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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.

Galileo Galilei

TRIGONOMETRIA GRADO DECIMO

2012

MATEMATICAS – Trigonometría 10 2

PGF03-R03

PRESENTACION

Este módulo conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió y desarrollo la primera edición de esta obra, en él se cubren los conceptos básicos, definiciones, ejercicios, gráficas y métodos matemáticos en forma clara y concisa, las explicaciones se han reducido al mínimo a favor de la exposición de ejemplos concretos, pretendiendo el desarrollo de una clase activa, lo cual ayuda muchísimo en el análisis de situaciones propuestas. El objetivo de este módulo es ofrecer al estudiante un conocimiento que le permita disfrutar leer y aprender los conceptos de las matemáticas, para ello se emplean oraciones reducidas, explicaciones claras y ejemplos resueltos. Así mismo a lo largo de todo el texto se ofrecen aplicaciones prácticas que facilitan la comprensión de los conceptos expuestos. Las matemáticas en su esencia han sido estudiadas y desarrolladas por hombres que a lo largo de la historia dejan un legado de escuelas constructoras de esta ciencia: Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. René Descartes utilizó las ciencias y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico Sin duda Newton es el autor del primer paso de la carrera espacial. Las Leyes descubiertas por él son las que han permitido al hombre poner un pie en la Luna o enviar naves a Marte y Venus, explorar los planetas exteriores: Júpiter, Saturno, Neptuno y Urano. Su modelo de telescopio ha permitido ver más lejos en cielo. Sin duda los astrónomos le deben mucho a Newton. Pero los matemáticos y de paso el resto de los científicos le deben tanto o más. Él junto a Leibniz, aunque sería mejor decir al mismo tiempo que Leibniz, son los descubridores de la más potente y maravillosa herramienta matemática: el Cálculo. A principios del siglo XIX, un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Hoy junto a Weber comparten por igual la gloria de ser los padres de las dos herramientas más potentes del universo matemático: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El instrumento ideal para entender y explicar el funcionamiento del mundo real, desde las cosas más próximas hasta el rincón más alejado del universo.

Comité Área de Matemáticas


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Contenido UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 5

RAZONES TRIGONOMETRICAS ............................................................................................ 5

ÁNGULOS ............................................................................................................................. 8

ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS ........................................................... 10

MEDIDA DE ÁNGULOS ...................................................................................................... 10

Equivalencia entre los sistemas sexagesimales y cíclicos .................................................. 11

LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS ......................................................................... 15

VALOR DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS ...................................................... 19

PARA ANGULOS DE 60º, 30º Y 45º ................................................................................... 19

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ........................... 23

RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS ....................................................... 32

UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 33

TEOREMAS Y PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA .................. 33

TEOREMA DEL SENO ....................................................................................................... 34

TEOREMA DEL COSENO .................................................................................................. 36

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................... 41

ANÁLlSIS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ................... 41

LA FUNCIÓN SENO ........................................................................................................... 42

LA FUNCIÓN COSENO ...................................................................................................... 43

LA FUNCIÓN TANGENTE .................................................................................................. 45

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................... 49

FUNCIONES CIRCULARES RECÍPROCAS ...................................................................... 49

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO ....................................................................................................... 52

UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 55

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS........................................................ 55

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 56

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES ............................................... 57

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS ....... 64


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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE ........................................... 65

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MEDIO .......................................... 65

IDENTIDADES DE SUMAS EN PRODUCTOS ................................................................... 66

IDENTIDADES DE PRODUCTOS EN SUMAS .................................................................. 67

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ................................................................................ 70

UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 75

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMETRICOS ................................................. 75

GEOMETRÍA ANALITICA ................................................................................................... 76

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ................................................................................... 78

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DADO ................................. 79

ECUACION GENERAL DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES .............................. 79

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES ................................................. 81

CURVA ................................................................................................................................ 84

CONICAS ............................................................................................................................ 84

LA CIRCUNFERENCIA ....................................................................................................... 86

LA PARABOLA ................................................................................................................... 89

ELEMENTOS DE LA PARABOLA....................................................................................... 90

LA ELIPSE .......................................................................................................................... 98

LA HIPERBOLA ................................................................................................................ 105

BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................... 110


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UNIDAD 1 RAZONES TRIGONOMETRICAS

UNIDAD 1 R AZON ES TRIGON OMETR IC AS

PROPOSITOS

Calcular el valor de todas las relaciones trigonométricas de un ángulo en posición normal, medida en grados y medida en radianes.

Determinar las definiciones de las relaciones trigonométricas, los signos, las demostraciones y deducir los valores de ángulos especiales.

Solucionar triángulos rectángulos, empleando las relaciones trigonométricas.

Resolver problemas cuya solución requiera aplicar las relaciones trigonométricas.


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LECTURA AFECTIVA

LA TRIGONOMETRÍA RENACENTISTA

El matemático que retomó la trigonometría en Europa es Johann Muller (1436 -1476) más conocido como Regiomontano, quien fundamentalmente se preocupó por traducir al latín las grandes obras de los griegos. Regiomontano escribió el libro «De triangulis, en el cual siguió los pasos de Nasir Eddin y sistematizó todos los conocimientos de la trigonometría como ciencia independiente de la astronomía. Sus manuscritos eran conocidos en el círculo donde se desempeñaba como instructor en la ciudad de Nuremberg, que se convertiría en un importante centro del saber, de la" artes: v de la invención; además de ser el centro de la impresión de libros. En esta ciudad se publicaron algunos de los más grandes clásicos científicos que iniciaron el Renacimiento. Durante la época que vivió Regiomontano, Polonia atravesó una verdadera edad de oro cultural y la universidad de Cracovia en la que se matriculó Copérnico gozaba de gran prestigio en matemáticas y astronomía. En el famoso libro que cambió toda la concepción sobre el universo " De las revoluciones y las órbitas celestes", se encuentran importantes secciones de trigonometría que Copérnico desarrolló con amplio dominio de la materia. A finales del siglo XVI se desarrolló un entusiasmo considerable por la trigonometría, el cual se materializó básicamente en la publicación de síntesis y libros de texto. Durante este período se le dio por primera vez el nombre de trigonometría a esta rama del saber.

LA TRIGONOMETRÍA EN LA REVOLUCIÓN CIENTÍFICA Los momentos estelares de la humanidad se presentan durante las grandes crisis, cuando la aritmética, la geometría y el álgebra no pueden responder a los requerimientos del desarrollo de la ciencia; una gran cantidad de nuevas ramas de las matemáticas surgen para dar respuestas a los interrogantes que la época requiere. La geometría analítica. El cálculo, los logaritmos. Y el estudio en general del movimiento produce lo que se llama la gran revolución científica. En ella, la trigonometría es la principal aliada de los científicos que con largas y precisas observaciones del movimiento de los planetas pueden fundamentar, con Newton a la cabeza, una nueva concepción del universo regido por leyes mecánicas de una asombrosa precisión.


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1. Señala en el texto las palabras desconocidas y busca su significado de acuerdo al contexto.

2. Uno de los periodos más importantes de la historia de la humanidad es el

renacimiento. En aquellos años, la cultura, en todas sus manifestaciones, florece. Nombre en cuanto al progreso de las ciencias y las matemáticas que nuevas ramas del saber nacen y se desarrollan.

3. De acuerdo con la lectura comenta en forma breve la idea que tienes sobre el objeto

de estudio de la trigonometría.


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ÁNGULOS

Un Ángulo es la unión de dos semirrectas o rayos con un origen común. Las dos semirrectas se llaman lados del ángulo y el origen se denomina vértice.

En la siguiente figura el ángulo indicado se origina por la rotación de la semirrecta AB hasta la posición de la semirrecta AC.

C B A

Los ángulos los denotaremos con las letras α(alfa), β(beta), Y(gama),δ(delta),

ø(theta), ω(omega), µ(mu.), ρ(Ro), € (epsilon).

ANGULO GENERADO Los ángulos los podemos generar considerando primero las dos semirrectas en la posición inicial L2 y rotando sobre el vértice o la semirrecta L1 hasta llevarla a la posición terminal; la semirrecta L2 se llama lado inicial del ángulo a y la L1 lado terminal.

L1 lado terminal

0 a

L2 lado inicial

ANGULO EN POSICION NORMAL

Si el vértice de un ángulo lo colocamos en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y su lado inicial es el semieje positivo de equis (x), decimos que el ángulo esta en posición normal respecto del sistema de coordenadas.


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De acuerdo con el cuadrante en que esta colocado el lado terminal del ángulo, lo clasifican como ángulos del primer, segundo, tercero y cuarto cuadrante.

I

Angulo del cuarto cuadrante

Angulo del primer cuadrante

Angulo del tercer cuadrante Angulo del segundo cuadrante

I II

III IV

I

II

III

I

IV


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ÁNGULOS POSITIVOS Y ÁNGULOS NEGATIVOS Si la trayectoria que se sigue para generar un ángulo, partiendo desde el lado inicial hasta el terminal, es en dirección contraria al moviendo de las manecillas del reloj, entonces el ángulo tiene sentido positivo, si es en la misma dirección del movimiento de las manecillas del reloj, el sentido es negativo.

MEDIDA DE ÁNGULOS Para medir ángulos, vamos a utilizar dos sistemas diferentes: el sistema sexagesimal y el sistema cíclico.

Sistema Sexagesimal si generamos un ángulo de tal forma que el lado terminal después

de dar vuelta coincida con el lado inicial, tenemos un ángulo giro o de una vuelta completa. De esta forma definimos un grado como una trescientos – sesentava parte del ángulo giro, es decir, un ángulo giro tiene trescientos sesenta grados. El grado lo simbolizamos con un pequeño cero escrito en la parte superior derecha de la cantidad (ejemplo: 30º, se lee, treinta grados). El grado tiene dos submúltiplos: el minuto y el segundo 1º = 60´ (se lee sesenta minutos) 1´= 1º / 60 (un minuto es la sesentava parte del grado) 1´= 60´´ (se lee sesenta segundos) 1´´= 1´/ 60 (un segundo es la sesentava parte del minuto). 0 Ángulo giro


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Sistema cíclico La unidad cíclica de medida es el radian.

Un radian es la amplitud que tiene un ángulo, que subtiende un arco con la misma longitud que el radio de la circunferencia. A B Si OA = AB = = 1 rad

MODELACIÓN Expresar 4206 “en grados, minutos y segundos. Se reduce segundos a minutos 4206” x 1´/ 60” = 4206´/60 = 70´ El residuo de la división nos da los segundos 6” Se reduce minutos a grados 70 x 1°/60´ = 70´/60 = 1° Y el residuo de la división nos da los minutos 10´ Luego = 4206” = 1° 10´ 6”

Equivalencia entre los sistemas sexagesimales y cíclicos Para hallar amplitud en radianes del ángulo giro, dividimos el arco que subtiende el radio de la circunferencia. Como el ángulo giro 0, subtiende un arco igual a la longitud de la circunferencia (L= 2 π r), entonces la amplitud del ángulo giro 0, es:

rad

r

r

rad2

20

Luego: rad2 = 360°

1rad 0


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MODELACIÓN 1 Expresar en radianes un ángulo de 30° Establecemos la proporción:

xrad

30

2

360

Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:

)30)(2(360 radx

Simplificamos y dividimos:

360

)30)(2( radx

6

radx

MODELACION 2

Expresar en grados un ángulo de 4

radx

Establecemos la proporción:

rad

x

rad

4

2

360

)2(

)4

)(360(

rad

rad

x

Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:

)4

)(360()2( radxrad

Despejemos x: )2(

)4

)(360(

rad

radx

Simplificamos y dividimos: x = 45°


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1. Escribe el equivalente en grados del

ángulo indicado en radianes. a. 3 π / 4 b. 5 π / 6 c. π / 6 d. 2 π / 3 e. 7 π / 9

2. Escriba el equivalente en radianes del

ángulo indicado:

a. 15° b. 75° c. 35° d. 285° e. 345°

3. Expresar en grados, minutos y segundos

a. 2407´ b. 346´ c. 3425´ d. 7236´ e. 4,28´

4. Busca en el diccionario el significado de la expresión “subtiende”.

5. Dibuja el ángulo dado en posición

normal y determina dos ángulos coterminales positivos y dos negativos

a. 120° b. 135° c. -30° d. 5 π / 6 e. - π / 4

6. Identifica el cuadrante al cual pertenece cada uno de los ángulos representados en las

graficas, determine si es positivo o negativo y nómbrelo.


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7. clasifica los ángulos siguientes según pertenezcan al primero, segundo, tercero y cuarto

cuadrante:

a. 285° b. -135° c. 210° d. -75° e. -330° f. 730° g. 8 π / 3 h. 20 π / 12


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SITUACIONES PROBLEMA

1. Determinar en radianes los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno de

los ángulos agudos mide ¾ de la medida del otro.

2. Determinar la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 2,5 radianes, si la longitud del radio del círculo es 10 km.

NOTA: la longitud de la circunferencia es: L = 2 π rad

Angulo ---- ǿ S ---- longitud del arco

r=Radio 3. Determine el ángulo control que corresponde a un arco de longitud 20 cm. y radio 8

cm.

4. Una compañía fabricante de uniformes elabora emblemas como el mostrado en la figura.

a. Determinar la longitud del realce, requerida para el acabado de

la orilla de cada emblema.

b. Determinar también la cantidad de tela necesaria para la manufactura de cada emblema.

9 cm

LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS

Consideremos un ángulo en posición normal respecto del sistema de coordenadas cartesianas y tracemos, con centro en el origen una circunferencia de radio r > 0, que corta al lado Terminal del ángulo en el punto ),( yxP . Definimos las siguientes relaciones

trigonométricas respecto al ángulo, así:

S 50ª


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Seno ( ) = radio

Ordenada entonces r

y)Sen(

Coseno ( ) = radio

Abcisa entonces r

x)Cos(

Tangente ( ) = Abcisa

Ordenada entonces 0,)Tan( x

x

y

Cotangente ( ) = Ordenada

Abcisa entonces

0,)Cotg( yy

x

Secante ( ) = Abcisa

radio entonces 0,)Sec( x

x

r

Cosecante ( ) =Ordenada

radio entonces

0,)Csc( yy

r

Cada punto de la circunferencia se identifica con un par de coordenadas ),( yx ; es x la

abscisa del punto y y es la ordenada.

),( yxP

r

y

x


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MODELACIÓN Hallar el valor de las relaciones trigonométricas de un ángulo, cuyo lado Terminal intersecta una circunferencia de radio r en el punto P: (-3,4). Aplicando el teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2, calculamos el radio: r2 = (-3)2 + 42 r2 = 9 + 16 r2 = 25 r = 5 Aplicamos las definiciones de las relaciones trigonométricas:

8.05

4)(Sen

6.05

3)(Cos

33.13

4)(Tan

25.14

5)(Csc

66.13

5)(Sec

75.04

3)(Cotg

Las relaciones trigonométricas para ángulos notables o cuadrantes como son 0º, 90º, 180º y 270º es:

RELACION ANGULO

SENO

COSENO

TANGENTE

COSECANTE

SECANTE

COTANGENTE

0º o 0 rad 0 1 0 No existe 1 No existe

90º o π /2 rad 1 0 No existe 1 No existe 0

180º o π rad 0 -1 0 No existe -1 No existe

270º o 3π/2 rad

-1 0 No existe -1 No existe 0


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1. Calcula el valor de las relaciones trigonométricas para cada uno de los siguientes

ángulos: a) P (-2,4)

P(3,1) P(-2,3)

P(-2,-4)

2. Hallar el valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo , cuyo lado terminal intercepta una circunferencia de radio r en el punto a) P (1,2); b) P(-3,2); c) P(-4,-2); d) P (1,7) e) P (5,-3); f) P(-3,-2).

3. Hallar el valor de las razones trigonométricas para los ángulos agudos y de los siguientes triángulos rectángulos.

Z R a) 5 cm b) H c) 12 cm 2 cm G X Y 6cm P 6 cm Q F 8cm 4. Dibuja y mide con el transportador ángulos en posición normal, que tiene la siguiente

relación trigonométrica dada:

tan = 3/4 , es ángulo del primer cuadrante

cotg = -2/5, es ángulo del segundo cuadrante

sen = 2/7 , es ángulo del segundo cuadrante

sec = -5, es ángulo del tercer cuadrante

cos = 1/3, es ángulo del cuarto cuadrante


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5. De acuerdo con la definición de las relaciones trigonométricas, completa el siguiente cuadro escribiendo + o -, según la relación sea positiva o negativa en el cuadrante dado.

RELACION CUADRANTE

SEN COS TAN SEC CSC COTG

I 0 π /2

II π /2 π

III π 3 π /2

IV 3π /2 2 π

VALOR DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE 60º, 30º Y 45º

El valor de las relaciones trigonométricas para estos ángulos lo podemos obtener, por medios geométricos, lo cual facilita sus cálculos, sin necesidad de usar tablas o calculadoras. Realizar las demostraciones trigonométricas para ángulos de 60º, 30º Y 45º a partir de su grafica y posteriormente completar el cuadro que resume los datos. Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 60º

P 60º A 0 – x – B - r / 2 -


PGF03-R03

Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 30º A 30º C 0 30º B Valor de las relaciones trigonométricas para un ángulo de 45º y 45º x

RELACION ANGULO

SENO

COSENO

TANGENTE

COSECANTE

SECANTE

COTANGENTE

Π / 6 o 30º

π / 4 o 45º

π / 3 o 60º


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MODELACIÓN 1 Hallar el valor numérico de la expresión sen2 45º = 1 – cos2 45º

Remplazar los valores de los ángulos de 45º ( )2 = 1-( )2

Se realizo las operaciones de potenciación y suma de fraccionarios

2/4 = 1 – 2/4

1/2 = 4 - 2 4 1/2 = 2/4 Se simplifica ½ = ½

MODELACIÓN 2 Hallar el valor numérico de la expresión: (tan 60º, sec 30º - 3/2, sen 45º, sec 45º, csc 60º) . (csc 30º + tan 60º)

( . – 3 . . . )(2 + ) = 3 2 2 3

(3.2 – 3.2.2. ) . ( 2 + )= 3 3.2.2

(2 - ) . ( 2 + ) = (2)2 – ( 2 4 – 3 = 1

1. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

a. 1 + tan2 30º = sec2 30º

b. 1 + tan2 60º = sec2 60º


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c. sen2 30º + cos2 30º = 1

d. cos 60º - sen 30º

tan 60º

e. (sen 30º. Cos 60º + cos 30º . sen 60º)2+(cos 30º. cos 60º - sen 30º. sen 60º)

f. 3 cos 45º - 4 tan 30º + sen 45º.

2. observando la tabla anterior encuentre relación entre las razones trigonométricas de

los ángulos de 30º, 45º y 60º.

SITUACIONES PROBLEMA

1. La mediana corta al lado en el punto medio como es un triángulo equilátero la bisectriz es a la vez mediana y altura, ¿cuál es la longitud del lado menor de cada uno de los Triángulos rectángulos que se forman? 2. Cómo medio lado mide 2cm ¿cómo puedes calcular la altura del triángulo equilátero? 3. Dibuja un triángulo equilátero de 4cm de lado. Traza la bisectriz de uno de los ángulos internos y contesta las siguientes preguntas:

a. ¿cuántos triángulos rectángulos se forman?

b. Cómo la bisectriz divide al ángulo en dos ángulos, congruentes, ¿cuál es la amplitud de cada ángulo?


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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO En un triángulo rectángulo el lado que se opone al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. NOTACION Y ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTANGULO

El ángulo C mide 90º

Los ángulos agudos A y B miden 90º A + B = 90º

Las letras minúsculas a,b,c para los lados de un triángulo

Las letras mayúsculas A,B,C para dos ángulos respectivamente opuestos a ellos

El lado AB es la hipotenusa

El lado BC es el lado opuesto al ángulo A

El lado CA es el lado adyacente al ángulo A B c a C A b

Las seis relaciones trigonometrías para el ángulo agudo se definen por:

Hipotenusa

OpuestoCatetoSen )(

c

aSen )(

Hipotenusa

AdyacenteCatetoCos )(

c

bCos )(

adyacenteCateto

OpuestoCatetoTan )(

b

aTan )(

OpuestoCateto

adyacenteCatetoCotg )(

a

bCotg )(

AdyacenteCateto

HipotenusaSec )(

b

cSec )(

OpuestoCateto

HipotenusaCsc )(

a

cCsc )(


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PROPIEDADES IMPORTANTES:

Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:

a) 1)()( 22 aCosaSen (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de

la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)

b) )(

)()(

aCos

aSenaTan (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)

c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.

Solucionar o resolver un triángulo es hallar la medida de los tres lados, los tres ángulos y el área. Para poder determinar estos valores, debemos conocer como mínimo tres de sus elementos siempre y cuando uno de ellos sea un lado. Como el objeto de estudio de esta sección son los triángulos rectángulos, ya queda determinado el ángulo recto y faltaría el conocimiento de otros dos elementos para poder solucionar el triángulo. Clasificaremos en dos, los casos para solucionar triángulos rectángulos.

i) cuando se conoce un lado y un ángulo agudo

ii) Cuando se conocen dos lados. CUANDO SE CONOCE UN LADO Y UN ÁNGULO AGUDO Dependiendo del lado que se conozca, si es la hipotenusa o un cateto podemos plantear tres situaciones diferentes:

a) se conoce un ángulo y el cateto opuesto

b) Se conoce un ángulo y el cateto adyacente

c) Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo

CUANDO SE CONOCEN DOS LADOS Cuando en un triángulo, los datos conocidos son las longitudes de dos de sus lados, existe la posibilidad que uno de ellos sea la hipotenusa o que los dos sean catetos.


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MODELACIÓN 1

Solucionar el triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 4 y 6 centímetros. Datos conocidos Datos desconocidos a = 4cm c =? Area =? b = 6cm A =? C = 90° B =?


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Para conocer el valor del ángulo A.

Utilizamos la relación b

aATan )(

Entonces tenemos

69.33

)66.0(

66.0)(

6

4)(

1

A

TanA

ATan

cm

cmATan

La medida del ángulo B, la Hallamos con A + B = 90°

30.56

69.3390

90

B

B

AB

La hipotenusa la podemos calcular Por cualquier relación trigonométrica

cmc

Sen

cmc

c

cmSen

c

aSen

21.7

69.33

4

469.33

69.33

Área del triángulo rectángulo 2

* alturabaseArea entonces

2

4*6 cmcmArea , 212cmArea

MODELACIÓN 2 Solucionar el triángulo rectángulo que tiene 10cm. de hipotenusa y uno de sus ángulos mide 26°

Datos: C = 90° c = 10 cm

A = 26°

Incognitos: a =? Area=? b =? B =?


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2877.19,2

969.8*436.4

63,2690

969.8,)26)(10(,,

436.4,)26)(10(,,

cmAreacmcm

Area

BB

cmbCoscmbcCosAbc

bCosA

cmaSencmacSenAac

aSenA

MODELACIÓN 3

Desde una montaña de 100 metros de alta se observa la ribera más cercana de un río, con un ángulo de depresión de 27° y la ribera más lejana, justamente de frente, se observa con un ángulo de depresión de 22°40’. Calcular el ancho del río. 27°14’

22°40’ 100 b a Tan 22° = 100 m a + b Tan 27° = 100 m b a + b = 100 m = 239,44 m tan 22° b = 100 m = 194,30 m tan 27° a = (a + b) – b a = 239,44 m – 194,30 m = 45,14 m


PGF03-R03

Solucionar los siguientes triángulos rectángulos, teniendo en cuenta los siguientes datos:

Angulo 62°, cateto opuesto 240 cm

Angulo 40°, cateto adyacente 30 cm

Angulo 62°, hipotenusa 4 cm

Cateto 6 cm, 8 cm

Cateto 8 cm, hipotenusa 12 cm a) b) 22 22 cm 13 H C 2.5 cm c) d) H 23. 3 cm 6.8 cm 5cm 47 cm e) 52 cm


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SITUACION PROBLEMA

1. Para alcanzar la cima de un muro se utiliza una escalera le 9,5 m. Si la escalera sobresale 0,85 m más allá del muro. Calcula la altura del muro.

2. Dos aviones parten de un mismo punto; el primero hacia el norte con velocidad de 468 km / h Y el segundo hacia el este con velocidad de 538 km / h. Después de dos horas, ¿a qué distancia se encuentra uno del otro?

3. Desde un avión que vuela a 1 860 m de altura se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 31 ° Y desde el mismo plano, en sentido opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53°. Calcula la distancia que separa a la embarcación de la costa.

4. Una antena de televisión está instalada en la terraza de un edificio. A254 m del pie del edificio se observa la parte superior del edificio con un ángulo de elevación de 20° y; la parte superior de la antena con un ángulo de elevación de 24°. Calcula la altura de la antena.


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5. Un cable de 28 m de longitud sostiene una antena de la parte superior. Si el cable forma un ángulo de 35° con la horizontal. Calcula la altura de la antena.

6. El servicio de bomberos posee una escalera de 40 m de longitud. El ángulo máximo que se puede emplear por seguridad de los bomberos es de 73 ° medido sobre la horizontal. Calcula la altura máxima que se puede atender con la escalera.

7. Una estatua de 8,9 m de altura se sitúa sobre un pedestal. Si desde un sitio a 48 m del pie del pedestal se observa el extremo superior de la estatua con un ángulo de elevación de 26 0, ¿cuál es la altura del pedestal?

8. El punto más alto de una colina se observa con un ángulo de elevación de 12° 45'. Al acercarse a la colina 213 m, el punto más alto se observa con un ángulo de elevación de 35°53'. ¿Cuál es la altura de la colina?


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EJERCITACIÓN

1. Teniendo en cuenta la perpendicular de C sobre AB es 23.3m, se podría comprobar que la distancia BC es e 22.5 m, mediante

A. El teorema del Seno B. El teorema de Pitágoras C. El teorema de Thales D. La primera ley de Newton

2. Un vigilante se encuentra en la ventana del faro de la figura a una altura de 32 m sobre el

nivel del océano. El ángulo de depresión del barco en la figura es de 27º. ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro?

A. 60.3 m B. 56.7 m C. 62.8 m D. 58.6 m

3. En la figura , el valor de AB es

A. BC Cos ø B. 3 Cos ø C. AB Sen ø D. 3 Tan ø


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RESOLUCION DE TRIÁNGULOS OBLICUANGULOS

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto; se debe conocer tres elementos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Hay cuatro casos distintos:

Caso 1: se Conoce un lado y dos ángulos (LAA o ALA) Caso 2: se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) Caso 3: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL) Caso 4: Cuando se conocen tres lados (L L L)

MODELACIÓN Resolver el triángulo ABC, tal que A = 28°, B= 100° y c = 12 cm Trazamos la altura respecto al lado b, que determina los segmentos m y n. Datos Incógnitas A = 28° C=? B = 100° a =? c = 12 cm b =? Área =?

52;)10028(180;)(180 CCBAC

219.422

100)12)(14.7(

2

154.46.10

4.4,)52)(17.7(,,

14.7,)52

63.5(,,

6.10,)28)(12(,,

6.10,)28)12(,,

cmASencmcm

AacSenB

A

cmbcmcmbnmb

cmnCoscmnaCosCna

nCosC

cmaSen

cmahSenCa

a

hSenC

cmmCoscmmcCosAmc

mCosA

cmhCoscmhcSenAhc

hSenA


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UNIDAD 2 TEOREMAS Y PROPIEDADES

FUNDAMENTALES DE LA TRIGONOMETRÍA

PROPOSITO

Analizar y graficar las relaciones trigonométricas como funciones.

Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades fundamentales.

Desarrollar ejercicios demostrando identidades y ecuaciones trigonométricas

Solucionar triángulos utilizando los teoremas trigonométricos.


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TEOREMA DEL SENO

Este teorema sirve para resolver cualquier triángulo cuando se conocen tres datos así:

Dos ángulos y cualquier lado

Dos lados y un ángulo ( excepto el formado por ellos) En cualquier triángulo, las medidas de los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. En símbolos.

ABC cualquiera SenC

c

SenB

b

SenA

a

MODELACIÓN Resolver el triángulo MNO, tal que N = 50°, O = 68° y M = 7cm N Datos Incógnitas N = 50° n =? O= 68° o =? m =? Área =? M O

Se aplico la ley de los Senos 6850

7

Sen

o

Sen

cm


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Se despeja la incógnita 68*750* SencmSeno

50

7*68

Sen

cmSeno

cmo 47.8 El ángulo N se obtiene por Suplementarios

180NMO

)6850(180 N

62N

Apliquemos nuevamente la ley 6250

7

Sen

n

Sen

cm

62*750* SencmSenn

50

7*62

Sen

cmSenn

cmn 06.8

Àrea de un triángulo

2

* SenMonA

214.26

2

50)47.8(*)06.8(

cmA

SenocmcmA


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TEOREMA DEL COSENO En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman. Este teorema permite calcular la medida de un lado cualquiera de cualquier triángulo, conociendo los otros dos lados y el ángulo formado por ellos, de la siguiente manera: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C También permite calcular la medida de cualquier ángulo interior del triángulo conocidas las medidas de los tres lados, así: Cos A = a2 + b2 - c2 2bc Cos B = a2 + c2 - b2 2ac Cos C = a2 + b2 - c2 2ab

MODELACIÓN Dado el triángulo ABC, donde se conocen A = 55º, b = 25 cm y c = 45 cm, resuelve el triángulo.

Datos Incógnitas


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A = 72° C = ? b= 8 cm B = ? c= 10cm a =? Área = ? Aplicamos la ley del coseno a2= b2 + c2 – 2bc cos A a2 = (10 cm) 2 +(8 cm)2 – 2 (10 cm) (8cm) cos 72º a2 = 114,55 cm a = 10,7 cm Se aplica la ley de los senos para hallar uno de los otros ángulos. Sen 72º = Sen C 10,7 cm 8 cm Se despeja la incógnita sen C . 10,7 cm = 8 cm . sen 72º Sen C = 8 cm . sen 72º 10,7 cm Sen C = 0.71º C = sen –1 . 0,71 C = 45,23º El otro ángulo se calcula Por suplementarios B = 180º - (72º + 45,23º) B = 62,77º Area del triángulo S = bc senA 2 S = (10 cm) (8 cm) sen 72º 2 S = 38,04 cm2


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Simulación 1. Dibuja varios triángulos que no pueden ser resueltos al aplicar el teorema del seno 2. Enuncia las condiciones que deben cumplir un triángulo para que pueda ser resuelto con

el teorema del seno.

3. Soluciona los triángulos ABC, descomponiéndolos en triángulos rectángulos, al trazar la

altura a uno de sus lados.

b = 18 cm a = 15 cm b = 9 cm c = 23 cm c = 9 cm B = 49º C= 104º A = 58º A = 56º 4. El siguiente triángulo no se puede solucionar explica el porque A = 97º C= 115º b = 12 cm 5. Utiliza la ley de los seno para resolver los siguientes triángulos: a b c

10 cm

6 cm 42cm

6. Soluciona los siguientes triángulos:

A a = 24º B a = 23 m C 4.5 cm b = 54º b = 43 m c = 12 m c = 53 m

20º


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1. Una antena de radio esta sujeta con cables de acero en la forma indicada. Hallemos la longitud de los cables (ley de los sen)

2. Dos barcos salen de un ismo puerto, y al mismo tiempo en rutas rectilíneas que forman entre si un ángulo de 52º. El primero navega con velocidad constante de 80km / h y el segundo a 60 km/h. Encuentre la distancia que separa a los barcos dos horas y media después de haber partido.

3. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación en direcciones tales que forman un ángulo de 30º. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determinar a que distancia se encuentran separados después de 2 horas de viaje.


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5. Un topógrafo necesita saber la medida del ancho de un lago parado en un punto C de la orilla localizada con sus instrumentos, dos puntos A y B en los lados opuestos del mismo. Si C esta a 5 km de A y a 7,5 km de B y el ángulo con el vértice en C mide 30º¿cuál es el ancho del lago?

6. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del norte; el primero a una velocidad de 240 km/h, y el segundo a 320 km/h. ¿A qué distancia se encuentran después de 2 horas de vuelo? 7. Dos fuerzas de 50 newtons y 60 newtons, se ejercen sobre un mismo punto; la primera actúa en una dirección cuyo ángulo respecto a la horizontal es de 20° y la otra en una dirección que forma con el mismo eje un ángulo de 80°. Halla la fuerza resultante y el ángulo que forma con la horizontal.

8. Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y que al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son 380 km/h y 420 km/h, respectivamente. 9. Sobre un barranco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 100 m de alta; desde el extremo superior de la torre se i observa un punto situado en la orilla opuesta con un ángulo de depresión de 34°20' y desde la base de la torre se observa el mismo punto con un ángulo de depresión de 15°45'. Calcula la altura del barranco y el ancho del río.


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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría es una ciencia antigua, ya conocida por las culturas orientales y mediterráneas precristianas. No obstante, la sistematización de sus principios y teoremas se produjo sólo a partir del siglo XVI, para incorporarse como una herramienta esencial en los desarrollos del análisis matemático moderno. Concepto de función trigonométrica

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas:

seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

ANÁLlSIS DE LAS GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La periodicidad en los fenómenos naturales

El desarrollo de las matemáticas en las diferentes épocas, ha sido fundamental para el progreso de la ciencia. Un caso particular que se presenta en los momentos de la gran Revolución Científica, es la noción de periodicidad. Nuestra experiencia diaria nos presenta muchos casos de repeticiones: los días, las fases de la luna, las estaciones del año, los cuerpos rotacionales que vuelven a sus posiciones híncales, los latidos del corazón, la respiración. Hallamos repeticiones en todas partes. Sin ellas el conocimiento sería imposible, ya que nada podría ser referido a una experiencia pasada. Además, sin una cierta regularidad en la repetición, la medición no podría desarrollarse. En nuestra experiencia, a medida que adquirimos la idea de exactitud, la repetición es fundamental.

En los siglos XVI y XVII, la teoría de la periodicidad pasó a ocupar un lugar fundamental en la ciencia. Kepler, descubrió una ley que relacionaba los radios de las órbitas planetarias con los períodos en los cuales los planetas describían sus órbitas respectivas. Galileo observó las oscilaciones periódicas del péndulo. Newton explicó el sonido como una perturbación en el aire motivada por el paso de ondas periódicas. Huyghens explicó los fenómenos luminosos con la hipótesis de que eran debidos a ondas vibratorias. Mersenne relacionó el período de vibración de la cuerda de un violín con su densidad, tensión y longitud. El nacimiento de la física moderna se basó en la aplicación de la idea abstracta de periodicidad a una gran variedad de ejemplos concretos. Pero esto hubiera sido imposible. Si los matemáticos no


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hubieran ya elaborado, en abstracto, las diversas ideas agrupadas en torno a la noción de periodicidad. La trigonometría paso del estudio de las relaciones entre los ángulos de un triángulo rectángulo al de las razones entre los catetos s y la hipotenusa del triángulo. Luego, bajo la influencia de las matemáticas descubiertas durante la Revolución Científica, se extendió al estudio de las funciones simples y periódicas que estas razones ejemplifican. Así la trigonometría se hizo completamente abstracta y de esta forma iluminó una serie de fenómenos físicos completamente distintos y suministró los instrumentos con los cuales se pudo analizar cada uno de los fenómenos en relación con los demás.

a. forma frases con dos palabras desconocidas. b. Busca en el diccionario el significado de los siguientes términos:

Periodo , frecuencia, ciclo, periocidad

LA FUNCIÓN SENO

Se denomina función seno, y se denota por f (x) = sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno

es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Relación seno como función:


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La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en

radianes.

Para el primer cuadrante observemos que a medida que el ángulo crece de O a /2 los valores del seno crecen de O a 1; por lo tanto, en este cuadrante la curva es "creciente y sus

valores son positivos. Además, el máximo valor se obtiene para / 2 .

Para el segundo cuadrante a medida que el ángulo crece de / 2 a , los Valores del seno varían de 1 a O ; por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son positivos.

Para el tercer cuadrante a medida que el ángulo crece entre y 3 / 2 los valores del seno varían de O a -1; por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son negativos.

Además, el mínimo valor se obtiene para 3 / 2.

En el cuarto cuadrante el ángulo crece de 3 / 2 a 2 y los valores del seno varían entre - 1 Y O; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son negativos.

La información anterior nos facilita el camino para definir una función de la siguiente manera:

F: IR ---- IR, tal que: f (x) = Sen x, esto quiere decir que a cada número real x le asignamos otro número real llamado sen x, de tal suerte que:

El conjunto de partida IR es igual al dominio de la función F. El condominio de la función es el conjunto de los reales. El rango o conjunto de imágenes es el intervalo (- 1,1); además, cada número real del dominio tiene imagen única en el condominio.

El periodo de la función seno es 2 Rad

LA FUNCIÓN COSENO

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función

es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Gráfica de la función coseno.


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Relación coseno como función

La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

Para el primer cuadrante A medida que el ángulo crece de 0 a /2, los valores del coseno decrecen de 1 a 0, por lo tanto, en este cuadrante la curva es decreciente y sus valores son positivos. Para el segundo cuadrante trasladamos la longitud del coseno de cada ángulo teniendo en cuenta que estas longitudes están situadas sobre la parte negativa del eje X y, por lo tanto,

sus valores son negativos. A medida que el ángulo crece de /2 a , los valores del coseno varían de O a - 1; por esta razón, la curva es decreciente.

Además, el valor mínimo se obtiene para .

En el tercer cuadrante, el ángulo crece de a 3 /2 y los valores del coseno varían entre -1 y O; por lo tanto, la curva es creciente en este cuadrante y sus valores son negativos. '

Para el cuarto cuadrante, el ángulo crece de 3 /2 a 2 y los valores del coseno varían entre O y 1; por consiguiente, la curva es creciente y sus valores son positivos.

Además, el valor máximo se obtiene para el valor 2


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Definimos la función coseno de la siguiente manera: F:/R•~ fR, tal que: F(x) = cos x. En efecto: F(x) = cos x es función con dominio los reales; condominio: los reales; rango: el intervalo (-1,1)

2 es el periodo de la función coseno, ya que los valores se repiten.

LA FUNCIÓN TANGENTE

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se

expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

Gráfica de la función tangente.

Relación tangente como función


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La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes En el primer cuadrante trasladamos sobre cada ángulo su respectiva tangente. Observemos

que a medida que el ángulo crece de O a /2, los valores de la tangente crecen indefinidamente; por lo tanto, la curva es creciente y sus valores son positivos.

En el segundo cuadrante a medida que el ángulo aumenta de /2 a los valores de la tangente crecen negativamente hacia O; por consiguiente, es creciente y sus valores son negativos.

En el tercer cuadrante, a medida que el ángulo crece de a 3 /2, los valores crecen indefinidamente y vuelven a ser los mismos que para los ángulos del primer cuadrante; por esta razón, es creciente y sus valores son positivos. En el cuarto cuadrante los valores de la tangente son los mismos para los ángulos del segundo cuadrante; es creciente y sus valores son negativos.

La relación F(x) = tan x la definimos como función de la siguiente manera:

F: IR -{(2k + 1) /2 / k e Z}.• R, tal que: F(x) = tan x.

En la definición hemos quitado del dominio el conjunto-{(2k + 1) /2 / k e Z}, pues para estos valores, la tangente no está definida; como se observa en la gráfica, la función tangente presenta ciertos valores para los cuales no existe imagen; dichos valores debemos eliminarlos del dominio para que nuestra definición tenga sentido, De esta manera, la relación tangente, como se definió arriba, es función, puesto que cada elemento del dominio tiene imagen única en el condominio (IR) El rango de la función tangente es el conjunto de los reales. La relación tangente no tiene valores máximos ni mínimos.

La función tangente repite los valores cada intervalo de rad; por lo tanto, su periodo es .

Relación cotangente como función


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Observando la figura deducimos que la cotangente siempre es decreciente. Para los ángulos de los primer y tercer cuadrantes, los valores de la cotangente son los mismos y su signo es positivo. Para los ángulos del segundo y cuarto cuadrantes, los valores son los mismos y su signo es negativo. La relación F(x) = cot x, la definimos como función de la siguiente forma:

F:IR ... [2 k / e Z] --- IR; tal que: F (x) = cot x.

En la definición hemos quitado al dominio, el conjunto [2 k / e Z] , dado que para los valores

O, , 2 , etc., no esta definida la cotangente. En efecto, la relación cotangente, como se define arriba, es función puesto que cada elemento del dominio tiene imagen única en el condominio (IR) El rango de la función cotangente es el conjunto de los reales. Repite los valores cada

intervalo de Rad., siendo su periodo . No tiene valores máximos ni mínimos.

Relación secante como función

Observemos que a medida que el ángulo crece de O a /2, los valores de la secante varían entre 1 e infinito: por consiguiente, en este cuadrante la curva es creciente y sus valores positivos.

En el segundo cuadrante procedemos en forma análoga. La curva en este intervalo es creciente.

En efecto, cuando el ángulo varía de /2 a los respectivos valores de la secante crecen hasta - 1.


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Para los ángulos del tercer cuadrante tomamos los segmentos marcados en el círculo trigonométrico, trasladándonos sobre el eje x. La curva en este cuadrante es decreciente.

En efecto a medida que el ángulo varía entre y 3 /2, los valores de la secante se van agrandando negativa e indefinidamente, de tal suerte que para = 3 /2 el valor de la secante no se puede definir.

Por último, para los ángulos del cuarto cuadrante, los valores de la secante vuelven a

decrecer hasta tomar el valor de 1. En este momento, el ángulo es 2 rad. Podemos

observar que la gráfica es simétrica en relación con la recta x =

La relación F(x) = sec x, la definimos como función de la siguiente manera:

F: R -{( 2 k +1) /2 k é Z } ~ IR, tal que: f (x) = sec X

En efecto, F(x) = sec x es función con dominio el conjunto R - {(2 k +1) /2 k é Z)

Condominio los reales y rango ( - , -1] U [ 1, ); lo cual quiere decir que ningún valor de la secante puede estar en el intervalo (- 1,1).

El período de la función secante es 2 , ya que los valores de la función se repiten como en el

intervalo [ 0, 2 ] No tiene valores máximos ni mínimos

Relación Cosecante como Función

En el primer cuadrante se observa que la curva es decreciente y su signo es positivo. En el segundo cuadrante, la curva es creciente y su signo también es positivo. En el tercer cuadrante, la curva es creciente y su signo es negativo. En el cuarto cuadrante, la curva es decreciente y su signo es negativo. La relación F(x) = cosec x, la definimos como función de la siguiente forma:

F : IR-{ k / k é Z} .~ lR, tal que: F (x) = cosc x


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En efecto, F(x) = cosc x es función con dominio IR --{ k / k é Z} Condominio el conjunto de

los reales y rango ( - , -1] U [ 1, ). No tiene valores máximos ni mínimos

El periodo de la función cosecante es 2 .

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el

periodo de las funciones seno y coseno es 2 y el de la función tangente es .

Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números

reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en

el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -

sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-

x) = cos x.

FUNCIONES CIRCULARES RECÍPROCAS

Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x. La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x. La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.

Después de analizar las explicaciones del profesor completo el siguiente cuadro con otro de mis compañeros y me preparo para la retroalimentación del ejercicio.

Con base en las graficas y análisis de las funciones trigonométricas, llena el siguiente cuadro:


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FUNCION

DOMINIO

CODOMINIO

RANGO

VALOR MAXIMO

VALOR MINIMO

PERIODO

SENO

COSENO

TANGENTE

COTANGENTE

SECANTE

COSECANTE

1. Determine el periodo y la amplitud para cada una de las funciones.

a. F (x) = 6 sen X b. F (x) = -3 cos 4x c. F (x) = 2 sen x/2 d. F (x) = 3 sen 3x

2. Determine la longitud, el periodo y fase de las siguientes funciones:

a. F (x) = sen (x + /b) b. F (x) = 3 tan 6x c. F (x) = -3 sen (x) + 1

d. F (x) = sen 2 (x - /6)


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3. Traza la grafica de las funciones

a. F (x) = - 2 tan x

b. F (x) = cos (x + /2)

c. F (x) = 3 sen ½ (x - )

4. En cuales intervalos , la función coseno es decreciente

5. En cuales intervalos, la función tangente es creciente

6. Dibuja las líneas trigonométricas para cada uno de los siguientes ángulos:

a. 30° c. 120° b. 210° d. 330°

7. En cada una de las graficas determinar la amplitud, el periodo y la ecuación

de la función:


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REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO

Expresar el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, en función de un ángulo situado en el primer cuadrante.

ÁNGULOS EN EL SEGUNDO CUADRANTE:

MODELACIÓN Hallar el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo X = 120° Sen 120° = + sen (180° - 120°) = + sen 60° = √3/2 = 0,87 Cos 120° = - cos (180° - 120°) = - cos 60° = - 1/2 = 0,5 Tan 120° = - tan (180° - 120°) = - tan 60° = - √3 = - 1,73 Cot 120° = cot (180° - 120°) = - sec 60° = -2 Csc 120° = + csc (180° - 120°) = + csc 60° = 2√3 = 1,14 3


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ANGULOS EN EL TERCER CUADRANTE

MODELACIÓN Hallar el valor de las funciones trigonométricas para = 210° Sen 210° = + sen (210° -180°) = + sen 30° = - 1/2 = 0,5 Cos 210° = - cos (210° -180°) = - cos 30° =- √3 /2 = 0,87 Tan 210° = - tan (210° -180°) = - tan 30° = - √3/3 = 0, 57 Cot 210° = cot (210° -180°) = - sec 30° = -2√3/3 = -1,14 Csc 210° = + csc (210° -180°) = + csc 30° = -2

ÁNGULOS EN EL CUARTO CUADRANTE

MODELACIÓN Hallar el valor de las funciones trigonométricas para = 315° Sen 315° = + sen (360° - 315°) = + sen 45° = - √2 /2 = - 0,70 Cos 315° = - cos (360° - 315°) = - cos 45° = √2 /2 = 0,70 Tan 315° = - tan (360° - 315°) = - tan 45° = - 1 Cot 315° = cot (360° - 315°) = - cot 45° = -1 Csc 315° = + csc (360° - 315°) = + csc 45° = -√2 = - 1,4


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Calcular el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos de:

a. 150°

b. 13 /6 c. 210°

d. 15 /2 e. 315°

Puede el seno de un ángulo ser igual a 0.469, a 2.3521? justifique su respuesta Puede el coseno de un ángulo ser igual a -0.9044 a -2.35? justifique su respuesta Por qué la tangente de 90° no existe

EJERCITACION Un triangulo rectángulo tiene un cateto de 4cm y su ángulo adyacente es de 40º. Calcular lados del triángulo y las razones trigonométricas para sus dos ángulos agudos.


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UNIDAD 3 IDENTIDADES Y ECUACIONES

TRIGONOMETRICAS

Propósito

Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades fundamentales.

Desarrollar ejercicios demostrando identidades y ecuaciones trigonométricas

Solucionar triángulos utilizando los teoremas trigonométricos.


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IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Cuando una expresión contiene términos con funciones trigonométricas, se dice que es una expresión trigonométrica.

Muchas veces dichas expresiones presentan formas complicadas que pueden reemplazarse por expresiones equivalentes.

Una Identidad Trigonométrica es una igualdad entre expresiones trigonométricas, que es verdadera para todos los valores para los que dicha expresión tenga sentido.

Esto es: Si y son expresiones trigonométricas, f es una identidad

trigonométrica, si la igualdad se cumple para todo que esté en el dominio de y en el de .

Una entidad trigonométrica es entonces una igualdad que se cumple para todos los ángulos, excepto para aquellos en que no están definida las relaciones. No existe un método único para demostrar una entidad.

Pasos para resolver una identidad

Trabaja inicialmente solo con un miembro de la ecuación. Generalmente, es más fácil empezar con el miembro más complicado y simplificarlo según las restantes recomendaciones.

Efectúa sustituciones utilizando las relaciones o identidades fundamentales. A menudo

resulta útil reescribir una expresión en términos de senos y cosenos.

Realiza las manipulaciones algebraicas necesarias, como adiciones o sustracciones de expresiones racionales, o multiplicación y factorización de polinomios.

Verifica la expresión final contra la forma que se trata de obtener. A menudo es

conveniente escribir formas alternativas del miembro que se está manipulando.


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IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

1. Recíprocas:

A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas de ángulos en posición canónica, deducimos

2. Igualmente, teniendo en cuenta las definiciones dadas:

3. Identidades Pitagóricas:

A partir de estas identidades es posible obtener otras más complejas. No hay realmente un método especial para demostrar que una igualdad es una identidad, pero en general se aconseja iniciar con el lado que parezca más complejo y hacer las transformaciones que se considere adecuadas, para obtener la expresión del otro extremo de la igualdad. No es bueno transformar los dos extremos simultáneamente por que se estaría suponiendo que la igualdad es verdadera.


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Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

MODELACIÓN .

Solución:


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MODELACIÓN

Solución:

MODELACIÓN

Solución:


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MODELACIÓN:

Solución:

MODELACIÓN:

Solución:

Observe que en cada una de las demostraciones anteriores:

Se inició en el lado más complejo. Se efectuaron las operaciones básicas. Se hizo uso de la factorización Se emplearon identidades fundamentales.


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MODELACIÓN 1 Demostrar sen x = 1 + cosx 1 – cos x sen x

se aplica la conjugada sen x . ( 1 + cosx ) = 1 + cosx 1 – cos x ( 1 + cosx ) sen x Se realiza una multiplicación en el sen x( 1 + cosx ) = 1 + cosx 1 – cos2 x sen x Se reemplaza por una identidad fundamental sen x( 1 + cosx ) = 1 + cosx sen2 x sen x Se simplifica quedando la igualdad 1 + cosx = 1 + cosx sen x sen x

MODELACIÓN 2 Demostrar la siguiente identidad cos x + sen . tan = csc

Sen x . sec

Cos + sen . sen / cos = csc

Sen . sec

Cos + sen2

cos = csc

Sen . 1 .

cos

Cos2 + sen2

cos = csc

Sen

cos


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1

cos = csc

Sen

cos

cos .

cos . sen = csc 1 .

sen = csc csc = csc

1. Demuestre las siguientes identidades Cos x sec x = 1 Cos x cosc x = cot x Cos2 x tan2 x = 1 – cos2 x

Cos + sen tan = sec

1 + sen - 1 – sen = 4 tan sec

1 – sen 1 + sen

Cosc + cot = sen

1 – cos (sen x + cos x)2 = 1+2sen x cos x

Cos2 cot2 = cot2 - cos2

Sen4 - cos4 = sen2 - cos2

Sen tan = sec - cos


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DEMOSTRACION

Tracemos la gráfica de y = 2cos X/2 cos 3X / 2

Haciendo = X / 2 Y β = 3X/2, trabajamos en el segundo miembro de la ecuación y

utilizamos la formula de producto a suma.

2cos x/2 cos 3x/2 = 2. (1/2) cos (x/2 – 3x/2) + cos (x/2 + 3x/2) = cos (-2x/2) + cos (4x/2) = cos (-x) + cos 2x = cos x + cos 2x

MODELACIÓN Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

MODELACIÓN Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.


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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS


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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MEDIO


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IDENTIDADES DE SUMAS EN PRODUCTOS


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IDENTIDADES DE PRODUCTOS EN SUMAS


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MODELACIÓN

Haciendo uso de las identidades fundamentales encuentre los valores de las funciones

trigonométricas del ángulo si: y

Solución:

Como la tangente es negativa y el seno positivo, está en el segundo cuadrante, por lo tanto la secante es negativa.

Esto nos permite concluir que:


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Haciendo uso de la identidad:

Como

Entonces: .


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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Una ecuación trigonométrica es una igualdad que contiene una o mas funciones trigonométrica que se satisface solo para ciertos valores de su variable. Sugerencias para resolver ecuaciones trigonométricas Si más de una función trigonométrica esta presente, utiliza las identidades para tratar de

escribir la ecuación en términos de una función trigonométrica. Considera una función trigonométrica particular como incógnita y resuelve. Muchas veces el procedimiento algebraico, como por ejemplo la factorización ayuda.

Después de despejar sen , cos , etc, en la ecuación trigonométrica, debes determinar

los valores de que satisfagan la ecuación.

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

1.

2.


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3

Transformamos la suma en producto

Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.

4.

5.

http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html#sp


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6.

7.

8.


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9.


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MODELACIÓN 1

Determinemos las soluciones de 4 sen2xtanx – tanx = 0, para x 0,2 π).

4 sen2xtanx – tanx = 0 ecuación dada tanx (4 sen2x –1) = 0 Factor común

tanx = 0 V 4 sen2x –1 = 0 a.b = 0 a = 0 V b = 0 tanx = 0 sen2x = ¼ Despejando tanx y senx tanx = 0 senx = ± ½

x es cuadrantal x IC v x IIC V x IVC

x = tan-1 0 x = sen-1 ( 1/2) despejando x x = 0 V x = π xR = π /6 ángulo de referencia x = 0, π x = π/6, 5 π/6, 7 π /6, 11 π /6 solución

x = 0, π, π /6, 5 π /6, 7 π /6,11 π /6 solución para x 0,2π).

MODELACIÓN 2

Resolver la ecuación 3tan - 4 = tan - 2

Resolvamos para 0º,360º) o 0,2π)

3tan - 4 = tan - 2

2tan = 2

tan = 1 = tan-1(1)

IC V IIIC

R = 45º = π/4

= 45º, 225º = π/4, 5 π/4


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U

UNIDAD 4 PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS

GEOMETRICOS

PROPOSITOS

Grafico y halla la pendiente de una recta cuya ecuación se da.

resuelvo problemas usando la relación existente entre pendientes de rectas, paralelas y perpendiculares.

Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la circunferencia dada algunas de sus características.

Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la parábola dada algunas de sus características.

Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la elipse dada algunas de sus características.

Halla la ecuación general y la ecuación canónica de la hipérbola dada algunas de sus características.

identifico cónicas a partir de sus ecuaciones generales o canónicas.


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GEOMETRÍA ANALITICA En la primera mitad del siglo XVII nació una rama completamente nueva de la matemática, la geometría analítica, que vino a establecer un nexo entre las curvas del plano y las ecuaciones algebraicas con dos incógnitas... Fue un hecho bastante raro éste que tuvo lugar en la matemática: en "'cuestión de una o dos décadas apareció una rama completamente nueva de la matemática, basada en una idea muy sencilla que hasta entonces no había recibido la atención necesaria. La aparición de la geometría analítica en la mitad del siglo XVII no fue accidental. La transición de Europa a los nuevos métodos capitalistas de producción requirió el progreso de casi todas las ciencias. Poco tiempo antes Galileo y otros científicos habían comenzado a elaborar la mecánica con-temporánea; en todas las regiones de las ciencias naturales se habían acumulado datos em-píricos y perfeccionados los medios de observación. En astronomía los principales científicos habían admitido por fin las enseñanzas de Copérnico. El rápido desarrollo de la navegación necesitaba urgentemente de conocimientos más avanzados de astronomía y mecánica. El arte de la guerra necesitaba también la mecánica. Las elipses y parábolas, cuyas propiedades geométricas como secciones cónicas conocían ya los griegos con perfecto detalle desde hacía casi dos mil años, dejaron de ser propiedad exclusiva de 1é3 geometría, como sucedía entre aquéllos. Después que Kepler descubriera que los planetas giran alrededor del Sol en elipses, y Galileo que una piedra lanzada al aire describe una parábola, fue necesario calcular estas. Elipses y determinar al parábola que recorre una bala disparada por un cañón; fue necesario descubrir la ley según la cual la presión atmosférica, descubierta por Pascal, decrece con la altura; preciso fue también calcular el volumen de diversos cuerpos, etc. Todas las cuestiones hicieron surgir casi simultáneamente tres ciencias matemáticas enteramente nuevas: la geometría analítica, el cálculo diferencial y el cálculo integral, incluida la resolución de las ecuaciones diferenciales más sencillas.

Estos tres nuevos campos cambiaron cualitativa mente la faz de la matemática, e hicieron posible la resolución de problemas antes inimaginables. En la primera mitad del siglo XVII, concretamente a comienzos años 1600, un grupo constituido por los más relevantes matemáticos empezó a vislumbrar la idea de la geometría analítica, pero fueron dos de ello, en particular, quienes vieron claramente la posibilidad de crear una nueva rama de la matemática: Pierre Fermat, consejero del parlamento de la ciudad francesa de Toulouse y matemático de fama mundial, y el famoso filósofo francés René Descartes, fue quien, como filósofo, planteó el problema de la generalidad absoluta de esta geometría.


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La Geometría Analítica tiene grandes aplicaciones como por ejemplo: determinar qué clase de bisel es preciso tallar en una viga, para que ajuste perfectamente contra una pared a la que intercepta en un ángulo poco corriente; en óptica, para determinar el camino que recorrerán los rayos luminosos al atravesar sustancias transparentes: lentes, por ejemplo; también ha sido de gran aplicabilidad para la moderna teoría de las micro ondas y para la acústica, entre otras.

Las secciones cónicas tienen características importantes en la reflexión de 12s ondas sonoras y luminosas y se utilizan en la construcción de reflectores cuando se necesita iluminar intensamente un espacio pequeño, como en microcirugía. La parábola se emplea en reflectores. antenas de radar. faros de automóviles y telescopios. Uno de los dispositivos focales del telescopio de 5 m del observatorio de Hale en el Monte Palomar posee un espejo hiperbólico.


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Proposicionar la lectura afectiva. Búscale un titulo a la lectura afectiva Realiza un listado de los términos desconocidos o menos usados, indicando la proporción

donde se encuentren. Qué relación establece la geometría analítica entre la geometría y el algebra. Enuncien los diferentes acontecimientos que se estaban dando en otras ciencias, a la par

que surgía la geometría analítica. Que otras áreas de las matemáticas se desarrollaron simultáneamente con la geometría

analítica.

proposiciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Términos desconocidos

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia d entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por la ecuación:

d = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)

2 y Ejemplo: calcular la distancia entre los puntos (-3,4) y (4,2) del plano.

Solución: aplicando la formula de la distancia d = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)

2 y reemplazando tenemos:

d = (4+3)2 + (2-4)2

d = 49 + 4 d = 53 = 7,28 Podemos concluir que la distancia entre los puntos del plano dados es 7,28 unidades.


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COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DADO Las coordenadas del punto medio del segmento PQ rectilíneo, que une los puntos de coordenadas P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) están dadas por la expresión:

ECUACION GENERAL DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

LA ECUACION Ax +By +C = 0, se llama ecuación general de la recta. M = y2 - y1 a esta constante la llamamos pendiente de la recta y la X2 -x1 simbolizamos con la letra M. La ecuación de la recta con pendiente M y que corta al eje y en el punto b es: Y = Mx + b. Conocida la pendiente se toma una de los dos puntos y se utiliza la ecuación:


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Las vértices de un triángulo son los puntos A (4,2), B (-3,4), C (-2,-3) hallar las ecuaciones de las rectas que contienen sus lados. Los vértices de un triángulo son los puntos A (4,2), B (- 3,4), e (- 2, - 3), hallar las ecuaciones de las rectas que contienen sus lados. ma= 4-(-3) = 7 = -7 mb = 2-(-3) = 5 = 5 -3-(-2) -1 4- (-2) 6 6 mc = 2 -4 = -2 = -2 4 - (-3) 7 7 Con la pendiente y uno de los puntos, se halla la ecuación de cada recta.

a) y-4=-7(x+3) 7x+y+17=O . b) y-2= 5 (x-4) 5x-6y-8=O 6 c)y-2=-2(x-4) 2x+7y-22=O

SIMULACION 2. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas: a)5x-2y+4=O, c) 2x-4y+9=O, e) 6x -3y-1=O b) -3x+'5y-2=O, d) 3x-2y=O, Halla la ecuación de la recta que pasa por el par de puntos dados: a)A (-2",1), B(5,-7); c) C(4,-8), D(-2,3);

b) M(-2,O), N(O,-5); d) E(-5,4), F(4,-3);

e)G(9.-3), H(-2,1)

Encuentra la ecuación de los lados y las medianas de los siguientes triángulos: 3.


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RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son paralelas, si al prolongarse en la misma dirección permanecen equidistantes; simbolizado L1 11 L2' Dos rectas cualesquiera L1 y L2, no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes m1 Y m2 son iguales. L1 11 L2 si y sólo si m1 = m2. Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son perpendiculares si al interceptares forman ángulos rectos simbolizado L1 .1 L2. Dos rectas cualesquiera L1 y L2, no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. L1 I L2 si y sólo si m1 X m2 =-1

MODELACIÓN Hallar la ecuación de la recta mediatriz al segmento cuyos extremos son los puntos A (2,7) Y B (-4,3).


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Recordemos que la mediatriz a un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por el punto medio.

Las coordenadas del segmento son A (2,7) Y B (-4,3). Las coordenadas del punto medio son: 1. X = 2+(-4) = -1, Y= 7+3 = 5 2 2 La pendiente de la recta que contiene al segmento es: M1 = 7-3 = 4 = 2 2-(-4) 6 3 La pendiente de la mediatriz es (2/3) m2=-1 m2=-3/2 La ecuación de la mediatriz es y-5=-3/2(x+1) 3x+2y-7=0

Si el barco X, está ubicado en el punto de coordenadas (-8,10) Y la embarcación Y está ubicada sobre el punto de coordenadas (6, -5), calcula la distancia que las separa y el punto medio del segmento que las une. Se necesita cercar un lote de forma triangular, cuyos vértices están en la posición que indica la figura. ¿Cuántas unidades de alambre se necesitan para cercado. ¿Cuál es el costo del trabajo si el metro de alambre vale $12 OOO? 2.


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Utiliza el concepto de pendientes de rectas perpendiculares para verificar que el triángulo DEF, cuyos vértices se encuentran sobre el plano cartesiano es un triángulo rectángulo:

Carlos, Juan, Mónica y Andrés juegan al «tiro al blanco». El blanco se encuentra en el punto P = (2, 2) Carlos da en el punto A = (1,9/2) Juan en el punto B = (-9/2, 1/2) Mónica en el punto C = (4,5/2) Andrés en el punto D = (5,7/2) ¿ A que distancia quedo cada persona del blanco?

¿ Cuál de las cuatro personas fue la mas alejada del blanco?


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CURVA

Linea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en:

CONICAS

Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano. La

cónicas son cuatro y su formación depende de la relación entre los ángulos ( :

ángulo que forma el plano seccionante ( ) con el plano base del cono) y ( : ángulo que forman

las generatrices del cono con el plano base del mismo) como se describe a continuación:

circunferencia: se forma cuando el plano seccionante ( ) es paralelo al

plano base del cono, por lo tanto =00,

elipse: se forma cuando < ,

parábola: se forma cuando ,

hipérbola: se forma cuando ,

El estudio de las cónicas es de gran importancia en los campos de la óptica, astronomía, física, biología, informática e ingeniería, entre otras, ya que son la

base del diseño de lentes, espejos, y superficies elípticas, circulares parabólicas e hiperbólicas; componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares,

antenas parabólicas, teodolitos, distanciómetros y muchos otros instrumentos de gran uso en estas ciencias.

La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas que aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/cap_01a-imagenes/conicas.swf


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época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono con un plano. Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa e segundo grado:

Las cónicas como lugares geométricos

Si F es un punto fijo del plano y D una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto F y a la recta D están en proporción constante es una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).

Al punto F se le denomina foco de la cónica y a la recta D directriz asociada al foco F.


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LA CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante, La distancia fija se llama radio.

La circunferencia de centro C(h,k) y radio r 0, esta dada por la ecuación: (x-h)2 + (y-k)2 = r2 ecuación canónica

La ecuación general de segundo grado de la circunferencia es: X2 +Y2+Dx+Ey+F = 0

La circunferencia de centro C (0,0) y radio r, esta dad por la ecuación: X2 +Y2 = r2 , donde r 0, ecuación canónica


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MODELACIÓN 1 Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 4x2+4y2-4x-6y-6=0 Dividimos la ecuación por 4: x2 + y2-x-3/2 y – 3/2 = 0 Completamos trinomios cuadrados perfectos

x2-x+1/4+y2-3/2y+9/16-3/2-1/4-9/16 = 0 Si se factoriza y se efectúa (x – 1/2)2 + (y – 3/4)2 = 37/16

El centro es (1/2, 3/4) y el radio 37/4

MODELACIÓN 2 Hallar la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro C (-3,5) y su radio 4. Planteamos la ecuación canónica de la circunferencia: (x-(-3))2 + (y - 5)2 = 16 (x + 3)2 + (y - 5)2 = 16 Efectuamos los cuadrados y ordenamos: x2+6x+9+y2-10y+25-16 = 0 x2+y2+6x-10y+18 = 0

C (-3,5)


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Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias: 3x2+3y2-18x+27=0 x2+y2-2x+12y+29=0 x2+y2+8x-10y-8= 0 4x2+4y2-4x+24y+1=0 x2+y2-22x-2y-22=0 x2+y2+4x-8y-80=0 Halla en cada caso, la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro y radio: C(-2,2) r = 8 C(-1,7) r = 4 C(-1/4,2) r = 3 C(-3,-8) r= 9 Halla la ecuación general de la circunferencia que tiene un diámetro cutos extremos son los puntos: P(-3,2) Q(9,6) P(-7,4) Q(-1,8) P(-1,-1) Q(4,4) P(0,-9) Q(4,6) Un canal cuya sección transversal es una semicircunferencia, tiene 10 metros de profundidad en el centro. Determinemos una ecuación para la semicircunferencia que usaremos para determinar la profundidad a 4 metros del borde.

Un atleta recorre una pista circular tal que la ecuación de su circunferencia es x2+y2-6.084= 0.


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Si la partida se halla al este del centro, determinemos el número de vueltas que debe recorrer para cubrir los 5000 mtrs y la posición del atleta, respecto del centro, en el momento de la llegada.

LA PARABOLA

Es el conjunto de puntos del plano, tales que las distancias a una recta llamada directriz y a un punto fijo llamado foco, son iguales.

Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano que no pasa por el vértice y que corta a e bajo el mismo ángulo a.

La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.


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La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

ELEMENTOS DE LA PARABOLA Recta directriz: recta auxiliar que permite la construcción de la parábola. Eje: recta perpendicular a la directriz que divide la parábola en dos segmentos simétricos. Vertice (v): punto del corte del eje y la parábola. Foco (f): punto sobre el eje a una distancia del vértice igual a la distancia que separa el vértice de la directriz. Cuerda: segmento de recta, cuyos extremos son dos puntos de la parábola. Lado recto: cuerda paralela a la recta directriz que pasa por el foco. Coordenadas del lado recto: puntos de intersección del lado recto con la parábola. Longitud del lado recto: distancia entre las coordenadas del lado recto.


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La ecuación general de la parábola es: Ax2+Dx+Ey+F= 0 La ecuación de la parábola con foco en (p,o) Con directriz x = -p Vértice (0,0) Y2 = 4px La ecuación de la parábola con vértice en el origen con su eje sobre el eje x. Y2 = -4px La ecuación de la parábola con vértice en el origen con su eje sobre el eje y. X2 = 4py La ecuación de la parábola con vértice en el origen abre hacia abajo x2 = -4py

Ecuaciones canónicas de la parábola con el eje X


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MODELACIÓN 1

Dada la parábola x 2 - 4 x - 6 Y - 14 = O, determinar: a) Coordenadas del vértice. b) Coordenadas del foco. c) Coordenadas del lado recto. d) Longitud del lado recto. e) Ecuación de la recta directriz. ' f) Gráfica de la parábola.


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a) Coordenadas del vértice: Para determinar las coordenadas del vértice debemos expresar la ecuación de la parábola en forma canónica: x2-4x-6y-14=0 x2 -4x = 6y + 14. Trasponemos los términos independientes de x. x2-4x+4=6y+18 Completamos el trinomio cuadrado perfecto (x -2)2 = 6(y +3). Factorizamos De esta forma hemos expresado la ecuación de la parábola en forma canónica y podemos determinar el vértice V (2, - 3). b) Coordenadas del foco: Para determinar las coordenadas del foco se calcula el valor de P; como 4 P = 6, entonces P= 3/2;por lo tanto, F(0+2, 3/2 +(-3)) F(2,- 3/2). . c) Coordenadas del lado recto: En la ecuación (x - 2) 2 = 6 (y + 3), hacemos y = - 3/2 y calculamos x. (X_2)2 =6(- 3/2 +3); (X-2)2 =9 x-2=±3 x1=3+2=5

x2=-3+2=-1

Las coordenadas del lado recto son: R1 (5, - 3/2) ; R2 (-1, - 3/2) d) Longitud del lado recto: d(R1, R2) = √ (5 + 1)2 + (-3/2 + 3/2)2 d(R1,R2) = √36 = 6


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e) Ecuación de la recta directriz: Y= -3 – 3/2 y = 9/2 f) Gráfica:

MODELACIÓN 2

Hallar las coordenadas del vértice, foco y directriz de la parábola y2= 12x, dibujar la parábola y2= 12x La ecuación canónica y = 4px La ecuación nos indica que 4p = 12 P = 12/4 P = 3 Por lo tanto las coordenadas del foco son f (3,0) Directriz x = -p X = -3 Vértice (0,0)

Como pto, (p = 3) la parábola abre hacia la derecha. Su grafica es:


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Dada las siguientes parábolas, hallar:

Coordenadas del vértice0 Coordenadas del foco Coordenadas del lado recto Longitud del lado recto Grafica X2-4x-8y-12 = 0 X2+6x+9y-27 = 0 2x2-12x-24y-30 = 0 Para las parábolas de ecuación: Y2-8x= 0 x2 – 12y = 0 x2+8y = 0 y2-4y-4x = 0 VERTICE . FOCO .

DIRECTRIZ . GRAFICA . Y2-8x= 0 x2 – 12y = 0 x2+8y = 0 y2-4y-4x = 0


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Verifica cual de las ecuaciones de segundo grado dadas, corresponden a una parábola. Justifica tu respuesta. X2+y2-4= 0 . X2-y-1= 0 . Y2-x-1 = 0 . (x-1)2 = 4y . 4y2-12y+3x = 12 .

El interior de una antena satelital de televisión es un plato de forma de paraboloide finito cuyo diámetro es 3.65 mtrs y tiene 0.61 mtrs de profundidad, como se ve en la figura. Calculemos la distancia del centro del plato al foco.


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El cable de suspensión de un puente colgante adopta la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tiene una altura de 60 mtrs y están separados por una distancia de 500 mtrs, quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 10 mtrs sobre la calzada del puente.

La sección transversal de un canal de irrigación es una parábola. Si la superficie del agua tiene 10.55 m de ancho y el canal tiene 6.7 m de profundidad en el centro ¿cual es la profundidad a 1,52 m de la orilla? Un avión vuela siguiendo la trayectoria hiperbólica que se ve en la figura. Si la ecuación de la trayectoria es 2y2 – x2 = 8, determina a que distancia mínima de una casa ubicada en (3,0) llega el avión. Sea s el cuadrado de la distancia de un punto (x,y) en la trayectoria al punto (3,0), calcula el valor mínimo de s. Un espejo tiene la forma de un paraboloide de revolución y se usara para concentrar los rayos del sol en su foco, creando así una fuente de calor. Si el espejo tiene 6,1 m y 1,8 m de profundidad ¿donde se encontrara la fuente de calor?


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LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante y mayor que la distancia entre los dos puntos:

Para mayor comprensión de nuestros elementos ubicamos la elipse sobre el plano cartesiano X - Y

Foco: puntos fijos del plano: F1 y F2.

Eje focal: la recta L que pasa por los focos.

Vértices: puntos donde la elipse corta el eje focal: E y V

Eje mayor: es el segmento de recta comprendido entre los vértices: EV

Centro: es el punto medio del segmento que une los dos; focos: C

Eje normal: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje principal: MM´

Eje menor: el eje normal corta a la elipse en los puntos M y M'; la porción del eje normal que se encuentra entre estos puntos la denominaremos eje menor.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse.

Cuerda focal: es una cuerda que pasa por uno de los focos. Lado recto: es una cuerda focal perpendicular al eje principal. La elipse posee dos lados rectos. Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro.


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En las siguientes elipses podemos apreciar cada, uno de sus elementos:

La siguiente gráfica nos muestra la elipse y su respectiva ecuación canónica, en las diferentes posiciones sobre el plano cartesiano:


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Donde a es la distancia del centro al vértice a > b

Corresponde a la ecuación de la elipse con centro en el punto (h,k)

Corresponde a la ecuación de la elipse con eje principal paralelo al eje Y centro en (0,0) b> a

Corresponde a la ecuación de la elipse con eje principal paralelo al eje Y y centro en el punto (h,k) b > a

En la ecuación de la elipse con centro (h,k) (x - h)2 + (y - k)2 = 1, tiene las siguientes características a2 b2

Centro (h,k)

La distancia entre los dos vértices : 2a

La distancia entre los dos focos : 2c

La longitud del eje mayor : 2ª

La longitud del eje menor : 2b

Las coordenadas de los vértices : V (h – a,k) V2 (h + a,k)

C = a2 – b2

Las coordenadas de los focos : F1 (h – c, k) F2(h + c, k)

La ecuación de la elipse (x - h)2 + (y - k)2 = 1 o b2 a2

con centro (h,k), tiene las siguientes características


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las coordenadas de los vértices : : V (h, k + a) V2 (h, k - a)

Las coordenadas de los focos : F1 (h, k + c) F2(h, k - c)

MODELACIÓN 1 Dada la ecuación de la elipse : 4x2 + 9y2 +32x – 18y + 37 = 0 Hallar: Las coordenadas del centro Las coordenadas de los vértices Las coordenadas de los focos Las coordenadas del eje mayor y menor Grafica La ecuación 4x2 + 9y2 +32x – 18y + 37 = 0 Agrupamos (4x2 +32x ) + (9y2 – 18y) = -37 Completamos 4(x2 +8x+16 ) + 9(y2 – 2y+1) = -37+64+9 los cuadrados Efectuamos el 4(x +4 ) 2 + 9(y-1) = 36 Trinomio Dividimos por 36 4(x +4 ) 2 + 9(y-1) = 36 36 36 36 La ecuación canónica es (x +4 ) 2 + (y-1) = 1

9 4

Por lo tanto : h = -4, k= 1, a= 3, b= 2, c = a2 – b2 = 9-4 = 5 = 2.23

o las coordenadas del centro c (h,k) = (-4,1) o Las coordenadas de los vértices son: V1 (h-a,k) = (-4-3,1) = (-

7,1) V2 (h+a,k) = (-4+3,1) = (-1,1)

o Las coordenadas de los focos : F1 (h – c, k) = (-4-2.23,1) = (-6.2,1) F2(h + c, k) = (-4+2.23,1) = (-1.7,1)

o La longitud del eje mayor es 2ª = 2(3) = 6 o La longitud del eje menor es 2b = 2(2) = 4 o Grafica


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MODELACIÓN 2

Hallar las coordenadas de los vértices, focos, longitud del eje mayor y eje menor de la elipse cuya ecuación es 49x2 + 16y2 = 784

Ecuación dada 49x2 + 16y2 = 784

Dividiendo ambos 49x2 + 16y2 = 784 Miembros por 784 784 784 784

Simplificando x2 + y2 = 1 16 49

con a b la ecuación es de forma x2 + y2 = 1 b2 a2

de donde b2 = 16 entonces b = 4 a2 = 49 entonces a = 7

c = a2 – b2 = 33 = 9.74

Como la elipse tiene los focos sobre el eje y entonces los vértices son:

V (0 a) V1 (0,-7) V2 (0,7)

F (0 c) F1 (0,974) F2 (0, -974)

Longitud del eje mayor 2ª = 2 (7) = 14 Longitud del eje menor 2b = 2(4) = 8


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Según las ecuaciones, halla las coordenadas de tos vértices y focos y las longitudes de los ejes mayor y menor de cada elipse. Traza la gráfica en cada caso. Recuerda expresar cada ecuación como se indicó al comienzo de acuerdo a sus características

4X2+9Y2 = 36 9X2+4Y2 = 36 25X2 + 16Y2 = 400 4X2 + Y2 = 16

Vértices . Focos . Lado mayor . Lado menor . Gráficas: .


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Reduce la ecuación dada a la forma canónica, determine las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes del eje mayor y menor y represente gráficamente.

4x2 + 9y2 – 16x + 18y – 11 = 0

x2 + 2y2 – 10x + 8y + 29 = 0

4x2 + y2 – 8x + 2y + 1 = 0

9x2 + 4y2 – 54x + 8y + 49 = 0 Hallar la ecuación de la elipse si los vértices son los puntos (0,6) (0,-6) y sus focos (0,4) (0,-4). Hallar la ecuación de la elipse si dos vértices son dos puntos (0,5) (0,-5) y sus focos (0,4) (0,-4). Hallar la ecuación de la elipse si a =5, b=3 y centro en (0,0) eje principal sobre eje X La orbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de los focos. Siendo la longitud del semieje mayor de la elipse 148 millones de km y la excentricidad igual a 0,0168, determinemos la máxima y mínima distancia de la tierra al sol durante su movimiento de traslación.


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LA HIPERBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante

Elementos

Para mayor comprensión ubicaremos la hipérbola sobre el plano cartesiano con centro en el punto (0,0). Recordemos la estrecha analogía que existe entre las definiciones de la hipérbola y elipse; esto hace posible definir los siguientes elementos similares a la elipse. Focos: puntos fijos del plano, ellos son F1 y F2. Eje focal: es la recta que pasa por los focos. Vértices: puntos donde la hipérbola corta al eje V1 y V2• Eje transverso: es la porción del eje focal comprendida entre los vértices V1 V2 Centro: es el punto medio del eje transverso. Eje normal: es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje fa cal. El eje normal no corta a la hipérbola. Cuerda: es el segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola. Cuerda focal: cuerda que pasa por un foco. Lado recto: cuerda focal perpendicular al eje focal. Diámetro: es cualquier cuerda que pase por el centro.

Ecuación de la hipérbola

En el curso anterior vimos la ecuación canónica de la hipérbola en sus dos posiciones clásicas. La siguiente gráfica muestra la ecuación canónica de la hipérbola.


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Ecuación: Ecuación: Ecuación: Ecuación: x2 -y2 = 1 (x_h)2 - (y_k)2 = 1 y2 - x2 = 1 (y_k)2 - (x_h)2 = 1 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 La ecuación de la hipérbole (x_h)2 - (y_k)2 = 1 a2 b2 tiene las siguientes características :

centro (h,k) 2. Las coordenadas de los vértices son: V1 (h-a,k) V2 (h+a,k) 3. Las coordenadas de los focos : F1 (h – c, k) F2(h + c, k) 4. La distancia entre los dos vértice es 2ª 5. La distancia entre los dos focos es 2c 6. La longitud del lado recto 2b2/c

7. c = a2 + b2


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ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA

Se llama asíntotas de una curva a toda recta, tal que su distancia a la curva tiende a cero a medida que la curva se aleja indefinidamente del origen. La hipérbole tiene dos asíntotas, cuando su centro es (0,0): Y=b x y Y=-b x a a Si la hipérbole tiene su centro en (h,k), entonces las ecuaciones de sus rectas asíntotas son: (y - k) = b/a (x - h) y (y - k) = -b/a (x - h)

MODELACIÓN 1 Analizar la ecuación x2 - 9y2 – 4x + 36y - 41 = 0 Agrupamos los términos en x y en y : (x2 – 4x) – (9y2 - 36y) = 41 Completamos cuadrados: (x2 – 4x + 4) – 9(y2 - 4y + 4) = 41+ 4 – 36 o : (x – 2) 2 – 9(y - 2) 2 = 9 Dividimos por 9 (x – 2) 2 – (y - 2) 2 = 1 o (x – 2) 2 – (y - 2) 2 = 1 9 1 32 12 Esta ultima corresponde a la ecuación de una hipérbola, cuyo centro C es el punto (2,2) y su eje focal es paralelo al eje x.

Como a =3 y b= 1, entonces C= a2 + b2 = 10 por lo tanto, la distancia entre los vértices es

2ª = 6, la distancia entre los focos es 2c = 2 10 = 6,32 y así: Los vértices son (5,2), (-1,2)

Los focos son (2 + 10,2) , (2 - 10,2) La longitud del lado recto 2b2 = 2 . 1 = 2 a 3 3 Las ecuaciones de las asíntotas son:


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Y –k = a/b (x-h) = y+2 = 1/3 (x-2) = y =1/3x + 4/3 Y –k = -a/b (x-h) = y-2 = -1/3 (x-2) = y =-1/3x + 8/3

MODELACIÓN 2

Los vértices de una hipérbola son los puntos V1(2,0) V2(-2,0) y sus focos son los puntos F1(3,0) F2(-3,0), hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes entre los vértices y los focos.

Ecuación original x2 - y2 = 1 a2 b2

como a = 2 y c= 3

b = 9-4

b = 5

La longitud del eje conjugado 2b = 2 5 La distancia entre los dos vértices es 2ª = 2(2) = 4 La distancia entre los dos focos es 2c = 2 (3) = 6 La ecuación de la hipérbola es x2 - y2 = 1

4 5

Halla la ecuación de la hipérbola con focos F1 = (-4,0) F2 = (4,0) y un vértice en V= (-3,0)

Halla las coordenadas del centro, focos, vértices y grafica de la hipérbola de ecuación 3y2 +

6y - x2 + 2x + 11 = 0

Dada la ecuación de la hipérbola 49x2 – 25y2 -196x -150y -1 254 = 0, halla la ecuación de las asíntotas a la hipérbola y la gráfica. Halla la ecuación canónica de la hipérbola con vértices V1 = (3, -5) Y V2 = (3, 1), cuyas asíntotas tienen por ecuación: y = 2x - 8; e y = -2x + 4. Elabora la gráfica. Estudia la hipérbola mostrada e indica: Sus vértices: Sus focos: Si su eje mayor es horizontal o vertical Su ecuación La ecuación de sus asintotas


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Una hipérbola tiene como ecuación: y2/25 – x2/1 = 1

¿Es su eje mayor horizontal o vertical? ¿Cuáles son sus vértices? ¿Cuáles son sus focos? ¿cuáles son las ecuaciones de sus asíntotas? ¿ cual seria su nueva ecuación?

Encuentra los vértices, focos y excentricidad de las hipérbolas cuyas ecuaciones se dan. Incluye las asíntotas y las gráficas .

X2 – y2 = 1 y2 – x2 = 1 y2/4 – x2/1 = 1 x2/16 – y2/9 = 1 Vértices . Focos . asíntotas . Encuentra las coordenadas de los vértices y los focos de cada hipérbola: (x-6)2 - (y-8)2 = 1 36 64 (y +5)2 – x2 = 1 16 9

y2 - x2 - 2y + 4x - 4 = 0 x2 – 4y2 - 2x + 16y - 19 = 0 4x2 – y2 + 32x - 10y + 35 = 0 y2 -9 x2 - 6y - 18x - 9 = 0


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BIBLIOGRAFIA González Correal Marcos, matemática practica 10 Editorial: Voluntad, Bogotá Colombia 1990 Villegas Rodríguez Mauricio, Matemática 2000 10 Editorial: Voluntad, Santa fe de Bogotá, Colombia 1996 Chávez, López, Hugo Hernán, Matemática 10: Guía de recursos Editorial: Santillana, Santa fe de Bogotá 2000. Centeno Rojas, Gustavo, Matemática constructiva 10 Editorial: libros y libres s.a, santa fe de Bogotá. Londoño Nelson, serie matemática progresiva 10 Editorial: Norma, Colombia 1988 Equipo Editor, matemáticas 10, Geometría analítica y trigonometría Editorial: Santillana S.A, Santa fe de Bogotá, Colombia 1995. Gordillo Ardila, José Alberto, Ingenio matemático 10 Editorial: Voluntad, Bogotá Colombia 2006. Uribe Calab, Julio A, Elementos de matemáticas 9 Editorial: Bardout Examen de estado para el ingreso a la educación superior, Órgano de difusión de ICFES. Montenegro Colorado, Alejandro, Matemáticas para el ICFES Editorial: Los tres editores Ltda.

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