comport a mien to de secciones de he

8/6/2019 Comport a Mien To de Secciones de HE

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TEMA 2:

COMPORTAMIENTO DE SECCIONES DEHORMIGN ESTRUCTURAL.

Autor: Dr. Ing. Julio A. Hernndez Caneiro

Enero 2005


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Anlisis y diseo avanzado para el hormign estructural (Tema 2: Comportamiento de secciones de hormign estructural.)

Maestra en Estructuras. (Enero 2005) 2

2.1 Principios de Clculo

El comportamiento de los elementos estructurales de hormign armado y pretensado se basa en dosprincipios fundamentales establecidos en las normas internacionales. Estos principios son los siguientes:

El equilibrio esttico de la seccin, igualando las solicitaciones originadas por la resultante de lastensiones en el hormign y las barras de refuerzo, con la solicitacin actuante.

La compatibilidad de deformaciones, a partir de las cuales pueden determinarse las tensionescorrespondientes y establecer el equilibrio.

En los principios anteriormente establecidos, el primero significa que la seccin, bajo cualquier tipo desolicitacin actuante, tiene que originar un estado tensional interno que equilibre dicha solicitacin. Estopuede quedar expresado de la manera siguiente:

7 Fuerzas normales = 0

7 Momentos = 0Normalmente conocidas como ecuaciones de equilibrio de fuerzas y de momentos, respectivamente.

El segundo principio establece la condicin de compatibilidad de deformaciones que recibe el mismonombre.

2.2 Compatibilidad de deformaciones atendiendo al tipo de solicitacin.

Se reconoce que la adherencia es la encargada de hacer que el acero y el hormign formen un todo nicooriginando un nuevo material, el hormign estructural. Estos dos materiales trabajan de conjunto,ntimamente ligados entre s, por lo que las deformaciones que ocurren en ambos tienen que ser compatibles, es decir, en las fibras de hormign en contacto con el acero ambos materiales tienendeformaciones iguales. Si esto no ocurriera, entonces se desplazara el acero dentro de la masa de

hormign lo que dara lugar a deformaciones no compatibles.Tal es el caso por ejemplo, del pretensado no adherente, o de una viga de hormign que se ha decididoreforzar encapsulando la armadura de refuerzo en tubos plsticos que impiden el contacto directo de ambosmateriales. Si este acero encapsulado est debidamente anclado en sus extremos, es cierto que se logracompatibilidad, pero a nivel general de la pieza y no a nivel de seccin, comportndose entonces la vigacomo un arco atirantado, y perdindose su respuesta en flexin.

En esta seccin se abordarn los aspectos que se derivan del trabajo conjunto acero- hormign en elprincipio de compatibilidad de deformaciones. Se derivarn las ecuaciones de compatibilidad dedeformaciones para los estados deformacionales que ocurren en la seccin cuando se le aplica a la mismalas diferentes solicitaciones normales a las cuales puede estar sometida.

a) Elementos sometidos a Carga Axial.

Bajo la accin de una carga axial, el elemento sufrir acortamientos o alargamientos dependiendo si estcomprimido o traccionado, es decir, en cualquier caso sufrir un cambio en su longitud inicial (l o).

Como se trata de una accin externa localizada en el baricentro plstico de la seccin, la deformacinunitaria (relativa) que experimentan ambos materiales medidas en cada fibra de la seccin, tienen que ser de igual magnitud, tal como lo demuestran los ensayos realizados, pudindose suponer entonces que laseccin plana, una vez deformada permanece plana, tal como se indica en la F ig. 2.1 .


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Si la pieza es de hormign armado , las deformaciones en ambos materiales son iguales, teniendo comomagnitud:

ot sc l l (I I !! (2.1)

cuando es traccin, pero cuando es de compresin ser:

o1' s

' c l l (I I !! (2.2)

Ahora bien, si la pieza es de hormign pretensado, especficamente de hormign pretesado, la deformacin enel hormign al actuar la carga externa, no ser igual a la del acero en su magnitud final, pero tendr unadiferencia cuyo valor (I p es la deformacin previa que se le produjo al acero durante la operacin de tesadoF ig. 2.2.

F ig. 2.1 Deformaciones del elemento bajo carga axial.

T R A C C I O N

C O M P R E S I O N

ol

t l (

1l

1l (

s' c I I

mvil fijo

lop( l p

( I p I ! b

F ig. 2.2 Proceso de tesado (pretesado)


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Se aprecia que antes del vertido del hormign, el acero fue estirado una magnitud ( lp, entonces ladeformacin previa al hormigonado, (I p, ser:

op p p l / l (I ( !

Como resultado, la deformacin unitaria final en el acero pretensado antes del vaciado del hormign vendrexpresada segn la condicin:

p p p 0 I (I (I !!

Cuando se aplica una carga exterior N, en este caso de traccin , se alargan de conjunto ambos materialescierto valor cI (siempre que se acepte la hiptesis de adherencia perfecta ), de modo que:

pc p I (I I ! (2.3 )

El acero pretensado incrementa su deformacin a un valor igual al que sufre el hormign producto de lacarga de traccin.

Para un elemento postesado con pretensado adherente (para lograrlo debe inyectarse el conducto por el quese aloja el refuerzo con un mortero que garantice la adherencia ), al transferir la fuerza de pretensado sinque se haya procedido a la inyeccin, el hormign se acorta.

Ahora bien, a partir del momento en que el conducto ha sido inyectado con el mortero y este ha endurecido,la adherencia hace que un incremento de deformacin del hormign provoque lamisma deformacin en elacero debido a la adherencia, de modo que la deformacin previa (I p siempre se mantiene constante,luego:

ci pi p I I I ( !

donde el subndice i indica que ocurre en un tiempo cualquiera, luego:

pci pi I (I I !

que es en esencia la misma ecuacin del caso del pretesado, solo que se ha incluido el efecto del tiempo deaplicacin de la carga.

As pues, puede generalizarse el anlisis plantendose para el pretensado que:

pci pi I (I I ! (2.4 )

Es interesante destacar que la ecuacin anterior es totalmente general incluyendo al hormign armadosiempre que haya adherencia entre hormign y acero. En efecto, en hormign armado 0 p !I ( quedandoque ca I I ! puesto que para el pretensado pa I I !


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b) Elementos sometidos a Flexin.

Bajo la accin de los momentos flectores el elemento se flexa, es decir, se curva, debido a que una zona delelemento se acorta y la otra zona se alarga. Considerando una rebanada de longitud unitaria l o, tal como semuestra en la F ig. 2.3 , la zona comprimida, en este caso la superior, se acorta, mientras que la zonatraccionada, o sea en este caso la inferior, se alarga, quedando la rebanada deformada como se i ndica en

la figura.

Las deformaciones totales unitarias de la seccin pueden representarse en un diagrama deformacionalcomo se indica en la F ig. 2.4 . Este diagrama o tambin estado deformacional de la seccin, como se lellamar en lo adelante, slo es representativo de las deformaciones de la seccin, en realidad ladeformacin ocurre como en la F ig. 2.3 y no como se representa en la F ig. 2.4 .

De la propia F ig. 2.4 puede obtenerse la deformacin unitaria en cualquier fibra de la seccin, sobre todo sise tiene en cuenta que:

como J J J pp tan0 ,

entonces la deformacin viene dada por:

yc y ! J I (2.5)

Designando el signo negativo (-) a las compresiones.

F ig. 2.3 Deformaciones por flexin en una rebanada unitaria.

ol 2' cI 2' cI

2 sI ol

2 sI


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Resumiendo, si el acero no es pretensado, o sea, es de hormign armado, ( (I p = 0) se tiene que encualquier fibra donde se encuentre el refuerzo de acero ambos materiales tienen la misma deformacinpara cualquier estado de cargas, o sea:

cs s I I ! (2.6)

siendo csI la deformacin del hormign a nivel del acero.

Si el acero es pretensado (pretesado o postesado ), la deformacin total del acero pretensado ser igual a ladeformacin del hormign en la fibra donde est ubicado el acero, ms la deformacin previa del aceropretensado para cualquier etapa de cargas, o sea:

pcp p I (I I ! (2.7)

En forma general se concluye que el acero tiene igual deformacin que la deformacin correspondiente a lafibra de hormign que se halla al mismo nivel del acero, adicionndole la deformacin previa, si staexistiera.

F ig. 2.4 Estado deformacional representativo de una seccin

' cI

c yI

cI

sI


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2.3 Comportamiento bajo Carga Axial de Compresin.

En esta seccin se estudiar el comportamiento de las secciones sometidas a carga axial de compresinhasta alcanzar la rotura. Se supondr que las dimensiones del elemento analizado son tales que puedeconsiderarse como una columna corta, es decir, donde el efecto de la esbeltez es despreciable y no llega atener lugar la prdida de estabilidad.

Para estudiar el comportamiento se tomar el ejemplo que se ilustra en la F ig. 2.5. El proceso de clculo quese seguir consiste en fijar diferentes estados deformacionales desde valores pequeos hasta alcanzar larotura. Se fijarn valores de I c incrementados en 0,0005.

Inicialmente se desarrollar un ejemplo de hormign armado y posteriormente otro de hormign pretensado.

2.3.1 Elemento de Hormign Armado (H oAo) en Compresin Axial. (Ejemplo 2.1)

SOLUCIN

Se supondr inicialmente que el hormign tiene una deformacin de I c = - 0,0005 , luego:

I c = ( l/l o @ ( l = I c .l o = - 0,0005.(250) = - 0,125 cm (acortamiento)

Tensiones en el Acero :

Como 0.0015)(0.0005 ' s y' s I I

W s = E s .I s e f sy (compresin)

W ' s = 2.10 5 . ( - 0,0005) = - 100 MPa = - 10 kN/cm 2 (compresin)

F ig. 2.5 Ejemplo de elemento de hormign armado bajo compresin axial.

c =30 MPa

ay=300 MPa

I ay=0.0015

E s=2.105 MPa

Hormign(Carga de Corta

Duracin) Acero Natural


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Tensiones en el Hormign :

!

2

co

' c

co

' c'

c' c 2 f I

I I I W

Siendo

!

!

duracin)cortadecargasdetrata(se 002.0

MPa30 f

co

' c

I

22

' c c / kN 31.1

a125.13002.00005.0

002.00005.0230 !!

!W

La carga axial a que estar sometida la pieza cuando la deformacin es de ( - 0,0005 ) ser:

) f f ser (pudiendo f A A N ' s y'

s'

s s' cc

' e! W

!!

!!

2 s

2c

c 64.19 )91.4 )( 4( A

c 900 )30 )( 30( A

Entonces.

k

1375

cm / k 10cm64.19cm / k 31.1cm900

'

2222'

!

!

Obtenindose para I c = - 0,0005 el punto 1375k - ,cm1025.1 ,l 2' |(

Repitiendo los clculos para diferentes valores de I ' c se puede obtener la Tabla No. 2.1

Tabla No. 2.1

I ' c ( lb (cm) I c / I co W c

(kN/cm 2 )W s

(kN/cm 2 ) B c .W c

(kN) A s .W s

(kN) N (kN)

-0,0005 -0,125 0,25 -13,100 -100 -1179,00 -196,40 -1375-0,0010 -0,250 0,50 -22,500 -200 -2025,00 -392,80 -2418-0,0015 -0,375 0,75 -28,125 -300 -2531,25 -589,20 -3120-0,0020 -0,500 1,00 -30,000 -300 -2700,00 -589,20 -3289-0,0025 -0,625 1,25 -28,125 -300 -2531,25 -589,20 -3120-0,0030 -0,750 1,50 -22,500 -300 -2025,00 -589,20 -2614-0,0035 -0,875 1,75 -13,100 -300 -1179,00 -589,20 -1768

Los resultados obtenidos en la Tabla No.2.1 pueden ser representados grficamente como se ilustra en laF ig. 2.6 (curva a) para cargas de corta duracin. Si ahora se repiten los clculos para un diagrama delhormign de larga duracin se obtiene la curva b ) de la propia F ig. 2.6.


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En la propia F ig. 2.6 se ha graficado con lnea de trazos la curva que representa el aporte del hormign, slopara cuando las cargas son de corta duracin.

Un anlisis de los resultados obtenidos de la Tabla No. 2.1 as como de la propia F ig. 2.6 permite arribar alas siguientes conclusiones:

1) El valor de carga mxima corresponde con la deformacin I co , para el caso de cortaduracin, es decir, para la deformacin de I ' c = I co = 0,002.

2) El acero alcanza su deformacin de fluencia antes de que se alcance la capacidad mxima decarga.

I sy = 0,0015 I ' cmax = 0,002

3) La capacidad total mxima del elemento N ' u esta dada por la suma del aporte del hormign y delacero.

N ' u = N ' c + N ' s

4) La carga mantenida provoca una disminucin de la capacidad mxima debido ala menor contribucin del hormign. (aproximadamente en un 20%)

5) Un incremento en la cantidad de acero o en el rea de hormign, origina un incremento en lacapacidad ltima o de carga de la seccin.

F ig. 2.6 Ejemplo de comportamiento de elemento corto bajo carga axial de compresin.

3 289

Curva (b) Larga Duracin

Curva (a)Corta Duracin

Curva (c)Contribucin del hormign

3

2 000

1 000

1 2 3

N

(kN

( l.10 -2 (cm)

N s

N c

2 749


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2.3.2 Elemento de hormign pretensado (H oPo) en Compresin Axial. (Ejemplo 2.2)

Procurando comparar posteriormente los resultados con los del ejemplo anterior, se decidirdisponer en este caso un rea de acero activo (pretensado ), que garantice, en elagotamiento, la misma contribucin de la armadura pasiva (ordinaria) del ejemplo anterior.

Esta decisin conduce a la siguiente conclusin:

2.2 Ejemplo s y s1.2 Ejemplo p y p f f !

222.2 Ejemplo s p y

s y1.2 Ejemplo p cm68.3cm64.19 MPa300

MPa1600 f f

!!!

Adems, se conoce que luego de tener lugar todas las prdidas, la tensin permanente dela armadura pretensada debe estar entre.

MPa960 MPa800160060.050.0 f 60.050.0 p y po z!z!z!W

Si se considera MPa900 po !W , entonces:

0045.0MPa102

MPa900 5 p

po po !!!

W I

Adems, la deformacin correspondiente al lmite convencional de fluencia, ser:

008.0 MPa102

MPa1600 E f

5 p

p y p y !!!I

Por ltimo, para establecer posteriormente una comparacin con el ejemplo anlogo dehormign armado resuelto anteriormente, se resolver el caso correspondiente a la cargade corta duracin, lo que permite utilizar los mismos resultados de aquel ejemplo en lo querespecta a la contribucin del hormign bajo este presupuesto.

En resumen se trata de una columna de 250 cm de longitud con 30 x 30 cm y un rea de acero pretensado de A p = 3,68 cm

2. (F ig. 2.7 )


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SOLUCIN

Al igual que en el ejemplo anterior se supondrn valores de I ' c que sern incrementados hasta alcanzar elagotamiento del hormign.

En el caso de HoPo existe una singularidad que la distingue del HoAo y se trata de la siguiente observacin:

En HoAo cuando la carga externa es nula, las deformaciones en los materiales (hormign y acero ), y enconsecuencia sus tensiones, son nulas, de hecho esta razn justifica que se le llame a la armadura en estecaso pasiva, razn por la cual un punto obligado del diagrama de comportamiento es siempre (0 , 0).

Sin embargo, en HoPo aun para el caso en que la carga exterior sea nula, N = 0 , por efecto del pretensado elelemento estar inicialmente deformado, de manera que el acero se halla sometido a la traccin inducidapor el estiramiento previo (razn que justifica que se le llame acero activo), mientras que el hormign lohace a la compresin que le provoca el pretensado en el instante de la transferencia de la fuerza, obligandoa la existencia de un autoequilibrio en la seccin sin que medie la existencia de carga exterior.

A p = 3.68 cm2

30 cm

30 cm

Seccin Transversal de laColumna

N

250 cm

E p = 2.10- 5 MPa

I py = 0.008I po

py = 1 600 MPa

W p

I p

W po

F ig. 2.7 Ejemplo de comportamiento de elemento corto de hormign pretensado


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1ra Iteracin: Se refiere al caso en que N =0 :

El autoequilibrio que se mencionara en el prrafo anterior conduce a la siguiente condicin de equilibrio:

c ,c p p p pc

,c

, B A 0 A B N W W W W !!!

La interrogante a responder en esta iteracin es la siguiente:

Para qu deformacin unitaria se cumple esta condicin?

Se conoce que:

' c p p p P p2'

c' c'

c ,c E E y002 ,0002 ,0

2 f I I (I W I I W !!

!

Sustituyendo

2' c c / kN 3MPa30 f !!

' c24 p 0045.0c / kN 102 I W ! Se tendr:

? A ? A ,b24222 ,b ,b2 0045 ,0cm / k 10.2.cm68 ,3cm9005001000cm / k 3 I I I !

0033.064.26267500 ' c2' c !I I

Resolviendo la ecuacin de segundo grado se obtiene:

0040.0' c !I (traccin).

000122.0' c !I (compresin)

La primera de las dos soluciones carece de sentido fsico ya que refiere que el pretensado origina unatraccin al hormign, cuando en realidad es todo lo contrario. Entonces para la segunda solucin se tendr:

( l =( - 0,000122).(250 cm) = - 0,0305 cm.

En definitiva, para esta primera iteracin se llega al interesante punto ( - 0.0305 cm , 0)

2da Iteracin: Se supone un acortamiento del hormign I ' c = 0,0005,:

( l = I ' c .l o = ( - 0,0005).(250) = - 0,125 cm. (acortamiento)

Aprovechando los clculos del Ejemplo 2.1 , para esta deformacin se tiene que:


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W ' c = - 13,125 MPa = - 1,31 kN/cm 2 (compresin)

La deformacin en el acero pretensado ser:

I p = I cp + ( I p

Debido a que se trata de un elemento con pretensado adherente se debe producir una compatibilidadconsecuente entre las deformaciones que origina al hormign la carga externa, y la que tiene lugar en laarmadura activa. Si adems se reconoce que la carga externa se aplica en elbaricentro plstico de laseccin, entonces se puede asegurar que:

I cp = I ' c = - 0.0005 (para la 1ra iteracin)

De donde:I p = - 0,0005 + 0,0045 = 0,004 (alargamiento) I py

Al ser I p I py el acero trabaja en rgimen elstico y su tensin viene expresada por la ley de Hooke:

W p = E p .I p = (2.10 5 MPa).(0,004) = 800 MPa = 80 kN/cm 2

De la ecuacin de equilibrio de fuerzas

N ' = B c .W ' c + A p .W p = (30 cm x .30 cm)( - 1,31 kN/cm 2 ) + (3,68 cm 2 ).(80 kN/cm 2 )

N ' = - 884.6 kN (compresin)

Llegndose al punto ( - 0.125 cm , - 884.6 kN/cm 2 )

Repitiendo los clculos para otros valores de deformacin se llega a obtener la Tabla No. 2.2 en la que seresumen los resultados parciales para cada deformacin que se fij, y a la vez los valores de la cargaresistida

Tabla No. 2.2

I ' c ( lb (cm)

.W c (kN/cm 2 )

I p W p (kN/cm 2 )

B c .W c (kN)

A p .W p (kN)

N (kN)

-0.00013 -0,0305 - - - - - 0-0,0005 -0,125 -1,31 0,004 80 -1179,00 294,4 -885-0,0010 -0,250 -2,25 0,0035 70 -2025.00 257,6 -1767-0,0015 -0,375 -2,81 0,0030 60 -2531,25 220,8 -2310-0,0020 -0,500 -3,00 0,0025 50 -2700,00 184,0 -2516-0,0025 -0,625 -2,81 0,0020 40 -2531,25 147,2 -2384-0,0030 -0,750 -2,25 0,0015 30 -2025.00 110,4 -1915

-0,0035 -0,875 -1,31 0,0010 20 -1179,00 73,6 -1105

En la F ig. 2.8 se han graficado los resultados obtenidos de la Tabla 2.2 .


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Un anlisis de este grfico as como los de la propia Tabla permite llegar a las siguientes conclusiones:

1) La capacidad resistente a compresin de la columna se reduce en la pieza de hormignpretensadoen comparacin con la de hormign armado. (de 3289 kN a 2516 kN ) ya que el pretensado consumeparte de la capacidad del hormign en compresin.

2) Al igual que en la pieza de hormign armado, la capacidad mxima se alcanza para unadeformacin del hormign igual a 0,002.

3) Se deduce que el pretensado no es eficiente en el caso de compresin centrada, exceptundose loscasos en que la pieza durante su ejecucin se vea sometida a flexin, como por ejemplo los pilotes,postes, etc.

0

885

1767

23102516

2384

1915

1105

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0,25 0,5 0,75 1

Acortamientos

N

F ig. 2.8 Ejemplo de comportamiento de elemento corto de hormign pretensado.


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2.4 Comportamiento bajo Carga Axial de Traccin.

Los elementos sometidos a traccin axial son comnmente llamados tensores. Debido a la poca capacidaddel hormign a traccin, estos elementos no se construyen de hormign simple sino que o se hacen debarras de acero aisladas, de hormign armado o de hormign pretensado.

De la misma forma que en para la solicitacin de compresin analizada anteriormente, para la traccin seanalizar el comportamiento solucionando sendos ejemplos de tensores de hormign armado el primero, ypretensado el segundo.

2.4.1 Elemento de Hormign Armado (H oAo) a Traccin Axial (Ejemplo 2.3)

En la F ig. 2.9 se muestra un tensor de hormign con diferentes cantidades de refuerzo. Se pretende obtener el comportamiento de cada uno de ellos, para luego arribar a conclusiones generales que faciliten lacompresin de esta solicitacin.

En este caso se admite que en una primera etapa de carga, antes de la fisuracin, el hormign estaresistiendo an las tracciones y se supone trabajando con un diagrama lineal como se muestra en la F ig.2.10a . Por su parte se propone para el acero un comportamiento bilineal como se muestra en la F ig. 2.10b

Se trata de un hormign de la misma calidad a la utilizada en los ejemplos anteriores, es decir, MPa30 f ' c ! , de la que se derivan las siguientes consideraciones:

o La resistencia a traccin se estimar de la manera siguiente:

MPa3 ) MPa30( 10.0 f 10.0 f ' cc !!}

o El mdulo de deformacin longitudinal:

2' cc cm / k

3000 MPa30000 )30( 1000 f 1000 E !!!!

Comprese con la propuesta que se hiciera en el Tema 1:

MPa2620083085005.08 f 85005.0 5.0 ' c' cc !!

!!

o Se acepta para el hormign una ley de tensiones lineales del tipo:

2.5 m

25c m

25c m

A -- 4 10 mm Aa= 3 16c mB -- 4 16 mm Aa= 8 04c mC -- 4 25 mm Aa= 19 64c m

2

2

2

N N

N N

U U U

F ig. 2.9 Tensor de hormign armado.


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"

e!!

001.0 para 0

001.0 para 30000 E

c

cccc

cI

I I I W

Es decir, que a partir de una deformacin igual a se desprecia toda contribucin del

hormign a traccin porque se supone fisurado. No obstante, debe recordarse lafavorable influencia del efecto tension stiffening

Para el acero pasivo se propone una ecuacin constitutiva del tipo:

u

!!!

!0015.0 para f

0015.0 MPa102

MPa300 E f

para 102 E

c s y

5 s

s yc s

5 s s

sI

I I I

W

F ig. 2.10 Diagramas W I de los materiales del tensor.

W s

f sy = 300 MPa

I y = 0.0015

Resistencia a Traccin del acero pasivo

I s

c = 3 MPa

I cmax = 0.001

E c = 1 000 f

c

Resistencia a Traccin del hormign

I c

W s


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SOLUCIN:

Anlisis en la Etapa anterior a la fisuracin.

Antes de que el hormign alcance su capacidad mxima a traccin (lo que sucede si I c < 0,0001 ), la seccinno se ha fisurado y ambos materiales participan de conjunto en el equilibrio de la seccin, trabajando atraccin a partir de la necesaria compatibilidad de las deformaciones que se da entre los dos.

a) Ecuaciones fsicas o constitutivas de los materiales:

Hormign: )k /cm (en 0003 MPa)(en 00030 E 2ccccc I I I W !!!

Acero: )k /cm (en 102 MPa)(en 102 E 2c4 s5 s s s I I I W !!!

b) Ecuacin de equilibrio

sc! ! !

!

k " ) (en 0008751cm25 xcm250003# 0003# " ccccccc I I I W !!!!

k $

) (en %

102%

$

s s4

s s s !! I W

k & ) (en 63200cm16 .3102& s2 s410 s I I J !!!

kN) (en 160800c' 04.8102 N s2 s416 s I I J !!!

k ( ) (en 392800cm64.19102( s2 s425 s I I J !!!

c) Compatibilidad de deformaciones

sc I I !

Se tendr entonces:

kN) (en 632000008751 N 10) ) Pa r a cc I I J !!

k 0 ) (en 16080000087510 16mm Para cc I I J !!

k 1 ) (en 39280000087511 mm25 Para cc I I J !!

F ig.2.11 Seccin antes de la fisuracin.

N s /2

N s /2

N= N c +N s

W c


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1ra Iteracin: Para la deformacin mxima del hormign (I c = 0,0001 )

Este es un punto singular del diagrama de comportamiento porque a partir de esta deformacin comienza lafisuracin del hormign, es decir, una deformacin infinitesimalmente superior a este valor, sacatericamente al hormign del equilibrio pues al fisurarse deja de contribuir al equilibrio.

Adems, para deformaciones inferiores a ella, como la ley de tensiones del hormign que se ha supuesto es

lineal (como tambin lo es la del acero al tener un comportamiento hookiano), ser lineal la ley decomportamiento, con lo que resulta innecesario evaluar para deformaciones I c < 0,0001 , pues se sabeque el diagrama nace en el origen y es una lnea recta.

0001.0632000001.000087512 10mm Para !!J k 3 3.81932.6 5.187 3 !! 193.8k 4 ,0.025cm

0001.01608000001.000087515 16mm Para !!J kN 6 .20308.16 5.187 N !! 203.6k 6 ,0.025cm

0001.03928000001.000087517 mm25 Para !!J

k 8

8.226 28.395.187 8

!! 226.8k 9

,0.025cm Obsrvese la baja contribucin del acero en la etapa anterior a la fisuracin. Recurdese, como lafuncin de N es lineal antes de la fisuracin, la curva de comportamiento tambin lo ser.

La deformacin total para la deformacin de fisuracin valdr:

( l = (0,0001).(250 cm) = 0,025 cm (alargamiento)

2da Iteracin: Anlisis un instante despus de la fisuracin.

Una vez que se produce la fisuracin en la seccin, la carga actuante solo es resistida por el acero, luego setiene:

s y s s s s s s que siempre E @ @ A I I I W e!!

Suponiendo que c s I I ! , lo cual realmente se puede aceptar como cierto despus de la fisuracin como unvalor promedio en un tramo del elemento.

Bajo la suposicin anterior se tiene:

kN) (en 63200cB 16 .3102 N s2 s410 s I I J !!!

kN) (en 160800cC 04.8102 N s2 s416 s I I J !!!

kN) (en 392800cD 64.19102 N s2 s425 s I I J !!!

Y para un infinitesimal de deformacin posterior a la fisuracin (I c = I c = 0,0001 ):

( l =( 0,0001).(250cm) = 0,025 cm


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0001.063200E 10mm Para !!J k F 32.6 F ! 6.32k G ,0.025cm

0001.0160800 N 16 H H Pa r a !!J kN 08.16 N ! 16.08k I ,0.025cm

0001.0392800 N P P 25 Pa r a !!J kN 28.39 N ! 39.28kN ,0.025cQ

3ra Iteracin: Anlisis en el instante en que entra en fluencia el acero.

Como a partir de la fisuracin el nico material que contribuya al equilibrio es precisamente el acero, y sucomportamiento hasta este instante es lineal (Hooke ), basta con analizar este instante y unir con una lnearecta el punto obtenido en la iteracin anterior, con el que se obtenga en esta.

Claro que a partir de la fluencia se estabiliza la contribucin del acero (no se modifica ni la tensin ni elrea ), y la rama del comportamiento correspondiente a esta etapa es horizontal.

El acero que se est utilizando es tal que 0015.0 s y !I , luego:

( l = (0,0015).(250cm) = 0,375 cm

0015.063200R 10mm Para !!J k S 8.94S ! 94.8k T ,0.375cm

0015.0160800U 16mm Para !!J k V 2.241V ! 241.2k W ,0.375cm

0015.0392800 N X X 25 Pa r a !!J kN 2.589 N ! 588.2kN ,0.375cY

Los resultados se ilustran en la siguiente Tabla:

Para el refuerzo conJ = 10 mm (Curva` )

Singularidad del Punto cI l ( (cm)a (k a ) ( l ( , a )

Carga exterior nula 0 0 0 ( 0 , 0 )` ntes de la Fisuracin 0.0001 0.025 193.8 (0.025 , 193.8) Despus de la Fisuracin 6.32 (0.025 , 6.32) Inicio de la Fluencia 0.0015 0.375 94.8 (0.375 , 94.8)

Para el refuerzo conJ = 16 mm (Curvab )Singularidad del Punto cI l ( (cm)

c (k c ) ( l ( , c )Carga exterior nula 0 0 0 ( 0 , 0 )

d ntes de la Fisuracin 0.0001 0.025 203.6 (0.025 , 203.6) Despus de la Fisuracin 16.08 (0.025 , 16.08) Inicio de la Fluencia 0.0015 0.375 242.2 (0.375 , 242.2)


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Para el refuerzo conJ = 25 mm (Curva C)Singularidad del Punto cI l ( (cm)

e (k e ) ( l ( , e )Carga exterior nula 0 0 0 ( 0 , 0 )

f ntes de la Fisuracin 0.0001 0.025 226.8 (0.025 , 226.8) Despus de la Fisuracin 39.8 (0.025 , 39.8) Inicio de la Fluencia 0.0015 0.375 589.2 (0.375 , 589.2)

En la Fig. 2.12 se muestra entre las abscisas 0 y 0,0001 la grfica que representa el comportamiento de laseccin antes de la fisuracin para los tres casos que han sido calculados.

Se aprecia que a esta seccin corresponde un fallo frgil y muy repentino a partir de la aparicin de lafisuracin. Debido a la insuficiente cantidad de acero que posee la pieza, la fuerza que ofrece el aceroinmediatamente que entra en fluencia es inferior a la carga que origina la fisuracin fisu

g g

" : k h 8.193k h 8.94 " , y en consecuencia se pierde la ductilidad que puede conferir la armadura de acero

cuando se dispone en cantidades adecuadas, de ah que se hable de una cuanta m nima.

F ig. 2.12(a) Diagrama de Comportamiento a traccin para la pieza armada con J = 10 mm .

187.5193.8

6.32

94.8

Inicio de laF luencia

C ntri uci n del Acer

Contribucin del Hormign

Com ortamiento de la Pieza

( l (cm)

N (kN)

Inicio de la F isuracin

Pieza reforzada con 4 J 10 mm

0.025 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

100

200

300

400

500

600


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Un anlisis de los resultados obtenidos permite arribar alas siguientes conclusiones:

1) La carga que provoca la fisuracin N fis es prcticamente independiente de la cantidad de refuerzo(cuanta). Para detrminar la carga que origina la fisuracin puede aceptarse en forma aproximada que elrefuerzo es nulo, dando lugar a la ecuacin simplificada

N fis = B c . f c

que en este caso tomara el valor de N fis = (625).(0.3) = 187,5 kN , lo cual constituye una buenaaproximacin.

2) El elemento tiene una rigidez mayor antes de la fisuracin que posterior a ella. Esto quiere decir que haymenor deformacin para igual incremento de cargas en la etapa anterior a la fisuracin que despus deella. Obsrvese el cambio de pendiente del diagrama de comportamiento antes (mayor ) y despus de lafisuracin.

3) Una vez que ha ocurrido la fisuracin, existe una cada sustancial de la carga resistida por la seccin.En los elementos B y C, que tienen suficiente refuerzo, una vez que se produce la fisuracin la fuerzaque deja de tomar el hormign a traccin es resistida por el refuerzo, mientras que en el elemento A, lafuerza de fisuracin no puede ser tomada por el refuerzo ocurriendo un fallo sbito o brusco delelemento.

F ig. 2.12 (b) Diagramas de Comportamiento a traccin para las piezas estudiadas.

Inicio de laF luencia

Comportamientode la Pieza ( J 10 mm)

( l (cm )

N (kN)

Inicio de la F isuracin

0.025 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

100

200

300

400

500

600

Comportamiento

de la Pieza ( J 16 mm)

Comportamientode la Pieza ( J 25 mm)


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Se concluye que se requiere de un refuerzo mnimo que sea capaz de tomar la fuerza que libera elhormign al fisurarse. Tal refuerzo mnimo es especificado por los cdigos y normas para el clculo delhormign, generalmente se le llama cuanta mnima.

En el estudio que acaba de realizarse para los elementos sometidos a traccin, se ha supuesto que alproducirse la fisuracin, todo el hormign desaparece, sin embargo, en realidad el hormign entre fisurastrabaja de conjunto con el acero y contribuye a que las deformaciones no sean tan grandes como las que

supuestamente han sido calculadas anteriormente. Este efecto se conoce como "rigidez por traccin"oefecto tension stiffening, ya que entre fisura el hormign esta realmente trabajando.

En la F ig. 2.13 se muestra la variacin real de tensiones en ambos materiales y un esquema delcomportamiento experimental de un tensor.

tensinen

i cero

tensinenhor p ign

N N

fisur i s

di i gr i p i re i l

di i gr i p

i

c i lcul i do

( l (cp )

N

F ig. 2.13 Rigidez por traccin.


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2.4.2 Elemento de Hormign Pretensado (H oPo) a Traccin Axial. (Ejemplo 2.4)

Se desea obtener el comportamiento de un elemento de hormign pretensado sometido a traccin axialcuando ste tiene el acero pretensado de acuerdo a los casos siguientes: Elemento A Utilizando el acero sin deformacin previa. ( ( I p = 0)

Elemento B Utilizando el acero con una tensin de 900 MPaantes de hormigonar (hormign pretesado) o sea, con W po= 900 MPa.

En la F ig.2.14 se muestran las dimensiones del elemento y la cantidad y disposicin del refuerzo as comolas calidades de los materiales.

Al igual que en el Ejemplo 2.3 se considera que el hormign tiene un comportamiento lineal en traccin y lascompresiones son relativamente pequeas.

SOLUCION

Elemento A

Este caso corresponde al elemento que tiene acero pretensado pero que no se ha tesado. A continuacinse desarrollarn los clculos para las diferentes etapas de trabajo. ( ( I p = 0)

a) Antes de la aplicacin de las cargas

Cuando la carga exterior es nula, N = 0, corresponder una deformacin nula del hormign.

N = 0 p I c = 0 p ( l p = 0

b) En el momento de la fisuracin (fig. 2.15)

Suponiendo que la deformacin alcanza I c = + 0,0001en el momento de la fisuracin, se tiene:

( l p= (+0,0001).(250)= 0,025 cm (alargamiento)

f ' c = 30 MPa f c = 0,1R ' b = 3 MPa = 3 kN/cm

2

E c = 1000R ' b = 30000 MPa f py = 1600 MPa = 160 kN/cm

2

E p = 2.10 5 MPa 2. 5q

3 0

r

s

30t u

v

w

p x 10 y q 2

F ig. 2.14 Tensor de hormign pretensado .


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La condicin de equilibrio ser:

pc N N N !

Contribucin del hormign (aun no fisurado)

? A 2ccc c / kN 3.0 )c 30( )c 30( f A N !!

2c c / kN 270 N !

Contribucin del acero pretensado (en este caso no posee estiramiento previo))

p p p A N W !

pero p p p E I W !

y de acuerdo a la compatibilidad de las deformaciones a nivel de seccin:

c p

p

ccp

pcp p 0

: I I I (

I I I (I I !

!

!

!

2240001.0 p cm / k N 20001.0cm / k N 10.2c !!!I W

Sustituyendo

222

0001.0 p cm / k N

20cm / k N

2cm10 N

c !!@ !I

La fuerza que produce la fisuracin del elemento ser:

222 fis c / kN 290c / kN 20c / kN 270 N N !!!

Y se asocia a una deformacin absoluta:

( l p= + 0,025 cm

F ig. 2.15 Estado tensional en el momento de fisuracin.

f c

N p

N c


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c) 3ra Iteracin: Despus de la fisuracin

Una vez que se produce la fisuracin el hormign deja de contribuir al equilibrio y en consecuencia :

)0(N N N c p !!

A A N p p p p p p I W !!

Sigue verificndose la misma ecuacin de compatibilidad:

c p

p

ccp

pcp p 0

: I I I (

I I I (I I !

!

!

!

c5c242c p p p 10.2c / kN 10.210c A N I I I !!!@

pero como250

l l l pop

pc

((I !!

p p5 l 800

250l

10.2 N ((

!!@

d) 4ta Iteracin: En el instante en que acontece la fluencia del acero

!!! kN 1600c / kN 16010c f A N 22 p y p p

008.0c / kN 10.2

c / kN 160 E f

24

2

p

p y pc !!!! I I

Y finalmente cm2 )250( )008.0( l l op p p !!!@ I (

Resumen del elemento A

Situacin ( l p(cm)

N c(kN)

N p(kN)

N=N c + N p (kN)

Carga Nula 0 0 0 0En el instante de la Fisuracin 0.025 270 20 290Despus de la Fisuracin y antesde la Fluencia del acero

Mayor que 0.025Menor que 2.00 0 800( l p 800( l p

En el instante de la Fluencia 2 0 1 600 1 600

En la F ig. 2.18 se ha graficado el comportamiento del Elemento A obtenido a partir de estos resultados.


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Elemento B

Este caso corresponde a un elemento verdaderamente pretensadoa causa del estiramiento previo que se lepractica al acero (armadura activa ), que garantiza una tensin permanente una vez que todas las prdidashan tenido lugar, de 900 MPa a la que corresponde una deformacin igual a ( I p = 0,0045.

Ecuacin Constitutiva de los materiales:Acero:

! p y p p y

p y p p p

p par a f

par a

I I

I I I W

Hormign:

!

!!!

!

)c / kN (en 2503000

002.0c / kN 3MPa30 f ,2 f

: OMPRE SIN 22'

c' c

' c

co

2' c

2

co

' c

co

' c'

c' c

I I W

I I

I

I

I W

!!!!

e

2' cc

ccc

3000kN/c MPa00030 )MPa30( 1000 f 1000 E

00.0001- par a E :T R A

IN I I

Se impone un anlisis previo para definir con sano juicio los momentos ms significativos delcomportamiento. La F ig. 2.17 ilustra el cuerpo libre del hormign y el acero pretensado antes de la actuacinde la carga exterior:

I cmax = 0.0001

I c= 0.0005

0.002 I

c

I c

W c

W c

F ig. 2.16 Ley constitutiva del hormign .


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Mientras no acte la carga exterior el autoequilibrio de la seccin se alcanza con el acero atraccin (producto del estiramiento previo, y mientras las prdidas no consuman estatensin, condicin que gobierna cualquier diseo), y el hormign a compresin,experimentando este un acortamiento que no podr ser mayor cuando la carga comience aactuar.

Al actuar la carga exterior, en este caso una traccin centrada por tratarse de un tensor quees la situacin que se analiza, el acero incrementa su deformacin sobre tensionndose,mientras el hormign se descomprime, es decir, va disminuyendo progresivamente suacortamiento, pasando por un instante en que recupera su longitud inicial ( ( l=0 ), para apartir de ah comenzar a traccionarse, hasta llegar a fisurarse y dejar de contribuir alequilibrio resistente en la seccin.

En resumen, el mayor acortamiento que experimenta el hormign es cuando la cargaexterior es nula, existir una carga exterior que origine una deformacin nula en elhormign, y una mayor que llegar a fisurarlo.

a) 1ra Iteracin: Antes de la aplicacin de las cargas (N = 0)

Aun cuando la carga exterior sea nula, N = 0, por efecto del pretensado el elemento estar deformado,y tendr que existir un autoequilibrio en la seccin, involucrando tanto al hormign (a compresin) como al acero (a traccin), luego:

Ecuacin de Equilibrio:

0 A A N p p' cc !! W W

0c 10c 30c 30 p2' c !W W

0c 90 p' c2 !W W Compatibilidad de deformaciones:

' ccp I I ! (se trata de una caso de carga centrada )

0045.0 0045.0

: ' c p p

' ccp

pcp p !

!

!! I I

I (

I I I (I I

N p N p

N c N c

( l/2 ( l/2

F ig. 2.17 Cuerpo libre del hormign y el acero pretensado cuando no acta carga exterior


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Ecuaciones Fsicas:

Hormign: )(k N /cm 2503000 22' c' c' c

! I I W

Acero:

)(kN/c par a 0045.0102 E 2 p y p

'

c

4

p p pI I I I W !!

Sustituyendo en la ecuacin de equilibrio:

? A00045.01022503000c 90 ' c42' c' c2 !

I I I

01097 .4675 4' c2' c !I I Resolviendo se obtiene:

!n)(co presi 0.00019-

(tr accin) 0071.0' cI

La segunda de las dos soluciones es la que tiene sentido fsico, pues se trata de una compresin.

cm0475.0cm25000019.0l l ' c !!! I ( 0) ,0475cm--0 b) 2da Iteracin: Instante en que el acortamiento de la pieza es nulo 0l !(

Este instante es la frontera entre la compresin y la traccin del hormign.

Si 0 0l c !! I (

Compatibilidad de deformaciones:

0' ccp !! I I

0045.0 0045.0

0: p

p

cp

pcp p !

!

!! I

I (

I I (I I

Ecuaciones Fsicas:

Hormign: 025030002

' c' c' c !! I I W

Acero: 24 p p p 90kN/cj 0045.0102 E !!! I W


p p' cc

k k

N W W !


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90kN ,0 kN 90cl / kN 90cl 10cl 10 N 22 p2 !!! W c) 3ra Iteracin: En el instante de la fisuracin 0001.0c !I

cm 025.0cm 2500001.0l l c !!! I ( Compatibilidad de deformaciones:

0001.0ccp !! I I

0046 .0 0045.0

0001.0: p

p

cp

pcp p !

n

!

!! I

I (

I I (I I

Ecuaciones Fsicas:

Hormign: 22cccc cm / k N 3.00001.0cm / k N 3000300 E !!!! I I W

Acero: 24 p p p 92kN/co 0045.00001.0102 E !!! I W


p p' cc A A N W W !

? A 1190kN ,0.025c kN 1190c / kN 92c 10c / kN 3.0c 30c 30 N 222 !!

d) 3ra Iteracin: Despus de la fisuracin

Se supone que una vez fisurada la seccin, el hormign no resiste tracciones, luego:

? A0045.0102 )c 10( A N c42 p p !! I W

! 0045.0250

l 102 N 5 (

Luego para diferentes valores de ( l se tendr:

( l = 0,025p N = 920 k N 920k N ,cm025.0

( l = 0,050p N = 940 k N 940k N ,cm050.0

( l = 0,075p N = 960 k N 960k N ,cm075.0

( l = 0,100p N = 980 k N 980k N ,cm100.0


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e) 3ra Iteracin: En el instante en que el acero comienza a fluir

Compatibilidad de deformaciones:

-l l -c p p y p p y p y pc p I (I

(I (I I I I (I I !!!!

c 875.00045.0008.0c 250l l p p y !!! I (I (

Ecuaciones Fsicas:

Hormign: fisurado)tenotoriamenha ya sehormign(el 0c !W

Acero: p y p2 p y p c / kN 160 f I I W "!!


p p A N W !

1600kN ,0.875c c / kN 1600 c / kN 160c 10 N 222 !!

De la misma forma que anteriormente se hizo, un anlisis de los resultados permite arribar a las siguientesconclusiones:

N k N

1000

1 2

1600

f luen cia f luen cia

f isur aci

n

f isur aci

n

ELEME NTO

ELEME NTO A

( l

F ig. 2.18 Comportamiento de un tensor de hormign pretensado. Elemento A: armadura sin activar ( ( I p=0). Elemento B: armadura activada ( ( I p>0)


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a) La capacidad ltima de ambos elementos no vara, ( N = 1600 k N ). Esto significa que la capacidadresistente de la seccin no depende de si el acero est o no estirado. Por tanto no influye en lacapacidad ltima de un tensor a traccin la tensin previa.

b) Existe un notable incremento de la fuerza que produce la fisuracin en el Elemento B en comparacincon el elemento no tesado (Elemento A). Esto hace que la respuesta del elemento tesado tenga un

comportamiento lineal en un rango mucho mayor que el no tesado. En otras palabras, el elementotesado tiene mejores condiciones para soportar cargas elevadas sin que ocurra la fisuracin.

c) La fluencia se alcanza ms rpidamente en el elemento tesado.

2.5 Hiptesis que se derivan del comportamiento a carga axial.

A partir del anlisis del comportamiento de los elementos sometidos a carga axial, cuyos resultadoshan sido corroborados en las pruebas experimentales, se derivan las hiptesis que contemplan lasnormas para el clculo de tales elementos. A continuacin se enumeran las hiptesis relacionadas conlos elementos sometidos a carga axial de compresin y de traccin. Debe recordarse que slo se hatenido en cuenta los elementos cortos, es decir, no se ha incluido el efecto de la esbeltez.

2.5.1 Hiptesis relativas a la compresin centrada.

1) Se acepta que la capacidad mxima se produce cuando el hormign alcanza unadeformacin unitaria de acortamientoI ' c = 0,002.

2) La capacidad mxima de un elemento comprimido viene dada por la suma de los aportesdel hormign y del acero.

3) La capacidad mxima no es afectada por el efecto de retraccin . Es por ello que no se tieneen cuenta en los clculos, salvo que se restrinja el movimiento del elemento.

4) La capacidad mxima se ve afectada por el fenmeno de la fluencia del hormign. En losclculos se introducen coeficientes que disminuyen la resistencia del hormign con el fin detener en cuenta la reduccin de la capacidad por efecto de la carga mantenida.

2.5.2 Hiptesis relativas a la traccin centrada.

1) Antes de la fisuracin del hormign puede despreciarse todo el aporte del acerotraccionado, ya que trabaja a tensiones muy pequeas.

2) Posterior a la fisuracin puede despreciarse toda contribucin del hormign a traccin.

3) Es necesario colocar en el elemento una cuanta de refuerzo mnima tal que le suministreuna fuerza equivalente o un poco mayor que la que provoca la carga de fisuracin paraevitar un fallo frgil del mismo.

4) La capacidad ltima esta dada por la capacidad del acero solamente sin considerar elhormign.

Por ltimo, es posible que por el efecto de la retraccin puedan aparecer algunas fisuras en la masa delhormign, luego es necesario disponer un refuerzo mnimo que cumpla la funcin de distribuir tales fisuras,procurando una mayor cantidad de ellas pero de menor ancho (fisuras imperceptibles ).


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2.6 Comportamiento de los elementos en Flexin

Sea una viga sometida a dos cargas concentradas situadas en el tercio medio de la viga, es decir,aplicadas simtricamente a una distancia L/3 entre ellas. Si se desprecia el peso propio de la viga, seobtienen diagramas de momento flector y cortante como se indica en la F ig. 2.17.

Puede apreciarse en la F ig. 2.19 que el momento flector es la nica solicitacin actuante en el tramo central.Se dice que dicho tramo est sometido a flexin pura, o sea, el cortante es nulo.

En los tramos laterales, adems del momento acta una fuerza cortante, por lo que se dice que en ambostramos laterales las secciones estn sometidas a flexin simple.

Para el anlisis del comportamiento se considerar el caso de flexin pura, comprobndose por laexperimentacin que los resultados obtenidos son aplicables a la flexin simple con pequeasmodificaciones.

El anlisis del comportamiento de elementos sometidos a flexin pura se le realizar a travs de un ejemploque supone una seccin en la que son conocidas sus dimensiones, posicin y cantidad de refuerzo ascomo la calidad de los materiales componentes con sus correspondientes diagrama de tensin -deformacin. Se evaluarn diferentes estados de cargas, en primer lugar el estado de carga mxima en quese produce el fallo y posteriormente estados con cargas inferiores a las que produce la rotura. El comportamiento se expresar mediante la relacin M - J , donde M representa la accin y J el ngulo degiro de la seccin (ver F ig. 2.3 ). De esta forma se puede analizar el comportamiento de una seccin aisladasin tener en cuenta otras caractersticas del elemento tales como la luz, tipo de carga, etc. que tendran queconsiderarse si el comportamiento se expresa en funcin de la carga y de la flecha en un punto dado delelemento.

P P

P

P

PL/

PL/

T

M

F ig. 2.19 Viga sometida a flexin con cargas en el tercio medio.


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2.6.1 Elemento de Hormign Armado (H oAo) sometido a Flexin. (Ejemplo 2.5)

En la Fig.2.20se muestra la seccin de la viga que ser analizada as como los diagramas de los materialescomponentes. La seccin estar sometida a flexin pura ( t = 0 ) con cargas de corta duracin ( I co=0.002 ).La calidad del hormign ser f ' c = 20 MPa y la del acero f sy = 300 MPa.

Para facilitar los clculos se proceder de la siguiente forma:

Se fijar en la fibra ms comprimida (fibra superior ) una deformacin I ' c del hormigncomprendida entre el valor terico mximo (I cmax =2I co=0.004 ) y valores muy pequeos quetiendan a cero como por ejemplo 0,0001 .

A partir de la condicin de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones se obtiene laposicin de la lnea neutra (c), recurriendo a la ecuacin de equilibrio de fuerzas.

Se calcula el momento flector M y el ngulo de giro J para cada estado deformacional,recurriendo a la ecuacin de equilibrio de momento.

Se repiten los clculos para diferentes valores de I ' c .

Se grafican los resultados.

F ig. 2.20 Ejemplo 2.5 Seccin de hormign armado sometida a flexin.

E s=2.105 MPa

I co=0.002

f c

A s=20 cm2

d= 50cm h= 60 cm

sy =


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SOLUCIN:

Planteamiento general del problema recurriendo al diagrama rectangular equivalente al diagrama parablicopara carga de corta duracin:

Compatibilidad de las deformaciones:

' c s

s' c

ccd

cd cI I I I !!

Ecuaciones Fsicas o Constitutivas de los materiales:

Acero:

0015.0MPa102MPa300

E

f 5 s

s y s !!!I

u

!!

0015.0 para f

0015.0 para 102 E

s s y

s s5

s s

sI

I I I W

Hormign:

Se acepta un bloque rectangular de compresin de profundidad c1 F y ancho ' c1 f E . Se desprecia toda contribucin del hormign a traccin.

Ecuaciones de Equilibrio:

Fuerza:

0 N N 0 s' c !!

N

c

N s I s

I c

c

A s= 20 cm2

E1 .f c

F1 .c

F ig. 2.21 Estado deformacional y de fuerzas en la seccin.


35/88



bc f N 1' c1' c ! FE

u

!

s y s s y s

s y s s s s

s s s

flu yeaceroel si f z

flu yenoaceroel si E z

:z N

I I

I I I W

s1' c1 N bc f 0{ !! FE

b f N c 0| '

c11

s!! FE

Momento:

? A 2

11' c1

' c c10.20c2001c00.12

150c02.40c2

1d bc f z N M !

!

!! F FE

a) 1ra Iteracin: F ijando en la fibra superior I ' c= 0,004

Para esta deformacin a nivel de la fibra ms comprimida del hormign, y cargas de accin rpida 002.0co !I se tiene:

2002.0004.0

co

' c !!

I I

De la Tabla presentada en el Tema 1 para este tipo de diagrama del hormign (parablico ), se obtiene

para 2co' c !I I : E1 = 0,667; F1 = 1,000

Hiptesis: Supngase que el acero fluye: ( I s } I sy)

k N 600cm / k N 30cm20 f ~ N 22 s y s s !!! Por otro lado:

? A ? A c02.40c 30c00.1c / kN 2667 .0bc f N 21' c1' c !!! FE kN 60040.02c 0 !!@

c 15c 99.14c }!

Verificacin de la Hiptesis: Es necesario comprobar la suposicin de que el acero est fluyendo.Para ello se utilizar la ecuacin de compatibilidad de deformaciones que relaciona ladeformacin en la fibra superior del hormign, con la deformacin a nivel del acero (quepor compatibilidad coincidir con la del propio acero).


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00933.0004.015

1550c

cd ' c s !!! I I

flu yereal enteacero E l 0.00150.00933 s y s "" I I

Al verificarse la hiptesis planteada, el valor dec obtenido es correcto y se pude determinar elmomento exterior que origina tal acortamiento 004.0' c !I , y el ngulo de giro experimentado por laseccin:

El ngulo de giro de la seccin J (expresado en radianes /cm ) ser:

J J J I

J !p! tan 0 como c

tan' c

-14-' c c 102.67

150.004

c!!! I J

Aplicando momentos con relacin al acero se tiene:

255k N .m492.5k N .cm251510.20152001c10.20c2001 M 22 !!!!

Obtenindose el punto 255kN. ,c 1067 .2 14

b) Repitiendo los clculos para otros valores de I ' c menores de 0,004 y suponiendo que el acerofluye, se obtiene la Tabla que se muestra a continuacin:

Tabla : Bajo el presupuesto de que el acero fluye (Ejemplo 2.5).

I ' c 0,004 0,0035 0,003 0,0025 0,002 0,0015 0,001I ' c / I co 2 1.75 1,5 1,25 1 0,75 0,5E1 0.667 0.810 0,900 0,928 0,889 0,779 0,595 F1 1.000 0.900 0,833 0,786 0,750 0,722 0,700c (cm) 15.0 13.7 13,3 13,7 15,0 17,8 24,0I s 0.00933 0.00926 0,00825 0,00661 0,00467 0,00272 0,00108


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s s s1' c1 N bc f 0 F W FE !!!@

! ' c42121 c

c50102c 20c 30cc / kN 2 I FE

Siendo, como ya se sabe:

Entonces:

000000020c000400c60 ' c' c211 !@ I I FE Suponiendo de nuevo que la deformacin en la fibra superior de la seccin de hormign es igual a I ' c =0,001 , se llega a:

c = 21.40 cm.

La segunda solucin carece de sentido fsico.

Es posible obtener la tensin del acero sustituyendo para c = 21.40 cm en la ecuacin de Ws

24' c4 s c / kN 7 .26 001.04.214.2150102

cc50102 !

!

! I W

Como W s =267 MPa < f sy = 300 MPa , efectivamente el acero est en el rango elstico.

El brazo z del par ser igual a:

c 51.424.21700.02150c

21d z 1 !!! F

Luego, el momento flector se obtiene de:

? A m.kN 227 cm.kN 22700cm51.42cm / kN 7 .26 cm20 z A z N M 22 s sS !!!!! W

m.kN 227 M !

co

c

co

c

126

4

I I

I I

F !

14

3116

c

co

2

co

c

1

!

I I

I I

E


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Y el ngulo de giro de la seccin ser:

cm / r ad 1046 .0000046 .04.21

0001.0c

4' c !!!! I J

Es de destacar que para estos estados con deformaciones en el hormign pequeas existe laposibilidad que la zona traccionada del hormign est sometida a tensiones de traccin, sin embargo,en los clculos precedente se ha despreciado totalmente la posible contribucin del hormign atraccin. Ms adelante se tendrn en cuenta para llegar a conclusiones sobre este aspecto.

Repitiendo los clculos para otros valores de I ' c ms pequeos, y teniendo en cuenta ya que valoresinferiores a 0.001 el acero no fluye, se obtienen resultados que se incluyen en la siguiente Tabla.

Tabla Ejemplo 2.5 Cuando el acero no fluye

I ' c 0,001 0,0005 0,0001I ' c / I co 0,5 0,25 0,05E1 0,595 0,336 0,073 F1 0,700 0,682 0,670c (cm) 21,40 20,66 20,16W s (kN/cm 2 ) 26,73 14,20 2,96

z (cm) 42,51 42,95 43,25 M (kN.m) 227,3 122,0 25,6J x 10 4 (rad/cm) 0,46 0,24 0,05

Durante el desarrollo de este ejemplo se habr observado que no se tuvo en cuenta la contribucin delhormign situado en la zona en traccin. Es cierto que por debajo de la lnea neutra, definida por la

profundidad c toda esa altura de la seccin se haya en traccin, pero en la regin ms prxima a estaprofundidad la deformacin puede ser tan pequea que el hormign no llegue a fisurarse, y como tal pudierahaberse considerado su contribucin en el equilibrio de la seccin, lo que pudiera resolverse de la siguientemanera:

I c=0.0001

N

c

N c

N s

I c

x

c

f c=E c . I c f c=1000(f c ) . I c

f c=0.1f

c

F ig. 2.22Estado deformacional y de fuerzas en la seccin.


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Compatibilidad de las deformaciones:

c0.0001 x x0001.0

c ' c

' c !!

I I

Ecuaciones de Equilibrio:

!! 0 N N N 0 F sc' c

0 Ab x f 1.021bc f s s' c1' c1 !W FE

0 Abc0.0001 f 1.021bc f s s'

c

' c1

' c1 !

W

I FE

!! x32

cd N c21

d N M 0 M c1' c F

! x

32cd b x f 1.0

21c

21

d bc f M ' c11' c1 F FE

En la prxima Figura se grafican los resultados obtenidos durante el desarrollo de este ejemplo, que no tuvoen cuenta la contribucin del hormign situado en la zona en traccin, aunque se incluye en trazodiscontinuo el grfico que se obtendra de haberse considerado tal contribucin.

Conclusiones derivadas del comportamiento de la seccin analizada.

a) Para cargas relativamente pequeas, antes de que el acero fluya, la curva de comportamiento tiene unarespuesta aproximadamente lineal. Si se hubiese considerado la contribucin del hormign a traccin, larespuesta seguira siendo lineal, slo que en dos etapas con diferentes pendientes.

b) Puede notarse que prcticamente el brazo del par de fuerzas (z ) permanece casi constante para todo el

rango de cargas. Esto justifica que algunos autores propongan frmulas simplificadas en queconsideran z = k 1 .h , siendo k 1 un valor constante.

c) El incremento de momento antes de que el acero fluya se debe fundamentalmente al incremento de lasfuerzas N ' c = N s ya que M = N ' c . z = N s . z donde z permanece casi constante.

d) Despus que el acero fluye, puede aceptarse que el incremento de momento es muy pequeo de modoque en forma aproximada la capacidad ltima de la seccin M u es el correspondiente a unadeformacin I '

ccomprendida entre 0,002 y 0,0035 sin que sea muy apreciable la diferencia entre estos

valores de momento. Esto justifica que algunas normas aceptan como deformacin mxima delhormign el valor de 0,003 (ACI) y otros el valor de 0,0035 (EC).

e) La seccin analizada, despus que el acero fluye, sufre grandes deformaciones, esto permite que seaprecie la inminencia del fallo. Cuando esto ocurre se dice que la seccin tiene un fallo tipo dctil. Enotras secciones donde la cantidad de refuerzo es muy elevada, el fallo ocurre antes de que el acerofluya. En este caso el fallo es de forma frgil o brusca, indeseable para el diseo. Las normas noadmiten diseo con fallo tipo frgil.


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f ) La altura F1 .c de la zona comprimida tiene una variacin pequea, primero crece y despus decrecepara volver a incrementarse. Un aspecto interesante es que el valor de c es menor que la mitad delperalto d, o sea que la zona traccionada es siempre mucho mayor que la zona comprimida. En otraspalabras, la zona efectiva de trabajo en un elemento en flexin es muy pequea por lo que utilizar calidades muy altas del hormign no es lo ms econmico debido a que no es utilizado eficientemente.

La curva completa representa el comportamiento o respuesta del elemento a la accin de las cargas desdevalores muy pequeos, hasta la carga que produce la rotura o fallo del elemento.

1.10 2 .10

rad/cm

-4-4

100

200

kN .m

f l cia d l ac ro

CB

A

t

i

do

c

ta

la

traccio

J

I ' b = 0 .0001

I ' b = 0 .0005

I ' b = 0 .001

I 'b= 0 . 0015

I 'b= 0 . 002

I 'b= 0 . 0025

I 'b= 0 . 003

I 'b= 0 . 0035

I 'b= 0 . 004

F ig. 2.23 Curva de comportamiento de una seccin de hormign armado sometida a F lexin.( Ejemplo 2.5)

I b = I c


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2.6.2 Elemento de Hormign Pretensado (H oPo)sometido a Flexin. (Ejemplo 2.6)

Sea la seccin de hormign pretensado que se muestra en la siguiente Figura, sometida a flexin concargas de corta duracin. Se ha tesado el acero pretensado con una tensin previa de f po = 900 MPa .

De la misma forma que en el Ejemplo 2.5 se fijarn las deformaciones en la fibra superior del hormign, seobtendr c de la condicin de equilibrio de fuerzas y M de la condicin de equilibrio de momentos.

Para facilitar los clculos se considerarn los mismos valores de I ' c del ejemplo anterior de modo que losvalores de E1 y F1 son iguales a los obtenidos anteriormente.

( I po I p y= 0.0075

f p y

f po f c

I co=

0.002

E p= 2.105 MPa

F ig. 2.24 Seccin de hormign pretensado sometida a flexin (Ejemplo 2.6 ).

N

c

N p

I cp

I c

c

A p= 4 cm2

E1 .f c

F1 .c

F ig. 2.25 Estado deformacional y de fuerzas en la seccin.

( I po

I p


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a) 1ra Iteracin: F ijando en la fibra superior I ' c = 0,004

2002.0004.0

co

' c !!

I I

De la Tabla presentada en el Tema 1 para este tipo de diagrama del hormign (parablico ), se obtienepara 2co' c !I I : E1 = 0,667; F1 = 1,000

Hiptesis: Supngase que el acero fluye: ( I s I sy)

kN 600cm / kN 150cm4 f A N 22 s y s s !!! Por otro lado:

? A ? A c03.60cm30c00.1cm / kN 3667 .0bc f N 21' c1' c !!! FE kN 60060.03c 0 !!@

cm10cm99.9c }!

Verificacin de la Hiptesis: Es necesario comprobar la suposicin de que el acero est fluyendo.Para ello se utilizar la ecuacin de compatibilidad de deformaciones que relaciona ladeformacin en la fibra superior del hormign, con la deformacin a nivel del acero (quepor compatibilidad coincidir con la del propio acero).

016 .0004.010

1050c

cd ' ccp !!! I I

Pero 2 p po p I I (I !

Tratndose de un caso d pretensado adherente, la compatibilidad de deformaciones a nivel de seccinpermite asegurar que:

016 .0cp2 p !! I I

0045.0MPa10.2

MPa900 E

f 5 p

po po !!!I (

0075.0 MPa10.2 MPa1500

E f

5 p

p y p y !!!I

flu yerea l m enteacero E l 0.00750205.0016 .00045.0 s y p "!" I I

Luego la suposicin es correcta y el acero est fluyendo.


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El ngulo de giro de la seccin ser:

Aplicando momentos con relacin al punto de aplicacin de la fuerza N ' c se tiene:

M = 270 kN.m

Repitiendo los clculos para otros valores de I ' c menores que 0,004 se puede elaborar la Tabla que semuestra a continuacin:

Tabla Cuando el acero fluye (Ejemplo 2.6).

I ' c 0,004 0,0035 0,003 0,0025 0,002 0,0015 0,001I ' c / I co 2 1,75 1,5 1,25 1,00 0,75 0,5

E1 0,667 0,810 0,900 0,928 0,888 0,779 0,595 F1 1,000 0,900 0,833 0,786 0,750 0,722 0,700c (cm) 10,000 9,145 8,892 9,140 10,010 11,853 16,006I cp=I p2 0,0160 0,0156 0,0139 0,0112 0,0079 0,0048 0,0021I p 0,0205 0,0201 0,0184 0,0157 0,0124 0,0093 0,0066


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s s1' c1 bc f 0 F W FE !!@

! ' c42121 c

c5010290cm4cm30ccm / kN 3 I FE (en k N /cm2)

! ' c121 c

c50800003600cm30ccm / kN 3 I FE

Siendo, como ya se sabe:

Entonces:

00000004c360000080c90 ' c' c211 !@ I I FE Suponiendo de nuevo que la deformacin en la fibra superior de la seccin de hormign es igual a I ' c =0,001 , para ella se tendr:

595.01 !E y 700.01 ! F

04000c3520c37.485 2 !@

c = 14.7 cm

La segunda solucin carece de sentido fsico.

Es posible obtener la tensin del acero sustituyendo para c = 21.40 cm en la ecuacin de Ws

!

! 001.0

7 .147 .14500045.0102

cc500045.0102 4' c4 s I W

MPa1380cm / kN 1382

s !!W

Como W s =1 380MPa < f sy = 1 500 MPa , efectivamente el acero est en el rango elstico.

El brazo z del par ser igual a:

cm86 .447 .14700.02150c

21

d z 1 !!! F

co

c

co

c

126

4

I I

I I

F !

14

3116

c

co

2

co

c

1

!I I

I I

E


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Luego, el momento flector se obtiene de:

? A cm.kN 24763cm86 .44cm / kN 138cm4 z A z N M 22 s s s !!!! W

M= 247.6 MPa

Y el ngulo de giro de la seccin ser:

cm / r ad 1068.0000068.0cm7 .14

001.0c

4' c !!!! I J

Ntese que en este caso tambin ( HoPo) se ha despreciado totalmente la posible contribucin del hormigna traccin.

Repitiendo los clculos para valores menores de I ' c se obtiene la siguiente Tabla: .

Tabla Cuando el acero no fluye (Ejemplo 2.6).

I ' c 0,001 0,0005I ' c / I co 0,5 0,25E1 0,595 0,336 F1 0,700 0,682c (cm) 14,72 20,295

N c (kN) 551,74 418,55

W p (kN) 137,93 104,64

N p (kN) 551,74 418,55 z (cm) 44,85 43,08J x 10

- 4 (rad/cm) 0,68. 0,246. M (kN.m) 247,4 180,3


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c) 3ra Iteracin: Anlisis de la singular situacin en que J = 0.

Para los elementos pretensados cuando la curvatura o ngulo de giro es nulo ( J = 0 ), a diferencia de loselementos de hormign armado, el momento flector es desigual a cero ( M { 0) ocurriendodeformaciones de compresin uniforme en toda la alturas de la seccin.

Ecuacin de equilibrio

F = 0

N ' c = N p

donde

N ' c = W ' c.h.b = W ' c.(60cm).(30cm)= 1800.W ' c

N p =

p.W p = (4cm2 ).W p

Ecuacin fsica o Constitutivas de los materiales

Hormign

Para cargas de corta duracin es:

W ' c = 1000f' c.[ I ' c - 250( I ' c )2 ]

Acero

Para deformaciones menores que la de fluencia, que son las que tienen lugar en esta situacin, el

acero estar trabajando en el rango elstico, entonces:W p = E p.I p = 2.104.I p (en k N /cm2 )

W p = 2.104( I cp + ( I p) = 2.104( I ba + 0,0045)

Ecuacin de Compatibilidad de las deformaciones

Como se trata de un acortamiento en el hormign, se verifica que:

I cp = -I ' c

F ig. 2.26 Caso en que el ngulo de giro es nulo.

I cp I p

N c

N p

I c


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Y resolviendo el sistema conformado por los tres juegos de ecuaciones, se obtiene la solucin delproblema, a saber:

W p = 2.104(-I ' c + 0.0045)

sustituyendo en la ecuacin de equilibrio se tiene:

(1800cm2 ).1000.(3k N /cm2 ) [ I ' c - 250( I ' c )2 ] = ( 4cm2 )[.2.104k N /cm2 )(-I ' c + 0,0045)]

La solucin de esta ecuacin cuadrtica conduce a dos resultados:

I ' c = 0,00399

I ' c = 0,000067

El primero de estos resultados no debe considerarse pues resulta demasiado grande para el estado decarga que se analiza (ntese que se haya alrededor de la deformacin mxima de 0.004 ), entonces elsegundo de ellos ser el resultado del instante que se analiza.

Sustituyendo en las ecuaciones de fuerzas se comprueba que:

N ' c = (1800cm2 ).1000.(3k N /cm2 ) [(0.000067) - 250(0.000067)2 ]= 354.6 kN

O tambin:

N p = ( 4cm2 )[.2.104k N /cm2 )(-0.000067 + 0,0045)]= 354.6 kN

Si se deseara conocer la tensin en la fibra ms comprimida del hormign se obtiene.

W ' c = 1000.(3k N /cm2 ) [(0.000067) - 250(0.000067)2 ]= 0,20 k N /cm2 = 20 Kg/cm2= 2 MPa

El ngulo de giro ser:

0000067 .0

c

'

c !!! EI

J

y el momento flector:

M = N p( d -ht /2)= 354,6(50 - 60/2)= 7092,0 k N .cm

M = 70,9 kN.m

Para valores de momento inferiores a 70,9 kN.m la curvatura se invierte y comienzan a aumentar lascompresiones en la fibra inferior.


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d) 4ta Iteracin: Anlisis de la situacin en que las compresiones se originan en la fibra inferior, es decir,cuando predomina el efecto del pretensado sobre la carga exterior, propio del instante enque se transfiere la fuerza de pretensado (se trata de la mayor fuerza pues slo han tenidolugar las prdidas iniciales), y la menor carga exterior.

Se supondr ahora que comienza a incrementarse el acortamiento del hormign en la fibra inferior.

Fijando I ' c = 0,0005 como se indica en la siguiente Figura.

Ecuacin de equilibrio F = 0

N ' c = N p

donde

N ' c =

c. W c

N p =

p.W p = (4cm2 ).W p

Ecuacin fsica o Constitutivas de los materiales

Hormign

Recurriendo al diagrama rectangular equivalente:

W ' c = ( E1.f' c ).( F1.c1 ) = ( E1. F1 ).(3k N /cm2 ).c1 = 3. E1. F1. c1 (en k N /cm2 )

z

( I pi

c1 F1. c1

E1.f 1I cp I pi

N c

N p

p= 4 cm2

M

F ig. 2.27 Incremento de las compresiones en el borde inferior (Ejemplo 2.6).

I c


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Acero

Como Wp esta en el rango elstico puesto que va perdiendo tensin, se tiene:

W p = E p.I p = 2.104.I p (en k N /cm2 )

W p = 2.104

( I cp + ( I p) = 2.104

( I ba + 0,0045)Ecuacin de Compatibilidad de las deformaciones

De la ecuacin de compatibilidad de deformaciones se deduce que:

' c

1

1cp

1

' c

1

cpc

10c c10c

I I I I

!!

Como cp p p I I (I !

' c

1

1 p c

10c0045.0 I I !

luego:

Sustituyendo en la ecuacin de equilibrio se tiene:

! ' c

1

142111 c

10c0045.010.2cm4c90 I FE

Para I ' c = 0,0005 p E1 = 0,336 F1 = 0,682

sustituyendo queda:

! ' c

1

1421 c

10c0045.010.2cm4c682.0336 .090 I

0800000c36080000c62.20 ' c1' c21 !I I Y sustituyendo I ' c = 0,0005

0400c320c62.20 121 !

La solucin de esta ecuacin ofrece los siguientes resultados: c1=16.68 cm y c1=- 1.16 cm . La ltima nocarece de sentido fsico.

Para el valor de c1=16.68 cm se obtiene:

k N 344cm68.16 682.0336 .0cm / k N 90 N ' c !!

kN 3440005.068.16 1068.16 0045.010.2cm4 N 42 p !

!


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El ngulo de giro ser:

cm / r ad 00003.0cm68.16

0005.0c

' c !!! I J

y el momento flector:

!! 10c

21 N z N M 11 p p F

m.kN 8.14cm.kN 5.1483cm10cm60.16 682.021kN 344M !!

!

Graficando los resultados se obtiene la curva de comportamiento de la seccin de hormign analizada,que se ilustra en la siguiente figura.

Es importante sealar que en este ejemplo de seccin de hormign pretensado, como se recordar, no seha tenido en cuenta la capacidad resistente del hormign a traccin. En este caso dicha capacidadresistente tiene una influencia decisiva en la etapa de trabajo bajo cargas de utilizacin, por eso en la propiafigura se ha dibujado en lneas de trazo la curva de comportamiento que resulta cuando se tiene en cuentala resistencia a traccin.

F ig. 28 Curva de comportamiento de la seccin de hormign pretensado.( Ejemplo 2.6)


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Un anlisis de la curva de comportamiento de un elemento de hormign pretensado trabajando a flexin concuanta de refuerzo pequea, permite arribar a las siguientes conclusiones:

a) Despus que el acero fluye la capacidad resistente de la seccin tiene pequeas variaciones en unrango amplio de valores de I ' c comprendida entre 0,0015 y 0,004, tal como ocurri en las secciones dehormign armado.

b) En la etapa de agotamiento la variacin del brazo del par se mantiene prcticamente invariable comopuede verse en la Tabla que acompaa a este ejemplo. Para cargas menores, an cuando no haquedado explcito en los clculos, la variacin del brazo del par puede disminuir hasta llegar a ser nulo,cuando el momento es nulo, ( z = 0 .)

c) Al igual que en el caso de la seccin de hormign armado, cuando el acero fluye la seccin sufregrandes deformaciones y avisa de la inminencia del fallo, o sea, ocurre un fallo de tipo dctil. Unaumento de la cantidad de refuerzo puede dar lugar a un fallo frgil.

d) La curva M vs J tiende a ser formada por tramos con cierta curvatura cuando no se tiene en cuenta lacapacidad resistente del hormign a traccin, mientras que cuando se considera sta, la curva quedadefinida por un comportamiento lineal antes de la fisuracin.

e) Puede apreciarse que en el rango de cargas estudiado la seccin ha estado trabajando desdeparcialmente comprimida con acortamiento mximos en la fibra superior, a parcialmente comprimida enla parte inferior con acortamientos mximos en la fibra inferior. En un estado de cargas especfico puedeestar uniformemente comprimida ( J = 0 ). Se deduce que todo el hormign trabaja, por lo que puedenutilizarse hormigones de alta calidad.

2.6.3 Hiptesis derivadas del comportamiento a Flexin.

A partir del estudio del comportamiento de secciones de hormign armado y pretensado, unido al resultadode ensayos de laboratorio de elementos sometidos a flexin, se pueden derivar las hiptesis para el clculode esto elementos. Entre las ms importantes se tiene:

1) Se toma como deformacin mxima del hormign a flexinI ' cmax = 0,003 Algunos Reglamentosconsideran 0.0035, especialmente los europeos. Este valor define la capacidad mxima Mu de la

seccin.2) La seccin plana se mantiene plana, o sea se admite una variacin lineal de las deformaciones en

la seccin.

3) La capacidad mxima del elemento a flexin depende de las calidades de los materialescomponentes, pero sin que los efectos sean acumulables como ocurre en los elementoscomprimidos.

4) El efecto de la fluencia, por efecto de las cargas mantenidas, se manifiesta por una disminucin dela capacidad resistente ltima de la seccin.

5) En los elementos de hormign pretensado el momento de fisuracin es grande en comparacin conla capacidad ultima de la seccin, es por ello que puede aceptarse un comportamiento lineal para el

rango de trabajo en la etapa de utilizacin, es decir, podrn aplicarse las frmulas de la Resistenciade Materiales para el clculo de tensiones en la seccin bajo las cargas de utilizacin.


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2.7 Anlisis de estabilidad y pandeo. Efecto de la esbeltez

2.7.1 Generalidades.

El panorama presente para llevar a cabo el diseo estructural se caracteriza por el conocimiento crecientede las propiedades de los materiales constructivos, la utilizacin de tecnologas cada vez ms cualificadas,

la aparicin de mtodos de clculo que reflejan mejor el comportamiento real de la estructura y la utilizacinde procesos informatizados y sistemas profesionales de gran arraigo en las Oficinas de proyecto, quepermiten resolver esquemas estructurales prcticamente inabordables, o de muy engorroso anlisis haceunas tres o cuatro dcadas.

Todo ello ha provocado que, para unas mismas cargas y procurando una mayor economa en las obras, sehayan ido reduciendo paulatinamente las dimensiones de los elementos estructurales.Como consecuencia se producen mayores riesgos por vibracin, aumenta el costo de mantenimiento (larelacin permetro/ seccin disminuye) y el problema de carbonatacin se convierte en uno de los temas aconsiderar, a lo que habra que sumar los mayores problemas que se presentan en estas estructuras por sudeformabilidad al aumentar las esbelteces de los elementos estructurales y crecer tambin las cargas quedeben soportar, conduciendo, evidentemente, a mayores efectos de segundo orden. En el caso deelementos sujetos a compresin, este proceso provoca un mayor peligro de pandeo.

2.7.2 Breve referencia histrica del estudio de la estabilidad.

a) Los estudios realizados por Euler (1744).

Hiptesis de la columna de Euler:

Columna doblemente articulada por sus extremos de directriz completamente recta. Esta condicinimplica que, tericamente, la longitud real de la pieza coincide con la longitud de prdida deestabilidad llamada tambin longitud efectiva, es decir, el l ! .De seccin constante.Material homogneo y linealmente elstico que cumple la ley de Hooke ( I W ! E ).Carga aplicada en el eje del pilar (compresin centrada ), hiptesis poco lgica en estructuras dehormign (las normas fijan valores de excentricidad mnima de al menos 2cm o h/20).

Si la directriz de la pieza se separa de su trazado rectilneo original, a partir de la ecuacin general querelaciona momento y curvatura, se cumple:

y EI

N

EI M 1c crit !!!

V

De los cursos elementales de matemtica se sabe que la curvatura de una lnea viene dada por:

F ig. 2.29 Ilustracin de la columna de Euler.

l = l e

ymax

y

x N crit N crit


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232'

' '

y1

yc

s!

Aplicndose la hiptesis de las pequeas deformaciones ( 0d xdy y' !! ), y en consecuencia

y E I

N d x

yd crit 2

2!

Si se hace:

E I N

k crit 2 !

Se comprueba que:

0 yk d x

yd 22

2!

La solucin general de esta ecuacin diferencial de 2do orden (posee entonces dos constantes deintegracin), es de la forma:

B senkxkxcos y !

Para determinar las constantes de integracin se imponen las siguientes condiciones de borde:

Para x = 0 : y = 0 (esto conduce a la condicin A = 0) Para x = l : y = 0

De esta ltima condicin se llega a:

0kl Bsen !

Como B no puede ser cero (puesto que A ya lo es ), se debe cumplir que:

l

nk nkl 0kl sen T T !!!

Entonces:

22

2

crit nl E I N T !

Esta ltima conclusin permite afirmar que existen infinitos valores para la carga crtica (tantos

comport a mien to de secciones de he

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