(n) y Q(x) se asumen continuas en un intervalo a $ x $ b, pruebeque existe una solucin nica a la ecuacin diferencial tal que y(x,) = yodonde x,, est dentro dlel intervalo.

    ?Solucin Tenemos g= F(x, y) donde F(x, y) = Q(x) - P(x)y, $= -P(x) (9)

    de modo que las condicciones del teorema de existencia-unicidad se cumplenen una regin rectangular R acotada por las rectas x = a y x = b. As el re-sultado requerido est Iprobado.

    EJEMPLO ILtlSTRATIVO 4

    (a) Determine si existe una solucin nica para el problema de-valorinicial

    &z = Y2, Y(O) = 1

    (10)

    (b) Verifique su conclusin en (a) resolviendo el problema

    Solucin (a) Tenemos F(x, y) = y2, g = 2y (11)

    As las condiciones del teorema de existencia-unicidad se satisfacen en cual-quier regin R tal coma, el rectngulo de la Figura A.9 y podemos concluir queexiste una solucin niica en R.

    Ecuaciones diferenciales en general 27

  • X

    Figura 1 .9

    dx 1(b) Escriba la ecuacin diferencial dada como - = ?.

    dy YEntonces al integrar se tiene x = - h + c. Puesto que y = 1 cuando x = 0, es-

    1 1to da c = 1 de modo que x = - y + 1, esto es, y = ~

    1 -xLa nica curva solucin C correspondiente a esto tambin se muestra en laFigura 1.9. Se debera notar que aun cuando la regin R pueda escogerse tangrande como se desee y que an se satisfagan las condiciones del teorema deexistencia, la curva no se extiende indefinidamente hacia la derecha.* Dehecho, como se ve, no se extiende ms all de x = 1 lo cual representa unaasntota. El hecho de que x = 1 sea una barrera no es del todo evidente des-de la ecuacin diferencial dada. Estos resultados indican las complejidadesque pueden ocurrir en ecuaciones no-lineales.

    2.2 CAMPO DE DIRECCIONES Y EL METODO DE LAS ISOCLINAS

    Suponga que nos dan la ecuacin diferencial

    Y = F(x, Y) (12)

    donde F(x, y) satisface las condiciones del teorema de existencia-unicidad.En cada punto (a, b) de la regin R (ver Figura 1.10) podemos construir unalnea corta, llamada un elemento de lnea, con pendiente F(a, b). Si hacdmosesto para un gran nmero de puntos, obtenemos un grfico tal como se mues-tra en la Figura 1.10 llamado el campo de direcciones de la ecuacin diferen-cial. Los elementos de lnea representan lneas tangentes a las curvas solu-cin en estos puntos.

    ES bastante llamativo que mediante el uso de esta simple idea podamosllegar a tener una representacin de la solucin general de la ecuacin dife-rencial sin ni siquiera resolver la ecuacin. La tcnica es por supuesto muytil, especialmente cuando no se puede encontrar una solucin exacta. El gr-

    *El teorema de existencia-unicidad expresa esto al no garantizar ms de lo que se estable-ce en el segundo pie de pgina de la pgina 24.

    28 Captulo uno

  • Figura 1 .lO

    fico indica que la solucin general de (12) est dada por

    JJ = f(x, 4, U(x, y) = c o G(x, y, c) = 0 (13)

    donde c es una constante arbitraria. As, cada curva de la Figura 1.10 corres-ponde a un valor diferente de c, o dicho de otra manera, existir una y slouna curva que pasa por un punto dado de acuerdo al teorema de existencia-unicidad. Ilustremos el procedimiento de obtener el campo de direcciones pa-ra una ecuacin diferencial al considerar el siguiente

    EJEMPLO ILUSTRATIVO 5

    Obtenga el campo de direcciones de la ecuacin diferencial

    dY x-= - -dx 4 (14)

    Solucin Es conveniente escoger puntos (x, y) para los cuales x y y sean en-teros, y calcular las pendientes correspondientes en estos puntos En ecua-ciones ms complicadas el uso de la calculadora de bolsillo puede servir paraminimizar clculos laboriosos, y se pueden usar otros puntos que permitanuna mayor precisin. Los clculos se indican en la Figura 1.11 para el casodonde x y y estn entre - 4 y 4. As, por ejemplo, la pendiente correspondien-te a x = 2, y = 3, esto es, el punto (2, 3) es -.$. Puesto que X/y no existe pa-ra y = 0 las entradas para estos casos se indican por una raya.

    El correspondiente campo de direcciones se indica en la Figura 1.12. Elgrfico parece indicar que las curvas correspondientes a la solucin generalson crculos con centro en el origen; esto es,

    x2 + 12 = c (15)

    la cual llega a ser ms evidente con la seleccin de ms puntos. El resultado(15) es realmente correcto puesto que tiene la solucin general de (14); o di-

    Ecuaciones diferenciales en general 29

  • Figura 1.11

    Y

    5

    5

    / / / ,4

    / //,3

    / / //2

    .I / / /l

    ._.- ~~~~~~~~~~~~.- 4 -3 -2 -1

    \ \ \ l-1

    \ \ \ l-2

    \ \ \ l-3

    -4

    -5

    -

    --i\\

    ---.\ \ \

    \\\\\

    \\ \ \

    .-+-.+.~---!---- x

    :/;;

    ////

    AA//

    Captulo unoFigura 1.12

  • cho de otra manera, la ecuacin diferencial de la familia de crculos (15) estadada por (14).

    Cuando se busca el campo de direcciones para la ecuacin diferencial

    ) = F(x, Y) (16)

    el trabajo involucrado se puede reducir en algo al hacer

    Rx, Y) = m (17)

    donde m es una constante, y darse cuenta que cualquier punto sobre la cur-va representado por (17) tiene asociado un elemento de lnea con pendientem. Esto frecuentemente se llama el mtodo de las isoclinus (isoclina significapendiente constante) y se ilustra en el siguiente

    EJEMPLO ILUSTRATIVO 6

    Use el mtodo de las isoclinas para trabajar el Ejemplo ilustrativo 5, enla pgina 29.Solucin Para obtener el campo de direcciones requerido, escojamos un va-lor particular de m, digamos m = 2. Entonces sobre la correspondiente rectay = -x/2 construimos elementos de lnea paralelos de pendiente m = 2, co-mo se muestra en la Figura 1.13. Luego hacemos lo mismo para otros valoresde m y as obtenemos el patrn indicado.

    Figura 1 .13

    Ecuaciones diferenciales en general 31/

  • Figura 1.14

    El dilema del cientfico referido en la pgina 23 pudo haber sido resueltopor medio del uso del campo de direcciones, como se indica en el siguiente

    EJEMPLO ILUSTRATIVO 7

    Obtenga el campo de direcciones de la ecuacin diferencial uy = - 3y = 0Solucitin El campo de direcciones obtenido por el mtodo de las isoclinas, ocomo en las pginas 29-30, se muestra en la Figura 1.14. Es interesante que

    4 esta figura revela la posibilidad de soluciones tales como

    Ax3,y = cc3 0. y = &

    i

    x-20x 50

    la segunda de las cuales, con A = 1, B = 0, da la solucin deseada de la p-gina 24.

    El campo de direcciones de la Figura 1.14 sirve para ilustrar de una ma-nera elegante el teorema de existencia-unicidad en vista del hecho de quehay infinitas soluciones por el punto (0, 0), mientras que no hay solucionespor (0, y ) donde y f 0.

    EJERCICIOS A

    1. Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existen soluciones n