Álgebra lineal ma1010 - teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-23a.pdf · algoritmo qr...

Factorización QR Álgebra Lineal - p. 1/16

Álgebra LinealMa1010

Factorización QR

Departamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionFactorizacion QR

Algoritmo QR


Introducción

En esta lectura veremos el proceso para obtenerla factorización QR de una matriz. Estafactorización es utilizada para la solución pormínimos cuadrados y da un algoritmo numéricopara determinar los valores propios de una matrizcuadrada.


Algoritmo QR


Factorización QR

Teorema

Si A es una matriz m× n con columnaslinealmente independientes, entonces A

puede factorizarse en la forma

A = QR

en la que Q es una matriz con columnasortonormales y R es una matriz triangularsuperior.


Algoritmo QR


Factorización QR

Teorema

Si A es una matriz m× n con columnaslinealmente independientes, entonces A

puede factorizarse en la forma

A = QR

en la que Q es una matriz con columnasortonormales y R es una matriz triangularsuperior.

Demostraci onSean a1,a2,. . . ,an las columnas de A y seanq1,q2,. . . ,qn los vectores obtenidos alortonormalizarlas según el proceso deGram-Schmidt. Así,

Gen(a1, a2, . . . , an) = Gen(q1,q2, . . . ,qn)


Algoritmo QR


DefinamosQ = [q1q2 · · ·qn]

Como cada ai es combinación lineal de q1,. . . ,qn

deben existir escalares rij tales que

ai = r1i q1+· · ·+rniqn = Q

r1i...rni

para i = 1, . . . , n

siendo rji = 0 para j = i+ 1, . . . , n y parai = 1, . . . n, de acuerdo al proceso deGram-Schmidt.


Algoritmo QR


DefinamosQ = [q1q2 · · ·qn]

Como cada ai es combinación lineal de q1,. . . ,qn

deben existir escalares rij tales que

ai = r1i q1+· · ·+rniqn = Q

r1i...rni

para i = 1, . . . , n

siendo rji = 0 para j = i+ 1, . . . , n y parai = 1, . . . n, de acuerdo al proceso deGram-Schmidt. Así,

A = [a1 · · · an] =

Q

r11...0

· · ·Q

r1n...

rnm

= QR


Algoritmo QR


donde R es la matriz cuyo elemento (i, j) es rij.Las matrices buscadas son las matrices Q y R: Qtiene sus columnas ortonormales y R es triangularsuperior. Asimismo R debe ser invertible pues encaso contrario Rx = 0 tendría infinitas solucionesy por ende también QRx = Ax = 0 contradiciendoel hecho de que las columnas de A sonlinealmente independientes.


Algoritmo QR


donde R es la matriz cuyo elemento (i, j) es rij.Las matrices buscadas son las matrices Q y R: Qtiene sus columnas ortonormales y R es triangularsuperior. Asimismo R debe ser invertible pues encaso contrario Rx = 0 tendría infinitas solucionesy por ende también QRx = Ax = 0 contradiciendoel hecho de que las columnas de A sonlinealmente independientes.NotaEn la práctica la matriz R se calcula mediante lafórmula:

R = QT ·A


Algoritmo QR


Ejemplo

Determine una factorización QR para la matriz

A =

1 −2 1

−1 3 2

1 −1 −4


Algoritmo QR


Ejemplo

Determine una factorización QR para la matriz

A =

1 −2 1

−1 3 2

1 −1 −4

Soluci onAl aplicarle el proceso de Gram-Schmidt a lascolumnas de A obtenemos:

q1 =

1√

3

− 1√

3

1√

3

,q2 =

01√

2

1√

2

,q3 =

2√

6

1√

6

− 1√

6


Algoritmo QR


Por tanto

Q =

1√

30 2

√

6

− 1√

3

1√

2

1√

6

1√

3

1√

2− 1

√

6


Algoritmo QR


Por tanto

Q =

1√

30 2

√

6

− 1√

3

1√

2

1√

6

1√

3

1√

2− 1

√

6

y

R = QT ·A =

√3 −2

√3 −5

3

√3

0√2 −2

√3

0 0 1

3

√96


Algoritmo QR


Los cálculos anteriores pueden hacerse en lacalculadora TI. Si seleccionamos el modo exacto ,definimos la matriz A y aplicamos la rutina defactorización QR tendremos la salida de la figura 1

Figura 1: Ejemplo 1: cálculo de la factorización QR de A.


Algoritmo QR


La figura 2 despliega la matriz Q calculada.

Figura 2: Ejemplo 1: Matriz Q de la factorización QR de A.


Algoritmo QR


La figura 3 despliega la matriz R calculada. y lacomprobación de que el producto efectivamenteda A.

Figura 3: Ejemplo 1: Matriz R de la factorización QR de A.


Algoritmo QR


La figura 4 muestra la comprobación de que elproducto efectivamente da A.

Figura 4: Ejemplo 1: Comprobación de la factorización QR deA.


Algoritmo QR


Algoritmo QR

Para una matriz A n× n invertible, cuyos valorespropios λ1, . . . , λn son tales que

|λ1| < |λ2| < · · · < |λn|Hacer:1. Tomar A0 = A.2. Para i = 0, 1, 2, . . . , k − 1 hacer:

a) Determinar la descomposición QR deAi = QiRi.

b) Tomar Ai+1 = RiQi

Resultado: Ak se aproxima a una matriz triangularcuyos elementos diagonales son todos los valorespropios de A.


Algoritmo QR


Ejemplo

Aplique el algoritmo QR a la matriz:

A =

[

8 7

1 2

]


Algoritmo QR


Ejemplo

Aplique el algoritmo QR a la matriz:

A =

[

8 7

1 2

]

Soluci on

Tomamos A0 = A. Determinamos una factorización QR de A0 :

A0 = Q0R0 =

0.9922 −0.1240

0.1240 0.9922

·

8.0622 7.1940

0.0000 1.1163

A1 = R0Q0 =

8.8923 6.1384

0.1384 1.1076


Algoritmo QR


Determinamos una factorización QR de A1:

A1 = Q1R1 =

0.9998 −0.1556

0.0155 0.9998

·

8.8933 6.1549

0.0000 1.0119

A2 = R1Q1 =

8.9881 6.0157

0.0157 1.0118


Algoritmo QR



A1 = Q1R1 =

0.9998 −0.1556

0.0155 0.9998

·

8.8933 6.1549

0.0000 1.0119

A2 = R1Q1 =

8.9881 6.0157

0.0157 1.0118


A2 = Q2R2 =

0.9999 −0.0017

0.0017 0.9999

·

8.9881 6.0175

0.0000 1.0013

A3 = R2Q2 =

8.9986 6.0107

0.0017 1.0013

Concluimos que los valores propios de A son aproximadamente 9 y

1.


Algoritmo QR


Las figuras 5,6 y 7 muestran la sucesión decálculos del algorimto QR para aproximar losvalores propios de A.

Figura 5: Ejemplo 2: Iteración 1 del algoritmo QR.


Algoritmo QR


Figura 6: Ejemplo 2: Iteraciones 2 y 3 del algoritmo QR.

Álgebra lineal ma1010 - teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-23a.pdf · algoritmo qr...

Documents