c apitulo iv ecuaciones fundamentales de la mecanica de fluidos 2012

CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I CAPITULO IV: ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DE FLUIDOS

DOCENTE: ING. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA

CAPITULO IV

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECANICA DE FLUIDOS

4.1 INTRODUCCION: Las ecuaciones fundamentales de la Mecnica de Fluidos y que sirven para resolver numerosos problemas que se presentan en la prctica son:

La ecuacin de continuidad.

La ecuacin de la energa.

La ecuacin de cantidad de movimiento.

La ecuacin del momento de la cantidad de movimiento.

4.2 CONCEPTOS DEL SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL: El mtodo que se emplea para deducir estas ecuaciones es el mtodo de Euler, que consiste en lo siguiente: 1. Adoptar una porcin fija del espacio dentro del seno fluido de forma y tamao constantes, esta

porcin de espacio se llama volumen de control y su delimitacin superficie de control. 2. Escoger una porcin de masa fluida de modo que en un instante dado coincida con el volumen

de control, esta porcin de masa se llama sistema y su delimitacin contorno. 3. Considerar la coincidencia en un instante t, el sistema desplazado un dt despus y aplicarle los

principios de la mecnica.

Fig. 4.1 Sistema y volumen de control.

Las ecuaciones que se deducen en este capitulo son aplicables a los fluidos reales, de manera que rigen tanto para flujo laminar como para flujo turbulento y tanto para flujo rotacional como irrotacional.

4.3 ECUACION DE CONTINUIDAD:

PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA MATERIA. La masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado dentro del flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constantes (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido. Matemticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra, sumadas algebraicamente; as el principio de la conservacin de la materia, aplicada a un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa en la forma siguiente:

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamao diferencial que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuacin de continuidad.



ECUACIN DIFERENCIAL DE LA CONTINUIDAD. Si bien esta ecuacin no tiene mucha aplicacin en los problemas de flujo uniforme dimensional en hidrulica, aqu se presenta su derivacin para ser utilizada en los problemas de flujo con potencial. Para obtenerla se aplica el principio de conservacin de la materia al volumen de control diferencial, mostrado en la (Fig. 4.2) (de lados dx, dy, dz). En el centro de masa del volumen considerado corresponden los valores y v como funciones de punto y del tiempo, o bien, el producto v como funcin vectorial.

Fuente: Hidrulica General. Sotelo. A.

Fig. 4.2 Derivacin de la ecuacin diferencial de continuidad.

Al pasar a las caras normales del eje x, que limitan al elemento de fluido, la funcin v se incrementa y decrementa en la misma cantidad:

,2

1dx

x

vx

(Ec. 4.1)

Donde el subndice x indica la componente de la funcin v segn x. de este modo, considerando positiva la masa que sale del volumen y negativa la que entra, la cantidad neta de masa que atraviesa estas caras es:

dzdydxx

vdzdydx

x

vvdzdydx

x

vv xxx

x

x ...2

1.

2

1

(Ec. 4.2)

Por un razonamiento semejante, la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje y es:

;.. dzdydxy

v y

(Ec. 4.3)

Y, la que atraviesa a las normales al eje z:

;.. dzdydxz

v z

(Ec. 4.4)

Finalmente, la rapidez de variacin de la masa contenida en el volumen elementa es:

);..( dzdydxt

(Ec. 4.5)



De tal manera que el principio de conservacin de la masa establece lo siguiente:

0)(

dxdydz

tdxdydz

z

vdxdydz

y

vdxdydz

x

v zyx (Ec. 4.6)

Y, puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuacin anterior se puede simplificar y resulta:

0

tz

v

y

v

x

v zyx (Ec. 4.7)

O bien recordando que:

z

v

y

v

x

vvdiv z

yx

)( (Ec. 4.8)

La ecuacin anterior tambin se expresa en la forma:

0)(

tvdiv

(Ec. 4.9)

Las ecuaciones. 4.7 y 4.9 son dos formas de expresar la ecuacin diferencial de continuidad, que es la ms general para un flujo compresible no permanente; admite las siguientes simplificaciones: a. Flujo compresible permanente.

0

t

(Ec. 4.10)

b. Flujo incompresible no permanente (=constante).

0)( vdiv (Ec. 4.11)

c. Flujo incompresible permanente.

0)( div (Ec. 4.12)

0,tan

ttecons

0)( vdiv

Igual que la ecuacin 4.11 para un flujo incompresible, sea o no permanente ECUACIN DE CONTINUIDAD DE LA VENA LIQUIDA. La vena liquida mostrada en la (fig. 4.3) esta limitada por la superficie 3 (que generalmente coincide con una frontera solida, y una superficie libre) y por las secciones transversales 1 y 2, normales al eje que une los centros de gravedad de todas las secciones. Las velocidades en cada punto de una misma seccin transversal poseen un valor medio V, que se considera representativo de toda la seccin y de direccin tangencial al eje de la vena. Se considera el volumen elemental de liquido mostrado en la (fig.4.3) limitado lateralmente por la superficie que envuelve a la vena liquida, as como por dos secciones transversales normales al eje de la vena, separadas la distancia ds, donde s representa la coordenada curvilnea siguiendo el eje de la vena. La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera, del volumen elemental en estudio es:




Fig. 4.3 Ecuacin de continuidad para una vena liquida.

dss

VAVA

s

VAVA

)()(

(Ec. 4.13)

Y, la rapidez con que varia la masa dentro del mismo, es (VA)/ t. Por tanto, el principio de conservacin de la masa establece que:

0)()(

Ads

tds

s

VA

(Ec. 4.14)

Sin cometer prcticamente error se puede aceptar, en la mayora de los problemas que la longitud ds del elemento del volumen considerado, no depende del tiempo. Este puede salir de la derivada del segundo trmino de la ecuacin anterior y simplificarse con el que aparece en el primero, de lo cual resulta:

0)()(

t

Ads

s

VA (Ec. 4.15)

Recordando que , V, A son funciones de s y t, al desarrollar las derivadas parciales indicadas se obtiene:

0

tA

t

A

sVA

s

AV

s

VA

(Ec. 4.16)

O, bien, con V=ds/dt

0

tt

s

sA

t

A

t

s

s

A

s

VA

(Ec. 4.17)

Dividiendo la ecuacin 4.17 entre A y recordando el desarrollo de la derivada total, resulta entonces:

011

tt

A

As

V

(Ec. 4.18)

Que es la ecuacin de la continuidad para una vena liquida donde se produce un flujo no permanente y compresible. Un ejemplo clsico de su aplicacin lo constituye el golpe de ariete. En problemas de flujo no permanente a superficie libre (transito de ondas avenida en canales y de mareas en estuarios), donde se considera que el liquido es incompresible, desaparece el ultimo termino de la ecuacin 4.18.



Si el escurrimiento es permanente las derivadas con respecto a t que aparecen en la ecuacin 4.15 se eliminan y esta ecuacin resulta:

0)(

s

VA (Ec. 4.19)

O bien:

teconsVA tan (Ec. 4.20) Si, adems, el fluido es incompresible:

teconsVA tan (Ec. 4.21)

Esto significa que es constante el gasto que circula por cada seccin de la vena liquida en flujo permanente, o bien, que para dos secciones transversales 1 y 2 de la misma, se cumple lo siguiente:

2211 AVAVQ (Ec. 4.22)

4.4 ECUACION DE ENERGIA.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO. Si no se incluyen los efectos termodinmicos en el flujo ni la adicin o extraccin de energa mecnica desde el exterior (bomba o turbina), es posible derivar las ecuaciones del movimiento aplicables al flujo de los lquidos a partir de la segunda ley de Newton. Para ello es necesario considerar las fuerzas que se oponen al movimiento, las cuales desarrollan un trabajo mecnico equivalente a la energa disipada al vencer dichas fuerzas. Cuando se aplica la segunda Ley de Newton a un elemento diferencial de masa de liquido, en la forma dF= dm.a, se obtienen las ecuaciones del movimiento a lo largo de una lnea de corriente para el flujo de un liquido real, no permanente; puede generalizarse para una vena liquida en flujo unidimensional. Para el planteo de las ecuaciones es necesario establecer el equilibrio dinmico de las fuerzas en las direcciones tangencial, normal y binormal, que actan sobre el elemento lquido (mostrado en la figura 4.6 a), con la fuerza de peso como nica fuerza de cuerpo. Dicho elemento encierra al punto P, en el cual existen los valores v, p, , (velocidad, presin, densidad, esfuerzo de friccin). Las componentes de las fuerzas que actan sobre el elemento en la direccin +s son las siguientes: a. La fuerza de superficie resultante de un gradiente de presiones en la direccin del movimiento;

para la direccin positiva de la coordenada curvilnea s (Fig. 4.6 b) es:

dbdndss

pdbdnds

s

ppdbdnds

s

pp ...

2

1.

2

1

(Ec. 4.23)

b. La fuerza de superficie, debida a la resistencia al movimiento, se puede evaluar en trminos del

esfuerzo tangencial de friccin , el cual varia nicamente en la direccin n dado que la inmediata vecindad del punto P no hay variacin de la velocidad en la direccin b. Esta fuerza es:

dbdsdnn

dbdsdnn

dbdsdnn

...2

1.

2

1

(Ec. 4.24)

c. La componente de la fuerza de cuerpo, debida al propio peso del elemento.

Con Cos = z/s, vale:

s

zdbdngdsdbCosdndsg

..... (Ec. 4.25)

La segunda Ley de Newton aplicada al elemento establece que la suma de estas fuerzas es igual a la masa del elemento, multiplicada por la componente as de la aceleracin. Puesto que en todos los trminos que representan fuerzas aparece el volumen del elemento ds dn db, resulta:



dbdndst

vv

sdbdnds

s

zg

ns

z..

2..

2

(Ec. 4.25)


Fig. 4.4 a) Elemento de liquido en un campo de flujo.


Fig. 4.4b Componentes de las fuerzas que actan sobre el element.

ECUACION DE LA ENERGIA.



ECUACION DEL MOVIMIENTO A LO LARGO DE LA L.C:

Para un fluido incomprensible ( cte.), la ecuacin de continuidad del movimiento permanente y no permanente es, segn la (Ec. 4.2): En la fig. 4.3 una partcula de fluido de forma prismtica se esta moviendo a lo largo de una l.c. en la

direccin +s y su masa es .dA.ds. Para simplificar se supone liquido perfecto, es decir sin

viscosidad, por lo que no hay fuerzas de rozamiento. La fuerza de cuerpo es .g.dA.ds. Las fuerzas de superficie son:

dAp. y dAdss

pp

Ya que cualquier otra fuerza en la superficie del elemento es normal a s.

Fig. 4.4 Movimiento de una partcula a lo largo de una lnea de corriente

Segunda ley de newton: sS admF .

Reemplazando:

dAds

s

ppdAp .. sadsdAdsdAg ..cos...

Reemplazando: Dividiendo entre la masa de la partcula y simplificado:

0cos..1

sag

s

p

De la figura;ds

dzcos

Se conoce que:t

v

s

vvas

Remplazando: 0.1

t

v

s

vv

s

zg

s

p

Para flujo permanente:

0.1

s

vv

s

zg

s

p

Ahora p, z y v son solo funciones de s:

0.1

ds

dvv

ds

dzg

ds

dp



0.. dvvdzgdp

(Ec. 4.9)

Que es la ecuacin de Euler del movimiento a lo largo de una l.c. para:

Liquido perfecto, sin viscosidad.

Flujo permanente. ECUACION DE BERNOULLI:

Se obtiene integrando la ecuacin (Ec. 4.9) para fluido incomprensible ( cte.):

.2

2

ctepv

gz

Dividiendo entre g:

.2

2

cteg

vpz

Es decir, g

vpz

g

vpz

22

2

222

2

111

(Ec. 4.10)

Que es la ecuacin de Bernoulli para una lnea de corriente, en el flujo permanente del lquido perfecto e incomprensible. Cada termino tiene unidades de energa por unidad de peso, es decir kg-m/kg. Los tres trminos se consideran como energa inutilizable.

Z : Energa potencial del fluido por unidad de peso medida a partir de un nivel arbitrario llamado plano de referencia.

g

v

2

2

: Energa cintica del fluido por unidad de peso.

p : Energa de presin del fluido por unidad de peso.

La representacin grafica es:

Fig. 4.5 Representacin grafica de la ecuacin de energa

Por resultar de inters prctico se va a demostrar que en un depsito lleno de lquido la energa por unidad de peso es la misma en todos los puntos.

Para un punto cualquiera X

:



Fig. 4.6 Carga esttica en un recipiente.

.

.0

.2

2

2

cteH

ctehz

cteg

vpz

Es decir, para todos los puntos la suma de las tres energas por unidad de peso es H. Otra observacin importante se desprende de la (Ec. 4.10):

02

2

2

2

12121

g

vvppzz

Es decir, en realidad lo que interesa son las diferencias de energa por unidad de peso entre dos puntos, de tal manera que no importa la ubicacin del plano de referencia ni tampoco el origen de medicin de las presiones.

FORMULACION GENERAL: La Ecuacin de Bernoulli es:

g

vpz

g

vpz

22

2

222

2

111

Valida para una l.c., en flujo permanente, de un fluido ideal incomprensible. Cada trmino tiene unidades de energa por unidad de peso y los tres trminos se refieren a energa utilizable.

De considerarse la viscosidad en el anlisis de: Ecuacin de movimiento a lo largo de una l.c y

Ecuacin de Bernoulli, aparecera un trmino adicional en funcin del esfuerzo de corte que representara la energa por unidad de peso empleada para vencer las fuerzas de friccin. Este trmino, por razones de orden prctico se puede expresar e interpretar del modo que sigue:

g

vpzph

g

vpz

2.

2

2

22221

2

111

(Ec 4.11)

hp1-2 : Perdida de energa por unidad de peso )(kg

mkg

La (Ec. 4.11) viene a resultar as la ecuacin de la energa para una l.c. se lee energa total por unidad de peso en 1 menos la prdida de energa es igual a la energa total por unidad de peso en 2.



Fig. 4.7 Distribucin de velocidades en una tubera.

Para una tubera se puede considerar:

Una l.c. coincidente con su eje.

Los valores de z, p y son representativos de cada seccin.

El valor de v en esta l.c. no es representativo de las velocidades en la seccin.

Conviene utilizar como valor representativo de estas velocidades el valor medio v(velocidad media),debiendo en consecuencia reemplazarse:

g

vpor

g

v

2.

2

22

Reemplazando en la (Ec. 4.11):

g

vpzhp

g

vpz

22

2

22

22

2

1

2

11

11

(Ec. 4.12)

Que es la ecuacin de la energa para una tubera, en flujo permanente de fluido real viscoso,

incompresible. El factor se llama coeficiente de Coriolis y su valor depende de la distribucin de velocidades en la seccin. Cuando no aparece al lado de la altura de velocidad media es porque supone igual a la unidad.

A los trminos de la (Ec. 4.12) se refiere indistintamente como alturas, cargas o energas: Z : Carga o energa potencial

g

v

2

2

: Carga o energa cintica.

hp2

1

: Perdida de carga o energa.

Tambin se refiere a los trminos de la (Ec. 4.12) como la ecuacin de Bernoulli.

La representacin grafica de la ecuacin (Ec 4.12) es:

Fig. 4.8 Representacin grafica de la ecuacin de energa.



La forma simplificada de la ecuacin (Ec 4.12) es:

2

2

11 HhpH

H : Carga o energa total

Al termino

PZ se llama altura piezomtrica; la lnea de puntos superior es la lnea de altura

totales o lnea de energa (LE) y la inferior la lnea de altura piezomtrica o lnea de gradiente hidrulica (LHG); la distancia entre ambas lneas es la altura de velocidad. Estrictamente ni la LE ni la LGH son rectas, pero es comn suponerlas como tales, sobre todo tratndose de conducciones largas y tendidas sin ondulaciones fuertes en sus perfil longitudinal). La distancia vertical del eje de la tubera a la LGH representa la altura de presin. De modo que si como ocurre a veces, la LGH queda en algn tramo por debajo de la tubera, en ese tramo la presin relativa negativa, existe un vaco parcial y se puede presentar el fenmeno de cavitacin (Capitulo I). En la prctica se toma medidas precautorias.

La perdida de energa que se produce en una conduccin (tubera o canal)y que en las formulas se indica como:

hp2

1

Puede deberse al efecto de la friccin o tambin a prdidas localizadas en algunas singularidades de la conduccin (cambio en la seccin, cambio de direccin, vlvulas y compuertas, etc.). Estas

prdidas se llaman locales y en tuberas se acostumbra expresarlas en la forma g

VK

2

2

, donde el

coeficiente k depende de las caractersticas de cada singularidad. APLICACIN DEL TEOREMA DE BERNOULLI: La aplicacin del teorema de Bernoulli debe hacerse de forma racional y sistemtica. El procedimiento sugerido es el siguiente: 1. Dibujar un esquema del sistema, seleccionado y marcando cada una de las secciones rectas

bajo consideracin. 2. Aplicar la ecuacin de Bernoulli en la direccin del flujo. Seleccionar el plano de referencia para

cada una de las ecuaciones escritas. Se escoge para esto el punto de menor elevacin para que no existan signos negativos, reduciendo as el nmero de errores.

3. Calcular la energa aguas arriba en la seccin 1. La energa se mide en Kgm/Kg, que se reducen en definitiva a metros de fluido. En los lquidos, la altura de presin puede expresarse en unidades manomtricas o absolutas, manteniendo las mismas unidades para la altura de presin en la seccin 2. Para los lquidos resulta ms sencillo utilizar unidades manomtricas, por lo que se usaran a lo largo del curso. Deben de utilizarse alturas de presin absoluta cuando no es



constante el peso especfico. Como en la ecuacin de continuidad, V1 es la velocidad media en la seccin, sin apreciable prdida de presin.

4. Aadir, en metros de fluido, toda energa adicionada al fluido mediante cualquier dispositivo mecnico, tal como bombas.

5. Restar, en metros de fluido, cualquier energa perdida durante el flujo. 6. Restar, en metros de fluido, cualquier energa extrada mediante dispositivos mecnicos, tal

como turbinas. 7. Igualar la anterior suma algebraica a la suma de las alturas de presin, de velocidad, y de

posicin o elevacin en la seccin 2. 8. Si las dos alturas de velocidad son desconocidas, relacionarlas mediante la ecuacin de

continuidad. POTENCIA DE UNA CORRIENTE:

g

vpzH

2

2

Representa la carga total o energa total por la unidad de peso en una seccion, con respecto a un

plano de referencia

kg

mkgm, ,

Q : Representa el peso de liquido que pasador la seccin en la unidad de tiempo

sg

kg.

QH : Representara la energa por unidad de tiempo, es decir la potencia de la corriente con

respecto al plano de referencia

sg

mkg.

Por eso la potencia es igual a: P = .Q.H

Expresin del coeficiente de Coriolis ()

En una l.c se cumple que:



Energa cintica por unidad de peso g

vh

2

2

Potencia que le corresponde es igual a:

g

vdAv

g

vQd

h

h

h

2...

2...

2

2

Potencia de toda la corriente = dAvg

hA

3

2

En toda la corriente, la energa cintica por unidad de peso utilizando queda expresado como:g

v

2

2

La potencia que le corresponde resulta:

3

2

2

..2

2...

2

VAg

g

vVA

g

vQ

Ppotencia real = Ppotencia corregida 3..

2VA

g

Igualando las dos expresiones:

dAV

v

A

dAvg

VAg

h

A

hA

.)(1

.2

..2

3

33

El valor de depende, como se ve, de la distribucin de velocidades en la seccin. Cuando no se indica su valor, como ocurre en muchas situaciones practicas, es que se esta suponiendo = 1. En ocasiones, sobre todo en tuberas de gran extensin o tuberas largas, el valor de la carga de

velocidadg

v

2

2

es muy pequeo al lado de las otras cargas.

En tal caso la carga de velocidad puede ignorarse y resultan confundindose la LE y LGH. DESCARGA ENTRE DOS DEPOSITOS:



En el esquema, H es el desnivel entre los depsitos; L y D son datos de la tubera en a cual suponemos instaladas dos vlvulas C y D.

Escribiendo la ecuacin de la energa desde X

hasta X

tendremos:

g

VpZhp

g

VpZ BB

BB

B

A

AA

AA

22

22

hpH

hpZZ

ZhpZ

B

A

B

ABA

B

B

AA

0000

Es decir, el flujo se acomoda y se produce una descarga 0 de tal magnitud que la carga disponible H resulta igual a la suma de todas las perdidas (entrada tanque tubera, friccin, vlvula C, vlvula D y salida tubera-tanque). H es la carga que produce la descarga Q. El esquema detallado de la LE es:

1: Perdida tanque tubera. 2: Perdida por friccin de la tubera. 3: Perdida vlvula C. 4: Perdida por friccin de la tubera. 5: Perdida vlvula D. 6: Perdida por friccin de la tubera. 7: Perdida tanque tubera.



INSTALACIN DE BOMBEO: El esquema se puede deducir.

La ecuacin de la energa, escrita entre A y B, resulta:

B

B

Ses

e

AA HhpHhpH

Hes = Carga neta que el agua recibe de la bomba.

Por lo tanto: esHQPot .. = Potencia neta que recibe el agua.

INSTALACIN HIDROELCTRICA: El esquema mostrado permite deducir:



La ecuacin de la energa, escrita entre A y B, resulta:

B

B

Ses

e

AA HHhpH

Hes = Carga neta que la turbina recibe del agua.

Por lo tanto: esHQPot .. = potencia neta que recibe la turbina.

DISPOSITIVOS PARA MEDIR VELOCIDADES Y CAUDALES: PARA MEDIR VELOCIDADES:

Previamente veremos que es el tubo de presin total.

El turbo de presin total (sombreado), debe ser de pequeo dimetro a fin de que la perturbacin de la corriente sea mnima. Se considera la parte de una l.c. de 1 a 2; la perdida de energa es pequea y puede despreciarse. La ecuacin de Bernoulli resulta:

2

2

11

2

p

g

vp El 2 se llama punto de estancamiento y en el V2 = 0

2

2

11

2p

vp (m)

1p Presin esttica.

2

2

1v Presin Dinmica

2p Presin total.

La presin total puede obtenerse por medio de un manmetro en U:

122

212

hhp

hhp

m

m

TUBO PITOT SIMPLE:

Sirve para medir la velocidad local del liquido (v1) en un canal. La ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (punto de estancamiento):



hgv

hhg

vh

p

g

vp

2

2

2

1

2

1

2

2

11

TUBO PITOT TIPO PRANDTL: Sirve para medir la velocidad local del fluido (V1) en una tubera:

Como la perturbacin del flujo es pequea, se puede suponer que las condiciones en el punto (V1 ,P1)se restablecen en el punto 3, desprecindose la perdida de energa.

En el manmetro diferencial:

h

hhpp

hXphXp

m

m

m

)(

.

.

32

32

Como 13 pp

hpp m )()( 12 ( n )

Como, ,2

2

112

vpp segn ecuacin ( m )



hv

hv

m

m

2

)(2

1

2

1

Se puede escribir

pv

21

V1 : Velocidad del fluido en el punto 1. p : Presin total - Presin esttica; se obtiene con el manmetro diferencial (ecuacin n). : Densidad del fluido.

Caso particular; cuando por la tubera escurre un gas (por ejemplo aire) y resulta bastante menor que ym y se puede ignorar. Es decir:

pv

21

Con hp m .

MEDICION DE CAUDALES:

CON UN TUBO PITOT TIPO PRANDTL Se divide la seccin transversal de la tubera en un cierto nmero de superficies concntricas de igual rea (cuatro por ejemplo).

Midiendo las velocidades en los puntos a,b,c,d,e,f.g, se puede escribir:



d

ec

fb

qa

vv

vvv

vvv

vvv

4

3

2

1

2

2

2

Por otro lado: A1 = A2 = A3 = A4 = A Q1 = A1V1 =AV1 Q2 = A2V2 = AV2 Q = Q = A ( V1 + V2 + V3 + V4 ) Q3 = A3V3 = AV3 Q4 = A4V4 = AV4 Utilizando bridas (a), tubos de medida (b) y venturmetros (c)

El principio de la medicin es el mismo en los tres dispositivos. Se refiere al hecho de que un estrechamiento en una tubera provoca un cambio de velocidad, que da por resultado un cambio mensurable de la presin esttica. En base a la relacin existente entre presin esttica y velocidad puede calcularse esta y con ella el caudal.

Sea una brida:

Son hechos comprobados que la brida produce una contraccin del chorro (3) y que se presentan zonas muertas en las que la presin esttica es la misma que la del lquido circundante. La ecuacin de Bernoulli entre 1 y 3 considerando distribuciones uniformes de velocidad y que no hay prdidas es:

g

v

g

vpp

g

vp

g

vp

22

22

2

1

2

331

2

33

2

11

Pero A1 V1 = A3 V3



3

1

3

1 VA

Av

Artificio: 31

2

2

3

1 . VA

A

A

Av

Es decir,

2

1

2

2

3

2

331

2

3

2

1

2

2

3

2

331

12

2.

2

A

Ax

A

A

g

Vpp

g

V

A

Ax

A

A

g

VPP

Si llamamos:

u : Coeficiente de contraccin

2

3

A

A

m : Relacin de reas

1

2

A

A

22

)(

22

)(

3

22

2

331

1

.2

1

.2

12

3131

mumu

gv

mug

vpp

pppp

Para encontrar el caudal escribimos:

)1(

)(2..

..

22

31

2

32

32

3

2

3

2

3322

22

mu

ppuAQ

vuAQ

uVV

VA

AV

VAVA

VAQ

En vez de medir p1 - p3 se prefiere medir p muy cerca de la brida por lo que habr que introducir un coeficiente de correccin. Se estila:

p

muuAQ

mu

puAQ

ppp

2.

1

)1(

.2

.

222

22

2

2

2

31



Cuando el valor

1p

pes relativamente grande se corrige esta ecuacin con un factor llamado

coeficiente de expansin y que para los fluidos incomprensibles vale la unidad.

Esta ultima ecuacin es llamado tambin como Coeficiente de Fluidez. La ecuacin (q) es valida para bridas, tubos y venturimetros, variando para cada caso tan solo la expresin de CQ que para las bridas se ha encontrado es la (r). Por experiencias realizadas se sabe que CQ se mantiene constante a partir de un cierto numero de Reynolds (Re) llamado Reynolds limite para cada valor de m.

Para medidores Venturi:

pCAQ Q

2.2 p es ahora P1 - P2

m=A2/A1 CQ Re Limite

0.05 0.987 6.0x10000

0.10 0.989 6.5x10000

0.15 0.997 7.5x10000

0.20 0.999 9.0x10000

0.25 1.007 11.0x10000

0.30 1.017 12.5x10000

0.35 1.029 14.5x10000

0.40 1.043 16.5x10000

0.45 1.06 18.0x10000

0.50 1.081 19.0x10000

0.55 1.108 20.0x10000

0.60 1.142 21.0x10000

VERTEDERO TRIANGULAR:

)(1

)(2

.

22

2

rmu

uC

qp

CAQ

Q

Q

v

DVRe

11



Sirve para medir caudal en canales, consiste de una placa delgada, generalmente metlica, que se instala perpendicularmente a la direccin del flujo y que tiene una escortadura en forma de V por donde para el agua.

Antes del vertedero se produce un remanso, la velocidad con la que se aproxima el agua disminuye bastante, razn por la cual se ignora en el anlisis.

Esquema del escurrimiento real: Se produce una contraccin vertical, importante de la vena liquida y existen perdidas de energa por friccin.

Esquema del escurrimiento terico: Se asume que no se produce contraccin vertical, ni prdida de energa, que la distribucin de velocidades es uniforme y que dentro del chorro acta la presin atmosfrica.

Se deduce la expresin del caudal terico y luego de corrige con un coeficiente determinado experimentalmente.

Si aplicamos la Ecuacin de Bernoulli entre 1 y 2:

H = (H y) + 0 + v2

2

2g

v2 = ( 2g.y )1/2

d Q = v2 . dA = ( 2g.y )1/2

b. dy

Por semejanza de tringulos:

b/B = (H y) /H

b = (H y) . B H

d Qt = ( H y ) . B. ( 2g.y )

1/2 dy = ( 2g )

1/2 B . ( H y ) (y )

1/2 dy = ( 2g )

1/2 B . ( H y

1/2 y

3/2 )dy

H H H



Qt = d Qt = ( 2g )1/2

B ( H y1/2

. 2 y5/2

. 2 )0H

H 3 5

Qt = 8 ( 2g )1/2

B H 5/2

= 8 ( 2g )1/2

tan H 5/2

15 H 15 2

Qr = c 8 ( 2g )

1/2 tan H

5/2

15 2 c es un coeficiente de correccin por perdidas y contraccin vertical.

25

2.. HtgCQ

Se comprueba experimentalmente que c no es constante sino que varia con H, naturalmente C tambin varia con H.

4.5 ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO: FORMULACION GENERAL:

Se sigue un procedimiento similar al utilizado para la ecuacin de continuidad.

La cantidad de movimiento M en la direccin X en ele instante t es la misma dentro del sistema que dentro del volumen de control, MX t S = MX t V

Asimismo, en el instante t+dt se verifica, MX(t+dt)S = MX(t+dt)V + dmXS - DMXe

Restando miembro a miembro y dividiendo entre dt:

dt

dMdM

dt

MM

dt

MMXeXSVXtVdttXSXtSdttX

)()( ( 4.13 )

Es decir para una direccin X, la rapidez de variacin de la cantidad de movimiento en ele sistema, es igual a la rapidez de variacin de la cantidad de movimiento en le volumen de control mas el flujo neto de cantidad de movimiento que sale del volumen de control. El primer trmino se puede expresar:

XX F

dt

vmddM ,

).(, Segn la segunda ley de Newton.

El segundo trmino se puede escribir:



MXV , o VC v Xv

d V0

t t El tercer trmino se puede expresar:

).(,,)cos(

AdvvovdAv xSCxSC

Reemplazando en ( 4.13 ):

).(0

AdvvdVv

tF xSCxVCx ( 4.14 )

Que es la expresin ms amplia de la ecuacin de la cantidad de movimiento para un flujo permanente se anula el segundo termino de la ( 4.14 ),

SC

xX AdvvF ).(

Por analoga:

).(

).(

AdvvF

AdvvF

SC

zZ

SC

yY

Multiplicando cada componente por kji ,, , respectivamente, y sumndoles:

).( AdvvFSC

( 4.15)

En tuberas y canales es posible elegir el volumen de control de modo que el flujo de cantidad de movimiento que sale y que entra sea normal a las secciones transversales.

Si adems se considera que ele lquido que circula es incomprensible, que la velocidad media es representativa en cada seccin, se tendr, siempre para flujo permanente y en una direccin X.

XXX

XXX

AX

AXX

QVQVF

VVAVVAF

dAVVdAVVF

12

111222

112212



Como en cada seccin hay una distribucin de velocidades es necesario corregir los flujo de cantidad de movimiento, de un modo similar a como se corrigen las alturas de velocidad. Se usa el coeficiente de Boussinesq , cuyo valor, como el de , depende nicamente de la distribucin de velocidades en la seccin.

XXX QVQVF 1122 ( 4.16 ) o tambin:

XXX QVFQV 2211 ( 4.17 )

EXPRESIN DEL COEFICIENTE DE BOUSSINESQ (): En una l.c cantidad de movimiento = m.vh = V0 vh

Cantidad de movimiento por unidad de tiempo, o flujo de cantidad de movimiento =t

vV hO

= dQ vh = vh2 dA

Flujo de cantidad de movimiento en toda la corriente = dAvA

h2

En toda la corriente, flujo de cantidad de movimiento utilizando la velocidad media = AV 2

Flujo real de cantidad de movimiento= AV 2

Igualando las dos expresiones:

dAV

v

A

dAvAV

h

A

h

2

22

1

Cuando en la prctica no se indica su valor, es porque se esta suponiendo = 1.

RELACIN ENTRE LOS COEFICIENTES y : Se parte de una distribucin genrica de velocidades, y cada velocidad se expresa en funcin de velocidad media.

v = V + kV = (1+k) V -1



dAkA

dAkA

dAkA

dAkkkA

dAkA

dAV

v

A

AAA

AAA

.1

.3

.3

1

3311

111

32

323

3

Pero:

dAkA

dAkdAdAvkV

dAvVV

QA

A

AAAA

.

..)1(1

.1

De donde se desprende que dAkA

. =0

Adems para k



F O

M0F= xFr

Un vector perpendicular al plano definido por los vectores F.r.sen; de sentido normal ala plano, saliendo.

Hallemos r x F para la (29):

).(. 0 dAvvxrdVvxrt

xFr VCVC

( 4.18 )

Es decir,el par ejercido por todas las fuerzas que actan sobre ele fluido dentro del VC ,es igual a la suma de dos trminos:

- La variacin con el tiempo del momento de la cantidad de movimiento dentro VC. - El flujo saliente neto del momento de la cantidad de movimiento a partir del VC.

Para flujo permanente: )..( dAvvxrxFr SC ( 4.19 )

Para la aplicacin de esta formula en el plano (solo se emplean mdulos) recurdese:

Para un flujo permanente, incompresible y un volumen de control anular, como es el caso de una bomba radial:

rF

sen

t .

190

SC nt dAvrv



11112222 12dAvvrdAvvrTrF ntAntAzt

QvrQvrT ttz 1122 ( 4.20 )

QvrTQvr tzt 2211 ( 4.21 )

Es decir :El flujo de momento de cantidad de movimiento que entra mas la suma de los pares que actan sobre el fluido, es igual al flujo del momento de cantidad de movimiento que sale.

c apitulo iv ecuaciones fundamentales de la mecanica de fluidos 2012

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