2. Si el depósito anterior se llena de agua y se acelera en la longuitud de sus caras 1.525 m/s2. Cuántos litros de agua se verterán del depósito relacionado con la siguiente figura.

a = 1.525 m/s2

VO = (6.10m*0.9746m*2.14m)

VO = 12.35 m3

VA = VO/2

VA = 6.17 m3

6.17 m3*(1000 lt)/1m3 = 6170 lt

3. Un depósito de base cuadra de 1.5 m de la contiene 1m de agua, que altura deben tener sus lados para que no se derrame agua al someterlo a una aceleración constante de 4m/ss en dirección paralela a su par de lados

a = 4m/s2

tg α=ag

tg α= 4m /s2

9.81m / s2

α=22.18

tg α= γ0.75m

γ=0.75mtg (22.18 )

γ=0.31m

Altura mínima

X = 1m +0.31m

X = 1.31m

4. Un depósito cúbico está lleno con 1.5m de aceite de densidad relativa 0.752 determinar la fuerza que actúa sobre uno de los lados del reposo cuando se somete a una aceleración vertical de 4.90 m/s2 y está se encuentra dirigida hacia arriba, además determinar la misma fuerza con la misma aceleración dirigida hacia abajo

Dr = 0.752

δ=752kp /m3

a = 4.90m/s2

F = δ∗hcg∗A

F = Pcg∗A

P = δ∗h(1± ag )

Cuando sube

P = δ∗h(1+ ag )P = 752 kp/m30.75m(1+ 4.90m /s2

9.81m /s2 )P = 845.71 kp/m2

F = Pcg A

F = 845.71kp/m2(2.25 m2)

F = 1902.85 kp

Cuando baja

F = δ∗hcg∗A

F = Pcg∗A

P = δ∗h(1−ag )P = 752 kp/m30.75m(1− 4.90m /s2

9.81m / s2 )P = 282.29 kp/m2

F = Pcg∗A

F = 282.29 kp/m2 (1.5m)(1.5m)

F = 635.15 kp

5. Un depósito cilíndrico de 2m de altura y 1m de diámetro se encuentra abierto y contiene 1.5m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, que velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame el agua

Volumen Párabola

V = ½ π∗R2h

V =½ π ¿

Hp = Y 1+0.5

½ π ¿

0.39Y1 + 0.20 = 0.39

Y1 = 0.49

Y = Y1 +X

Y = 0.49 + 0.5

Y = 0.99m

Y = W 2

2(9.81m /s2)∗(0.5)

0.99 = W 2

2(9.81m /s2)∗(0.5)

W 2= 77.69 rad2/s2

W=8.81 rad /seg

FUNDAMENTO DE FLUJO DE UN FLUIDO

Introducción: El flujo de fluidos al ser un tema complejo no siempre puede ser estudiado de forma exacta contrariamente a lo que sucede con los sólidos las partículas de un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones.

Tres principios fundamentales se aplican al flujo de fluidos.

1.- Principio de conservación de la masa a partir del cual se establece la ecuación de continuidad.

2. Principio de energía cinética a partir del cual se deducen ciertas ecuaciones aplicables al flujo.

3. Principio de la cantidad de movimiento a partir del cual se deducen ecuaciones para calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

Flujo de fluidos

El flujo de fluidos puede ser permanente o no permanente, uniforme o no uniforme, laminar o turbulento, unidimensional, bidimensional o tridimensional y rotacional o hidrotacional.

Verdaderamente el flujo unidimensional de un fluido siempre y cuando sea incompresible tiene lugar cuando el módulo, dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos.

Cuando se toma en cuenta un flujo unidimensional se tomará como única dimensión la línea de corriente central del flujo y pueden considerarse despreciables las variaciones de la velocidad y aceleración en dirección normal a dicha línea de corriente, entonces se considerará como representativas los valores de la velocidad, presión y elevación despreciando las variaciones menores.

Ejemplo:

Un flujo en tubería curva se analiza mediante los principios de flujo unidimensional a pesar que su geometría es tridimensional y la velocidad varía en las secciones rectas de la tubería.

Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada plano.

Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tienen lugar, movimientos rotacionales alrededor de su propio centro de gravedad.

Tales fluidos ideales se llaman fluidos irotacionales.

Flujo permanente tiene lugar cuando en un punto cualquiera la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma, por tanto la velocidad es constante respecto al tiempo, es decir:

dvdt

=0

Pero puede variar de un punto a otro, es decir, ser variable respecto a las coordenadas espaciales.

Este supuesto da por sentado que las otras variables o magnitudes del fluido y del fluido en si no varían con el tiempo.

La mayoría de los problemas técnicos prácticos indican condiciones permanentes de flujo por ejemplo: el transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga o el vaciado de depósitos por orificios siempre y cuando la altura de cargas sea constante.

Estos flujos en mismo tiempo pueden ser uniformes y no uniformes.

Un flujo que no es permanente representa que las condiciones de un punto cualquiera varíen con el tiempo es decir, la altura de carga y el caudal se encuentran afectados por el tiempo.

Flujo uniforme

El flujo uniforme tiene lugar cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido. Este supuesto indica que las otras magnitudes específicas del fluido como la presión no varían con las coordenadas espaciales.

El flujo de líquidos bajo presión a través de tuberías de diámetro constante y gran longitud es uniforme mientras que su régimen puede ser o no permanente.

El flujo es no uniforme cuando la velocidad, la profundidad, la presión y demás magnitudes específicas varían de un punto a otro dentro del fluido.

Líneas de corriente

Las líneas de corriente son curvas imaginarias dibujadas a través de un flujo en movimiento que indican la dirección de esté en los diversos puntos del flujo fluido.

La tangente en un punto de la curva representa la dirección instantánea de la velocidad de las partículas fluidas en dicho punto. Las tangentes a las líneas de corriente pueden representar de está forma la dirección media de la velocidad; como la componente de la velocidad normal a la línea de corriente es nula queda claro que no existe en ninguno de sus puntos flujo perpendicular a la línea de corriente.

Tubos de corriente

Un tubo de corriente está constituido por una región parcial del flujo fluido delimitado por una familia de líneas de corriente que se encuentran confinando al tubo. Si la sección recta que se encuentra confinando al tubo. Si la sección recta del tubo de corriente es suficientemente pequeña la velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad media en dicha sección, el concepto del tubo de corriente se utilizará para deducir la ecuación de continuidad en el caso de un flujo incompresible en régimen permanente y unidimensional.

Ecuación de continuidad.

La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio de conservación de la masa, para un flujo permanente la masa del fluido que atraviesa cualquier sección de una corriente de fluido por unidad de tiempo es constante es decir:

Constante 1: P1*A1*V1 = P2*A2*V2

Constante 2: δ 1∗A1∗V 1=δ 2∗A2∗V 2

P = Presión

δ = Peso específico

A = Área

V = Velocidad

Para fluidos incompresibles y para casos en general donde δ 1=δ 2 la ecuación se transformará en ecuación de caudales:

A1*V1 = A2*V2

Q1 = Q2

Donde A1 y V1 son respectivamente el área de la sección recta en m2 y la velocidad media de la corriente en m/s en la sección uno; lo mismo ocurrirá para la sección dos.

El caudal se mide normalmente en m3/seg o bien en lt/seg o lt/min.

En los EE.UU el abastecimiento de ciudades se emplea frecuentemente como unidad el millón de galones por día o mgal.

La ecuación de continuidad para un flujo permanente incompresible y bidimensional es:

An1*V1 = An2*V2 = An3V3

Donde las magnitudes Han de representar las áreas normales a los respectivos vectores velocidad.

RED DE CORRIENTES

Las redes de corrientes se dibujan para representar la configuración del mismo flujo en casos bidimensionales y algunos tridimensionales, la red de corriente está formada por:

a. Una familia de líneas de corrientes espaciadas de tal forma que el caudal Q es el mismo entre cada dos pares de líneas.

b. Otra familia de curvas ortogonales a las líneas de corriente y espaciadas de tal forma que la separación entre ellas es igual a la separación entre líneas de corriente adyacentes.

Para describir completamente un flujo las condiciones de contorno dadas se requiere un número infinito de líneas de corriente empleadas en prácticamente el mínimo necesario para obtener la precisión deseada.

Cuando se ha obtenido la red de corriente para una forma de los contornos que limitan el flujo, dicha red puede utilizarse para todos los flujos irotacionales en tanto que los contornos sean geométricamente semejantes.

Energía y altura de carga

La energía se define como la capacidad para realizar un trabajo, el trabajo resulta el aplicar una fuerza a lo largo de cierto recorrido y por lo general se define como el producto de una fuerza por la longitud del recorrido en la dirección de aplicación. La energía y el trabajo se expresan en estas mismas unidades es decir Kp/m o N/m

Los fluidos en movimiento poseen energía; en los problemas de flujo de fluidos pueden ser potencial cinética o de presión, considerándose cada una se estas por separado.

Según la figura:

El elemento está situado a una distancia Z sobre la cota o línea de referencia, tiene una velocidad V y una presión P.

La energía potencial se refiere a la energía que posee el elemento debido a su elevación respecto a la cota de referencia.

La energía potencial (Ep) viene determinada cuantitativamente por el producto del peso W tomado del elemento por la distancia vertical hacia la cota de referencia por lo tanto:

PE = Wz

La energía cinética se refiere a la energía que posee el elemento fluido debido a su velocidad.

La energía cinética denotada por KE viene determinada cuantitativamente por el producto de la masa m siendo está del elemento por el cuadrado de su velocidad v dividido por dos.

KE=12m∗v2

La masa del elemento puede ser sustituida por su peso por la aceleración de la gravedad pudiendo obtener de esta manera la siguiente ecuación:

KE=12 (w∗v2

g )La energía de presión llamada algunas veces energía de flujo es la cantidad de trabajo que se requiere para forzar al fluido a moverse a través de cierta distancia contra la presión.

La energía de presión denotado por FE se puede calcular determinando el trabajo necesario para mover el elemento del fluido una distancia igual a la longitud del segmento recorrido (d)

La fuerza que realiza el trabajo es igual al producto de la presión por el área de la sección recta del elemento obteniendo así:

FE=p*Ad

El término Ad es de hecho el volumen del elemento, el cual puede relacionarse con la ecuación de peso específico del fluido obteniendo de esta manera:

FE=pWr

La energía total (E) es la suma de energía potencial, más energía cinética y energía de presión, su fórmula se puede expresar de la siguiente manera:

E=Wz+12 (w∗v2

g )+p WrLa observación de las dimensiones físicas de cada uno de los términos de la ecuación de energía total nos dice que se puede expresar en kp/m o N/m

Dentro de mecánica de fluidos e hidráulica es conveniente manejar la energía como una carga a lo que es lo mismo como cantidad de energía por unidad de peso del fluido, entonces, técnicamente las unidades de alturas de carga serán kp*m/kp o N*m/N, matemáticamente la unidad será el metro (m)

La energía total puede modificarse para expresar una altura de carga (H) dividiendo todos sus términos por el peso del fluido obteniendo así:

H=z+ v2

2g+ pδ

El término z se llamará cota topográfica. v2/2 g Se conoce como altura de velocidad y pδ

como altura de

presión. Cada término de la ecuación se expresará en unidades de longitud.

Ecuación de la energía

Se obtiene la ecuación de energía al aplicar al flujo fluido el principio de conservación de la energía.

La energía que posee un fluido en movimiento está integrada por la energía interna y las energías debidas a la presión a la velocidad y su posición en el espacio.

En la dirección del flujo el principio de la energía se traduce en la siguiente ecuación:

Energía + Energía – Energía – Energía = Energía

Sección1 añadida perdida extraida Sección2

Está ecuación en flujos permanentes en fluidos incompresibles con variaciones en su energía interna despreciables se reduce a:

( P1δ +V 12

2g+Z 1)+Ha−Hl−He=( P2δ +V 2

2

2g+Z2)

La ecuación anterior se conoce con el nombre de teorema de BERNOULLI.

La unidad utilizada en cada término es el metro (m) prácticamente todos los problemas en los que se tiene el flujo de líquidos se resuelven con esta ecuación.

Si existe flujo de gases esto va acompañado de transferencia de calor, y se necesitará la aplicación de teoremas y principios de termodinámica.

Altura de Velocidad.

La altura de velocidad representa la energía cinética por unidad de peso que existe en un punto particular.

Si la velocidad en una sección recta fuera uniforme, la altura de velocidad calculada con esta velocidad uniforme o velocidad media daría la energía cinética correcta por unidad de peso del fluido pero en general la distribución de velocidades no es uniformal.

La energía cinética verdadera se determina por la integración de las energías cinéticas diferenciales de una a otra línea de corriente.

El factor de corrección (a) de la energía cinética por el que hay que multiplicar el término v2/2g viene dado por la siguiente ecuación:

1A∫A

❑

( vV )3

dA

V = Velocidad media en sección recta

v = Velocidad media en un punto genérico de sección recta.

A =Área sección recta

Para flujos turbulentos el factor de corrección puede tomar valores entre 1.02 y 1.15 para flujos laminar el factor tomará el valor 2.

Dado que en la mayoría de casos la altura de velocidad representa un pequeño porcentaje de la altura total o energía, el factor de corrección puede ser tomado como un valor igual a 1, y no existirán serios errores de cálculo:

Aplicación del teorema de Bernoulli.

La aplicación de este teorema debe hacerse de forma racional y sistemática. El procedimiento sugerido es el siguiente:

1. Dibujar un esquema del sistema seleccionado y marcando cada una de las secciones rectas de la corriente bajo consideración

2. Aplicar la ecuación de Bernoulli en la dirección del flujo seleccionado al plano o cota de referencia para cada una de las ecuaciones, se escogerá para esto el punto menor de elevación para que no existan signos negativos, resolviendo así el número de errores.

3. Calcular la energía aguas arriba en la sección 1, en los líquidos la altura de presión puede expresarse en unidades manométricas o absolutas, debiendo mantenerse las mismas unidades para la altura de presión en la sección 2. Las unidades absolutas se considerarán solamente cuando el peso específico no sea constante.

4. Se deberá añadir en metros de fluido toda energía adicionada al mismo mediante cualquier dispositivo tal como las bombas.

5. Restar en metros de fluido cualquier energía perdida durante el flujo.6. Restar en metros de fluido cualquier energía extraída mediante dispositivos mecánicos tal como

turbinas.7. Igualar la anterior suma algebraica a la altura de energía de la sección 2.8. Si las dos alturas de velocidad son desconocidas relacionarlas mediante la ecuación de

continuidad.

Línea de energía o de alturas totales

La línea de alturas totales es la representación gráfica de la energía en cada sección; para cada sección representativa la línea puede representarse respecto a un plano de referencia.

La línea de energías totales tiene una pendiente decreciente en el sentido del flujo excepto en secciones donde se añade energía con dispositivos mecánicos.

Línea de altura piezométrica.

La línea de alturas piezométricas está situada debajo de las líneas de alturas totales en una cantidad igual a la altura de velocidad en la sección correspondiente. Las dos líneas son paralelas para todos los tramos en que las secciones rectas tienen la misma área.

La ordenada entre el eje de la corriente y la línea de alturas piezométricas es igual a la altura de presión de la sección en cuestión.

Potencia.

La potencia se calcula multiplicando el caudal en peso o lo que se conoce como gasto que resultaría peso específico por caudal por la energía h o altura de carga resultado así la fórmula de potencia expresada en vatios.

P = δQH dado en kp/m3* m3/s*kpm/kp = kpm/s Nm/s = vatios (w)

RESUMEN

Laminar < 2000

Transición 2000-4000

Turbulento > 4000

1) Reynolds

ℜ= vDpu

= vDv

= v 2Ror

1v= pu

ℜ=V 4 Rr

R= AmPm

2) Hagen PoisevilleF. Laminar

32uLv

δ D2

32V Lvδ guδ= vg

3) Darcy

P. carga = f=( lD )(V2

2 g )F. Laminar

f=(64ℜ )F. Turbulento (Colebrook)

1

√ f=−2 log [ E

3.70+ 2.51

ℜ√ f ]4) Menores

= k v2

2g>Re <f>k <f

Diagrama de Moody

Es una herramienta conocida para la obtención gráfica de coeficiente de fricción. Para utilizar este diagrama se deberá ingresar con el número de Reynolds y la rugosidad relativa.

La rugosidad relativa será la relación entre el tamaño de imperfecciones superficiales en cm denotado por épsilon (E/ y el diámetro interior real en cm.

Dicha relación tendrá valores en un intervalo de 0.00001 y de 0.05

Hazen Willians (Tuberías)

La fórmula de Hazen Williams se desarrolló para el cálculo de velocidades cerradas debido a las iteraciones realizadas se debe oponer especial cuidado en la utilización de unidades, en la fórmula se encuentran términos denotados por:

V = velocidad

R = radio hidráulico

C = Coeficiente de rugosidad de Hazen

S = pérdida de altura piezométrica

V = 0.8492 CR0.63 S0.54 = Sistema internacional

V = 1.318 CR0.63 S0.54 = Sistema Inglés

Ecuación de Manning

Al igual que la ecuación de Hazen Williams la ecuación de Manning fue desarrollada para tuberías cerradas sin embargo su uso se ha especificado en secciones abiertas, sus términos serán:

V= Velocidad

R= Radio hidráulico

S = Pérdida de altura piezométrica

N = coeficiente de manning

V = 10nR23 S

12 Sistema Internacional

V = 1.486n

R23 S

12 SistemaTécnico

Sistemas complejos de tuberías

Tubería equivalente

Se dice que una tubería es equivalente a un sistema de tuberías u otra tubería si para la misma pérdida de carga el caudal que circula por la tubería equivalente es el mismo que tiene lugar en la tubería o sistema de tuberías original

También puede enunciarse de la siguiente fórmula, una tubería es equivalente a otra cuando para un caudal especificado se produce la misma pérdida de carga en la tubería equivalente que en el sistema original

Existe un número infinito de tuberías equivalentes a un sistema de tuberías conectadas en serie, para el cálculo de tuberías equivalentes es sencillo y determina pérdidas de carga cuando se conocen caudales y tamaños de tubería.

Puede realizarse mediante la fórmula de Hazen Williams.

Tuberías en serie o compuestas

Las tuberías en serie están conectado extremo con extremo de forma que el fluido circula de manera continua y sin ningún ramal.

El caudal a través de sistemas de tuberías se mantendrá constante a lo largo del sistema.

Tuberías en paralelo

Varias tuberías se encuentran conectadas en paralelo si el flujo original se ramifica en dos o más tuberías que vuelven a unirse aguas abajo.

La resolución de problemas de tuberías en paralelo se da aplicando tres principios:

1. El caudal entrante total en un nudo será igual al caudal saliente total.2. La pérdida de carga entre dos nodos es la misma en cada una de las ramas que unen los nudos.3. Dentro del intervalo normal de velocidades que se dan en la práctica el porcentaje del caudal

total que circula por cada uno de las ramas se mantendrá constante independientemente de la pérdida de carga entre dos puntos.